Как найти сумму первых пяти чисел геометрической

Решение.

Достаточно очевидно, что (0,(8)=0,8+0,08+0,008+…)  Слагаемые в правой части равенства образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, первый член которой равен (0,8), знаменатель равен (0,1). Найдём сумму по  формуле:

Осталось выполнить нужные действия с десятичными дробями:

Таким образом, бесконечная периодическая десятичная дробь (0,(8)) обращается в обыкновенную дробь (8/9).

Ответ: (0,(8)=8/9).

Печать страницы

Определение

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.

Другими словами, последовательность (b_n) – геометрическая последовательность, если для натурального n выполняются условия:

b_n+1= b_n×q,

где q некоторое число, которое называется знаменатель прогрессии, и b_n≠0

Примером такой последовательности может быть ряд чисел 2; 10; 50; 250;…., откуда видно, что каждое последующее больше предыдущего в пять раз, значит, каждый член равен предыдущему, умноженному на одно и то же число 5. Или, например, ряд чисел 20; -2; 0,2; -0,02……, где видно, что каждое последующее умножали на одно и то же число (-0,1).

Так как по определению геометрической прогрессии мы имеем одно и то же число, то это и есть число q. Оно называется «знаменатель» геометрической прогрессии. Он находится путем деления соседних членов – последующего на предыдущий, то есть q=bn+1bn. Знаменатель не может быть равным нулю!

Для того чтобы задать геометрическую прогрессию, надо знать ее первый член и знаменатель. Например, если b₁=4, q=3, то получим прогрессию: 4; 12; 36; ….и так далее. Ну, а зная первый член и знаменатель, можно найти любой член геометрической прогрессии: b₂=b₁q; b₃=(b₁q)q=b₁q²; b₄==((b₁q)q)q=b₁q³. Так можно продолжать и дальше, но из этих записей видно, что можно найти n-ый член геометрической последовательности, если умножить первый член на знаменатель, степень которого на 1 меньше порядкового номера искомого члена, то есть bn=b1 qn−1 . Мы получили формулу n-ого члена геометрической прогрессии.

Формула n-ого члена геометрической прогрессии

bn=b1 ×qn−1

Рассмотри на примерах применение формулы bn=b1 qn−1 для указанного члена геометрической прогрессии.

Пример №1. Найти четвертый член геометрической прогрессии, если известно, что b₁=6, q=3. Составляем формулу для b₄:

b4=b1 q4−1=b1 q3

Подставляем в формулу значения, указанные в задании и вычисляем результат: b4=6×33=162.

Найти шестой член геометрической прогрессии 2; -6;……. Здесь для нахождения b₆ надо знать знаменатель q. Для его нахождения надо -6 разделить на 2, получим -3, то есть q=-3. Теперь составляем формулу для b₆, подставляем значения и вычисляем ответ:

b6=b1 q6−1=b1 q5=2×(−3)5=−486

Свойство геометрической прогрессии

Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего ее членов. Формула:

b2n=bn−1×bn+1

Верным является и утверждение, обратное данному: если в последовательности чисел, отличных от нуля, квадрат каждого члена, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов, то эта последовательность чисел является геометрической прогрессией.

Другими словами, с помощью данной формулы можно найти неизвестный член геометрической прогрессии, соседние члены которого известны. Рассмотрим применение данного свойства на примерах.

Пример №2. Найти b₅, если задана геометрическая прогрессия, в которой b₄=32, b₆=128. Составляем формулу, подставляем в нее значения и вычисляем:

b25=b5−1×b5+1=b4 ×b6 =32×128=4096

Этим действием мы нашли квадрат пятого члена геометрической прогрессии, поэтому извлекаем квадратный корень из числа 4096 для нахождения значения b₅: b₅=√4096=64

Найти у, если дана геометрическая прогрессия …..24; у; 96. Видим, что у находится между соседними известными числами 24 и 96. Поэтому, следуя свойству, умножаем данные числа и извлекаем квадратный корень из полученного числа: у=√24×96=√2304=48.

Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии

Формула суммы членов геометрической прогрессии с известными членами

Sn=bnq−b1q−1 , где q≠1

Для нахождения суммы по данной формуле нужно знать первый и последний член геометрической прогрессии, а также ее знаменатель.

Также есть вторая формула, по которой можно находить сумму нескольких первых членов прогрессии, зная только первый ее член и знаменатель:

Формула суммы членов геометрической прогрессии с известным первым членом и знаменателем

Sn=b1(qn−1)q−1, где q≠1

Рассмотрим применение данных формул на примере, решив его двумя способами.

Пример №3. Найти сумму пяти первых членов геометрической прогрессии, если известно, что b₁=2; b₅=162; q=-3.

Способ №1 (первая формула). Составим формулу для нахождения S₅:

S5=b5q−b1q−1

Подставим значения b₁=2; b₅=162 и найдем результат:

S5=162(−3)−2−3−1=−486−2−4=−488−4=122

Способ №2 (вторая формула).

 Sn=b1(qn−1)q−1

Для решения нам нужен первый член и знаменатель: b₁=2; q=-3. Составим формулу:

S5=b1(q5−1)q−1

Подставим в формулу данные значения и вычислим сумму:

S5=2((−3)5−1)−3−1=2(−243−1)−4=−488−4=122

Таким образом, мы увидели, что у нас получился один и тот же результат 122 в обоих способах решения. Выбор формулы зависит от данных в условии задачи.

Даниил Романович | Просмотров: 6.4k

План урока:

Геометрическая прогрессия

Сумма первых n членов геометрической прогрессии

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия

Изучим послед-ть

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128…

Здесь каждый следующее число больше предыдущего в 2 раза:

Подобные послед-ти именуют геометрическими прогрессиями. Они постоянно встречаются в реальной жизни в банковской сфере (при начислении процентов на вклад), при изучении демографических процессов и в ряде других дисциплин.

Из этого определения следует рекуррентная формула, которая задает геом. прог-сию:

где q – это какое-то постоянное число, которое называют знаменателем геометрической прогрессии. Так, в прог-сии

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128…

знаменатель равен 2. Чтобы найти его, достаточно поделить какой-нибудь член геометрической прогрессии на предыдущий, например:

или

Если q= 0, то и все числа послед-ти, начиная со второго, получатся равными нулю:

Такая послед-ть не представляет интерес для математиков, поэтому считается, что знаменатель q не должен равняться нулю.

Пример. Первое число геом. прог-сии z₁ равно 10, а знаменатель q равен 3. Запишите первые пять чисел прог-сии.

Решение. Будем использовать рекуррентную формулу:

Итак, получаем послед-ть:

10, 30, 90, 270, 810…

Ответ: 10, 30, 90, 270, 810

Пример. Про геом. прог-сию известно, что v₁ = 16, q = 0,5. Определите семь первых чисел прог-сии.

Решение: Снова используем рекуррентную формулу:

Пример. Геом. прог-сия начинается с числа 27, а знаменатель q = – 1. Запишите 4 первых числа прог-сии.

Решение. Используя рекуррентную формулу, можно записать:

Получили послед-ть:

27, -27, 27, -27

Ответ: 27, -27, 27, -27

Попытаемся вывести формулу n-ого члена геом. прог-сии. Пусть нам известны z₁ и q. Тогда можно записать:

Легко заметить, что числа прог-сии вычисляются по формуле:

Докажем ее. Для этого необходимо использовать метод индукции. Очевидно, что формула справедлива для n = 1:

Здесь мы использовали тот факт, что любое число в нулевой степени равно единице, то есть q⁰ = 1.

Итак, мы доказали базис индукции. Теперь докажем ее шаг. Предположим, что формула работает для какого-то произвольного n = k:

Необходимо доказать, что (n + 1)-ый член вычисляется по формуле:

И действительно, используя рекуррентную формулу, можно получить:

Тем самым мы подтвердили справедливость формулы

Пример. Первое число послед-ти равно 5, а каждое следующее вдвое больше. Определите 15-тый член этой послед-ти.

Решение. Описанная послед-ть является геометрической, у которой z₁ = 5, q = 2. Найдем ее 15 член:

Ответ: 81920.

Пример. Известно, что геом. прогрессия начинается с числа 6, а третий член – это число 216. Каким может быть второй этой прог-сии?

Решение. Сначала попробуем найти знаменатель прог-сии. Мы знаем, что z₁ = 6, z₃ = 216. Запишем формулу 2-его члена прогр-сии:

Получили квадратное уравнение. Решая его можем найти возможные значений q:

Получили два возможных значения знаменателя. Для каждого случая определим второй член прогр-сии:

при q = – 6 получаем z₂ = z₁•q = 6•(– 6) = – 36;

 при q = 6 получаем z₂ = z₁•q = 6•6 = 36.

Ответ: – 6 или 6.

Пример. Вася решил положить 1 млн рублей на банковский вклад на 1 год. В банке «Золотой гном» ему предлагают доход в 25%, который выплатят в конце года. В банке «Слон» ему предлагают выплачивать каждый месяц по 2%. Какой из вариантов выгоднее для Васи?

Решение. Напомним, что получение дохода в 25% означает увеличение суммы вклада в 1 + 25/100 = 1,25 раза. Получение 2%-ого дохода означает увеличение суммы в 1 + 2/100 = 1,02 раза.

Посчитаем, сколько у Васи будет денег через год, если он выберет банк «Золотой гном»:

Во втором случае сумма будет увеличиваться в 1,02 раза каждый месяц. Если выписывать суммы, лежащие на вкладе в «Слоне», то получится геом. прог-сия, у которой знаменатель равен 1,02, а первый член – миллиону

Тогда сумма, лежащая на вкладе через 12 месяцев, составит

(Примечание.Величину 1,02¹² можно посчитать на калькуляторе или компьютере.)

Получается, что второй вариант выгоднее, ведь он принесет Васе большую сумму денег.

Ответ: Лучше выбрать банк «Слон».

Пример. Дана геом. прог-сия, у которой z₁ = 5, d = 3. Может ли в этой прог-сии находиться числа: 324; 405; 406?Также проверьте числа 123456789 и 5555555555.

Решение. Первый способ (простой, но требующий большого числа расчетов). Так как каждое следующее число в прог-сии больше предыдущего в 3 раза, то мы имеем дело с возрастающей последовательностью. Будем вычислять ее члены, пока не сможем получить число, большее 406:

Получили, что число 405 входит в прог-сию (z₅ = 405), а числа 324 и 406 не входят в число первых 6 членов прог-сии. Однако, так как z₆ = 1215 больше этих двух чисел, а каждый следующий член прог-сии ещё больше, то ясно, что 324 и 406 уже не встретятся в ней. Однако проверить таким способом длинные числа довольно тяжело.

Второй способ. Каждый член последовательности можно записать в виде

Напомним, что если один из множителей произведения делится нацело на какое-то число, то и всё произведение делится на это же число. Множитель 3^n–1 делится на 3 (при n ≥2):

Число 5 делится само на себя. Следовательно, числа, входящие в эту геом. послед-ть, должны делится и на 3, и на 5.

Теперь проанализируем числа 1234546789 и 5555555555, используя признаки делимости на 3 и 5. Первое из них НЕ делится нацело на 5, так как заканчивается на 9. Число 5555555555 НЕ делится на 3, так как сумма его цифр не делится нацело на 3:

Значит, они не могут входить в геом. прог-сию.

Ответ: число 405 входит в прог-сию, а остальные – нет.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии

Попытаемся вычислить сумму первых членов геом. прог-сии. Обозначим её как S_n:

Умножим обе части рав-ва на знаменатель прог-сии q:

Вспомним рекуррентную формулу:

Из нее следует, что

Тогда ур-ние (2) можно переписать так:

Теперь вычтем из (3) рав-во (1)

Обратите внимание – справа слагаемые z₂, z₃, z₄… z_n сначала идут со знаком «плюс», а потом – со знаком «минус». Это значит, что их можно сократить! Тогда справа останется разница z_n+1– z₁. Это связано с тем, что для слагаемых z_n+1 и z₁ не нашлось противоположного числа, чтобы сократиться. Можно записать:

Далее произведем замену z_n+1 = z₁•qⁿ:

Если q– 1 ≠ 0, то можно поделить обе части рав-ва и получить окончательную формулу:

Отдельно рассмотрим случай, когда q– 1 = 0. Тогда полученная формула будет некорректной (будет получаться деление на ноль). Если q– 1 = 0, то q = 1. Это значит, что все члены прог-сии равны друг другу:

Тогда сумма n первых членов будет равна z₁•n:

Пример. Найдите сумму первых шести членов геом. прог-сии, у которой z₁ = 3, q = 2.

Решение. Используем формулу:

Ответ: 189.

Пример. Определите сумму первых пяти членов геом. послед-ти, у которой z₁ =1 и q = 1/2.

Решение. Здесь в степень придется возводить дробь 1/2:

Ответ: 31/16

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Легко заметить, что если знаменателем геом. прог-сии – это положительное число, которое больше единицы, то прог-сия является убывающей послед-тью. Такие последовательности называют бесконечно убывающими геометрическими прогрессиями.

В качестве примера приведем послед-ть, у которой z₁ = 1, q = 1/2:

Каждый ее член может быть рассчитан по формуле

Очевидно, что чем больше n, тем меньше z_n, причем значение z_n как бы стремится к нулю. Например, на компьютере можно посчитать, что

То, что величина (1/2)^n–1 при больших n стремится к нулю, в математике записывается так:

Запись «lim» означает «предел», а символ «∞» означает бесконечность. Выражение читается так: «предел (1/2)^n–1 при n, стремящемся к бесконечности, равен нулю». Мы не будем давать строгое определение понятия «предел», так как эта задача выходит за рамки элементарной математики и относится уже к математике высшей. Грубо говоря, предел – это то число, к которому выражение приближается как угодно близко, но не может его достигнуть. Так при – 1 <q< 1 выражение qⁿ стремится к нулю, если n стремится к бесконечности:

Отобразим сумму первых n членов послед-ти

с помощью координатной прямой. Пусть в точке с координатой 0 находится точка B. Отложим от нее вправо точку А₁ так, чтобы ВА₁ =z₁ = 1. Далее от точки А₁ также вправо будем откладывать точку А₂, но длина отрезка А₁А₂ будет уже вдвое меньше, то есть она составит 1/2. Будем и далее откладывать точки А₃, А₄… до какой то точки А_n:

С одной стороны, длина каждого следующего отрезка будет равна члену геом. прог-сии:

C другой стороны, длина отрезков BA₁, BA₂, BA₃… будет равна сумме нескольких первых членов геом. прог-сии:

Отметим, что при таком построении с увеличением n точка А_n всё ближе приближается к числу 2, однако так и не доходит до нее. Действительно, каждая следующая точка делит оставшееся расстояние надвое, поэтому она всегда остается левее точки 2, но приближается к ней. Получается, что сумма первых n членов прог-сии c ростом n приближается к двойке. В математике говорят, что число 2 является пределом послед-ти S_n. Запишем это:

На рисунке мы рассмотрели поведение послед-ти, у которой q = 1/2. Однако оказывается, что и любая другая бесконечная убывающая геометрическая прогрессия ведет себя похожим образом. Для каждой такой послед-ти существует предел суммы ее членов. Покажем, как его найти.

Запишем формулу суммы n членов геом. прог-сии в более удобном дробном виде:

Умножим и числитель, и знаменатель одновременно на (– 1), при этом можно будет поменять местами уменьшаемое и вычитаемое:

Далее выделим целую часть:

Проанализируем полученное выражение. Уменьшаемое z₁/(1 – q) не содержит переменной n, а потому не зависит от этой переменной. А вот вычитаемое содержит множитель qⁿ. Можно доказать, что если выполняется условие–1 <q< 1, то с ростом n этот множитель стремится к нулю:

Значит, и всё вычитаемое также стремится к нулю:

Получается, что при, бесконечно большом значении n сумма S_∞ может быть вычислена так:

Итак, удалось получить формулу S_∞ = z₁/(1 – q). Ещё раз отметим, что по-настоящему строгое доказательство требует использование понятие предела из высшей математики, а потому не рассматривается здесь.

Зачем вообще находить сумму бесконечной геометрической прогрессии? Оказывается, что такая задача встает при изучении ряда других разделов математики, а также при расчете вероятностей некоторых событий.

Пример. Найдите сумму S_∞ для прог-сии, у которой z₁ = 0,1, q = 0,1.

Решение. Запишем первые несколько членов прог-сии:

Теперь будем записывать суммы S_n этой прог-сии:

Очевидно, что при бесконечном n получается бесконечная периодическая дробь:

Подробнее о бесконечных периодических дробях можно узнать из этого урока.

Теперь найдем сумму S_∞, используя формулу S_∞ = z₁/(1 – q):

Получили дробь 1/9. Получается, что обыкновенная дробь 1/9 и бесконечная периодическая дробь 0,(1) – это одно и то же число! И действительно, если на калькуляторе поделить 1 на 9, то он покажет 0,111111111…:

Пример. Какая дробь при разложении ее в бесконечную десятичную дробь дает число 0,010101010101 = 0,(01)?

Решение: По аналогии с предыдущей задачей можно записать:

0,(01) = 0,01010101… = 0,01 + 0,0001 + 0,000001 + 0,00000001…

Получили слева сумму бесконечной прог-сии

в которой z₁ = 0,01, а знаменатель q = 0,01. Ее сумма может быть рассчитана по формуле:

Получили дробь 1/99. То есть

Проверим себя с помощью калькулятора:

Пример. В квадрат со стороной 1 вписали другой квадрат, причем его вершины располагаются на серединах описанного квадрата. По тому же принципу в полученный квадрат вписали следующий квадрат, в него ещё один и т. д. Чему равна общая площадь всех полученных квадратов и каков их общий периметр?

Решение. Сторона первого квадрата равна 1. Найдем сторону вписанного треугольника:

Изучим треугольник АВС. В нем АВ = ВС = 1/2 (ведь они составляют половину от сторон DB и BF, который по условию равны 1). Угол АВС – прямой, а потому можно воспользоваться теоремой Пифагора:

Получили, что сторона вписанного квадрата в √2 раз меньше, чем сторона исходного квадрата. Аналогично можно показать, что и у следующего квадрата сторона будет ещё в √2 раз меньше и т. д. Соответственно и периметры квадратов будут уменьшаться в √2 раз, при этом периметр первого квадрата равен 4•1 = 4.

Получаем, что периметры квадратов образуют убывающую геом. прог-сию, в которой

Найдем сумму S_∞ для этой прог-сии:

Итак, общий периметр найден. Теперь найдем сумму площадей. Площадь исходного квадрата равна 1•1 = 1. Площадь вписанного квадрата составляет:

Получили, что площадь вписанного квадрата вдвое меньше площади исходного. Тогда площади квадратов образуют геом. прог-сию, в которой

Найдем и для этой прог-сии сумму:

Итак, суммарная площадь всех квадратов равна двум.

Наконец, рассмотрим задачу, имеющую практическое содержание.

Пример. Два спортсмена, Вася и Петя, играют в настольный теннис. Счет в их партии равен 10:10, и поэтому у них действует правило «баланса». Согласно нему, игроки при равном счете должны разыграть два очка, причем в первом розыгрыше подавать будет Вася, а во втором – Петя. Если одному игроку удастся выиграть оба очка, то он выиграет всю партию. Если каждый из игроков выиграет по одному розыгрышу, то счет в их партии становится равным, и тогда им снова надо разыгрывать ещё два очка. Проще говоря, партия не закончится, пока разница в счете не составит два очка.

Известно, что при подаче Васи вероятность его победы в розыгрыше составляет 0,7. При подаче Пети шансы подающего на выигрыш очка равны 0,6. Каковы шансы Васи и Пети на победу в партии?

Решение. По условию начальный счет равен 10:10. Будем считать, что первое число в счете – это очки Васи,а второе – очки Пети. Игра закончится победой одного из игроков, когда его преимущество в счете достигнет 2 очков. Тогда возможные варианты развития событий можно изобразить с помощью схемы:

Обратим внимание, что в игре возможно бесконечное количество вариантов развития событий. Так, окончательный счет может быть равен даже 102:100 или 100002:100000 (хотя это и крайне маловероятно). Пусть вероятность, что игра закончится, например, со счетом 15:13, будет обозначаться как Р_15:13. Тогда, чтобы найти вероятность победы Васи, надо сложить бесконечное число вероятностей:

Первую подачу при счете «ровно» Вася выиграет с вероятностью 0,7, поэтому шансы Пети забрать 1-ое очко себе равны 1 – 0,7 = 0,3.

На второй подаче Петя выиграет с вероятностью 0,6, а шансы Васи составят 1 – 0,6 = 0,4.

Тогда вероятность, что Вася выиграет оба очка, составит

Для Пети вероятность забрать себе оба очка равна

Есть и третий вариант развития событий – после двух розыгрышей счет останется равным (каждый выиграет один мяч), и снова возникает «баланс». Вероятность такого исхода равна

Следовательно, можно записать:

Счета 13:11, 12:12 и 11:13 могут наступить только в том случае, если сначала был достигнут счет 11:11. «Переход» из счета 11:11 к счету 13:11 произойдет, если Вася выиграет два очка подряд, а вероятность такого исхода мы уже считали: Р_в = 0,7•0,4 = 0,28. Поэтому можно записать

Аналогично для счетов 12:12 и 11:13 запишем:

Следующие три счета, 14:12, 13:13 и 12:14, возможны только после счета 12:12. Их вероятности записываются так:

По аналогии для счетов 15:13, 14:14 и 13:15 можно записать:

Такие записи можно продолжать бесконечно. Однако легко увидеть, что вероятности счетов, победных для Васи, образуют геом. прог-сию:

Её первый член равен 0,28, а знаменатель составляет 0,54. Тогда сумма всех этих вероятностей, а значит и общая вероятность победы Васи, составит

Аналогично и счета, выигрышные для Пети, образуют геом. прог-сию:

Здесь z₁ = 0,18; q = 0,54. Найдем сумму геометрической прогрессии:

Проверим себя. Ясно, что партию выиграет либо Вася, либо Петя. То есть сумма вероятностей их побед должна равняться единице. И действительно:

Значит, наши расчеты верны.

Ответ: Вася выиграет с вероятностью 14/23, а шансы Пети равны 9/23.

Прогрессия — это последовательность величин, каждая последующая из них находится в некоторой, общей для всей прогрессии, зависимости от предыдущей.

Содержание:

Числовая последовательность

В жизни мы часто встречаемся с функциями, областью определения которых является множество натуральных чисел. Например, стоимость проезда в пригородном транспорте зависит от дальности поездки и задается функцией

Функция стоимости проезда задана таблично, областью определения функции является множество натуральных чисел В таком случае говорят, что рассматривается функция натурального аргумента, или числовая последовательность.

Примером числовой последовательности является последовательность положительных четных чисел: 2; 4; 6; 8; … . Число 2 — первый член последовательности, число 4 — второй и т. д. Ясно, что на 5-м месте будет число 10 (пятый член последовательности), а на 100-м — число 200 (сотый член последовательности).

Еще один пример — последовательность чисел, обратных натуральным числам: На месте запишется число которое является членом данной последовательности.

Последовательности могут быть конечными и бесконечными. Например, последовательность двузначных чисел 10; 11; …; 99 является конечной, так как содержит конечное число членов. А последовательность нечетных натуральных чисел — бесконечная.

Определение числовой последовательности

Определение:

Числовой последовательностью называется функция, определенная на множестве натуральных чисел, т. е. зависимость, при которой каждому натуральному числу ставится в соответствие единственное действительное число.

Числа, образующие последовательность (значения функции), называются членами последовательности. Они записываются буквами с индексами, обозначающими номер члена последовательности: — первый член последовательности, — второй член последовательности, член последовательности. Последовательность с членом обозначается Для обозначения последовательности можно использовать любую букву латинского алфавита. Например, последовательность имеет вид

Если — последовательность нечетных натуральных чисел

Последовательности, так же как и функции, могут быть заданы различными способами.

Аналитический способ — это задание последовательности с помощью формулы ее члена. Например, последовательность четных натуральных чисел можно задать с помощью формулы а последовательность чисел, обратных натуральным числам, задается формулой

С помощью формулы члена можно найти любой член последовательности.

Например, пусть последовательность задана формулой тогда

Чтобы найти некоторый член последовательности с помощью формулы члена, нужно вместо п подставить в формулу натуральное число, равное номеру искомого члена (индексу в его обозначении).

Для задания последовательностей часто используется рекуррентный способ (от лат. recurrentis — возвращающийся). Он заключается в вычислении следующих членов последовательности по предыдущим.

Например, условия и определяют бесконечную последовательность: т. е.

Пример №1

Найдите несколько членов последовательности где

Решение:

Запишем несколько членов этой последовательности в ряд: 1; 1; 2; 3; 5; … .

Полученную последовательность чисел называют последовательностью Фибоначчи по имени итальянского математика Леонардо Фибоначчи (1180—1240).

Формула n-го члена последовательности

Пример №2

Последовательность задана формулой члена Найдите:

Решение:

Пример №3

Последовательность задана формулой члена Является ли членом этой последовательности число:

а) -2; б) -7?

Решение:

Для того чтобы определить, является ли число членом последовательности, нужно определить, имеет ли натуральные корни уравнение:

а) значит, число -2 не является членом последовательности;

б) значит, число -7 является членом последовательности с номером 5.

Пример №4

Для каких членов последовательности заданной формулой члена выполняется неравенство ?

Решение:

Подставим в неравенство выражение для члена, получим Решение полученного квадратного неравенства есть отрезок [-4; 1], выберем из этого отрезка только натуральные числа, получим . Значит, данное неравенство выполняется только для первого члена последовательности.

Рекуррентный способ задания последовательности

Пример №5

Запишите 5 первых членов последовательности , если

Решение:

Пример №6

Запишите несколько первых членов последовательности , если

Задайте эту последовательность формулой члена.

Решение:

Получим следующую последовательность: 8; -8; 8; -8; …. На нечетных местах этой последовательности стоят члены, равные числу 8, а на четных — числу -8, значит, формула члена имеет вид

Арифметическая прогрессия

Рассмотрим задачу. В горной местности температура воздуха летом при подъеме на каждые 100 м в среднем понижается на 0,7 °С. У подножия горы температура равна 26 °С. Найдите температуру воздуха на высоте 100 м; 200 м; 300 м.

Решение:

Температура воздуха на высоте 100 м равна 26 °С — 0,7 °С = 25,3 °С. На высоте 200 м температура будет равна 25,3 °С — 0,7 °С = 24,6 °С, а на высоте 300 м — 24,6 °С — 0,7 °С = 23,9 °С.

Ответ: 25,3 °С; 24,6 °С; 23,9 °С.

Решая задачу, мы получили последовательность 26; 25,3; 24,6; … . Каждый член этой последовательности равен предыдущему, сложенному с числом -0,7. Многие практические задачи приводят к последовательностям такого вида. Они называются арифметическими прогрессиями (от лат. progression — движение вперед).

Определение арифметической прогрессией

Определение:

Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же для данной последовательности числом, т. е.

Число называется разностью арифметической прогрессии.

Из равенства следует, что

Чтобы задать арифметическую прогрессию , достаточно задать ее первый член и разность

Например, если то получится арифметическая прогрессия 3; 7; 11; 15; … .

Если то арифметическая прогрессия имеет вид 2; -1; -4; -7; -10; … .

Если то все члены арифметической прогрессии равны между собой: -7; -7; -7; -7; … .

Чтобы вычислить любой член арифметической прогрессии, не вычисляя все предыдущие члены, используют формулу члена арифметической прогрессии

Выведем эту формулу. Если — арифметическая прогрессия с разностью то, используя определение, получим верные равенства:

Сложим эти равенства:

После упрощения получим:

Так как число слагаемых равно , то равенство примет вид

Получили формулу члена арифметической прогрессии

Формула члена арифметической прогрессии позволяет вычислить любой член прогрессии, зная ее первый член , номер члена и разность прогрессии

Пример №7

Последовательность — арифметическая прогрессия, Найдите 100-й член прогрессии.

Решение:

По формуле члена получим:

Ответ: 249,5.

Пример №8

Последовательность — арифметическая прогрессия, Является ли членом этой прогрессии число: а) 168; б) 201?

Решение:

а) По условию Подставим эти значения в формулу члена и получим уравнение Решив его, получим, что — корень уравнения. Так как 67 — натуральное число, то число 168 является членом этой прогрессии с номером 67.

б) Подставим значения в формулу члена и получим уравнение Решим его: Так как корень уравнения 80,2 — не натуральное число, то число 201 не является членом этой прогрессии.

Ответ: а) число 168 является членом этой прогрессии; б) число 201 не является членом этой прогрессии.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

В арифметической прогрессии каждый ее член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего (соседних с ним)

членов, т. е. при

при

Доказательство. В арифметической прогрессии для члена запишем по формуле члена предыдущий и последующий члены, т. е. и :

Найдем их среднее арифметическое:

Справедливо и обратное утверждение:

если в последовательности каждый ее член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего (соседних с ним) членов, то последовательность является арифметической прогрессией.

Доказательство:

Пусть в некоторой числовой последовательности каждый ее член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов, т. е. . Тогда ,

значит, разность каждого ее члена с предыдущим членом есть одно и то же число. Обозначим его получим при любом натуральном , следовательно, Значит, по определению последовательность — арифметическая прогрессия.

Оба утверждения можно объединить в одно, которое называется характеристическим свойством арифметической прогрессии:

числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов:

Пример №9

Проверьте, является ли арифметической прогрессией последовательность, заданная формулой

Решение:

Запишем для предыдущий и последующий члены последовательности:

Найдем среднее арифметическое этих членов:

По характеристическому свойству арифметической прогрессии последовательность является арифметической прогрессией.

Решение арифметической прогрессии

Пример №10

Последовательность 2; 12; 22; … является арифметической прогрессией. Продолжите последовательность.

Решение:

Так как последовательность является арифметической прогрессией, то найдем ее разность Тогда каждый следующий член последовательности равен предыдущему, сложенному с числом 10: 2; 12; 22; 32; 42;….

Пример №11

Известны члены арифметической прогрессии: Найдите разность этой прогрессии.

Решение:

Найдем разность арифметической прогрессии:

Формула n-го члена арифметической прогрессии

Пример №12

Последовательность — арифметическая прогрессия. Найдите двадцатый член прогрессии, если

Решение:

По формуле члена арифметической прогрессии получим:

Пример №13

Запишите формулу члена для арифметической прогрессии -15,5; -14,9; -14,3; … и найдите ее двадцатый член.

Решение:

По условию тогда Запишем формулу члена данной арифметической прогрессии, подставив в формулу значения для и :

Подставим в формулу члена данной арифметической прогрессии и найдем ее двадцатый член:

Пример №14

В арифметической прогрессии известно, что Число 16 является членом этой прогрессии. Найдите его номер.

Решение:

Так как то По условию Воспользуемся формулой тогда

Пример №15

В арифметической прогрессии Найдите разность прогрессии и ее первый член.

Решение:

По условию

Решим систему уравнений

Вычтем из второго уравнения первое, получим откуда Подставим в первое уравнение системы, получим

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Пример №16

Найдите восьмой член арифметической прогрессии если

Решение:

По характеристическому свойству арифметической прогрессии т. е.

Пример №17

При каком значении последовательность является арифметической прогрессией?

Решение:

По характеристическому свойству прогрессии последовательность является арифметической прогрессией, если каждый ее член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов:

Решим полученное уравнение:

Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии

Рассмотрим задачу. Двое друзей решили улучшить знание английского языка и каждый день учить на 3 новых слова больше, чем в предыдущий. Сколько слов выучит каждый из друзей за 10 дней, если они начнут с одного слова?

Для решения этой задачи нужно найти сумму десяти первых членов арифметической прогрессии у которой

Возникает вопрос: как найти эту сумму, не вычисляя всех десяти членов прогрессии?

В общем виде эта задача приводит к необходимости вывода формулы суммы первых членов арифметической прогрессии:

Для того чтобы вывести эту формулу, докажем свойство: суммы двух членов конечной арифметической прогрессии, равноудаленных от ее концов, равны между собой и равны сумме первого и последнего ее членов, т. е.

В общем виде:

Доказательство:

Преобразуем слагаемые в левой части равенства, воспользовавшись формулой члена:

Тогда получим:

С помощью доказанного свойства найдем, например, сумму всех натуральных чисел от 1 до 50.

Натуральные числа от 1 до 50 составляют арифметическую прогрессию 1; 2; 3; …; 50. Первый член этой прогрессии равен 1, последний равен 50. Всего в этой прогрессии 50 членов.

Поскольку то и и и (рис. 94), то искомая сумма равна

Обозначим через и запишем эту сумму дважды: с первого члена до и с члена до первого:

Сложим эти два равенства и получим:

По свойству заменим каждую сумму в скобках на

Число всех таких пар сумм равно значит, удвоенная искомая сумма равна:

т. е. — формула суммы первых членов арифметической прогрессии.

Идея такого доказательства принадлежит выдающемуся немецкому математику К. Гауссу (1777—1855).

Формулу суммы первых членов арифметической прогрессии можно записать и в другом виде. Для этого по формуле члена арифметической прогрессии выразим через и и получим:

Если известен первый член прогрессии и разность, то удобно использовать формулу

Применим эту формулу к задаче о количестве выученных иностранных слов и получим: Каждый из друзей выучил по 145 новых слов.

Пример №18

Найдите сумму пятидесяти первых членов арифметической прогрессии 3; 7; 11; 15; … .

Решение:

В этой прогрессии первый член равен 3, а разность Применим формулу суммы

для и получим:

Ответ: 5050.

Пример №19

В арифметической прогрессии Найдите сумму 85 первых членов арифметической прогрессии.

Решение:

Применим формулу суммы и получим:

Ответ: 1785.

Пример №20

Найдите сумму шести первых членов арифметической прогрессии, если ее первый член равен -2, а разность прогрессии равна 0,4.

Решение:

Воспользуемся формулой

так как то

Пример №21

Найдите сумму 4 + 7 + 10+ … + 100, если ее слагаемые — последовательные члены арифметической прогрессии.

Решение:

Последовательность 4, 7, 10, …, 100 является арифметической прогрессией, в которой По формуле члена арифметической прогрессии найдем количество членов этой прогрессии:

Воспользуемся формулой суммы первых членов арифметической прогрессии п и найдем искомую сумму:

Пример №22

Найдите количество членов арифметической прогрессии, зная, что их сумма равна 430, первый член прогрессии равен -7, а разность прогрессии равна 3.

Решение:

Воспользуемся формулой суммы первых членов арифметической прогрессии Так как ,то составим и решим уравнение:

Так как — натуральное число, то

Пример №23

В арифметической прогрессии Найдите сумму членов этой прогрессии с четвертого по семнадцатый включительно.

Решение:

Найдем и Поскольку то составим систему уравнений

Решим полученную систему способом сложения:

Тогда

Примем четвертый член данной прогрессии за первый член некоторой другой прогрессии, тогда семнадцатый член данной прогрессии станет четырнадцатым (17 — 4 + 1 = 14) членом новой прогрессии. Искомая сумма равна:

Пример №24

Найдите сумму всех четных натуральных чисел, не превосходящих 300, которые при делении на 13 дают в остатке 5.

Решение:

Первое число в последовательности всех четных натуральных чисел, не превосходящих 300, которые при делении на 13 дают в остатке 5, — это число 18. Каждое следующее число равно предыдущему, сложенному с числом 26. Последнее четное число, которое при делении на 13 дает в остатке 5, — это число 278. Поскольку рассматриваются только четные числа, то разность прогрессии равна 26. Найдем номер числа прогрессии, равного 278: откуда

Геометрическая прогрессия

Рассмотрим задачу. Вкладчик положил в банк 1000 р. на

депозит, по которому сумма вклада увеличивается ежегодно на 5 %. Какая сумма будет у него через 1 год, 2 года, 6 лет?

Решение:

Начальная сумма в 1000 р. через год увеличится на 5 % и составит 105 % от 1000 р. Найдем 105 % = 1,05 от 1000 р.: 1000 • 1,05 = 1050 (р.).

Через два года сумма вклада станет равной (р.), через три года — (р.) и т. д. Получим числовую последовательность:

Через шесть лет сумма будет равна

Многие практические задачи приводят к последовательностям такого вида. Они называются геометрическими прогрессиями.

Определение геометрической прогрессии

Определение:

Геометрической прогрессией называется числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый следующий, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же для данной последовательности число, не равное нулю, т. е.

Число называется знаменателем геометрической прогрессии.

Из равенства следует, что

Чтобы задать геометрическую прогрессию достаточно задать ее первый член , и знаменатель

Например, если то получится геометрическая прогрессия 3; 6; 12; 24; … .

Если то получится геометрическая прогрессия, знаки членов у которой чередуются, так как знаменатель прогрессии является отрицательным числом: 3; -6; 12; -24; … .

Если то геометрическая прогрессия имеет

вид

Если то все члены геометрической прогрессии равны между собой: 3; 3; 3; 3; … .

Чтобы вычислить любой член геометрической прогрессии, не вычисляя все предыдущие члены, используют формулу члена геометрической прогрессии

Выведем эту формулу. Если — геометрическая прогрессия и — ее знаменатель, то по определению верны равенства:

Перемножим эти равенства между собой:

Разделим обе части равенства на произведение и получим

Так как число множителей равно то равенство примет вид

Получили формулу члена геометрической прогрессии.

Формула члена геометрической прогрессии позволяет вычислить любой член прогрессии, зная ее первый член, номер члена и знаменатель прогрессии.

Пример №25

Последовательность — геометрическая прогрессия, Найдите 8-й член прогрессии.

Решение:

По формуле члена получим:

Ответ: 4374.

Пример №26

Последовательность — геометрическая прогрессия, Является ли число 320 членом этой прогрессии?

Решение:

По условию Подставим эти значения в формулу члена и получим уравнение

Решим это уравнение:

Так как 8 — натуральное число, то число 320 является членом этой прогрессии с номером 8.

Ответ: число 320 является членом этой прогрессии.

• Заказать решение задач по высшей математике

Характеристическое свойство геометрической прогрессии

В геометрической прогрессии модуль каждого ее члена, начиная со второго, равен среднему пропорциональному предыдущего и последующего (соседних с ним) ее членов, т. е. при

или при

Доказательство:

В геометрической прогрессии для члена запишем по формуле члена предыдущий и последующий (соседние) члены, т. е. и :

Найдем среднее пропорциональное (среднее геометрическое) соседних с членов геометрической прогрессии. Для этого перемножим равенства и получим:

Выполним преобразования в правой части равенства:

откуда получим, что

или

Справедливо и обратное утверждение:

• если в последовательности чисел, отличных от нуля, модуль каждого ее члена, начиная со второго, равен среднему пропорциональному предыдущего и последующего (соседних с ним) ее членов, то последовательность является геометрической прогрессией.

Доказательство:

Пусть в некоторой числовой последовательности модуль каждого ее члена, начиная со второго, равен среднему пропорциональному предыдущего и последующего ее членов, т. е. .

Тогда значит, т. е. частное от деления каждого члена последовательности на предшествующий ему член есть одно и то же число, отличное от нуля. Обозначим его получим при любом натуральном следовательно, Значит, по определению последовательность — геометрическая прогрессия.

Оба утверждения можно объединить в одно, которое называется характеристическим свойством геометрической прогрессии:

• числовая последовательность, все члены которой отличны от нуля, является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда модуль каждого ее члена, начиная со второго, равен среднему пропорциональному предыдущего и последующего ее членов:

Пример №27

Проверьте, является ли геометрической прогрессией последовательность, заданная формулой

Решение:

Запишем для предыдущий и последующий члены последовательности:

Найдем среднее пропорциональное этих членов:

По характеристическому свойству геометрической прогрессии последовательность является геометрической прогрессией.

Решение геометрической прогрессии

Пример №28

Последовательность 2; 10; 50; … является геометрической прогрессией. Продолжите последовательность.

Решение:

Так как последовательность является геометрической прогрессией, то найдем ее знаменатель Тогда каждый следующий член равен предыдущему, умноженному на число 5: 2; 10; 50; 250; 1250; 6250; ….

Пример №29

Известны члены геометрической прогрессии:

Найдите знаменатель этой прогрессии.

Решение:

Так как знаменатель геометрической прогрессии равен отношению любого ее члена к предыдущему, то

Формула n-го члена геометрической прогрессии:

Пример №30

Последовательность — геометрическая прогрессия. Найдите пятый член этой прогрессии, если

Решение:

По формуле члена геометрической прогрессии получим:

Пример №31

Запишите формулу члена для геометрической прогрессии -216; 36; -6; … и найдите ее седьмой член.

Решение:

По условию тогда Запишем формулу члена данной геометрической прогрессии, подставив в формулу значения для и

Подставим в формулу члена данной геометрической прогрессии и найдем ее седьмой член:

Пример №32

Найдите номер члена геометрической прогрессии 0,1; 0,3; …, равного 218,7.

Решение:

Найдем знаменатель прогрессии:

Известно, что По формуле члена геометрической прогрессии получим:

Пример №33

Найдите знаменатель и первый член геометрической прогрессии если

Решение:

По условию

Составим систему уравнений

Разделим второе уравнение на первое и получим:

Подставим это значение в первое уравнение системы и получим

Характеристическое свойство геометрической прогрессии

Пример №34

Найдите сорок девятый член геометрической прогрессии, если сорок восьмой ее член равен 4, а пятидесятый ее член равен 9.

Решение:

Воспользуемся характеристическим свойством геометрической прогрессии и получим Тогда или

Пример №35

При каком значении последовательность является геометрической прогрессией?

Решение:

По характеристическому свойству прогрессии последовательность является геометрической прогрессией, если каждый ее член, начиная со второго, равен среднему пропорциональному предыдущего и последующего членов:

Решим полученное уравнение:

Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии

Немало легенд связано с геометрической прогрессией.

Наиболее известная из них рассказывает об изобретателе шахмат.

По легенде, когда создатель шахмат показал свое изобретение правителю страны, тому так понравилась игра, что он дал изобретателю право самому выбрать награду. Мудрец попросил у правителя за первую клетку шахматной доски заплатить ему одно зерно пшеницы, за вторую — два, за третью — четыре и т. д., удваивая количество зерен на каждой следующей клетке (рис. 96).

Правитель быстро согласился и приказал казначею выдать мудрецу нужное количество зерна. Однако когда казначей показал расчеты, то оказалось, что расплатиться невозможно, разве только осушить моря и океаны и засеять все пшеницей.

Число зерен, которое попросил мудрец, равно сумме членов геометрической прогрессии т. е.

Выведем формулу, по которой можно находить сумму первых членов геометрической прогрессии.

Обозначим сумму первых членов геометрической прогрессии через тогда:

Умножим обе части этого равенства на знаменатель прогрессии и получим:

Вычтем из второго равенства первое и получим:

т. e. Выразим из этого равенства при и получим формулу суммы первых членов геометрической прогрессии

Если то все члены прогрессии равны первому члену, и сумму первых прогрессии членов такой геометрической прогрессии можно найти по формуле

Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии:

Вычислим по формуле суммы первых членов геометрической прогрессии число зерен, которое запросил в награду мудрец, т. е. сумму

Первый член геометрической прогрессии знаменатель количество членов прогрессии равно 64.

Тогда

Такого количества пшеницы человечество не собрало за всю свою историю.

Пример №36

Найдите сумму десяти первых членов геометрической прогрессии в которой

Решение:

Применим формулу суммы для

получим

Ответ: 511,5.

Пример №37

Найдите сумму двенадцати первых членов геометрической прогрессии 3; -6; 12; -24; … .

Решение:

Подставим в формулу значения

Ответ. -4095.

Пример №38

Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии если

Решение:

Найдем знаменатель и первый член геометрической прогрессии:

тогда

По формуле найдем

Пример №39

Сумма членов геометрической прогрессии равна 605. Найдите количество членов прогрессии, если

Решение:

Подставим в формулу значения и найдем

Пример №40

В геометрической прогрессии известно, что Найдите

Решение:

Найдем знаменатель прогрессии:

Подставим в формулу члена геометрической прогрессии и найдем первый член прогрессии:

По формуле найдем сумму трех первых членов геометрической прогрессии:

Пример №41

В геометрической прогрессии известно, что Найдите сумму п первых членов этой прогрессии.

Решение:

Зная, что третий член геометрической прогрессии равен 16, а ее знаменатель равен 2, по формуле найдем первый член прогрессии: Воспользуемся формулой члена геометрической прогрессии и найдем

По формуле суммы первых членов геометрической прогрессии найдем

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Любую обыкновенную дробь можно записать в виде десятичной дроби — конечной или бесконечной периодической дроби. Например, — конечная десятичная дробь. Бесконечная периодическая десятичная дробь получается в случае, когда деление «не заканчивается», например

Вы рассматривали правило записи конечной десятичной дроби в виде обыкновенной дроби (например, ит. п.).

Выясним, как бесконечную периодическую десятичную дробь записать в виде обыкновенной дроби.

Рассмотрим, например, бесконечную периодическую десятичную дробь 0,(7) = 0,7777… . Определим, какой обыкновенной дроби равно это число.

Запишем дробь 0,(7) в виде суммы разрядных слагаемых:

В данном случае необходимо найти сумму бесконечного числа слагаемых.

Слагаемые этой суммы являются членами бесконечной

геометрической прогрессии со знаменателем Такие геометрические прогрессии называются бесконечно убывающими геометрическими прогрессиями.

Определение. Бесконечно убывающей геометрической прогрессией называется такая бесконечная геометрическая прогрессия, у которой знаменатель

Например, геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей геометрической прогрессий, так как

Геометрическая прогрессия также является бесконечно убывающей геометрической прогрессией, поскольку

Для того чтобы представить бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной, нужно найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Ее обозначают буквой и находят по формуле

Покажем идею вывода формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Рассмотрим бесконечную геометрическую прогрессию у которой Сумма первых членов данной прогрессии вычисляется по формуле Запишем эту формулу в виде

Представим, что п неограниченно возрастает (говорят, что стремится к бесконечности, и записывают ). Поскольку то при неограниченном увеличении числа степень стремится к нулю, а значение разности стремится к единице. Значит, при неограниченном увеличении числа сумма стремится к числу что можно записать в виде при

Число называют суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии у которой Таким образом,

Обозначим сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии буквой и получим формулу:

Вычислим по этой формуле сумму разрядных слагаемых:

Слагаемые этой суммы образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию первый член которой равен

а знаменатель равен

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Так как то можем найти сумму этой бесконечной прогрессии. Подставим в формулу и получим:

Значит,

Таким образом, бесконечную периодическую десятичную дробь 0,(7) можно записать в виде обыкновенной дроби , т. е.

Таким же способом можно любую бесконечную периодическую десятичную дробь представить в виде обыкновенной дроби.

Чтобы записать бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби, нужно:

1. Представить число в виде суммы разрядных слагаемых.
2. Выделить сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
3. Указать первый член , и найти знаменатель этой прогрессии
4. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии по формуле
5. Вычислить сумму первых слагаемых и найденного значения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Запишите в виде обыкновенной дроби число

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Пример №42

В бесконечной геометрической прогрессии Является ли эта прогрессия бесконечно убывающей геометрической прогрессией?

Решение:

Найдем знаменатель прогрессии: Так как то данная прогрессия является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Пример №43

Является ли бесконечно убывающей геометрическая прогрессия:

а)

б)

в)

Решение:

а) Каждый член этой геометрической прогрессии, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на число Так как то прогрессия является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

б) Поскольку, то прогрессия является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

в) Знаменатель прогрессии Так-как то прогрессия не является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Пример №44

Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, в которой

Решение:

По формуле получим:

Пример №45

В бесконечно убывающей геометрической прогрессии Найдите первый член этой прогрессии.

Решение:

В формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии подставим и получим Решим полученное уравнение:

Пример №46

Запишите бесконечную периодическую десятичную дробь 15,2(3) в виде обыкновенной дроби.

Решение:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)