След матрицы
Формула
| Определение |
| След матрицы — это сумма элементов квадратной матрицы, расположенных на главной диагонали и обозначается $ tr(A) $ |
Пусть задана матрица:
$$ A = begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&text{…}&a_{1n} \ a_{21}&a_{22}&a_{23}&text{…}&a_{2n} \a_{31}&a_{32}&a_{33}&text{…}&a_{3n} \ text{…}&text{…}&text{…}&text{…}&text{…} \ a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&text{…}&a_{nn} end{pmatrix} $$
Тогда формула следа матрицы $ tr (A) $ записывается следующим образом:
$$ tr(A) = a_{11}+a_{22}+a_{33}+…+a_{nn} $$
Как найти?
Чтобы найти след матрицы используем следующий алгоритм действий:
- Определяем квадратная ли матрица (число строк равно числу столбцов)
- Берем элементы на главной диагонали $ a_{11},a_{22},a_{33},text{…}, a_{nn} $
- Выполняем их суммирование
Примеры решений
| Пример |
| Найти сред матрицы $$ A = begin{pmatrix} 1&2&4 \ -1&5&2 \ 0&1&-2 end{pmatrix} $$ |
| Решение |
|
По формуле след равняется сумме элементов по главной диагонали матрицы: $$ tr(A) = a_{11}+a_{22}+a_{33} = 1+5+(-2)=4 $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ tr(A) = 4 $$ |
След квадратной матрицы
Елена Борисовна Калюжная
Эксперт по предмету «Математика»
Задать вопрос автору статьи
Определение 1
Следом (от английского «trace», что в переводе значит «отпечаток, след») матрицы называют сумму её элементов, стоящих на главной диагонали.
Математически след для матричной таблички размерности $n$ в общей форме записывается так:
$mathrm{tr} A = sum limits_i^n a_{11} + a_{22} + … + a_{nn}$.
Если значение $mathrm{tr} A$ равно нулю, то такую матрицу принято называть бесследовой.
Основные свойства следа:
- След суммы двух матриц $A$ и $B$ равен сумме следов этих матриц;
- След $A^T$ равен следу $A$;
- $mathrm{tr} (AB) =mathrm{tr}(BA)$;
Сдай на права пока
учишься в ВУЗе
Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!
Получить скидку 3 000 ₽
Пример 1
Найти след $A$:
$A = begin{pmatrix} 0 & 3 & -1 \ 1 & 4 & 2 \ 2 & 5 & 3 \ end{pmatrix}$
$mathrm{tr}A = 0 + 4 + 5 = 9$.
Рассмотрим также для примера матрицу размерностью четыре.
Пример 2
Найдите след $B$:
$B = begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \ 5 & 6 & 7 & 8 \ 9 & -9 & 9 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ end{pmatrix}$.
$mathrm{tr} B = 1 + 6 + 9 + 0 = 16$.
Ну и напоследок табличка размером пять:
Пример 3
$C = begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \ 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \ -5 & -4 & -3 & -2 & -1 \ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \ -1 & -1 & -2 & -3 & -2\ end{pmatrix}$
$mathrm{tr} C = 1 + 4 + (-3) + 0 + ( -2) = 0$ — а вот и бесследовая матрица.
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Дата последнего обновления статьи: 07.05.2023
Иногда бывает
нужно вычислить сумму всех элементов
вектора. Для этого существует
вспомогательный оператор, задаваемый
кнопкой VectorSum
(Сумма вектора)
на панели Matrix
(Матрица)
или сочетанием клавиш <Ctrl>+<4>.
Этот оператор чаще оказывается полезным
не в векторной алгебре, а при организации
циклов с индексированными переменными.
Сумму диагональных
элементов квадратной матрицы называют
следом
(trace)
матрицы. След можно найти с помощью
функции tr:
tr(A)
– след квадратной матрицы A.
Задание:
Найдите след квадратной матрицы A
=
.
Решение:
9 Обращение квадратной матрицы
Поиск обратной
матрицы возможен, если матрица квадратная,
и ее определитель не равен нулю.
Произведение исходной матрицы на
обратную по определению является
единичной
матрицей. Для ввода оператора поиска
обратной матрицы нажмите кнопку Inverse
(Обратная матрица)
на панели инструментов Matrix
(Матрица).
10 Возведение матрицы в степень
К квадратным
матрицам можно формально применять
операцию возведения в степень n.
Для этого n
должно быть целым числом. Ввести оператор
возведения матрицы M
в степень n
можно точно так же, как и для скалярной
величины: нажав кнопку Raise
to Power
(Возвести в степень)
на панели Calculator
(Калькулятор)
или клавишу <^>.
После появления местозаполнителя в
него следует ввести значение степени
n.
11 Символьные преобразования
Все матричные и
векторные операторы, о которых шла речь
выше, допустимо использовать в символьных
вычислениях. Мощь символьных операций
заключается в возможности проводить
их не только над конкретными числами,
но и над переменными.
Пример:
12 Генераторы матриц
Самым наглядным
способом создания
матрицы или вектора является применение
первой кнопки панели инструментов
Matrix (Матрицы).
Однако в большинстве случаев, в частности,
при программировании сложных проектов,
удобнее бывает создавать массивы с
помощью встроенных функций.
12.1
Создание матрицы на основе функции
Matrix(M,
N,
f)
– создание матрицы размера M×N,
каждый i,
j
элемент которой есть f(i,
j),
где:
-
M
– количество строк; -
N
– количество столбцов; -
f(i,
j)
– функция.
12.2
Генерация матриц специального вида
В Mathcad
легко создать матрицы определенного
вида с помощью одной из встроенных
функций:
-
identity(N)
– единичная матрица размера N×N; -
diag(V)
– диагональная
матрица, на диагонали которой находятся
элементы вектора
V; -
geninv(A)
– создание матрицы, обратной матрице
А; -
rref(A)
– преобразование матрицы или вектора
A
в ступенчатый вид, где:
N
– целое число;
V
– вектор;
A
– матрица из действительных чисел.
Примечание:
Размер N×M
матрицы A
для функции geninv
должен быть таким, чтобы N
M.
13 Выделение части матрицы
Часть матрицы
выделяется одним из следующих способов:
1) для выделения
одного
элемента
предназначен оператор нижнего индекса.
Оператор вводится нажатием кнопки
Subscript (Нижний
индекс) со значком
xn
на панели Matrix
(Матрица),
либо нажатием клавиши <[>;
2) для выделения
из матрицы столбца
примените оператор выделения столбца
нажатием кнопки Matrix
Column (Столбец
матрицы) с
изображением угловых скобок <>
на панели Matrix
(Матрица),
либо сочетанием клавиш <Ctrl>+<6>.
Этот оператор называют еще, по аналогии
с предыдущим, оператором верхнего
индекса;
3) чтобы выделить
из матрицы строку,
примените тот же оператор <>
к транспонированной матрице;
4) для выделения
подматрицы
используйте встроенную функцию
submatrix(A, ir,
jr, ic, js),
возвращающую часть матрицы A,
находящуюся между строками ir,
jr и столбцами
ic, jc
включительно.
Примечание:
выделить из
матрицы один столбец или одну строку
можно и с помощью функции submatrix.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Другими словами, след является « инвариантом подобия» для квадратных матриц заданного порядка, то есть две одинаковые матрицы имеют один и тот же след, что неудивительно, если нам известна связь между следом и характеристическим многочленом ( см. ниже ) и инвариантность подобия последнего .
Мы можем показать с помощью довольно короткого доказательства, включающего матричные единицы (en) ( т.е. матрицы канонического базиса ℳ n ( K ), которые являются матрицами, у которых один коэффициент равен 1, а все остальные 0) что линейная форма на пространстве ℳ n ( K ), инвариантная по подобию, обязательно пропорциональна следу.
Если след квадратной матрицы может быть определен без особых технических подробностей на любом коммутативном кольце, это не то же самое для следа эндоморфизма . Используя матричное представление , это недорого осуществимо для эндоморфизма векторного пространства ; более абстрактная конструкция, использующая тензорную алгебру , позволяет распространить концепцию на некоторые модульные эндоморфизмы — но не на все.
Если Е является векторным пространством конечной размерности п , след эндоморфизма , обозначается , определяются как след матрицы ¯u в основании фиксированного заранее , чтобы Е . Это определение не зависит от произвольного выбора, потому что if является другой базой, « формула замены базы » показывает, что матрицы u соответственно в и подобны, поэтому (см. Выше ) имеют одинаковый след. ты ∈ L ( E ) > (Е)> Т р ( ты ) (и)> B >> B >> B ′ > ‘> B >> B ′ > ‘>
Имеют место следующие свойства для всех эндоморфизмов , любое скалярное и любого ш ∈ GL ( Е ) (т.е. вес является автоморфизм Е ) ты , v ∈ L ( E ) > (E)> α ∈ K >
Т р ( ты + v ) знак равно Т р ( ты ) + Т р ( v ) Т р ( α ты ) знак равно α Т р ( ты ) Т р ( ты ∘ v ) знак равно Т р ( v ∘ ты ) Т р ( ш — 1 ∘ ты ∘ ш ) знак равно Т р ( ты ) . mathrm
Другими словами: след — это линейная форма в векторном пространстве , инвариантная по сопряжению . L ( E ) > (E)>
Кроме того ,, где обозначает транспонированная карта из ц . Т р ( ты Т ) знак равно Т р ( ты ) (u ^ ) = mathrm (u)> ты Т ∈ L ( E * ) in > (E ^ )>
В модуле
Используя тензорное сжатие , можно распространить понятие следа на эндоморфизмы проективных модулей конечного типа .
След квадратичной формы
Пусть ( E , g ) — евклидово пространство . Мы определяем биекцию (подробно описанную в соответствующем разделе Симметричная билинейная форма (соответственно эрмитова форма) статьи Самодобавляемый оператор ) между квадратичными формами q на E и симметричными операторами A на ( E , g ) следующим образом:
q ( v ) знак равно грамм ( v , В v ) .
След формы A называется следом квадратичной формы q относительно g .
Примеры
- След идентификатора Id: Т р ( я d ) знак равно нет ⋅ 1 K знак равно солнце ( E ) ⋅ 1 K ( mathrm ) = п cdot 1_ = dim (E) cdot 1_ >
- След трансвекции тусклый Е .
- След проектор удовлетворяет Tr ( р ) = гк ( р ) 1 К , где гк ( р ) является ранг из р .
- Для двух эндоморфизмов ˙U и V из Е , положим [ ˙U , v ] = уф — вю (мы называем это коммутатор из U и v ). След [ u , v ] равен нулю: это еще один способ выразить фундаментальное тождество Tr ( uv ) = Tr ( vu ).
В евклидовых пространствах:
- След поворота ℝ 2 на угол θ задается формулой Tr ( R θ ) = 2 cos θ .
- Точно так же след вращения с осью Δ и углом θ в трехмерном пространстве задается как Tr ( RΔ, θ ) = 1 + 2 cos θ .
- Любая перестановка (где представляет собой симметричную группу порядка n ) представлена квадратной матрицей порядка n , определяемой следующим образом: σ ∈ S нет > _ , !> S нет > _ , !> M σ знак равно ( м я j ) 1 ≤ я , j ≤ нет = (m_ ) _ , !>m_ & = 1 quad & mathrm quad sigma (i) = j \ m_ & = 0 quad & mathrm end > right.> След матрицы M σ тогда интерпретируется как количество неподвижных точек перестановки σ : Т р ( M σ ) знак равно ПРОТИВ в р d | σ ( я ) знак равно я >(M _ ) = mathrm left | sigma (i) = i right >>
- След матрицы смежности в графе равна нулю (если вершина не петля на себе).
След, характеристический многочлен и собственные значения
Пусть A — квадратная матрица порядка n с коэффициентами в коммутативном кольце.
Обозначим через p A ( X ) его характеристический многочлен, а c i — коэффициент при X i в p A ( X ) . Другими словами мы ставим
п В ( Икс ) знак равно Det ( Икс я нет — В ) знак равно Икс нет + против нет — 1 Икс нет — 1 + ⋯ + против 1 Икс + против 0 -A) = X ^ + c_ X ^ + cdots + c_ X + c_ > ,
где I n обозначает единичную матрицу порядка n . Так,
Тр ( В ) знак равно — против нет — 1 > (A) = — c_ > .
Характеристический след и полином
Докажем указанное равенство и, если
(где λ i принадлежат коммутативному кольцу, содержащему коэффициенты A ), выполняется следующее равенство:
Тр ( В ) знак равно ∑ я знак равно 1 нет λ я > (A) = sum _ ^ lambda _ > .
Частный случай коэффициентов в целочисленном кольце
Предположим сначала, что кольцо коэффициентов целое . Тогда мы можем рассматривать A как матрицу с коэффициентами в коммутативном поле K , а именно как поле частных этого кольца.
Затем мы ставим себя в поле L , содержащем К и где р является разделение , (например , его алгебраическое замыкание или поле разложения из р А ) и отметят:
Λ я являются собственные из A , с учетом кратности. По теории тригонализации мы знаем, как найти треугольную квадратную матрицу T с коэффициентами в L и аналогичную матрице A , главная диагональ которой образована λ i . Используя инвариантность следа по подобию, заключаем:
Тр ( В ) знак равно ∑ я знак равно 1 нет λ я > (A) = sum _ ^ lambda _ > .
Более того, если мы разработаем запись p A в множителях первой степени, сумма λ i появится как противоположность коэффициента при X n — 1 в этом полиноме. Таким образом, мы заключаем, что, если мы обозначим через c n — 1 этот коэффициент:
Тр ( В ) знак равно — против нет — 1 > (A) = — c_ > .
Общий случай
Мы больше не предполагаем, что A имеет коэффициенты в целочисленном кольце; тем не менее можно получить аналогичные результаты другим путем.
При разработке определителя, который определяет характеристический многочлен по формуле с использованием перестановок , мы видим, что одночлен от X n — 1 появляется только в одном из n ! члены суммы, которая является произведением диагональных членов XI n — A , то есть:
Затем след от A появляется как коэффициент при X n — 1 . Мы доказали формулу иначе:
Тр ( В ) знак равно — против нет — 1 > (A) = — c_ > .
Теперь предположим, что характеристический многочлен A расщепляется, и отметим:
разложение этого многочлена на множители первой степени.
Разрабатывая этот продукт, мы получаем новое выражение c n — 1 ; объединив это с предыдущей формулой, мы получим:
Тр ( В ) знак равно ∑ я знак равно 1 нет λ я > (A) = sum _ ^ lambda _ > .
След матричного полинома
Пусть q — многочлен (с коэффициентами в коммутативном кольце, содержащем указанное выше λ i и коэффициенты A ). Так :
Тр [ q ( В ) ] знак равно ∑ я знак равно 1 нет q ( λ я ) > [д (А)] = сумма _ ^ д ( лямбда _ )> .
Если кольцо не повреждено, можно использовать использованные выше методы и обозначения. Матрица q ( A ) аналогична q ( T ) , а главная диагональ матрицы T образована q ( λ i ) . Выводим формулу.
Эта формула остается в силе без предположения о целостности, доказательства [Какого?], Опирающегося на [Сомнительную информацию] предварительного рассмотрения случая неповрежденных колец [недостаточный источник] .
Специализируя предыдущую формулу на одночлен q = X k , получаем:
Тр ( В k ) знак равно ∑ я знак равно 1 нет λ я k > (A ^ ) = sum _ ^ lambda _ ^ > .
В нулевой характеристике элементарные симметричные многочлены могут быть восстановлены полиномиально, начиная с сумм Ньютона, через тождества Ньютона . Следовательно, существуют универсальные полиномиальные формулы, позволяющие выразить коэффициенты характеристического полинома матрицы ( n , n ) как функцию следов ее степеней (и даже степеней с показателем, меньшим или равным n ). Приведу пример:
против нет — 2 знак равно Тр ( В ) 2 — Тр ( В 2 ) 2 . = > (A) ^ — > (A ^ )> >.>
Вот это приложение: если является матрицей ( п , п ) с коэффициентами в поле нулевой характеристики и удовлетворяет :, то является нильпотентным . Т р ( В ) знак равно Т р ( В 2 ) знак равно ⋯ знак равно Т р ( В нет ) знак равно 0 (A) = mathrm
(A ^ ) = dots = mathrm (A ^ ) = 0>
Приложения
Расхождение
Для вещественного векторного пространства E конечной размерности определитель определяет отображение det из пространства операторов на E в R , которое является однородным степени n . Det числа ( у ) выражаются в виде полиномиальной функции в коэффициентах матрицы , представляющей U в основе любого Е . Функция Det поэтому дифференцируема . Его отличительная черта — это след . Другими словами, для любого оператора ц на Е ,
Det ( я + ты ) знак равно 1 + Тр ( ты ) + о ( ты ) > (I + u) = 1 + > (u) + o (u)>
где o ( u ) означает, что остаток незначителен по сравнению с u, когда u приближается к нулю. Как следствие, для любого оператора ц на Е ,
Det ( exp ( ты ) ) знак равно exp ( Тр ( ты ) ) > (и))> .
В частности, экспонента от u является определителем 1 тогда и только тогда, когда u — оператор нулевого следа. Этот результат можно интерпретировать в теории групп Ли следующим образом. Приложение Det представляет собой непрерывный морфизм групп, из линейной группы GL ( S ) к R . Его ядро, набор операторов с определителем 1, поэтому является подгруппой GL ( E ), обозначаемой SL ( E ). Это классическая группа Ли , т.е. замкнутая подгруппа в GL ( E ). Геометрически, оператор принадлежит SL ( Е ) тогда и только тогда , когда он сохраняет объем лебегову E . Его алгебра Ли — это в точности множество операторов u с нулевым следом, обозначенным . s л ( E ) > (E)>
На открытом U из Е , А векторное поле Х представляет собой приложение . Если это отображение липшицево, теорема Коши-Липшица подтверждает существование максимальных решений обыкновенного дифференциального уравнения Икс : U → р нет ^ >
против ′ ( т ) знак равно Икс ( против ( т ) ) (1).
Поток X — это семейство диффеоморфизмов f t, которые отправляют x на c (t), где c — решение (1) с начальным условием c (0) = x . Поток определяется локально. Введем расхождение в X
d я v ( Икс ) ( Икс ) знак равно Т р ( d Икс ( Икс ) ) (X) (x) = (dX (x))>>>>>
где дЙ (х) дифференциал X в х , который является оператором на Е . Поток f t сохраняет объем Лебега тогда и только тогда, когда дивергенция равна нулю. Точнее, для любого вскрытия , адгезия которого входит в U , Ω
(Это равенство позволяет расширить определение дивергенции, например, на ориентированные многообразия при наличии формы объема.)
Форма убийства
Форма Killing на это симметричная билинейная форма грамм >>
B ( Икс , Y ) знак равно Тр ( объявление ( Икс ) ∘ объявление ( Y ) ) > left (> (X) circ > (Y) right)> .
Автоморфизмы алгебры Ли сохраняют форму Киллинга. В частности, ее присоединенное представление сохраняет B . Форма Киллинга была введена Эли Картаном для характеристики полупростоты алгебр Ли . Когда K = R , он также предоставляет информацию о связанной группе Ли. См . Критерий Картана (en) . грамм >>
Пусть G будет группа Ли (например, замкнутая подгруппа GL ( E )). По определению его алгебра Ли — это пространство левоинвариантных векторных полей на G , снабженное скобкой Ли [,] (коммутатор векторного поля). Форма Киллинга ассоциируется Б определяет метрику псевдориманово биинвариантную на G . Если форма Киллинга B положительно определена, то ассоциированная метрика является римановой метрикой положительной кривизны. Из теоремы Мейерса следует, что G компактна. Есть другие ссылки.
Канонический точечный продукт
( В ∣ B ) знак равно ∑ 1 ≤ я ≤ нет , 1 ≤ j ≤ п в я , j б я , j знак равно Т р ( т В B ) знак равно Т р ( т B В ) a_ b_ = mathrm ( ^ AB) = mathrm (^ BA)>
Таким образом, мы получили приятное описание канонического скалярного произведения на пространстве . р нет п ^ >
Если Н является евклидова или эрмитова , то сопряженный оператор оператора U на Н является оператором на H . Затем мы определяем следующее скалярное произведение на операторном пространстве на H : L ( ЧАС ) > (Н)>
( ты ∣ v ) знак равно Тр ( ты * v ) > (и ^ v)> .
С этим определением очевидно, что самоассоциированные операторы и антисамоассоциированные операторы образуют два ортогональных подпространства в . Сложение — это ортогональная симметрия относительно пространства самосопряженных операторов. L ( ЧАС ) > (Н)>
Лапласиан
Пусть U — открытое множество вещественного векторного пространства, содержащее 0, и имеет класс C 2 . Гессиан Н из F в точке 0 является симметричной билинейной формой на Е , удовлетворяющая р нет ^ > ж : U → р >
ж ( Икс ) — ж ( 0 ) знак равно d ж ( 0 ) ( Икс ) + ЧАС ( ж ) ( Икс , Икс ) + о ( ‖ Икс ‖ 2 ) f (0) (x) + H (f) (x, x) + o ( | x | ^ )> .
По определению лапласиан f в точке 0 является следом гессиана:
Δ ж ( 0 ) знак равно Т р [ ЧАС ( ж ) ( 0 ) ] знак равно ∑ я знак равно 1 нет ∂ 2 ж ∂ Икс я 2 ( 0 ) . [H (f) (0)] = sum _ ^ f> ^ >> (0).>
Функции класса C 2 нулевого лапласиана называются гармониками . Обязательно аналитические , эти функции используются, в частности, в комплексном и функциональном анализе . В частности, функции нулевого лапласиана являются решениями задачи Дирихле, которая представляет собой поиск экстремалей энергии Дирихле.
Более того, определение лапласиана обобщается в дифференциальной геометрии для функций на римановых многообразиях ( оператор Лапласа-Бельтрами ), а также для более общих объектов, таких как дифференциальные формы . Включая эту более общую структуру , определение может быть дано следами билинейных форм. Нулевые лапласовские формы называются гармониками, и теория Ходжа показывает их важность.
Условия кривизны
Для гладкой ориентированной поверхности S евклидова пространства средняя кривизна S по x является средним значением двух главных кривизны S по x . Формально эти кривизны являются собственными значениями квадратичной формы на касательной плоскости T x S , называемой второй фундаментальной формой S в точке x , отмеченной II x . Средняя кривизна S по x равна р 3 ^ >
м ( Икс ) знак равно Т р ( я я Икс ) 2 ( mathrm _ )> >> .
Определение средней кривизны распространяется на гладкие подмногообразия N римановых многообразий. Его значение в x больше не является скаляром, а вектором, ортогональным T x N , который все еще определяется с помощью трасс. Подмногообразия нулевой средней кривизны называются минимальными и являются экстремалями риманова объема.
Операторы трассировки
Пусть H — гильбертово пространство с гильбертовым базисом ( e i ) i ∈ I (не обязательно счетным ). Ограниченный оператор ∈ ℒ ( Н ) , как говорят , чтобы иметь след , если
(Эта сумма не зависит от выбора базиса Гильберта.) В этом случае положим
Тр ( В ) знак равно ∑ я ∈ я ⟨ В е я | е я ⟩ . > (A) = sum _ langle Ae_ | e_ rangle.>
Операторы трассировки компактны . Они образуют идеал ( H ), отмеченный ℒ 1 ( H ), который является полным для нормы ‖ ‖ 1, определенной ниже. След Tr — это непрерывная линейная форма, положительно определенная на ℒ 1 ( H ).
| Тр ( В ) | ≤ ‖ В ‖ 1 знак равно Тр ( В * В ) . > (A) | leq | A | _ = > ( A>>).>
В конечномерном случае след оператора — это сумма диагональных коэффициентов матричного представления. Следующий пример является обобщением. Пусть μ есть мера Бореля на компакте K . Пусть f : K 2 → ℝ — непрерывное отображение. На пространстве Гильберта L 2 ( K , ℝ) функций из K в ℝ с суммируемых с квадратом , тем оператора ядра
Определитель и след квадратной матрицы
Определителем (или детерм и на том) квадратной матрицы я-го порядка (или определителем п-го порядка) А„хп=Ап= (ау) называется число, обозначаемое А„ (или А„ det/1) и определяемое по следующим правилам:
при п = 1 
Если Атх„ = (а,;), то А’„хт = (а,,). Например, если
Свойства операции транспонирования:
- ? Пример 13.2. Вычислить определители:
- а)
Решение: а) По формуле (13.9)
б) По формуле (13.10)
(При вычислении определителя 3-го порядка Аз использовали правило треугольников, согласно которому соответствующие произведения трех элементов матрицы берутся со знаками «+» и «—»:
Определитель квадратной матрицы п-го порядка (или определитель п-го порядка) при любом п определяется более сложно. Он может быть вычислен с помощью разложения по элементам строки или столбца (теоремы Лапласа):
где ay — элементы любой строки (столбца),
Лц — алгебраическое дополнение элемента a-f
Му — минор элемента а^ — определитель матрицы (п— 1)-го порядка, полученной из матрицы А вычеркиванием /-й строки и j- го столбца.
? Пример 13.3. Вычислить определитель Д3 матрицы из примера 13.2, разложив его по элементам строки (столбца). Решение.
Раскладывая по элементам, например, 1-ой строки, получим по формуле (13.11) с учетом (13.12):
- 1. и=|4
- 2. При перестановке любых строк матрицы меняется только знак определителя матрицы.
- 3. |Л| = 0, если элементы двух строк (или столбцов) пропорциональны (в частном случае — равны).
- 4. За знак определителя матрицы можно выносить общий множитель элементов любой строки (столбца).
- 5. Определитель матрицы не изменится, если к элементам любой строки (или столбца) прибавить элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число.
- 6. |у4#| = |&4| = |л|-|.#| , где А, В — квадратные матрицы.
- 7. |АЛ| = №А, где X — число, п — порядок матрицы А.
- 8. |diag (а,, а22 . а„„) = аиа22 . а„„.
- 9. |?„| = 1.
Следом квадратной матрицы А п-то порядка (обозначается tr(А) (от английского слова «trace»)) называется сумма ее диагональных элементов:
Свойства следа матриц:
В частности, если А — (я xl) вектор-столбец, В =А, то
где, напомним, АА и А А — соответственно квадратные матрицы я-го и 1-го порядков.
След — это сумма диагональных элементов квадратной матрицы:
tr (
A ) =
a1,1 +
a2,2 + … +
ai,i + … +
an,n
Наш онлайн калькулятор
вычисляет след матрицы
с подробным решением на русском языке. В качестве элементов матрицы, можно вводить не только числа и дроби, но и буквенные параметры.