Как найти сложную учетную ставку

  • Дисконтирование по сложной учетной
    ставке осуществля­ется в ситуации
    предварительного начисления сложного
    процента, т.е. когда сложный процент
    (например, за кредит или за продажу
    некоторого финансового документа до
    срока его пога­шения) начисляется в
    момент заключения финансового соглашения.
    В этом случае в начале каждого периода
    начисления проценты начисляются не на
    одну и ту же величину (как при
    дисконтировании по простой учетной
    ставке), а каждый раз на новую, полученную
    в результате дисконтирования,
    осуществленного в предыдущем периоде.

  • Для лица, осуществляющего предварительное
    (антисипативное) начисление процентов,
    а следовательно, и дисконтирование,
    более выгодным является дисконтирование
    по сложной учетной ставке, если срок
    учета менее одного года; более выгодным
    является дисконтирование по простой
    учетной ставке, если срок учета превышает
    один год; дисконтирование в обоих
    случаях дает один и тот же результат,
    если срок учета равен одному году.

  • Если срок, за который осуществляется
    дисконтирование, не равен целому числу
    лет, то при определении стоимости
    учтенного капитала, как правило,
    используют либо сложную учетную ставку,
    либо смешанную схему (применяется
    сложная учетная ставка для целого числа
    лет и простая учетная ставка – для
    дробной части года). Стоимость учтенного
    капитала будет больше при использовании
    смешанной схемы. Аналогичные способы
    дисконтирования применяются и в том
    случае, когда дисконтирование производится
    не один, а несколько раз в году.

  • С ростом в году числа операций
    дисконтирования по номинальной учетной
    ставке величина учтенного капитала
    возрастает.

  • Эффективная годовая учетная ставка
    обеспечивает тот же результат, что и
    дисконтирование несколько раз в году
    по номинальной учетной ставке, деленной
    на число периодов дисконтирования.

  • Эффективная учетная ставка определяется
    и как ставка, обеспечивающая переход
    от исходной суммы к учтенной при
    однократном дисконтировании за базовый
    период (например, за год), т.е. не
    используется явным образом номинальная
    учетная ставка.

Типовые примеры и методы их решения

Пример 2.2.1.Найдите
величину дисконта, если долговое
обязательство на выплату 40 тыс. руб.
учтено за 3 года до срока погашения по
сложной учетной ставке: а) 20% годовых;
б) 25%годовых.

Решение. а) Полагаяn= 3,F3=40
тыс. руб.,d= 0,2, по
формуле (67) получим:

тыс.
руб.

Поэтому дисконт составит:

тыс. руб.

б) Так как в этом случае d= 0,25, то

тыс.
руб.,тыс. руб.

Видно, что с ростом учетной ставки
уменьшается дисконтированная величина
выплаты по долговому обязательству и,
следовательно, увеличивается величина
дисконта.

Пример 2.2.2.Вексель на сумму 70 тыс.
руб. со сроком погашения через 4 года
учтен за 32 месяца по сложной учетной
ставке 24% годовых. Определите суммы,
которые получит предъявитель векселя
при различных способах учета векселя.

Решение.При применении только
сложной учетной ставки воспользуемся
формулой (67). Так как дисконтирование
производится один раз в год, тоn= 32/12 = 8/3. ДалееFn=70 тыс. руб.,d= 0,24,
поэтому:

тыс.
руб.

Если же использовать при учете смешанную
схему, то при w= 2,f= 2/3 по формуле (68) получим:

тыс.
руб.

Таким образом, предъявитель векселя
получит больше при использовании
смешанной схемы.

Пример 2.2.3.Рассчитайте дисконтированную
сумму при учете 1 млн. руб. по простой и
сложной учетным ставкам, если годовая
учетная ставка равна 18% годовых и учет
происходит за 30 дней, 90 дней, 180 дней, 1
год, 2 года, 3 года, 5 лет. Полагать каждый
год равным 360 дней.

Решение.Применяя приF=Fn= 1 млн. руб. иd= 0,18 для
простой учетной ставки формулу (19), а
для сложной — формулу (67), получим следующие
результаты, представленные для наглядности
в табличном виде:

(млн. руб.)

Способ дисконтирования

30 дней (n=1/12)

90 дней (n=1/4)

180 дней (n=1/2)

1 год (n=1)

2 года (n=2)

3 года (n=3)

5 лет (n=5)

Простая
учетная ставка

0,985

0,955

0,91

0,82

0,64

0,46

0,1

Сложная
учетная ставка

0,9836

0,9516

0,9055

0,82

0,6724

0,5514

0,3707

Таким образом, если вексель на сумму 1
млн. руб. учитывается, когда до срока
погашения остается меньше года, то для
векселедержателя более выгоден учет
по простой учетной ставке. Так, при учете
за 90 дней до срока погашения векселедержатель
получит: при использовании простой
ставки — 955 тыс. руб.; при использовании
сложной учетной ставки — 951,6 тыс. руб.,
т.е. разница между суммами составляет
3,4 тыс. руб. Если же учет векселя
осуществляется, когда до срока погашения
остается больше года, то для векселедержателя
более выгоден учет по сложной учетной
ставке.

Заметим, что дисконтирование по простой
учетной ставке за срок более чем 5,56
года, приводит к не допустимым на практике
величинам (будем получать отрицательные
значения дисконтированных сумм). Однако
учет по сложной учетной ставке всегда
дает положительные дисконтированные
величины. Например, при учете за 15 лет
получим:
млн. руб.

Пример 2.2.4.Долговое обязательство
на выплату 46 тыс. руб. учтено за 4 года
до срока погашения. Определите полученную
сумму, если производилось: а) полугодовое;
б) поквартальное; в) помесячное
дисконтирование по номинальной учетной
ставке 24% годовых.

Решение.Во всех случаях полагаемn= 4,Fn=F2= 46 тыс.
руб. и пользуемся формулой (69).

а) Так как m= 2,d(m)=d(2)=0,24, то:

тыс. руб.

Поскольку т= 4,d(m)=d(4)= 0,24, то:

тыс. руб.

в) В этом случае т= 12,d(m)=d(12)= 0,24, поэтому:

тыс. руб.

Сравнивая полученные результаты, видим,
что с ростом числа осуществлений операций
дисконтирования в году величина учтенного
капитала возрастает.

Пример 2.2.5.Определите, какую сумму
получит владелец векселя на 30 тыс. руб.
со сроком погашения через 25 месяцев,
если он учтет вексель сразу при его
выдаче по номинальной учетной ставкеd(4)=20% годовых.
Сравните два способа дисконтирования.

Решение.Полагаемn= 25/12,т= 4,Fп=F25/12= 30 тыс.
руб. Если использовать формулу (69), то

тыс. руб.

Пусть дисконтирование осуществляется
по смешанной схеме по формуле (70).
Поскольку
=,то

тыс. руб.

Очевидно, для векселедержателя выгоднее
смешанная схема.

Пример 2.2.6.За долговое обязательство
в 80 тыс. руб. банком было выплачено 62
тыс. руб. За какое время до срока погашения
было учтено это обязательство, если
банком использовалась: а) годовая сложная
учетная ставка 28%, б) годовая простая
учетная ставка 28%?

Решение.а) Полагая в формуле (71)Р= 62 тыс. руб.,Fп= 80 тыс. руб.,т= 1,d(4)= 0,28, получим:

года.

Считая, что в году 360 дней, находим п= 360 • 0,776 = 279,36 дня. Округляя полученный
срок до целого числа дней, делаем вывод,
что долговое обязательство было учтено
за 280 дней до срока погашения.

б) В случае простой учетной ставки
воспользуемся формулой (22), где F= 80 тыс. руб.,d= 0,28:

года, или 289,44 дня.

Таким образом, п= 290 дней.

Пример 2.2.7.Вексель был учтен за 2,5
года до срока погашения, при этом владелец
векселя получил четверть от написанной
на векселе суммы. По какой годовой
номинальной учетной ставке был учтен
этот вексель, если производилось: а)
поквартальное дисконтирование; б)
помесячное дисконтирование?

Решение.а) Применяя формулу (72), в
которойР= 0,25Fn,п= 2,5,т= 4, получим:

т.е.d(4)=54,78%

б) Если т= 12 , то

т.е.d(4)=54,19%

Таким образом, чем большее количество
раз в году производится дисконтирование,
тем больше величина годовой номинальной
учетной ставки.

Пример 2.2.8. Рассчитайте эффективную
годовую учетную ставку при различной
частоте начисления дисконта и номинальной
учетной ставке, равной 18% годовых.

Решение. Используя формулу (74),
вычислим для некоторых значений т
эффективную годовую учетную ставку и
результаты запишем в табличном виде:

Т

1

2

4

12

24

365

def

0,18

0,1719

0,1682

0,1659

0,1653

0,1648

Из таблицы следует, что def
уменьшается с ростом т (так
как второе слагаемое в правой части
равенства (74) увеличивается). Вообще
можно показать, что прит > 1
справедливо неравенствоdef
<
d(m)которое нетрудно пояснить и из финансовых
соображений.

Пример 2.2.9.Определите номинальную
учетную ставку, если годовая эффективная
учетная ставка равна 30% и дисконтирование
по сложной учетной ставке осуществляется:
а) каждые полгода;
б) ежемесячно;
в) ежеквартально.

Решение. Полагаемdef
=0,3 и пользуемся формулой (73).

a) Так какm= 2, то

или 32,67%.

б) Поскольку в этом случает =12,
то

или 35,14%

в) Считая в году 360 дней, при m=360
получим:

или 35,65%.

Найденные номинальные ставки d(2),d(12)иd(360)эквивалентны, так как они получены в
соответствии с одной и той же эффективной
ставкой. Поэтому осуществление
дисконтирования раз в год по сложной
учетной ставке 30% годовых дает такой же
результат, как
осуществление дисконтирования 2 раза
в год по ставке 32,67% годовых, или 12
раз в год по ставке 35,14% годовых, или
каждый день (360 раз в год) по ставке 35,65%
годовых. Отметим, чтоd(2)<d(12)<d(360),
т.е. величина номинальной учетной ставки
растет, когда количество осуществлений
дисконтирования в году увеличивается.
Аналогичное неравенство справедливо
и в общем случае, а именно: пустьd(m)
иd(1)
эквивалентные номинальные годовые
учетные ставки иm>l, тогдаd(m)>
d(l).

Пример 2.2.10.Вексель на сумму 12 тыс.
руб. со сроком погашения через 3 года 6
месяцев был сразу же учтен в банке, и
предъявитель векселя получил 5 тыс. руб.
Найдите эффективную
годовую учетную ставку в этой финансовой
операции.

Решение.Подставляя в формулу (75)n= 3,5,Р= 5,F3,5= 12, находим:

или 22,13%.

Пример 2.2.11.
По условиям финансового соглашения на
сумму 90 тыс. руб., помещенную в банк
на 5 лет, начисляютсяпроценты
по сложной учетной ставке 24% годовых.
Определите наращенную
сумму, если начисление процентов
производится: а) по полугодиям; б)
ежеквартально; в) ежемесячно. Сравнитеполученные величины
с результатами наращения сложными
процентами по
процентной ставке 24% годовых.

Решение. Будем пользоваться формулой
(77), гдеР= 90 тыс. руб.,п = 5,d(2)
=d(12)=d(360)= 0,24. Полагая последовательно
m
=2, m
= 4, m
= 12, получим:

а)
тыс. руб.;

б)
тыс. руб.;

в)
тыс. руб.

Полезно заметить, что во всех случаях
можно было воспользоваться и формулой
(76), полагая число периодов равным
соответственно 10, 20 и 60, а учетные ставки
– 12% (24% : 2), 6% (24% : 4) и 2% (24% : 12).

Если бы наращение сложными процентами
осуществлялось с помощью процентной
ставки, то для вариантов а), б), в) получили
бы по формуле (58) следующие значения
наращенных сумм:

а)
тыс. руб.;

б)
тыс. руб.;

в)
тыс. руб.,

т.е., как уже отмечалось, с увеличением
числа начислений процентов за год по
сложной процентной ставке величина
наращенной суммы возрастает. В
противоположность этому с увеличением
числа начислений процентов за год по
сложной учетной ставке величина
наращенной суммы убывает. Видно, что,
чем больше число наращений в течение
года, тем меньше разница между итоговыми
суммами, полученными декурсивным и
антисипативным способами начисления
процентов. Это и объяснимо,
поскольку, чем меньше период начисления,
тем меньше отличие между понятиями
предварительный и последующий. Так,
еслиm= 365 (каждый день
идет начисление сложных процентов),
то применение номинальной учетной
ставки 24% годовых дает 298,928 тыс. руб.,
а такой же величины процентной ставки
– 298,693 тыс. руб., и разница между этими
суммами равна уже 235 руб., в то время как,
например, приm= 4
соответствующая
разница составляет 21 592 руб.

Пример 2.2.12.Вклад в размере 20 тыс.
руб. помещен в банк сроком на 5 лет, причем
предусмотрен следующий порядок начисления
сложных процентов по плавающей годовой
учетной ставке: в первые два года – 16%,
в последующие два года – 19% и в оставшийся
год – 23%. Найдите наращенную сумму. Прииспользовании какой
постоянной сложной учетной ставки можно
получить такую же наращенную сумму?

Решение.Наращенную сумму за первые
два года определяем по формуле (76), гдеFn=20,п = 2,d= 0,16:тыс. руб.
Наращенную сумму за следующие два года
определяем также по формуле (76), где,n = 2,d= 0,19:тыс. руб. Аналогичным образом поступая
с последним годом, когда d
= 0,23; находим, что через 5 лет наращенная
сумма составит:

тыс.
руб.

Годовую (постоянную) учетную ставку
,
обеспечивающую такой же результат, как
и плавающая ставка, можно найти из
равенства,
разрешая его относительно:

,
или 18,64%.

Пример 2.2.13.Банк выдал кредит сроком
на 1 месяц под 3% за месяц, удержав проценты
при выдаче кредита. Определите доходность
такой финансовой сделки для банка в
виде годовой эффективной процентной
ставки и поясните, как такого рода сделку
можно соотнести с начислением сложных
процентов по учетной ставке.

Решение.Обозначим черезFвеличину кредита, тогда заемщику выдается
суммаF – 0,03F= 0,97F. Теперь можно
воспользоваться формулой (64), гдеР= 0,97F,Fn=Fиn= 1/12 :

,
или 44,12%.

Записывая формулу для вычисления ref;
в виде:

делаем вывод, что начисление процентов
один раз за год по процентной ставке
44,12% обеспечивает такой же результат,
как и начисление ежемесячно процентов
по годовой номинальной учетной ставке
d(12)= 3% • 12 = 36% .

Таким образом, выдача банком кредита с
одновременным удержанием начисленных
процентов по существу означает, что на
выданную сумму будут начисляться сложные
проценты по учетной ставке.

Пример 2.2.14.Согласно финансовому
соглашению банк начисляет по полугодиям
проценты на вклады по сложной учетной
ставке 28% годовых. Определите в виде
простой годовой процентной ставки
стоимость привлеченных средств для
банка при их размещении: а) на 3 месяца;
б) на год.

Решение.а) Стоимость привлеченных
средств найдем по формуле (23), где черезРобозначена использованная сумма
средств; черезFР— проценты, выплаченные за использование
суммыРв течение времениn, аFопределяется с
помощью формулы (77), гдеп =0,25 ,m= 2 ,d(2)= 0,28 . Итак,

,
или 31,32% годовых.

Естественно, можно было и сразу применить
формулу (85):
,
устанавливающую эквивалентность простой
ставкиr и сложной
учетной ставкиd(m):

б) Полагая п = 1, воспользуемся
сразу формулой (85) эквивалентности
простой процентной и сложной учетной
ставок:

Заметим, что если найти простую учетную
ставку, эквивалентную простой процентной
ставке r= 35,21%, то она
в точности будет равна годовой эффективной
учетной ставке, соответствующей
номинальной учетной ставкеd(2)=
28%. Действительно, по формуле (26):

а по формуле (74) получаем то же значение:

Пример 2.2.15.Вексель учитывается в
банке за 3 года до его погашения по
сложной учетной ставке 26% годовых.
Найдите доходность такой финансовой
операции для банка в виде эффективной
учетной ставки, если банк удерживает
комиссионные в размере 2% от суммы,
выплачиваемой за вексель. Как изменится
такого рода доходность при учете за 2
года и за 6 лет до срока погашения?

Решение.Пусть за 3 года до срока
погашения предъявлен вексель на некоторую
суммуF3. Так как
сумма, выплачиваемая за вексель, составит:,
то величину удерживаемых комиссионных
определяем, взяв 2% от этой суммы:.
Следовательно, векселедержатель получит
сумму:.
Теперь по формуле (75) можно определить
доходность финансовой операции для
банка в виде эффективной учетной ставки:

т.е. def= 26,50% , что больше объявленных банком
26% годовых.

Таким образом, удержание комиссионных
увеличивает доходность финансовой
операции для банка.

При предъявлении векселя за 2 года до
срока сумма, выплачиваемая за вексель,
составит:
,
и поэтому после удержания комиссионных
векселедержатель получит сумму:

и, следовательно, доходность для банка
составит:

т.е. больше, чем при учете за 3 года.

Аналогичным образом при учете за 6 лет
получим:

т.е. меньше, чем при учете за 3 года.

Пример 2.2.16. Предприятие
приобрело универсальный станок за 320
тыс. руб. Срок службы станка – 8 лет,
после чего он реализуется по остаточной
стоимости 50 тыс. руб. Используя способ
фиксированного процента, составьте
таблицу уменьшения стоимости станка
по годам.

Решение.В соответствии со способом фиксированного
процента стоимость имущества снижается
к концу каждого года на одно и то же
число процентовd
от его стоимости на начало года.
Обозначим черезРпервоначальную
стоимость станка,Pn– остаточную стоимость станка черезnлет и получим формулу для определения
стоимости станка на конецk-го
года.

В
конце первого года первоначальная
стоимость станка Рбудет уменьшена
на величинуPdи станет
равнаPPd
=
P(1 – d).
В конце второго года стоимостьP(1
d) будет уменьшена
на величинуP(1 – d)dи станет равнаP(1 –
d) –P(1
d)d
=
P(1 – d)2.
Продолжая аналогичным образом
рассуждения, найдем, что в концеk-го
года стоимость станка будет равнаP(1
d)k
(т.е. суммаPучитывается
заk лет по сложной
учетной ставкеd).

Поскольку в конце n-го
года остаточная стоимость станка равнаPn,
то получим равенствоPn=P(1
d)n,
из которого можно определить фиксированный
процентdснижения
стоимости станка:очевидно, эта формула не случайно
напоминает формулу (75) определения
эффективной годовой учетной ставки). В
данном случае срок службы станка
составляетn= 8 лет,Р= 320 тыс. руб.,Рп = Р8
=
=50 тыс. руб., поэтому:

или 20,71%.

Далее последовательно находим
амортизационные отчисления за год и
стоимость станка на конец этого года:

а) в конце первого года:

Pd =320 • 0,2071 = 66,272
тыс. руб.,

Р —Pd= 320 – 66,272
=253,728 тыс. руб.;

б) в конце второго года:

Р(1 – d)d= 253,728 • 0,2071 = 52,547 тыс. руб.,

P(1d)2= 253,728 — 52,547 = 201,181 тыс. руб.

Продолжая аналогичным образом, получим
таблицу:

Год
службы

Амортизационные
отчисления за год, тыс. руб.

Стоимость
на конец года, тыс. руб.

0

0

320

1

66,272

253,728

2

52.547

201,181

3

41,665

159,516

4

33,036

126,48

5

26.194

100,286

6

20,769

79,517

7

16,468

63,049

8

13,057

49,992

Наибольшее отличие остаточной стоимости
от 50 тыс. руб. (получили 49,992 тыс. руб.)
связано с погрешностью приближенных
вычислений.

Сложная учетная ставка.
Номинальная и эффективная учетная ставка

Краткая теория


В практике учетных операций иногда применяют сложную учетную
ставку. В этих случаях процесс дисконтирования происходит с замедлением, так
как каждый раз учетная ставка применяется не к первоначальной сумме (как при
простой учетной ставке), а к сумме, уже дисконтированной на предыдущем шаге
времени. Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле:

где

 – сложная учетная ставка

Следует отметить, что дисконтирование по сложной учетной
ставке выгоднее для должника, чем дисконтирование по простой учетной ставке, которая и применяется в основном банками при
учете векселей.
Сказанное становится понятным при сравнении формул для дисконтных множителей:

 и

;
здесь

 – простая,

 – сложная учетная ставка. Согласно первой
формуле значение дисконтного множителя равномерно уменьшается по мере роста

 и достигает нуля при

.
Согласно второй множитель экспоненциально уменьшается и достигает нуля лишь в
пределе, при

.

По аналогии с номинальной и эффективной
ставкой процентов введем понятия «номинальная учетная ставка» и «эффективная
учетная ставка». Обозначим номинальную учетную ставку как

.
Пусть дисконтирование производится не один, а

 раз в году, т.е. каждый раз по ставке

.
В этом случае

где

 – номинальная годовая учетная ставка.

Эффективная учетная ставка характеризует
результат дисконтирования за год. То есть она по отношению к номинальной является эквивалентной годовой ставкой. Она находится из равенства:

Откуда

Для одних и тех же условий операции эффективная учетная ставка
меньше номинальной.

Наращение на основе сложной ставки процентов – не
единственный возможный метод. Иногда наращение достигается с помощью сложной
учетной ставки:

Множитель наращения при использовании
сложной ставки

 очевидно равен

.

Пример решения задачи


Задача

Определить
эффективную учетную ставку и сумму дисконта, если известно, что финансовый
инструмент на сумму 5 млн.р., срок платежа по
которому наступает через пять лет, продан с дисконтом при поквартальном
дисконтировании по номинальной учетной ставке 15%.

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Сумму
дисконта определим по формуле:

где

 — номинальная учетная ставка

 -число дисконтирования в году

 -срок в годах

Эффективная
учетная ставка характеризует результат дисконтирования за год. Она находится по
формуле:

Ответ:

Множители и называются дисконтными множителями.

Разность D = S – P называется дисконтом с суммы S.

Пример 3.7. Сумма 24000 руб. выплачивается через 1,4 года. Номинальная ставка – 25% годовых. Определить современную стоимость при ежеквартальном начислении процентов?

Решение.

= = 18507,54 руб.

3.4. Сложная учетная ставка

В практике учетных операций применяют сложную учетную ставку в тех случаях, когда процесс дисконтирования происходит с замедлением. В этом случае каждый раз учетная ставка применяется не к первоначальной сумме, как при простой учетной ставке, а к сумме, уже дисконтированной на предыдущем шаге во времени, Поэтому сумма, выдаваемая банком при учете векселя, рассчитывается по формуле:

P = S (1 – dсл)n, (3.7)

где dсл – сложная учетная ставка.

Пример 3.8. Долговое обязательство на сумму 5 млн. руб., срок оплаты которого наступает через 5 лет, продано с дисконтом по сложной учетной ставке 15% годовых. Каков размер полученной за долг суммы и величина дисконта?

Решение.

P = S (1 – dсл)n = 5 (1 – 0,15)5 = 2,2185 млн. руб.

D = S – P = 5 – 2,2185 = 2,7815 млн. руб.

Номинальная и эффективная учетные ставки. Если дисконтирование производится не один, а m раз в году, т. е. каждый раз учет производится по ставке f/m, то это номинальная годовая учетная ставка.

P = S , (3.8)

где f – номинальная годовая учетная ставка.

Эффективная учетная ставка характеризует результат дисконтирования за год. Определим ее на основе равенства дисконтных множителей:

(1 – )n = ,

откуда = 1 – и f = m. (3.9)

Для одних и тех же условий финансовой операции < f.

Пример 3.9. Вексель на сумму 20000 тыс. руб., срок платежа по которому наступает через 1,8 года, учтен по сложной учетной ставке 18% годовых. Определить сумму, полученную владельцем векселя при учете, при ежемесячном дисконтировании.

Решение.

P = S = 20000 = 14429,54 руб.

Наращение по сложной учетной ставке. Иногда наращенную сумму получают и с помощью сложной учетной ставки. Из формул (3.7) и (3.8) следует:

; . (3.10)

3.4.1. Срок ссуды и размер процентной ставки

Срок ссуды.

Процентные ставки

Формулы расчета n для различных условий наращения и дисконтирования

Сложная ставка r

n =


(3.11)

Номинальная ставка j

n =


(3.12)

Сложная годовая учетная ставка dсл

n =


(3.13)

Номинальная годовая учетная ставка f

n =


(3.14)

Пример 3.10. За какой срок в годах сумма, равная 75 млн. руб., достигнет 200 млн. руб. при начислении процентов по сложной ставке 15% раз в году и поквартально?

Решение. По формулам (3.11) и (3.12) получим:

n = лет; n = = 6,6 лет.

Величина процентной ставки.

Процентные ставки

Формулы для расчета ставок r, j, dсл, f для различных условий наращения процентов и дисконтирования

Сложная ставка r

r =


(3.15)

Номинальная ставка j

j =


(3.16)

Сложная годовая учетная ставка dсл

dсл =

(3.17)

Номинальная годовая учетная ставка f

f =

(3.18)

Пример 3.11. Срок до погашения векселя равен 2 годам. Дисконт при его учете составил 30%. Какой сложной годовой учетной ставке соответствует этот дисконт?

Решение. По данным задачи =0,7. По формуле (3.17) находим:

dсл = = 0,1633 (16,33%).

ГЛАВА 4. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК

Достаточно часто в практике возникает ситуация, когда необходимо произвести между собой сравнение по выгодности условий различных финансовых операций и коммерческих сделок. Условия финансово-коммерческих операций могут быть весьма разнообразными и напрямую несопоставимыми. Для сопоставления альтернативных вариантов ставки, используемые в условиях контрактов, приводят к единообразному показателю.

Различные финансовые схемы можно считать эквивалентными в том случае, если они приводят к одному и тому же финансовому результату, т. е. отношения сторон не изменяются в рамках одной финансовой операции.

Эквивалентная процентная ставка – это ставка, которая для рассматриваемой финансовой операции даст точно такой же денежный результат (наращенную сумму), что и применяемая в этой операции ставка.

Эквивалентность ставок уже затрагивалась в п. 3.2 при определении эффективной ставки.

При выводе равенств, связывающих эквивалентные ставки, приравниваются друг к другу множители наращения*, что дает возможность использовать формулы эквивалентности простых и сложных ставок (табл. 4.1.).

Таблица 4.1.

1

Простая ставка наращения

Сложная ставка наращения

(1 + n×i)

=

(1 + r)n

2

Простая ставка наращения

Простая учетная ставка

(1 + n×i)

=

Продолжение табл. 4.1.

3

Простая ставка наращения

Номинальная ставка наращения

(1 + n×i)

=

4

Сложная ставка наращения

Простая учетная ставка

(1 + r)n

=

5

Простая учетная ставка

Номинальная ставка наращения

=

6

Сложная ставка наращения

Сложная учетная ставка

(1 + r)n

=

7

Сложная ставка наращения

Номинальная ставка наращения

(1 + r)n

=

= (1+)m – 1

j = m

Пример 4.1. Какой сложной годовой ставкой можно заменить в контракте простую ставку 18% (K=365), не изменяя финансовых последствий? Срок операции 580 дней.

Решение.

Пример 4.2. Каковы будут эквивалентные номинальные процентные ставки с полугодовым начислением процентов и ежемесячным начислением процентов, если соответствующая им эффективная ставка должна быть равна 25%?

Решение.

Находим номинальную ставку для полугодового начисления процентов:

j = m = 2 [(1 + 0,25)1/2 – 1] = 0,2361 (23,61%).

Находим номинальную ставку для ежемесячного начисления процентов:

j = m = 12 [(1 + 0,25)1/12 – 1] = 0,2252 (22,52%).

Таким образом, номинальные ставки 23,61% с полугодовым начислением процентов и 22,52% с ежемесячным начислением процентов являются эквивалентными.

Средние процентные ставки. Если в финансовой операции размер процентной ставки изменяется во времени, то все значения ставки можно обобщить с помощью средней. Замена всех усредняемых значений ставок на среднюю процентную ставку по определению не изменяет результатов наращения или дисконтирования.

Для средней простой ставки формула будет выглядеть следующим образом:

iср = , (4.1)

где Snj – общий срок наращения процентов.

Для средней сложной ставки следует:

rср = , (4.2)

ГЛАВА 5. НАРАЩЕНИЕ ПРОЦЕНТОВ И ИНФЛЯЦИЯ

Сущность инфляции и необходимость ее учета в количественном анализе. Инфляция – устойчивый рост среднего уровня цен на товары и услуги в экономике. Это многомерное и многоаспектное явление, которое можно классифицировать на основе различных критериев. Внешним проявлением инфляции является повышение общего уровня цен, т. е. совокупный рост цен на товары и услуги в течение длительного времени. Соответственно на денежную единицу приходится меньше товаров, т. е. деньги обесцениваются.

Если наблюдается общее снижение цен, то происходит дефляция.

В рассмотренных выше методах все денежные величины измерялись по номиналу, т. е. не принималось во внимание снижение реальной покупательной способности денег за период, охватываемый операцией. Однако в современных условиях инфляция в денежных отношениях играет заметную роль, и без её учета конечные результаты часто представляют собой условную величину.

Инфляцию необходимо учитывать, по крайней мере, в двух случаях:

1. при определении наращенной суммы;

2. при измерении реальной доходности финансовой операции с учетом инфляции.

Для оценки уровня инфляции используется система индексов цен.

Индекс потребительских цен (Ip) – это показатель международной статистики, регулярно использующийся практически во всех странах мира (CPI – Consumer Price Index), который характеризует динамику затрат на постоянный набор товаров и услуг за счет ценностного фактора.

Индекс потребительских цен дает достаточно обобщенную характеристику инфляции, так как потребление является завершающим этапом в создании валового продукта, и здесь находят свое отражение все предыдущие стадии производства.

Если h – темп инфляции за один период (при расчетах учитывать в относительной величине, т. е. h/100), то за n таких периодов получим:

Ip = (1+ h)n, (5.1)

Под темпом инфляции h понимается относительный прирост цен за период; обычно он измеряется в процентах и определяется как

h = (Ip – 1)×100 (5.2)

Пример 5.1. Постоянный темп инфляции 5% в месяц. К какому росту цен он приведет за год?

Решение.

Ip = (1+ 0,05)12 = 1,796 (79,6%).

Действительный годовой темп инфляции равен 79,6%, а не 60% как при суммировании (что является грубейшей ошибкой!).

Инфляция противодействует повышению стоимости денег, обесценивая их. Вследствие начисления процентов происходит увеличение денежных сумм, но их стоимость под влиянием инфляции уменьшается. Поскольку каждая денежная единица обесценивается вследствие инфляции, то в дальнейшем обесцениваются уже обесцененные деньги. Таким образом, формула для исчисления наращенной суммы с учетом влияния инфляции, если наращение производится по простой ставке, принимает следующий вид:

C =, (5.3)

где С – наращенная сумма с учетом ее обесценения,

– индекс покупательной способности денег.

Если темп инфляции задан в месяц, то в знаменателе формулы (5.3) степень необходимо умножить на 12. Эти же соображения относятся к формулам (5.4) и (5.5).

Увеличение наращенной суммы с учетом ее инфляционного обесценения имеет место только тогда, когда (1+ni) > Ip.

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Финансовый эксперт с высшим экономическим образованием по специальности «Экономист-менеджер». Имею опыт работы в Сбербанке России. Более 7 лет консультирую читателей по финансовым вопросам.

Учетная ставка подразумевает под собой два основных понятия:

  1. Виды учетной ставки

  2. Простая учетная ставка

  3. Сложная учетная ставка

  4. Номинальная учетная ставка

  5. Регулирование учетной ставки

  • Это процентная ставка, по которой Центральный банк России предоставляет кредиты коммерческим банкам. На практике это показатель называют «ставкой рефинансирования». Этот показатель является основой для разрешения спорных вопросов по начислению штрафных мероприятий в отношении стороны, нарушившей условия договора. Так же ставка рефинансирования используется в законодательстве при расчете выплат между сторонами.
  • Это цена, по которой приобретается вексель до наступлений сроков уплаты по нему.

24 марта 2017 года советом директоров Центрального банка России было принято решение об установлении учетной ставки на уровне 9,75%. А в соответствии с постановлением Центрального банка РФ от 31 декабря 2015 года о том, что ставка рефинансирования полностью соответствует учетной ставке и не устанавливается самостоятельно, ставка рефинансирования, на сегодняшний день так же составляет 9,75%.


Стоит отметить, что учетная ставка в виде ставки рефинансирования до 1 января 2016 года носила только справочный характер и применялась для расчетов штрафов и дополнительных выплат между физическими и юридическими лицами. Но уже в 2016 году стала приняться как мощный рычаг управления финансовыми потоками страны и регулятором экономической стабильности.

Стоит отметить, что с 01 января 2016 года происходит постоянное снижение ставки рефинансирования в России.

Виды учетной ставки

В экономической литературе выделяют три основных вида учетной ставки, которые рассчитываются по индивидуальным формулам, исходя из условий расчета.

Простая учетная ставка

Данный вид ставки предполагает одну и туже сумму взимаемого процента на протяжении действия всего договора. Это говорит о том, что база для начисления процента остается всегда неизменной, на протяжении всего периода расчетов.

Формула простой учетной ставки:

P=S-S*n*d=S(1-nd)

где:

  • P – сумма выплаты;
  • S – общая сумма обязательства (сумма выплаты плюс проценты);
  • n – учетная ставка, выраженная в долях;
  • d – число периодов до уплаты.

Сложная учетная ставка

Сложная учетная ставка отличается тем, что база для начисления процентов, каждый раз меняется. Причиной изменений является наращенные процента за прошедший период. Другими словами, накопленные проценты по вкладу становятся частью суммы, на которую начисляют проценты

Поэтому сумма, выдаваемая банком при учете векселя, рассчитывается по формуле:

P=S(1-〖d)〗^n

где:

  • P – сумма выплаты;
  • S – общая сумма обязательства (сумма выплаты плюс проценты);
  • n – учетная ставка, выраженная в долях;
  • d – число периодов до уплаты.

Номинальная учетная ставка

Пусть годовая ставка сложных процентов равна f, а число периодов начисления в году m. Тогда каждый раз проценты начисляют по ставке f/m. Ставка f называется поминальной.

Начисление процентов по номинальной ставке производится по формуле

P=S(1-〖f/m)〗^mn

где:

  • P – сумма выплаты;
  • S – общая сумма обязательства (сумма выплаты плюс проценты);
  • n – учетная ставка, выраженная в долях;
  • m – число периодов в году;
  • f – номинальная ставка.

Принимая решение, о виде ставки используется метод сопоставления ставок разных государств. Таким образом, можно сделать вывод, что решение по учетной ставке в государстве принимается не только после анализа экономического положения в стране, но и на мировой арене.

При осуществлении вклада в иностранную валюту, учетная ставка – это первое на что стоит обратить внимание. Именно она, как индикатор, поможет определить стабильность национального денежного знака.

Темпы роста или снижения учетной ставки подскажут насколько государство настроено на борьбу с инфляцией (обесцениванием денег) в стране.

А сравнение учетной ставки нескольких стран поможет определиться между выбором иностранной валюты для вклада или кредита.

Регулирование учетной ставки

Формирование учетной ставки является сильным рычагом Центрального банка РФ по контролю деятельности каждого коммерческого банка страны. Изменение этого показателя контроль резервов банков России.

Существует два способа контроля коммерческих банков:

  • Снижение учетной ставки. В случае, когда учетная ставка теряет свой процент, коммерческие банки начинают наращивать свои резервы, за счет уменьшения расходов на ссуды от ЦБ РФ, что приводит к увеличению сумм по операциям со своими клиентами.
  • Повышение учетной ставки. Данная процедура имеет противоположный эффект. При росте процента учетной ставки приводит к сокращению резервов и соответственно, сокращение выдаваемых сумм по проводим операциям с клиентами коммерческих банков.

За счет сокращения банковских операций по заему денежных средств, снижается уровень инфляции, когда как снижение уровня учетной ставки усиливает уровень инфляции, что происходит из-за большего доступа к ссудам от государства. Однако понижение процента от ЦБ РФ приносит экономическую стабильность в стране, за счет увеличения доходов населения, через приобретение банковских кредитов.

Таким образом, изменения учетной ставки, как в ту, так и в другую сторону приносит различный экономический эффект, поэтому любые решения, касаемые учетной ставки, принимаются после тщательного анализа всех экономических показателей.

Так, например, в США в 1929-1933 гг. (первый экономический кризис в США) показатель учетной ставки уменьшился в восемь раз, а в 1957-1958 гг. (второй экономический кризис в США) – в четыре раза. В после кризисное время этот же показатель возрос в семь раз, а к 1981 году учетная ставка возросла уже в семнадцать раз, по сравнению этого процента в кризисное время.

При детальном анализе мировой практики экономического регулирования странами, за счет регулирования процента учетной ставки, выделяются два направления кредитно-денежной политики. И выбрав одно из этих направлений, правительство страны определяет свои действия по отношению к состоянию экономики государства.

  1. Первое направление объединяет в себе следующие действия: Центральный банк содействует увеличению числа денежных знаков в оборотных банковских операциях, числа выдаваемых кредитов за счет снижения процента учетной ставки. Однако оборотной стороной этой «медали» – это увеличение цен товаров на рынке, рост инфляции национальной валюты и как следствие обесценивание денег. Такое направление кредитно-денежной политики получило название «дешевые деньги».
  2. Второй направление сводится к ограничению числа денежных знаков в обращении, способствует сокращению числа выдаваемых кредитов. Как результат происходит снижение цен на товары и услуги, а так же контроль уровня инфляции. В такой ситуации происходит увеличение уровня национальной валюты и покупательной способности населения страны. Однако такая политика приводит к росту процента кредитов в коммерческих банках, поэтому они становиться малодоступными. Это направление получило название «дорогих денег».

Из-за несовершенства данного способа регулирования денежно-кредитной политики государств в развитых странах предпочитают не использовать его. В таких странах регулирование происходит за счет прямого контроля ставок по кредитам в коммерческих банках.

Ваш репост и оценка статьи:

Похожие статьи

  1. Целевой кредит
  2. Тезаврация
  3. Срочный вклад
  4. Бланковый кредит
  5. Таможенные платежи

Понравилась статья? Поделить с друзьями:

Не пропустите также:

  • Как составить трехсменный график работы
  • Как найти абсолютную влажность воздуха в комнате
  • Как найти высоту подъема математического маятника
  • Как найти адрес сети онлайн
  • Как найти стих по одному слову

  • 0 0 голоса
    Рейтинг статьи
    Подписаться
    Уведомить о
    guest

    0 комментариев
    Старые
    Новые Популярные
    Межтекстовые Отзывы
    Посмотреть все комментарии