Как найти тангенс суммы двух углов

Формулы  тангенса  суммы  и  разности  углов устанавливают соотношение между тангенсом  общей  суммы  или  разности  аргументов и тангенсами  отдельных  аргументов — слагаемых.

При всех допустимых значениях аргументов справедливы формулы:

  

 тангенса  суммы  аргументов:          

tg(α+β)=tgα+tgβ1−tgα⋅tgβ

;  (1)

  

 тангенса  разности  аргументов:      

tg(α−β)=tgα−tgβ1+tgα⋅tgβ

.  (2)

Оговорка о допустимых значениях аргументов означает, что все тангенсы имеют смысл, т. е. выполняются условия:

α+β≠π2+πm,m∈ℤ

,  для формулы (1), 

α−β≠π2+πm,m∈ℤ

,  для формулы (2).

Эти формулы очень важны и широко применяются не только в математике, но и в физике — особенно в радиотехнике.  

Вывод формул естественным образом получается из определения функции  тангенса и использования уже известных формул синуса  и  косинуса  суммы  и  разности  аргументов.  

Докажем формулу тангенса  суммы  аргументов. Имеем:

 tg(α+β)=sin(α+β)cos(α+β)=sinα⋅cosβ+cosα⋅sinβcosα⋅cosβ−sinα⋅sinβ

.

Разделим каждое из слагаемых числителя и знаменателя на 

cosα⋅cosβ

,

учитывая, что значение дроби от этого не изменится и что

cosα⋅cosβ≠0

 из принятых выше условий

для допустимых значений аргументов, т. е.

α≠π2+πk,β≠π2+πnk,n∈ℤ

. Тогда:

tg(α+β)=sin(α+β)cos(α+β)=sinα⋅cosβ+cosα⋅sinβcosα⋅cosβ−sinα⋅sinβ=sinα⋅cosβcosα⋅cosβ+cosα⋅sinβcosα⋅cosβcosα⋅cosβcosα⋅cosβ−sinα⋅sinβcosα⋅cosβ=tgα+tgβ1−tgα⋅tgβ

— что и требовалось доказать.

Аналогично доказывается формула тангенса  разности  аргументов:

tg(α−β)=sin(α−β)cos(α−β)=sinα⋅cosβ−cosα⋅sinβcosα⋅cosβ+sinα⋅sinβ=sinα⋅cosβcosα⋅cosβ−cosα⋅sinβcosα⋅cosβcosα⋅cosβcosα⋅cosβ+sinα⋅sinβcosα⋅cosβ=tgα−tgβ1+tgα⋅tgβ.

Источник

Содержание:

Известные значения синуса, косинуса, тангенса углов можно использовать для вычисления значений синуса, косинуса, тангенса других углов.

Угол Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Выведем формулу Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения — синуса суммы двух углов. Рассмотрим случай, когда Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения — острые углы в треугольнике Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения (рис. 115). Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Выразим площадь треугольника Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения дважды:

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Треугольник Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения — прямоугольный, тогда Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения Из прямоугольного треугольника Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения имеем: Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения и Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения Тогда

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Приравняем правые части равенств (1) и (2):

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Разделим обе части равенства на Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения и получим формулу синуса суммы двух углов:

  • Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Если углы Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения не являются острыми, то можно воспользоваться свойством периодичности синуса и формулами приведения.

Например, если Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения являются углами второй четверти, то Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения — острые углы.

Применим к ним выведенную для острых углов формулу синуса суммы: 

  • Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Воспользуемся формулами приведения в левой части равенства (3) и получим: Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Применим формулы приведения к правой части равенства (3): Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решенияСинус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Таким образом,

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения — формула синуса суммы двух углов.

Остальные случаи принадлежности углов различным четвертям рассматриваются аналогично предыдущему.

Синус суммы

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Воспользуемся полученной формулой Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Выведем формулу синуса разности двух углов.

Для этого Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения представим в виде Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения и применим формулу синуса суммы двух углов:

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Получили формулу синуса разности двух углов:

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Синус разности

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Вычислим, например, Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Для вывода формулы косинуса суммы двух углов воспользуемся формулами приведения и получим: Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Тогда по формуле синуса разности двух углов имеем:

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Получили формулу косинуса суммы двух углов:

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Косинус суммы

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Применим полученную формулу и вычислим, например, Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Представив разность Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения в виде суммы Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения  можно получить формулу косинуса разности двух углов: Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Косинус разности

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения Найдем, например, Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Пример №1

Вычислите:

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения  

Решение:

Применим полученные формулы «справа налево»: Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения Выведем формулы тангенса суммы и тангенса разности двух углов.

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения Разделим числитель и знаменатель дроби на Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решенияСинус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения тогда:

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Таким образом, получили формулу тангенса суммы двух углов:

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Воспользуемся формулой тангенса суммы и вычислим, например, Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Тангенс суммы

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения Представив разность Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения в виде суммы Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения можно получить формулу тангенса разности двух углов:

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения Найдем, например, Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решенияСинус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Тангенс разности

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения  

Пример №2

Вычислите:

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения  

Решение:

Применим формулы тангенса суммы и тангенса разности «справа налево»:

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Полученные формулы синуса суммы, синуса разности, косинуса суммы, косинуса разности, тангенса суммы, тангенса разности двух углов называют формулами сложения.

Примеры заданий и их решения

Пример №3

С помощью формул сложения преобразуйте выражение: 

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Решение:

а) По формуле синуса разности получим:

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

б) Применим формулу тангенса суммы:

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Пример №4

Найдите значение выражения:

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Решение:

а) По формуле синуса суммы получим: 

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

б)    По формулам приведения получим, что Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения 

Тогда Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решенияСинус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решенияВоспользуемся формулой косинуса разности и получим: 

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

в)    По формулам приведения Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Тогда Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

По формуле тангенса разности:

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Пример №5

Вычислите:

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Решение:

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решенияСинус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

б) По формулам приведения: Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

По формуле тангенса разности получим:

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Таким образом, Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

  • Заказать решение задач по высшей математике

Пример №6

Упростите выражение:

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Решение:

а) Воспользуемся нечетностью синуса и формулой косинуса разности:

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

б)    Применим формулу косинуса разности и получим: Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Пример №7

Решите уравнение Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Решение:

Запишем уравнение в виде Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения и по формуле синуса разности получим: Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решенияСинус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Ответ:  Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Пример №8

Вычислите Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения если Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Решение:

Применим формулу косинуса разности:

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Из основного тригонометрического тождества выразим Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решенияСинус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения и найдем Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения Так как Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения то Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решенияСинус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения  Значит, Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения или Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения Поскольку Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения т. е. Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения угол второй четверти, то Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения Тогда

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Пример №9

Докажите тождество Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Решение:

Воспользуемся формулами сложения и получим:

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Пример №10

Найдите значение выражения:

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Решение:

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решенияСинус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения  9.

Пример №11

Найдите множество значений функции

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Решение:

Применим формулу синуса разности и запишем функцию в виде Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Так как Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения  Таким образом, имеем: Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

  • Формулы двойного аргумента
  • Формулы преобразования суммы и разности синусов (косинусов) в произведение
  • Корень n-й степени из числа и его свойства
  • Свойства и график функции y=ⁿ√x (n>1, n∈N) 
  • Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа
  • Тригонометрические уравнения
  • Тригонометрические неравенства
  • Формулы приведения
Источник

Тангенс суммы и разности двух углов

Формулы для выражения синуса и косинуса суммы (разности) двух углов через синусы и косинусы этих углов позволяют получить соответствующие формулы для тангенса и котангенса.

Действительно,

Предположим, что cos α  и cos β  отличны от нуля (это равносильно тому, что tg α и  tg β определены). Тогда,   разделив числитель и знаменатель последней дроби   на  cos α • cos β,   получим.

Итак, если тангенсы углов α , β и α + β определены, то

Тангенс суммы двух углов равен сумме тангенсов этих углов, деленной на единицу минус произведение тангенсов этих углов.

Пример.

Заменяя в формуле (1) β на (—β ) и учитывая,   что функция у = tg х является нечетной, получаем:

Тангенс разности двух углов равен разности тангенсов этих углов, деленной на единицу плюс произведение тангенсов этих углов.

Пример 1.

Пример 2.

Пусть прямая у = k1x образует с осью абсцисс угол α , а прямая у = k2x —  угол β 

Тогда угол φ между этими прямыми будет равен φ =  β — α .

Предположим, что рассматриваемые прямые не перпендикулярны друг другу.  Тогда тангенс   угла  φ существует  и   равен

Ho tg  α = k1  tg β  = k2. Следовательно,

Так, угол между прямыми   у = x/2   (k1 = 1/2)  и  у =3x   ( k2= 3) определяется из условия

Поэтому φ = π/4 .

Формулы для котангенса суммы и разности двух углов можно получить аналогично. Однако на практике эти формулы используются очень редко, и поэтому приводить их мы не будем.

Упражнения

1.   Найти tg 105°, представив 105° в виде суммы 60° + 45°.

2.   Вычислить:

3. Найти tg (α + β) и tg (α — β), если sin α =0,6;  cos β = —12/13

π/2 < α < π  ;  π < β < 3π/2

4.   Найти tg (α + β) и tg (α — β), если sin α = —4/5;  cos β = 5/13 причем оба угла  (α и β)  оканчиваются в одной и той же четверти.

5.Вычислить :

а).   tg (arctg 2 + arctg 3).

б).  tg (arсsin 1/3 + arccos 2/3 ).

6.Найти угол между, данными прямыми :

а).  у = х и  у = 2/3  х + 6.

б).  3х — 2у = 6 и 2х + 3у — 7 = 0.

7.  Доказать,   что   прямые  у = k1х+ b1   и   у = k2x + b2  перпендикулярны тогда и только тогда, когда k1k2 = — 1.

Источник

п.1. Тангенс и котангенс суммы

Для вывода формул тангенса и котангенса суммы используем формулы синуса и косинуса суммы, полученные в §13 данного справочника.

begin{gather*} tg(alpha+beta)=frac{sin(alpha+beta)}{cos(alpha+beta)}=frac{sinalpha cosbeta+cosalpha sinbeta}{cosalpha cosbeta-sinalpha sinbeta}=frac{frac{sinalpha cosbeta+cosalpha sinbeta}{cosalpha cosbeta}}{frac{cosalpha cosbeta-sinalpha sinbeta}{cosalpha cosbeta}}=\ =frac{tgalpha+tgbeta}{1-tgalphacdot tgbeta}\ \ ctg(alpha+beta)=frac{cos(alpha+beta)}{sin(alpha+beta)}=frac{cosalpha cosbeta-sinalpha sinbeta}{sinalpha cosbeta+cosalpha sinbeta}= frac{frac{cosalpha cosbeta-sinalpha sinbeta}{sinalpha sinbeta}}{frac{sinalpha cosbeta+cosalpha sinbeta}{sinalpha sinbeta}}=\ =frac{ctgalphacdot ctgbeta-1}{ctgalpha+ ctgbeta} end{gather*}

п.2. Тангенс и котангенс разности

Для вывода формулы тангенса и котангенса разности используем формулы синуса и косинуса разности, полученные в §13 данного справочника. begin{gather*} tg(alpha-beta)=frac{sin(alpha-beta)}{cos(alpha-beta)}=frac{sinalpha cosbeta-cosalpha sinbeta}{cosalpha cosbeta+sinalpha sinbeta}=frac{frac{sinalpha cosbeta-cosalpha sinbeta}{cosalpha cosbeta}}{frac{cosalpha cosbeta+sinalpha sinbeta}{cosalpha cosbeta}}=\ =frac{tgalpha-tgbeta}{1+tgalphacdot tgbeta}\ \ ctg(alpha-beta)=frac{cos(alpha-beta)}{sin(alpha-beta)}=frac{cosalpha cosbeta+sinalpha sinbeta}{sinalpha cosbeta-cosalpha sinbeta}= frac{frac{cosalpha cosbeta+sinalpha sinbeta}{sinalpha sinbeta}}{frac{sinalpha cosbeta-cosalpha sinbeta}{sinalpha sinbeta}}=\ =frac{ctgalphacdot ctgbeta+1}{ctgbeta-ctgalpha}=-frac{ctgalphacdot ctgbeta+1}{ctgalpha-ctgbeta} end{gather*}

begin{gather*} tg(alpha+beta) =frac{tgalpha+tgbeta}{1-tgalphacdot tgbeta}, ctg(alpha+beta) =frac{ctgalphacdot ctgbeta-1}{ctgalpha+ ctgbeta}\ \ tg(alpha-beta) =frac{tgalpha-tgbeta}{1+tgalphacdot tgbeta}, ctg(alpha-beta)=-frac{ctgalphacdot ctgbeta+1}{ctgalpha-ctgbeta} end{gather*}

п.3. Примеры

Пример 1. Вычислите:
a) begin{gather*} frac{tgfrac{pi}{18}+tgfrac{5pi}{18}}{1-tgfrac{pi}{18}cdot tgfrac{5pi}{18}}=tgleft(frac{pi}{18}+frac{5pi}{18}right)=tgfracpi3=sqrt{3} end{gather*}
б) begin{gather*} frac{tg^2 52,5^{circ}cdot tg^2 7,5^{circ}-1}{tg^2 52,5^{circ}-tg^2 7,5^{circ}}=frac{(tg 52,5^{circ}cdot tg 7,5^{circ}-1)(tg 52,5^{circ}cdot 7,5^{circ} +1)}{(tg 52,5^{circ} -tg7,5^{circ})(tg52,5^{circ}+tg7,5^{circ})}=\ =frac{tg52,5^{circ}cdot 7,5^{circ}-1}{tg 52,5^{circ}+tg 7,5^{circ}}cdotfrac{tg52,5^{circ}cdot tg7,5^{circ}+1}{tg52,5^{circ}-tg7,5^{circ}}=-frac{1}{tg(52,5^{circ}+7,5^{circ})}cdotfrac{1}{tg(52,5^{circ}-7,5^{circ})}=\ =-frac{1}{tg60^{circ}}cdotfrac{1}{tg 45^{circ}}=-ctg60^{circ}cdot 1=-frac{1}{sqrt{3}} end{gather*}
в) begin{gather*} tgleft(fracpi4-alpharight)-frac{ctgalpha-1}{ctgalpha+1}=frac{tgfracpi4-tgalpha}{1+tgfracpi4cdot tgalpha}-frac{(ctgalpha-1)cdot tgalpha}{(ctgalpha+1)cdot tgalpha}=\ =frac{1-tgalpha}{1+tgalpha}-frac{1-tgalpha}{1+tgalpha}=0 end{gather*}
г) begin{gather*} frac{sin(alpha-beta)}{sin(alpha+beta)}-frac{tgalpha-tgbeta}{tgalpha+tgbeta}=frac{sinalpha cosbeta-cosalpha sinbeta}{sinalpha cosbeta+cosalpha sinbeta}-frac{tgalpha-tgbeta}{tgalpha+tgbeta}=\ =frac{frac{sinalpha cosbeta-cosalpha sinbeta}{cosalpha cosbeta}}{frac{sinalpha cosbeta+cosalpha sinbeta}{cosalpha cosbeta}}-frac{tgalpha-tgbeta}{tgalpha+tgbeta}=frac{tgalpha-tgbeta}{tgalpha+tgbeta}-frac{tgalpha-tgbeta}{tgalpha+tgbeta}=0 end{gather*}

Пример 2.Упростите выражение:
a) begin{gather*} ctg(beta-alpha)(tgalpha-tgbeta)+tgalpha tgbeta+cos^2gamma=frac{tgalpha-tgbeta}{tg(beta-alpha)}+tgalpha tgbeta+cos^2gamma=\ =frac{(tgalpha-tgbeta)(1+tgalpha tgbeta)}{(tgbeta-tgalpha)}+tgalpha tgbeta+cos^2gamma=\ =-(1+tgalpha tgbeta)+tgalpha tgbeta+cos^2gamma=-1+cos^2gamma=-sin^2gamma end{gather*} Ответ: (-sin^2gamma)
б) begin{gather*} cos(alpha+beta)(1+tgalpha tgbeta)+(tgalpha tgbeta-1)cos(alpha-beta)=\ =(cosalpha cosbeta-sinalpha sinbeta)(1+tgalpha tgbeta)+(cosalpha cosbeta+sinalpha sinbeta)(tgalpha tgbeta-1)=\ =(cosalpha cosbeta-sinalpha sinbeta-cosalpha cosbeta-sinalpha sinbeta)+\ +tgalpha tgbeta(cosalpha cosbeta-sinalpha sinbeta+cosalpha cosbeta+sinalpha sinbeta)=\ =-2sinalpha sinbeta+2tgalpha tgbeta cosalpha cosbeta=-2sinalpha sinbeta+2sinalpha sinbeta=0 end{gather*} Ответ: 0
в) $$ tg^2beta-frac{sin^2(alpha+beta)+sin^2(beta-alpha)}{2cos^2alpha cos^2beta}=tg^2beta-frac{sin^2(alpha+beta)+sin^2(alpha-beta)}{2cos^2alpha cos^2beta} $$ Найдём: begin{gather*} sin^2(alpha+beta)+sin^2(alpha-beta)=(sinalpha cosbeta+cosalpha sinbeta)^2+(sinalpha cosbeta-cosalpha sinbeta)^2=\ =(sinalpha cosbeta)^2+2sinalpha cosbeta cosalpha sinbeta+(cosalpha sinbeta)^2+\ +(sinalpha cosbeta)^2-2sinalpha cosbeta cosalpha sinbeta+(cosalpha sinbeta)^2=\ 2((sinalpha cosbeta)^2+(cosalpha sinbeta)^2) end{gather*} Подставляем: begin{gather*} tg^2beta-frac{2((sinalpha cosbeta)^2+(cosalpha sinbeta)^2)}{2cos^2alpha cos^2beta}=tg^2beta-left(frac{sinalpha}{cosalpha}right)^2-left(frac{sinbeta}{cosbeta}right)=\ =tg^2beta-tg^2alpha-tg^2beta=-tg^2alpha end{gather*} Ответ: (-tg^2alpha)
г*) (tgalpha tgbeta+tgbeta tggamma+tggamma tgalpha), если (alpha+beta+gamma=fracpi2)
По условию (gamma=fracpi2-(alpha+beta)). Подставляем: begin{gather*} tgalpha tgbeta+tgbeta tgleft(fracpi2-(alpha+beta)right)+tgleft(fracpi2-(alpha+beta)right)tgalpha=\ =tgalpha tgbeta+ctg(alpha+beta)cdot (tgalpha+tgbeta)=tgalpha tgbeta+frac{tgalpha+tgbeta}{tg(alpha+beta)}=\ =tgalpha tgbeta+frac{(tgalpha+tgbeta)(1-tgalpha tgbeta)}{tgalpha+tgbeta}=tgalpha tgbeta+1-tgalpha tgbeta=1 end{gather*} Ответ: 1

Пример 3.Докажите, что (alpha+beta=fracpi4), если (tgalpha=frac25, tgbeta=frac37, 0ltalphaltfracpi2, 0ltbetaltfracpi2)

Найдем тангенс суммы: begin{gather*} tg(alpha+beta)=frac{tgalpha+tgbeta}{1-tgalphacdot tgbeta}=frac{frac25+frac37}{1-frac25cdotfrac37}=frac{frac{14+15}{35}}{frac{35-6}{35}}=frac{29}{29}=1\ alpha+beta=fracpi4+pi k end{gather*} По условию: begin{gather*} begin{cases} 0ltalphaltfracpi2\ 0ltbetaltfracpi2 end{cases} Rightarrow 0ltalpha+betaltpi\ 0ltfracpi4+pi klt piRightarrow k = 0 end{gather*} Значит: (alpha+beta=fracpi4)
Что и требовалось доказать.

Источник

Основные тригонометрические формулы

Содержание

Справочник по математике для школьников тригонометрия связи между тригонометрическими функциямиСвязи между тригонометрическими функциями одного угла
Справочник по математике для школьников тригонометрия тригонометрические функции суммы и разности двух угловТригонометрические функции суммы и разности двух углов
Справочник по математике для школьников тригонометрия тригонометрические функции двойного углаТригонометрические функции двойного угла
Справочник по математике для школьников тригонометрия формулы понижения степени для квадратов тригонометрических функцийФормулы понижения степени для квадратов тригонометрических функций
Справочник по математике для школьников тригонометрия формулы понижения степени для кубов синуса и косинусаФормулы понижения степени для кубов синуса и косинуса
Справочник по математике для школьников тригонометрия выражение тангенса угла через синус и косинус двойного углаВыражение тангенса угла через синус и косинус двойного угла
Справочник по математике для школьников тригонометрия преобразование суммы тригонометрических функций в произведениеПреобразование суммы тригонометрических функций в произведение
Справочник по математике для школьников тригонометрия преобразование произведения тригонометрических функций в суммуПреобразование произведения тригонометрических функций в сумму
Справочник по математике для школьников тригонометрия выражение тригонометрических функций через тангенс половинного углаВыражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла
Справочник по математике для школьников тригонометрия тригонометрические функции тройного углаТригонометрические функции тройного угла

тригонометрические формулы синус косинус суммы углов разности углов синус косинус двойного тройного углов синус косинус тангенс через тангенс половинного угла

Связи между тригонометрическими функциями одного угла

Тригонометрические функции суммы и разности двух углов

Тригонометрические функции двойного угла

Формула Название формулы
sin 2α = 2 sin α cos α Синус двойного угла

cos 2α = cos 2α – sin2α

cos 2α = 2cos 2α – 1

cos 2α = 1 – 2sin 2α

 Косинус двойного угла
Основные тригонометрические формулы тригонометрические функции двойного угла Тангенс двойного угла
Синус двойного угла
sin 2α = 2 sin α cos α
Косинус двойного угла

cos 2α = cos 2α – sin2α

cos 2α = 2cos 2α – 1

cos 2α = 1 – 2sin 2α
Тангенс двойного угла
Основные тригонометрические формулы тригонометрические функции двойного угла

Формулы понижения степени для квадратов тригонометрических функций

Формула Название формулы
Основные тригонометрические формулы формулы понижения степени для квадратов тригонометрических функций

Выражение квадрата синуса через косинус двойного угла
Основные тригонометрические формулы формулы понижения степени для квадратов тригонометрических функций

Выражение квадрата косинуса через косинус двойного угла
Основные тригонометрические формулы формулы понижения степени для квадратов тригонометрических функций

Выражение квадрата тангенса через косинус двойного угла

Формулы понижения степени для кубов синуса и косинуса

Формула Название формулы
Основные тригонометрические формулы формулы понижения степени для кубов синуса и косинуса

Выражение куба синуса через синус угла и синус тройного угла
Основные тригонометрические формулы формулы понижения степени для кубов синуса и косинуса

Выражение куба косинуса через косинус угла и косинус тройного угла

Выражение куба синуса через синус угла и синус тройного угла
Основные тригонометрические формулы формулы понижения степени для кубов синуса и косинуса

Выражение куба косинуса через косинус угла и косинус тройного угла
Основные тригонометрические формулы формулы понижения степени для кубов синуса и косинуса

Выражение тангенса через синус и косинус двойного угла

Основные тригонометрические формулы выражение тангенса через синус и косинус двойного угла

Основные тригонометрические формулы выражение тангенса через синус и косинус двойного угла

Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение

Сумма синусов

Основные тригонометрические формулы преобразование суммы тригонометрических функций в произведение

Основные тригонометрические формулы преобразование суммы тригонометрических функций в произведение
Разность синусов

Основные тригонометрические формулы преобразование суммы тригонометрических функций в произведение

Основные тригонометрические формулы преобразование суммы тригонометрических функций в произведение
Сумма косинусов

Основные тригонометрические формулы преобразование суммы тригонометрических функций в произведение

Основные тригонометрические формулы преобразование суммы тригонометрических функций в произведение
Разность косинусов

Основные тригонометрические формулы преобразование суммы тригонометрических функций в произведение

Основные тригонометрические формулы преобразование суммы тригонометрических функций в произведение
Сумма тангенсов
Основные тригонометрические формулы преобразование суммы тригонометрических функций в произведение
Разность тангенсов
Основные тригонометрические формулы преобразование суммы тригонометрических функций в произведение

Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

Произведение синусов

Основные тригонометрические формулы преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

Основные тригонометрические формулы преобразование произведения тригонометрических функций в сумму
Произведение косинусов

Основные тригонометрические формулы преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

Основные тригонометрические формулы преобразование произведения тригонометрических функций в сумму
Произведение синуса и косинуса

Основные тригонометрические формулы преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

Основные тригонометрические формулы преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла

Формула Название формулы
Основные тригонометрические формулы выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла

Выражение синуса угла через тангенс половинного угла
Основные тригонометрические формулы выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла

Выражение косинуса угла через тангенс половинного угла
Основные тригонометрические формулы выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла

Выражение тангенса угла через тангенс половинного угла

Тригонометрические функции тройного угла

Формула Название формулы
sin 3α = 3sin α – 4sin3α Синус тройного угла
cos 3α = 4cos3α –3cos α Косинус тройного угла
Основные тригонометрические формулы тригонометрические функции тройного угла Тангенс тройного угла
Синус тройного угла
sin 3α = 3sin α – 4sin3α
Косинус тройного угла
cos 3α = 4cos3α –3cos α
Тангенс тройного угла
Основные тригонометрические формулы тригонометрические функции тройного угла
Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:

Не пропустите также:

  • Как найти ковчег завета
  • Как найти пик виндагнира genshin impact
  • Котел baltgaz ошибка 04 как исправить ошибку
  • Как найти прибыль от реализации материальных ценностей
  • Как найти удельную величину

    • 0 0 голоса
    Рейтинг статьи
    Подписаться
    Уведомить о
    guest

    0 комментариев
    Старые
    Новые Популярные
    Межтекстовые Отзывы
    Посмотреть все комментарии