Как найти сумму функционального ряда

Функциональные ряды и их сходимость: равномерная и неравномерная

Понятие функционального ряда и область его сходимости

Функциональным рядом называется формально записанное выражение

где u 1 (x), u 2 (x), u 3 (x), . u n (x), . — последовательность функций от независимой переменной x.

Сокращённая запись функционального ряда с сигмой: .

Примерами функциональных рядов могут служить:

Придавая независимой переменной x некоторое значение x 0 и подставляя его в функциональный ряд (1), получим числовой ряд

Если полученный числовой ряд сходится, то говорят, что функциональный ряд (1) сходится при x = x 0 ; если он расходится, что говорят, что ряд (1) расходится при x = x 0 .

Пример 1. Исследовать сходимость функционального ряда (2) при значениях x = 1 и x = — 1 .
Решение. При x = 1 получим числовой ряд

который сходится по признаку Лейбница. При x = — 1 получим числовой ряд

который расходится как произведение расходящегося гармонического ряда на – 1. Итак, ряд (2) сходится при x = 1 и расходится при x = — 1 .

Если такую проверку на сходимость функционального ряда (1) осуществить относительно всех значений независимой переменной из области определения его членов, то точки этой области разобьются на два множества: при значениях x, взятых в одном из них, ряд (1) сходится, а в другом – расходится.

Множество значений независимой переменной, при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости.

Пример 2. Найти область сходимости функционального ряда

Решение. Члены ряда определены на всей числовой прямой и образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q = sin x . Поэтому ряд сходится, если

и расходится, если

(значения невозможны). Но при значениях и при остальных значениях x. Следовательно, ряд сходится при всех значениях x, кроме . Областью его сходимости служит вся числовая прямая, за исключением этих точек.

Пример 3. Найти область сходимости функционального ряда

Решение. Члены ряда образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q=lnx . Поэтому ряд сходится, если , или , откуда . Это и есть область сходимости данного ряда.

Пример 4. Исследовать сходимость функционального ряда

Решение. Возьмём произвольное значение . При этом значении получим числовой ряд

Найдём предел его общего члена

Следовательно, ряд (*) расходится при произвольно выбранном, т.е. при любом значении x. Область его сходимости – пустое множество.

Равномерная сходимость функционального ряда и её свойства

Перейдём к понятию равномерной сходимости функционального ряда. Пусть s(x) — сумма этого ряда, а s n (x) — сумма n первых членов этого ряда. Функциональный ряд u 1 (x) + u 2 (x) + u 3 (x) + . + u n (x) + . называется равномерно сходящимся на отрезке [a, b] , если для любого как угодно малого числа ε > 0 найдётся такой номер N , что при всех n ≥ N будет выполнятся неравенство

Приведённое выше свойство можно геометрически иллюстрировать следующим образом.

Рассмотрим график функции y = s(x) . Построим около этой кривой полосу шириной 2ε n , то есть построим кривые y = s(x) + ε n и y = s(x) − ε n (на рисунке ниже они зелёного цвета).

Тогда при любом ε n график функции s n (x) будет лежать целиком в рассматриваемой полосе. В этой же полосе будут лежать графики всех последующих частичных сумм.

Всякий сходящийся функциональный ряд, который не обладает описанным выше признаком — неравномерно сходящийся.

Рассмотрим ещё одно свойство равномерно сходящихся функциональых рядов:

сумма ряда непрерывных функций, равномерно сходящегося на некотором отрезке [a, b] , есть функция, непрерывная на этом отрезке.

Пример 5. Определить, непрерывна ли сумма функционального ряда

Решение. Найдём сумму n первых членов этого ряда:

Наше исследование показало, что сумма данного ряда — разрывная функция. Её график изображён на рисунке ниже.

Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функциональных рядов

К признаку Вейерштрасса подойдём через понятие мажоририуемости функциональных рядов. Функциональный ряд

называется мажорируемым в некоторой области изменения x, если существует такой сходящийся числовой ряд

с положительными членами, что для всех значений x из данной области выполняются соотношения

Иначе говоря, ряд называется мажорируемым, если каждый его член по абсолютной величине (модулю) не больше соответствующего члена некоторого сходящегося числового ряда с положительными членами.

Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функциональных рядов. Функциональный ряд, мажорируемый в некоторой области, равномерно сходится во всех точках этой области.

Пример 6. На основании признака Вейерштрасса сделать вывод о том, является ли равномерно сходящимся функциональный ряд

Решение. Известно, что ряд

сходится. Проведём сравнение рядов. Установили, что для всех значений x выполняется соотношение

Поэтому данный функциональный ряд — мажорируемый на всей оси Оx. А значит, что по признаку Вейерштрасса данный ряд — равномерно сходящийся на всей оси Оx.

Глава 5. Представление аналитических функций рядами

Число $S_n=a_1+a_2+dots+a_n$ будем называть частичной суммой этого ряда.

Ряд будем называть сходящимся, если последовательность $$ его частичных сумм сходится, то есть стремится к конечном пределу: $$ lim_ S_n=S. $$ $S$ называют суммой ряда.

Если последовательность $$ стремится к бесконечно удаленной точке или не стремится ни к какому пределу, то ряд будем называть расходящимся.

$R_n=sumlimits_^infty a_k$ называют остатком ряда.

$ S=S_n+R_n $ для сходящегося ряда.

$R_n=S-S_nto0$ при $ntoinfty$ для сходящегося ряда.

Пусть $a_k=x_k+mathbf i y_k$ и $sumlimits_^infty a_k=sumlimits_^infty x_k+mathbf i sumlimits_^infty y_k$.

Сходимость ряда $sumlimits_^infty a_k$ равносильна одновременной сходимости рядов $sumlimits_^infty x_k$ и $sumlimits_^infty y_k$.

Если сходится ряд $ sumlimits_^infty |a_k|$, то сходится и ряд $sumlimits_^infty a_k$ и он называется абсолютно сходящимся.

Необходимый признак сходимости.

Признак Даламбера для абсолютно сходящихся рядов.

Если существует $$lim_ left|frac>right|=p,$$ то при $p<1$ ряд $sumlimits_^infty |a_k|$ сходится, а при $p>1$ расходится.

Признак Коши для абсолютно сходящихся рядов.

Если существует $$lim_sqrt[n]|>=q,$$ то при $q<1$ ряд $sumlimits_^infty |a_k|$ сходится, а при $q>1$ расходится.

Функциональные ряды

Пусть в некоторой области $D$ определена бесконечная последовательность однозначных функций $$. Образуем функциональный ряд begin sumlimits_^infty f_k(z)=f_1(z)+f_2(z)+dots+f_n(z)+dots end

Частичная сумма этого ряда будет функцией $S_n(z)=f_1(z)+f_2(z)+dots+f_n(z)$.

Если в каждой точке $z_0$ области $D$ ряд $sumlimits_^infty f_k(z)$ обращается в сходящийся числовой ряд, то говорят, что ряд сходится в области $D$ и его сумма $$ S(z)=lim_ S_n(z).$$

Если ряд сходится в области $D$, то в каждой точке этой области последовательность остатков стремится к $0$: $$ lim_R_n(z)=lim_(S(z)-S_n(z))=0. $$

Ряд $sumlimits_^infty f_k(z)$, сходящийся в области $D$, называется равномерно сходящимся в этой области, если для любого $varepsilon>0$ можно указать такой номер $N(varepsilon)$, что при $n>N(varepsilon)$ будет выполняться $|R_n(z)|<varepsilon$ одновременно для всех $z$ из области $D$.

Признак Вейрштрасса (достаточный признак равномерной сходимости).

Если в каждой точке $z$ области $D$ модули $|f_k(z)|$ не превосходят (мажорированы) соответствующих элементов какого-нибудь сходящегося числового ряда $sumlimits_^infty a_k$, то функциональный ряд $sumlimits_^infty f_k(z)$ сходится равномерно в $D$.

Свойства суммы функционального ряда

1. Сумма $S(z)$ функционального ряда $sumlimits_^infty f_k(z)$, равномерно сходящегося в $D$, непрерывна в области $D$, если $f_k(z)$ являются непрерывными в $D$ функциями.

2. Равномерно сходящийся в $D$ функциональный ряд $sumlimits_^infty f_k(z)$, составленный из непрерывных функций, можно интегрировать почленно вдоль любой кривой $ell$, принадлежащей области $D$: $$ intlimits_S(z),dz = sumlimits_^infty intlimits_f_k(z),dz. $$

3. Теорема Вейштрасса. Пусть $f_k(z)$ являются аналитическими в области $D$ функциями и ряд сходится равномерно в любой области $bar_1in D$ к функции $S(z)$. Тогда $S(z)$ также аналитична в области $D$ и ее производные можно получить почленными дифференцированием ряда: $$ frac^nS(z)>^n>=sumlimits_^infty frac^n,f_k(z)>^n>. $$

Степенные ряды

Функциональный ряд вида begin sumlimits_^infty c_n(z-z_0)^n=c_0+c_1(z-z_0)+c_2(z-z_0)^2+ ldots+c_n(z-z_0)^n+dots , end где $c_n$ — комплексные постоянные (коэффициенты ряда), называется степенным.

Если степенной ряд $sumlimits_^infty c_n(z-z_0)^n$ сходится в точке $z_1neq z_0$, то он абсолютно сходится внутри круга: $|z-z_0|<|z_1-z_0|$, причем во всяком круге $|z-z_0|leqslantrho<|z_1-z_0|$ ряд сходится равномерно.

Если степенной ряд $sumlimits_^infty c_n(z-z_0)^n$ расходится в некоторой точке $z_2neq z_0$, то он расходится в $|z-z_0|>|z_2-z_0|$.

Областью сходимости степенного ряда называется внутренность круга $|z-z_0|<R$ (на окружности ряд может сходиться, а может и расходиться).

Радиус сходимости $R$ можно определить, пользуясь признаками Даламбера или Коши: $$ R=limlimits_left|frac>right|quad hboxquad R=limlimits_frac1>. $$

Степенной ряд в круге сходимости:
— сходится к аналитической функции;
— можно почленно интегрировать и дифференцировать.

Ряд Тейлора

Один из видов степенного ряда — ряд Тейлора $$ f(z)=sumlimits_^infty c_n(z-z_0)^n,quad c_n=frac1f^(z_0). $$

Кругом сходимости этого ряда является круг $|z-z_0|<R$. Как и всякий степенной ряд, ряд Тейлора внутри круга сходимости определяет некоторую аналитическую функцию.

Функция $f(z)$, аналитическая внутри круга $|z-z_0|<R$, может быть представлена в этом круге сходящимся степенным рядом $$ f(z)=sumlimits_^infty c_n(z-z_0)^n, $$ причем этот ряд определен однозначно.

Разложения в ряд Тейлора для некоторых функций

Примеры построения аналитического продолжения с помощью степенных рядов

Пусть первоначально функция $f_1(z)$ задана своим степенным рядом $$ f_1(z)=sumlimits_^infty z^n. $$ Этот ряд сходится внутри круга $|z|<1$ к аналитической функции $$ f_1(z)=frac1. $$ Всюду вне круга $|z|<1$ ряд расходится: следовательно, $f_1(z)$ не определена вне круга $|z|<1$.

Выберем некоторую точку $z_0$ внутри круга $|z|<1$ и построим разложение $f_1(z)$ в степенной ряд $sumlimits_^infty c_n (z-z_0)^n$ с центром в этой точке. Вычислим коэффициенты $c_$ по формуле $$ c_n=frac(z_0 )>=frac1>. $$ Можно показать, что радиус сходимости данного ряда равен $|1-z_0|$.

Следовательно, функция $$ f_2(z)=sumlimits_^inftyfrac> $$ является аналитическим продолжением функции $f_1(z)$ на область $|z-z_0|<|1-z_0|$.

Заметим, что степенной ряд, определяющий функцию $f_2(z)$, также легко суммируется, причем $f_2(z)=dfrac1$.

Далее, взяв в качестве нового центра разложения точку $z_1$ внутри круга $|z-z_0|<|1-z_0|$, получим ряд $$ sumlimits_^inftyfrac>, $$ сходящийся внутри круга $|z-z_1|< |1-z_1|$ к функции $f_3(z)=dfrac1$, совпадающей с $f_2(z)$ и $f_1(z)$ в общих частях круга $|z-z_1|<|1-z_1|$ и областей определения соответствующих функций.

Тем самым $f_3(z)$ является аналитическим продолжением $f_1(z)$ на новую область.

При любом выборе точки $z_1$ граница соответствующего круга сходимости пройдет через точку $z=1$.

Поступая аналогичным образом, можно построить аналитическое продолжение функции $f_1(z)$ на полную плоскость комплексной переменной, за исключением точки $z=1$. При этом аналитическим продолжением $f_1(z)$, полученным с помощью степенных рядов, является функция $$ F(z)=frac1, $$ определенная и аналитическая всюду, за исключением точки $z=1$.

Ряд Лорана

Рассмотрим ряд, содержащий отрицательные степени $z-z_0$: $$ sumlimits_^infty a_n(z-z_0)^=a_0+a_1(z-z_0)^+a_2(z-z_0)^+ldots+a_n(z-z_0)^+ldots. $$ Областью сходимости этого ряда является внешность круга: $$|z-z_0|>r.$$

Ряд, который содержит как целые неотрицательные степени, так и целые неположительные степени $(z-z_0)$, называется рядом Лорана и имеет вид: $$ sumlimits_^ a_n(z-z_0)^n+sumlimits_^ a_(z-z_0)^=sumlimits_^infty a_n(z-z_0)^n= $$ $$ ldots+ frac>+ldots+frac>+ a_0+a_1(z-z_0)+ldots+a_n(z-z_0)^n+ldots. $$

Областью сходимости ряда Лорана является круговое кольцо $$r<|z-z_0|<R.$$

Часть ряда Лорана с коэффициентами $a_$ называется главной частью ряда Лорана, а с коэффициентами $a_n$ — правильной частью.

Кольцо $r<|z-z_0|<R$ может выродиться
в круг с выколотым центром: $0<|z-z_0|<R_2$
или во внешность круга с выколотой точкой $z=infty$: $R_1<|z-z_0|<infty$,
а также во всю плоскость с двумя выколотыми точками: $0<|z-z_0|<infty$.

Всякая функция $f(z)$ однозначная и аналитическая в круговом кольце $r<|z-z_0|<R$, где $0 leqslant r<R<infty$, может быть единственным образом разложена в ряд Лорана: begin f(z)=sumlimits_^infty c_n(z-z_0)^n= sumlimits_^infty c_n(z-z_0)^n+sumlimits_^infty frac>. end Здесь beginlabel c_n=frac1ointlimits_gammafrac >,dt,quad n=0,pm1,pm2,dots, end а $gamma$ — любая окружность $|t-z_0|=rho$, $r<rho <R$, ориентированная против часовой стрелки.

Функция $$ f(z)=frac1 $$ аналитична на плоскости $z$, за исключением $z=2$ и $z=3$. Проведем через них окружности $|z|=2$, $|z|=3$. Данная функция аналитична в круге $|z|<2$, аналитична в кольце $2<|z|<3$ и аналитична вне круга $|z|>3$ и может быть в этих областях разложена в ряды. Разложим функцию в ряд Лорана в кольце $2<|z|<3$: $$ f(z)=sumlimits_^infty c_kz^k, $$ где $$ c_k=frac1ointlimits_gammafrac >,dvarsigma,quad k=0,pm1,pm2,dots . $$ Здесь $gamma$ — окружность $|varsigma|=rho$, $2<rho<3$, ориентированная против часовой стрелки.

На самом деле для вычисления $c_k$ не обязательно прибегать к таким сложным формулам. Иногда удобнее использовать представление разлагаемой функции в виде суммы функций, каждую из которых можно непосредственно представить в виде разложения по отрицательным или положительным степеням $z-z_0$.

Представим $$ f(z)=frac1=frac1-frac1 $$ и разложим каждое слагаемое по степеням $z$: $$ begin frac1=frac3right)>= -sumlimits_^inftyfrac>, \ frac1=frac1cdotfrac1>=frac1 left(1+frac2+left(frac2right)^2+dotsright)= sumlimits_^inftyfrac>. end $$ Здесь использовалась формула для суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Окончательно ряд Лорана этой функции имеет вид $$ f(z)=sumlimits_^inftyfrac>— sumlimits_^inftyfrac>. $$

Разложение около другой точки даст другой вид ряда.

Рассмотрим функцию $$ f(z)=frac1. $$ Она имеет две особые точки $z=1$ и $z=2$ и, значит, в кольце $1<|z|<2$ является аналитической и разлагается в ряд Лорана. Найдем это разложение, представив функцию в виде суммы простейших дробей: $$ frac1=frac1-frac1. $$ Дробь $1/(z-2)$ является аналитической функцией в круге $|z|<2$ и разлагается по положительным степеням аналогично ряду геометрической прогрессии: $$ -frac12cdotfrac12>=-frac12left( 1+frac2+frac+ldots+frac+ldotsright)= -frac12sumlimits_^inftyleft(frac2right)^n. $$ Дробь $-1/(z-1)$ является аналитической вне круга $|z|>1$ и разлагается по степеням $1/z$ также как сумма геометрической прогрессии: $$ frac=!fracright)>= -frac1zleft(1+frac1z+frac1+ldots+frac1+ldots right)=-sumlimits_^inftyfrac1. $$

Окончательно имеем $$ f(z)=-frac12sumlimits_^inftyleft(frac2right)^n -sumlimits_^inftyfrac1=-frac12 -sumlimits_^inftyleft(frac+frac1right). $$ Для этой функции можно получить и другие разложения в других областях. Так, например, в области $|z|<1$ она аналитична и разлагается в ряд Тейлора: $$ frac1=-frac1+frac1=frac1-frac12cdot frac12>= $$ $$ =1+z+z^2+ldots+z^n+ldots-frac12left(1+frac2+frac+ ldots+frac+ldotsright)= $$ $$ =sumlimits_^inftyleft(1-frac1>right)z^n. $$

Разложим ее в кольце $0<|z-1|<1$ (окрестность точки $z_0=1$) по степеням $z-1$: $$ f(z)=-frac1+frac1=-frac1-frac1= $$ $$ =-frac1-sumlimits_^infty(z-1)^n= -sumlimits_^infty(z-1)^n. $$

Таким образом, для одной и той же функции можно получить различные разложения. Это не противоречит единственности разложения, ибо полученные ряды имеют место в различных областях.

Нули аналитических функций

Рассмотрим функцию $f(z)$ не равную тождественно нулю. Точка $z_0$ называется корнем, или нулем, функции $f(z)$, если $f(z_0)=0$.

Пусть $f(z)$ аналитична в точке $z_0$. Точка $z_0$ называется нулем порядка $m$ для аналитической функции $f(z)$, если разложение в степенной ряд функции $f(z)$ имеет вид $$ f(z)=sumlimits_^infty c_k(z-z_0)^k,quad c_ne0, mge 1. $$

Для того, чтобы число $z_0$ являлось нулем порядка $m$ функции $f(z)$, необходимо и достаточно, чтобы функция $f(z)$ делилась на $(z-z_0)^m$: $$ f(z)=(z-z_0)^m,varphi(z), ,, varphi(z_0)neq0. $$

Изолированные особые точки, их классификация с помощью ряда Лорана

Точки, в которых функция $f(z)$ не является аналитической, называются особыми точками данной функции $f(z)$.

Особая точка $z_0$ функции $f(z)$ является изолированной особой точкой, если функция $f(z)$ аналитична в некотором кольце $0<|z-z_0|<R$, т.е. если в достаточно малой окрестности особой точки $z_0$ нет других особых точек.

Другими словами, для точки $z_0$ существует проколотая окрестность, в которой данная функция аналитична, но в самой точке $z_0$ функция $f(z)$ не определена или теряет аналитичность.

В зависимости от поведения функции $f(z)$ вблизи точки $z_0$ различают следующие три типа изолированных особых точек:

Изолированная особая точка $z_0$ функции $f(z)$ называется устранимой (или правильной), если существует конечный предел $$ limlimits_f(z)=Aneqinfty. $$

Изолированная особая точка $z_0$ функции $f(z)$ называется полюсом, если $$ limlimits_ f(z)=infty. $$

Изолированная особая точка $z_0$ функции $f(z)$ называется существенно особой, если $limlimits_f(z)$ не существует.

Для того чтобы изолированная особая точка $z_0$ функции $f(z)$ была устранимой, необходимо и достаточно, чтобы лорановское разложение $f(z)$ в некоторой окрестности $z_0$ не содержало главной части, т.е. представляло бы ряд Тейлора$:$ beginlabel sumlimits_^infty c_n(z-z_0)^n=c_0+c_1(z-z_0)+ldots+ c_n(z-z_0)^n+dots . end

Данная функция $f(z)$ совпадает с суммой ряда $$ sumlimits_^infty c_n(z-z_0)^n=c_0+c_1(z-z_0)+ldots+ c_n(z-z_0)^n+dots, $$ если $zne z_0$. Функция $f(z)$ будет аналитической и в точке $z_0$, если положить $f(z_0)=c_0$, что обычно и делают.

Для того чтобы изолированная особая точка $z_0$ функции $f(z)$ была полюсом, необходимо и достаточно, чтобы главная часть лорановского разложения $f(z)$ в окрестности $z_0$ содержала бы лишь конечное число членов$:$ beginlabel f(z)=frac>+frac>>+ldots +frac>+sumlimits_^infty c_n(z-z_0)^n. end

Если $m>0$, $c_ne0$, то $m$ называется порядком полюса, при $m=1$ полюс, называется простым.

Точка $z_0$ является полюсом функции $f(z)$ порядка $m$, когда эта точка является нулем функции $1/f(z)$ кратности $m$.

Следующие три утверждения эквивалентны:

Для того чтобы изолированная особая точка $z_0 $ функции $f(z)$ была существенно особой, необходимо и достаточно, чтобы главная часть лорановского разложения функции $f(z)$ в окрестности $z_0$ содержала бы бесконечное число членов: beginlabel f(z)=sumlimits_^infty c_n(z-z_0)^n. end

Таблица «Классификация особых точек».

Если точка $z_0 $ является существенно особой точкой функции $f(z)$, то для любого числа $A$ (конечного или бесконечного) существует такая последовательность $$ значений аргумента, стремящаяся к пределу $z_0$, для которой последовательность $$ соответствующих значений функции $f(z)$ стремится к $A$.

Функциональные ряды (Понятие функционального ряда. Степенные ряды и их свойства. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Ряды Фурье)

Определение. Пусть – бесконечная последовательность функций, определённых на некотором множестве . Выражение вида:

(3.1)

называется функциональным рядом и обозначается сокращённо: .

Пусть число , тогда ряд:

(3.2)

является числовым рядом.

Определение. Если числовой ряд (3.2) сходится, то ряд (3.1) называется сходящимся в точке х₀, а число называется точкой сходимости функционального ряда (3.1).

Определение. Множество всех точек сходимости функционального ряда (3.1) называется его областью сходимости.

Последнее определение можно сформулировать иначе: областью сходимости функционального ряда называется совокупность значений , при которых ряд (3.1) сходится. Как правило, область сходимости не совпадает с областью определения функционального ряда, а является её частью, т.е. .

Пример 1. Найти область определения и область сходимости функционального ряда:

.

Решение. Так как ряд составлен из функций вида , то их областью определения является область определения основной элементарной функции , т.е. . Кроме того, данный ряд является суммой членов геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем . Такой ряд сходится, если , т.е. при

, .

Поэтому областью сходимости является интервал .

Таким образом, и . Очевидно, что .

Определение. Как и для числовых рядов, n-й частичной суммой ряда (3.1) называется выражение:

,

называется n-м остатком ряда.

Для любого из области сходимости : и существует.

Определение. Функция , где , называется суммой ряда (3.1). Говорят также, что функция , определённая на множестве , разлагается в функциональный ряд (3.1) и пишут:

.

Если – сумма ряда, – n-я частичная сумма ряда (3.1), то её n-й остаток определяется равенством:

.

Полезно также другое определение суммы функционального ряда.

Определение. Функция называется суммой ряда (3.1) в некоторой области , если для любого существует такой номер , что при всех справедливо неравенство:

. (3.3)

В общем случае зависит от , т.е. при заданном натуральные числа различны для различных значений . Если же существует один номер , такой, что при неравенство (3.3) справедливо для всех , то ряд (3.1) называется равномерно сходящимся в D.

В случае равномерной сходимости функционального ряда его n-я частичная сумма является приближением суммы ряда с одной и той же точностью для всех .

Определение. Функциональный ряд (3.1) называется мажорируемым в некоторой области , если существует сходящийся числовой ряд:

, (3.4)

такой, что для всех справедливы неравенства: .

Ряд (3.4) называется мажорантным (мажорирующим) рядом.

Мажорируемый ряд является рядом равномерно сходящимся.

Например, функциональный ряд:

мажорируется рядом , так как . Данный функциональный ряд равномерно сходится на всей оси , поскольку он мажорируется при любом .

Равномерно сходящиеся ряды обладают некоторыми общими свойствами:

1) если члены равномерно сходящегося ряда непрерывны на некотором отрезке, то его сумма также непрерывна на этом отрезке;

2) если члены ряда (3.1) непрерывны на отрезке и ряд равномерно сходится на этом отрезке, то в случае, когда ,

,

где – сумма ряда (3.1);

3) если ряд (3.1), составленный из функций, имеющих непрерывные производные на отрезке , сходится на этом отрезке к сумме и ряд

равномерно сходится на том же отрезке, то .

Последние два свойства определяют условия, при которых функциональные ряды можно почленно интегрировать и дифференцировать.

3.2. Степенные ряды

Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида:

, (3.5)

где – постоянные числа, называемые коэффициентами ряда (3.5), – фиксированное число.

При получаем степенной ряд вида:

(3.6)

Очевидно, что для (3.5) число является точкой сходимости.

Выясним вопрос об области сходимости степенного ряда.

Теорема 3.1 (теорема Абеля)

1) Если степенной ряд (3.6) сходится при некотором значении , то он абсолютно сходится при всяком значении , удовлетворяющим условию: .

2) Если степенной ряд (3.5) расходится при некотором значении , то он расходится при любых , для которых .

Доказательство

1) Так как по условию числовой ряд сходится, то его общий член при , откуда следует, что числовая последовательность

ограничена, т.е. существует число такое, что

, (3.7)

Перепишем ряд (3.6) в виде:

(3.8)

и рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его членов:

(3.9)

Члены ряда (3.9) в силу неравенства (3.7) меньше соответствующих членов ряда

(3.10)

При ряд (3.10) представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем и, следовательно, сходится. Так как члены ряда (3.9) меньше соответствующих членов ряда (3.10), то по признаку сравнения (см. теорему 2.3) ряд (3.9) также сходится, а это значит, что ряд (3.6) при сходится абсолютно (см. теорему 2.8).

2) Докажем теперь вторую часть теоремы. По условию в точке ряд (3.6) расходится. Требуется показать, что он расходится для всех , удовлетворяющих условию: . Предположим обратное, т.е. допустим, что при некотором значении таком, что , ряд (3.6) сходится. Тогда, по только что доказанной первой части теоремы, ряд (3.6) должен сходится и в точке , так как . Но это противоречит тому, что в точке ряд расходится. Следовательно, ряд расходится и в точке . Таким образом, теорема полностью доказана.

Теорема Абеля утверждает, что если – точка сходимости степенного ряда, то во всех точках, расположенных на интервале , этот ряд сходится абсолютно (рис. 3.1,а), а если – точка расходимости степенного ряда (3.6), то во всех точках, расположенных вне интервала , ряд расходится (рис. 3.1,б).

Из этого можно заключить, что существует такое число , что при мы имеем точки абсолютной сходимости и при – точки расходимости.

Таким образом, имеет место следующая теорема о строении области сходимости степенного ряда (3.6).

Теорема 3.2. Областью сходимости степенного ряда (3.6) является интервал с центром в начале координат.

Определение. Неотрицательное число , такое, что при всех степенной ряд (3.6) сходится, а при всех – расходится, называется радиусом сходимости степенного ряда (рис. 3.2). Интервал называется интервалом сходимости степенного ряда (3.6).

На концах интервала (т.е. при и при ) вопрос о сходимости или расходимости данного ряда решается индивидуально для каждого конкретного ряда.

Если ряд (3.6) сходится только в одной точке , то для него радиус сходимости . Если ряд (3.6) сходится для любого действительного числа , то будем считать, что .

Радиус сходимости степенного ряда обычно находится с использованием признаков Даламбера и Коши. Рассмотрим способ определения радиуса сходимости .

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (3.6):

(3.11)

Так как ряд (3.11) с положительными членами, то для определения его сходимости применим признак Даламбера (см. теорему 3.5).

Допустим, что существует предел:

.

Тогда по признаку Даламбера ряд (3.11) сходится, если , т.е. если , и расходится, если , т.е. если .