Как найти сопротивление контура цепи

Did this article help you?

Была ли эта статья полезной?

Полное сопротивление цепи переменного тока

В предыдущих статьях мы узнали, что всякое сопротивление, поглощающее энергию, называется активным, а сопротивление, не поглощающее энергии, безваттным или реактивным. Кроме того, мы установили, что реактивные сопротивления делятся на два вида — индуктивные и емкостные.

Однако существуют цепи, где сопротивление не является чисто активным или чисто реактивным. То есть цепи, где вместе с активным сопротивлением включены в цепь, как емкости, так и индуктивности.

Введем понятие полного сопротивления цепи переменному току — Z, которое соответствует векторной сумме всех сопротивлений цепи (активных, емкостных и индуктивных). Понятие полного сопротивления цепи нам необходимо для более полного понимания закона Ома для переменного тока

На рисунке 1 представлены варианты электрических цепей и их классификация в зависимости от того какие элементы (активные или реактивные) включены в цепь.

Рисунок 1. Классификация цепей переменного тока.

Полное сопротивление цепи с чисто активными элементами соответствует сумме активных сопротивлений цепи и рассматривалось нами ранее. О чисто емкостном и индуктивном сопротивлении цепи мы тоже с вами говорили, и оно зависит соответственно от общей емкости и индуктивности цепи.

Рассмотрим более сложные варианты цепи, где последовательно с активным сопротивлением в цепь включено индуктивное и реактивное сопротивление.

Полное сопротивление цепи при последовательном соединении активного и реактивного сопротивления.

В любом сечении цепи, изображенной на рисунке 2,а, мгновенные значения тока должны быть одинаковыми, так как в противном случае наблюдались бы скопления и разрежения электронов в каких-либо точках цепи. Иными словами, фазы тока по всей длине цепи должны быть одинаковыми. Кроме того, мы знаем, что фаза напряжения на индуктивном сопротивлении опережает фазу тока на 90°, а фаза напряжения на активном сопротивлении совпадает с фазой тока (рисунок 2,б). Отсюда следует, что радиус-вектор напряжения U_L (напряжение на индуктивном сопротивлении) и напряжения U_R (напряжение на активном сопротивлении) сдвинуты друг относительно друга на угол в 90°.

Рисунок 2. Полное сопротивление цепи с активным сопротивлением и индуктивностью.        а) — схема цепи; б) — сдвиг фаз тока и напряжения; в) — треугольник напряжений; д) — треугольник сопротивлений.

Для получения радиуса-вектора результирующего напряжения на зажимах А и В (рис.2,а) мы произведем геометрическое сложение радиусов-векторов U_L и U_R. Такое сложение выполнено на рис. 2,в, из которого видно, что результирующий вектор U_AB является гипотенузой прямоугольного треугольника.

Из геометрии известно, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

По закону Ома напряжение должно равняться силе тока, умноженной на сопротивление.

Так как сила тока во всех точках цепи одинакова, то квадрат полного сопротивления цепи (Z²) будет также равен сумме квадратов активного и индуктивного сопротивлений, т. е.

                                      (1)

Извлекая квадратный корень из обеих частей этого равенства, получим,

                                       (2)

 Таким образом, полное сопротивление цепи, изображенной на рис 2,а, равно корню квадратному из суммы квадратов активного и индуктивного сопротивлений

Полное сопротивление можно находить не только путем вычисления, но и путем построения треугольника сопротивлений, аналогичного треугольнику напряжений (рис 2,д), т. е. полное сопротивление цепи переменному току может быть получено путем измерения гипотенузы, прямоугольного треугольника, катетами которого являются активное и реактивное сопротивления. Разумеется, измерения катетов и гипотенузы должны производиться в одном и том же масштабе. Так, например, если мы условились, что 1 см длины катетов соответствует 1 ом, то число омов полного сопротивления будет равно числу сантиметров, укладывающихся на гипотенузе.

Полное сопротивление цепи, изображенной на рис.2,а, не является ни чисто активным, ни чисто реактивным; оно содержит в себе оба эти вида сопротивлений. Поэтому угол сдвига фаз тока и напряжения в этой цепи будет отличаться и от 0° и от 90°, то есть он будет больше 0°, но меньше 90°. К которому из этих двух значений он будет более близок, будет зависеть от того, какое из этих сопротивлений имеет преобладающее значение в цепи. Если индуктивное сопротивление будет больше активного, то угол сдвига фаз будет более близок к 90°, и наоборот, если преобладающим будет активное сопротивление, то угол сдвига фаз будет более близок к 0°.

В цепи, изображенной на рис 3,а, соединены последовательно активное и емкостное сопротивления. Полное сопротивление такой цепи можно определить при помощи треугольника сопротивлений так же, как мы определяли выше полное сопротивление активно-индуктивной цепи.

Рисунок 3. Полное сопротивление цепи с активным сопротивлением и емкостью.                                                а) — схема цепи; б) — треугольник сопротивлений.

Разница между обоими случаями состоит лишь в том, что треугольник сопротивлений для активно-емкостной цепи будет повернут в другую сторону (рис 3,б) вследствие того, что ток в емкостной цепи не отстает от напряжения, а опережает его.

Для данного случая:

(3)

 В общем случае, когда цепь содержит все три вида сопротивлений (рис. 4,а), сначала определяется реактивное сопротивление этой цепи, а затем уже полное сопротивление цепи.

Рисунок 4. Полное сопротивление цепи содержащей R, L и C. а) — схема цепи; б) — треугольник сопротивлений.

Реактивное сопротивление этой цепи состоит из индуктивного и емкостного сопротивлений. Так как эти два вида реактивного сопротивления противоположны друг другу по своему характеру, то общее реактивное сопротивление цепи будет равно их разности, т. е.

                           (4)

Общее реактивное сопротивление цепи может иметь индуктивный или емкостный характер, в зависимости от того, какое из этих двух сопротивлений (X_L или X_C преобладает).

После того как мы по формуле (4) определили общее реактивное сопротивление цепи, определение полного сопротивления не представит затруднений. Полное сопротивление будет равно корню квадратному из суммы квадратов активного и реактивного сопротивлений, т. е.

                                     (5)

Или

                         (6)

Способ построения треугольника сопротивлений для этого случая изображен на рис. 4 б.

Полное сопротивление цепи при параллельном соединении активного и реактивного сопротивления.

Полное сопротивление цепи при параллельном соединении активного и реактивного элемента.

Для того чтобы вычислить полное сопротивление цепи, составленной из активного и индуктивного сопротивлений, соединенных между собой параллельно(рис. 5,а), нужно сначала вычислить проводимость каждой из параллельных ветвей, потом определить полную проводимость всей цепи между точками А и В и затем вычислить полное сопротивление цепи между этими точками.

Рисунок 5. Полное сопротивление цепи при параллельном соединении активного и реактивных элементов. а) — параллельное соединение R и L; б) — параллельное соединение R и C.

Проводимость активной ветви, как известно, равна 1/R, аналогично проводимость индуктивной ветви равна 1/ωL , а полная проводимость равна 1/Z

Полная проводимость равна корню квадратному из суммы квадратов активной и реактивной проводимости, т. е.

                       (7)

Приводя к общему знаменателю подкоренное выражение, получим:

  (8)

 откуда:

                              (9)

Формула (9) служит для вычисления полного сопротивления цепи, изображенной на рис. 5а.

Нахождение полного сопротивления для этого случая может быть произведено и геометрическим путем. Для этого нужно построить в соответствующем масштабе треугольник сопротивлений, и затем произведение длин катетов разделить на длину гипотенузы. Полученный результат и будет соответствовать полному сопротивлению.

Аналогично случаю, рассмотренному выше, полное сопротивление при параллельном соединении R и С (рис 5б) будет равно:

                             (10)

 Полное сопротивление может быть найдено также и в этом случае путем построения треугольника сопротивлений.

В радиотехнике наиболее часто встречается случай па¬раллельного соединения индуктивности и емкости, например колебательный контур для настройки приемников и передатчиков. Так как катушка индуктивности всегда обладает кроме индуктивного еще и активным сопротивлением, то эквивалентная (равноценная) схема колебательного контура будет содержать в индуктивной ветви активное сопротивление (рис 7).

Рисунок 6. Эквивалентная схема колебательного контура.

Формула полного сопротивления для этого случая будет:

                   (11)

 Так как обычно активное сопротивление катушки (R) бывает очень мало по сравнению с ее индуктивным сопротивлением (ωL), то мы имеем право формулу (11) переписать в следующем виде:

 (12)

 В колебательном контуре обычно подбирают величины L и С таким образом, чтобы индуктивное сопротивление равнялось емкостному, т. е. чтобы соблюдалось условие

                                     (13)

 При соблюдении этого условия полное сопротивление колебательного контура будет равно:

                                     (14)

 где L—индуктивность катушки в Гн;

С—емкость конденсатора в Ф;

R—активное сопротивление катушки в Ом.

Параллельный колебательный контур, формулы расчета

Параллельный колебательный контур в радиотехнике используется как основа частотно-избирательных цепей и встречается намного чаще последовательного. Реальные элементы контура обладают потерями и при анализе цепи используется реалистичная модель из идеальных сосредоточенных элементов в которой потери учитываются с помощью «виртуальных» последовательных активных сопротивлений R_L и R_C.

Собственная паразитная емкость катушки обычно не учитывается, т. к. она просто суммируется с контурной. Программа Coil64 рассчитывает потери в проводе катушке R_L без учета потерь в каркасе, экране, сердечнике и во всех предметах, с которыми взаимодействует окружающая катушку электромагнитная волна. Однако, учитывается скин-эффект и эффект близости. Эти же потери учитывает параметр «конструктивная добротность катушки» — Q_L. Это не добротность всего контура, а добротность катушки, которая связана с ее сопротивлением потерь следующим соотношением:

[1]

Потери в контурном конденсаторе на порядок меньше и характеризуются добротностью конденсатора. Поскольку потери конденсатора сосредоточены в основном в диэлектрике, можно считать, что его добротность Q_C и сопротивление потерь R_C связаны с параметром, учитывающем потери в диэлектрике tgδ, следующим образом:

[2]

При анализе цепи часто ее преобразуют в эквивалентную параллельную RLC-цепь. В этом случае, заменяя сопротивления проводимостями, мы упрощаем анализ и получаем формулы идентичные формулам последовательного контура. Многие радиолюбители полагают, что последовательные R_L и R_C просто преобразуются в параллельное R. Это не так:

Как видим активные сопротивления и реактивности при таком преобразовании «перепутались», поэтому для наглядности проведем анализ без использования проводимостей, прямо по исходной схеме. Входное сопротивление двухполюсника получается следующим:

Активная и реактивная (мнимая) составляющие:

При резонансе токи в реактивных элементах (I_L, I_C) в Q раз больше общего тока цепи (I), поэтому для параллельного контура явление носит название резонанса токов.

Резонансная частота параллельного колебательного контура — это частота, при которой реактивная составляющая входного сопротивления равна нулю, входное сопротивление чисто активно, и, соответственно, фазовый сдвиг между током и напряжением на входных зажимах цепи тоже равен нулю. Приравняв X_вх к нулю и проведя соответствующие преобразования получим следующую формулу для резонансной частоты параллельного колебательного контура:

[3]

Один из важнейших параметров контура — его характеристическое сопротивление:

Формулу резонансной частоты можно представить иначе:

[5]

ω₀ — резонансная частота последовательного колебательного контура.

Как видим резонансная частота параллельного колебательного контура равна резонансной частоте последовательного колебательного контура, составленного из тех же элементов, с добавкой поправочного коэффициента √[(L/C — RL^2)/(L/C — RC^2)]. На практике этот коэффициент всегда близок к единице и равен единице если R_L=R_C или R_L=R_C=0.

Пример:

Имеем контур с индуктивностью 3μГн и емкостью 42пФ, сопротивление потерь катушки — R_L=2 Ом, конденсатора — R_C=0.1 Ом. По формуле Томпсона резонансная частота контура равна 14.178649 МГц, точно вычисляем по формуле [1] — 14.178253 МГц. Как видим, активные сопротивления потерь вносят в идеальный контур дополнительную реактивность и уводят его частоту вниз, в данном случае почти на 400 Гц.

Это совсем небольшое отклонение нужно иметь ввиду, но оно намного меньше отклонений, вносимых неучтенными паразитными емкостями. Поэтому при выполнении условий: R_L<< ρ, R_C<< ρ, что обычно бывает на практике, можно считать, что условия резонанса токов совпадают с условиями резонанса напряжений в последовательном контуре, составленном из тех же элементов L и C,

ω₀ = 1/√LC или ƒ₀ = 1/(2π√LC)

На этом «родственная схожесть» последовательного и параллельного контуров не заканчивается.
При выполнении тех же условий: R_L<< ρ, R_C<< ρ где Z_{вх.посл} = (R_L + R_C) + j(ωL — 1 ⁄ ωC) – входное сопротивление последовательного контура, составленного из тех же элементов.

• R_Σ = R_L + R_C;

Как видим, можно считать, что сопротивления потерь катушки и конденсатора суммируются, поэтому общую добротность контура Q можно определить следующим выражением:

[6]

На резонансной частоте ω₀:

[7]

Поскольку реактивные сопротивления взаимно компенсируются, контур на резонансной частоте имеет чисто активное сопротивление равное Rэ (эквивалентное или эффективное сопротивление контура).

Из последней формулы следует, что:

[8]

Т.е. добротность контура равна отношению его характеристического сопротивления к сопротивлению потерь. Иначе говоря, на данной частоте более добротным будет контур с меньшей емкостью и большей индуктивностью. Как же тогда соотносится добротность контура с конструктивной добротностью катушки? Чтобы понять это, следует иметь ввиду, что характеристическое сопротивление контура численно равно модулю реактивного сопротивления индуктивности или емкости на резонансной частоте. Последние, как известно, в этом случае равны и отличаются лишь знаком. Если мы пренебрежем потерями в конденсаторе, тогда формула [8] сводится к формуле [1]. Ведь на резонансной частоте ρ = |X_L|, а в сумме R_Σ = R_L + R_C, последнее слагаемое мы не учитываем. Другими словами, если пренебречь потерями в конденсаторе, то добротность контура равна конструктивной добротности катушки. В итоге мы приходим к выводу, что формулы [1] и [8] в этом случае эквивалентны. Если же нам необходимо учесть потери в конденсаторе, то следует использовать формулу [6].

Необходимо отметить два важных момента:

1. Coil64 рассчитывает конструктивную добротность для «голой катушки в вакууме». Наличие экрана увеличивает распределенную емкость и уменьшает индуктивность. Характеристическое сопротивление контура падает, добротность уменьшается. Кроме этого добавляются потери на вихревые токи в экране. Каркас катушки также снижает ее добротность и добротность контура соответственно.
2. Добротность катушки растет с ростом частоты только на «низких» частотах, далеких от частоты собственного резонанса катушки. При приближении к собственному резонансу добротность достигает максимума на частотах 60-85% от F_srf и затем плавно снижается. Это происходит от того, что на этих частотах начинает проявляться зависимость индуктивности и собственной емкости катушки от частоты.

Амплитудно-частотная характеристика имеет такой же вид, как и резонансная кривая последовательного контура; ФЧХ представляет собой зеркальное отображение ФЧХ последовательного контура.

Важно понятие полоса пропускания контура Это частотный интервал в пределах которого импеданс Zвх не ниже
1 ⁄ √2 (или 0,707) от максимального на резонансной частоте. Справедлива следующая формула, которую можно использовать для измерения добротности:

В практике представляет интерес величина ослабления контуром нежелательных частот:

[10]

Для расстроек более трех полос пропускания формула упрощается:

где знак не учитывается.

В реальной схеме контур связан с источником колебаний и нагрузкой, которые вносят в него дополнительные потери, снижающие добротность. Эквивалентная добротность Q параллельного колебательного контура:

Q = Q₀·R_i ⁄ (R_э + R_i)

• Q₀ — добротность ненагруженного контура
• Ri — входное сопротивление источника
• Rэ — эквивалентное сопротивление ненагруженного котура

Эту формулу можно использовать для учета влияния любых подключенных к контуру сопротивлений (например, нагрузки) на его добротность.

Для уменьшения влияния внешних цепей, а также для трансформации сопротивлений применяют частичное включение нагрузки в контур

Как видно из рисунка это можно сделать различными способами, отводом от катушки, с помощью катушки связи, емкостным делителем. Тогда выходное сопротивление контура:
R_вых = p²R_э
где p –коэффициент связи. Для емкостного делителя:
p = C₁ ⁄ (C₁ + C₂)
Для индуктивной связи:
p = M ⁄ L
где M — полная взаимоиндуктивность между Lc и L (это относится как к случаю с отводом катушки так и к случаю с катушкой связи). Следует отметить, что коэффициент связи не равен отношению числа витков, как в трансформаторе, поскольку каждый виток катушки Lc пересекается не всеми силовыми линиями катушки контура вследствие рассеяния магнитного поля.

При подключении внешней нагрузки к контуру с помощью частичного включения, результирующая добротность определяется:
Q = Q_0·R_u ⁄ (R_э + R_u)

R_u = p²R_i (R_i – внешняя нагрузка)

Следует отметить, что для максимального коэффициента передачи электромагнитной энергии, выходное сопротивление контура должно быть равно сопротивлению нагрузки. Все вышесказанное справедливо и в случае согласования контура с источником сигнала.