Как найти сумму всех углов прямоугольного треугольника - Autoru.top

Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Сумма углов прямоугольного треугольника

Определение и формула суммы углов прямоугольного треугольника

Сумма углов прямоугольного треугольника, как и любого другого, равна $180^{circ}$ :

$[alpha +beta +gamma =180^{circ} ]$

Так как в последнем равенстве один из углов прямой, то сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{circ}$ :

$[alpha +beta =90^{circ} ]$

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Источник

Сумма углов прямоугольного треугольника

4.5

Средняя оценка: 4.5

Всего получено оценок: 266.

Обновлено 9 Июля, 2021

4.5

Средняя оценка: 4.5

Всего получено оценок: 266.

Обновлено 9 Июля, 2021

Сумма углов любого треугольника – величина устойчивая. Но прямоугольный треугольник выделяется среди прочих набором специфических свойств. Сумма углов не является исключением, поэтому стоит поговорить об этом свойстве прямоугольных треугольников, чтобы не возникало вопросов в дальнейшем изучении.

Опыт работы учителем математики — более 33 лет.

Треугольник

Несмотря на свою обособленность от прочих фигур, треугольник является таким же многоугольником, как и прямоугольник, квадрат или ромб. Все отличие только в количестве углов. Существует формула, по которой определяется сумма углов любого многоугольника в зависимости от количества сторон, поговорим о ней немного позже.

Итак, треугольник это фигура, имеющая три стороны и три угла. Традиционно, одна из сторон считается основанием, а две другие стороны зовутся боковыми. Обозначение не является принципиальным, поэтому любая из сторон треугольника принимается за условное основание. Такое обозначение нужно только для облегчения понимания чертежа.

Треугольник в математике считается минимально возможно фигурой. Любая из возможных фигур может быть разбита на треугольники. Это свойство иногда используется при решении задач.

Рис. 1. Фигура, разбитая на треугольники

Сумма углов треугольника

Есть два варианта нахождения общей суммы углов треугольника:

Математический анализ. За столь страшными словами кроется обычная простая формула:

180*(n-2)- где n – количество сторон многоугольника.

Второй способ – геометрический. Именно таким образом было в первый раз выведено утверждение о том, что сумма углов треугольника равна 180 градусам. Рассмотрим его подробнее.

Рис. 2. Рисунок к задаче

Пусть треугольник АВС – произвольный треугольник с основанием АС. Тогда построим прямую ВD, проходящую через точку В, параллельно основанию. Тогда получается две параллельные прямые: АС и ВD с двумя секущими АВ и ВС.

Рассмотрим углы при секущих прямых. Сумма трех углов при вершине В будет равна 180 градусам, так как они представляют собой развернутый угол. Тогда внутренние углы треугольника будут равные накрест лежащим наружным углам. То есть сумма углов треугольника равняется градусной мере развернутого угла и равняется 180 градусам.

Важно понимать, что наружные углы нельзя называть внешними углами треугольника, так как внешние углы получаются с помощью продолжения одной из сторон треугольника, а прямая ВD продолжением стороны треугольника не является.

Общая формула суммы углов многоугольника получается с помощью разбиения фигуры на треугольники и подсчета сумм углов получившихся малых фигур.

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник содержит угол в 90 градусов. Такой угол зовут прямым, отсюда и название фигуры. Чему равна сумма углов прямоугольного треугольника? Так же,как и в любом другом треугольнике – 180 градусам. Но если один из углов определен и равен 90 градусам, то можно определить сумму двух оставшихся:

180-90=90 – то есть сумма непрямых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.

Но непрямые углы это нематематическое определение. Может ли в прямоугольном треугольнике еще один угол быть прямым? Если бы такой угол мог существовать, то он был бы равен 90 градусам. То есть оставшийся третий угол:

90-90=0 – и третий угол в этом случае был бы нулевым, что невозможно. Так же, как и невозможно существование тупого угла в прямоугольном треугольнике. Потому что тупой угол всегда больше 90 градусов.

Значит, можно сделать вывод о том, что в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90 градусам.

Рис. 3. Острые углы прямоугольного треугольника

Что мы узнали?

Мы поговорили о формуле суммы углов прямоугольного треугольника. Вывели ее геометрическим способом и определили аналитический способ вывода, который вытекает из геометрического. Рассказали, почему невозможно существование тупоугольного прямоугольного треугольника.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

Пока никого нет. Будьте первым!

Оценка статьи

4.5

Средняя оценка: 4.5

Всего получено оценок: 266.

А какая ваша оценка?

Источник

Обновлено 04.08.2020

Содержание

Теорема о сумме углов прямоугольного треугольника
Докажем, что в любом треугольнике сумма углов 180°:
Докажем, что в прямоугольном треугольнике сумма острых углов 90°:
Следствия из доказанных теорем:

Теорема о сумме углов прямоугольного треугольника

Сумма углов прямоугольного треугольника равна 180°

Докажем, что в любом треугольнике сумма углов 180°:

АBC — треугольник
Доп. построение: через вершину B проведем прямую FE параллельно основанию AC
∠CBE=∠C(внутренние накрест лежащие при параллельных FEAC, и секущей BC) и A(внутренние накрест лежащие при и секущей AB)
∠FBE=∠FBA+∠B+∠CBE(так как развернутый) ⇒ 180°=A+B+C ч.т.д.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°

Докажем, что в прямоугольном треугольнике сумма острых углов 90°:

△ABC- прямоугольный
∠B — прямой(так как △ABC- прямоугольный)
∠A+∠B+∠C=180°(сумма углов треугольника) ⇒ ∠А+∠C=180°-∠B ⇒ ∠A+∠C=90° ч.т.д

Следствия из доказанных теорем:

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
В равнобедренном прямоугольном треугольнике каждый острый угол равен 45°.
В равностороннем треугольнике каждый угол равен 60°.
В любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий — тупой или прямой.
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Источник

Сумма острых углов прямоугольного треугольника

Чему равна сумма острых углов прямоугольного треугольника? Это свойство прямоугольного треугольника вытекает из теоремы о сумме углов треугольника.

Утверждение.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º.

Дано:

∆ABC,

∠C=90º.

Доказать:

∠A+∠B=90º.

Доказательство:

По теореме о сумме углов треугольника,

∠A+∠B+∠C=180º.

По условию, ∠C=90º.

Отсюда, ∠A+∠B+90º=180º.

Следовательно, ∠A+∠B=180º-90º= 90º.

Что и требовалось доказать.

Добавить комментарий

Источник

Сумма углов треугольника равна (180°).

Доказательство

Рассмотрим произвольный треугольник (KLM) и докажем, что

∠

(K) (+)

∠

(L) (+)

∠

(M =)

180°

1. Через вершину (L) параллельно стороне (KM) проведём прямую (a).

2. При пересечении параллельных прямых (a) и (KM) секущей (KL), углы, которые обозначаются (1), будут накрест лежащими углами, а углы, обозначенные (2) — это накрест лежащие углы при пересечении этих же параллельных прямых секущей (ML).

Очевидно, сумма углов (1), (2) и (3) равна развёрнутому углу с вершиной (L), т. е.

∠

(1) (+)

∠

(2) (+)

∠

(3 =)

180°

, или

∠

(K) (+)

∠

(L) (+)

∠

(M =)

180°

Теорема доказана.

Следствия из теоремы о сумме углов треугольника

Следствие 1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна

90°

Следствие 2. В равнобедренном прямоугольном треугольнике каждый острый угол равен

45°

Следствие 3. В равностороннем треугольнике каждый угол равен

60°

Следствие 4. В любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий — тупой или прямой.

Следствие 5. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Доказательство

Из равенств

∠

(KML) (+)

∠

(BML=)

180°

∠

(K) (+)

∠

(L) (+)

∠

(KML =)

180°

получаем, что

∠

(BML =)

∠

(K) (+)

∠

(L).

Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники

Как гласит четвёртое следствие из теоремы о сумме углов треугольника, можно выделить три вида треугольников в зависимости от углов.

У треугольника (KLM) все углы острые.

У треугольника (KMN) угол (K = 90)

У прямоугольного треугольника сторона, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а две остальные стороны — катетами.

На рисунке (MN) — гипотенуза, (MK) и (KN) — катеты.

У треугольника (KLM) один угол тупой.

Источник

Сумма углов прямоугольного треугольника

Определение и формула суммы углов прямоугольного треугольника

Примеры решения задач

Сумма углов прямоугольного треугольника

Треугольник

Сумма углов треугольника

Прямоугольный треугольник

Что мы узнали?

Тест по теме

Оценка статьи

Теорема о сумме углов прямоугольного треугольника

Докажем, что в любом треугольнике сумма углов 180°:

Докажем, что в прямоугольном треугольнике сумма острых углов 90°:

Следствия из доказанных теорем:

Добавить комментарий

Не пропустите также: