Как найти смешанное произведение векторов пирамиды - Autoru.top

В данной публикации мы рассмотрим, как можно найти смешанное произведение трех векторов через вычисление определителя соответствующей матрицы, перечислим свойства этой операции, а также разберем пример решения задачи.

Нахождение смешанного произведения векторов
Свойства смешанного произведения векторов
Пример задачи

Нахождение смешанного произведения векторов

Смешанное произведение векторов равняется определителю матрицы, которая составлена из координат этих векторов.

Алгоритм действий следующей:

Допустим, у нас есть три вектора: a = {a_x; a_y; a_z}, b = {b_x; b_y; b_z} и с = {с_x; с_y; с_z}. Чтобы найти их смешанное произведение (в декартовой системе) мы составляем матрицу с элементами, как показано ниже, и затем просто вычисляем ее определитель.

Свойства смешанного произведения векторов

1. Модуль смешанного произведения трех векторов равняется объему параллелепипеда, который образован этими векторами.

V_{паралл.} = |a · [b × c]|

2. Объем пирамиды, которая образована тремя векторами, равняется 1/6 от модуля смешанного произведения данных векторов.

V_{паралл.} = 1/6 · |a · [b × c]|

3. Смешанное произведение трех ненулевых компланарных векторов равняется нулю.

4. a · [b × c] = b · (a · c) – c · (a · b)

5. a · [b × c] = b · [c × a] = c · [a × b] = –a · [c ×b] = –b · [a ×c] = –c · [b ×a]

6. a · [b × c] + b · [c × a] + c · [a × b] = 0 (тождество Якоби)

Пример задачи

Найдем смешанное произведение векторов a = {3; 8; 4}, b = {1; -10; 12} и с = {11; 5; 9}.

Решение:

a · [b × c] = 3 · (-10) · 9 + 11 · 8 · 12 + 1 · 5 · 4 – 11 · (-10) · 4 – 3 · 5 · 12 – 1 · 8 · 9 = -270 + 1056 + 20 + 440 – 180 – 72 = 994

Источник

Смешанное произведение векторов.

Определение. Смешанное произведение векторов — скалярное произведение вектора a на векторное произведение векторов b и c.

Формулы вычисления смешанного произведения векторов

Смешанное произведение векторов равно определителю матрицы, составленной из этих векторов.

Смешанное произведение векторов a = {a_x; a_y; a_z}, b = {b_x; b_y; b_z} и c = {c_x; c_y; c_z} в декартовой системе координат можно вычислить, используя следующую формулу:

a · [b × c] =	a_x	a_y	a_z
b_x	b_y	b_z
c_x	c_y	c_z

Свойства смешанного произведения векторов

Геометрический смысл смешанного произведения.

Модуль смешанного произведения трех векторов a, b и с равен объёму параллелепипеда, образованного этими векторами:

V_парал = |a · [b × c]|
Геометрический смысл смешанного произведения.

Объем пирамиды образованной тремя векторами a, b и с равен одной шестой части от модуля смешанного произведения этих векторов:
Если смешанного произведения трех не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора компланарные.
a · [b × c] =
b · (a · c) —
c · (a · b)
a · [b × c] =
b · [c × a] =
c · [a × b] =
—a · [c × b] =
—b · [a × c] =
—c · [b × a]
a · [b × c] + b · [c × a] + c · [a × b] = 0 — тождество Якоби.

Примеры задач на вычисления смешанного произведения векторов

Пример 1. Найти смешанное произведение векторов a = {1; 2; 3}, b = {1; 1; 1}, c = {1; 2; 1}.

Решение:

a · [b × с] =	1	2	3	=
1	1	1
1	2	1

= 1·1·1 + 1·1·2 + 1·2·3 — 1·1·3 — 1·1·2 — 1·1·2 = 1 + 2 + 6 — 3 — 2 — 2 = 2

Пример 2.

Найти объем пирамиды построенной на векторах a = {1; 2; 3}, b = {1; -1; 1}, c = {2; 0; -1}.

Решение: Найдем смешанное произведение этих векторов:

a · [b × с] =	1	2	3	=
1	-1	1
2	0	-1

= 1·(-1)·(-1) + 2·1·2 + 3·1·0 — 3·(-1)·2 — 2·1·(-1) — 1·1·0 =

= 1 + 4 + 0 + 6 + 2 — 0 = 13

Найдем объем пирамиды воспользовавшись свойствами:

V_пир =	1	\|a · [b × c]\| =	13	= 2	1
6	6	6

Источник

1.10.3. Как вычислить объём треугольной пирамиды?

или тетраэдра, …только что решали, но тут другое, типовое условие:

Задача 57

Вычислить объём треугольной пирамиды, если даны её вершины

Решение: «чайникам» рекомендую выполнить схематический рисунок пирамидки, чтобы лучше понять суть проводимых действий.

Сначала найдём векторы:

Вычислим смешанное произведение:

(определитель раскрыт по первой строке)

Вычислим объём треугольной пирамиды :

Ответ:

Рассмотренная задача имеет не единственное решение, можно было взять и другую группу векторов, начиная «движуху» от любой другой вершины

пирамиды (итого 4 варианта). Чем-то похоже на Задачу 53 о площади треугольника, где мы могли выбрать любую из трёх вершин.

Объём тетраэдра – это «хит» смешанного произведения, поэтому заключительное задание пусть будет таким же:

Задача 58

Вычислить объём пирамиды, заданной вершинами ,

В образце решения я рассмотрел векторы от «традиционной» точки ,

но ради исследовательского интереса вы можете выбрать любую другую вершину. Результаты должны совпасть. Напоминаю, что для к книге приложены Алгебраический и Геометрический Калькулятор. Они практически 100%-но позволят вам не пропустить

вычислительную ошибку.

Точно так же как у скалярного и векторного, у

смешанного произведения есть свои свойства, и о некоторых из них я рассказал в начале параграфа; другие же не имеют особого

значения для «массовой» практики, и если они вам нужны, пожалуйста, обратитесь к учебной литературе.

Остались только веселящие душу угольки, и повод для радости действительно есть! – ведь Главу о векторах удалось уместить всего лишь на 60

страницах, чего не ожидал даже я сам. Для такого объёма информация, пожалуй, рекорд.

И в заключение Главы важное напутствие:

Любите векторы, и векторы полюбят вас!

2.1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

1.10.2. Как вычислить смешанное произведение?

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин

Источник

Свойства смешанного произведения
Выражение смешанного произведения через координаты
Некоторые приложения смешанного произведения
- Определение взаимной ориентации векторов в пространстве
- Установление компланарности векторов
- Определение объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды
Определение смешанного произведения, его геометрический смысл
- Свойства смешанного произведения

Определение смешанного произведения, его геометрический смысл:

Рассмотрим произведение векторов , составленное следующим образом: . Здесь первые два вектора перемножаются векторно, а их результат скалярно на третий вектор. Такое произведение называется векторно-скалярным, или смешанным, произведением трех векторов. Смешанное произведение представляет собой некоторое число.

Выясним геометрический смысл выражения . Построим параллелепипед, ребрами которого являются векторы и вектор (см. рис. 22).

Имеем: , где S — площадь параллелограмма, построенного на векторах , для правой тройки векторов и для левой, где H высота параллелепипеда. Получаем:

где V — объем параллелепипеда, образованного векторами .

Таким образом, смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «плюс», если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком «минус», если они образуют левую тройку.

Свойства смешанного произведения

1.Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т. е. Действительно, в этом случае не изменяется ни объем параллелепипеда, ни ориентация его ребер.

2. Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков векторного и скалярного умножения, т. е. .

Действительно, Знак в правой части этих равенств берем один и тот же, так как тройки векторов — одной ориентации.

Следовательно, . Это позволяет записывать смешанное произведение векторов . в виде без знаков векторного, скалярного умножения.

3. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест любых двух векторов-сомножителей, т. е.

Действительно, такая перестановка равносильна перестановке сомножителей в векторном произведении, меняющей у произведения знак.

4. Смешанное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны.

Если — компланарны.

Допустим, что это не так. Можно было бы построить параллелепипед с объемом . Но так как , то получили бы, что . Это противоречит условию: .

Обратно, пусть векторы — компланарны. Тогда вектор будет перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы, и, следовательно, . Поэтому , т. е. .

Выражение смешанного произведения через координаты

Пусть заданы векторы Найдем их смешанное произведение, используя выражения в координатах для векторного и скалярного произведений:

Полученную формулу можно записать короче:

так как правая часть равенства (8.1) представляет собой разложение определителя третьего порядка по элементам третьей строки. Итак, смешанное произведение векторов равно определителю третьего порядка, составленному из координат перемножаемых векторов.

Некоторые приложения смешанного произведения

Определение взаимной ориентации векторов в пространстве

Определение взаимной ориентации векторов основано на следующих соображениях. Если , то — правая тройка; если , то — левая тройка.

Установление компланарности векторов

Векторы компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю :

Определение объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды

Нетрудно показать, что объем параллелепипеда, построенного на векторах вычисляется как , а объем треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах, равен

Пример:

Вершинами пирамиды служат точки A(1; 2;3), B(0; -1; 1), С(2;5;2) и D(3;0; -2). Найти объем пирамиды.

Решение:

Находим векторы :

Находим :

Следовательно,

Определение смешанного произведения, его геометрический смысл

Рассмотрим произведение векторов , и , составленное следующим образом: . Здесь первые два вектора перемножаются векторно, а их результат скалярно на третий вектор. Такое произведение называется векторно-скалярным, или смешанным, произведением трех векторов. Смешанное произведение представляет собой некоторое число.

Выясним геометрический смысл выражения . Построим параллелепипед, ребрами которого являются векторы , , и вектор (см. рис. 22).

Имеем: , , где — площадь параллелограмма, построенного на векторах и , для правой тройки векторов и для левой, где — высота параллелепипеда. Получаем: , т. е. , где — объем параллелепипеда, образованного векторами , и .

Свойства смешанного произведения

1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т. е. .

Действительно, в этом случае не изменяется ни объем параллелепипеда, ни ориентация его ребер.

2. Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков векторного и скалярного умножения, т. е. .

Действительно, и . Знак в правой части этих равенств берем один и тот же, так как тройки векторов , , и , , — одной ориентации.

Следовательно, . Это позволяет записывать смешанное произведение векторов в виде без знаков векторного, скалярного умножения.

3.Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест любых двух векторов-сомножителей, т. е. .

4. Смешанное произведение ненулевых векторов , и равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны.

Если , то , , — компланарны.

Обратно, пусть векторы , , — компланарны. Тогда вектор будет перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы , , , и, следовательно, . Поэтому , т. е. .

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Решение заданий и задач по предметам:

Математика
Высшая математика
Математический анализ
Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

Тождественные преобразования алгебраических выражений
Функции и графики
Преобразования графиков функций
Квадратная функция и её графики
Алгебраические неравенства
Неравенства
Неравенства с переменными
Прогрессии в математике
Арифметическая прогрессия
Геометрическая прогрессия
Показатели в математике
Логарифмы в математике
Исследование уравнений
Уравнения высших степеней
Уравнения высших степеней с одним неизвестным
Комплексные числа
Непрерывная дробь (цепная дробь)
Алгебраические уравнения
Неопределенные уравнения
Соединения
Бином Ньютона
Число е
Непрерывные дроби
Функция
Исследование функций
Предел
Интеграл
Двойной интеграл
Тройной интеграл
Интегрирование
Неопределённый интеграл
Определенный интеграл
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Несобственные интегралы
Кратные интегралы
Интегралы, зависящие от параметра
Квадратный трехчлен
Производная
Применение производной к исследованию функций
Приложения производной
Дифференциал функции
Дифференцирование в математике
Формулы и правила дифференцирования
Дифференциальное исчисление
Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения высших порядков
Дифференциальные уравнения в частных производных
Тригонометрические функции
Тригонометрические уравнения и неравенства
Показательная функция
Показательные уравнения
Обобщенная степень
Взаимно обратные функции
Логарифмическая функция
Уравнения и неравенства
Положительные и отрицательные числа
Алгебраические выражения
Иррациональные алгебраические выражения
Преобразование алгебраических выражений
Преобразование дробных алгебраических выражений
Разложение многочленов на множители
Многочлены от одного переменного
Алгебраические дроби
Пропорции
Уравнения
Системы уравнений
Системы уравнений высших степеней
Системы алгебраических уравнений
Системы линейных уравнений
Системы дифференциальных уравнений
Арифметический квадратный корень
Квадратные и кубические корни
Извлечение квадратного корня
Рациональные числа
Иррациональные числа
Арифметический корень
Квадратные уравнения
Иррациональные уравнения
Последовательность
Ряды сходящиеся и расходящиеся
Тригонометрические функции произвольного угла
Тригонометрические формулы
Обратные тригонометрические функции
Теорема Безу
Математическая индукция
Показатель степени
Показательные функции и логарифмы
Множество
Множество действительных чисел
Числовые множества
Преобразование рациональных выражений
Преобразование иррациональных выражений
Геометрия
Действительные числа
Степени и корни
Степень с рациональным показателем
Тригонометрические функции угла
Тригонометрические функции числового аргумента
Тригонометрические выражения и их преобразования
Преобразование тригонометрических выражений
Комбинаторика
Вычислительная математика
Прямая линия на плоскости и ее уравнения
Прямая и плоскость
Линии и уравнения
Прямая линия
Уравнения прямой и плоскости в пространстве
Кривые второго порядка
Кривые и поверхности второго порядка
Числовые ряды
Степенные ряды
Ряды Фурье
Преобразование Фурье
Функциональные ряды
Функции многих переменных
Метод координат
Гармонический анализ
Вещественные числа
Предел последовательности
Аналитическая геометрия
Аналитическая геометрия на плоскости
Аналитическая геометрия в пространстве
Функции одной переменной
Высшая алгебра
Векторная алгебра
Векторный анализ
Векторы
Скалярное произведение векторов
Векторное произведение векторов
Операции над векторами
Непрерывность функций
Предел и непрерывность функций нескольких переменных
Предел и непрерывность функции одной переменной
Производные и дифференциалы функции одной переменной
Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Матрицы
Линейные и евклидовы пространства
Линейные отображения
Дифференциальные теоремы о среднем
Теория устойчивости дифференциальных уравнений
Функции комплексного переменного
Преобразование Лапласа
Теории поля
Операционное исчисление
Системы координат
Рациональная функция
Интегральное исчисление
Интегральное исчисление функций одной переменной
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Отношение в математике
Математическая логика
Графы в математике
Линейные пространства
Первообразная и неопределенный интеграл
Линейная функция
Выпуклые множества точек
Система координат

Источник

Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Смешанное произведение векторов

Определение и формула смешанного произведения векторов

Если векторы и заданы своими координатами: $bar{a}=left(a_{1} ;; a_{2} ;; a_{3} right), bar{b}=left(b_{1} ;; b_{2} ;; b_{3} right)$ и $bar{c}=left(c_{1} ;; c_{2} ;; c_{3} right)$ , то их смешанное произведение равно определителю матрицы, составленной из этих векторов:

$[left(bar{a},; bar{b},; bar{c}right)=left|begin{array}{ccc} a_{1} & a_{2} & a_{3} \ b_{1} & b_{2} & b_{3} \ c_{1} & c_{2} & c_{3} end{array}right|]$

Свойства смешанного произведения векторов

1. Геометрический смысл смешанного произведения. Модуль смешанного произведения трех векторов и равен объёму параллелепипеда, образованного этими векторами:

$[V_{parall} =left|left(bar{a},; bar{b},; bar{c}right)right|]$