Как найти собственные значения линейного преобразования матрицы - Autoru.top

Определение: Пусть L – заданное n — мерное линейное пространство. Ненулевой вектор L называется Собственным вектором линейного преобразования А, если существует такое число l, что выполняется равенство:

При этом число l называется Собственным значением (характеристическим числом) линейного преобразования А, соответствующего вектору .

Определение: Если линейное преобразование А в некотором базисе ,,…, имеет матрицу А = , то собственные значения линейного преобразования А можно найти как корни l1, l2, … ,ln уравнения:

Это уравнение называется Характеристическим уравнением, а его левая часть — Характеристическим многочленом линейного преобразования А.

Следует отметить, что характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от выбора базиса.

Рассмотрим Частный случай. Пусть А – некоторое линейное преобразование плоскости, матрица которого равна . Тогда преобразование А может быть задано формулами:

;

В некотором базисе .

Если преобразование А имеет собственный вектор с собственным значением l, то А.

или

Т. к. собственный вектор Ненулевой, то х1 и х2 не равны нулю одновременно. Т. к. данная система однородна, то для того, чтобы она имела нетривиальное решение, определитель системы должен быть равен нулю. В противном случае по правилу Крамера система имеет единственное решение – нулевое, что невозможно.

Полученное уравнение является Характеристическим уравнением линейного преобразования А.

Таким образом, можно найти собственный вектор (х1, х2) линейного преобразования А с собственным значением l, где l — корень характеристического уравнения, а х1 и х2 – корни системы уравнений при подстановке в нее значения l.

Понятно, что если характеристическое уравнение не имеет действительных корней, то линейное преобразование А не имеет собственных векторов.

Следует отметить, что если — собственный вектор преобразования А, то и любой вектор ему коллинеарный – тоже собственный с тем же самым собственным значением l.

Действительно, . Если учесть, что векторы имеют одно начало, то эти векторы образуют так называемое Собственное направление Или Собственную прямую.

Т. к. характеристическое уравнение может иметь два различных действительных корня l1 и l2, то в этом случае при подстановке их в систему уравнений получим бесконечное количество решений. (Т. к. уравнения линейно зависимы). Это множество решений определяет две Собственные прямые.

Если характеристическое уравнение имеет два равных корня l1 = l2 = l, то либо имеется лишь одна собственная прямая, либо, если при подстановке в систему она превращается в систему вида: . Эта система удовлетворяет любым значениям х1 и х2. Тогда все векторы будут собственными, и такое преобразование называется Преобразованием подобия.

Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей А = .

Запишем линейное преобразование в виде:

Составим характеристическое уравнение:

L2 — 8l + 7 = 0;

Корни характеристического уравнения: l1 = 7; l2 = 1;

Для корня l1 = 7:

Из системы получается зависимость: X1 – 2X2 = 0. Собственные векторы для первого корня характеристического уравнения имеют координаты: (T; 0,5T) где T— параметр.

Для корня l2 = 1:

Из системы получается зависимость: X1 + X2 = 0. Собственные векторы для второго корня характеристического уравнения имеют координаты: (T; —T) где T— параметр.

Полученные собственные векторы можно записать в виде:

Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей А = .

Запишем линейное преобразование в виде:

Составим характеристическое уравнение:

L2 — 4l + 4 = 0;

Корни характеристического уравнения: l1 = l2 = 2;

Получаем:

Из системы получается зависимость: X1 – X2 = 0. Собственные векторы для первого корня характеристического уравнения имеют координаты: (T; T) где T— параметр.

Собственный вектор можно записать: .

Рассмотрим другой Частный случай. Если — собственный вектор линейного преобразования А, заданного в трехмерном линейном пространстве, а х1, х2, х3 – компоненты этого вектора в некотором базисе , то

Где l — собственное значение (характеристическое число) преобразования А.

Если матрица линейного преобразования А имеет вид:

, то

Характеристическое уравнение:

Раскрыв определитель, получим кубическое уравнение относительно l. Любое кубическое уравнение с действительными коэффициентами имеет либо один, либо три действительных корня.

Тогда любое линейное преобразование в трехмерном пространстве имеет собственные векторы.

Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования А, матрица линейного преобразования А = .

Составим характеристическое уравнение:

(1 — l)((5 — l)(1 — l) — 1) — (1 — l — 3) + 3(1 — 15 + 3l) = 0

(1 — l)(5 — 5l — l + l2 — 1) + 2 + l — 42 + 9l = 0

(1 — l)(4 — 6l + l2) + 10l — 40 = 0

4 — 6l + l2 — 4l + 6l2 — l3 + 10l — 40 = 0

-l3 + 7l2 – 36 = 0

-l3 + 9l2 — 2l2 – 36 = 0

-l2(l + 2) + 9(l2 – 4) = 0

(l + 2)(-l2 + 9l — 18) = 0

Собственные значения: l1 = -2; l2 = 3; l3 = 6;

1) Для l1 = -2:

Если принять х1 = 1, то Þ х2 = 0; x3 = -1;

Собственные векторы:

2) Для l2 = 3:

Если принять х1 = 1, то Þ х2 = -1; x3 = 1;

Собственные векторы:

3) Для l3 = 6:

Если принять х1 = 1, то Þ х2 = 2; x3 = 1;

Собственные векторы:

Составим характеристическое уравнение:

-(3 + l)((1 — l)(2 — l) – 2) + 2(4 — 2l — 2) — 4(2 — 1 + l) = 0

-(3 + l)(2 — l — 2l + l2 — 2) + 2(2 — 2l) — 4(1 + l) = 0

-(3 + l)(l2 — 3l) + 4 — 4l — 4 — 4l = 0

-3l2 + 9l — l3 + 3l2 — 8l = 0

-l3 + l = 0

L1 = 0; l2 = 1; l3 = -1;

Для l1 = 0:

Если принять х3 = 1, получаем х1 = 0, х2 = -2

Собственные векторы ×t, где t – параметр.

Для самостоятельного решения: Аналогично найти И для l2 и l3.

< Предыдущая		Следующая >

Источник

Содержание:

Линейные преобразования. Собственные векторы и собственные числа линейного оператора
Собственные векторы и собственные числа линейного оператора: определение, свойства
Нахождение собственных чисел и собственных векторов
Базис пространства из собственных векторов линейного оператора
Линейная модель обмена (модель международной торговли)

Линейные преобразования. Собственные векторы и собственные числа линейного оператора

Линейные преобразования (линейные операторы). Матрица линейного преобразования

Пусть задано -мерный пространство . Если каждому вектору поставлено в соответствие единственный вектор

этого же пространства, говорится, что в векторном пространстве задано преобразование , или оператор .

Вектор — результат линейного преобразования — называют образом вектора , а выходной вектор — прообразом вектора .

Преобразование называется линейным преобразованием, или линейным оператором, если для произвольных векторов и произвольного действительного скаляра выполняются условия:

То есть линейный оператор преобразует пространство в то самое пространство. Это записывается следующим образом:

Примерами простейших линейных преобразований являются:
тождественное преобразование: , когда каждый -мерный вектор пространства превращается в самого себя, то есть остается без изменения;

нулевой оператор , когда каждый -мерный вектор пространства превращается в ноль-вектор этого же пространства, то есть

Линейное преобразование , с помощью которого осуществляется восстановление вектора по его образу , называется обратным к линейным преобразованием. В отличие от матрицы оператор записывают каллиграфическим шрифтом.

Рассмотрим задачу об отыскании координат образа вектора .

Пусть в пространстве выбрано базис (не обязательно ортонормированный) и есть координатами вектора в этом базисе. Обозначим через координаты вектора в выбранном базисе. по условию , тогда согласно линейностью оператора получим :

Но образы тоже являются векторами с , поэтому иx можно разложить по тому же базисом. Пусть

где коэффициенты разложения вектора по базису

С учетом (5.5) соотношение (5.4) принимает вид:

Группируя члены правой части относительно векторов базиса, имеем:

С другой стороны, если являются координатами вектора в базисе то его можно представить следующим образом:

Сопоставляем (5.8) из (5.7) и получаем координаты вектора :

Следовательно, при линейном преобразовании:

координаты образа вектора являются линейными комбинациями координат прообраза, коэффициенты при которых составляют матрицу -го порядка (обозначим ее через ):

Матрица , которая в произведении (слева) с вектором с определяет координаты его образа при линейном преобразовании , Называется матрицей линейного преобразования в базисе и пишут:

Каждый — -й — столбец матрицы составляют коэффициенты разложения вектора по базису каждая — -я — строка определяет коэффициенты разложения координат вектора по координатам вектора .

Обратите внимание, что — нераздельный символ (обозначение вектораобраза), а — произведение матрицы с вектором (прообразом).

Каждому линейном оператору -мерного пространства отвечает матрица -го порядка в данном базисе. И наоборот, каждой матрицы -го порядка отвечает линейный оператор -мерного пространства с определенным базисом.

Например, с помощью оператора линейных преобразований можно описать поворот произвольного вектора с пространства вокруг начала координат на угол против часовой стрелки. Формулы поворота осей координат (формулы перехода от исходных координат и к новым и , и наоборот ) определяют алгебраическую форму изображения линейного оператора поворота осей:

где оператор перехода от исходных (новых) координат к новым (исходных);

векторы, началом которых является точка , а концами —
точки и , соответственно.

По соотношению (5.12) матрица линейного преобразования} , Описывающий поворот произвольного вектора из пространства вокруг начала координат на угол против часовой стрелки, имеет вид:

а матрица обратного линейного преобразования , то есть такого, что описывает поворот произвольного вектора из пространства вокруг начала координат на угол по часовой стрелке, имеет вид:

Теорема 5.1 (о связи между матрицами оператора в различных базисах).

Матрицы и линейного оператора в разных базисах и связаны между собой соотношением:

где матрица перехода от исходного к новому базису.

Доказательство. Пусть линейный оператор превращает вектор пространства в вектор того самого пространства. Тогда в матричной форме связь между вектором и его образом в исходном базисе можно записать как , а в новом — как . Поскольку является матрицей перехода от исходного базиса к новому, то в соответствии с (4.18) имеем:

Умножим равенство (5.14) слева на матрицу и получим . Отсюда по определению линейного оператора имеем: . С учетом (5.15):

Сравнив соотношение и , получаем

Две квадратные матрицы и называются подобными, если существует такая невырожденная матрица , матрицы и связанные соотношениями:

Соответствующие линейные операторы называются преобразованиями сходства.

Подобные матрицы описывают то же линейное преобразование, но в разных базисах, а матрица является матрицей перехода от одного базиса к другому.

Подобные матрицы имеют те же ранги, суммы элементов главной диагонали и определители.

В базисе и задана матрица линейного оператора :

Определим матрицу , которая отвечает том же оператору в базисе векторов и есть матрица подобна матрице .

Предоставим расписание векторов нового базиса по векторам исходного базиса: . Соответственно, матрица перехода от исходного к новому базису имеет вид:

Ее определитель , то есть матрица невырожденная и имеет обратную:

По теореме 5.1 определяем матрицу оператора в новом базисе:

Обратите внимание, что в новом базисе матрица оператора оказалась диагональной.

Собственные векторы и собственные числа линейного оператора: определение, свойства

Рассмотрим -мерных линейный пространство с определенным базисом и матрицу , некоторого линейного оператора пространства.

Ненулевой вектор называют собственным, или характеристическим вектором линейного оператора (или матрицы ), если существует такое действительное число , имеет место равенство:

Скаляр называется собственным, или характеристическим, числом матрицы , или ее собственным значением, соответствует собственному вектору :

Согласно определениями собственного числа и собственного вектора имеем:

1) Если , то каждый ненулевой вектор из является собственным вектором матрицы , при этом , ведь по свойству единичной матрицы имеем ;
2) любой ненулевой -мерный вектор является собственным вектором нулевой матрицы , при этом , так как .

Поставим задачу нахождения собственных чисел и собственных векторов заданной матрицы

Запишем матричное уравнение (5.17) в развернутом виде:

Таким образом, задача сводится к решению однородной системы линейных уравнений с неизвестными. Нас интересуют (по определению собственного вектора) только ненулевые векторы, то есть нетривиальные решения системы, поэтому определитель системы (5.18) должен быть равен нулю:

Раскрытие определителя в соотношении (5.19) дает многочлен степени относительно , который называется характеристическим многочленом матрицы , а соотношение (5.19), которое можно представить в виде , определяет уравнение для нахождения собственных чисел, которое называют характеристическим уравнением матрицы .

По основной теореме алгебры уравнения любой матрицы имеет корней, если каждый из них считать столько раз, какова его кратность. Характеристическое уравнение матрицы может иметь только действительные, но и комплексные корни, то есть числа вида где действительные числа, мнимая единица.

Множество всех собственных чисел матрицы называют спектром матрицы. Если в спектре матрицы то же собственное число повторяется раз, то говорят, что кратность этого собственного числа равна .

Теорема 5.2 (о единственности собственного чucлa, что соответствует собственному вектору). Если — собственный вектор матрицы , то существует единственный скаляр , который удовлетворяет условие .

Доказательство. Предположим, что кроме собственного числа существует еще один
скаляр , такой, что . Тогда должно выполняться равенство . Поскольку по определению собственный вектор является ненулевым, то есть , получим .

Согласно теореме 5.2 говорят, что собственный вектор из матрицы принадлежит собственному числу .

Теорема 5.3 (о множестве собственных векторов, принадлежащих собственному числу). Если матрица имеет собственный вектор, принадлежащий собственному числу , то таких векторов бесконечно много.

Доказательство базируется на определении собственного вектора и свойствах ассоциативности и коммутативности операции умножения матрицы на скаляр.

Действительно, пусть собственный вектор матрицы , тогда . Привлечем к рассмотрению вектор , коллинеарный вектору , то есть , где , и покажем, что в также является собственным вектором матрицы :

Поскольку равенство (5.19) выполняется для произвольного , то существует множество собственных векторов, принадлежащих данному собственному числу.

Теорема 5.4 (критерий существования собственного вектора , соответствующего собственному числу ). Вектор тогда и только тогда является собственным вектором матрицы , соответствующим собственному числу , когда его координаты образуют ненулевое решение однородной квадратной системы линейных алгебраических уравнений

или

Доказательство сводится к тождественных преобразований матричных уравнений.

Необходимость уже доказано переходом от соотношения , к однородной системе линейных уравнений , представленной в развернутом виде (5 18).

Достаточность. На основании свойств действий над матрицами с учетом условия , осуществит переход от однородной системы уравнений в матричной форме с соотношением :

Теорема 5.5 (пpo линейную независимость собственных векторов). Собственные векторы, принадлежащие различным собственным числам, является линейно независимыми.

Доказательство проведем методом от противного. Пусть два произвольные собственные векторы, принадлежащие соответственно собственным числам и . Необходимо показать, что линейная комбинация этих собственных векторов ноль-вектор только тогда, когда , то есть

Предположим обратное. Пусть (5.23) выполняется при условии, что одно из чисел не является нулем, например,

Умножим левую и правую части (5.23) на собственное число . Тогда

Левую и правую части равенства (5.23) умножим на матрицу слева, и, учитывая свойства операций над матрицами, получим:

Сравним (5.25) и (5.24). Получаем:

По условию теоремы . По определению вектор является ненулевым, поэтому равенство (5.26) возможно только при , то есть предположение о линейной зависимости векторов и ошибочно.

Если есть более двух собственных векторов, принадлежащих попарно различным собственным числам, доведение аналогичное (с использованием метода математической индукции).

Заметим, что собственные векторы, принадлежащих различным собственным числам, можно использовать как базисные векторы пространства .

Теорема 5.6 (пpo сумму и произведение собственных чисел). Если собственные числа матрицы , то:
1) сумма собственных чисел равна сумме элементов главной диагонали матрицы :

2) произведение собственных чисел равна определителю матрицы :

Доказательство основывается на формулах Виета, которые описывают соотношение между корнями и коэффициентами многочлена -гo степени в случае, когда его старший коэффициент равен единице.

Рассмотрим простейший случай . Запишем характеристическое уравнение в развернутом виде:

С (5.29) по теореме Виета (для квадратного уравнения) имеем:

Сумму всех диагональных элементов матрицы называют следом (от нем. spur — след) этой матрицы и обозначают .

Для квадратной матрицы произвольного порядка теорему 5.6 в символьном виде можно записать так:

при этом собственное число берем столько раз, какова его кратность как корня характеристического уравнения (5.29).

Нахождение собственных чисел и собственных векторов

Рассмотрим алгоритм нахождения собственных чисел матрицы и собственных векторов, которые им принадлежат.
Согласно соотношениями (5.18) и (5.19) имеем такой порядок отыскания собственных чисел и собственных векторов матрицы.
1. Составляем по исходной матрицей характеристическое уравнение (5.18) и решаем его, то есть находим спектр собственных чисел.
2. Подставляем поочередно каждое собственное число в систему (5.18) и находим все ее нетривиальные решения, что и дает множество собственных векторов, принадлежащих соответствующему собственному числу.

Замечания. Множество всех собственных векторов, принадлежащих определенному собственному числу, можно представить как линейную комбинацию фундаментальных решений однородной системы уравнений согласно (4.19), гл. 4.

Найдем собственные числа и собственные векторы матрицы

Характерным уравнением этой матрицы является квадратное уравнение:

Решив его, получим собственные числа и

Теперь описываем множества и всех собственных векторов, принадлежащих найденным собственным числам.

Для этого в матрицу вместо подставим поочередно значения собственных чисел, запишем соответствующую систему однородных линейных уравнений (5.18) и решим ее:

Предоставляя параметру произвольных значений, для данного собственного числа получим совокупность коллинеарных между собой собственных векторов.

Теорема 5.7 (про собственные числа и собственные векторы симметричной матрицы).

Симметричная матрица имеет только действительные собственные числа. Собственные векторы, принадлежащие разным собственным числам, ортогональны и линейно независимы.

Теорема приводим без доказательства.
Проиллюстрируем прав выводов данной теоремы на примере.

Пусть имеем симметричную матрицу

Найдем собственные числа и собственные векторы этой матрицы и докажем ортогональность собственных векторов, соответствующих различным собственным числам.

1. Составим характеристическое уравнение матрицы

2. Найдем корни полученного кубического уравнения относительно . С элементарной алгебры известно, если многочлен со старшим коэффициентом, равным единице, имеет целые корни, то их следует искать среди делителей свободного члена. Перебирая делители числа 36, убеждаемся, что является корнем уравнения (5.30).

Нахождение других двух корней сводится к решению квадратного уравнения:

3. Опишем множества и собственных векторов, принадлежащих найденным собственным числам.

Для этого в матрицу вместо подставляем поочередно значения собственных чисел, записываем соответствующую систему однородных линейных уравнений (5.17) и решаем ее методом Жордана-Гаусса:

Аналогично находим собственные векторы и

Система векторов и является линейно независимой, поскольку

Убеждаемся, что векторы и — попарно ортогональны.
Для этого определим их скалярные произведения:

Поскольку скалярные произведения векторов равны нулю, то векторы попарно ортогональны.
Если в выражениях (5.31-5.33) положить , то получим систему векторов:

которая использовалась как базис пространства в примере после теоремы и . В таком базисе, то есть базисе из собственных векторов, матрица оператора оказалась диагональной, ее ненулевыми элементами являются собственные числа матрицы .

Теорема 5.8 (о преобразовании матрицы к диагональному виду). Матрица линейного оператора в базисе имеет диагональный вид тогда и только тогда, когда все векторы базиса являются собственными векторами матрицы .
Теорему наводим без доказательств

Заметим, что при нахождении собственных чисел для заданной матрицы самой задачей является решение алгебраического уравнения -й степени, что во многих случаях сделать невозможно без использования приближенных методов. Изучение приближенных методов выходит за пределы программы. Поэтому предлагаем воспользоваться известными программами MatLab, MathCad, Maple и др.

Следующий пример был решен в пакете MatLab, в котором конечный результат вычислений предоставляется без промежуточных выкладок.
Найдем собственные числа и соответствующие им собственные векторы матрицы

Характерным уравнением для нахождения собственных чисел является уравнение

корнями которого будут числа а соответствующие им собственные векторы имеют вид:

Собственные числа и собственные векторы матриц имеют широкий спектр использования, в частности, в аналитической геометрии (Раздел 2), в задачах различных отраслей естественных наук и эконометрики.

Базис пространства из собственных векторов линейного оператора

По теореме 5.5 собственные векторы, принадлежащие разным собственным числам, являются линейно независимыми. Возникает вопрос, при каких условиях существует базис линейного пространства , построенный из собственных векторов матрицы.
Лема. Если является собственным числом матрицы , то множество собственных векторов матрицы содержит линейно независимых векторов, где — ранг матрицы .

Доказательство. Согласно теореме 5.4 множество собственных векторов совпадает с множеством всех решений однородной системы линейных уравнений:

где — собственный вектор матрицы , что соответствует собственному числу . По теореме 4.4 такая система имеет фундаментальную систему решений, количество векторов которой равна , то есть содержит — линейно независимых векторов.

Теорема 5.9 (о существовании базиса из собственных векторов матрицы). Пусть числа образуют множество всех различных собственных чисел матрицы . Если сумма рангов матриц равна , то в пространстве существует базис из собственных векторов матрицы .

Доказательство. Согласно лемме каждое множество собственных векторов, соответствующих уравнению , содержит независимые векторы в количестве . По теореме 5.5 собственные векторы, принадлежащие разным собственным числам, являются линейно независимыми. Тогда для матрицы общее количество линейно независимых собственных векторов составляет:

Поскольку собственные векторы матрицы в совокупности составляют систему линейно независимых векторов, то они образуют базис пространства .

Теорема 5.10 (о существовании базиса из собственных векторов симметричной матрицы). Если матрица линейного оператора симметрична, то в пространстве существует базис, образованный из собственных векторов матрицы .

Теорему принимаем без доказательств.
Построим ортонормированный базис пространства , состоящий из собственных векторов матрицы

линейного преобразования , и найдем матрицу заданного преобразования в этом базисе.

Согласно теореме 5.9 такой базис существует, поскольку матрица является симметричной матрицей. Составим характеристическое уравнение матрицы :

и решим его: (собственное значение кратности ) и

Для каждого из двух различных собственных чисел матрицы определим фундаментальную систему решений однородной системы уравнений: . При в результате элементарных преобразований основной матрицы системы получаем:

По последним шагом элементарных преобразований матрицы записываем общее решение системы:

Определяем фундаментальную систему решений однородной системы уравнений

Собственные векторы и являются ортогональными, поскольку их скалярное произведение равно нулю:

При в результате элементарных преобразований основной матрицы системы получаем:

По последнем шагом элементарных преобразований матрицы записываем общее решение системы:

Возлагаем и получаем фундаментальный решение однородной системы уравнений

Поскольку и , то все три вектора попарно ортогональны. Объединив полученные фундаментальные системы решений, иметь систему собственных векторов матрицы . Они образуют ортогональный базис пространства . После нормирования векторы приобретают вид:

Это и есть ортогональный базис пространства , состоящий из собственных векторов матрицы .

По соотношению (5.13) определим матрицу , что соответствует оператору в базисе из собственных векторов. Согласно теореме 5.8 эта матрица будет иметь диагональный вид, а элементами ее главной диагонали будут собственные числа этой матрицы. Заключим с собственными векторами , и матрицу перехода к новому базису и найдем обратную к ней матрицу :

По матричным уравнением (5.13) находим матрицу , что соответствует оператору в базисе из собственных векторов:

Следовательно, мы получили диагональную матрицу третьего порядка, элементами главной диагонали которой есть собственные числа матрицы .

Далее приведен пример применения собственных векторов и собственных чисел в одной из многих задач экономики.

Линейная модель обмена (модель международной торговли)

Практически все страны кроме внутреннего товарообмена осуществляют внешний товарообмен, то есть занимаются внешней торговлей. Торговля считается сбалансированной, или бездефицитной, если для каждой страны прибыль от торговли не меньше объем средств, которые она вкладывает в товарооборот (внутренний и внешний).

Постановка задачи. Несколько стран осуществляют взаимный товарообмен. Известную долю бюджетных средств, тратит каждая страна на закупку товаров у другой страны, учитывая и внутренний товарооборот. Определить, каким должно быть соотношение бюджетов партнеров для того, чтобы обеспечить бездефицитность торговли.

Построение математической модели. Введем обозначения количественных характеристик, описывающих торговлю между странами, и определим связь между этими характеристиками. Пусть — страны, участвующие в международной торговле. Доли средств, которые тратит страна на закупку товаров в стране , учитывая и внутренний товарооборот , обозначим через . Понятно, что

Матрицу , элементами которой являются числа , называют структурной матрицей торговли:

Эта матрица описывает взаимодействие стран в процессе международной торговли. Соотношение (5.34) означает, что сумма элементов каждого столбца матрицы равна
1. Если объем средств, которые тратит каждая страна на торговлю, обозначить через , соответственно, то прибыль страны от внутренней и внешней торговли составит

Чтобы торговля каждой страны была сбалансированной, по определению должно выполняться условие , и , то есть прибыль от торговли не должна быть меньше расходов. Однако соблюдение этого требования в виде неравенства невозможно для всех стран в совокупности. Действительно, добавим левые и правые части указанных неровностей, изменяя от единицы до :

Группируя в левой части слагаемые, содержащие каждое из , получим:

Учитывая соотношение (5.20), получим:

Отсюда следует, что сбалансированная торговля возможна только в случае знака равенства. Это, полагаем, понятно не только на основании аналитических выкладок, но и с экономической точки зрения (и даже просто с точки зрения здравого смысла): все страны в совокупности не могут получить прибыль. Более того, для одной из стран не может выполняться знак строгого неравенства .

Итак, условием сбалансированной торговли является равенства , и , из которых получим:

Введем в рассмотрение вектор (бюджетных) средств и подадим систему (5.39) в матричной форме:

С (5.40) следует, что при условии сбалансированности торговли между странами вектор средств должен быть собственным вектором структурной матрицы торговли , который принадлежит собственному числу . Таким образом, решение задачи сводится к нахождению этого собственного вектора , компоненты которого устанавливают соотношение между бюджетами стран, участвующих в товарообмене.

Рассмотрим товарообмен между тремя странами. Пусть структурная матрица торговли стран , имеет вид:

Найдем вектор средств, компонентами которого являются доли от общего объема торговли, должна вкладывать каждая из стран во внешней товарооборот для того, чтобы торговля была сбалансированной.

Искомый вектор средств является собственным вектором структурной матрицы, принадлежащий собственному значению . Его компоненты образуют ненулевое решение однородной СЛАУ:

Поскольку система является однородной, то расширенная матрица эквивалентна основной матрицы системы. Осуществим элементарные преобразования основной матрицы этой системы уравнений:

Находим общее решение системы, в котором — базисные переменные, — свободная переменная:

Отсюда следует, что для сбалансированности торговли необходимо, чтобы средства, которые вкладывает в внешний товарооборот каждая страна, соотносились как

Лекции:

Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
Функции многих переменных
Наибольшее и наименьшее значение функции
Уравнение плоскости
Экстремум функции трёх переменных
Как найти вероятность: пример решения
Свойства определенного интеграла
Комбинаторика
Однородные дифференциальные уравнения
Простейшие задачи аналитической геометрии

Источник

Собственные векторы и значения линейного оператора (преобразования)

Пусть mathcal{A}colon Vto V — линейное преобразование n-мерного линейного пространства . Ненулевой вектор boldsymbol{s} линейного пространства , удовлетворяющий условию

mathcal{A}(boldsymbol{s})=lambdacdot boldsymbol{s},

(9.5)

называется собственным вектором линейного преобразования mathcal{A} . Число lambda в равенстве (9.5) называется собственным значением преобразования . Говорят, что собственный вектор соответствует (принадлежит) собственному значению lambda . Если пространство вещественное (комплексное), то собственное значение lambda — действительное (комплексное) число.

Множество всех собственных значений линейного преобразования называется его спектром.

Поясним геометрический смысл собственных векторов. Ненулевой вектор s является собственным для преобразования mathcal{A} , если его образ mathcal{A} (boldsymbol{s}) коллинеарен прообразу . Другими словами, если — собственный вектор, то преобразование имеет одномерное инвариантное подпространство operatorname{Lin}(boldsymbol{s}) . Справедливо и обратное утверждение.

В самом деле, пусть собственный вектор boldsymbol{s} соответствует некоторому собственному значению lambda . Любой вектор boldsymbol{v} из operatorname{Lin}(boldsymbol{s}) имеет вид boldsymbol{v}=alpha boldsymbol{s} , где alpha — любое число из заданного поля. Найдем образ этого вектора

mathcal{A}(boldsymbol{v})= mathcal{A}(alpha boldsymbol{s})= alphacdot mathcal{A}(boldsymbol{s})= alphacdot lambdacdot boldsymbol{s}in operatorname{Lin} (boldsymbol{s}).

Следовательно, mathcal{A}(boldsymbol{v})in operatorname{Lin}(boldsymbol{s}) для любого вектора boldsymbol{v}in operatorname{Lin}(boldsymbol{s}) , т.е. подпространство инвариантно относительно преобразования . Размерность подпространства operatorname{Lin} (boldsymbol{s}) равна единице, так как boldsymbol{s}ne boldsymbol{o} по определению.

Обратное утверждение доказывается, проводя рассуждения в обратном порядке.

Связь собственных векторов линейного преобразования (оператора) и его матрицы

Ранее рассматривались собственные векторы и собственные значения матрицы. Напомним, что собственным вектором квадратной матрицы n-го порядка называется ненулевой числовой столбец $s=begin{pmatrix}s_1&cdots&s_{n}end{pmatrix}^T$ , удовлетворяющий условию (7.13):

Acdot s=lambdacdot s.

(9.6)

Число lambda в (9.6) называется собственным значением матрицы . При этом считалось, что собственное значение lambda и числа s_i~(i=1,ldots,n) принадлежат полю комплексных чисел.

Эти понятия связаны с собственными векторами и собственными значениями линейного преобразования.

Теорема 9.3 о собственных векторах линейного преобразования и его матрицы. Пусть mathcal{A}colon Vto V — линейное преобразование n-мерного линейного пространства с базисом $boldsymbol{e}_1,ldots,boldsymbol{e}_n$ . Тогда собственное значение lambda и координатный столбец {s} собственного вектора boldsymbol{s} преобразования mathcal{A} являются собственным значением и собственным вектором матрицы этого преобразования, определенной относительно базиса $boldsymbol{e}_1,ldots, boldsymbol{e}_n$ , т.е.

mathcal{A}(boldsymbol{s})=lambdacdot boldsymbol{s}quad Rightarrowquad Acdot s=lambdacdot s, где $boldsymbol{s}=s_1 boldsymbol{e}_1+ldots+s_n boldsymbol{e}_n,~ s=begin{pmatrix}s_1&cdots& s_nend{pmatrix}^T.$

Обратное утверждение справедливо при дополнительных условиях: если столбец $s=begin{pmatrix} s_1&cdots&s_nend{pmatrix}^T$ и число lambda являются собственным вектором и собственным значением матрицы , причем числа s_1,ldots,s_n,lambda принадлежат тому же числовому полю, над которым определено линейное пространство , то вектор $boldsymbol{s}=s_1 boldsymbol{e}_1+ ldots+s_n boldsymbol{e}_n$ и число lambda являются собственным вектором и собственным значением линейного преобразования mathcal{A}colon Vto V с матрицей в базисе $boldsymbol{e}_1,ldots,boldsymbol{e}_n$ .

В самом деле, условие (9.5) в координатной форме имеет вид (9.6), что совпадает с определением (7.13) собственного вектора матрицы. Наоборот, из равенства (9.6) следует равенство (9.5) при условии, что векторы $boldsymbol{s}=s_1 boldsymbol{e}_1+ldots+s_n boldsymbol{e}_n$ и lambdacdot boldsymbol{s} определены, т.е. числа s_1,ldots,s_n, lambda принадлежат тому же числовому полю, над которым определено линейное пространство.

Напомним, что нахождение собственных значений матрицы сводится к решению ее характеристического уравнения Delta_A(lambda)=0 , где Delta_A(lambda)=det(A-lambda E) — характеристический многочлен матрицы . Для линейного преобразования введем аналогичные понятия.

Характеристическим многочленом линейного преобразования mathcal{A}colon Vto V n-мерного линейного пространства называется характеристический многочлен $Delta_{mathcal{A}}(lambda)=det(A-lambda E)$ матрицы этого преобразования, найденной относительно любого базиса пространства .

Уравнение $Delta_{mathcal{A}}(lambda)=0$ называется характеристическим уравнением линейного преобразования.

Преобразование mathcal{A}-lambdamathcal{E} называется характеристическим для линейного преобразования mathcal{A}colon Vto V .

Замечания 9.4

1. Характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от базиса, в котором найдена матрица преобразования.

В самом деле, матрицы $mathop{A}limits_{(boldsymbol{e})}$ и $mathop{A}limits_{(boldsymbol{f})}$ линейного преобразования mathcal{A} в базисах $(boldsymbol{e})= (boldsymbol{e}_1,ldots, boldsymbol{e}_n)$ и $(boldsymbol{f})=(boldsymbol{f}_1,ldots,boldsymbol{f}_n)$ являются, согласно (9.4), подобными: $mathop{A}limits_{(boldsymbol{f})}=S^{-1}mathop{A}limits_{(boldsymbol{e})}S$ , где — матрица перехода от базиса к базису . Как показано ранее, характеристические многочлены подобных матриц совпадают (см. свойство 3). Поэтому для характеристического многочлена преобразования mathcal{A} можно использовать обозначение $Delta_{mathcal{A}}(lambda)$ , не указывая матрицу этого преобразования.

2. Из теоремы 9.3 следует, что любой комплексный (действительный, рациональный) корень характеристического уравнения является собственным значением линейного преобразования mathcal{A}colon Vto V линейного пространства , определенного над полем комплексных (действительных, рациональных) чисел.

3. Из теоремы 9.3 следует, что любое линейное преобразование комплексного линейного пространства имеет одномерное инвариантное подпространство, так как это преобразование имеет собственное значение (см. пункт 2), а следовательно, и собственные векторы. Таким подпространством является, например, линейная оболочка любого собственного вектора. У преобразования вещественного линейного пространства одномерных инвариантных подпространств может и не быть, если все корни характеристического уравнения комплексные (но не действительные).

Теорема 9.4 об инвариантных подпространствах линейного оператора вещественного пространства. У всякого линейного преобразования вещественного линейного пространства существует одномерное или двумерное инвариантное подпространство.

Действительно, составим матрицу линейного преобразования mathcal{A}colon Vto V n-мерного вещественного линейного пространства в произвольном базисе $boldsymbol{e}_1,ldots,boldsymbol{e}_n$ . Элементы этой матрицы — действительные числа. Следовательно, характеристический многочлен $Delta_{mathcal{A}}(lambda)=det(A-lambda E)$ — это многочлен степени с действительными коэффициентами. Согласно следствиям 3, 4 основной теоремы алгебры, такой многочлен может иметь действительные корни и пары комплексных сопряженных корней.

Если lambda=lambda_1 — действительный корень характеристического уравнения, то и соответствующий собственный вектор $s=begin{pmatrix}s_1&cdots&s_nend{pmatrix}^T$ матрицы также действительный. Поэтому он определяет собственный вектор $boldsymbol{s}=s_1 boldsymbol{e}_1+ldots+s_n boldsymbol{e}_n$ линейного преобразования (см. теорему 9.3). В этом случае существует одномерное инвариантное относительно mathcal{A} подпространство operatorname{Lin}(boldsymbol{s}) (см. геометрический смысл собственных векторов).

Если lambda=alphapmbeta i — пара комплексных сопряженных корней (betane0) , то собственный вектор sne o матрицы также с комплексными элементами: $s=begin{pmatrix}x_1+y_1i&cdots& x_n+y_n i end{pmatrix}^T$ . Его можно представить в виде s=x+yi , где x,,y — действительные столбцы. Равенство (9.6) при этом будет иметь вид

Acdot(x+yi)= (alpha+beta i)cdot(x+yi).

Выделяя действительную и мнимую части, получаем систему

$begin{cases}Ax=alpha x-beta y,\ Ay=beta x+alpha y.end{cases}$

(9.7)

Покажем, что столбцы {x} и {y} линейно независимы. Рассмотрим два случая. Если x=o , то из первого уравнения (9.7) следует, что y=o , так как betane0 . Тогда s=o , что противоречит условию sne o . Предположим, что xne o и столбцы и пропорциональны, т.е. существует такое действительное число gamma , что y=gamma x . Тогда из системы (9.7) получаем $begin{cases}Ax=(alpha-betagamma)x,\ gamma Ax=(beta-alphagamma)x. end{cases}$ Прибавляя ко второму уравнению первое, умноженное на (-gamma) , приходим к равенству [(beta+alphagamma)-gamma(alpha-betagamma)]x=o . Так как xne o , то выражение в квадратных скобках равно нулю, т.е. (beta+alphagamma)- gamma(alpha- betagamma)= beta(1+gamma^2)=0 . Поскольку betane0 , то gamma^2=-1 . Этого не может быть, так как gamma — действительное число. Получили противоречие. Таким образом, столбцы и линейно независимы.

Рассмотрим подпространство operatorname{Lin}(boldsymbol{x},boldsymbol{y}) , где $boldsymbol{x}= x_1 boldsymbol{e}_1+ldots+x_n boldsymbol{e}_n,~ boldsymbol{y}= y_1 boldsymbol{e}_1+ldots+ y_n boldsymbol{y}_n$ . Это подпространство двумерное, так как векторы линейно независимы (как показано выше, их координатные столбцы x,y линейно независимы). Из (9.7) следует, что $begin{cases}mathcal{A}(boldsymbol{x})=alpha boldsymbol{x}-beta boldsymbol{y},\ mathcal{A}(boldsymbol{y})=beta boldsymbol{x}+alpha boldsymbol{y},end{cases}$ т.е. образ любого вектора, принадлежащего operatorname{Lin}(boldsymbol{x},boldsymbol{y}) , также принадлежит . Следовательно, — двумерное подпространство, инвариантное относительно преобразования mathcal{A} , что и требовалось доказать.

Нахождение собственных векторов и значений линейного оператора (преобразования)

Для нахождения собственных векторов и собственных значений линейного преобразования mathcal{A}colon Vto V вещественного линейного пространства следует выполнить следующие действия.

1. Выбрать произвольный базис $boldsymbol{e}_1,ldots,boldsymbol{e}_n$ линейного пространства и найти в этом базисе матрицу преобразования mathcal{A} .

2. Составить характеристический многочлен преобразования $mathcal{A}colon, Delta_{mathcal{A}}(lambda)=det(A-lambda E)$ .

3. Найти все различные действительные корни lambda_1,ldots,lambda_k характеристического уравнения $Delta_{mathcal{A}}(lambda)=0$ . Комплексные (но не действительные) корни характеристического уравнения следует отбросить (см. пункт 2. замечаний 9.4).

4. Для корня lambda=lambda_1 найти фундаментальную систему $varphi_1, varphi_2,ldots,varphi_{n-r}$ решений однородной системы уравнений (A-lambda_1E)x=o , где $r=operatorname{rg}(A-lambda_1E)$ . Для этого можно использовать либо алгоритм решения однородной системы, либо один из способов нахождения фундаментальной матрицы.

5. Записать линейно независимые собственные векторы преобразования mathcal{A} , отвечающие собственному значению lambda_1:

$begin{matrix} boldsymbol{s}_1=varphi_{1,1}boldsymbol{e}_1+ ldots+ varphi_{n,1}boldsymbol{e}_n,\ boldsymbol{s}_2=varphi_{1,2}boldsymbol{e}_1+ ldots+ varphi_{n,2}boldsymbol{e}_n,\ vdots\ boldsymbol{s}_{n-r}=varphi_{1,n-r} boldsymbol{e}_1+ ldots+varphi_{n,n-r}boldsymbol{e}_n. end{matrix}$

Для нахождения совокупности всех собственных векторов, отвечающих собственному значению lambda_1 , образовать ненулевые линейные комбинации

$boldsymbol{s}= C_1 boldsymbol{s}_1+C_2 boldsymbol{s}_2+ldots+ C_{n-r}boldsymbol{s}_{n-r},$

где $C_1,C_2,ldots,C_{n-r}$ — произвольные постоянные, не равные нулю одновременно.

Повторить пункты 4, 5 для остальных собственных значений lambda_2,ldots,lambda_k линейного преобразования mathcal{A} .

Для нахождения собственных векторов линейного преобразования комплексного линейного пространства нужно в пункте 3 определить все корни характеристического уравнения и, не отбрасывая комплексные корни, выполнить для них пункты 4,5.

Примеры собственных векторов линейных операторов (преобразований)

1. Для нулевого преобразования mathcal{O}colon Vto V любой ненулевой вектор boldsymbol{s}in V является собственным, соответствующим нулевому собственному значению lambda=0 , так как mathcal{O}(boldsymbol{s})=0cdot boldsymbol{s}~ forall boldsymbol{s}in V .

2. Для тождественного преобразования mathcal{E}colon Vto V любой ненулевой вектор boldsymbol{s}in V является собственным, соответствующим единичному собственному значению lambda=1 , так как mathcal{E} (boldsymbol{s})=1cdot boldsymbol{s}~ forall boldsymbol{s}in V .

3. Для центральной симметрии $mathcal{Z}_{boldsymbol{o}}colon Vto V$ любой ненулевой вектор boldsymbol{s}in V является собственным, соответствующим собственному значению lambda=-1 , так как $mathcal{Z}_{boldsymbol{o}} (boldsymbol{s})=(-1)cdot boldsymbol{s}~ forall boldsymbol{s}in V$ .

4. Для гомотетии $mathcal{H}_{lambda}colon Vto V$ любой ненулевой вектор boldsymbol{s}in V является собственным, соответствующим собственному значению lambda (коэффициенту гомотетии), так как $mathcal{H}_{lambda} (boldsymbol{boldsymbol{s}})= lambdacdot boldsymbol{s}~ forall boldsymbol{s}in V$ .

5. Для поворота $mathcal{R}_{varphi}colon V_2to V_2$ плоскости (при varphinepi k,~ kinmathbb{Z} ) собственных векторов нет, так как при повороте на угол, не кратный , образ каждого ненулевого вектора неколлинеарен прообразу. Здесь рассматривается поворот вещественной плоскости, т.е. двумерного векторного пространства над полем действительных чисел.

6. Для оператора дифференцирования $mathcal{D}colon P_n(mathbb{R})to P_n(mathbb{R})$ любой ненулевой многочлен нулевой степени (не равный тождественно нулю) является собственным вектором, соответствующим нулевому собственному значению lambda=0 , так как mathcal{D}(s(x))=0cdot s(x) forall s(x)equiv text{const} . Любой многочлен ненулевой степени не является собственным вектором, так как многочлен не пропорционален своей производной: mathcal{D}(s(x))=s'(x)ne lambdacdot s(x) , поскольку они имеют разные степени.

7. Рассмотрим оператор $Pi_{L_1}colon Vto V$ проектирования на подпространство L_1 параллельно подпространству L_2 . Здесь V=L_1oplus L_2, $Pi_{L_1}(boldsymbol{v}_1+ boldsymbol{v}_2)=boldsymbol{v}_1$ для $boldsymbol{v}=boldsymbol{v}_1+boldsymbol{v}_2,$ $boldsymbol{v}_1in L_1,~ boldsymbol{v}_2in L_2$ . Для этого оператора любой ненулевой вектор $boldsymbol{v}_1in L_1$ является собственным, соответствующим собственному значению lambda=1 , так как $Pi_{L_1}(boldsymbol{v}_1)=1cdot boldsymbol{v}_1$ , а любой ненулевой вектор $boldsymbol{v}_2in L_2$ является собственным, соответствующим собственному значению lambda=0 , так как $Pi_{L_2}(boldsymbol{v}_2)=0cdot boldsymbol{v}_2$ . Другие векторы не являются собственными, так как равенство $Pi_{L_1}(boldsymbol{v}_1+boldsymbol{v}_2)= boldsymbol{v}_1= lambda(boldsymbol{v}_1+boldsymbol{v}_2)$ возможно либо при $boldsymbol{v}_1=boldsymbol{o}$ , либо при $boldsymbol{v}_2= boldsymbol{o}$ .

8. Рассмотрим оператор $mathcal{Z}_{L_1}colon Vto V$ отражения на подпространство L_1 параллельно подпространству L_2 . Здесь V=L_1oplus L_2 $mathcal{Z}_{L_1}(boldsymbol{v}_1+boldsymbol{v}_2)= boldsymbol{v}_1- boldsymbol{v}_2$ , для $boldsymbol{v}=boldsymbol{v}_1+boldsymbol{v}_2,$ $boldsymbol{v}_1in L_1,~ boldsymbol{v}_2in L_2$ . Для этого оператора любой ненулевой вектор $boldsymbol{v}_1in L_1$ является собственным, соответствующим собственному значению lambda=1 , так как $mathcal{Z}_{L_1} (boldsymbol{v}_1)= 1cdot boldsymbol{v}_1$ , а любой ненулевой вектор $boldsymbol{v}_2in L_2$ является собственным, соответствующим собственному значению lambda=-1 , так как $mathcal{Z}_{L_2} (boldsymbol{v}_2)= (-1)cdot boldsymbol{v}_2$ . Другие векторы не являются собственными, так как равенство $mathcal{Z}_{L_1}(boldsymbol{v}_1+boldsymbol{v}_2)= boldsymbol{v}_1- boldsymbol{v}_2= lambda(boldsymbol{}_1+ boldsymbol{v}_2)$ возможно либо при $boldsymbol{v}_1=boldsymbol{o}$ , либо при $boldsymbol{v}_2= boldsymbol{o}$ .

9. В пространстве V_3 радиус-векторов пространства, отложенных от фиксированной точки , рассмотрим поворот на угол varphinepi k,~ kinmathbb{Z} , вокруг оси ell , заданной радиус-вектором vec{ell} . Любой ненулевой вектор, коллинеарный вектору , является собственным, отвечающим собственному значению lambda=1 . Других собственных векторов у этого преобразования нет.

Пример 9.1. Найти собственные значения и собственные векторы оператора дифференцирования $mathcal{D}colon T_1to T_1$ , преобразующего пространство тригонометрических многочленов (частоты omega=1 ):

а) с действительными коэффициентами $T_1=T_1(mathbb{R})= operatorname{Lin} (sin{t},cos{t})$ ;

б) с комплексными коэффициентами $T_1=T_1(mathbb{C})= operatorname{Lin} (sin{t},cos{t})$ .

Решение. 1. Выберем стандартный базис $e_1(t)=sin{t},~ e_2(t)=cos{t}$ и составим в этом базисе матрицу оператора mathcal{D}:

$D=begin{pmatrix}0&-1\ 1&0 end{pmatrix}!.$

2. Составим характеристический многочлен преобразования $mathcal{D}colon, Delta_{mathcal{D}}(lambda)= begin{vmatrix}-lambda&-1\ 1&-lambdaend{vmatrix}= lambda^2+1.$ .

3. Характеристическое уравнение lambda^2+1=0 имеет комплексные сопряженные корни lambda_1=i,~ lambda_2=-i . Действительных корней нет, поэтому преобразование mathcal{D} вещественного пространства $T_1(mathbb{R})$ (случай (а)) не имеет собственных значений, а следовательно, и собственных векторов. Преобразование комплексного пространства $T_1(mathbb{C})$ (случай (б)) имеет комплексные собственные значения lambda_1,,lambda_2 .

4(1). Для корня lambda_1=i находим фундаментальную систему varphi_1 решений однородной системы уравнений (D-lambda_1 E)x=o:

$begin{pmatrix}-i&-1\ 1&-iend{pmatrix}!cdot! begin{pmatrix} x_1\x_2 end{pmatrix}= begin{pmatrix}0\0 end{pmatrix}!.$

Приведем матрицу системы к ступенчатому виду, умножая первое уравнение на {i} и вычитая его из второго уравнения:

$begin{pmatrix}-i&-1\ 1&-i end{pmatrix}sim begin{pmatrix}1&-i\ 1&-i end{pmatrix}sim begin{pmatrix}1&-i\ 0&0end{pmatrix}!.$

Выражаем базисную переменную x_1 через свободную: x_1=ix_2 . Полагая x_2=1 , получаем x_1=i , т.е. $varphi=begin{pmatrix}i&1 end{pmatrix}^T$ .

5(1). Записываем собственный вектор, отвечающий собственному значению $lambda_1= icolon, s_1(t)=icdotsin{t}+1cdotcos{t}$ . Совокупность всех собственных векторов, отвечающих собственному значению lambda_1=i , образуют ненулевые функции, пропорциональные s_1(t) .

4(2). Для корня lambda_2=-i аналогично находим фундаментальную систему (состоящую из одного вектора) $varphi_2=begin{pmatrix}-i&1 end{pmatrix}^T$ решений однородной системы уравнений (D-lambda_2E)x=o:

$begin{pmatrix}i&-1\ 1&i end{pmatrix}!cdot! begin{pmatrix} x_1\x_2 end{pmatrix}= begin{pmatrix}0\0 end{pmatrix}!.$

5(2). Записываем собственный вектор, отвечающий собственному значению $lambda_2=-icolon, s_2(t)=-icdotsin{t}+1cdotcos{t}$ . Совокупность всех собственных векторов, отвечающих собственному значению , образуют ненулевые функции, пропорциональные s_2(t) .

См. также Свойства собственных векторов линейных операторов (преобразований)

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Собственные числа и собственные векторы линейного оператора

Определение . Ненулевой вектор x называется собственным вектором оператора A , если оператор A переводит x в коллинеарный ему вектор, то есть A· x = λ· x . Число λ называется собственным значением или собственным числом оператора A, соответствующим собственному вектору x .
Отметим некоторые свойства собственных чисел и собственных векторов.
1. Любая линейная комбинация собственных векторов x ₁, x ₂, . x _m оператора A , отвечающих одному и тому же собственному числу λ, является собственным вектором с тем же собственным числом.
2. Собственные векторы x ₁, x ₂, . x _m оператора A с попарно различными собственными числами λ₁, λ₂, …, λ_m линейно независимы.
3. Если собственные числа λ₁=λ₂= λ_m= λ, то собственному числу λ соответствует не более m линейно независимых собственных векторов.

Итак, если имеется n линейно независимых собственных векторов x ₁, x ₂, . x _n, соответствующих различным собственным числам λ₁, λ₂, …, λ_n, то они линейно независимы, следовательно, их можно принять за базис пространства R_n. Найдем вид матрицы линейного оператора A в базисе из его собственных векторов, для чего подействуем оператором A на базисные векторы: тогда .
Таким образом, матрица линейного оператора A в базисе из его собственных векторов имеет диагональный вид, причем по диагонали стоят собственные числа оператора A.
Существует ли другой базис, в котором матрица имеет диагональный вид? Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Матрица линейного оператора A в базисе < ε _i> (i = 1..n) имеет диагональный вид тогда и только тогда, когда все векторы базиса — собственные векторы оператора A.

Правило отыскания собственных чисел и собственных векторов

Система (1) имеет ненулевое решение, если ее определитель D равен нулю

Пример №1 . Линейный оператор A действует в R₃ по закону A· x =(x₁-3x₂+4x₃, 4x₁-7x₂+8x₃, 6x₁-7x₂+7x₃), где x₁, x₂, . x_n — координаты вектора x в базисе e ₁=(1,0,0), e ₂=(0,1,0), e ₃=(0,0,1). Найти собственные числа и собственные векторы этого оператора.
Решение. Строим матрицу этого оператора:
A· e ₁=(1,4,6)
A· e ₂=(-3,-7,-7)
A· e ₃=(4,8,7)
.
Составляем систему для определения координат собственных векторов:
(1-λ)x₁-3x₂+4x₃=0
x₁-(7+λ)x₂+8x₃=0
x₁-7x₂+(7-λ)x₃=0
Составляем характеристическое уравнение и решаем его:

Пример №2 . Дана матрица .
1. Доказать, что вектор x =(1,8,-1) является собственным вектором матрицы A. Найти собственное число, соответствующее этому собственному вектору.
2. Найти базис, в котором матрица A имеет диагональный вид.

Решение находим с помощью калькулятора.
1. Если A· x =λ· x , то x — собственный вектор

Определение . Симметрической матрицей называется квадратная матрица, в которой элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны, то есть в которой a_i k =a_k i .

Замечания .

Все собственные числа симметрической матрицы вещественны.
Собственные векторы симметрической матрицы, соответствующие попарно различным собственным числам, ортогональны.

В качестве одного из многочисленных приложений изученного аппарата, рассмотрим задачу об определении вида кривой второго порядка.

Собственные векторы и значения линейного оператора (преобразования)

Пусть — линейное преобразование n-мерного линейного пространства . Ненулевой вектор линейного пространства , удовлетворяющий условию

называется собственным вектором линейного преобразования . Число в равенстве (9.5) называется собственным значением преобразования . Говорят, что собственный вектор соответствует (принадлежит) собственному значению . Если пространство вещественное (комплексное), то собственное значение — действительное (комплексное) число.

Множество всех собственных значений линейного преобразования называется его спектром .

Поясним геометрический смысл собственных векторов. Ненулевой вектор s является собственным для преобразования , если его образ коллинеарен прообразу . Другими словами, если — собственный вектор, то преобразование имеет одномерное инвариантное подпространство . Справедливо и обратное утверждение.

В самом деле, пусть собственный вектор соответствует некоторому собственному значению . Любой вектор из имеет вид , где — любое число из заданного поля. Найдем образ этого вектора

Следовательно, для любого вектора , т.е. подпространство инвариантно относительно преобразования . Размерность подпространства равна единице, так как по определению.

Обратное утверждение доказывается, проводя рассуждения в обратном порядке.

Связь собственных векторов линейного преобразования (оператора) и его матрицы

Ранее рассматривались собственные векторы и собственные значения матрицы. Напомним, что собственным вектором квадратной матрицы n-го порядка называется ненулевой числовой столбец , удовлетворяющий условию (7.13):

Число в (9.6) называется собственным значением матрицы . При этом считалось, что собственное значение и числа принадлежат полю комплексных чисел.

Эти понятия связаны с собственными векторами и собственными значениями линейного преобразования.

Теорема 9.3 о собственных векторах линейного преобразования и его матрицы. Пусть — линейное преобразование n-мерного линейного пространства с базисом . Тогда собственное значение и координатный столбец собственного вектора преобразования являются собственным значением и собственным вектором матрицы этого преобразования, определенной относительно базиса , т.е.

Обратное утверждение справедливо при дополнительных условиях: если столбец и число являются собственным вектором и собственным значением матрицы , причем числа принадлежат тому же числовому полю, над которым определено линейное пространство , то вектор и число являются собственным вектором и собственным значением линейного преобразования с матрицей в базисе .

В самом деле, условие (9.5) в координатной форме имеет вид (9.6), что совпадает с определением (7.13) собственного вектора матрицы. Наоборот, из равенства (9.6) следует равенство (9.5) при условии, что векторы и определены, т.е. числа принадлежат тому же числовому полю, над которым определено линейное пространство.

Напомним, что нахождение собственных значений матрицы сводится к решению ее характеристического уравнения , где — характеристический многочлен матрицы . Для линейного преобразования введем аналогичные понятия.

Характеристическим многочленом линейного преобразования n-мерного линейного пространства называется характеристический многочлен матрицы этого преобразования, найденной относительно любого базиса пространства .

Уравнение называется характеристическим уравнением линейного преобразования .

Преобразование называется характеристическим для линейного преобразования .

В самом деле, матрицы и линейного преобразования в базисах и являются, согласно (9.4), подобными: , где — матрица перехода от базиса к базису . Как показано ранее, характеристические многочлены подобных матриц совпадают (см. свойство 3). Поэтому для характеристического многочлена преобразования можно использовать обозначение , не указывая матрицу этого преобразования.

2. Из теоремы 9.3 следует, что любой комплексный (действительный, рациональный) корень характеристического уравнения является собственным значением линейного преобразования линейного пространства , определенного над полем комплексных (действительных, рациональных) чисел.

Действительно, составим матрицу линейного преобразования n-мерного вещественного линейного пространства в произвольном базисе . Элементы этой матрицы — действительные числа. Следовательно, характеристический многочлен — это многочлен степени с действительными коэффициентами. Согласно следствиям 3, 4 основной теоремы алгебры, такой многочлен может иметь действительные корни и пары комплексных сопряженных корней.

Если — действительный корень характеристического уравнения, то и соответствующий собственный вектор матрицы также действительный. Поэтому он определяет собственный вектор линейного преобразования (см. теорему 9.3). В этом случае существует одномерное инвариантное относительно подпространство (см. геометрический смысл собственных векторов).

Если — пара комплексных сопряженных корней , то собственный вектор матрицы также с комплексными элементами: . Его можно представить в виде , где — действительные столбцы. Равенство (9.6) при этом будет иметь вид

Выделяя действительную и мнимую части, получаем систему

Покажем, что столбцы и линейно независимы. Рассмотрим два случая. Если , то из первого уравнения (9.7) следует, что , так как . Тогда , что противоречит условию . Предположим, что и столбцы и пропорциональны, т.е. существует такое действительное число , что . Тогда из системы (9.7) получаем Прибавляя ко второму уравнению первое, умноженное на , приходим к равенству . Так как , то выражение в квадратных скобках равно нулю, т.е. . Поскольку , то . Этого не может быть, так как — действительное число. Получили противоречие. Таким образом, столбцы и линейно независимы.

Рассмотрим подпространство , где . Это подпространство двумерное, так как векторы линейно независимы (как показано выше, их координатные столбцы линейно независимы). Из (9.7) следует, что т.е. образ любого вектора, принадлежащего , также принадлежит . Следовательно, — двумерное подпространство, инвариантное относительно преобразования , что и требовалось доказать.

Нахождение собственных векторов и значений линейного оператора (преобразования)

Для нахождения собственных векторов и собственных значений линейного преобразования вещественного линейного пространства следует выполнить следующие действия.

1. Выбрать произвольный базис линейного пространства и найти в этом базисе матрицу преобразования .

2. Составить характеристический многочлен преобразования .

3. Найти все различные действительные корни характеристического уравнения . Комплексные (но не действительные) корни характеристического уравнения следует отбросить (см. пункт 2. замечаний 9.4).

4. Для корня найти фундаментальную систему решений однородной системы уравнений , где . Для этого можно использовать либо алгоритм решения однородной системы, либо один из способов нахождения фундаментальной матрицы.

5. Записать линейно независимые собственные векторы преобразования , отвечающие собственному значению

Для нахождения совокупности всех собственных векторов, отвечающих собственному значению , образовать ненулевые линейные комбинации

где — произвольные постоянные, не равные нулю одновременно.

Повторить пункты 4, 5 для остальных собственных значений линейного преобразования .

Примеры собственных векторов линейных операторов (преобразований)

1. Для нулевого преобразования любой ненулевой вектор является собственным, соответствующим нулевому собственному значению , так как .

2. Для тождественного преобразования любой ненулевой вектор является собственным, соответствующим единичному собственному значению , так как .

3. Для центральной симметрии любой ненулевой вектор является собственным, соответствующим собственному значению , так как .

4. Для гомотетии любой ненулевой вектор является собственным, соответствующим собственному значению (коэффициенту гомотетии), так как .

5. Для поворота плоскости (при ) собственных векторов нет, так как при повороте на угол, не кратный , образ каждого ненулевого вектора неколлинеарен прообразу. Здесь рассматривается поворот вещественной плоскости, т.е. двумерного векторного пространства над полем действительных чисел.

6. Для оператора дифференцирования любой ненулевой многочлен нулевой степени (не равный тождественно нулю) является собственным вектором, соответствующим нулевому собственному значению , так как . Любой многочлен ненулевой степени не является собственным вектором, так как многочлен не пропорционален своей производной: , поскольку они имеют разные степени.

7. Рассмотрим оператор проектирования на подпространство параллельно подпространству . Здесь для . Для этого оператора любой ненулевой вектор является собственным, соответствующим собственному значению , так как , а любой ненулевой вектор является собственным, соответствующим собственному значению , так как . Другие векторы не являются собственными, так как равенство возможно либо при , либо при .

8. Рассмотрим оператор отражения на подпространство параллельно подпространству . Здесь , для . Для этого оператора любой ненулевой вектор является собственным, соответствующим собственному значению , так как , а любой ненулевой вектор является собственным, соответствующим собственному значению , так как . Другие векторы не являются собственными, так как равенство возможно либо при , либо при .

9. В пространстве радиус-векторов пространства, отложенных от фиксированной точки , рассмотрим поворот на угол , вокруг оси , заданной радиус-вектором . Любой ненулевой вектор, коллинеарный вектору , является собственным, отвечающим собственному значению . Других собственных векторов у этого преобразования нет.

Пример 9.1. Найти собственные значения и собственные векторы оператора дифференцирования , преобразующего пространство тригонометрических многочленов (частоты ):

а) с действительными коэффициентами ;

б) с комплексными коэффициентами .

Решение. 1. Выберем стандартный базис и составим в этом базисе матрицу оператора

2. Составим характеристический многочлен преобразования .

3. Характеристическое уравнение имеет комплексные сопряженные корни . Действительных корней нет, поэтому преобразование вещественного пространства (случай (а)) не имеет собственных значений, а следовательно, и собственных векторов. Преобразование комплексного пространства (случай (б)) имеет комплексные собственные значения .

4(1). Для корня находим фундаментальную систему решений однородной системы уравнений

Приведем матрицу системы к ступенчатому виду, умножая первое уравнение на и вычитая его из второго уравнения:

Выражаем базисную переменную через свободную: . Полагая , получаем , т.е. .

5(1). Записываем собственный вектор, отвечающий собственному значению . Совокупность всех собственных векторов, отвечающих собственному значению , образуют ненулевые функции, пропорциональные .

4(2). Для корня аналогично находим фундаментальную систему (состоящую из одного вектора) решений однородной системы уравнений

5(2). Записываем собственный вектор, отвечающий собственному значению . Совокупность всех собственных векторов, отвечающих собственному значению , образуют ненулевые функции, пропорциональные .

Найти собственные векторы дифференцирование

Найдем такие вектора (называются собственными векторами) v
и такие числа — значения (называются собственными значениями) l
матрицы A, для v, l и A выполняется:
A*v = l*v.

Также вычисляется кратность собственных значений и находит характеристическое уравнение матрицы.

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите:

источники:

http://mathhelpplanet.com/static.php?p=sobstvennye-vektory-i-znacheniya-linyeinogo-operatora

http://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/matrix/sobstvennyie/

Источник

Линейные преобразования. Собственные векторы и собственные числа линейного оператора

Собственные векторы и собственные числа линейного оператора: определение, свойства

Нахождение собственных чисел и собственных векторов

Базис пространства из собственных векторов линейного оператора

Линейная модель обмена (модель международной торговли)

Собственные векторы и значения линейного оператора (преобразования)

Связь собственных векторов линейного преобразования (оператора) и его матрицы

Нахождение собственных векторов и значений линейного оператора (преобразования)

Примеры собственных векторов линейных операторов (преобразований)

Собственные числа и собственные векторы линейного оператора

Правило отыскания собственных чисел и собственных векторов

Собственные векторы и значения линейного оператора (преобразования)

Связь собственных векторов линейного преобразования (оператора) и его матрицы

Нахождение собственных векторов и значений линейного оператора (преобразования)

Примеры собственных векторов линейных операторов (преобразований)

Найти собственные векторы дифференцирование

Где учитесь?

Не пропустите также: