Как найти сумму углов произвольной пятиконечной звезды

2021-07-22   

Найдите сумму углов при вершинах самопересекающейся пятиконечной звезды.

Решение:

Первый способ. Обозначим вершины звезды последовательно: $A_{1}$, $A_{2}$, $A_{3}$, $A_{4}$, $A_{5}$. Пусть $M$ — точка пересечения отрезков $A_{1}A_{4}$ и $A_{2}A_{5}$, а $N$ — отрезков $A_{1}A_{3}$ и $A_{2}A_{5}$. Тогда $angle A_{1}MN$ — внешний угол треугольника $MA_{2}A_{4}$, а $angle A_{1}NM$ — внешний угол треугольника $NA_{3}A_{5}$. Поэтому

$angle A_{1}MN=angle A_{2}+angle A_{4},~angle A_{1}NM=angle A_{3}+angle A_{5}.$

Следовательно,

$angle A_{1}+angle A_{2}+angle A_{3}+angle A_{4}+angle A_{5}=angle A_{1}+angle A_{1}MN+angle A_{1}NM=180^{circ}.$

Второй способ. Через произвольную точку проведём 5 прямых, соответственно параллельных сторонам звезды. При этом образуется 10 углов, сумма которых равна $360^{circ}$. Эта сумма вдвое больше искомой, т.к. каждый из углов при вершинах звезды соответственно равен двум вертикальным углам из полученных десяти.

Учитель математики Гусалова Фатима Казбековна
РСО ­Алания 
Пятиконечная звезда
Десять  способов  решения  одной  задачи
Содержание
1.Введение 
2.Из истории возникновения звезды.
3. Используемые геометрические фигуры.
4.Способы доказательства:
1 способ
2 способ
3 способ
4 способ
5 способ
6 способ
7 способ
8 способ
9 способ
10 способ
5.Заключение.
6.Литература.
Десять способов решения одной задачи:
« Докажите, что сумма углов пятиконечной звезды равна ста восьмидесяти градусам»
Введение.
Разумеется, хорошая математика всегда красива.
П.Д.Коэн
Средством   воздействия   математики   для   развития   мыслительных   навыков       являются   задачи,
которые называют красивыми задачами.
 А что такое красивая задача?
Красивая задача – это средство эстетического воздействия математики на мышление. 
Красота решения понятна не только творцам, но  и ценителям так же, как поэзия и музыка. 
Словарь   русского   языка   С.И.Ожегова   раскрывает   понятие   красоты   как   совокупность   качеств,
доставляющих наслаждение и взору, и слуху и разуму.
Красивая задача = 
непредсказуемость +  неожиданность +  непредполагаемость
 ­ формула, которую  доказывает данная  работа.
ИЗ ИСТОРИИ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ЗВЕЗДЫ
«Звезда   –   это   превосходство,   постоянство,   предводительство,   защита,   бдительность,
устремленность».                                                                            
Звезда   определённый   вид   плоских   невыпуклых   многоугольников,   не   имеющий,   однако,
однозначного математического определения.                                                         
 Звезда связана с числом 5. Число 5 – «символ человека и поэтому оно графически изображается
фигурой человека, чья голова, разведенные в стороны руки и широко расставленные ноги образуют
пятиконечную звезду или пентаграмму». Из   Древней   Вавилонии   в   Средиземноморье,   как   полагают,   звездчатый   пятиугольник
перевез Пифагор. Он   первым   стал   изучать   пентаграмму   как  
геометрическую
фигуру. Пифагор считал ее символом совершенства и сделал тайным знаком своей философско­
математической школы, с помощью которого пифагорейцы отличали своих от чужих.
Пентаграмма ­ фигура с пятью вершинами, образованная двумя восходящими пересекающимися
лучами,   которые   отходят   от   каждой   стороны   пентагона   (правильного   пятиугольника),   таким
образом, получается звезда.
Пентаграмма — правильная геометрическая фигура, обладающая пятилучевой симметрией.             
Пентаграмма — очень древний символ. Она встречается в археологических памятниках, 
датируемых 7­м тысячелетием до н.э.                                                            
Но вполне возможно, что пентаграмма возникла гораздо раньше.
Используемые геометрические факты
Для решения задачи, нахождения суммы внутренних острых углов пятиконечной звезды, будем
использовать следующие геометрические факты:


свойство угла (если из вершины угла в его внутреннюю область провести луч, то градусная
мера   всего   угла   будет   равна   сумме   градусных   мер,   получившихся   углов),   свойство
вертикальных углов (вертикальные углы равны);
свойство   параллельных   прямых   (при   пересечении   двух   параллельных   прямых   секущей,
накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны, сумма односторонних углов
равна   180°),формула   суммы   внутренних   углов   треугольника   (сумма   внутренних   углов
треугольника равна 180°);

свойство внешнего угла треугольника (градусная мера внешнего угла равна сумме градусных мер
углов не смежных с ним),  формула суммы внутренних углов треугольника;
 формуле суммы углов выпуклого многоугольника (180⁰(n–2) где n количество  внутренних углов)

свойство вписанного угла (вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается) и
ключевые задачи (угол между двумя секущими, проведенными через точку, лежащую вне 
окружности, измеряется полуразностью дуг, заключенных внутри угла; угол между двумя хордами, 
пересекающимися внутри окружности, измеряется полусуммой дуг, отсекаемых сторонами угла).
СПОСОБЫ  ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
И чем труднее доказательство, 
тем больше будет удовольствие  тому,
 кто это доказательство найдет.
Рене Декарт.
1 способ.
Используемые теоремы:


Теорема о сумме углов треугольника.
Теорема о сумме внешних углов многоугольника взятых по одному при каждой вершине.
Решение:
C
B
N
P
D
M
A
R
Q
B
Рассмотрим треугольники  NPC,  PDQ, QEP, PAM, MBN. Сумма углов каждого треугольника равна
180о.
Сложив  сумму углов пяти  треугольников, имеем: 5 ∙180о.
Рассмотрим пятиугольник MNPQM – сумма внешних углов любого многоугольника равна 360о
А Найдем разность суммы углов пяти треугольников и суммы внешних углов пятиугольника взятых
по два  при каждой вершине.
180о ∙5 – 360о∙2 = 900о – 720о = 180о
2 способ.
Используемые теоремы:



Теорема о сумме углов треугольника.
Теорема о сумме внешних углов многоугольника 
Теорема о сумме внутренних углов  пятиугольника
Решение:
С
С
P
Q
E
R
В
3
N
1
2
M
А
D
Рассмотрим пятиугольник ABCDE.
Каждый угол состоит из угла пятиконечной звезды и углов треугольников
BNC, CPD,  DQE,  ERA,  AMB.
Чтобы найти сумму углов пятиконечной   звезды   нужно вычесть из суммы углов пятиугольника
АВСДЕ сумму углов  треугольников BNC, CPD,  DQE,  ERA,  AMB и прибавить сумму внутренних
углов пятиугольника MNPQR.
1800∙3 ­1800∙5 +1800∙3=1800 
  3 способ.
Используемые теоремы:

Теорема о сумме углов треугольника.
C
P
D
O
R
Q
E
B
N
M
A
Соединим   точку О , взятую внутри   звезды, с ее вершинами. Рассмотрим   треугольники   ОВД,
ОСЕ, ОАД, ОВЕ, ОАС.                                              
Чтобы найти сумму углов звезды нужно из углов треугольников                                                  ОВД,  
ОСЕ, ОАД, ОВЕ, ОАС
Вычесть два полных угла при вершине О:                                              
5∙180о­  2∙360о =180о.
 4 способ.
Используемые теоремы:


Теорема о сумме углов треугольника.
Теорема о внешнем угле треугольника.
C
B
N
M
A
R
D
c
P
c
Q
c
E Соберем углы звезды в треугольник NCP.                       
Угол С уже находится в треугольнике.                                                                                    Рассмотрим 
треугольник AND: ∠ А +  ∠ Д=    ∠ СNP .                                                         Рассмотрим 
треугольник ВЕР: ∠ В +  ∠ Е =  ∠ СРN.                                                                   Сложим  
получившиеся равенства:                                                                                                               ∠ А +
∠ Д +   ∠ В + < ∠ Е +  ∠ С= ∠ СNP +  ∠ СРN + ∠ С   = 180о
 5 способ.
Используемые теоремы:
Теорема о сумме углов треугольника
C
B
N
P
D
R
A
E
Теорема о внешнем угле треугольника
Теорема о свойстве вертикальных углов
Рассмотрим треугольник АСЕ:                                                          
 углы ∠ А, ∠ С,  ∠ Е уже находятся внутри треугольника.
Рассмотрим треугольники  ARE  и BDR: углы при вершине вертикальные, а значит равны. Сумма  
внутренних углов в любом треугольнике равна 180о и, следовательно  
∠ RВD +  ∠ BДR =  ∠ RАE + ∠ RЕA.
то есть ∠ А +  ∠ Д +   ∠ В +  ∠ Е +  ∠ С=  180о.
6
способ.
 Используемые теоремы:



Теорема о сумме углов треугольника
Теорема о внешнем угле треугольника.
Теорема о свойстве вертикальных углов.
C
B
N
P
D
M
A
Q
E
R
Соберем углы звезды в треугольник ARE: ∠ B + ∠ D = ∠ RAE +  ∠ REA.                                                                   
Рассмотрим треугольник ACQ:   ∠ A +  ∠ C = ∠ EQR ­внешний угол треугольника ACQ. 
Рассмотрим треугольник RQE:  ∠ EQR +  ∠ E = ∠ ARE­внешний угол треугольника  RQE
или
∠ A +  ∠ C + ∠ Е=  ∠ ARE.
∠ А +  ∠ Д +   ∠ В +  ∠ Е +  ∠ С=  180о. 
7
способ.
Используемые теоремы:


Теорема о сумме углов треугольника
Теорема о внешнем угле треугольника.
C
K
B
N
P
D
M
Q
R
A
E
 Соберем все углы звезды в полный угол при вершине Д .                          
 Угол ∠ Д уже находится там.                                                                                                                
Рассмотрим треугольник АND:   ∠ А +  ∠ АND= ∠ NDK – внешний угол.                    
 Рассмотрим  треугольник BNM:  ∠ B +  ∠ BMN= ∠ AND­ внешний угол .                           
Рассмотрим треугольник МСЕ:    ∠ С +  ∠ Е =  ∠ BMN­ внешний угол
∠ А +  ∠ Д +   ∠ В +  ∠ Е +  ∠ С=  180о
8
способ.
Используемые теоремы: 
Теорема о сумме углов треугольника
Теорема о внешнем угле треугольника.


 Свойство углов, образованных при пересечении двух  прямых секущей.
C
B
N
P
                      
M
L
R
Q
E
D
T Через точку R  проведем прямую   LT   параллельно  прямой  ВД. По теореме о свойстве углов,
образованных  при пересечении параллельных прямых секущей имеем:
∠ Д= ∠ LRA,  ∠ B = ∠ TRE, соответственные углы при параллельных прямых ВД и LT 
и секущей  АД. Рассмотрим треугольник ACQ:   ∠ A +  ∠ C =  ∠ EQR ­внешний угол 
треугольникаACQ.  Рассмотрим треугольник RQE:  ∠ EQR+ ∠ E=  ∠ ARE­внешний угол 
треугольникаRQE   или 
∠ A + ∠ C + ∠  Е= ∠ ARE .
∠  А + ∠ Д +  ∠   В +  ∠  Е + ∠ С=  180о.
9    способ.
 Используемые теоремы:

Теорема о сумме углов треугольника
B
N
C
P
D
M
A
R
Q
E
Опишем вокруг звезды окружность и спроектируем углы на эту окружность.
Воспользуемся теоремой: градусная величина угла, вершина которого расположена внутри круга,
равна полсуммы  дуг, расположенных внутри этого угла  и внутри угла, вертикальному данному:
∠  А +  ∠  Д +   ∠  В + ∠   Е + ∠ С=   360о : 2=  180о.
10    способ. 
 Используемые теоремы:

Теорема о сумме углов треугольника
C
P
D
R
Q
E
B
N
M
A
Проведем окружность так,чтобы она пересекала все стороны звезды.
Воспользуемся теоремой: 
угол,вершина которого расположена вне круга, а каждая из сторон пересекает окружность в двух
точках, измеряется  полуразностью  дуг, заключенных внутри круга. ∠  А +  ∠  Д +  ∠   В +  ∠  Е +   ∠ С=   180о. 
Заключение
В   данной   работе     я     рассмотрел   десять   способов   решения     одной   задачи,   для   этого   изучил
дополнительную   литературу,воспользовался  
  интернет­ресурсами.   Находя   очередной   способ
решения   данной   задачи,   понял,   что   математика   в   своих   возможностях   безгранична   и
формула,которая была сформулированна в начале работы: 
«Красивая  задача= непредсказуемость+неожиданность + непредполагаемость»  доказана 
мной.
1.Энциклопедический словарь юного математика.
Литература:
2.Богомолов Н.В. «Практические занятия по математике».
3.Белоненко Т.В.,Васильева Н.И. « Сборник конкурсных задач по математике».
4.  «Геометрия 7­9» . Атанасян Л.С. и др.