1. известно, что (1,2<x<1,3) и (17<y<18).
Оценить (x+y).
При сложении двойных неравенств одинакового смысла
получим неравенство того же смысла (т. е. знаки не изменятся).
1,2<x<1,317<y<18+¯18,2<x+y<19,3.
2. Известно, что (1,2<x<1,3) и (17<y<18).
Оценить (x-y).
Умножив все части двойного неравенства (17<y<18) на (-1) и поменяв знаки неравенства,
получим неравенство противоположного смысла.
17<y<18⋅(−1)17⋅(−1)>y⋅(−1)>18⋅(−1);−17>−y>−18;−18<−y<−17.
Сложим первое неравенство с полученным.
1,2<x<1,3−18<−y<−17+¯−16,8<x−y<−15,7.
Найти сумму целых решений неравенства:|x+2|*(x²+3x-4)<0
Решение:
Рассмотрим первый множитель произведения левой части неравенства
|x+2|≥0 для всех значений х∈R
х+2=0 при х=-2
Следовательно при х=-2 неравенство не имеет смысла.
Поэтому можно записать, что
x² + 3x — 4 < 0
Решим неравенство по методу интервалов. Разложим квадратный трехчлен на множителя решив квадратное уравнение
x² + 3x — 4 = 0
D =3²-4*(-4) = 9 + 16 = 25
х₁=(-3-5)/2=-4
х₂=(-3+5)/2=1
Поэтому x² + 3x — 4 =(х+4)(x-1)
Заново запишем неравенство
(х + 4)(x — 1) < 0
На числовой прямой отобразим точки где левая часть неравенства меняет свои знаки. По методу подстановки определим знаки левой части неравенства и отобразим их на числовой прямой. Например при х=0 (х + 4)(x — 1)=4*(-1)=-4<0
+ 0 — 0 +
———————!————————!—————
-4 1
Следовательно x² + 3x — 4 < 0 при х∈(-4;1)
Учитывая что х≠-2 можно записать что исходное неравенство
|x+2|*(x²+3x-4)<0 истинно для всех значений х∈(-4;-2)U(-2;1).
Целых решений неравенства три: -3; -1; 0.
Сумма целых решений неравенства равна 0 — 1 — 3 = -4
Ответ:-4
Сложение и умножение неравенств
- Сложение
- Умножение
Математические выражения, соединённые одинаковыми знаками неравенства, называются неравенствами одного знака или неравенствами одинакового смысла:
x + 5 > y и 25 > y — 2 — неравенства одного знака.
Математические выражения, соединённые разными знаками неравенств, называются неравенствами противоположных знаков или неравенствами противоположных смыслов:
x + 5 < y и 25 > y — 2 — неравенства противоположных знаков.
Сложение
Неравенства одного знака можно почленно складывать, в результате получится неравенство того же знака.
| + | a > b | + | a < b | |
| c > d | и | c < d | ||
| a + c > b + d | a + c < b + d |
Пример. Сложить почленно верные неравенства:
7 < 10 и 1 < 2.
Решение:
Умножение
Неравенства одного знака с положительными членами можно почленно перемножать, в результате получится неравенство того же знака.
| × | a > b | × | a < b | |
| c > d | и | c < d | ||
| a · c > b · d | a · c < b · d |
Пример. Перемножить неравенства:
4 > 2 и 5 > 3.
Решение:
Что значит найдите сумму целых решений неравенства
Обновлено 5 марта, 2022
Сумма целых решений неравенства
Нужно найти сумму целых решений неравенства 
, удовлетворяющих условию x >= -1
Не пойму с чего начать. И не пойму как выразить x 🙁
Допустим знак корня распространяется на оба множителя
Замена 7–3x=u
√((u+2)(u–2)) ≥ 0
(u+2)(u–2) ≥ 0
u ≤ –2 ∨ u ≥ 2
7–3x ≤ –2 ∨ 7–3x ≥ 2
–3x ≤ –9 ∨ –3x ≥ –5
x ≥ 3 ∨ x ≤ 5/3
Если добавить условие x ≥ -1, то решение будет составлять множество [-1;5/3]∪[3;+∞), в котором бесконечно много целых решений.
При таком условии вопрос некорректен.
Значит имелось в виду, что знак корня распространяется только на первый множитель
√(u+2) (u-2) ≥ 0
число под корнем должно быть неотрицательным
второй множитель может быть отрицательным, только если первый равен нулю
u+2 ≥ 0 ∧ ((u–2) ≥ 0 ∨ u+2 = 0)
u ≥ –2 ∧ (u ≥ 2 ∨ u = –2)
(u ≥ –2 ∧ u = –2) ∨ (u ≥ –2 ∧ u ≥ 2)
u=–2 ∨ u ≥ 2
7–3x = –2 ∨ 7–3x ≥ 2
–3x=–9 ∨ –3x ≥ –5
x=3 ∨ x ≤ 5/3
с добавлением условия x≥–1 решение будет составлять множество [–1;5/3]∪ <3>
целые решения это числа –1,0,1,3
их сумма равна 2
!поправочка, их сумма равна 3, конечно
Выпишите ОДЗ: x ≤ 3; Затем методом интервалов найдите решения. Должно получиться так:
Сумма целых решений, удовлетворяющих условию: -1 + 0 + 1 + 3 = 3
Источник
Содержание
- Найти целые цешения системы неравенств
- Решение систем неравенств
- Как решить систему неравенств
- Другие примеры решения систем неравенств
- Математика по полочкам
- 13. Системы неравенств
- МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
- Как решать систему неравенств
- Основные понятия
- Типы неравенств
- Система неравенств
- Таблица числовых промежутков
Найти целые цешения системы неравенств
В алгебре часто требуется не просто решить систему неравенств, но выбрать из полученного множества решений решения, удовлетворяющие некоторым дополнительным условиям.
Найти целые решения системы неравенств — одно из заданий такого рода.
1) Найти целые решения системы неравенств:
7x — 5\ 5 — x
Неизвестные переносим в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:
— 5 — 3\ — x + 6x
После упрощения разделим обе части каждого неравенства на b» href=»http://www.algebraclass.ru/axb/» target=»_blank»>число, стоящее перед иксом. При делении на положительное число знак неравенства не меняется:
— 8___left| <:2 >0> right.\ 5x 0> right. end right.]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>
— 4\ x
Отмечаем решения неравенств на числовых прямых. Решением системы является пересечение решений (то есть та часть, где штриховка есть на обеих прямых).
Оба неравенства строгие, поэтому -4 и 2 изображаются выколотыми точками и в решение не входят:
Из промежутка (-4;2) выбираем целые решения.
Ответ: -3; -2; -1; 0; 1.
2) Какие целые решения имеет система неравенств?
17 — 4x end right.]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>
Переносим неизвестные в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком
17 — 37 end right.]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>
Упрощаем и делим обе части на число, стоящее перед иксом. Первое неравенство делим на положительное число, поэтому знак неравенства не меняется, второе — на отрицательное число, поэтому знак неравенства изменяется на противоположный:
0> right.\ — 4x > — 20___left| <:( — 4)
Отмечаем решения неравенств на числовых прямых. Первое неравенство нестрогое, поэтому -2 изображаем закрашенной точкой. Второе неравенство нестрогое, соответственно, 5 изображается выколотой точкой:
Целые решения на промежутке [-2;5) — это -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.
Ответ: -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.
В некоторых примерах не требуется перечислять целые решения, нужно лишь указать их количество.
3) Сколько целых решений имеет система неравенств?
Переносим неизвестные в одну сторону, известные — в другую:
0> right. end right.]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>
Обе части первого неравенства делим на отрицательное число, поэтому знак неравенства изменяется на противоположный. Обе части второго неравенства делим на положительное число, знак неравенства при этом не меняется:
Решение неравенств отмечаем на числовых прямых. Оба неравенства нестрогие, поэтому -3,5 и 1,7 изображаем закрашенными точками:
Решением системы является промежуток [-3,5; 1,7]. Целые числа, которые входят в данный промежуток — это -3; -2; -1; 0; 1. Всего их 5.
4) Сколько целых чисел являются решениями системы неравенств?
Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:
0> right. end right.]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>
При делении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства не изменяется, при делении на отрицательное число — меняется на противоположный:
Решение неравенств отмечаем на числовых прямых.
Множество решений системы состоит из единственного элемента — <2>. 2 — целое число, следовательно, решением данной системы является одно целое число.
Источник
Решение систем неравенств
Прежде чем перейти к разбору темы «Как решать систему линейных неравенств» обязательно внимательно изучите урок «Как решать неравенства».
Потренируйтесь в решении неравенств, тогда с системами неравенств у вас не возникнет трудностей.
Системой неравенств называют два или более неравенства, которые объединены фигурной скобкой.
Рассмотрим пример системы неравенств.
Как видно на примере выше, систему неравенств легко определить по фигурной скобке.
Как решить систему неравенств
Чтобы решить систему неравенств нужно:
- решить отдельно каждое неравенство;
- сравнить полученные решения каждого неравенства и получить общий ответ системы.
Вернемся к нашему примеру системы неравенств.
Так как оба неравенства в системе уже решены и представляют собою готовый ответ, то сразу переходим к поиску общего решения всей системы.
Для этого проведем две числовые оси (для каждого из неравенств свою). На осях заштрихуем результат решения неравенств.
Числовые оси с решениями нужно располагать друг под другом.
Числа на осях отмечают в порядке возрастания. То есть число « 2 » будет находиться левее « 5 ».
 |
После того как мы построили числовые оси с решениями неравенств, необходимо провести через отмеченные на осях числа перпендикулярные прямые.
При проведении прямых через точки на осях соблюдают следующие правила:
- если точка не входит в область решения ( «пустая» точка), то рисуют пунктирную линию;
- если точка входит в область решения (« заполненная » точка), то рисуют сплошную линию.
Проведем прямые через числовые точки на осях.
Для определения ответа найдем те области решения, которые удовлетворяют ответам обоим неравенствам. Другими словами, те области, где в обоих случаях области решений заштрихованы.
Исходя из полученного анализа, мы получаем, что решением системы неравенств будет « x > 5 ». Запишем полученный ответ.
| |
Рассмотрим другой пример системы неравенств.
Когда область решений находится между двумя числами, принято записывать ответ с помощью двойного неравенства .
Запись двойного неравенства используют, когда интервал решения системы неравенств лежит между числами.
Знаки сравнения (« » или « ≤ ») в двойном неравенстве всегда смотрят влево .
Числа записываются в том же порядке, что они расположены на оси.
Другие примеры решения систем неравенств
В отличии от примеров выше, как правило, в системах неравенств перед поиском общего решения всей системы необходимо предварительно решить каждое из неравенств.
Рассмотрим и решим систему, где неравенства требуют предварительного решения.
Решим линейные неравенства по правилам, описанным в уроке «Решение линейных неравенств». Затем найдем общий ответ системы.
| 5(x + 1) − x > 2x + 2 |
| 4(x + 1) − 2 ≤ 2(2x + 1) − x |
| 5x + 5 − x > 2x + 2 |
| 4x + 4 − 2 ≤ 4x + 2 − x |
| 5x − x + 5 > 2x + 2 |
| 4x + 4 − 2 ≤ 4x + 2 − x |
| 4x + 5 > 2x + 2 |
| 4x + 2 ≤ 3x + 2 |
| 4x − 2x > 2 − 5 |
| 4x − 3x ≤ 2 − 2 |
 |
Ответ: −1
При решении систем неравенств, в которых есть неравенства, содержащие пропорцию, используем правило пропорции.
Источник
Математика по полочкам
Готовимся к экзамену по математике за период обучения на II ступени общего среднего образования
13. Системы неравенств
МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Решить систему неравенств – значит найти решения для всей системы, либо доказать, что у данной системы решений нет.
Чтобы решить систему неравенств с одной переменной, надо:
1) отдельно решить каждое неравенство;
2) найти пересечение найденных решений, отметив решение каждого неравенства на числовой прямой.
Это пересечение и является множеством решений системы неравенств.
Решением совокупности неравенств называют такие значения переменной, которые являются верными хотя бы для одного из этих неравенств.
Чтобы решить совокупность неравенств с одной переменной, надо:
1) отдельно решить каждое неравенство;
2) найти объединение найденных решений, отметив решение каждого неравенства на числовой прямой.
Это объединение и является решением совокупности неравенств.
Пример:
Решить совокупность неравенств:
Источник
Как решать систему неравенств
О чем эта статья:
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Основные понятия
Неравенство — алгебраическое выражение, в котором используются знаки ≠, , ≤, ≥.
Числовое неравенство — в записи которого по обе стороны от знака находятся числа или числовые выражения.
Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.
Решить неравенство значит найти множество, для которых оно выполняется.
Типы неравенств
Строгие — используют только больше (>) или меньше ( b — это значит, что a больше, чем b.
a > b и b > и
Система неравенств
Чтобы щелкать задачки, нам пригодятся свойства числовых неравенств. Вот они:
Если а > b , то b а.
Если а > b и b > c, то а > c. И также если а b, то а + c > b+ c (и а – c > b – c).
Если же а b и c > d, то а + c > b + d.
Если а 8 почленно вычесть 3 > 2, получим верный ответ 9 > 6. Если из 12 > 8 почленно вычесть 7 > 2, то полученное будет неверным.
Если а > b и c b – d.
Если а d, то а – c b, m — положительное число, то mа > mb и
Обе части можно умножить или разделить на одно положительное число (знак при этом остаётся тем же).
Если же а > b, n — отрицательное число, то nа .
Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число, при этом знак поменять на противоположный.
Если а > b и c > d, где а, b, c, d > 0, то аc > bd.
Если а 0, то аc b, где а, b > 0, то а 2 > b 2 , и если а 2 2 . На множестве положительных чисел обе части можно возвести в квадрат.
- Если а > b, где а, b > 0, то b, где а, b > 0″ height=»37″ src=»https://lh3.googleusercontent.com/LF-ukOvvfm3VyVfIMauqN5t80Q55yYM4nvHAT7F8gLqvUqWPsNtXxG7aRF79Foq7MwyONaIRQCIRGQPToOh2YpQYIp2skOqQnhUydgHSJPHX07U-US5MHuxZpH15nzz2Kxq4mv4u» width=»37″> .
Если а .
Таблица числовых промежутков
Полезна тем, что с ее помощью удобно записывать множество решений.
Источник
Adblock
detector