Как найти сторону по косинусу прилежащего угла

Треугольник. Расчет сторон прямоугольного треугольника через тригонометрические функции.

Проанализируем прямоугольный треугольник ABC в котором обозначим катеты как а, b и гипотенузу как с соответственно.

Вполне логично сделать вывод, будут верны следующие равенства:

Значит катет прямоугольного треугольника допускается представить как произведение гипотенузы и синуса угла, противолежащего этому катету, либо и косинуса угла, прилежащего к нему.

На основе этих соотношений так же можно определить гипотенузу прямоугольного треугольника:

Иначе говоря, гипотенуза будет частным от деления катета либо на синус противолежащего к нему угла, либо на косинус прилежащего к катету угла.

Значит, катет прямоугольного треугольника допускается представить как произведением другого катета на тангенс угла, противолежащего первому катету, либо на котангенс угла, прилежащего к первому катету.

Все формулы для треугольника

1. Как найти неизвестную сторону треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

a , b , c — стороны произвольного треугольника

α , β , γ — противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

a , b — катеты

c — гипотенуза

α , β — острые углы

Формулы для катета, ( a ):

Формулы для катета, ( b ):

Формулы для гипотенузы, ( c ):

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

b — сторона (основание)

a — равные стороны

α — углы при основании

β — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b ):

Формулы длины равных сторон , (a):

4. Найти длину высоты треугольника

Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.

H — высота треугольника

a — сторона, основание

b, c — стороны

β , γ — углы при основании

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

R — радиус описанной окружности

S — площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Типы треугольников

По величине углов

По числу равных сторон

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Медианы треугольника

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

m_a = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2

m_b = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2

m_c = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2

Биссектрисы треугольника

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

l_a = 2√ bcp ( p — a ) b + c

l_b = 2√ acp ( p — b ) a + c

l_c = 2√ abp ( p — c ) a + b

где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

l_a = 2 bc cos α 2 b + c

l_b = 2 ac cos β 2 a + c

l_c = 2 ab cos γ 2 a + b

Высоты треугольника

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

h_a = b sin γ = c sin β

h_b = c sin α = a sin γ

h_c = a sin β = b sin α

Окружность вписанная в треугольник

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )

Окружность описанная вокруг треугольника

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Периметр треугольника

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Формулы площади треугольника

Формула Герона

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Подобие треугольников

∆MNK => α = α ₁, β = β ₁, γ = γ ₁ и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Калькулятор длин сторон треугольника онлайн умеет вычислять длину сторон 14 способами.
Калькулятор может:

1. Найти все стороны треугольника.
2. Найти все углы треугольника.
3. Найти площадь (S) и периметр (P) треугольника.
4. Найти радиус (r) вписанной окружности.
5. Найти радиус (R) описанной окружности.
6. Найти высоту (h) треугольника.

Просто введите любые имеюшиеся данные и, если их достаточно, то калькулятор сам подберет нужные формулы для вычислений и покажет подробный расчет с выводом формул.
 

Сторона треугольника (или длина сторон) может быть найдена различными методами. 
В большинстве случаев достаточно воспользоваться одной из ниже приведенных формул. Однако не редки случаи когда для нахождения искомой стороны понадобиться обратиться к дополнительным материалам или решения в два действия.

Как найти длину стороны треугольника?

Найти длину сторон треугольника очень просто на нашем онлайн калькуляторе. Так же длина может быть найдена самостоятельно по формулам. Выбор нужной формулы зависит от того какие данные известны.

Для прямоугольного треугольника:

1) Найти катет через гипотенузу и другой катет

где a и b — катеты, с — гипотенуза.

2) Найти гипотенузу по двум катетам

где a и b — катеты, с — гипотенуза.

3) Найти катет по гипотенузе и противолежащему углу

где a и b — катеты, с — гипотенуза,α° и β° — углы напротив катетов.

4) Найти гипотенузу через катет и противолежащий угол

где a и b — катеты, с — гипотенуза,α° и β°- углы напротив катетов.

Для равнобедренного треугольника:

1) Найти основание через боковые стороны и угол между ними

где a — искомое основание, b — известная боковая сторона,α° — угол между боковыми сторонами.

2) Найти основание через боковые стороны и угол при основании

где a — искомое основание,b — известная боковая сторона,β° — угол при осноавнии.

3) Найти боковые стороны по углу между ними

где b — искомая боковая сторона, a — основание,α° — угол между боковыми сторонами.

4) Найти боковые стороны по углу при основании

где b — искомая боковая сторона, a — основание,β° — угол при осноавнии.

​​​​​Для равностороннего треугольника:

1) Найти сторону через площадь

где a — искомая сторона, S — площадь треугольника.

2) Найти сторону через высоту

где a — искомая сторона,h — высота треугольника.

3) Найти сторону через радиус вписанной окружности

где a — искомая сторона,r — радиус вписанной окружности.

4) Найти сторону через радиус описанной окружности

где a — искомая сторона,R — радиус описанной окружности.

​​​​​Для произвольного треугольника:

1) Найти сторону через две известные стороны и один угол (теорема косинусов)

где a — искомая сторона, b и с — известные стороны, α° — угол напротив неизвестной стороны.

2) Найти сторону через одну известную сторону и два угла (теорема синусов)

где a — искомая сторона, b — известная сторона, α° и β° известные углы.

Скачать все формулы в формате Word

Содержание:

Теорема синусов, теорема косинусов:

Теорема синусов

Вы уже знаете, что в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона. Пусть

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу окружности, описан­ной около треугольника, т. е.

Доказательство:

Пусть дан треугольник АВС, ВС =  — радиус его описанной окружности. Угол а может быть острым, тупым или прямым. Рассмотрим эти случаи отдельно.

1) Угол  острый (рис. 152, а). Проведя диаметр BD и отрезок DC, получим прямоугольный треугольник BCD, в котором  как вписанный угол, опирающийся на диаметр. Заметим, что  как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу ВС. Из прямоугольного треугольника BCD находим т. е.  откуда

2) Угол  тупой (рис. 152, б). Проведем диаметр BD и отрезок DC. В четырехугольнике ABDC по свойству вписанного четырехугольника  Из прямоугольного треугольника  как вписанный угол, опирающийся на диаметр)  Поскольку  то  откуда

3) Для  справедливость равенства  докажите самостоятельно, В силу доказанного  откуда

Теорема доказана.

Теорема синусов дает возможность решать широкий круг задач.
Так, пропорция  позволяет решить две следующие задачи:

• зная две стороны треугольника и угол, противолежащий одной из них, найти синус угла, противолежащего другой стороне;
• зная два угла треугольника и сторону, противолежащую одному из этих углов, найти сторону, противолежащую другому углу.

С помощью формулы можно решить еще три задачи (рис. 153): 

• зная сторону треугольника и противолежащий ей угол, найти радиус окружности, описанной около треугольника;
• зная угол треугольника и радиус описанной окружности, найти сторону треугольника, противолежащую данному углу;
• зная сторону треугольника и радиус его описанной окружности, найти синус угла, противолежащего данной стороне.

Повторение

Пример:

В остроугольном треугольнике известны стороны  и угол  Найти два других угла  округлив их значения до 1°, и третью сторону треугольника, округлив ее длину до 0,1.

Решение:

По теореме синусов  откуда  При помощи калькулятора (таблиц). находим  Тогда  По теореме синусов  откуда

Ответ:
 

Замечание. Если бы по условию треугольник был тупоугольным с тупым углом  то, зная  вначале мы нашли бы острый угол  А за­тем, используя формулу  получили бы, что
 

Пример:

Доказать справедливость формулы площади треугольника  где  — его стороны, R — радиус описанной окружности.

Доказательство:

Воспользуемся известной формулой площади треугольника:  По теореме синусов  откуда  Тогда  Что и требовалось доказать.

Замечание. Выведенная формула позволяет найти радиус описанной окружности треугольника
 

Пример:

Найти радиус R окружности, описанной около равнобедренного треугольника АВС с основанием АС = 10 и боковой стороной ВС =13 (рис. 154).

Решение:

Способ 1. Из формулы  следует, что  Найдем . Для этого в треугольнике АВС проведем высоту ВК, которая будет и медианой, откуда  Из по теореме Пифагора  откуда

Тогда
Способ 2. Используем формулу  из которой Так как то
Ответ:
 

Замечание*. Напомним, что в главе II мы находили радиус R описанной окружности равнобедренного треугольника, проводя серединные перпендикуляры к его сторонам и используя подобие полученных прямоугольных треугольников. Также мы могли использовать формулу  где  — боковая сторона,  — высота, проведенная к основанию  

Заменив в формуле  получим  — формулу радиуса описанной окружности для произвольного треугольника. Итак, мы имеем четыре формулы для нахождения радиуса R описанной окружности треугольника:

Теорема косинусов

Теорема косинусов позволяет выразить длину любой стороны треугольника через длины двух других его сторон и косинус угла между ними (например, длину стороны  треугольника АВС (рис. 165) через длины сторон ). Теорему косинусов можно назвать самой «работающей» в геометрии. Она имеет многочисленные следствия, которые часто используются при решении задач.

Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сум­ме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними, т. е. 

Доказательство:

Докажем теорему для случая, когда в треугольнике АВС угол А и угол С острые (рис. 166).
Проведем высоту ВН к стороне АС. Из  находим  откуда
Из  по теореме Пифагора

По основному тригонометрическому тождеству
Тогда

Справедливость теоремы для случаев, когда  или  тупой или прямой, докажите самостоятельно. Теорема доказана.
Для сторон  теорема косинусов запишется так:

Замечание. Если , то по теореме Пифагора  Так как  то  Таким образом, теорема Пифагора — частный случай теоремы косинусов.
С помощью теоремы косинусов можно решить следующие задачи:

• зная две стороны и угол между ними, найти третью сторону треугольника;

• зная две стороны и угол, противолежащий одной из этих сторон, найти третью сторону (рис. 167) (в этом случае возможны два решения).

Рассмотрим следствия из теоремы косинусов, которые дают возможность решить еще целый ряд задач.

Следствие:

Теорема косинусов позволяет, зная три стороны треугольника, най­ти его углы (косинусы углов). Из равенства  следует формула

Для углов получим:

Пример:

В треугольнике АВС стороны АВ = 8, ВС = 5, АС = 7. Найдем ZB (рис. 168).

По теореме косинусов

Используя записанную выше формулу, можно сра­зу получить: 

Следствие:

С помощью теоремы косинусов можно по трем сторонам определить вид треугольника: остроугольный, прямоугольный или тупоугольный.
 

Так, из формулы  с учетом того, что  следует:

1. если  то  и угол  острый;
2. если  то  и угол  тупой;
3. если  то  и угол  прямой.

При определении вида треугольника достаточно найти знак косинуса угла, лежащего против большей стороны, поскольку только больший угол треугольника может быть прямым или тупым.
 

Пример:

Выясним, каким является треугольник со сторонами a = 2, 6 = 3 и с = 4. Для этого найдем знак косинуса угла у, лежащего против большей стороны с. Так как  то  угол  тупой и данный треугольник тупоугольный.

Сформулируем правило определения вида треугольника (относительно углов). Треугольник является:

1. остроугольным, если квадрат его большей стороны меньше суммы квадратов двух других его сторон:
2. тупоугольным, если квадрат его большей стороны больше суммы квадратов двух других его сторон:
3. прямоугольным, если квадрат его большей стороны равен сумме квадратов двух других его сторон:

Следствие:

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадра­тов всех его сторон: 

Доказательство:

Пусть в параллелограмме ABCD — острый, откуда  — тупой (рис. 169). По теореме косинусов из
                                     (1)
Из  Поскольку cos  то

                                   (2)

Сложив почленно равенство (1) и равенство (2), получим  что и требовалось доказать.

Данная формула дает возможность:

• • зная две соседние стороны и одну из диагоналей параллелограмма, найти другую диагональ;
• • зная две диагонали и одну из сторон параллелограмма, найти соседнюю с ней сторону.

Следствие:

Медиану  треугольника со сторонами а, b и с можно найти по фор­муле 

Доказательство:

Рассмотрим  — медиана треугольника (рис. 170). Продлим медиану AM за точку М на ее длину:

Проведем отрезки BD и DC. Так как у четырехугольника ABDC диагонали AD и ВС точкой пересечения делятся пополам, то он — параллелограмм. По свойству диагоналей параллелограмма  Отсюда следует, что
Утверждение доказано.

Аналогично:

Формула медианы позволяет:

• зная три стороны треугольника, найти любую из его медиан;
• зная две стороны и медиану, проведенную к третьей стороне, найти третью сторону;
• зная три медианы, найти любую из сторон треугольника.

Пример:

а) Дан треугольник АВС, а = 5, 5 = 3,  Найти сторону с. б) Дан треугольник АВС, а = 7, с = 8, а = 60°. Найти сторону Ь.

Решение:

а) По теореме косинусов 

 Отсюда  б) Пусть  По теореме косинусов  то есть  Отсюда  или  так как для наборов длин отрезков 7, 3, 8 и 7, 5, 8 выполняется неравенство треугольника.
Ответ: а) 7; б) 3 или 5.

Пример:

Две стороны треугольника равны 6 и 10, его площадь —
Найти третью сторону треугольника при условии, что противолежащий ей угол — тупой.

Решение:

Пусть в стороны АВ = 6, ВС = 10 и  (рис. 171).
Поскольку  то  откуда
Так как  и по условию  — тупой, то . Для нахождения стороны АС применим теорему косинусов:

Ответ: 14.

Пример:

Найти площадь треугольника, две стороны которого равны 6 и 8, а медиана, проведенная к третьей стороне, равна 5.

Решение:

Обозначим стороны треугольника  Пусть  — медиана (рис. 172).
По формуле медианы  откуда  По обратной теореме Пифагора данный треугольник со сторонами 6, 8 и 10 — прямоугольный, его площадь равна половине произведения катетов:
Ответ: 24.

Формула Герона

Мы знаем, как найти площадь треугольника по основанию и высоте, проведенной к этому основанию:  а также по двум сторонам и углу между ними:  Теперь мы выведем формулу нахождения площади треугольника по трем сторонам.

Теорема (формула Герона).

Площадь треугольника со сторонами  можно найти по формуле  где — полупериметр треугольника.

Доказательство:

 (рис. 183). Из основ­ного тригонометрического тождества  следует, что  Для  синус положительный. Поэтому Из теоремы косинусов  откуда 

Тогда 

Так как

Теорема доказана.

Решение треугольников

Решением треугольника называется нахождение его неизвестных сторон и углов (иногда других элементов) по данным, определяющим треугольник.

Такая задача часто встречается на практике, например в геодезии, астрономии, строительстве, навигации.

Рассмотрим алгоритмы решения трех задач.
 

Пример №1 (решение треугольника по двум сторонам и углу между ними). 

Дано: (рис. 184).

Найти :
 

Решение:

Рис. 184
1) По теореме косинусов

2) По следствию из теоремы косинусов

3) Угол  находим при помощи калькулятора или таблиц.

4) Угол
Замечание. Нахождение угла  по теореме синусов требует выяснения того, острый или тупой угол
 

Пример №2 (решение треугольника по стороне и двум  прилежащим к ней углам).

Дано: (рис. 185).

Найти:

Решение:

1) Угол

2) По теореме синусов (sin  и sin  находим при помощи калькулятора или таблиц).

3) Сторону с можно найти с помощью теоремы косинусов или теоре­мы синусов: или (cos и sin находим при помощи калькулятора или таблиц).

Пример №3 (решение треугольника по трем сторонам).

Дано:  (рис. 186).

Найти: и радиус R описанной окружности.

Решение:

1) По следствию из теоремы косинусов

2) Зная  угол  находим при помощи калькулятора или таблиц.

3) Аналогично находим угол

 4) Угол

 5) Радиус R описанной окружности треугольника можно найти по фор­муле  где
 

Замечание*. Вторым способом нахождения R будет нахождение косинуса любого угла при помощи теоремы косинусов  затем нахождение по косинусу угла его синуса  и, наконец, использование теоремы синусов для нахождения R.

Пример №4

Найти площадь S и радиус R описанной окружности треугольника со сторонами 9, 12 и 15.

Решение:

Способ 1. Воспользуемся формулой Герона. Обозначим а = 9, b = 12, с = 15. Получим:

 Тогда 

 Радиус R описанной окруж­ности найдем из формулы  Имеем:
Ответ:
Способ 2. Так как поскольку  то треугольник — прямоугольный по обратной теореме Пифагора. Его площадь равна половине произведения катетов:  а радиус описанной окружности равен половине гипотенузы:
 

Пример №5

Найти площадь трапеции с основаниями, равными 5 и 14, и боковыми сторонами, равными 10 и 17.

Решение:

Пусть в трапеции ABCD основания AD = 14 и ВС = 5, боковые стороны АВ = 10 и  Проведем  (рис. 187). Так как АВСК — параллелограмм, то СК = АВ = 10, АК = ВС = 5, откуда KD = AD — АК = 9. Найдем высоту СН треугольника KCD, которая равна высоте трапеции. Площадь треугольника KCD найдем по формуле Герона, обозначив его стороны а = 10, b = 17, с = 9. Получим:

 Так как СН = 8. Площадь трапеции

Ответ: 76.
 

Примеры решения задач с использованием теоремы синусов и теоремы косинусов

Пример:

Внутри угла А, равного 60°, взята точка М, которая находится на расстоянии 1 от одной стороны угла и на расстоянии 2 от другой стороны. Найти расстояние от точки М до вершины угла А (рис. 189, а).

Решение:

Пусть  Найдем
длину отрезка AM. Сумма углов четырехугольника АВМС равна 360°.
Поэтому
Так как в четырехугольнике АВМС , то около него можно описать окружность по признаку вписанного четырехугольника (рис. 189, б). Поскольку прямой вписанный угол опирается на диаметр, то отрезок AM — диаметр этой окружности, т. е.  где R — радиус. Из  по теореме косинусов  Из  по теореме синусов  откуда

Ответ:
Замечание. Вторым способом решения будет продление отрезка ВМ до пересечения с лучом АС и использование свойств полученных прямоугольных треуголь­ников. Рассмотрите этот способ самостоятельно.

Пример №6

В прямоугольном треугольнике АВС известно:  высота СН = 2 (рис. 190). Найти гипотенузу АВ.

Решение:

Построим  симметричный  относительно прямой АВ (см. рис. 190).
Поскольку  то вокруг четырехугольника  можно описать окруж­ность, где АВ — диаметр этой окружности (прямой вписанный угол опирается на диаметр). Треугольник  вписан в эту окруж­ность,  По теореме синусов  откуда
Ответ: 8.

Пример №7

Дан прямоугольный треугольник АВС с катетами ВС = а и АС =  На гипотенузе АВ как на стороне построен квадрат ADFB (рис. 191). Найти расстояние от центра О этого квадрата до вершины С прямого угла, т. е. отрезок СО.

Решение:

Способ 1. Так как  (диагона­ли квадрата ADFB взаимно перпендикулярны), то  поэтому четырехугольник АОВС является вписанным в окружность, ее диа­метр  Тогда

Пусть СО = х. По теореме косинусов из  находим

из  находим

По свойству вписанного четырехугольника  Поскольку  то откуда находим Тогда .

 Способ 2. Используем теорему Птолемея, которая гласит: «Произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений его противоположных сторон». Для нашей задачи получаем (см. рис. 191):

Способ 3. Достроим  до квадрата CMNK, как показано на рисунке 192. Можно показать, что центр квадрата CMNK совпадет с центром квадрата ADFB, т. е. с точкой О (точки В и D симметричны относительно центров обоих квадратов). Тогда
Ответ:
 

Пример №8

Точка О — центр окружности, вписанной в треуголь­ник АВС,  Найти стороны треугольника (см. задачу 232*).

Решение:

Пусть  и
 — радиус вписанной окружности (рис. 193).
Тогда

Отсюда  Применим формулу Герона:

С другой стороны,  Из уравнения  находим  = 2. Откуда  (см),  (см),  (см).
Ответ: 15 см; 20 см; 7 см.

Теорема Стюарта

Следующая теорема позволяет найти длину отрезка, соединяющего вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.
 

Теорема Стюарта. «Если а, b и с — стороны треугольника и отре­зок d делит сторону с на отрезки, равные х и у (рис. 194), то справедлива формула

Доказательство:

По теореме косинусов из и  (см. рис. 194) следует:

                                     (1)

              (2)

Умножим обе части равенства (1) на у, равенства (2) — на

Сложим почленно полученные равенства:

Из последнего равенства выразим
Теорема доказана.

Следствие:

Биссектрису треугольника можно найти по формуле (рис. 195)

Доказательство:

По свойству биссектрисы треугольника  Разделив сторону с в отношении  получим: 

 По теореме Стюарта

Пример №9

Доказать, что если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный (теорема Штейнера—Лемуса).

Доказательство:

Пусть дан треугольник АВС,  — биссектрисы, проведенные к сторонам ВС = а и АС = b соответственно, и  (рис. 196). Нужно доказать, что  Выразим  и через  и приравняем полученные выражения. Биссектриса делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Поэтому  откуда  откуда

По формуле биссектрисы треугольника 

Из условия  следует:  Перенеся слагаемые в одну сторону равенства и разложив на множители (проделайте это самостоятельно), получим:  Отсюда  (второй множитель при положительных  больше нуля). Утверждение доказано.

Теорема Птолемея о вписанном четырехугольнике

Произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений его противоположных сторон, т. е. (рис. 197).

Доказательство:

Из  по теореме косинусов 
Так как  (по свойству вписанного четырехугольника) и откуда
Аналогично из  получим Тогда   Теорема доказана.

Запомните:

1. Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам про­тиволежащих углов. Отношение стороны треугольника к синусу проти­волежащего угла равно удвоенному радиусу его описанной окружности:
2. Радиус описанной окружности треугольника можно найти, используя формулы:
3. Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме ква­дратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
4. Пусть  — стороны треугольника и с — большая сторона. Если , то треугольник тупоугольный, если  то треугольник остроугольный, если , то треугольник прямоугольный.
5. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон:
6. Формула Герона:
7. Формула медианы:

Теорема косинусов