Как найти собственный вектор зная собственное значение

Найдем такие вектора (называются собственными векторами) v
и такие числа — значения (называются собственными значениями) l
матрицы A, для v, l и A выполняется:
A*v = l*v.

Также вычисляется кратность собственных значений и находит характеристическое уравнение матрицы.

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите:

Математический портал

Nav view search

Navigation

Search

Вы здесь:
Home
Векторная алгебра.
Собственные числа и вектора матриц. Методы их нахождения

Собственные числа и вектора матриц. Методы их нахождения.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Пусть число $lambda$ и вектор $xin L, xneq 0$ таковы, что $$Ax=lambda x.qquadqquadqquadqquadqquad(1)$$ Тогда число $lambda$ называется собственным числом линейного оператора $A,$ а вектор $x$ собственным вектором этого оператора, соответствующим собственному числу $lambda.$

В конечномерном пространстве $L_n$ векторное равенство (1) эквивалентно матричному равенству $$(A-lambda E)X=0,,,,, Xneq 0.qquadqquadquadquad (2)$$

Отсюда следует, что число $lambda$ есть собственное число оператора $A$ в том и только том случае, когда детерминант $det(A-lambda E)=0,$ т. е. $lambda$ есть корень многочлена $p(lambda)=det(A-lambda E),$ называемого характеристическим многочленом оператора $A.$ Столбец координат $X$ любого собственного вектора соответствующего собственному числу $lambda$ есть нетривиальное решение однородной системы (2).

Примеры.

Найти собственные числа и собственные векторы линейных операторов, заданных своими матрицами.

Решение.

Найдем собственные вектора заданного линейного оператора. Число $lambda$ есть собственное число оператора $A$ в том и только том случае, когда $det(A-lambda E)=0.$ Запишем характеристическое уравнение:

$$det(A-lambda E)=begin2-lambda&-1&2\5&-3-lambda&3\-1&0&-2-lambdaend=$$ $$=(2-lambda)(-3-lambda)(-2-lambda)+3+2(-3-lambda)+5(-2-lambda)=$$ $$=-lambda^3-3lambda^2+4lambda+12+3-6-2lambda-10-5lambda=-lambda^3-3lambda^2-3lambda-1=0.$$

Решим найденное уравнение, чтобы найти собственные числа.

$$lambda^3+3lambda^2+3lambda+1=(lambda^3+1)+3lambda(lambda+1)=$$ $$=(lambda+1)(lambda^2-lambda+1)+3lambda(lambda+1)=(lambda+1)(lambda^2-lambda+1+3lambda)=$$ $$=(lambda+1)(lambda^2+2lambda+1)=(lambda+1)^3=0Rightarrow lambda=-1.$$

Собственный вектор для собственного числа $lambda=-1$ найдем из системы $$(A-lambda E)X=0, Xneq 0, Rightarrow (A+E)X=0, Xneq 0$$

Решим однородную систему уравнений:

Вычислим ранг матрицы коэффициентов $A=begin3&-1&2\5&-2&3\-1&0&-1end$ методом окаймляющих миноров:

Фиксируем минор отличный от нуля второго порядка $M_2=begin3&-1\5&-2end=-6+5=-1neq 0.$

Таким образом ранг матрицы $A$ равен двум.

Выберем в качестве базисного минор $M=begin3&-1\5&-2end=-1neq 0.$ Тогда, полагая $x_3=c,$ получаем: $$left<begin3x_1-x_2+2с=0\ 5x_1-2x_2+3с=0endright.Rightarrowleft<begin3x_1-x_2=-2c\5x_1-2x_2=-3cendright.$$

По правилу Крамера находим $x_1$ и $x_2:$

Таким образом, общее решение системы $X(c)=begin-c\-c\cend.$

Из общего решения находим фундаментальную систему решений: $E=X(1)=begin-1\-1\1end.$

С использованием фундаментальной системы решений, общее решение может быть записано в виде $X(c)=cE.$

Ответ: $lambda=-1;$ $X=cbegin-1\-1\1end, cneq 0.$

Решение.

$$det(A-lambda E)=begin-lambda&-1&0\1&1-lambda&-2\1&-1&-lambdaend=$$ $$=-lambda(1-lambda)(-lambda)+2-lambda+2lambda=$$ $$=-lambda^3+lambda^2+lambda+2=0.$$

Решим найденное уравнение, чтобы найти собственные числа.

Собственный вектор для собственного числа $lambda=2$ найдем из системы $$(A-lambda E)X=0, Xneq 0, Rightarrow (A-2E)X=0, Xneq 0$$

Решим однородную систему уравнений:

Вычислим ранг матрицы коэффициентов $A=begin-2&-1&0\1&-1&-2\1&-1&-2end$ методом окаймляющих миноров:

Фиксируем минор отличный от нуля второго порядка $M_2=begin-2&-1\1&-1end=2+1=3neq 0.$

Таким образом ранг матрицы $A$ равен двум.

Выберем в качестве базисного минор $M=begin-2&-1\1&-1end=3neq 0.$ Тогда, полагая $x_3=c,$ получаем: $$left<begin-2x_1-x_2=0\ x_1-x_2-2с=0endright.Rightarrowleft<begin-2x_1-x_2=0\x_1-x_2=2cendright.$$

По правилу Крамера находим $x_1$ и $x_2:$

Таким образом, общее решение системы $X(c)=beginfrac<2c><3>\-frac<4c><3>\cend.$

Из общего решения находим фундаментальную систему решений: $E=X(1)=beginfrac<2><3>\-frac<4><3>\1end.$

С использованием фундаментальной системы решений, общее решение может быть записано в виде $X(c)=cE.$ Переобозначив постоянную, $alpha=3c,$ получаем собственный вектор $X=alphabegin2\-4\3end, alphaneq 0.$

Домашнее задание.

Найти собственные числа и собственные векторы линейных операторов, заданных своими матрицами.

Ответ: $lambda=2;$ $X=c_1begin1\2\0end+c_2begin0\0\1end, $c_1$ и $ c_2$ не равны одновременно нулю.

Собственные векторы матрицы

Онлайн калькулятор нахождение собственных чисел и собственных векторов — Собственный вектор — понятие в линейной алгебре, определяемое для квадратной матрицы или произвольного линейного преобразования как вектор, умножение матрицы на который или применение к которому преобразования даёт коллинеарный вектор — тот же вектор, умноженный на некоторое скалярное значение, называемое собственным числом матрицы или линейного преобразования.

Данный калькулятор поможет найти собственные числа и векторы, используя характеристическое уравнение.

источники:

http://mathportal.net/index.php/vektornaya-algebra/sobstvennye-chisla-i-vektora-matrits-metody-ikh-nakhozhdeniya

http://allcalc.ru/node/648

Источник

Содержание:

Собственные числа и собственные векторы матрицы
Линейная модель торговли
Собственные векторы и собственные значения матрицы

Собственные числа и собственные векторы матрицы

Определение. Вектор   называется собственным вектором матрицы A, если найдется такое число λ, что
(2.36)
где число λ называется собственным значением матрицы A, которое соответствует вектору  .
Запишем равенство (2.36) в матричной форме:
AX = λX, (2.37)
где X — матрица-столбец из координат вектора  .
Уравнение (2.37) распишем в координатной форме
(2.38)
Перепишем уравнение системы (2.38) так, чтобы в правых частях были нули:
(2.39)
Чтобы перейти к рассмотрению системы (2.39) докажем такую теорему.

ТЕОРЕМА. Однородная система (n уравнений с n неизвестными)
(2.40)
имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда , т. е. когда матрица A является вырожденной.

Доказательство. Пусть система (2.40) имеет ненулевое решение. Покажем, что . Действительно, если бы это было не так, то есть , то решая систему по правилу Крамера, мы бы получили единственное нулевое решение x = 0, а это противоречит условию.

Пусть , покажем, что существует ненулевое решение системы. Для удобства рассмотрим систему двух уравнений.
(2.41)

Потому что , то и , то есть матрица
есть вырожденной. Значит строки матрицы A являются линейно зависимыми, а это
означает, что и столбцы матрицы A^T являются линейно зависимы. Указанные столбцы обозначим через и . При этом существуют такие числа k₁ и k₂, не равные одновременно нулю, что выполняется равенство , или в координатной форме:

Итак, это значит, что система (2.41) имеет ненулевое решение. Теорема доказана.

Теперь вернемся к системе (2.39). На основании выше приведенной теоремы, система (2.39) имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель системы равен нулю, то есть
(2.42)
Определитель (2.42) является многочленом n-й степени относительно λ. Этот многочлен называется характеристическим многочленом матрицы А, а уравнение (2.42) называется характеристическим уравнением матрицы А .

Пример 1. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

Решение. Запишем систему типа (2.39) для нахождения собственных чисел и собственных векторов, а именно
(2.43)
Как нам уже известно, для того, чтобы эта система имела ненулевые решения, нужно, чтобы определитель этой системы был равен нулю, то есть или

λ² – 5λ + 6 = 0. Корни этого квадратного уравнения — λ₁ = 2, λ₂ = 3. Таким образом мы нашли собственные (характеристические) числа.

Теперь найдем собственные векторы, соответствующие найденным собственным числам.

Чтобы найти координаты собственного вектора, соответствующего собственному числу λ₁ = 2, подставляем λ₁ = 2 в систему (2.43).
Получим отсюда x₁ = 2t , x₂ = t при произвольном t ≠ 0, является решением этой системы. Итак, вектор , t ≠ 0 является собственным вектором-столбцом матрицы A.

Для нахождения координат собственного вектора матрицы A, соответствующего собственному числу λ₂ = 3, поступаем аналогично. Число λ₂ = 3 подставляем в систему (2.43) и получим:
отсюда x₁ = x₂.

Значит, x₁ = t, x₂ = t, t ≠ 0, а вектор-столбец является собственным вектором, соответствующим собственному числу λ₂ = 3.

Линейная модель торговли

Одним из примеров экономических процессов, которые приводят к понятию собственного числа и собственного вектора матрицы, является процесс взаимных закупок товаров. Мы будем рассматривать линейную модель обмена, или как ее называют другими словами, модель международной торговли.

Пусть имеется n государств, S₁, S₂ , …, S_n национальный доход которых равен соответственно x₁, x₂, …, x_n. Долю национального дохода, которую государство S_j тратит на покупку товаров в государстве S_i , обозначим коэффициентами a_ij . Будем считать, что весь национальный доход тратится на закупку товаров или внутри государства, или на импорт из других государств, то есть:

Рассмотрим матрицу коэффициентов a_ij :

Матрица А со свойством, что сумма элементов ее произвольного столбца равна 1, называется структурной матрицей торговли.
Для любого государства S_i (i = 1, 2, …, n) общая выручка от внешней и внутренней торговли составляет

Для сбалансированности торговли необходима бездефицитность торговли каждого государства, то есть выручка от торговли каждой государства не должна быть меньше ее национального дохода, то есть p_i ≥ x_i(i = 1, 2, …, n) или .В этом условии не может быть знака неравенства. Действительно, сложив все эти неравенства, когда i меняется от 1 до n , и сгруппировав, получим:

Поскольку в скобках есть суммы элементов матрицы A по столбцам, которые равны 1, мы получили противоречивое неравенство. Следовательно, возможен только знак равенства.

Введем вектор национальных доходов государств, получим матричное уравнение AX = X или (A – E) X = 0, где X — матрица-столбец из координат вектора .
Значит, задача свелась к нахождению собственного вектора матрицы A, отвечающего собственному значению λ = 1.

Пример 1. Структурная матрица торговли трех стран S₁, S₂ , S₃ имеет вид
A = .
Найти соотношение между национальными доходами стран, при котором будет торговля сбалансирована.

Решение. Находим собственный вектор , который отвечает собственному значению λ = 1, решив уравнение (A – E) X = 0 или систему уравнений

Обозначим национальные доходы соответственно x₁, x₂, x₃. Тогда будем искать собственный вектор , отвечающий собственному значению λ = 1, решив уравнение (A – E) X = 0.
Поскольку ранг данной системы равен 2, то одна из переменных, например x₃ = C является свободным неизвестным. Остальные неизвестные выразим через него. Решая данную систему, находим, что
то есть
Полученный результат означает, что сбалансированность торговли трех стран достигается при векторе национального дохода то есть при соотношении доходов: или 4: 9: 10.

Собственные векторы и собственные значения матрицы

Пусть —заданная квадратная матрица. Как мы увидим позже, иногда приходится рассматривать уравнение , (8.27) где — неизвестный числовой вектор, высота которого равна порядку , а — неизвестное число. При любом уравнение (8.27) обладает, в частности, тривиальным решением , однако нас будут интересовать только такие , при которых эта система имеет нетривиальные решения.

Эти значения называются собственными значениями матрицы , а нетривиальные решения уравнения (8.27) при таких — ее собственными векторами. Нетрудно проверить, что каждый собственный вектор матрицы отвечает ее единственному собственному значению.

Собственные значения и собственные векторы находятся следующим образом. Так как , то уравнение (8.27) можно переписать в виде . (8.28)

Сравнивая с формулой (8.25), видим, что получилась система из алгебраических однородных уравнений с неизвестными, где — порядок матрицы . Согласно п. 8.6 для наличия нетривиального решения необходимо и достаточно, чтобы определитель системы равнялся нулю, т. е. . (8.29) Это уравнение называется характеристическим уравнением матрицы , оно служит для разыскания собственных значений . Так, для матрицы (8.23) оно имеет вид . Раскрыв определитель, мы видим, что получается алгебраическое уравнение, степень которого равна порядку матрицы . В силу п. 6.8 заключаем, что матрица порядка имеет (вообще говоря, комплексных) собственных значений, среди которых, правда, могут быть совпадающие.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Найдя какое-либо собственное значение, мы можем соответствующие собственные векторы найти из векторного уравнения (8.28) (переписанного в виде системы скалярных уравнений), как указано в п. 8.6.

Из уравнения (8.28) вытекает, что при зафиксированном сумма решений есть решение и произведение решения на число также является решением того же уравнения. Значит, совокупность всех собственных векторов, отвечающих заданному собственному значению (дополненная тривиальным решением ), образует линейное подпространство (п. 7.18) пространства всех числовых векторов заданной высоты .

В наиболее важном случае, когда все собственные значения различные, каждое из этих подпространств одномерное, т. е. для каждого собственного значения соответствующий собственный вектор определен с точностью до числового множителя.

При этом имеются в виду комплексные собственные векторы, так как вещественное характеристическое уравнение (8.29) может иметь как вещественные, так и мнимые корни. Указанная одномерность вытекает из того, что ненулевые собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, обязательно линейно независимы, а в -мерном пространстве числовых векторов не может быть более линейно независимых векторов.

А эта линейная независимость проверяется так: если, например, собственные векторы отвечают различным собственным значениям , причем линейно независимы, а , то, помножив это равенство справа на , получаем , откуда, умножив первое равенство на и вычитая, выводим , чему противоречит линейная независимость и .

Если имеются совпадающие собственные значения, то можно проверить, что для каждого собственного значения кратности подпространство собственных векторов имеет размерность .

Если все , то, выбрав базис в каждом из этих подпространств, мы получаем базис в комплексном евклидовом пространстве , состоящий из собственных векторов матрицы , имеющей порядок (если все вещественные, получаем базис в ). Если хотя бы одно , то базиса из собственных векторов матрицы указать нельзя.

Рассмотрим квадратные матрицы порядка . При умножении матрицы порядка на -мерный вектор в произведении получается -мерный вектор: .

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Однако для любой матрицы существует набор особых векторов таких, что произведение матрицы на вектор из такого набора равносильно умножению этого вектора на определенное число.

Определение:

Число называется собственным значением матрицы порядка , если существует такой ненулевой вектор , что выполняется равенство: . (1.2) При этом вектор называется собственным вектором матрицы .

Уравнение (1.2) представлено в матричной форме. Группируя все слагаемые этого уравнения в левой части, его можно переписать в более удобном виде: , где и — соответственно единичная матрица и нулевой вектор. Если , и — элементы матрицы , то характеристическая матрица , согласно определениям умножения матрицы на число и суммы матриц, имеет вид:

Определение 8.39.

Число называется собственным значением квадратной матрицы , если найдется вектор такой, что . Вектор называется собственным вектором матрицы , соответствующим данному собственному значению. Теорема 8.19. Собственные значения матрицы являются решениями уравнения . Это уравнение называется характеристическим уравнением матрицы .

Теорема 8.20.

Число различных собственных значений квадратной матрицы не превосходит ее порядка. Собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.

Пример с решением

Пример 8.19.

Пусть дана матрица . Составим и решим характеристическое уравнение.

, где — любое число.

Вектор будет являться собственным вектором, соответствующим собственному значению 2.

Вектор будет являться собственным вектором, соответствующим собственному значению 3. Векторы и линейно независимы. Так как они двухмерные, то они образуют базис пространства .

Лекции:

Решение разных задач методом гаусса
Связь между графиком функции и графиком ее производной
Предел последовательности. Свойства сходящихся последовательностей
Задача двойной интеграл. Определение. Основные свойства двойного интеграла
Метод вариации постоянных произвольных
Деление многочлена на многочлен
Правила дифференцирования
Теорема Пифагора
Производная экспоненты
Как решать дробные уравнения

Источник

Собственные векторы и собственные значения матрицы

Пусть — числовая квадратная матрица n-го порядка. Матрица A-lambda E называется характеристической для , а ее определитель $Delta_{A}(lambda)=det(A-lambda E)$ характеристическим многочленом матрицы

$A-lambda E=begin{pmatrix}a_{11}-lambda&cdots&a_{1n}\ vdots&ddots& vdots\ a_{n1}&cdots&a_{nn}-lambdaend{pmatrix}!,quad Delta_{A}(lambda)=det(A-lambda E)= begin{vmatrix} a_{11}-lambda&cdots&a_{1n}\ vdots&ddots&vdots\ a_{n1}&cdots&a_{nn}-lambdaend{vmatrix}!.$

(7.12)

Характеристическая матрица — это λ-матрица. Ее можно представить в виде регулярного многочлена первой степени с матричными коэффициентами. Нетрудно заметить, что степень характеристического многочлена равна порядку характеристической матрицы.

Пусть — числовая квадратная матрица n-го порядка. Ненулевой столбец $x=begin{pmatrix}x_1\vdots\x_nend{pmatrix}$ , удовлетворяющий условию

Acdot x=lambdacdot x,

(7.13)

называется собственным вектором матрицы . Число lambda в равенстве (7.13) называется собственным значением матрицы . Говорят, что собственный вектор соответствует {принадлежит) собственному значению lambda .

Поставим задачу нахождения собственных значений и собственных векторов матрицы. Определение (7.13) можно записать в виде (A-lambda E)x=o , где — единичная матрица n-го порядка. Таким образом, условие (7.13) представляет собой однородную систему линейных алгебраических уравнений с неизвестными x_1,x_2,ldots,x_n:

$begin{cases}(a_{11}-lambda)x_1+a_{12}x_2+ldots+a_{1n}x_n=0,\ a_{21}x_1+(a_{22}-lambda)x_2+ldots+a_{2n}x_n=0,\ cdotscdotscdotscdotscdots\ a_{n1}x_1+a_{2n}x_2+ldots+(a_{nn}-lambda)x_n=0. end{cases}$

(7.14)

Поскольку нас интересуют только нетривиальные решения (xne o) однородной системы, то определитель матрицы системы должен быть равен нулю:

$det(A-lambda E)=begin{vmatrix}a_{11}-lambda&a_{12}&cdots&a_{1n}\ a_{21}&a_{22}-lambda&cdots&a_{2n}\ vdots&vdots&ddots&vdots\ a_{n1}&a_{n2}& cdots&a_{nn}-lambda end{vmatrix}=0.$

(7.15)

В противном случае по теореме 5.1 система имеет единственное тривиальное решение. Таким образом, задача нахождения собственных значений матрицы свелась к решению уравнения (7.15), т.е. к отысканию корней характеристического многочлена $Delta_{A}(lambda)=det(A-lambda E)$ матрицы . Уравнение $Delta_{A}(lambda)=0$ называется характеристическим уравнением матрицы . Так как характеристический многочлен имеет n-ю степень, то характеристическое уравнение — это алгебраическое уравнение n-го порядка. Согласно следствию 1 основной теоремы алгебры, характеристический многочлен можно представить в виде

$Delta_{A}(lambda)= det(A-lambda E)= a_{n}(lambda-lambda_1)^{n_1}cdot (lambda-lambda_2)^{n_2}cdotldotscdot(lambda-lambda_k)^{n_k},$

где lambda_1,lambda_2,ldots,lambda_k — корни многочлена кратности n_1,n_2,ldots,n_k соответственно, причем n_1+n_2+ldots+n_k=n . Другими словами, характеристический многочлен имеет п корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.

Теорема 7.4 о собственных значениях матрицы. Все корни характеристического многочлена (характеристического уравнения (7-15)) и только они являются собственными значениями матрицы.

Действительно, если число lambda — собственное значение матрицы , которому соответствует собственный вектор xne o , то однородная система (7.14) имеет нетривиальное решение, следовательно, матрица системы вырожденная, т.е. число lambda удовлетворяет характеристическому уравнению (7.15). Наоборот, если lambda — корень характеристического многочлена, то определитель (7.15) матрицы однородной системы (7.14) равен нулю, т.е. operatorname{rg}(A-lambda E)<n .В этом случае система имеет бесконечное множество решений, включая ненулевые решения. Поэтому найдется столбец xne o , удовлетворяющий условию (7.14). Значит, lambda — собственное значение матрицы .

Свойства собственных векторов

Пусть — квадратная матрица n-го порядка.

1. Собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, линейно независимы.

В самом деле, пусть s_1 и s_2 — собственные векторы, соответствующие собственным значениям lambda_1 и lambda_2 , причем lambda_1ne lambda_2 . Составим произвольную линейную комбинацию этих векторов и приравняем ее нулевому столбцу:

alpha_1cdot s_1+alpha_2cdot s_2=o.

(7.16)

Надо показать, что это равенство возможно только в тривиальном случае, когда alpha_1=alpha_2=0 . Действительно, умножая обе части на матрицу и подставляя As_1=lambda_1s_1 и As_2=lambda_2s_2 имеем

A(alpha_1s_1+alpha_2s_2)=oquad Leftrightarrowquad alpha_1As_1+ alpha_2As_2= oquad Leftrightarrowquad alpha_1 lambda_1s_1+alpha_2 lambda_2s_2=o.

Прибавляя к последнему равенству равенство (7.16), умноженное на (-lambda_2) , получаем

alpha_1cdotlambda_1cdot s_1-alpha_2cdotlambda_2cdot s_2=oquad Leftrightarrowquad alpha_1cdot(lambda_1-lambda_2)cdot s_1=o.

Так как s_1ne o и lambda_1ne lambda_2 , делаем вывод, что alpha_1=0 . Тогда из (7.16) следует, что и alpha_2=0 (поскольку s_2ne o ). Таким образом, собственные векторы s_1 и s_2 линейно независимы. Доказательство для любого конечного числа собственных векторов проводится по индукции.

2. Ненулевая линейная комбинация собственных векторов, соответствующих одному собственному значению, является собственным вектором, соответствующим тому же собственному значению.

Действительно, если собственному значению lambda соответствуют собственные векторы s_1,ldots,s_k , то из равенств S_i=lambda s_i, i=1,ldots,k , следует, что вектор s=alpha_1s_1+ldots+alpha_ks_k также собственный, поскольку:

As=A(alpha_1s_1+ldots+alpha_ks_k)= alpha_1lambda s_1+ldots+alpha_klambda s_k=lambda(alpha_1s_1+ldots+alpha_ks_k)=lambda s.

3. Пусть $(A-lambda E)^{+}$ — присоединенная матрица для характеристической матрицы . Если lambda_0 — собственное значение матрицы , то любой ненулевой столбец матрицы $(A-lambda E)^{+}$ является собственным вектором, соответствующим собственному значению .

В самом деле, применяя формулу (7.7) имеем $(A-lambda E)(A-lambda E)^{+}=Delta_k(lambda)cdot E$ . Подставляя корень lambda_0 , получаем $(A-lambda_0E)(A-lambda_0E)^{+}=O$ . Если — ненулевой столбец матрицы $(A-lambda_0E)^{+}$ , то (A-lambda_0E)s=oLeftrightarrow As=lambda_0s . Значит, — собственный вектор матрицы .

Замечания 7.5

1. По основной теореме алгебры характеристическое уравнение имеет п в общем случае комплексных корней (с учетом их кратностей). Поэтому собственные значения и собственные векторы имеются у любой квадратной матрицы. Причем собственные значения матрицы определяются однозначно (с учетом их кратности), а собственные векторы — неоднозначно.

2. Чтобы из множества собственных векторов выделить максимальную линейно независимую систему собственных векторов, нужно для всех раз личных собственных значений lambda_1,lambda_2, ldots,lambda_k записать одну за другой системы линейно независимых собственных векторов, в частности, одну за другой фундаментальные системы решений однородных систем

(A-lambda_1E)cdot x=o,quad (A-lambda_2E)cdot x=o,quad ldots,quad (A-lambda_kE)cdot x=o.

Полученная система собственных векторов будет линейно независимой в силу свойства 1 собственных векторов.

3. Совокупность всех собственных значений матрицы (с учетом их кратностей) называют ее спектром.

4. Спектр матрицы называется простым, если собственные значения матрицы попарно различные (все корни характеристического уравнения простые).

5. Для простого корня lambda=lambda_0 характеристического уравнения соответствующий собственный вектор можно найти, раскладывая определитель матрицы (A-lambda_0E) по одной из строк. Тогда ненулевой вектор, компоненты которого равны алгебраическим дополнениям элементов одной из строк матрицы , является собственным вектором.

Нахождение собственных векторов и собственных значений матрицы

Для нахождения собственных векторов и собственных значений квадратной матрицы n-го порядка надо выполнить следующие действия.

1. Составить характеристический многочлен матрицы Delta_A(lambda)=det(A-lambda E) .

2. Найти все различные корни lambda_1,lambda_2,ldots,lambda_k характеристического уравнения Delta_A(lambda)=0 (кратности n_1,n_2,ldots,n_k (n_1+n_2+ldots+n_k=n) корней определять не нужно).

3. Для корня lambda-lambda_1 найти фундаментальную систему $varphi_1,varphi_2,ldots,varphi_{n-r}$ решений однородной системы уравнений

(A-lambda_1E)cdot x=o , где $r=operatorname{rg}(A-lambda_1E)$

Для этого можно использовать либо алгоритм решения однородной системы, либо один из способов нахождения фундаментальной матрицы (см. пункт 3 замечаний 5.3, пункт 1 замечаний 5.5).

4. Записать линейно независимые собственные векторы матрицы , отвечающие собственному значению lambda_1:

$s_1=C_1varphi_1,quad s_2=C_2varphi_2,quad ldots,quad s_{n-r}=C_{n-r}varphi_{n-r},$

(7.17)

где $C_1,C_2,ldots,C_{n-r}$ — отличные от нуля произвольные постоянные. Совокупность всех собственных векторов, отвечающих собственному значению lambda_1 , образуют ненулевые столбцы вида $s=C_1varphi_1+C_2varphi_2+ldots+C_{n-r}varphi_{n-r}$ . Здесь и далее собственные векторы матрицы будем обозначать буквой .

Повторить пункты 3,4 для остальных собственных значений lambda_1,lambda_2,ldots,lambda_k .

Пример 7.8. Найти собственные значения и собственные векторы матриц:

$A=begin{pmatrix}1&-2\3&8end{pmatrix}!,quad B=begin{pmatrix}1&-4\ 1&1 end{pmatrix}!,quad C=begin{pmatrix}1&1&1\1&1&1\1&1&1end{pmatrix}!.$

Решение. Матрица . 1. Составляем характеристический многочлен матрицы

$Delta_{A}(lambda)=begin{vmatrix}1-lambda&-2\3&8-lambdaend{vmatrix}= (1-lambda)(8-lambda)+6=lambda^2-9 lambda+8+6= lambda^2-9 lambda+14.$

2. Решаем характеристическое уравнение: $lambda^2-9 lambda+14=0~Rightarrow~! left[!begin{gathered}lambda_1=2,\ lambda_2=7.end{gathered}right.$ .

3(1). Для корня lambda_1=2 составляем однородную систему уравнений (A-lambda_1E)x=o:

$begin{pmatrix}1-2&-2\ 3&8-2 end{pmatrix}!cdot! begin{pmatrix}x_1\x_2 end{pmatrix}= begin{pmatrix}0\0end{pmatrix}quad Leftrightarrowquad begin{pmatrix}-1&-2\ 3&6 end{pmatrix}!cdot! begin{pmatrix}x_1\x_2 end{pmatrix}= begin{pmatrix}0\0 end{pmatrix}!.$

Решаем эту систему методом Гаусса, приводя расширенную матрицу системы к упрощенному виду

$begin{pmatrix}-1&-2!!&vline!!&0\ 3&6!!&vline!!&0end{pmatrix}sim begin{pmatrix}1&2!!&vline!!&0\ 3&6!!&vline!!&0end{pmatrix}sim begin{pmatrix}1&2!!& vline!!&0\ 0&0!!&vline!!&0end{pmatrix}!.$

Ранг матрицы системы равен 1 (r=1) , число неизвестных n=2 , следовательно, фундаментальная система решений состоит из n-r=1 решения. Выражаем базисную переменную x_1 через свободную: x_1=-2x_2 . Полагая x_2=1 , получаем решение $varphi_1= begin{pmatrix}-2\1end{pmatrix}$ .

4(1). Записываем собственные векторы, соответствующие собственному значению lambda_1=2colon~ s_1=C_1cdotvarphi_1 , где C_1 — отличная от нуля произвольная постоянная.

Заметим, что, согласно пункту 5 замечаний 7.5, в качестве собственного вектора можно выбрать вектор, составленный из алгебраических дополнений элементов второй строки матрицы $begin{pmatrix}-1&-2\3&6end{pmatrix}$ , то есть $begin{pmatrix}2\-1 end{pmatrix}$ . Умножив этот столбец на (-1), получим varphi_1 .

3(2). Для корня lambda_2=7 составляем однородную систему уравнений (A-lambda_2E)x=o:

$begin{pmatrix}1-7&-2\ 3&8-7 end{pmatrix}!cdot! begin{pmatrix}x_1\x_2 end{pmatrix}= begin{pmatrix}0\0end{pmatrix}quad Leftrightarrowquad begin{pmatrix}-6&-2\ 3&1 end{pmatrix}!cdot! begin{pmatrix}x_1\x_2 end{pmatrix}= begin{pmatrix}0\0 end{pmatrix}!.$

Решаем эту систему методом Гаусса, приводя расширенную матрицу системы к упрощенному виду

$begin{pmatrix}-6&-2!!&vline!!&0\ 3&1!!&vline!!&0end{pmatrix}sim begin{pmatrix}3&1!!&vline!!&0\ -6&-2!!&vline!!&0end{pmatrix}sim begin{pmatrix}1&1/3!!& vline!!&0\ -6&-2!!&vline!!&0end{pmatrix}sim begin{pmatrix}1&1/3!!& vline!!&0\ 0&0!!&vline!!&0end{pmatrix}!.$

Ранг матрицы системы равен 1 (r=1) , число неизвестных n=2 , следовательно, фундаментальная система решений состоит из n-r=1 решения. Выражаем базисную переменную x_1 через свободную: $x_1=-frac{1}{3}x_2$ . Полагая x_2=1 , получаем решение $varphi_2=begin{pmatrix}-1/3\1end{pmatrix}$ .

4(2). Записываем собственные векторы, соответствующие собственному значению lambda_2=7colon~ s_2=C_2cdotvarphi_2 , где C_2 — отличная от нуля произвольная постоянная.

Заметим, что, согласно пункту 5 замечаний 7.5, в качестве собственного вектора можно выбрать вектор, составленный из алгебраических дополнений элементов первой строки матрицы $begin{pmatrix}-6&-2\3&1end{pmatrix}$ , т.е. $begin{pmatrix}1\-3 end{pmatrix}$ . Поделив его на (- 3), получим varphi_2 .

Матрица . 1. Составляем характеристический многочлен матрицы

$Delta_{B}(lambda)= begin{vmatrix}1-lambda&-4\1&1-lambdaend{vmatrix}= (1-lambda)^2+4=lambda^2-2 lambda+1+4= lambda^2-2 lambda+5.$

2. Решаем характеристическое уравнение: $lambda^2-2 lambda+5=0~Rightarrow~! left[! begin{gathered}lambda_1=1+2i,\ lambda_2=1-2i.end{gathered}right.$ .

3(1). Для корня lambda_1=1+2i составляем однородную систему уравнений (B-lambda_1E)x=o

$begin{pmatrix}1-(1+2i)&-4\ 1&8-1-(1+2i) end{pmatrix}!cdot! begin{pmatrix}x_1\x_2 end{pmatrix}= begin{pmatrix}0\0end{pmatrix}quad Leftrightarrowquad begin{pmatrix}-2i&-4\ 1&-2i end{pmatrix}!cdot! begin{pmatrix}x_1\x_2 end{pmatrix}= begin{pmatrix}0\0 end{pmatrix}!.$

Решаем эту систему методом Гаусса, приводя расширенную матрицу системы к упрощенному виду

$begin{pmatrix}-2i&-4!!&vline!!&0\ 1&-2i!!&vline!!&0end{pmatrix}sim begin{pmatrix} 1&-2i!!&vline!!&0\ -2i&-4!!&vline!!&0end{pmatrix}sim begin{pmatrix}1&-2i!!& vline!!&0\ 0&0!!&vline!!&0end{pmatrix}.$

Ранг матрицы системы равен 1 (r=1) , число неизвестных n=2 , следовательно, фундаментальная система решений состоит из n-r=1 решения. Выражаем базисную переменную x_1 через свободную: x_1=2i,x_2 . Полагая x_2=1 , получаем решение $varphi_1= begin{pmatrix}2i\1 end{pmatrix}$ .

4(1). Записываем собственные векторы, соответствующие собственному значению lambda_1= 1+2icolon~ s_1=C_1cdotvarphi_1 , где C_1 — отличная от нуля произвольная постоянная.

Заметим, что, согласно пункту 5 замечаний 7.5, в качестве собственного вектора можно выбрать вектор, составленный из алгебраических дополнений элементов первой строки матрицы $begin{pmatrix}-2i&-4\1&-2iend{pmatrix}$ , то есть $begin{pmatrix}-2i\ -1 end{pmatrix}$ . Умножив этот столбец на (-1), получим varphi_1 .

3(2). Для корня lambda_2=1-2i составляем однородную систему уравнений (B-lambda_2E)x=o:

$begin{pmatrix}1-(1-2i)&-4\ 1&8-1-(1-2i) end{pmatrix}!cdot! begin{pmatrix}x_1\x_2 end{pmatrix}= begin{pmatrix}0\0end{pmatrix}quad Leftrightarrowquad begin{pmatrix}2i&-4\ 1&2i end{pmatrix}!cdot! begin{pmatrix}x_1\x_2 end{pmatrix}= begin{pmatrix}0\0 end{pmatrix}!.$

Решаем эту систему методом Гаусса, приводя расширенную матрицу системы к упрощенному виду

$begin{pmatrix}2i&-4!!&vline!!&0\ 1&2i!!&vline!!&0end{pmatrix}sim begin{pmatrix} 1&2i!!&vline!!&0\ 2i&-4!!&vline!!&0end{pmatrix}sim begin{pmatrix}1&2i!!& vline!!&0\ 0&0!!&vline!!&0end{pmatrix}.$

Ранг матрицы системы равен 1 (r=1) , число неизвестных n=2 , следовательно, фундаментальная система решений состоит из n-r=1 решения. Выражаем базисную переменную x_1 через свободную: x_1=-2i,x_2 . Полагая x_2=1 , получаем решение $varphi_2= begin{pmatrix}-2i\1 end{pmatrix}$ .

4(2). Записываем собственные векторы, соответствующие собственному значению lambda_2=1-2icolon~ s_2=C_2cdotvarphi_2 , где C_2 — отличная от нуля произвольная постоянная.

Заметим, что, согласно пункту 5 замечаний 7.5, в качестве собственного вектора можно выбрать вектор, составленный из алгебраических дополнений элементов первой строки матрицы $begin{pmatrix}2i&-4\1&2iend{pmatrix}$ , т.е. $begin{pmatrix}2i\-1 end{pmatrix}$ . Умножив его на (-1), получим varphi_2 .

Матрица 1. Составляем характеристический многочлен матрицы

$Delta_{C}(lambda)= det(C-lambda E)= begin{vmatrix}1-lambda&1&1\1&1-lambda&1\ 1&1&1-lambda end{vmatrix}= (1-lambda)^3+2-3(1-lambda)= -lambda^3+3 lambda^2.$

2. Решаем характеристическое уравнение: $-lambda^3+3 lambda^2=0~Rightarrow~! left[! begin{gathered}lambda_1=3,\ lambda_2=0end{gathered}right.$ .

3(1). Для корня lambda_1=3 составляем однородную систему уравнений (C-lambda_1E)x=o:

$begin{pmatrix}1-3&1&1\ 1&1-3&1\ 1&1&1-3end{pmatrix}!cdot! begin{pmatrix} x_1\x_2\x_3end{pmatrix}=begin{pmatrix}0\0\0end{pmatrix}quad Leftrightarrowquad begin{cases}-2x_1+x_2+x_3=0,\ x_1-2x_2+x_3=0,\ x_1+x_2-2x_3=0.end{cases}$

Решаем эту систему методом Гаусса, приводя расширенную матрицу системы к упрощенному виду (ведущие элементы выделены полужирным курсивом):

$begin{gathered}begin{pmatrix}C-lambda_1Emid oend{pmatrix}= begin{pmatrix} -2&1&1!!&vline!!&0\ 1&-2&1!!&vline!!&0\ 1&1&-2!!&vline!!&0 end{pmatrix}sim begin{pmatrix} 1&1&-2!!&vline!!&0\ -2&1&1!!&vline!!&0\ 1&-2&1!!&vline!!&0 end{pmatrix}sim\[2pt] simbegin{pmatrix} 1&1&-2!!&vline!!&0\ 0&3&-3!!&vline!!&0\ 0&-3&3!!&vline!!&0 end{pmatrix}sim begin{pmatrix} 1&1&-2!!&vline!!&0\ 0&1&-1!!&vline!!&0\ 0&0&0!!&vline!!&0 end{pmatrix}sim begin{pmatrix} 1&0&-1!!&vline!!&0\ 0&1&-1!!&vline!!&0\ 0&0&0!!&vline!!&0 end{pmatrix}!.end{gathered}$

Ранг матрицы системы равен 2 (r=2) , число неизвестных n=3 , следовательно, фундаментальная система решений состоит из n-r=1 решения. Выражаем базисные переменные x_1,x_2 через свободную $x_3colon begin{cases}x_1=x_3,\x_2=x_3,end{cases}$ и, полагая x_3=1 , получаем решение $varphi=begin{pmatrix}1\1\1end{pmatrix}$ .

4(1). Все собственные векторы, соответствующие собственному значению lambda_1=3 , вычисляются по формуле s=C_1cdotvarphi , где C_1 — отличная от нуля произвольная постоянная.

Заметим, что, согласно пункту 5 замечаний 7.5, в качестве собственного вектора можно выбрать вектор, составленный из алгебраических дополнений элементов первой строки матрицы $begin{pmatrix}-2&1&1\1&-2&1\1&1&-2end{pmatrix}$ , то есть $begin{pmatrix}3\3\3end{pmatrix}$ , так как

$A_{11}=(-1)^{1+1}begin{vmatrix} -2&1\1&-2 end{vmatrix} =3;quad A_{12}=(-1)^{1+2} begin{vmatrix} 1&1\1&-2 end{vmatrix}= 3;quad A_{13}=(-1)^{1+3}begin{vmatrix}1&-2\ 1&1 end{vmatrix}=3.$

Разделив его на 3, получим varphi .

3(2). Для собственного значения lambda_2=0 имеем однородную систему Cx=o . Решаем ее методом Гаусса:

$begin{pmatrix}Cmid oend{pmatrix}= begin{pmatrix}1&1&1!!&vline!!&0\ 1&1&1!!&vline!!&0\ 1&1&1!!&vline!!&0 end{pmatrix}sim begin{pmatrix}1&1&1!!& vline!!&0\ 0&0&0!!&vline!!&0\ 0&0&0!!&vline!!&0 end{pmatrix}!.$

Ранг матрицы системы равен единице (r=1) , следовательно, фундаментальная система решений состоит из двух решений (n-r=2) . Базисную переменную x_1 , выражаем через свободные: x_1=-x_2-x_3 . Задавая стандартные наборы свободных переменных x_2=1,~x_3=0 и x_2=0,~ x_3=1 , получаем два решения

$varphi_1=begin{pmatrix}-1\1\0end{pmatrix}!,qquad varphi_2=begin{pmatrix}-1\0\1 end{pmatrix}!.$

4(2). Записываем множество собственных векторов, соответствующих собственному значению lambda_2=0colon~ s=C_1varphi_1+C_2varphi_2 , где C_1,C_2 — произвольные постоянные, не равные нулю одновременно. В частности, при C_1=0, C_2=-1 получаем $s_1=begin{pmatrix}1&0&-1end{pmatrix}^T$ ; при C_1=0,~C_2=-1colon $s_2=begin{pmatrix}1&-1&0end{pmatrix}^T$ . Присоединяя к этим собственным векторам собственный вектор $s_3=begin{pmatrix}1&1&1 end{pmatrix}^T$ , соответствующий собственному значению lambda_1=3 (см. пункт 4(1) при C_1=1 ), находим три линейно независимых собственных вектора матрицы

$s_1=begin{pmatrix}1\0\-1end{pmatrix}!,qquad s_2=begin{pmatrix}1\-1\0 end{pmatrix}!,qquad s_3=begin{pmatrix}1\1\1end{pmatrix}!.$

Заметим, что для корня lambda_2=0 собственный вектор нельзя найти, применяя пункт 5 замечаний 7.5, так как алгебраическое дополнение каждого элемента матрицы равно нулю.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник