Как найти совместимость системы линейных уравнений

Теорема Кронекера-Капелли. Исследование систем линейных уравнений на совместность. Первая часть.

Исследовать систему линейных агебраических уравнений (СЛАУ) на совместность означает выяснить, есть у этой системы решения, или же их нет. Ну и если решения есть, то указать сколько их.

Нам понадобятся сведения из темы «Система линейных алгебраических уравнений. Основные термины. Матричная форма записи». В частности, нужны такие понятия, как матрица системы и расширенная матрица системы, поскольку именно на них опирается формулировка теоремы Кронекера-Капелли. Как обычно, матрицу системы будем обозначать буквой $A$, а расширенную матрицу системы – буквой $widetilde{A}$.

Теорема Кронекера-Капелли

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, т.е. $rang A=rangwidetilde{A}$.

Напомню, что система называется совместной, если она имеет хоть одно решение. Теорема Кронекера-Капелли говорит вот о чём: если $rang A=rangwidetilde{A}$, то решение есть; если $rang Aneqrangwidetilde{A}$, то данная СЛАУ не имеет решений (несовместна). Ответ на вопрос о количестве этих решений даёт следствие из теоремы Кронекера-Капелли. В формулировке следствия использована буква $n$, которая равна количеству переменных заданной СЛАУ.

Следствие из теоремы Кронекера-Капелли

1. Если $rang Aneqrangwidetilde{A}$, то СЛАУ несовместна (не имеет решений).
2. Если $rang A=rangwidetilde{A} < n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
3. Если $rang A=rangwidetilde{A} = n$, то СЛАУ является определённой (имеет ровно одно решение).

Заметьте, что сформулированная теорема и следствие из неё не указывают, как найти решение СЛАУ. С их помощью можно лишь выяснить, существуют эти решения или нет, а если существуют – то сколько.

Пример №1

Исследовать СЛАУ $
left {begin{aligned}
& -3x_1+9x_2-7x_3=17;\
& -x_1+2x_2-4x_3=9;\
& 4x_1-2x_2+19x_3=-42.
end{aligned}right.$ на совместность. Если СЛАУ совместна, указать количество решений.

Решение

Чтобы выяснить наличие решений заданной СЛАУ, используем теорему Кронекера-Капелли. Нам понадобятся матрица системы $A$ и расширенная матрица системы $widetilde{A}$, запишем их:

$$
A=left( begin{array} {ccc}
-3 & 9 & -7 \ -1 & 2 & -4 \ 4 & -2 & 19
end{array} right);;

widetilde{A}=left( begin{array} {ccc|c}
-3 & 9 &-7 & 17 \ -1 & 2 & -4 & 9\ 4 & -2 & 19 & -42
end{array} right).
$$

Нужно найти $rang A$ и $rangwidetilde{A}$. Для этого есть много способов, некоторые из которых перечислены в разделе «Ранг матрицы». Обычно для исследования таких систем применяют два метода: «Вычисление ранга матрицы по определению» или «Вычисление ранга матрицы методом элементарных преобразований».

Способ №1. Вычисление рангов по определению.

Согласно определению, ранг – это наивысший порядок миноров матрицы, среди которых есть хоть один, отличный от нуля. Обычно исследование начинают с миноров первого порядка, но здесь удобнее приступить сразу к вычислению минора третьего порядка матрицы $A$. Элементы минора третьего порядка находятся на пересечении трёх строк и трёх столбцов рассматриваемой матрицы. Так как матрица $A$ содержит всего 3 строки и 3 столбца, то минор третьего порядка матрицы $A$ – это определитель матрицы $A$, т.е. $Delta A$. Для вычисления определителя применим формулу №2 из темы «Формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков»:

$$
Delta A=left| begin{array} {ccc}
-3 & 9 & -7 \ -1 & 2 & -4 \ 4 & -2 & 19
end{array} right|=-21.
$$

Итак, есть минор третьего порядка матрицы $A$, который не равен нулю. Минор четвёртого порядка составить невозможно, так как для него требуется 4 строки и 4 столбца, а в матрице $A$ всего 3 строки и 3 столбца. Итак, наивысший порядок миноров матрицы $A$, среди которых есть хотя бы один не равный нулю, равен 3. Следовательно, $rang A=3$.

Нам требуется найти также и $rangwidetilde{A}$. Давайте посмотрим на структуру матрицы $widetilde{A}$. До черты в матрице $widetilde{A}$ находятся элементы матрицы $A$, причём мы выяснили, что $Delta Aneq 0$. Следовательно, у матрицы $widetilde{A}$ есть минор третьего порядка, который не равен нулю. Миноров четвёртого порядка матрицы $widetilde{A}$ составить мы не можем, поэтому делаем вывод: $rangwidetilde{A}=3$.

Так как $rang A=rangwidetilde{A}$, то согласно теореме Кронекера-Капелли система совместна, т.е. имеет решение (хотя бы одно). Чтобы указать количество решений, учтём, что наша СЛАУ содержит 3 неизвестных: $x_1$, $x_2$ и $x_3$. Так как количество неизвестных $n=3$, то делаем вывод: $rang A=rangwidetilde{A}=n$, поэтому согласно пункту №3 следствия из теоремы Кронекера-Капелли, система является определённой, т.е. имеет единственное решение.

Задача решена. Какие недостатки и преимущества имеет данный способ? Для начала поговорим о плюсах. Во-первых, нам понадобилось найти всего один определитель. После этого мы сразу сделали вывод о количестве решений. Обычно в стандартных типовых расчётах даются системы уравнений, которые содержат три неизвестных и имеют единственное решение. Для таких систем данный метод очень даже удобен, ибо мы заранее знаем, что решение есть (иначе примера не было бы в типовом расчёте). Т.е. нам остаётся только показать наличие решения наиболее быстрым способом. Во-вторых, вычисленное значение определителя матрицы системы (т.е. $Delta A$) пригодится после: когда станем решать заданную систему методом Крамера или с помощью обратной матрицы.

Однако метод вычисления ранга по определению нежелательно применять, если матрица системы $A$ является прямоугольной. В этом случае лучше применить второй метод, о котором пойдёт речь ниже. Кроме того, если $Delta A=0$, то мы ничего не сможем сказать о количестве решений заданной неоднородной СЛАУ. Может, СЛАУ имеет бесконечное количество решений, а может – ни одного. Если $Delta A=0$, то требуется дополнительное исследование, которое зачастую является громоздким.

Подводя итог сказанному, отмечу, что первый способ хорош для тех СЛАУ, у которых матрица системы квадратна. При этом сама СЛАУ содержит три или четыре неизвестных и взята из стандартных типовых расчетов или контрольных работ.

Способ №2. Вычисление ранга методом элементарных преобразований.

Подробно это метод описан в соответствующей теме. Мы станем вычислять ранг матрицы $widetilde{A}$. Почему именно матрицы $widetilde{A}$, а не $A$? Дело в том, что матрица $A$ является частью матрицы $widetilde{A}$, поэтому вычисляя ранг матрицы $widetilde{A}$ мы одновременно найдем и ранг матрицы $A$.

begin{aligned}

&widetilde{A} =left( begin{array} {ccc|c}
-3 & 9 &-7 & 17 \ -1 & 2 & -4 & 9\ 4 & -2 & 19 & -42
end{array} right) rightarrow left|text{меняем местами первую и вторую строки}right| rightarrow \

&rightarrow left( begin{array} {ccc|c}
-1 & 2 & -4 & 9 \
-3 & 9 &-7 & 17\
4 & -2 & 19 & -42
end{array} right)
begin{array} {l} phantom{0} \ r_2-3r_1\ r_3+4r_1 end{array} rightarrow

left( begin{array} {ccc|c}
-1 & 2 & -4 & 9 \
0 & 3 &5 & -10\
0 & 6 & 3 & -6
end{array} right)
begin{array} {l} phantom{0} \ phantom{0}\ r_3-2r_2 end{array}rightarrow\

&rightarrow left( begin{array} {ccc|c}
-1 & 2 & -4 & 9 \
0 & 3 &5 & -10\
0 & 0 & -7 & 14
end{array} right)

end{aligned}

Мы привели матрицу $widetilde{A}$ к ступенчатому виду. Полученная ступенчатая матрица имеет три ненулевых строки, поэтому её ранг равен 3. Следовательно, и ранг матрицы $widetilde{A}$ равен 3, т.е. $rangwidetilde{A}=3$. Делая преобразования с элементами матрицы $widetilde{A}$ мы одновременно преобразовывали и элементы матрицы $A$, расположенные до черты. Матрица $A$ также приведена к ступенчатому виду: $left( begin{array} {ccc}
-1 & 2 & -4 \
0 & 3 &5 \
0 & 0 & -7
end{array} right)$. Вывод: ранг матрицы $A$ также равен 3, т.е. $rang A=3$.

Так как $rang A=rangwidetilde{A}$, то согласно теореме Кронекера-Капелли система совместна, т.е. имеет решение. Чтобы указать количество решений, учтём, что наша СЛАУ содержит 3 неизвестных: $x_1$, $x_2$ и $x_3$. Так как количество неизвестных $n=3$, то делаем вывод: $rang A=rangwidetilde{A}=n$, поэтому согласно пункту №3 следствия из теоремы Кронекера-Капелли, система определена, т.е. имеет единственное решение.

Какие преимущества второго способа? Главное преимущество – это его универсальность. Нам совершенно неважно, является ли матрица системы квадратной или нет. Кроме того, мы фактически провели преобразования прямого хода метода Гаусса. Осталось лишь пару действий, и мы смогли бы получить решение данной СЛАУ. Честно говоря, второй способ нравится мне более первого, но выбор – это дело вкуса.

Ответ: Заданная СЛАУ совместна и определена.

Пример №2

Исследовать СЛАУ
$ left{ begin{aligned}
& x_1-x_2+2x_3=-1;\
& -x_1+2x_2-3x_3=3;\
& 2x_1-x_2+3x_3=2;\
& 3x_1-2x_2+5x_3=1;\
& 2x_1-3x_2+5x_3=-4.

end{aligned} right.$
на совместность.

Решение

Находить ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы будем методом элементарных преобразований. Расширенная матрица системы: $widetilde{A}=left( begin{array} {ccc|c} 1 & -1 & 2 & -1\ -1 & 2 & -3 & 3 \ 2 & -1 & 3 & 2 \ 3 & -2 & 5 & 1 \ 2 & -3 & 5 & -4 end{array} right)$. Найдём требуемые ранги, преобразовывая расширенную матрицу системы:

$$
left( begin{array} {ccc|c}
1 & -1 & 2 & -1\
-1 & 2 & -3 & 3 \
2 & -3 & 5 & -4 \
3 & -2 & 5 & 1 \
2 & -1 & 3 & 2 end{array} right)
begin{array} {l} phantom{0}\r_2+r_1\r_3-2r_1\ r_4-3r_1\r_5-2r_1end{array}rightarrow

left( begin{array} {ccc|c}
1 & -1 & 2 & -1\
0 & 1 & -1 & 2 \
0 & -1 & 1 & -2 \
0 & 1 & -1 & 4 \
0 & 1 & -1 & 4 end{array} right)
begin{array} {l} phantom{0}\phantom{0}\r_3-r_2\ r_4-r_2\r_5+r_2end{array}rightarrow\
$$

$$
rightarrowleft( begin{array} {ccc|c}
1 & -1 & 2 & -1\
0 & 1 & -1 & 2 \
0 & 0 & 0 & 2 \
0 & 0 & 0 & 2 \
0 & 0 & 0 & 0 end{array} right)
begin{array} {l} phantom{0}\phantom{0}\phantom{0}\ r_4-r_3\phantom{0}end{array}rightarrow

left( begin{array} {ccc|c}
1 & -1 & 2 & -1\
0 & 1 & -1 & 2 \
0 & 0 & 0 & 2 \
0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 end{array} right)
$$

Расширенная матрица системы приведена к ступенчатому виду. Ранг ступенчатой матрицы равен количеству её ненулевых строк, поэтому $rangwidetilde{A}=3$. Матрица $A$ (до черты) тоже приведена к ступенчатому виду, и ранг её равен 2, $rang{A}=2$.

Так как $rang Aneqrangwidetilde{A}$, то согласно теореме Кронекера-Капелли система несовместна (т.е. не имеет решений).

Ответ: система несовместна.

Пример №3

Исследовать СЛАУ

$$left{ begin{aligned}
& 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\
& x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\
& -3x_1+9x_2-11x_3-7x_5=-64;\
& -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\
& 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132.
end{aligned} right.$$

на совместность.

Решение

Приводим расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:

$$
left( begin{array}{ccccc|c}
2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\
1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \
-3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \
-5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \
7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 end{array} right)
overset{r_1leftrightarrow{r_3}}{rightarrow}
$$

$$
rightarrowleft( begin{array}{ccccc|c}
1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\
2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\
-3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64\
-5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \
7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 end{array} right)
begin{array} {l} phantom{0}\ r_2-2r_1 \r_3+3r_1 \ r_4+5r_1 \ r_5-7r_1 end{array} rightarrow

left( begin{array}{ccccc|c}
1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\
0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\
0 & 3 & -2 & 0 & -1 & -13\
0 & 7 & -1 & -5 & 6 & -5 \
0 & -3 & 2 & 0 & 1 & 13 end{array} right)
begin{array} {l} phantom{0}\ phantom{0}\4r_3+3r_2 \ 4r_4-7r_2 \ 4r_5+3r_2 end{array} rightarrow
$$

$$
rightarrowleft( begin{array}{ccccc|c}
1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\
0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\
0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76\
0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76 \
0 & 0 & 11 & -15 & 25 & 76 end{array} right)
begin{array} {l} phantom{0}\ phantom{0}\phantom{0} \ r_4-r_3 \ r_5+r_2 end{array} rightarrow

left( begin{array}{ccccc|c}
1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\
0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\
0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 end{array} right)
$$

Мы привели расширенную матрицу системы и саму матрицу системы к ступенчатому виду. Ранг расширенной матрицы системы равен трём, ранг матрицы системы также равен трём. Так как система содержит $n=5$ неизвестных, т.е. $rangwidetilde{A}=rang{A}lt{n}$, то согласно пункту №2 следствия из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой, т.е. имеет бесконечное количество решений.

Ответ: система является неопределённой.

Во второй части мы разберём примеры, которые нередко включают в типовые расчёты или контрольные работы по высшей математике: исследование на совместность и решение СЛАУ в зависимости от значений параметров, входящих в неё.

Сначала исследуем совместность и установим количество решений, а затем найдём сами решения с помощью метода Гаусса. Записываем расширенную матрицу $$begin{pmatrix} 2&3&11&5 &|& 2 \ 1&1&5&2 &|& 1 \ 2&1&3&2 &|& -3 \ 1&1&3&4 &|& -3 end{pmatrix}.$$

Умножаем вторую строку на 2 и вычитаем из неё первую. Из третьей строки вычитаем первую. Умножаем четвертую строку на 2 и вычитаем от неё первую. $$begin{pmatrix} 2&3&11&5 &|& 2 \ 0&-1&-1&-1 &|& 0 \ 0&-2&-8&-3 &|& -5 \ 0&-1&-5&3 &|& -8 end{pmatrix}$$

Из третьей строки вычитаем вторую, умноженную на 2. Из четвертой строчки вычитаем вторую. $$begin{pmatrix} 2&3&11&5 &|& 2 \ 0&-1&-1&-1 &|& 0 \ 0&0&-6&-1 &|& -5 \ 0&0&-4&4 &|& -8 end{pmatrix}$$

Умножим четвертую строчку на 6 и вычтем из неё третью, умноженную на 4. $$begin{pmatrix} 2&3&11&5 &|& 2 \ 0&-1&-1&-1 &|& 0 \ 0&0&-6&-1 &|& -5 \ 0&0&0&28 &|& -28 end{pmatrix}$$ Разделим четвертую строку на 28 для дальнейшего удобства избавившись от крупных чисел.$$begin{pmatrix} 2&3&11&5 &|& 2 \ 0&-1&-1&-1 &|& 0 \ 0&0&-6&-1 &|& -5 \ 0&0&0&1 &|& -1 end{pmatrix}$$

Итак, матрица приведена к ступенчатой форме или как называют треугольный вид. Сделано это для того, чтобы определить ранг матрицы $A$ и её расширенной $(A|B)$. Подсчитываем количество ненулевых строк в обеих матрицах и получаем, что $rang A = rang (A|B) = 4$. Это означает по следствию теоремы Кронекера-Капелли, что СЛАУ совместна и имеет при этом одно решение.

По условию задачи требуется найти решение системы уравнений. Это означает, что нужно продолжить ход Гаусса в обратном направлении, чтобы найти $x_1,x_2,x_3, x_4$. Если бы в условии задачи это не было сказано, то это не потребовалось бы сделать и достаточно записать ответ о совместности системы. Продолжаем вычисления…

Из первой строки вычитаем четвертую, умноженную на 5. Ко второй строке прибавляем четвертую. К третьей строке прибавляем четвертую. $$begin{pmatrix} 2&3&11&0 &|& 7 \ 0&-1&-1&0 &|& -1 \ 0&0&-6&0 &|& -6 \ 0&0&0&1 &|& -1 end{pmatrix}$$Сразу делим третью строку на -6 для сокращения строки. $$begin{pmatrix} 2&3&11&0 &|& 7 \ 0&-1&-1&0 &|& -1 \ 0&0&1&0 &|& 1 \ 0&0&0&1 &|& -1 end{pmatrix}$$

Ко второй строке прибавляем третью. Из первой строки вычитаем третью, умноженную на 11. $$begin{pmatrix} 2&3&0&0 &|& -4 \ 0&-1&0&0 &|& 0 \ 0&0&1&0 &|& 1 \ 0&0&0&1 &|& -1 end{pmatrix}$$

К первой строке прибавляем вторую строчку, умноженную на 3. $$begin{pmatrix} 2&0&0&0 &|& -4 \ 0&-1&0&0 &|& 0 \ 0&0&1&0 &|& 1 \ 0&0&0&1 &|& -1 end{pmatrix}$$Делим первую строку на 2. Умножаем вторую строчку на (-1). $$begin{pmatrix} 1&0&0&0 &|& -2 \ 0&1&0&0 &|& 0 \ 0&0&1&0 &|& 1 \ 0&0&0&1 &|& -1 end{pmatrix}$$

Таким образом отсюда получаем решение системы линейных уравнений $$begin{bmatrix} x_1=-2 \ x_2=0 \ x_3=1 \ x_4=-1 end{bmatrix}.$$

Системы линейных уравнений

Классификация систем линейных уравнений

Определение. Две системы называются эквивалентными, если решение первой является решением второй и наоборот.

Определение. Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной.

Определение. Система, имеющая единственное решение, называется определенной, а имеющая более одного решения – неопределенной.

Решение систем линейных уравнений

Эта страничка поможет решить Системы Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) методом Гаусса, матричным методом или методом Крамера, исследовать их на совместность (теорема Кронекера-Капелли), определить количество решений, найти общее, частное и базисные решения.

Введите коэффициенты при неизвестных в поля. Если Ваше уравнение имеет меньшее количество неизвестных, то оставьте пустыми поля при переменных, не входящих в ваше уравнение. Можно использовать дроби ( 13/31 ).

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с примерами

Содержание:

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Метод Крамера

Определение: Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется выражение

Определение: Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется главным определителем системы

Крамер предложил следующий метод решения СЛАУ: умножим главный определитель на для этого умножим все элементы первого столбца на эту неизвестную:

Второй столбец умножим на третий столбец — на -ый столбец — на и все эти произведения прибавим к первому столбцу, при этом произведение не изменится:

Согласно записи СЛАУ первый столбец получившегося определителя представляет собой столбец свободных коэффициентов, т.е.

Определение: Определитель называется первым вспомогательным определителем СЛАУ.

Поступая аналогично тому, как описано выше, найдем все вспомогательные определители СЛАУ:

31. Для того чтобы найти вспомогательный определитель i, надо в главном определителе СЛАУ заменить столбец i на столбец свободных коэффициентов.

Определение: Полученные выше соотношения называются формулами Крамера. Используя формулы Крамера, находят неизвестные величины Проанализируем полученные формулы:

Пример:

Решить СЛАУ методом Крамера

Решение:

Прежде всего, обращаем внимание на то, что в последнем уравнении переменные записаны в неправильном порядке, в этом случае говорят, что СЛАУ записана в ненормализованном виде. Нормализуем СЛАУ, для чего запишем неизвестные в последнем уравнении системы в правильном порядке, чтобы одноименные неизвестные были записаны друг под другом

Найдем главный определитель СЛАУ (раскрываем по первой строке)

Так как главный определитель системы отличен от нуля, то СЛАУ имеет единственное решение. Найдем три вспомогательных определителя

Воспользуемся формулами Крамера

Замечание: После нахождения решения СЛАУ надо обязательно провести проверку, для чего найденные числовые значения неизвестных подставляется в нормализованную систему линейных алгебраических уравнений.

Выполним проверку Отсюда видно, что СЛАУ решена верно.

Матричный способ решения СЛАУ

Для решения СЛАУ матричным способом введем в рассмотрение матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных матpицы-столбцы неизвестных и свободных коэффициентов

Тогда СЛАУ можно записать в матричном виде Матричный способ решения СЛАУ состоит в следующем: умножим слева матричное уравнение на обратную матрицу к матрице А, получим в силу того, что произведение найдем Таким образом, для нахождения неизвестных матричным способом, надо найти обратную к А матрицу после чего надо умножить эту матрицу на матрицу-столбец свободных коэффициентов.

Пример:

Решить СЛАУ матричным способом

Решение:

Введем в рассмотрение следующие матрицы

Найдем матрицу (см. Лекцию № 2): найдем детерминант матрицы А.

Пример:

Решение:

Найдем алгебраические дополнения всех элементов Запишем обратную матрицу (в правильности нахождения обратной матрицы убедиться самостоятельно). Подействуем пай денной матрицей на матрицу-столбец свободных коэффициентов В:

Отсюда находим, что х = 1; y = l; z = l.

Метод Гаусса

Метод Гаусса или метод исключения неизвестных состоит в том, чтобы за счет элементарных преобразований привести СЛАУ к треугольному виду. Покажем использование расширенной матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных и расширенной за счет столбца свободных коэффициентов, для приведения СЛАУ к треугольному виду на примере системы, рассматриваемой в этой лекции. Расширенная матрица для СЛАУ имеет вид:

Замечание: В методе Гаусса желательно, чтобы первая строка расширенной матрицы начиналась с единицы.

Обменяем в расширенной матрице первую и вторую строки местами, получим Приведем матрицу к треугольному виду, выполнив следующие преобразования: умножим элементы первой строки на (-2) и прибавим к соответствующим элементам второй строки Разделим все элементы второй строки на (-5), получим эквивалентную матрицу

Умножим элементы первой строки на (—1) и прибавим к соответствующим элементам третьей строки Разделим все элементы третьей строки на (-3), получим Таким образом, эквивалентная СЛАУ имеет вид (напомним, что первый столбец это коэффициенты при неизвестной х, второй — при неизвестной у, третий — при неизвестной z, а за вертикальной чертой находится столбец свободных коэффициентов):

Из первого уравнения находим, что х = 1.

Вывод: Из вышеизложенного материала следует, что вне зависимости от

способа решения СЛАУ всегда должен получаться один и тот же ответ.

Замечание: После нахождения решения СЛАУ надо обязательно выполнить проверку, то есть подставить полученные значения неизвестных в заданную СЛАУ и убедиться в тождественности левой части всех равенств системы соответствующим правым частям. Отметим, что задание СЛАУ всегда верно, то есть, если проверка показывает нарушение оговоренной тождественности, то надо искать ошибку в проведенных вычислениях.

Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли

Определение: Рангом матрицы называется наивысший порядок отличного от нуля минора этой матрицы.

Если то среди всевозможных миноров этой матрицы есть хотя бы один минор порядка r, который отличен от нулю, а все миноры порядков больших, чем r, равны нулю.

При вычислении ранга необходимо начинать вычислять миноры 2 порядка, затем миноры 3 порядка и так далее, пока не будут найдены миноры, обращающиеся в нуль. Если все миноры порядка p равны нулю, то и все миноры, порядок которых больше p, равны нулю.

Пример:

Найти ранг матрицы

Решение:

Очевидно, что среди миноров второго порядка есть миноры отличные от нуля, например, среди миноров третьего порядка также есть миноры, которые не равны нулю, например, Очевидно, что определитель четвертого порядка равен нулю, так как он будет содержать строку, состоящую из одних нулей (см. свойство для определителей). Следовательно, ранг матрицы А равен 3.

Теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности СЛАУ). Для совместности системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы совпадал с рангом основной матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных величинах.

Следствия из теоремы Кронекера — Капелли

Следствие: Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение (то есть она определенная).

Следствие: Если ранг матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений (т.е. она неопределенная).

В случае неопределенной системы решения ищут следующим образом: выбираются главные неизвестные, число которых равно рангу, а остальные неизвестные считаются свободными; далее главные неизвестные выражаются через свободные и получают множество решений, зависящих от свободных неизвестных. Это множество решений называется общим решением системы. Придавая свободным неизвестным различные произвольные значения, получим бесчисленное множество решений, каждое из которых называется частным решением системы.

• Скалярное произведение и его свойства
• Векторное и смешанное произведения векторов
• Преобразования декартовой системы координат
• Бесконечно малые и бесконечно большие функции
• Критерий совместности Кронекера-Капелли
• Формулы Крамера
• Матричный метод
• Экстремум функции

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

В общем виде система
линейных алгебраических уравнений с
n
неизвестными x₁,
x₂,
…, x_n
записывается так:

(1)

Кратко СЛАУ (1)
может быть записана так:

(2)

или

где

A=,

(3)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.
Если присоединить к матрице А столбец
свободных членов, то получится матрица
,
которая называетсярасширенной
матрицей
СЛАУ (1):

A=(4)

Из определения
матрицы A
СЛАУ (1) и расширенной матрицы
ясно, что их рангиилибо равны между собой, либо рангна единицу больше, чем.
Вопрос о совместности СЛАУ (1) решается
с помощью теоремы Кронекера-Капелли.

ТЕОРЕМА
1. СЛАУ (1) совместна тогда и только тогда,
когда ранг расширенной матрицы
равен
рангу матрицыA,
то есть когда

ПРИМЕР.
Исследовать на совместимость следующую
СЛАУ:

Составим
матрицу данной системы и вычислим ее
ранг:

поскольку
то.

Далее , составим
расширенную матрицу системы

Так как
а окаймляющий его минор

то

Итак,
то есть данная система совместна.

СЛЕДСТВИЕ 1.
Если СЛАУ (1) совместна и ранг матрицы A
системы (1)
равен числу неизвестных п,
то система имеет единственное решение.

СЛЕДСТВИЕ 2.
Если система (1) совместна и ранг матрицы
меньше числа неизвестныхn,
то система имеет бесчисленное множество
решений.

ТЕОРЕМА
2.Система
n
линейных уравнений с n
неизвестными, определитель которой
отличен от нуля всегда совместна и
имеет единственное решение, вычисляемое
по формулам

где

,

.

.

4. Решение неоднородной слау из m уравнений с n неизвестными

Пусть дана система
m
линейных алгебраических уравнений с n
неизвестными (1). Пусть ranqA=
ranq,
то есть система совместна. Не ограничиваясь
общностью, будем считать, что базисный
минор располагается в первыхстроках и столбцах матрицы A. Отбросив
последниеm-r
уравнений системы (1), запишем укороченную
систему

(2)

которая эквивалентна
исходной.

Назовем неизвестные
x₁
,x₂
, …, x_r
базисными,
а x_r+1
, …, x_n—
свободными.
Перенесем слагаемыe, содержащие свободные
неизвестные, в правую часть уравнения
(2). В результате, получим систему линейных
алгебраических уравнений относительно
базисных неизвестных

(3)

которая для каждого
набора значений свободных неизвестных
x_r+1=
c₁,
x_r+2=
c₂,
…, x_n=c_n-r.
имеет
единственное решение:
x₁=
f₁,(c₁,
c₂ ,
…, c_n-r),
x₂=
f₂,(c₁,
c₂ ,
…, c_n-r),
…, x_r=
f_r,(c₁,
c₂ ,
…, c_{n-r).
Решение системы (3) можно} определить
либо по методу Крамера, либо методом
Гаусса.

Общее решение
СЛАУ можно записать в виде матрицы-столбца
следующим образом:

(4)

Однородная система линейных алгебраических уравнений из m уравнений с n неизвестными

Пусть дана однородная
СЛАУ, состоящая из m
линейных уравнений с n
неизвестными

.
(1)

Отметим, что
добавление столбца из нулей не изменяет
ранга матрицы СЛАУ (1). Поэтому на основании
теоремы Кронекера-Капелли эта система
всегда совместна и имеет, по крайней
мере, нулевое решение (x₁
=x₂
= …,= x_n=0).
Если определитель системы (1) отличен
от нуля и число уравнений равно числу
неизвестных, то по теореме Крамера,
нулевое решение является единственным.

Рассмотрим теперь
другой случай, когда ранг матрицы СЛАУ
(1) меньше числа неизвестных, то есть
r(A)<n.
Тогда данная система кроме нулевого
решения может иметь и ненулевые решения.
Для нахождения этих решений нужно в
системе (1) выделить r
линейно независимых уравнений, а
остальные отбросить. В выделенных
уравнениях в левой части оставляем r
базисных неизвестных, а остальные n-r
свободных неизвестных переносим в
правую часть. В результате, приходим к
системе

(2)

решение которой
можно определить по формулам Крамера
или Гаусса.

В данной системе
имеем r базисных неизвестных x₁,
x₂,…,
x_r
и n-r — свободных неизвестных: x_r+1,
x_r+2
,
…, x_n
. Система (2) имеет бесчисленное множество
решений. Однако, среди этого множества
есть решения линейно независимые между
собой.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Фундаментальной
системой решения СЛАУ
называются n-r линейно независимых
решений однородной системы уравнений.

ПРИМЕР.
Дана однородная система уравнений

Найти ее общее
решение и фундаментальную систему
уравнений.

Ш
а г 1. Вычислим ранг матрицы системы,
используя элементарные преобразования:

а) отбрасываем 2-й
столбец, так как он пропорционален 1-му;

б) 3-й столбец
сначала умножим на (-2) и прибавим ко
2-му, а затем умножим его на (-3) и сложим
с 1-м, умножим на 2;

в) отбрасываем 1-й
столбец, так как он пропорционален 2-му;

г) 1-й столбец
умножим на 3 и прибавим ко 2-му;

д) 1-ю строку умножим
на 5 и прибавим к 4-й;

е) отбрасываем 3-ю
строку и делим 1-ю на (-1), а 2-ю — на 2.

Имеем

Так как r(A)=2,
то есть r 
min(m,n), то
данная система имеет фундаментальную
систему решений, число которых n-2=4-2=2.

Определим теперь
общее решение системы. Для этого определим
базисный минор, то есть минор второго
порядка, отличный от нуля. Таким минором
является, например, минор, составленный
из коэффициентов при x₃
и x₄
в первом и втором уравнениях системы:
Оставляя базисные неизвестныеx₃
и x₂
в левой
части и перенося свободные неизвестные
x₁
и x₂
в правую часть, приходим к системе

Ее решение, которое
определим по формулам Крамера, имеет
вид:

Чтобы получить
фундаментальную систему решений нужно
найти любые два линейно независимых
решения данной системы. Полагая сначала
x₁
= 1, x₂
=0, имеем
x₃
=-2,5; x₄
=3,5; полагая затем x₁
=0, x₂
=1, получим
x₃
=5, x₄
=-7.

Таким образом,
фундаментальная система решений имеет
вид

,

а общее решение
,
гдес₁
и с₂
— произвольные числа.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #