Как найти сторону равнобедренного треугольника зная высоту

Как посчитать стороны равнобедренного треугольника

Чтобы посчитать чему равны стороны равнобедренного треугольника воспользуйтесь нашим удобным онлайн калькулятором:

Онлайн калькулятор

Как посчитать сторону a равнобедренного треугольника

Если известна сторона b и угол α

Если известна сторона b и угол β

Если известна сторона b и высота h

Как посчитать сторону b (основание) равнобедренного треугольника

Если известна сторона a и угол α

Если известна сторона a и угол β

Если известна сторона a и высота h

См. также

Длина стороны равнобедренного треугольника

Установить Длина стороны равнобедренного треугольника на мобильный

Найти сторону равнобедренного треугольника
зная сторону и высоту

Сторона равнобедренного треугольника a
Высота равнобедренного треугольника h
Сторона равнобедренного треугольника b

Скачать калькулятор

Рейтинг: 1.8 (Голосов 16)

×

Пожалуйста напишите с чем связна такая низкая оценка:

×

Для установки калькулятора на iPhone — просто добавьте страницу
«На главный экран»

Для установки калькулятора на Android — просто добавьте страницу
«На главный экран»

Сообщить об ошибке

Смотрите также

Сторона треугольника	Стороны прямоугольного	Стороны равностороннего	Сторона квадрата
Стороны прямоугольника	Стороны ромба	Стороны параллелограмма	Ребро куба

Как посчитать стороны равнобедренного треугольника

Онлайн калькулятор

Чтобы вычислить длины сторон равнобедренного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):

• длину основания (b) и угол α
• длину основания (b) и угол β
• длину основания (b) и высоту (h)

• длину двух равных сторон (a) и угол α
• длину двух равных сторон (a) и угол β
• длину двух равных сторон (a) и высоту (h)

Введите их в соответствующие поля и получите результат.

Как посчитать сторону a равнобедренного треугольника

Если известна сторона b и угол α

Чему равна сторона a равнобедренного треугольника если длина основания , а угол

Чему равна сторона a у равнобедренного треугольника если известны длина основания (сторона b) и угол α?

Формула

Пример

Если сторона b = 10 см, а ∠α = 30°, то:

Если известна сторона b и угол β

Чему равна сторона a равнобедренного треугольника если длина основания , а угол

Чему равна сторона a у равнобедренного треугольника если известны длина основания (сторона b) и угол β?

Формула

Пример

Если сторона b = 10 см, а ∠β = 30°, то:

a = 10 /_{2⋅sin 15} = 10/(2⋅0.2588) = 19.31см

Если известна сторона b и высота h

Чему равна сторона a равнобедренного треугольника если длина основания , а высота

Чему равна сторона a у равнобедренного треугольника если известны длина основания (сторона b) и высота h?

Формула

Пример

Если сторона b = 10 см, а высота h = 20 см, то:

a = √ 1 /_{10 2} + 20 2 = √ 0.01+400 = 20.61см

Как посчитать сторону b (основание) равнобедренного треугольника

Если известна сторона a и угол α

Чему равна сторона b равнобедренного треугольника если длина стороны , а угол

Чему равна сторона b у равнобедренного треугольника если известны длина стороны a и угол α?

Формула

Пример

Если сторона a = 10 см, а ∠α = 30°, то:

b = 2⋅10⋅cos 30° = 2⋅10⋅0.8660 = 17.32см

Если известна сторона a и угол β

Чему равна сторона b равнобедренного треугольника если длина стороны , а угол

Чему равна сторона b у равнобедренного треугольника если известны длина стороны a и угол β?

Формула

Пример

Если сторона a = 10 см, а ∠β = 40°, то:

Если известна сторона a и высота h

Чему равна сторона b равнобедренного треугольника если длина стороны , а высота

Чему равна сторона b у равнобедренного треугольника если известны длина стороны a и высота h?

Формула

b = 2⋅ √ a 2 — h 2 , h

Пример

Если сторона a = 10 см, а высота h = 5 см, то:

Все формулы для треугольника

1. Как найти неизвестную сторону треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

a , b , c — стороны произвольного треугольника

α , β , γ — противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

a , b — катеты

c — гипотенуза

α , β — острые углы

Формулы для катета, ( a ):

Формулы для катета, ( b ):

Формулы для гипотенузы, ( c ):

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

b — сторона (основание)

a — равные стороны

α — углы при основании

β — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b ):

Формулы длины равных сторон , (a):

4. Найти длину высоты треугольника

Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.

H — высота треугольника

a — сторона, основание

b, c — стороны

β , γ — углы при основании

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

R — радиус описанной окружности

S — площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Определение равнобедренного треугольника

Какой треугольник называется равнобедренным?

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны.

Давайте посмотрим на такой треугольник:

На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным.

А вот как называются стороны равнобедренного треугольника:

AB и BC — боковые стороны,

AC — основание треугольника.

Для понимания материала нам придется вспомнить, что такое биссектриса, медиана и высота, если вы вдруг забыли.

Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.

Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.

Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH.

Медиана — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».

В данном треугольнике медианой является отрезок BH.

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на прямую, содержащую сторону треугольника.

Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.

Признаки равнобедренного треугольника

Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.

1. Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник — равнобедренный.
2. Если высота треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
3. Если высота треугольника совпадает с его биссектрисой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
4. Если биссектриса треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник снова равнобедренный!

Свойства равнобедренного треугольника

Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 4 теоремы о его свойствах.

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Пусть AС — основание равнобедренного треугольника. Проведем биссектрису DK. Треугольник ADK равен треугольнику CDK по двум сторонам и углу между ними (AD = DC, DK — общая, а так как DK — биссектриса, то угол ADK равен углу CDK). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов, значит угол A равен углу C. Изи!

Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Δ ABH = Δ CBH по двум сторонам и углу между ними (углы ABH и CBH равны, потому что BH биссектриса, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, AH = HC и BH — медиана.

Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит, они равны по 90 градусов и BH — высота.

Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Δ ABH = Δ CBH по трём сторонам (AH = CH равны, потому что BH медиана, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.

Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит они равны по 90 градусов и BH — высота.

Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Δ ABH = Δ CBH по признаку прямоугольных треугольников, равенство гипотенуз и соответствующих катетов (AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.

Во-вторых, AH = HC и BH — медиана.

Примеры решения задач

Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать углы и стороны в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.

Задачка раз. Дан ΔABC с основанием AC: ∠C = 80°, AB = BC. Найдите ∠B.

Поскольку вы уже знакомы с различными теоремами, то для вас не секрет, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, а треугольник ABC — равнобедренный, так как AB = BC.

Значит, ∠A = ∠C = 80°.

Не должно вас удивить и то, что сумма углов треугольника равна 180°.

∠B = 180° − 80° − 80° = 20°.

Задачка два. В треугольнике ABC провели высоту BH, угол CAB равен 50°, угол HBC равен 40°. Найдите сторону BC, если BA = 5 см.

Сумма углов треугольника равна 180°, а значит в Δ ABH мы можем узнать угол ABH, который будет равен 180° − 50° − 90° = 40°.

А ведь получается, что углы ABH и HBC оба равны по 40° и BH — биссектриса.

Ну и раз уж BH является и биссектрисой, и высотой, то Δ ABC — равнобедренный, а значит BC = BA = 5 см.

Изучать свойства и признаки равнобедренного треугольника лучше всего на курсах по математике с опытными преподавателями в Skysmart.

Равнобедренный треугольник имеет две равные по значению боковые стороны a и основание b. Это позволяет рассчитать любые параметры треугольника, необходимые для решения задачи. Периметр равнобедренного треугольника равен удвоенной боковой стороне в сумме с основанием. (рис.88.1)
P=2a+b

Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, делит его на два конгруэнтных прямоугольных треугольника, с половиной основания в качестве второго катета и боковой стороной как гипотенузой. Такая высота одновременно является и медианой и биссектрисой. Найти ее можно по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника. (рис.88.2)
h_b=m_b=l_b=√(a^2-(b/2)^2 )=√(4a^2-b^2 )/2

Остальные две высоты равны друг другу и считаются через формулу с произведением разностей полупериметров и сторон, где приравнены боковые стороны. (рис.88.8)
h_a=(b√((4a^2-b^2)))/2a

Зная высоту, найти площадь равнобедренного треугольника можно, подставив полученное выражение в формулу, по которой площадь равна половине основания, умноженной на его высоту.
S=hb/2=(b√(4a^2-b^2 ))/4

Углы в равнобедренном треугольнике распределяются следующим образом – углы при основании друг другу конгруэнтны, также как и боковые стороны, а в сумме все три угла дают 180 градусов, поэтому найти их можно двумя видами разности.
α=(180°-β)/2
β=180°-2α

Если ни один из углов не дан, но есть все стороны, то можно воспользоваться теоремой косинусов, чтобы найти любой угол.
cos⁡α=(b^2+c^2-a^2)/2bc=(b^2+a^2-a^2)/2ba=b^2/2ba=b/2a
cos⁡β=(a^2+a^2-b^2)/(2a^2 )=(2a^2-b^2)/(2a^2 )

Медиана и биссектриса, опущенные на основание, вычисляются по формуле высоты, приведенной выше, а оставшиеся две медианы (равно как и две биссектрисы) равны друг другу, поскольку строятся на равных боковых сторонах. Вычислить медиану можно, упростив формулу произвольного треугольника. (рис. 88.3)
m_a=√(2a^2+2b^2-a^2 )/2=√(a^2+2b^2 )/2

В формуле биссектрисы аналогично приравниваются боковые стороны, и ее становится возможным вычислить по упрощенной схеме. (рис. 88.4)
l_a=√(ab(2a+b)(a+b-a) )/(a+b)=(b√(a(2a+b) ))/(a+b)

Средняя линия равнобедренного треугольника, параллельная основанию, равна его половине, а средние линии, параллельные боковым сторонам, равны между собой и также равны половинам самих боковых сторон. (рис. 88.5)
M_b=b/2
M_a=a/2

Радиус окружности, вписанной в равнобедренной треугольник, является производной формулы для произвольного треугольника, и рассчитать его можно, зная боковую сторону и основание. (рис. 88.6)
r=b/2 √((2a-b)/(2a+b))

Радиус окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника, также выводится из общей формулы и выглядит упрощенно следующим образом. (рис. 88.7)
R=a^2/√(4a^2-b^2 )