Как найти стороны треугольника через синус косинус - Autoru.top

Для нахождения элементов в произвольном треугольнике используется теорема синусов или теорема косинусов.

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

asinA=bsinB=csinC

(в решении задачи одновременно пишутся две части, они образуют пропорцию).

Теорема синусов используется для вычисления:

неизвестных сторон треугольника, если даны два угла и одна сторона;
неизвестных углов треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.

Так как один из углов треугольника может быть тупым, значение синуса тупого угла находится по формуле приведения

sin180°−α=sinα

Наиболее часто используемые тупые углы:

sin120°=sin180°−60°=sin60°=32;sin150°=sin180°−30°=sin30°=12;sin135°=sin180°−45°=sin45°=22.

Радиус описанной окружности

asinA=bsinB=csinC=2R

, где (R) — радиус описанной окружности.

Выразив радиус, получаем

R=a2sinA

, или

R=b2sinB

, или

R=c2sinC

Для вычисления элементов прямоугольного треугольника достаточно (2) данных величин (две стороны или сторона и угол).

Для вычисления элементов произвольного треугольника необходимо хотя бы (3) данных величины.

Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

Также теорема исполняется для любой стороны треугольника:

Теорема косинусов используется для вычисления:

неизвестной стороны треугольника, если даны две стороны и угол между ними;
вычисления косинуса неизвестного угла треугольника, если даны все стороны треугольника.

Значение косинуса тупого угла находится по формуле приведения

cos180°−α=−cosα

Наиболее часто используемые тупые углы:

cos120°=cos180°−60°=−cos60°=−12;cos150°=cos180°−30°=−cos30°=−32;cos135°=cos180°−45°=−cos45°=−22.

Если необходимо найти приблизительное значение синуса или косинуса другого угла или вычислить угол по найденному синусу или косинусу, то используется таблица или калькулятор.

Источники:

Рис. 1-3. Треугольник, окружность, © ЯКласс.

Источник

Содержание:

Теорема синусов, теорема косинусов:

Теорема синусов

Вы уже знаете, что в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона. Пусть

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу окружности, описанной около треугольника, т. е.

Доказательство:

Пусть дан треугольник АВС, ВС = — радиус его описанной окружности. Угол а может быть острым, тупым или прямым. Рассмотрим эти случаи отдельно.

1) Угол острый (рис. 152, а). Проведя диаметр BD и отрезок DC, получим прямоугольный треугольник BCD, в котором как вписанный угол, опирающийся на диаметр. Заметим, что как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу ВС. Из прямоугольного треугольника BCD находим т. е. откуда

2) Угол тупой (рис. 152, б). Проведем диаметр BD и отрезок DC. В четырехугольнике ABDC по свойству вписанного четырехугольника Из прямоугольного треугольника как вписанный угол, опирающийся на диаметр) Поскольку то откуда

3) Для справедливость равенства докажите самостоятельно, В силу доказанного откуда

Теорема доказана.

Теорема синусов дает возможность решать широкий круг задач.
Так, пропорция позволяет решить две следующие задачи:

зная две стороны треугольника и угол, противолежащий одной из них, найти синус угла, противолежащего другой стороне;
зная два угла треугольника и сторону, противолежащую одному из этих углов, найти сторону, противолежащую другому углу.

С помощью формулы можно решить еще три задачи (рис. 153):

зная сторону треугольника и противолежащий ей угол, найти радиус окружности, описанной около треугольника;
зная угол треугольника и радиус описанной окружности, найти сторону треугольника, противолежащую данному углу;
зная сторону треугольника и радиус его описанной окружности, найти синус угла, противолежащего данной стороне.

Повторение

Пример:

В остроугольном треугольнике известны стороны и угол Найти два других угла округлив их значения до 1°, и третью сторону треугольника, округлив ее длину до 0,1.

Решение:

По теореме синусов откуда При помощи калькулятора (таблиц). находим Тогда По теореме синусов откуда

Ответ:

Замечание. Если бы по условию треугольник был тупоугольным с тупым углом то, зная вначале мы нашли бы острый угол А затем, используя формулу получили бы, что

Пример:

Доказать справедливость формулы площади треугольника где — его стороны, R — радиус описанной окружности.

Доказательство:

Воспользуемся известной формулой площади треугольника: По теореме синусов откуда Тогда Что и требовалось доказать.

Замечание. Выведенная формула позволяет найти радиус описанной окружности треугольника

Пример:

Найти радиус R окружности, описанной около равнобедренного треугольника АВС с основанием АС = 10 и боковой стороной ВС =13 (рис. 154).

Решение:

Способ 1. Из формулы следует, что Найдем . Для этого в треугольнике АВС проведем высоту ВК, которая будет и медианой, откуда Из по теореме Пифагора откуда

Тогда
Способ 2. Используем формулу из которой Так как то
Ответ:

Замечание*. Напомним, что в главе II мы находили радиус R описанной окружности равнобедренного треугольника, проводя серединные перпендикуляры к его сторонам и используя подобие полученных прямоугольных треугольников. Также мы могли использовать формулу где — боковая сторона, — высота, проведенная к основанию

Заменив в формуле получим — формулу радиуса описанной окружности для произвольного треугольника. Итак, мы имеем четыре формулы для нахождения радиуса R описанной окружности треугольника:

Теорема косинусов

Теорема косинусов позволяет выразить длину любой стороны треугольника через длины двух других его сторон и косинус угла между ними (например, длину стороны треугольника АВС (рис. 165) через длины сторон ). Теорему косинусов можно назвать самой «работающей» в геометрии. Она имеет многочисленные следствия, которые часто используются при решении задач.

Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними, т. е.

Доказательство:

Докажем теорему для случая, когда в треугольнике АВС угол А и угол С острые (рис. 166).
Проведем высоту ВН к стороне АС. Из находим откуда
Из по теореме Пифагора

По основному тригонометрическому тождеству
Тогда

Справедливость теоремы для случаев, когда или тупой или прямой, докажите самостоятельно. Теорема доказана.
Для сторон теорема косинусов запишется так:

Замечание. Если , то по теореме Пифагора Так как то Таким образом, теорема Пифагора — частный случай теоремы косинусов.
С помощью теоремы косинусов можно решить следующие задачи:

• зная две стороны и угол между ними, найти третью сторону треугольника;

• зная две стороны и угол, противолежащий одной из этих сторон, найти третью сторону (рис. 167) (в этом случае возможны два решения).

Рассмотрим следствия из теоремы косинусов, которые дают возможность решить еще целый ряд задач.

Следствие:

Теорема косинусов позволяет, зная три стороны треугольника, найти его углы (косинусы углов). Из равенства следует формула

Для углов получим:

Пример:

В треугольнике АВС стороны АВ = 8, ВС = 5, АС = 7. Найдем ZB (рис. 168).

По теореме косинусов

Используя записанную выше формулу, можно сразу получить:

Следствие:

С помощью теоремы косинусов можно по трем сторонам определить вид треугольника: остроугольный, прямоугольный или тупоугольный.

Так, из формулы с учетом того, что следует:

если то и угол острый;
если то и угол тупой;
если то и угол прямой.

При определении вида треугольника достаточно найти знак косинуса угла, лежащего против большей стороны, поскольку только больший угол треугольника может быть прямым или тупым.

Пример:

Выясним, каким является треугольник со сторонами a = 2, 6 = 3 и с = 4. Для этого найдем знак косинуса угла у, лежащего против большей стороны с. Так как то угол тупой и данный треугольник тупоугольный.

Сформулируем правило определения вида треугольника (относительно углов). Треугольник является:

остроугольным, если квадрат его большей стороны меньше суммы квадратов двух других его сторон:
тупоугольным, если квадрат его большей стороны больше суммы квадратов двух других его сторон:
прямоугольным, если квадрат его большей стороны равен сумме квадратов двух других его сторон:

Следствие:

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон:

Доказательство:

Пусть в параллелограмме ABCD — острый, откуда — тупой (рис. 169). По теореме косинусов из
(1)
Из Поскольку cos то

(2)

Сложив почленно равенство (1) и равенство (2), получим что и требовалось доказать.

Данная формула дает возможность:

• зная две соседние стороны и одну из диагоналей параллелограмма, найти другую диагональ;
• зная две диагонали и одну из сторон параллелограмма, найти соседнюю с ней сторону.

Следствие:

Медиану треугольника со сторонами а, b и с можно найти по формуле

Доказательство:

Рассмотрим — медиана треугольника (рис. 170). Продлим медиану AM за точку М на ее длину:

Проведем отрезки BD и DC. Так как у четырехугольника ABDC диагонали AD и ВС точкой пересечения делятся пополам, то он — параллелограмм. По свойству диагоналей параллелограмма Отсюда следует, что
Утверждение доказано.

Аналогично:

Формула медианы позволяет:

зная три стороны треугольника, найти любую из его медиан;
зная две стороны и медиану, проведенную к третьей стороне, найти третью сторону;
зная три медианы, найти любую из сторон треугольника.

Пример:

а) Дан треугольник АВС, а = 5, 5 = 3, Найти сторону с. б) Дан треугольник АВС, а = 7, с = 8, а = 60°. Найти сторону Ь.

Решение:

а) По теореме косинусов

Отсюда б) Пусть По теореме косинусов то есть Отсюда или так как для наборов длин отрезков 7, 3, 8 и 7, 5, 8 выполняется неравенство треугольника.
Ответ: а) 7; б) 3 или 5.

Пример:

Две стороны треугольника равны 6 и 10, его площадь —
Найти третью сторону треугольника при условии, что противолежащий ей угол — тупой.

Решение:

Пусть в стороны АВ = 6, ВС = 10 и (рис. 171).
Поскольку то откуда
Так как и по условию — тупой, то . Для нахождения стороны АС применим теорему косинусов:

Ответ: 14.

Пример:

Найти площадь треугольника, две стороны которого равны 6 и 8, а медиана, проведенная к третьей стороне, равна 5.

Решение:

Обозначим стороны треугольника Пусть — медиана (рис. 172).
По формуле медианы откуда По обратной теореме Пифагора данный треугольник со сторонами 6, 8 и 10 — прямоугольный, его площадь равна половине произведения катетов:
Ответ: 24.

Формула Герона

Мы знаем, как найти площадь треугольника по основанию и высоте, проведенной к этому основанию: а также по двум сторонам и углу между ними: Теперь мы выведем формулу нахождения площади треугольника по трем сторонам.

Теорема (формула Герона).

Площадь треугольника со сторонами можно найти по формуле где — полупериметр треугольника.

Доказательство:

(рис. 183). Из основного тригонометрического тождества следует, что Для синус положительный. Поэтому Из теоремы косинусов откуда

Тогда

Так как

Теорема доказана.

Решение треугольников

Решением треугольника называется нахождение его неизвестных сторон и углов (иногда других элементов) по данным, определяющим треугольник.

Такая задача часто встречается на практике, например в геодезии, астрономии, строительстве, навигации.

Рассмотрим алгоритмы решения трех задач.

Пример №1 (решение треугольника по двум сторонам и углу между ними).

Дано: (рис. 184).

Найти :

Решение:

Рис. 184
1) По теореме косинусов

2) По следствию из теоремы косинусов

3) Угол находим при помощи калькулятора или таблиц.

4) Угол
Замечание. Нахождение угла по теореме синусов требует выяснения того, острый или тупой угол

Пример №2 (решение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Дано: (рис. 185).

Найти:

Решение:

1) Угол

2) По теореме синусов (sin и sin находим при помощи калькулятора или таблиц).

3) Сторону с можно найти с помощью теоремы косинусов или теоремы синусов: или (cos и sin находим при помощи калькулятора или таблиц).

Пример №3 (решение треугольника по трем сторонам).

Дано: (рис. 186).

Найти: и радиус R описанной окружности.

Решение:

1) По следствию из теоремы косинусов

2) Зная угол находим при помощи калькулятора или таблиц.

3) Аналогично находим угол

4) Угол

5) Радиус R описанной окружности треугольника можно найти по формуле где

Замечание*. Вторым способом нахождения R будет нахождение косинуса любого угла при помощи теоремы косинусов затем нахождение по косинусу угла его синуса и, наконец, использование теоремы синусов для нахождения R.

Пример №4

Найти площадь S и радиус R описанной окружности треугольника со сторонами 9, 12 и 15.

Решение:

Способ 1. Воспользуемся формулой Герона. Обозначим а = 9, b = 12, с = 15. Получим:

Тогда

Радиус R описанной окружности найдем из формулы Имеем:
Ответ:
Способ 2. Так как поскольку то треугольник — прямоугольный по обратной теореме Пифагора. Его площадь равна половине произведения катетов: а радиус описанной окружности равен половине гипотенузы:

Пример №5

Найти площадь трапеции с основаниями, равными 5 и 14, и боковыми сторонами, равными 10 и 17.

Решение:

Пусть в трапеции ABCD основания AD = 14 и ВС = 5, боковые стороны АВ = 10 и Проведем (рис. 187). Так как АВСК — параллелограмм, то СК = АВ = 10, АК = ВС = 5, откуда KD = AD — АК = 9. Найдем высоту СН треугольника KCD, которая равна высоте трапеции. Площадь треугольника KCD найдем по формуле Герона, обозначив его стороны а = 10, b = 17, с = 9. Получим:

Так как СН = 8. Площадь трапеции

Ответ: 76.

Примеры решения задач с использованием теоремы синусов и теоремы косинусов

Пример:

Внутри угла А, равного 60°, взята точка М, которая находится на расстоянии 1 от одной стороны угла и на расстоянии 2 от другой стороны. Найти расстояние от точки М до вершины угла А (рис. 189, а).

Решение:

Пусть Найдем
длину отрезка AM. Сумма углов четырехугольника АВМС равна 360°.
Поэтому
Так как в четырехугольнике АВМС , то около него можно описать окружность по признаку вписанного четырехугольника (рис. 189, б). Поскольку прямой вписанный угол опирается на диаметр, то отрезок AM — диаметр этой окружности, т. е. где R — радиус. Из по теореме косинусов Из по теореме синусов откуда

Ответ:
Замечание. Вторым способом решения будет продление отрезка ВМ до пересечения с лучом АС и использование свойств полученных прямоугольных треугольников. Рассмотрите этот способ самостоятельно.

Пример №6

В прямоугольном треугольнике АВС известно: высота СН = 2 (рис. 190). Найти гипотенузу АВ.

Решение:

Построим симметричный относительно прямой АВ (см. рис. 190).
Поскольку то вокруг четырехугольника можно описать окружность, где АВ — диаметр этой окружности (прямой вписанный угол опирается на диаметр). Треугольник вписан в эту окружность, По теореме синусов откуда
Ответ: 8.

Пример №7

Дан прямоугольный треугольник АВС с катетами ВС = а и АС = На гипотенузе АВ как на стороне построен квадрат ADFB (рис. 191). Найти расстояние от центра О этого квадрата до вершины С прямого угла, т. е. отрезок СО.

Решение:

Способ 1. Так как (диагонали квадрата ADFB взаимно перпендикулярны), то поэтому четырехугольник АОВС является вписанным в окружность, ее диаметр Тогда

Пусть СО = х. По теореме косинусов из находим

из находим

По свойству вписанного четырехугольника Поскольку то откуда находим Тогда .

Способ 2. Используем теорему Птолемея, которая гласит: «Произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений его противоположных сторон». Для нашей задачи получаем (см. рис. 191):

Способ 3. Достроим до квадрата CMNK, как показано на рисунке 192. Можно показать, что центр квадрата CMNK совпадет с центром квадрата ADFB, т. е. с точкой О (точки В и D симметричны относительно центров обоих квадратов). Тогда
Ответ:

Пример №8

Точка О — центр окружности, вписанной в треугольник АВС, Найти стороны треугольника (см. задачу 232*).

Решение:

Пусть и
— радиус вписанной окружности (рис. 193).
Тогда

Отсюда Применим формулу Герона:

С другой стороны, Из уравнения находим = 2. Откуда (см), (см), (см).
Ответ: 15 см; 20 см; 7 см.

Теорема Стюарта

Следующая теорема позволяет найти длину отрезка, соединяющего вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема Стюарта. «Если а, b и с — стороны треугольника и отрезок d делит сторону с на отрезки, равные х и у (рис. 194), то справедлива формула

Доказательство:

По теореме косинусов из и (см. рис. 194) следует:

(1)

(2)

Умножим обе части равенства (1) на у, равенства (2) — на

Сложим почленно полученные равенства:

Из последнего равенства выразим
Теорема доказана.

Следствие:

Биссектрису треугольника можно найти по формуле (рис. 195)

Доказательство:

По свойству биссектрисы треугольника Разделив сторону с в отношении получим:

По теореме Стюарта

Пример №9

Доказать, что если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный (теорема Штейнера—Лемуса).

Доказательство:

Пусть дан треугольник АВС, — биссектрисы, проведенные к сторонам ВС = а и АС = b соответственно, и (рис. 196). Нужно доказать, что Выразим и через и приравняем полученные выражения. Биссектриса делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Поэтому откуда откуда

По формуле биссектрисы треугольника

Из условия следует: Перенеся слагаемые в одну сторону равенства и разложив на множители (проделайте это самостоятельно), получим: Отсюда (второй множитель при положительных больше нуля). Утверждение доказано.

Теорема Птолемея о вписанном четырехугольнике

Произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений его противоположных сторон, т. е. (рис. 197).

Доказательство:

Из по теореме косинусов
Так как (по свойству вписанного четырехугольника) и откуда
Аналогично из получим Тогда Теорема доказана.

Запомните:

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу его описанной окружности:
Радиус описанной окружности треугольника можно найти, используя формулы:
Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
Пусть — стороны треугольника и с — большая сторона. Если , то треугольник тупоугольный, если то треугольник остроугольный, если , то треугольник прямоугольный.
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон:
Формула Герона:
Формула медианы:

Параллельность прямых и плоскостей
Перпендикулярность прямой и плоскости
Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости
Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве
Углы и расстояния в пространстве
Подобие треугольников
Решение прямоугольных треугольников
Параллелограмм

Источник

Калькулятор длин сторон треугольника онлайн умеет вычислять длину сторон 14 способами.
Калькулятор может:

Найти все стороны треугольника.
Найти все углы треугольника.
Найти площадь (S) и периметр (P) треугольника.
Найти радиус (r) вписанной окружности.
Найти радиус (R) описанной окружности.
Найти высоту (h) треугольника.

Просто введите любые имеюшиеся данные и, если их достаточно, то калькулятор сам подберет нужные формулы для вычислений и покажет подробный расчет с выводом формул.

Сторона треугольника (или длина сторон) может быть найдена различными методами.
В большинстве случаев достаточно воспользоваться одной из ниже приведенных формул. Однако не редки случаи когда для нахождения искомой стороны понадобиться обратиться к дополнительным материалам или решения в два действия.

Как найти длину стороны треугольника?

Найти длину сторон треугольника очень просто на нашем онлайн калькуляторе. Так же длина может быть найдена самостоятельно по формулам. Выбор нужной формулы зависит от того какие данные известны.

Для прямоугольного треугольника:

1) Найти катет через гипотенузу и другой катет

где a и b — катеты, с — гипотенуза.

2) Найти гипотенузу по двум катетам

где a и b — катеты, с — гипотенуза.

3) Найти катет по гипотенузе и противолежащему углу

где a и b — катеты, с — гипотенуза,α° и β° — углы напротив катетов.

4) Найти гипотенузу через катет и противолежащий угол

где a и b — катеты, с — гипотенуза,α° и β°- углы напротив катетов.

Для равнобедренного треугольника:

1) Найти основание через боковые стороны и угол между ними

где a — искомое основание, b — известная боковая сторона,α° — угол между боковыми сторонами.

2) Найти основание через боковые стороны и угол при основании

где a — искомое основание,b — известная боковая сторона,β° — угол при осноавнии.

3) Найти боковые стороны по углу между ними

где b — искомая боковая сторона, a — основание,α° — угол между боковыми сторонами.

4) Найти боковые стороны по углу при основании

где b — искомая боковая сторона, a — основание,β° — угол при осноавнии.

Для равностороннего треугольника:

1) Найти сторону через площадь

где a — искомая сторона, S — площадь треугольника.

2) Найти сторону через высоту

где a — искомая сторона,h — высота треугольника.

3) Найти сторону через радиус вписанной окружности

где a — искомая сторона,r — радиус вписанной окружности.

4) Найти сторону через радиус описанной окружности

где a — искомая сторона,R — радиус описанной окружности.

Для произвольного треугольника:

1) Найти сторону через две известные стороны и один угол (теорема косинусов)

где a — искомая сторона, b и с — известные стороны, α° — угол напротив неизвестной стороны.

2) Найти сторону через одну известную сторону и два угла (теорема синусов)

где a — искомая сторона, b — известная сторона, α° и β° известные углы.

Скачать все формулы в формате Word

Источник

Прямоугольный треугольник. Вычисление сторон и углов. Задание В8 (2014)
Площадь треугольника через синус и косинус
- I. Площадь треугольника через синус
- II. Площадь треугольника через косинус
Нахождение сторон треугольника через косинус и синус
- Прямоугольный треугольник. Вычисление сторон и углов. Задание В7 (2015
  - Для вас другие записи этой рубрики:
  - Отзывов ( 7 )
- Нахождение сторон треугольника через косинус и синус
- Треугольник. Расчет сторон прямоугольного треугольника через тригонометрические функции.
- Нахождение сторон треугольника через косинус и синус
- Площадь треугольника через синус и косинус
- I. Площадь треугольника через синус
- II. Площадь треугольника через косинус
Как найти сторону через синус
- - Инструкция
  - Инструкция
- Прямоугольный треугольник
- Теоремы косинусов и синусов
- Производные
- Применение в математике
КАК НАЙТИ СТОРОНУ ЧЕРЕЗ СИНУС: Расчет сторон прямоугольного треугольника через тригонометрические функции
- - Еще интересное:
Формулы площади треугольника через синус
- Определение и формула площади треугольника через синус
- Примеры решения задач

Прямоугольный треугольник. Вычисление сторон и углов. Задание В8 (2014)

Для решения задач на нахождение сторон и углов прямоугольного треугольника нужно вспомнить определения синуса, косинуса и тангенса.

Рассмотрим прямоугольный треугольник:

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Противолежащий катет — это тот катет, который лежит напротив угла, синус которого мы рассматриваем.

Например, для треугольника, который изображен на рисунке, ,

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Прилежащий катет — это тот катет, который является одной из сторон угла, косинус которого мы рассматриваем.

Например, для треугольника, который изображен на рисунке, ,

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Например, для треугольника, который изображен на рисунке, ,

Задачи на нахождение сторон и углов прямоугольного треугольника решаются по такому алгоритму:

1. Выделяем треугольник, в который входит сторона или угол, который нам нужно найти.

2. Смотрим, какие элементы треугольника нам известны, и с помощью какой тригонометрической функции они между собой связаны.

3. Записываем соотношение, которое связывает между собой эти элементы,

Рассмотрим примеры решения задач из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике:

1. Задание В7 (№ 27217) В треугольнике угол равен , . Найдите

рис.1

Решим эту задачу двумя способами.

а. Так как требуется найти косинус угла, синус которого известен, мы можем воспользоваться основным тригонометрическим тождеством.

б.

Введем единичный отрезок , тогда ,

По теореме Пифагора .

Тогда

Ответ:

2. Задание В7 (№27220)

В треугольнике ABC угол C равен , . Найдите

Смотрим на рис.1:

Значит,

Ответ:

3. Задание В7 (№27221)

В треугольнике ABC угол C равен , . Найдите

Введем единичный отрезок , тогда ,

По теореме Пифагора

Ответ:

4. Задание В7 (№27221)

В треугольнике ABC угол C равен , , . Найдите AC.

Введем единичный отрезок , тогда ,

По теореме Пифагора

Найдем : — по условию.

Значит, . Отсюда

Ответ:

5. Задание В7 (№27259)

В треугольнике ABC угол C равен , , . Найдите AH.

Найдем из треугольника

— прилежвщий к углу катет, поэтому он связан с через

Найдем с помощью основного тригонометрического тождества:

, отсюда

Теперь рассмотрим треугольник , в котором — гипотенуза, а — катет, связанные между собой через :

, отсюда

Ответ: AH=15.

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Чтобы использовать тренажёр «Час ЕГЭ», попробуйте скачать
Firefox

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Купить видеокурс «ВСЯ ГЕОМЕТРИЯ. Часть В»

ege-ok.ru

Площадь треугольника через синус и косинус

I. Площадь треугольника через синус

Если в задаче даны длины двух сторон треугольника и угол между ними, то можно применить формулу площади треугольника через синус.

Пример расчета площади треугольника через синус. Даны стороны a = 3, b = 4, и угол γ= 30°. По таблице синусов синус угла в 30° равен 0.5

Площадь треугольника будет равна 3 кв. см.

Также могут быть и другие условия. Если дана длина одной стороны и углы, то для начала нужно вычислить недостающий угол. Т.к. сумма всех углов треугольника равняется 180°, то:

Площадь будет равна половине квадрата стороны, умноженной на дробь. В ее числителе находится произведение синусов прилегающих углов, а в знаменателе синус противолежащего угла. Теперь рассчитываем площадь по следующим формулам:

Например, дан треугольник со стороной a=3 и углами γ=60°, β=60°. Вычисляем третий угол:
Подставляем данные в формулу
Получаем, что площадь треугольника равняется 3,87 кв. см.

II. Площадь треугольника через косинус

Чтобы найти площадь треугольника, нужно знать длины всех сторон. По теореме косинусов можно найти не известные стороны, а уже потом использовать формулу Герона.
По теореме косинусов квадрат неизвестной стороны треугольника равняется сумме квадратов остальных сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла, находящегося между ними.

Из теоремы выводим формулы для поиска длины неизвестной стороны:

Зная как найти недостающую сторону, имея две стороны и угол между ними можно легко посчитать площадь. Формула площади треугольника через косинус помогает легко и быстро найти решение различных задач.

2mb.ru

Нахождение сторон треугольника через косинус и синус

Скачать к уроку математики Конспект урока по математике в 6 классе по теме «Параллельные прямые». Методы обучения: словесные (беседа, рассказ), наглядные (презентация, работа с чертежным треугольником), практические (упражнения для коллективного, индивидуального выполнения в.

Прямоугольный треугольник. Вычисление сторон и углов. Задание В7 (2015

Рассмотрим прямоугольный треугольник:

Противолежащий катет — это тот катет, который лежит напротив угла, синус которого мы рассматриваем.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Прилежащий катет — это тот катет, который является одной из сторон угла, косинус которого мы рассматриваем.

Задачи на нахождение сторон и углов прямоугольного треугольника решаются по такому алгоритму:

1. Выделяем треугольник, в который входит сторона или угол, который нам нужно найти.

3. Записываем соотношение, которое связывает между собой эти элементы,

Рассмотрим примеры решения задач из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике:

Решим эту задачу двумя способами.

А. Так как требуется найти косинус угла, синус которого известен, мы можем воспользоваться основным тригонометрическим тождеством.

2 . Задание В7 (№27220)

Смотрим на рис.1:

3 . Задание В7 (№27221)

4 . Задание В7 (№27221)

5 . Задание В7 (№27259)

Купить видеокурс «ВСЯ ГЕОМЕТРИЯ. Часть В»

Для вас другие записи этой рубрики:

Отзывов ( 7 )

Здравствуйте, Инна. Благодаря Вашему сайту, я белый свет увидела. А то все выходные сижу, выбираю из всех пособий ЕГЭ задачи, естественно решаю их. Учителя математики, работающие в 11 классе, очень хорошо меня понимают. Огромное Вам, Инна, спасибо, очень хороший подбор геометрических задач.

Учась в школе, больше любил геометрию, чем алгебру. Вот и сейчас очень часто приходится «решать» прямоугольные треугольники: то угол нужно вычислить, то длину катета…

У меня вопрос, а почему в задаче номер пять, где вы находите косинус через основное тригонометрическое тождество, равняется корень из пяти деленного на три? А то у меня получилось, что квадрат сокращается остается 1-2/3, и, получается равно 1/3, не как у вас. Обьясните пожалуйста, как вы решили

Добавте плииз задачу где есть гипотенуза и там надо найти меньший из отрезков на которые делит гипотенуза биссектриса прямого угла

А можно условие задачи, или хотя бы номер в банке заданий

Ребята ну что это такое? Это же школьная программа 8 класса, если хотите что то интересное зайдите в квант) все ведь в школе учились?

Нахождение сторон треугольника через косинус и синус

Треугольник. Расчет сторон прямоугольного треугольника через тригонометрические функции.

Вполне логично сделать вывод, будут верны следующие Равенства:

Значит Катет прямоугольного треугольника допускается представить как произведение Гипотенузы и Синуса угла, Противолежащего этому катету, либо и Косинуса угла, прилежащего к нему.

На основе этих соотношений так же можно определить Гипотенузу прямоугольного треугольника:

Иначе говоря, Гипотенуза будет Частным от деления катета либо на синус противолежащего к нему угла, либо на косинус Прилежащего к катету Угла.

Значит, Катет прямоугольного треугольника допускается представить как произведением другого катета на Тангенс угла, противолежащего первому катету, либо на Котангенс угла, прилежащего к первому катету.

Нахождение сторон треугольника через косинус и синус

Площадь треугольника через синус и косинус

I. Площадь треугольника через синус

Площадь треугольника будет равна 3 кв. см.

Также могут быть и другие условия. Если дана длина одной стороны и углы, то для начала нужно вычислить недостающий угол. Т. к. сумма всех углов треугольника равняется 180°, то:

Получаем, что площадь треугольника равняется 3,87 кв. см.

II. Площадь треугольника через косинус

Чтобы найти площадь треугольника, нужно знать длины всех сторон. По теореме косинусов можно найти не известные стороны, а уже потом использовать формулу Герона.

По теореме косинусов квадрат неизвестной стороны треугольника равняется сумме квадратов остальных сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла, находящегося между ними.

Из теоремы выводим формулы для поиска длины неизвестной стороны:

poiskvstavropole.ru

Как найти сторону через синус

Сторону

треугольника дозволено обнаружить не только по периметру и площади, но и по заданной стороне и углам. Для этого применяются тригонометрические функции – синус и косинус . Задачи с их применением встречаются в школьном курсе геометрии, а также в вузовском курсе аналитической геометрии и линейной алгебры.

Инструкция

1. Если знаменита одна из сторон треугольника и угол между ней и иной его стороной, воспользуйтесь тригонометрическими функциями – синус ом и косинус ом. Представьте себе прямоугольный треугольник НBC , у которого угол ? равен 60 градусам. Треугольник НBC показан на рисунке. От того что синус , как знаменито, представляет собой отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинус – отношение прилежащего катета к гипотенузе, для решения поставленной задачи воспользуйтесь дальнейшим соотношением между этими параметрами:sin ?=НB/BCСоответственно, если вы хотите узнать катет прямоугольного треугольника, выразите его через гипотенузу дальнейшим образом:НB=BC*sin ?

2. Если в условии задачи, напротив, дан катет треугольника, обнаружьте его гипотенузу, руководствуясь дальнейшим соотношением между заданными величинами:BC=НB/sin ?По аналогии обнаружьте стороны треугольника и с применением косинус а, изменив предыдущее выражение дальнейшим образом:cos ?=НC/BC

3. В элементарной математике существует представление теоремы синус ов. Руководствуясь фактами, которые описывает данная теорема, также дозволено обнаружить стороны треугольника. Помимо этого, она разрешает обнаружить стороны треугольника, вписанного в окружность, если знаменит вестим радиус последней. Для этого воспользуйтесь соотношением, указанным ниже:a/sin ?=b/sin b=c/sin y=2RЭта теорема применима в том случае, когда знамениты две стороны и угол треугольника, либо дан один из углов треугольника и радиус описанной вокруг него окружности.

4. Помимо теоремы синус ов, существует и аналогичная ей по сути теорема косинус ов, которая, как и предыдущая, также применима к треугольникам всех 3 разновидностей: прямоугольному, остроугольному и тупоугольному. Руководствуясь фактами, которые доказывают эта теорема, дозволено находить неведомые величины, применяя следующие соотношения между ними:c^2=a^2+b^2-2ab*cos ?

Геометрическая фигура, состоящая из трёх точек, не принадлежащих одной прямой называемых вершинами, и трёх попарно соединяющих их отрезков, называемых сторонами, именуется треугольником. Существует уйма задач на нахождение сторон и углов треугольника по ограниченному числу начальных данных, одна из таких задач – нахождение стороны треугольника по одной из его сторон и двум углам .

Инструкция

1. Пускай построен треугольник ?ABC и знамениты – сторона BC и углы ?? и ??.Знаменито, что сумма углов всякого треугольника равна 180?, следственно в треугольнике ?ABC угол ?? будет равен ?? = 180? – (?? + ??).Обнаружить стороны AC и AB дозволено применяя теорему синусов, которая гласитAB/sin?? = BC/sin?? = AC/sin?? = 2 * R, где R – радиус описанной около треугольника ?ABC окружности,тогда получаемR = BC/sin??,AB = 2 * R * sin??,AC = 2 * R * sin??.Теорему синусов дозволено использовать при всяких данных 2-х углах и стороне.

2. Стороны заданно треугольника дозволено обнаружить, вычислив его площадь по формулеS = 2 * R? * sin?? * sin?? * sin??,где R вычисляется по формулеR = BC/sin??, R – радиус описанной около треугольника ?ABC отсюдаТогда сторону AB дозволено обнаружить, вычислив высоту, опущенную на неёh = BC * sin??,отсель по формуле S = 1/2 * h * AB имеемAB = 2 * S/hАналогичным образом дозволено вычислить сторону AC.

3. Если в качестве углов даны внешние углы треугольника ?? и ??, то обнаружить внутренние углы дозволено с поддержкой соответствующих соотношений?? = 180? – ??,?? = 180? – ??,?? = 180? – (?? + ??).Дальше действуем подобно первым двум пунктам .

Постижение треугольников ведется математиками на протяжении нескольких тысячелетий. Наука о треугольниках – тригонометрия – использует особые величины: синус и косинус.

Прямоугольный треугольник

Изначально синус и косинус появились из-за необходимости рассчитывать величины в прямоугольных треугольниках. Было подмечено, что если значение градусной меры углов в прямоугольном треугольнике не менять, то соотношение сторон, насколько бы эти стороны ни изменялись в длине, остается неизменно идентичным.Именно так и были введены представления синуса и косинуса. Синус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинус – прилежащего к гипотенузе.

Теоремы косинусов и синусов

Но косинусы и синусы могут использоваться не только в прямоугольных треугольниках. Дабы обнаружить значение тупого либо острого угла, стороны всякого треугольника, довольно применить теорему косинусов и синусов.Теорема косинусов достаточно примитивна: «Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов 2-х других сторон за вычетом удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними». Существует две трактовки теоремы синусов: малая и расширенная. Согласно малой: «В треугольнике углы пропорциональны противолежащим сторонам». Данную теорему зачастую расширяют за счет свойства описанной около треугольника окружности: «В треугольнике углы пропорциональны противолежащим сторонам, а их отношение равно диаметру описанной окружности».

Производные

Производная – математический инструмент, показывающий, как стремительно меняется функция касательно метаморфозы ее довода. Производные применяются в алгебре, геометрии, экономике и физике, ряде технических дисциплин. При решении задач требуется знать табличные значения производных тригонометрических функций: синуса и косинуса. Производной синуса является косинус, а косинуса – синус, но со знаком «минус».

Применение в математике

Особенно зачастую синусы и косинусы применяются при решении прямоугольных треугольников и задач, связанных с ними. Удобство синусов и косинусов обнаружило свое отражение и в технике. Углы и стороны было примитивно оценивать по теоремам косинусов и синусов, разбивая трудные фигуры и объекты на «примитивные» треугольники. Инженеры и архитекторы, зачастую имеющие дело с расчетами соотношения сторон и градусных мер, тратили много времени и усилий для вычисления косинусов и синусов не табличных углов. Тогда «на подмогу» пришли таблицы Брадиса, содержащие тысячи значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов различных углов. В советское время некоторые преподаватели принуждали своих подопечных учить страницы таблиц Брадиса назубок.

jprosto.ru

КАК НАЙТИ СТОРОНУ ЧЕРЕЗ СИНУС: Расчет сторон прямоугольного треугольника через тригонометрические функции

Изначально синус и косинус возникли из-за необходимости рассчитывать величины в прямоугольных треугольниках. Синус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинус – прилежащего к гипотенузе. В случае известных прочих числовых данных, найти стороны треугольника прямоугольного достаточно по косинусу. Таким образом, синусом будет произведение косинуса на тангенс, а квадратом синуса будет квадрат этого произведения. Исторически они возникли как соотношения между сторонами прямоугольного треугольника, поэтому удобнее всего и вычислять их через прямоугольный треугольник. Было замечено, что если значение градусной меры углов в прямоугольном треугольнике не менять, то соотношение сторон, насколько бы эти стороны ни изменялись в длине, остается всегда одинаковым. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны? Вам понадобится Размеры сторон прямоугольного треугольника.

Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные. Чтобы найти значение тупого или острого угла, стороны любого треугольника, достаточно применить теорему косинусов и синусов. Причина в том, что значение синуса угла при вершине треугольника не определяет однозначно самого угла. Исключением является случай, когда заранее известно, что в данном треугольнике тупых углов быть не может — например, если треугольник прямоугольный.

Еще интересное:

Навигация по записям

callbollonez.ru

Формулы площади треугольника через синус

Определение и формула площади треугольника через синус

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Треугольником называется фигура, состоящая из трех вершин и трех сторон.

Существует много формул для вычисления площади треугольника. Если известны длины двух сторон треугольника и угол между этими сторонами, то для вычисления площади треугольника удобно пользоваться следующей формулой

где – стороны треугольника, – угол между сторонами и .

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	Найти площадь треугольника со сторонами см и см, если угол между этими сторонами равен .
Решение	Площадь треугольника будем искать как полупроизведение сторон треугольника на синус угла между ними:
Ответ	см

ПРИМЕР 2

Задание

В треугольнике угол , а сторона на см больше стороны . Найти длины сторон и треугольника, если его площадь равна .

Решение

Обозначим сторону через , тогда сторона будет равна . Запишем формулу для площади треугольника

и подставим в нее известные данные:

Преобразуем последнее уравнение и получим квадратное уравнение

Корнями полученного уравнения будут и . По смыслу задачи подходит только первый корень. Тогда см, а см.

Ответ

см, см.

ru.solverbook.com

Источник

Треугольник. Расчет сторон прямоугольного треугольника через тригонометрические функции.

Проанализируем прямоугольный треугольник ABC в котором обозначим катеты как а, b и гипотенузу как с соответственно.

Вполне логично сделать вывод, будут верны следующие равенства:

Значит катет прямоугольного треугольника допускается представить как произведение гипотенузы и синуса угла, противолежащего этому катету, либо и косинуса угла, прилежащего к нему.

На основе этих соотношений так же можно определить гипотенузу прямоугольного треугольника:

Иначе говоря, гипотенуза будет частным от деления катета либо на синус противолежащего к нему угла, либо на косинус прилежащего к катету угла.

Значит, катет прямоугольного треугольника допускается представить как произведением другого катета на тангенс угла, противолежащего первому катету, либо на котангенс угла, прилежащего к первому катету.

Все формулы для треугольника

1. Как найти неизвестную сторону треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

a , b , c — стороны произвольного треугольника

α , β , γ — противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

a , b — катеты

c — гипотенуза

α , β — острые углы

Формулы для катета, ( a ):

Формулы для катета, ( b ):

Формулы для гипотенузы, ( c ):

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

b — сторона (основание)

a — равные стороны

α — углы при основании

β — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b ):

Формулы длины равных сторон , (a):

4. Найти длину высоты треугольника

Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.

H — высота треугольника

a — сторона, основание

b, c — стороны

β , γ — углы при основании

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

R — радиус описанной окружности

S — площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Типы треугольников

По величине углов

По числу равных сторон

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a	=	b	=	c	= 2R
sin α	sin β	sin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Медианы треугольника

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

m_a = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2

m_b = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2

m_c = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2

Биссектрисы треугольника

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

l_a = 2√ bcp ( p — a ) b + c

l_b = 2√ acp ( p — b ) a + c

l_c = 2√ abp ( p — c ) a + b

где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

l_a = 2 bc cos α 2 b + c

l_b = 2 ac cos β 2 a + c

l_c = 2 ab cos γ 2 a + b

Высоты треугольника

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

h_a = b sin γ = c sin β

h_b = c sin α = a sin γ

h_c = a sin β = b sin α

Окружность вписанная в треугольник

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )

Окружность описанная вокруг треугольника

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Периметр треугольника

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Формулы площади треугольника

Формула Герона

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Подобие треугольников

∆MNK => α = α ₁, β = β ₁, γ = γ ₁ и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

источники:

http://www-formula.ru/2011-10-09-11-08-41

http://ru.onlinemschool.com/math/formula/triangle/

Источник

Теорема синусов

Теорема косинусов

Формула Герона

Решение треугольников

Пример №1 (решение треугольника по двум сторонам и углу между ними).

Пример №2 (решение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Пример №3 (решение треугольника по трем сторонам).

Пример №4

Пример №5

Примеры решения задач с использованием теоремы синусов и теоремы косинусов

Пример №6

Пример №7

Пример №8

Теорема Стюарта

Пример №9

Теорема Птолемея о вписанном четырехугольнике

Как найти длину стороны треугольника?

Для прямоугольного треугольника: 1) Найти катет через гипотенузу и другой катет

2) Найти гипотенузу по двум катетам

3) Найти катет по гипотенузе и противолежащему углу

4) Найти гипотенузу через катет и противолежащий угол

1) Найти основание через боковые стороны и угол между ними

2) Найти основание через боковые стороны и угол при основании

3) Найти боковые стороны по углу между ними

4) Найти боковые стороны по углу при основании

1) Найти сторону через площадь

2) Найти сторону через высоту

3) Найти сторону через радиус вписанной окружности

4) Найти сторону через радиус описанной окружности

1) Найти сторону через две известные стороны и один угол (теорема косинусов)

2) Найти сторону через одну известную сторону и два угла (теорема синусов)

Прямоугольный треугольник. Вычисление сторон и углов. Задание В8 (2014)

Площадь треугольника через синус и косинус

I. Площадь треугольника через синус

II. Площадь треугольника через косинус

Нахождение сторон треугольника через косинус и синус

Прямоугольный треугольник. Вычисление сторон и углов. Задание В7 (2015

Для вас другие записи этой рубрики:

Отзывов ( 7 )

Нахождение сторон треугольника через косинус и синус

Треугольник. Расчет сторон прямоугольного треугольника через тригонометрические функции.

Нахождение сторон треугольника через косинус и синус

Площадь треугольника через синус и косинус

I. Площадь треугольника через синус

II. Площадь треугольника через косинус

Как найти сторону через синус

Инструкция

Инструкция

Прямоугольный треугольник

Теоремы косинусов и синусов

Производные

Применение в математике

КАК НАЙТИ СТОРОНУ ЧЕРЕЗ СИНУС: Расчет сторон прямоугольного треугольника через тригонометрические функции

Еще интересное:

Формулы площади треугольника через синус

Определение и формула площади треугольника через синус

Примеры решения задач

Треугольник. Расчет сторон прямоугольного треугольника через тригонометрические функции.

Все формулы для треугольника

1. Как найти неизвестную сторону треугольника

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

4. Найти длину высоты треугольника

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Типы треугольников

По величине углов

По числу равных сторон

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Теорема синусов

Теорема косинусов

Теорема о проекциях

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Медианы треугольника

Свойства медиан треугольника:

Формулы медиан треугольника

Биссектрисы треугольника

Свойства биссектрис треугольника:

Формулы биссектрис треугольника

Высоты треугольника

Для прямоугольного треугольника:

1) Найти катет через гипотенузу и другой катет