Как найти теплоемкость газа формула

Теплоемкостью
газа называют количество теплоты,
необходимое для повышения его температуры
на 1 К. Теплота, затраченная на повышение
температуры единицы количества газа
на 1 К называется удельной теплоемкостью.
Принято удельную теплоемкость называть
просто теплоемкостью.

В
зависимости от выбранной количественной
единицы различают теплоемкости: мольную
С_m-кДж/(кмоль·К),
массовую С – кДж/(кгК), и объемную С’ –
кДж/(м³К).

Так
как в 1 м³
газа могут содержаться, в зависимости
от параметров его состояния, разные
количества газа, принято относить 1 м³
газа к нормальным условиям (Р₀=
101325 Па, Т₀=273,15
К).

Между
теплоемкостями существует следующее
соотношение

С=; С^’=;
С=;
С^’=ρ₀·С
,
(3.1)

где
ρ₀
–
плотность газа при нормальных условиях.

Теплоемкость
газа зависит от его температуры. По
этому признаку отличают истинную и
среднюю теплоемкость.

Если
q
–
удельное количество теплоты, сообщаемой
единице количества вещества (или
отнимаемый от него) при изменении
температуры от t₁
до t₂
, то величина

=q/(t₂—
t₁)=q/(
Т₂—
Т₁),
(3.2)

Представляет
собой среднюю теплоемкость в пределах
от t₂
до t₁.

Предел
этого отношения, когда разность температур
стремиться к нулю, называют истинной
теплоемкостью. Аналитически последняя
определяется как

(3.3)

Теплоемкость
зависит от вида процесса сообщаемая
газу теплоты.

Для
теплотехнических расчетов особое
значение имеют теплоемкости газов при
постоянном давлении
и при постоянном объеме.

Между
массовыми теплоемкостями
исуществуют
соотношения

(3.4)

где
к—
показатель адиабаты.

Постоянная
теплоемкость политропного процесса с
показателем n
находитcя
из выражения

. (3.5)

Для
приближения расчетов при невысоких
температурах теплоемкость можно считать
постоянной.

Таблица
3.1 Приближенные значения мольных
теплоемкостей при
-const,
р-сonst

При
точных расчетах учитывают криволинейную
зависимость теплоемкости от температуры
и пользуются табличными значениями
средних теплоемкостей в интервале от
0°С до t
°С (Приложение1).
Их
отмечают сверху черточкой и указанием
границ температур. Например :
и т.д.

Менее
точные расчеты, применяемые в технике
получаются при использовании линейной
зависимости теплоемкости от температуры
(Приложение 2).

Средняя
теплоемкость в этом случае определяется
в интервале температур от t₁
до t₂
по
уравнению

(3.6)

где
a
и b—
величины,
зависящие от физических свойств газа
и постоянные для данного газа.

При
пользовании таблицами значения истинных
теплоемкостей, а также средних
теплоемкостей в пределах от 0°С до
t°С
берутся непосредственно из таблиц,
причем в необходимых случаях проводится
интерполирование.

Количество
теплоты, которое необходимо затратить
для нагревания или охлаждения рабочих
тел определяются из соотношений

а)
для 1 кг

(3.7)

для
m
кг

(3.8)

б)
для 1 нормального кубического метра
газа

;
(3.9)

для
объема V_o
в м³

(3.10)

В
зависимости от условий, при которых
протекают нагревание (охлаждение) газа
(V-
const
, p-
const
) в формулах 3.6…З.10 ставятся соответствующие
значения теплоемкости.

Теплоемкость
смеси идеальных газов

массовая

; (3.11)

объемная

(3.12)

Задачи

Задача
3.1.
Вычислить количество теплоты необходимой
на нагревание
при постоянном
давлении р=100 кПа ,60 м³
воздуха от 10° до 500°С. Задачу решить в
трех вариантах:

а)
считая зависимость теплоемкости от
температуры криволиней­ной;

б)
пользуясь формулой линейной зависимости
средней теплоемкос­ти воздуха от
температуры;

в)
полагая, что теплоемкость не зависит
от температуры.

Решение.
Количество теплоты, необходимое на
нагревание воздуха, исходя из криволинейной
зависимости теплоемкости от температуры
определяем по следующей формуле,
полученной на основании уравнений
(3.7)и(3.8)

.

Если
использовать при решении задачи объемные
теплоемкости, то нужно найти объем
воздуха при нормальных условиях
(Р0=101325 Па и Т0=273,15 К). Можно определить
массу воздуха и применить массовые
теплоемкости.

Определяем
массу воздуха по уравнению

Из
приложения 1 выбираем средние изобарные
массовые теплоемкости от 0 до 10 и от 0 до
500°С.

В
случае линейной зависимости теплоемкости
от температуры формула для определения
количества теплоты будет выглядеть

а
при постоянной теплоемкости

Во
второй случае использовали уравнения
(3.6), (3.8) и приложение 2, а в третьем- (3.1),
(3.8) и таблицу 3.1.

Задача
3.2.
В котел-утилизатор поступают дымовые
газы с температурой 1200°С следующего
объемного состава: СО₂=12%;
О₂=6%,N=74%;
пары воды H₂O=8%
при давлении 200 кПа. Определить количество
подаваемой теплоты нагреваемой воде,
если температура газов при выходе из
котла 200°С, к.п.д котла – 70% и расход
дымовых газов 10 м
³/ч

Решение.
Определяем количество теплоты, отведенной
от дымовых газов по уравнению

где
V_o
— объём
газовой смеси при нормальных условиях;

—
объемные доли отдельных компонентов
дымовых газов.

Из
уравнения состояния для m
кг идеального газа необходим объем
дымовых газов при нормальных условиях

Среднюю
теплоемкость газов, входящих в состав
дымовых газов берем из приложения 1

Задача
3.3.
Вычислить количество теплоты, удаляемое
из птичника с отсасываемым воздухом,
если температура внутри помещения 16,а
наружного — 0°С. Объемная подача вентилятора
20 тыс. стандартных м³/ч.

Задача
3.4.
В конденсатор холодильной установки с
водяным охлаждением поступает газообразный
аммиак давлением р =1,05 MПa
и температурной 122°С,
охлаждается
до t=27°C.
Объемный расход аммиака V
t=0_,04
м³/с.
Вода в конденсаторе нагревается на 6⁰С.
Определить количество отведенной
теплоты и массовый расход воды на
охлаждение конденсатора. Зависимость
теплоемкости от температуры не учитывать.

Задача
3.5.
В баллоне объемом 60л находится кислород
при давлении 5 МПа и температуре 20°С.
Какое количество тепла подведено,
к
кислороду, если его температура повысилась
до 150°С.
Какое
давление установится при этом в сосуде?
Зависимость теплоемкости от температуры.
принять криволинейной.

Задача
3.6.
В воздухоподогревателе котельного
агрегата дутьевой воздух нагревается
дымовыми газами, от 20 до 200°С. При этом
температура, дымовых газов понижается
от 350 до 160°С. Объемный состав дымовых
газов: СО₂=12%;
О₂=6%,N=74%,
H₂O=8%.
Определить соотношение расходов воздуха
и дымовых газов. Зависимость теплоем­кости
газов и воздух от температуры считать
прямолинейной.

Задача
3.7.
Определить среднюю мольную, объемную
и весовую теплоемкости в процессах
постоянного давления и постоянного
объема в интервале температур от 0 до
1300°C для смеси газов, имеющий следующий
объемный состав: 8%
;
2%и 85%;
5%.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Роберт Майер является одним из основоположников первого начала термодинамики и механической теории теплоты. В 1842 году он вычислил механический эквивалент теплоты, показывающий соотношение между теплотой и работой или механической энергией.

Уравнение Майера — какие процессы описывает

Уравнение Майера описывает соотношение теплоемкостей 1 моля идеального газа при его постоянном давлении (C_p) и неизменном объеме (C_V:)

(C_p-C_v=R,) где

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

(C_p)— постоянное давление газа;

(C_V) — постоянный объем газа;

R — универсальная газовая постоянная, равная:

R = 8,314 (Дж/(моль*Л).)

Идеальный газ состоит из молекул, взаимодействие между которыми пренебрежимо мало.

Моль — величина, описывающая количество вещества, которое содержит в себе количество частиц, равное постоянной Авогадро (Na):

(Na = 6,022cdot10^{23};моль^{-1})

Понятие теплоемкости

Теплоемкость С — количество тепла, которое нужно передать телу, чтобы повысить его температуру на 1 градус:

(С=d’Q/dT), где 

С — удельная теплоемкость;

d’Q — теплота;

dT — температура, [К].

Величина С зависит от процесса, и без него данная формула не имеет смысла. То есть она является функцией.

Теплоемкость называется удельной, когда в системе используется тело с массой в 1 кг.

В зависимости от количественной единицы вещества теплоемкость делится на три вида:

1. Мольная — (C_mu), [Дж/кмоль·К].
2. Массовая — С, [Дж/кг·К].
3. Объемная — С´, [Дж/м3·К].

Величина С зависит от температуры линейно и нелинейно.

В простейших инженерных расчетах может приниматься либо постоянная зависимость теплоемкости от температуры, либо принимают, что теплоемкость не меняется с ее изменением. Тогда ее не учитывают, но расчет получается приблизительным.

В варианте с линейной зависимостью с возрастанием температуры возрастает и величина С.

С возрастанием температуры необходимо больше подводить теплоты к газу, чтобы повысить температуру и теплоемкость на равный интервал. Теплота (q_2) будет больше, чем теплота (q_1.)

В данном интервале температур (t_1-t_2, t_3-t_4,t_n-t_{n+1}) рассчитывают среднюю теплоемкость:

(overline C=frac{q_1}{t_2-t_1}=frac{q_2}{t_4-t_3}), где

(overline C) — средняя теплоемкость, рассчитанная для интервала температур.

Формула для расчета линейной зависимости теплоемкости от температуры:

 C=a+b·t,

где a, b — постоянные коэффициенты для конкретного газа,

t — данная температура для газа. Разным температурам соответствуют свои коэффициенты.

Для высчитывания средней теплоемкости при изменении температур от (t_1) до (t_2) (например, от 100⁰С до 160⁰С), пользуются соотношением:

( overline C=a+bfrac{t_1+t_2}2.)

Постоянные коэффициенты для конкретных газов в известных условиях приведены в справочных таблицах.

При нелинейной зависимости теплоемкость и температура могут возрастать различными интервалами. Для расчета нелинейной зависимости С от t применяют формулу:

( overline{C_{t_1}^{t_2}}=frac{C_0^{t_2}cdot t_2-C_0^{t_1}cdot t_1}{t_2-t_1})

( C_0) — начальные теплоемкости при некой температуре. Их можно найти в справочных таблицах «Средняя объемная теплоемкость газов при постоянном давлении».

Формула Майера для теплоемкостей, вывод из первого закона термодинамики

Формула Майера для теплоемкостей

Теплоемкости при постоянном давлении и при постоянном объеме обозначают следующим образом:

• (C_p) и (C_v) — массовые;
• (C’_p) и (C’_v) — объемные;
• (C_{pmu}) и (C_{vmu}) — мольные.

Уравнение Майера для массовых теплоемкостей имеет вид:

( C_p-C_v=R.)

Формулы для расчета этих теплоемкостей следующие:

(C_v=frac R{k-1}; C_p=frac{Rcdot k}{k-1}.)

Для выведения газовой постоянной (R_mu) и формулы Майера для мольных теплоемкостей необходимо все части уравнения умножить на молярную массу:

( mucdot C_p-mucdot C_v=R_mu.)

 Для расчета теплоемкости не отдельных газов, а их смеси, применяют формулу для определения массовой теплоемкости газовой смеси, которая рассчитывается как сумма произведений массовых долей компонента, умноженная на массовую теплоемкость данного компонента:

(C_{см}=sum_{i=1}^nleft(g_icdot C_iright))

Мольная теплоемкость смеси рассчитывается как сумма произведений объемных долей, умноженная на (C_mu) этого компонента:

(C_{mucdot см}=sum_{i=1}^nleft(r_icdot C_{mucdot i}right).)

Понятие термодинамики, вывод формулы Майера из первого закона термодинамики

Термодинамика — общая теория теплоты. Она является постулатной наукой, то есть не рассматривает строение системы или вещества и физическую природу теплоты, но использует понятия и физические величины, относящиеся к системе в целом.

Термодинамика изучает макросистемы, состояние которых характеризуют термодинамические параметры: давление, объем, температура и т.д.

Формулировка первого закона термодинамики: при переходе из начального состояния 1 в конечное состояние 2 внутренняя энергия макросистемы складывается из работы, совершенной над системой внешними макроскопическими силами, и из тепла, переданного системе:

( U_2-U_1=Q+A’.)

Как правило, для расчетов используют ту работу А, которую совершила сама система над внешними телами, а не работу, проведенную по отношению к системе.

Вывод уравнения первого начала термодинамики производится с учетом того, что (A’=-A:)

(Q=triangle U+A), где

( triangle U=U_2-U_1.)

Первое начало термодинамики выражается этим правилом: количество теплоты Q, подведенное к макросистеме, идет на совершение системой работы A и изменение ее внутренней энергии (triangle U.)

Для вывода уравнения Майера из первого закона термодинамики учитывают уравнения:

(left(frac{partial U}{partial V_t}right)=0; {left(frac{partial V}{partial t}right)}_p=frac RP.)

Тогда уравнение Майера и количественное выражение первого закона термодинамики будет следующим:

(delta Q=C_vdt+PdV.)

Данное уравнение справедливо для газа, у которого (C_p) и (C_v = const)., и для газа, у которого (C_p=C_p(t)) и (C_p=C_v(t).)

Как записывается соотношение для молярных и массовых теплоемкостей

Опираясь на формулу теплоемкости (C=frac{delta Q}{dT}) и учитывая, что количество вещества Z (количество молей), содержащееся в теле, влияет на его теплоемкость, запишем соотношение для молярных теплоемкостей:

(C_m=frac CZ.)

Задачи на определение теплоемкостей

При расчете удельных теплоемкостей необходимо учитывать отличия между реальными и идеальными газами:

1. На теплоемкость идеальных газов влияет не только температура, но и количество в них атомов, и характер процесса. То есть она будет разной, в зависимости от того, сколько атомов имеет тот или иной идеальный газ.
2. На теплоемкость реальных газов влияют не только температура, давление и характер процесса, но и их природные свойства. 

Теплоемкость принимают в большей степени для идеальных газов, поскольку в основном расчет и ориентация идут на них.

Примеры задач и их решение

Задача 1

Условия:

Один моль идеального газа нагрели. Давление стало пропорционально его объему:

(p=alpha V,)

где α — постоянная.

Найти теплоемкость газа.

Решение:

Помня о том, что газ при разных способах нагревания совершает разную работу, делаем вывод, что теплоемкость будет различной и при разных температурах.

Используя первое начало термодинамики для теплоемкости идеального газа:

( triangle Q=triangle U+triangle A), (1)

получим:

(C=C_v+frac{triangle A}{triangle T}.) (2)

Чтобы найти теплоемкость С необходимо определить работу ∆А, которую совершает газ в рассматриваемом процессе при нагревании его на ∆T.

Совершаемая газом работа ∆А при расширении в условиях постоянного давления вычисляется по формуле:

(triangle A=ptriangle V.) (3)

В условиях, когда давление не остается постоянным, для вычисления работы ∆A необходимо ∆V выбрать настолько малым, чтобы изменением давления газа при расширении можно было бы им пренебречь.

Для этого применим уравнение состояния:

(pV=RT.) (4)

Пусть при изменении температуры газа на ∆T его объем изменился на ∆V, а давление — на ∆p.

Уравнение (left(p+triangle pright)(V+triangle V)=R(T+triangle T)) (5) связывает эти изменения.

Вычитаем выражения (4) и (5) и пренебрегаем (triangle ptriangle V), получаем:

( ptriangle V=Vtriangle p=Rtriangle T) (6).

Возьмем во внимание формулу (1) и учтем, что в данном процессе давление газа пропорционально его объему. Получим:

( Vtriangle p=alpha Vtriangle V=ptriangle V) (7).

Подставляем V∆p из выражения (6) и (7), найдем

( triangle A=ptriangle V=frac12Rtriangle T).

С помощью формулы (2) найдем теплоемкость газа в этом процессе:

( C=C_v+frac R2.)

Поскольку (C_v) и (C_p) связаны, представим теплоемкость и получим ответ:

(C=frac12left(C_v+C_pright).)

Задача 2

Условия:

Имеется цилиндр, у которого стенки AC, BD, крышка CD и поршень MN не проводят тепло. Дно AB проводит тепло. Поршень движется в цилиндре без трения. Сверху и снизу поршня присутствует по одному молю идеального газа с показателем адиабаты γ. Молярная теплоемкость газа Cv постоянна по объему. При квазистатическом изменении температуры первого газа поршень начинает перемещение.

Выразите теплоемкость первого газа (C_1) при таком процессе через объемы газов (V_1) и (V_2). Чему равна теплоемкость второго газа (C_2?)

Решение:

Элементарное количество тепла, получаемое первым газом:

(delta Q=C_vdT_1+P_1dV_1=C_vdT_1+RT_1dV_1/V_1.)

А вторым газом — (delta Q_2=0.)

Поэтому (C_2=0) и (C_vdT_2+RT_2dV_2/V_2=0.)

Из равенства давлений (P_1) и (P_2) следует:

(V_1/V_2=T_1/T_2,)

откуда (dV_1/V_1+dV_2/V_1=dT_1/T_1-dT_2/T_2.)

Так как объем системы не изменяется, то

(dV_1+dV_2=0.)

Исключая (dV_2) и (dT_2), получим:(left(frac1{v_1}+frac1{v_2}+frac R{C_v}frac1{v_2}right)dV_1=frac{dT_1}{T_1}. ) Используя также уравнение Майера (C_p-C_v=R), найдем

(delta Q_1=left(C_v+Rfrac{V_2}{V_2+gamma V_1}right)dT_1.)

Следовательно:

(C_1=C_v+frac{V_2}{V_2+gamma V_1}R=frac{V_1+V_2}{V_2+gamma V_1}gamma Cv..)

При (V_1=V_2)

(C_1=2gamma C_v/left(gamma+1right).)

Задача 3

Условия:

Определите удельную теплоемкость кислорода при постоянном объеме. Газ нагрет до очень высокой температуры, приблизительно до нескольких килоэлектрон-вольт.

Решение:

(C_v=frac{27}{32}R=1,68;кал/(гcdot К)approx7,0;Дж/(гcdot К).)

Задача 4

Условие:

Посчитайте по классической теории удельной теплоемкости при постоянном давлении газа следующего молярного состава:

He — 20 %, H2 — 30 %, CH4 — 50 %.

Молярный состав — количество молей данного газа по отношению к общему числу молей газовой смеси.

Решение:

( C_p=frac{71}{188}Rapprox0,75;кал/(гcdot К)approx3,14;Дж/(гcdot К))

Задача 5

Условие:

Найдите полярную теплоемкость водорода (C_v). Коэффициент диссоциации α = 0,25. Молярная теплоемкость атомарного водорода (C_{v1} = 2,94) (кал/(моль·⁰С)). (C_{v2})молекулярного водорода (= 4,9) (кал/(моль·⁰С).)

Решение:

( C_v=(2C_{v1}-C_{v2})alpha+C_{v2}=5,15;кал/(мольcdot К)approx21,5;Дж/(мольcdot К).)