Как найти скорость шайбы после удара

После удара клюшкой шайба стала скользить вверх по ледяной горке от ее основания, и у ее вершины имела скорость 5м/с. Высота горки 10 м. Трение шайбы о лед пренебрежимо мало. Какова скорость шайбы сразу после удара? (Ответ дайте в метрах в секунду.) Ускорение свободного падения считать равным 10 м/с².

Спрятать решение

Решение.

Поскольку трением шайбы о лед можно пренебречь, для нее выполняется закон сохранения полной механической энергии. Пусть m  — масса шайбы, h=10м   — высота горки,   — скорость шайбы у вершины, а υ — искомая скорость сразу после удара. Выпишем закон сохранения энергии:

Ответ: 15.

Источник

Автор исходного текста — В. И. Плис, к. ф.-м. н., доцент кафедры общей физики МФТИ, Соровский учитель. Журнал Потенциал

В статье на основе законов сохранения импульса и энергии рассматриваются неупругие и упругие столкновения макроскопических тел и объектов в микромире. Анализированы энергетические превращения при неупругих столкновениях. Показана техника исследования упругих столкновений в системе центра масс. Рассматриваются упругие и неупругие процессы в микромире; как в рамках классической физики, так и с привлечением элементарных сведений по квантовой физике и специальной теории относительности.

Введение[править]

В физике под столкновениями понимают процессы взаимодействия между телами (частицами) в широком смысле слова, а не только в буквальном – как соприкосновение тел. Сталкивающиеся тела на большом расстоянии свободны. Проходя друг мимо друга, тела взаимодействуют, причём могут происходить различные процессы: соединение в одно тело (абсолютно неупругий удар), возникновение новых тел и, наконец, может иметь место упругое столкновение, при котором тела после некоторого сближения вновь расходятся без изменения своего внутреннего состояния. Столкновения, сопровождающиеся изменением внутреннего состояния тел, называются неупругими.

Тела (частицы), участвующие в столкновении, характеризуются (до и после столкновения) импульсами, энергиями. Процесс столкновения сводится к изменению этих величин в результате взаимодействия. Законы сохранения энергии и импульса позволяют достаточно просто устанавливать соотношения между различными физическими величинами при столкновении тел. Особенно ценно здесь то обстоятельство, что зачастую законы сохранения могут быть использованы даже в тех случаях, когда действующие силы неизвестны. Так обстоит дело, например, в физике элементарных частиц.

Происходящие в обычных условиях столкновения макроскопических тел почти всегда бывают в той или иной степени неупругими – уже хотя бы потому, что сопровождаются нагреванием тел, т. е. переходом части их кинетической энергии в тепло. Но понятие об упругих столкновениях играет важную роль в физике, поскольку со столкновениями часто приходится иметь дело в физическом эксперименте в области атомных явлений, да и обычные столкновения можно часто с достаточной степенью точности считать упругими.

Сохранение импульса тел (частиц) при столкновении обусловлено тем, что совокупность тел, участвующих в столкновении, составляет либо изолированную систему, когда на входящие в систему тела не действуют внешние силы, либо систему замкнутую: внешние силы отличны от нуля, а сумма внешних сил равна нулю. Несколько сложнее обстоит дело с применением закона сохранения энергии при столкновениях. В классической физике следует учитывать кинетическую и потенциальную энергии. В релятивистском случае надо применять выражение для энергии (как иногда, например, пишут «учитывать энергию покоя»). Обращение к сохранению энергии требует порой учёта различных форм внутренней энергии.

Действие законов сохранения импульса и энергии в процессах столкновения подтверждено всевозможными опытами.

Переходя к характерным примерам, напомним, что в физике при решении задач должна быть указана система отсчёта (тело отсчёта, оси координат и часы), в которой рассматривается динамика процесса. Исследование столкновений традиционно проводится как в лабораторной системе отсчёта (ЛСO), то есть в инерциальной системе отсчёта, связанной с лабораторией, где проводится опыт, так и в системе центра масс, которая будет введена в статье. Напомним также, что центральным ударом шаров (шайб) называют удар, при котором скорости шаров (шайб) направлены вдоль прямой, проходящей через их центры.

Неупругие столкновения[править]

Задача № 1[править]

Частица массой m,! с кинетической энергией K,! сталкивается с неподвижной частицей массой M,! . Найдите приращение Q,! внутренней энергии системы частиц в результате абсолютно неупругого столкновения.

Решение.

Рассмотрим абсолютно неупругий удар двух тел в ЛСО. Налетающая частица движется до столкновения в положительном направлении оси OX со скоростью , кинетическая энергия частицы $K={{mV^{2}} over 2},!$ . В результате абсолютно неупругого удара (слипания) частицы движутся с одинаковой скоростью . По закону сохранения импульса ,по закону сохранения энергии ${{mV^{2}} over 2}={{(m+M)u^{2}} over 2}+Q,!$ . Из приведённых соотношений находим .

Отметим, что в предельных случаях .

Как видим, при неупругом столкновении лёгкой частицы с массивной, например, электрона с атомом, происходит полная передача её кинетической энергии атому: атом возбуждается, а затем испускает фотон.

При равенстве масс (m=M),! .

Отсюда следует, например, что при столкновении двух одинаковых автомобилей, один из которых неподвижен, а другой движется по направлению к нему, половина кинетической энергии идёт на разрушение.

Задача № 2[править]

Найдите минимальную относительную скорость двух одинаковых метеоритов, необходимую для их нагрева и полного испарения в результате абсолютно неупругого соударения. Удельная теплота нагревания и испарения вещества метеоритов $q=10^{6},!$ Дж/кг.

Решение.

Рассмотрим в ЛСО абсолютно неупругий удар двух тел. Введём обозначения: $m_{1},!$ и $m_{2},!$ – массы тел, ${vec V}_{1},!$ и ${vec V}_{2},!$ – их скорости до столкновения, – скорость составного тела после столкновения. Считая, что в процессе столкновения импульс системы тел сохраняется (внешние силы отсутствуют), $m_{1}{vec V}_{1}+m_{2}{vec V}_{2}=(m_{1}+m_{2}){vec V}',!$ , находим скорость составного тела ${vec V}'={{m_{1}{vec V}_{1}+m_{2}{vec V}_{2}} over {m_{1}+m_{2}}},!$ .

Кинетические энергии системы тел до взаимодействия и после равны соответственно $K_{{before}}={m_{1}V_{1}^{2} over 2}+{m_{2}V_{2}^{2} over 2},!$ , $K_{{after}}={(m_{1}+m_{2})(V')^{2} over 2},!$ .

Тогда убыль кинетической энергии системы после несложных преобразований принимает вид $K_{{before}}-K_{{after}}={1 over 2}{m_{1}m_{2} over m_{1}+m_{2}}({vec V}_{2}-{vec V}_{1})^{2}={1 over 2}mu ({vec V}_{{rel}})^{2},!$ , где $mu ={{m_{1}m_{2}} over {m_{1}+m_{2}}},!$ – приведённая масса системы тел, ${vec V}_{{rel}}={vec V}_{2}-{vec V}_{1},!$ относительная скорость. Таким образом, при абсолютно неупругом ударе в другие формы энергии переходит кинетическая энергия макроскопического движения, равная половине произведения приведённой массы на квадрат относительной скорости.

Вернёмся к задаче о минимальной относительной скорости метеоритов. Будем считать, что вся убыль кинетической энергии переходит в тепло, которое идёт на нагревание и испарение метеоритов, тогда ${1 over 2}mu ({vec V}_{{rel}})^{2}=2mq,!$ . С учётом равенства масс сталкивающихся метеоритов . Это приводит к оценке минимальной скорости $V_{{rel}}=2{sqrt {2q}}approx 2,8cdot 10^{3},!$ м/с.

Задача № 3[править]

На гладком горизонтальном столе лежит твёрдая шайба. На неё налетает мягкая, довольно упругая шайба такой же массы и между ними происходит центральный удар. Скорость мягкой шайбы после удара уменьшилась в 5 раз. Какая часть максимальной энергии деформации перешла в тепло при этом ударе? Считайте, что тепло выделяется в мягкой шайбе в процессе деформации.

Решение.

Задачу рассмотрим в ЛСО, ось OX которой направим по линии центров шайб в момент соударения. В процессе взаимодействия на систему шайб действуют только вертикальные внешние силы: это силы тяжести и силы нормальной реакции опоры. Их сумма равна нулю, отсюда следует, что импульс системы шайб в результате соударения не изменяется $MV=M{V over 5}+MV_{X},!$ .

Скорость твёрдой шайбы после удара $V_{X}=0,8cdot V,!$ (если предположить, что налетающая шайба после соударения движется в отрицательном направлении оси OX со скоростью , то скорость твёрдой шайбы после соударения $V_{X}=1,2cdot V,!$ и её кинетическая энергия больше кинетической энергии налетающей шайбы). Найдём по закону сохранения энергии количество Q,! теплоты, которое выделится в мягкой шайбе за всё время удара, ${{MV^{2}} over 2}={{Mleft({0,2cdot V}right)^{2}} over 2}+{{Mleft({0,8cdot V}right)^{2}} over 2}+Q,!$ , отсюда $Q=0,32cdot {{MV^{2}} over 2},!$ .

Вычислим максимальную энергию $E_{{def}},!$ деформации мягкой шайбы. Для этого заметим, что при максимальной деформации шайбы друг относительно друга не движутся. Тогда по закону сохранения импульса $MV=(M+M)V_{*},!$ , шайбы в момент максимальной деформации движутся в ЛСО со скоростью $V_{*}=V/2,!$ . Естественно предположить, что теплота в равных количествах выделяется как при сжатии шайбы, так и при растяжении. Тогда по закону сохранения энергии в момент максимальной деформации ${frac {{MV^{2}}}{2}}={frac {{Mleft({0,5cdot V}right)^{2}}}{2}}+{frac {{Mleft({0,5cdot V}right)^{2}}}{2}}+{frac {Q}{2}}+E_{{def}},!$ . Отсюда $E_{{def}}=0,34cdot {frac {{MV^{2}}}{2}},!$ .

Искомое отношение ${frac {Q}{{E_{{def}}}}}={frac {{16}}{{17}}},!$ .

Упругие столкновения[править]

Задача № 4[править]

На гладкой горизонтальной поверхности лежит шар массой M.,! На него налетает шар массой m,! , движущийся со скоростью . Между шарами происходит упругий центральный удар. Найдите скорости ${vec V}_{1},!$ и ${vec V}_{2},!$ шаров после соударения. При каком условии налетающий шар будет двигаться после соударения в прежнем направлении?

Решение.

Задачу рассмотрим в ЛСО, ось OX которой направим по линии центров шаров в момент соударения. Внешние силы, действующие на шары в процессе соударения, — это силы тяжести и силы нормальной реакции опоры. Их сумма равна нулю. Следовательно импульс системы шаров в процессе взаимодействия не изменяется. По закону сохранения импульса $m{vec V}=m{vec V}_{1}+M{vec V}_{2},!$ .
Переходя к проекциям на ось OX, получаем $mV=mV_{{1X}}+MV_{2},!$ ,
здесь учтено, что направление скорости ${vec V}_{1},!$ налетающего шара после соударения неизвестно. По закону сохранения энергии
${frac {{mV^{2}}}{2}}={frac {{mV_{{1X}}^{2}}}{2}}+{frac {{MV_{2}^{2}}}{2}},!$ .
Полученные соотношения перепишем в виде $m(V-V_{{1X}})=MV_{2},!$ , $m(V^{2}-V_{{1X}}^{2})=MV_{2}^{2},!$ .
Разделив второе равенство на первое, приходим к линейной системе $V_{2}=V+V_{{1X}},!$ , $m(V-V_{{1X}})=MV_{2},!$ , решение которой имеет вид
$V_{{1X}}={frac {{m-M}}{{m+M}}}V,!$ , $V_{2}={frac {{2m}}{{m+M}}}V,!$ .
Налетающий шар будет двигаться после соударения в прежнем направлении ( $V_{{1X}}>0,!$ ) при m>M,! , т.е. если его масса больше массы покоящегося шара.

Задача № 5[править]

Две гладкие упругие круглые шайбы движутся по гладкой горизонтальной поверхности со скоростями ${vec V}_{1},!$ и ${vec V}_{2},!$ . Найдите скорости шайб после абсолютно упругого нецентрального соударения. Массы шайб $m_{1},!$ и $m_{2},!$ .

Решение.

Задачу рассмотрим в ЛСО, оси координат OX и OY которой лежат в горизонтальной плоскости, при этом ось OX направлена по линии центров шайб в момент соударения (рис.1). В течение времени соударения на систему шайб действуют только вертикальные внешние силы: это силы тяжести и силы нормальной реакции опоры. Их сумма равна нулю. Тогда импульс системы шайб в процессе взаимодействия сохраняется
${vec p}_{1}+{vec p}_{2}={vec p}'_{1}+{vec p}'_{2},!$ ,
здесь и – импульсы шайб до и после соударения.

Рис.1.

Так как шайбы идеально гладкие, то в процессе соударения внутренние силы – силы упругого взаимодействия шайб – направлены только по оси OX . Эти силы не изменяют Y-составляющие импульсов шайб. Тогда из $p_{{1Y}}=p'_{{1Y}},!$ , $p_{{2Y}}=p'_{{2Y}},!$ находим Y-составляющие скоростей шайб после соударения
$V'_{{1Y}}=V_{{1Y}},!$ , $V'_{{2Y}}=V_{{2Y}},!$ ,
т.е. в проекции на ось OY скорости шайб в результате соударения не изменились.

Найдём X-составляющие скоростей шайб после абсолютно упругого соударения. При таком соударении сохраняется кинетическая энергия
${frac {{m_{1}left({V_{{1X}}^{2}+V_{{1Y}}^{2}}right)}}{2}}+{frac {{m_{2}left({V_{{2X}}^{2}+V_{{2Y}}^{2}}right)}}{2}}=,!$
$={frac {{m_{1}left({left({V'_{{1X}}}right)^{2}+left({V'_{{1Y}}}right)^{2}}right)}}{2}}+{frac {{m_{2}left({left({V'_{{2X}}}right)^{2}+left({V'_{{2Y}}}right)^{2}}right)}}{2}}.,!$

С учётом равенства Y-составляющих скоростей шайб до и после соударения последнее равенство принимает вид
${frac {{m_{1}V_{{1X}}^{2}}}{2}}+{frac {{m_{2}V_{{2X}}^{2}}}{2}}={frac {{m_{1}left({V'_{{1X}}}right)^{2}}}{2}}+{frac {{m_{2}left({V'_{{2X}}}right)^{2}}}{2}},!$ .

Обратимся к закону сохранения импульса и перейдём к проекциям импульсов шайб на ось OX
$m_{1}V_{{1X}}+m_{2}V_{{2X}}=m_{1}V'_{{1X}}+m_{2}V'_{{2X}},!$ .

Таким образом, исходная задача сведена к задаче об абсолютно упругом центральном ударе: именно такой вид приняли бы законы сохранения энергии и импульса, если бы скорости шайб были направлены по линии центров. Полученную нелинейную систему уравнений можно свести к линейной. Для этого следует (как и в предыдущей задаче) в обоих уравнениях по одну сторону знака равенства объединить слагаемые, относящиеся к первой шайбе, а по другую – ко второй, и разделить полученные соотношения друг на друга. Это приводит к линейному уравнению вида
$V_{{1x}}+V'_{{1X}}=V_{{2X}}+V'_{{2X}},!$ .
Решая систему из двух последних уравнений, находим
$V'_{{1X}}={frac {{(m_{1}-m_{2})V_{{1X}}+2m_{2}V_{{2X}}}}{{m_{1}+m_{2}}}},!$ ,
$V'_{{2X}}={frac {{2m_{1}V_{{1X}}+(m_{2}-m_{1})V_{{2X}}}}{{m_{1}+m_{2}}}},!$ .
Полученные соотношения для $V'_{{1X}},V'_{{1Y}},!$ и $V'_{{2X}},V'_{{2Y}},!$ решают вопрос о величинах скоростей шайб после соударения
$V'_{1}={sqrt {left({V'_{{1X}}}right)^{2}+left({V'_{{1Y}}}right)^{2}}},!$ , $V'_{2}={sqrt {left({V'_{{2X}}}right)^{2}+left({V'_{{2Y}}}right)^{2}}},!$ ,
и об углах $alpha _{1},!$ и $alpha _{2},!$ , которые векторы скоростей ${vec V}'_{1},!$ и ${vec V}'_{2},!$ образуют с положительным направлением оси OX,
$tgalpha _{1}={frac {{V'_{{1Y}}}}{{V'_{{1X}}}}},!$ , $tgalpha _{2}={frac {{V'_{{2Y}}}}{{V'_{{2X}}}}},!$ .

Построенное в общем виде решение задач упругого центрального и нецентрального соударений открывает дорогу к анализу целого ряда задач, для которых рассмотренная модель соответствует характеру взаимодействия тел (частиц). Приведём два примера.

Задача № 6[править]

Лёгкий пластмассовый шарик массой $m_{1},!$ роняют с нулевой начальной скоростью с высоты h,! . В нижней точке траектории по нему ударяют ракеткой снизу вверх, после чего шарик подпрыгивает на высоту в n,! раз большую первоначальной. Определите скорость ракетки перед ударом. Масса $m_{2},!$ ракетки во много раз больше массы шарика. Сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Решение.

Проанализируем упругое столкновение в ЛСО, ось OX направим по вертикали вверх. Из кинематических соотношений для равнопеременного движения по прямой найдём проекции скорости шарика до и после соударения на ось OX
$V_{{1X}}=-{sqrt {2gh}},!$ , $V'_{{1X}}={sqrt {n2gh}},!$
При $m_{1}<<m_{2},!$ соотношение
$V'_{{1X}}={frac {{(m_{1}-m_{2})V_{{1X}}+2m_{2}V_{{2X}}}}{{m_{1}+m_{2}}}},!$ из решения задачи № 5 принимает вид $V'_{{1X}}=-V_{{1X}}+2cdot V_{{2X}},!$ . Отсюда находим искомую скорость ракетки до удара $V_{{2X}}={frac {{V_{{1X}}+V'_{{1X}}}}{2}}={sqrt {{frac {{gh}}{2}}}}cdot left({{sqrt n}-1}right),!$ .

Задача № 7[править]

Гладкая круглая шайба массы $m_{1},!$ движется со скоростью вдоль хорды, расстояние до которой от центра гладкого тонкого однородного обруча равно R/2,! (рис.2). Обруч массы $m_{2},!$ и радиуса R,! лежит на гладком горизонтальном столе.
Через какое время tau ,! после первого удара
шайба окажется на минимальном расстоянии от центра движущегося обруча? Каково это расстояние? Удар считайте абсолютно упругим.

Рис.2

Решение.

Воспользуемся результатами решения задачи № 5. В ЛСО, ось OX которой направлена по линии центров шайбы и обруча в момент соударения, проекции скорости шайбы и центра обруча на ось OX после соударения равны соответственно
$V'_{{1X}}={frac {{(m_{1}-m_{2})V_{{1X}}+2m_{2}V_{{2X}}}}{{m_{1}+m_{2}}}}={frac {{(m_{1}-m_{2})V_{{1X}}}}{{m_{1}+m_{2}}}},!$ ,
$V'_{{2X}}={frac {{2m_{1}V_{{1X}}+(m_{2}-m_{1})V_{{2X}}}}{{m_{1}+m_{2}}}}={frac {{2m_{1}V_{{1X}}}}{{m_{1}+m_{2}}}},!$ , здесь $V_{{1X}}=Vcos {frac {pi }{6}},!$ – проекция скорости шайбы на ось OХ до соударения, $V_{{2X}}=0,!$ – обруч до соударения покоился.
Из этих соотношений следует, что в системе отсчёта, связанной с движущимся обручем, радиальная составляющая скорости шайбы после соударения

$V_{{1Xrel}}=V'_{{1X}}-V'_{{2X}}=-V_{{1X}}=-Vcos {pi over 6},!$
просто изменила знак, а перпендикулярная радиусу составляющая, как было показано, в рассматриваемом соударении не изменяется. Следовательно, относительно обруча шайба отразится по закону «угол падения равен углу отражения» и минимальное расстояние до центра обруча снова будет равно R/2,! . Искомое время. $tau ={R over {left|{V_{{1Xrel}}}right|}}={{2{sqrt 3}} over 3}{R over V},!$

Задача № 8[править]

Каков максимальный угол упругого рассеяния -частицы на дейтроне? Дейтрон – ядро одного из изотопов водорода – дейтерия, состоит из протона и нейтрона; -частица – ядро гелия, состоит из двух протонов и двух нейтронов. Считайте, что масса дейтрона в 2 раза меньше массы -частицы.

Решение.’

Проанализируем упругое столкновение в ЛСО (не прибегая к модели упругих шаров). Введём обозначения: $m_{1},!$ – масса
-частицы, – её скорость до рассеяния, $m_{2},!$ – масса дейтрона, ${vec V}_{1},!$ и ${vec V}_{2},!$ – скорости
-частицы и дейтрона соответственно после рассеяния. При отсутствии внешних сил в процессе упругого взаимодействия для системы «-частица + дейтрон» сохраняются импульс (рис.3 )
$m_{1}V=m_{1}V_{1}cos delta +m_{2}V_{2}cos varphi ,!$ ,
$m_{1}V_{1}sin delta =m_{2}V_{2}sin varphi ,!$ ,
и кинетическая энергия
${frac {{m_{1}V^{2}}}{2}}={frac {{m_{1}V_{1}^{2}}}{2}}+{frac {{m_{2}V_{2}^{2}}}{2}},!$ .

Рис.3.

Исключив из этих соотношений угол и вели-чину $V_{2},!$ скорости дейтрона, получим квадратное уравнение для $V_{1},!$
$(m_{1}+m_{2})V_{1}^{2}-2m_{1}VV_{1}cos delta +(m_{1}-m_{2})V^{2}=0.,!$
Корни этого уравнения будут вещественными при $sin delta leq m_{2}/m_{1},!$ . Максимальный угол , удовлетворяющий этому условию, и есть искомый угол . Таким образом, $theta =arcsin(m_{2}/m_{1})={frac {pi }{6}},!$ рад. Заметим, что рассеяние на максимальный угол возможно только при условии: масса налетающей частицы больше массы покоящейся.

Центр масс системы материальных точек. Теорема Кёнига[править]

В физике законы изменения и сохранения импульса системы частиц зачастую формулируются с привлечением центра масс. Для введения центра масс системы частиц рассмотрим движение этой системы в ЛСО и в системе отсчёта, которая движется поступательно с произвольной (пока!) скоростью ${vec V}_{C},!$ относительно лаборатории. Найдём связь импульсов системы частиц в лабораторной ${vec P}=sum {m_{i}}{vec V}_{i},!$ и в подвижной ${vec P}_{{OTH}}=sum {m_{i}}{vec V}_{{iOTH}},!$ системах отсчёта. Так как при переходе между поступательно движущимися системами отсчёта скорости частиц преобразуются по закону Гали-лея ${vec V}_{i}={vec V}_{C}+{vec V}_{{iOTH}},!$ , то связь импульсов системы частиц в ЛСО и в подвижной системе при-нимает вид
${vec P}=sum {m_{i}}{vec V}_{i}=M{vec V}_{C}+{vec P}_{{OTH}},!$ ,
$M=sum {m_{i}},!$ – масса системы частиц.
Отсюда следует, что если выбрать
${vec V}_{C}={frac {{sum {m_{i}}{vec V}_{i}}}{{sum {m_{i}}}}}={frac {{{vec P}}}{M}},!$ ,
то в этой системе ${vec P}_{{OTH}}={vec P}-M{vec V}_{C}={vec 0},!$ . Полученное соотношение ${vec V}_{C}=sum {m_{i}}{vec V}/M,!$ можно считать производной по времени радиуса- вектора, определяемого по формуле
${vec R}_{C}={frac {{sum {m_{i}}{vec r}_{i}}}{{sum {m_{i}}}}},!$ .

В классической физике эту точку называют центром масс системы частиц, а систему, начало которой традиционно помещают в центр масс, и которая движется поступательно со скоростью ${vec V}_{C}={vec P}/M,!$ относительно лаборатории, называют системой центра масс (Ц-системой). Как было показано, в этой системе отсчёта суммарный импульс частиц равен нулю.

Найдём связь кинетических энергий K,! и системы материальных точек в ЛСО и в Ц-системе соответственно. По закону сложения скоростей ${vec V}_{i}={vec V}_{C}+{vec V}_{{iOTH}},!$ . Тогда кинетическая энергия системы материаль-ных точек в ЛСО и в Ц-системе связаны соотношением
$K=sum {{frac {{m_{i}{vec V}_{i}^{2}}}{2}}=}sum {{frac {{m_{i}({vec V}_{C}+{vec V}_{{iOTH}})^{2}}}{2}}=},!$ $=sum {{frac {{m_{i}{vec V}_{C}^{2}}}{2}}+sum {{frac {{m{vec V}_{{iOTH}}^{2}}}{2}}+left({{vec V}_{C}cdot sum {m_{i}{vec V}_{{iOTH}}}}right)}},!$ .

Сумма $sum {m_{i}{vec V}_{{iREL}}=}left({sum {m_{i}}}right)cdot {vec V}_{{CREL}},!$ равна нулю, так как центр масс в Ц-системе покоится: ${vec V}_{{Crel}}={vec 0},!$ . Таким образом, $K={{left({sum {m_{i}}}right)cdot V_{C}^{2}} over 2}+K_{{rel}},!$ ,
т.е. кинетическая энергия совокупности материальных точек в ЛСО равна сумме кинетической энергии всей массы системы, мысленно сосредоточенной в её центре масс и движущейся вместе с ним, и кинетической энергии той же совокупности материальных точек в её относительном движении в Ц-системе. Это утверждение составляет содержание теоремы Кёнига.

Приведём второе решение задачи № 8. Упругое столкновение удобно рассматривать в Ц-системе. Скорость центра масс системы « alpha -частица + дейтрон»
${vec V}_{C}={frac {{m_{1}{vec V}_{1}}}{{m_{1}+m_{2}}}},!$ .
До столкновения в Ц-системе импульс частицы массой $m_{1},!$ равен
${vec p}_{{1OTH}}=m_{1}{vec V}_{{1OTH}}=m_{1}({vec V}_{1}-{vec V}_{C})={frac {{m_{1}m_{2}{vec V}_{1}}}{{m_{1}+m_{2}}}},!$ ,
импульс частицы массой $m_{2},!$ равен ( $-{vec p}_{{1OTH}},!$ ). При упругом столкновении импульс и кинетическая энергия системы частиц в Ц-системе сохраняются. Импульс первой частицы после столкновения обозначим ${vec p}'_{{1OTH}},!$ , импульс второй будет равен $left({-{vec p}'_{{1OTH}}}right),!$ . Из закона сохранения энергии
${frac {{p_{{1OTH}}^{2}}}{2}}left({{frac {1}{{m_{1}}}}+{frac {1}{{m_{2}}}}}right)={frac {{left({p'_{{1OTH}}}right)^{2}}}{2}}left({{frac {1}{{m_{1}}}}+{frac {1}{{m_{2}}}}}right),!$
находим $p'_{{1OTH}}=p_{{1OTH}},!$ . Таким образом, в Ц- системе при упругом столкновении импульсы частиц поворачиваются на тот или иной угол, не изменяясь по величине. Угол поворота не определяется законами сохранения, а зависит от характера взаимодействия. Тогда в Ц-системе скорости обеих частиц изменяются тоже только по направлению. Для анализа скоростей воспользуемся графической техникой (рис.4).

Рис.4.

До столкновения скорость в ЛСО налетающей частицы ${vec V}_{1}={vec V}_{C}+{vec V}_{{1OTH}},!$ . После столкновения скорость ${vec V}'_{1}={vec V}_{C}+{vec V}'_{{1OTH}},!$ налетающей частицы в ЛСО может заканчиваться в любой точке ок-ружности радиуса $V_{{1OTH}}=V'_{{1OTH}}={frac {{m_{2}V_{1}}}{{m_{1}+m_{2}}}},!$ . Из векторной диаграммы следует, что в случае $m_{1}>m_{2},!$ угол между векторами скорости и ${vec V}'_{1},!$ налетающей части-цы не может превышать некоторого максимального значения , соответствующего случаю, когда ${vec V}'_{1},!$ касается указанной окружности,
$theta =arcsin {frac {{V_{{1OTH}}}}{{V_{C}}}}={frac {{m_{2}}}{{m_{1}}}}={frac {pi }{6}},!$ рад.

Обратим внимание, что в Ц-системе расчёт упругого соударения не требует проведения утомительных выкладок. Рассмотрим ещё один пример.

Задача № 9[править]

Два одинаковых гладких шара испытывают упругий нецентральный удар. Один из шаров до соударения покоился. Определите угол разлёта шаров.

Решение.

Из второго решения предыдущей задачи следует, что в рассматриваемом случае $V_{C}=V'_{{1OTH}}={frac {{V_{1}}}{2}},!$ (сохраняем обозначения, принятые в Задаче № 8). Тогда в диаграмме скоростей векторы ${vec V}_{1}^{prime },!$ и ${vec V}_{2}^{prime },!$ , отложенные из одной точки, лежащей на окружности, образуют вписанный угол, опирающийся на диаметр.

Такой угол равен половине центрального, т.е. ${frac {pi }{2}},!$ . Шары разлетятся под прямым углом.

Рис.5.

Законы сохранения импульса и энергии в микромире[править]

Законы сохранения импульса и энергии позволяют решать задачи не только о взаимодействии макроскопических тел, но и задачи о взаимодействиях частиц в микромире.
В школьном учебнике рассказывается об искусственном превращении атомных ядер, которое впервые было осуществлено Э.Резерфордом в 1919 г. В первой искусственной ядерной реакции, ядра азота подвергались бомбардировке ядрами гелия (-частицами) и превращались в ядра кислорода и ядра атома водорода (протоны) по схеме ${}_{7}^{{14}}N+{}_{2}^{4}He,,to {}_{8}^{{17}}O+{}_{1}^{1}H,!$ .

Задача № 10[править]

Рассматриваемая реакция идёт с поглощением энергии МэВ. При какой пороговой (минимальной) скорости -частиц, бомбардирующих неподвижную мишень, такая реакция могла пойти? Масса -частицы $m_{{He}}=6,6cdot 10^{{-27}},!$ кг.

Решение.

Из теоремы Кёнига следует, что минимум кинетической энергии бомбардирующей частицы достигается в случае, когда
продукты реакции покоятся в Ц-системе. В этом случае кинетическая энергия -частицы (её импульс p,! ) является пороговой $K_{{threshold}}={frac {p^{2}}{{2m_{{He}}}}}$ и равна сумме энергии реакции Q и кинетической энергии сиcтемы как целого
$K_{{threshold}}=Q+{frac {p^{2}}{{2(m_{{He}}+m_{N})}}}$ ,

здесь учтено, что по закону сохранения импульса (в системе действуют только внутренние силы) импульс продуктов реакции равен импульсу бомбардирующей частицы. Кинетическая энергия движения системы как целого связана с кинетической энергией налетающей частицы

${frac {p^{2}}{{2(m_{{He}}+m_{N})}}}={frac {p^{2}}{{2m_{{He}}}}}{frac {{m_{{He}}}}{{m_{{He}}+m_{N}}}}E_{{threshold}}={frac {{m_{{He}}}}{{m_{{He}}+m_{N}}}}E_{{threshold}}$ .

Тогда соотношение для пороговой энергии принимает вид

$K_{{threshold}}=Q+{frac {{m_{{He}}}}{{m_{{He}}+m_{N}}}}K_{{threshold}}$ .

Отсюда находим пороговую энергию реакции

$K_{{threshold}}={frac {{m_{{He}}+m_{N}}}{m_{N}}}Q=1,45$ МэВ

и пороговую скорость

$V_{{threshold}}={sqrt {{frac {{2K_{{threshold}}}}{{m_{{He}}}}}}}=0,83cdot 10^{4}$ км/с.

Из решения следует, что зависящая от отношения масс взаимодействующих частиц доля кинетической энергии бомбардирующей частицы не может быть использована для реакции. Это устраняется при использовании встречных пучков, когда центр масс сталкивающихся частиц неподвижен.

В заключение рассмотрим два примера, которые упоминаются в школьном курсе, и требуют привлечения (разумеется, в рамках школьной программы) элементов квантовой физики и специальной теории относительности.

Предварительно проиллюстрируем элементарные квантовые представления о взаимодействии света с веществом.

Задача № 11[править]

Неподвижная пылинка массой m=0,1,! мг освещается импульсом лазерного света с длиной волны $lambda =0,63cdot 10^{{-6}},!$ м. Определите число N,! поглощённых пылинкой фотонов, если она в результате действия света приобрела скорость V=1,! мм/с. Постоянная Планка $h=6,6cdot 10^{{-34}},!$ Дж•с.

Решение.

В квантовой физике энергия фотона (кванта) $E=hnu =h{frac {c}{lambda }},!$ ,
здесь nu ,! – частота, – длина волны электромагнитного излучения.
Импульс фотона $p={frac {E}{c}}={frac {h}{lambda }},!$ .

В рассматриваемой задаче импульс $N{frac {h}{lambda }},!$ фотонов по закону сохранения импульса равен импульсу mV,! пылинки $N{frac {h}{lambda }}=mV,!$ , отсюда $N={frac {mVlambda }{h}}approx 9,5cdot 10^{{16}},!$ .

Первый пример – эффект Комптона. В 1922 г. А. Комптон обнаружил, что если рентгеновское излучение с длиной волны $lambda _{0},!$ рассеивается веществом с лёгкими атомами (графит, парафин), то в рассеянном потоке, наряду с излучением с той же длиной волны $lambda _{0},!$ , наблюдается излучение с большей длиной волны . Считая это излучение результатом упругого рассеяния рентгеновских квантов на свободных электронах, рассмотрим следующую задачу.

Задача № 12[править]

Рентгеновский квант (энергия ~105 эВ)сталкивается с неподвижным электроном и отражается в обратном направлении. Найдите приращение длины волны рентгеновского излучения в результате упругого рассеяния. Постоянная Планка $h=6,6cdot 10^{{-34}},!$ Дж•с, скорость электромагнитных волн в вакууме $c=3cdot 10^{8},!$ м/с, масса электрона $m_{e}=0,9cdot 10^{{-30}},!$ кг.

Решение.

Поясним принятую модель взаимодействия излучения с веществом. В атомах лёгких элементов для удаления электрона нужна энергия порядка 10 эВ. Так как эта энергия во много раз меньше энергии рентгеновских квантов, то электроны можно считать свободными.
При энергии кванта в сотни тысяч эВ необходим учёт релятивистских эффектов, так как энергия рентгеновского кванта сравнима с энергией покоящегося электрона ${m_{e}}{c^{2}}approx 0,51cdot 10^{5},!$ эВ. До рассеяния, энергия системы «квант + свободный электрон» состояла из энергии рентгеновского кванта $h{frac {c}{{lambda _{0}}}},!$ и энергии $m_{e}c^{2},!$ покоящегося электрона. В результате рассеяния, энергия электрона, движущегося со скоростью V,! , равна ${frac {{m_{e}c^{2}}}{{{sqrt {1-{frac {{V^{2}}}{{c^{2}}}}}}}}},!$ и стала больше начальной. В свою очередь, энергия рентгеновского кванта $h{frac {c}{lambda }},!$ уменьшилась, т.е. длина волны излучения увеличилась.
По закону сохранения энергии $m_{e}c^{2}+h{frac {c}{{lambda _{0}}}}={frac {{m_{e}c^{2}}}{{{sqrt {1-{frac {{V^{2}}}{{c^{2}}}}}}}}}+h{frac {c}{lambda }},!$ .

Проанализируем импульсы взаимодействующих частиц. До рассеяния импульс рентгеновского кванта $p_{0}={frac {h}{{lambda _{0}}}},!$ , после рассеяния $p={frac {h}{lambda }},!$ , импульс электрона, движущегося со скоростью V,! , равен $p_{e}={frac {{m_{e}V}}{{{sqrt {1-{frac {{V^{2}}}{{c^{2}}}}}}}}},!$ . По закону сохранения импульса ${vec p}_{0}={vec p}+{vec p}_{e},!$ . Считая импульс рентгеновского кванта направленным в положительном направлении оси OX ЛСО и переходя к проекциям импульсов на эту ось, получаем ${frac {h}{{lambda _{0}}}}=-{frac {h}{lambda }}+{frac {{m_{e}V}}{{{sqrt {1-{frac {{V^{2}}}{{c^{2}}}}}}}}},!$ .

Умножим второе равенство на $c=3cdot 10^{8},!$ м/с, сложим его с первым и вычтем его из первого равенства. Перемножив полученные соотношения, найдём
$Delta lambda =lambda -lambda _{0}=2{frac {h}{{m_{e}c}}}=4,84cdot 10^{{-12}},!$ м,
что хорошо согласуется с экспериментальными данными и подтверждает упругий характер процесса рассеяния рентгеновского кванта на свободном электроне. Эффект Комптона, так же как и фотоэффект, иллюстрирует корпускулярные свойства электромагнитного излучения.

В следующем примере анализ неупругого процесса поглощения фотона проводится с учётом дискретности энергетического спектра атома.

Задача № 13[править]

Неподвижный, невозбуждённый атом водорода поглощает фотон. В результате атом переходит в возбуждённое состояние и начинает двигаться. Найдите величину V скорости, с которой стал двигаться атом после поглощения фотона. Энергия возбуждения атома $E_{{12}}=1,63cdot 10^{{-18}},!$ Дж. Энергия покоя атома водорода $m,c^{2}=1,49cdot 10^{{-10}},!$ Дж.

Указание. При x<<1,! можно считать, что $(1+x)^{alpha }approx 1+alpha ;x,!$ .

Решение.

Поглощение фотона атомом является типичным неупругим столкновением. Проанализируем энергетические превращения. Во-первых, энергия поглощённого фотона идёт на перевод атома в возбуждённое состояние (по условию для этого требуется $E_{{12}}=1,63cdot 10^{{-18}},!$ Дж). Во-вторых, закон сохранения импульса обязывает возбужденный атом прийти в движение, тогда та или иная часть энергии фотона пойдёт на увеличение кинетической энергии атома. По закону сохранения энергии ${{{{rm {{h}}}}{{rm {{c}}}}} over {{rm {{lambda }}}}}{{rm {{=E}}}}_{{{{rm {{12}}}}}}{{rm {{+}}}}{{{{rm {{m}}}}{{rm {{V}}}}^{{{rm {{2}}}}}} over {{rm {{2}}}}},!$ и импульса находим искомую скорость $V=cleft[{{sqrt {1+{{2E_{{12}}} over {mc^{2}}}}}-1}right]approx c{{E_{{12}}} over {mc^{2}}},!$ ,
которая определяется только отношением энергии возбуждения к массе атома водорода, выраженной в энергетических единицах. При выводе учтено, что дробь под корнем мала (~10-8). Это подтверждает нерелятивистское приближение, использованное в решении. При переходе атома водорода из основного состояния в первое возбуждённое величина скорости атома $Vapprox c{{E_{{12}}} over {mc^{2}}}approx 3,3,!$ м/с.

Источник

версия для печати
Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Поскольку часть кинетической энергии ушла в тепло, то закон сохранения механической энергии нарушен. И именно изменение кинетической энергии шайб и есть тепло. Но закон сохранения импульса выполняется, т. к. стол гладкий.

Запишите уравнение сохранения импульса на ось первоначального движения шайб, сократите массы. Получится, что обе шайбы имеют скорость после удара u = v/2, где v — первоначальная скорость шайбы.

Первоначальная кинетическая энергия E_до = mv²/2 + 0.

После столкновения кинетическая энергия E_после = m(v/2)²/2 + m(v/2)²/2 = mv²/4.

Изменение — это тепло Q = E_до — E_после = mv²/4, что составляет Q/E_до = 50%.

Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Опубликовано 17 октября, 2008 — 22:08 пользователем В. Грабцевич

Замечание:

После удара шайбы разлетаются симметрично относительно направления начальной скорости, под углом 60° друг к другу.

Уточните получение скорости разлета шайб u = v/2.

Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Опубликовано 17 октября, 2008 — 23:01 пользователем inkerman

Опа
Невнимательно прочитал :))) Бывает.

Cкорость после удара u=v/√3.

E_после = mv²/3.
В тепло ушло Q = mv²/6.

Ответ: 33,3%.

Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Опубликовано 18 октября, 2008 — 22:17 пользователем katran

А для чего тогда в условии задачи дан угол 60°?

Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Опубликовано 18 октября, 2008 — 22:29 пользователем inkerman

Чтобы найти скорости шайб после удара. Для этого нужно записать закон сохранения импульса в проекции на ось движения первой шайбы.

Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Опубликовано 3 июня, 2009 — 15:35 пользователем beavis

Почему скорость после удара u = v/?3? Ведь что6ы найти проекцию скорости на первоначальную ось, нужно скорость умножить на cos 30°, то есть u = v?3/2. Или я ошибаюсь?

Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Опубликовано 3 июня, 2009 — 15:53 пользователем beavis

вроде догнал… но все равно лучше разъясните.

Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Опубликовано 3 июня, 2009 — 22:22 пользователем inkerman

Cначала шайба 1 двигалась по прямой. Это будет ось ОХ. В проекции на эту ось запишем ЗСИ:

mu = mv cos 30° + mv cos 30°,

откуда скорость шайб после удара v = 2u/cos 30° = u/√3.

Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Опубликовано 3 ноября, 2009 — 12:27 пользователем Smokedsay

Народ, ну Вы даете, я хоть и не въезжаю в столкновения, но понял в этом разделе, что закон сохранения энергии записывают, чтобы угол определить, а так действует закон сохранения энергии в векторной форме, который, если раскрыть, получится:

(mV)² = (m₁V₁)² + (m₂V₂)² − 2 m₁V₁m₂V₂ cos (угла между скоростями),

а потом и можно судить о неточностях распределения энергии…

Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Опубликовано 3 ноября, 2009 — 19:43 пользователем inkerman

Саня, Вы когда видите якобы ересь — старайтесь не написать еще большую. Как ни прискорбно, тут получилось именно так.

Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Опубликовано 3 ноября, 2009 — 20:06 пользователем В. Грабцевич

… но понял в этом разделе, что закон сохранения энергии записывают, чтобы угол определить, а так действует закон сохранения энергии в векторной форме…

Задача решена, решение приведено выше, с учетом поправки скорости. Поэтому, Саня, не пишите лишних, абсурдных комментариев, а разберитесь с тем, что уже опубликовано выше.

Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Источник

Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

	Простенькая задачка по физике 09.09.2007, 11:11
11/05/07 17	Задача звучит так: Шайба ударяется о горизонтальную поверхность льда под углом и отскакивает под углом (). Коэффициент трения скольжения шайбы о лед . Найти потери кинетической энергии шайбы при ударе. Движение шайбы считать поступательным. Подскажите, пожалуйста, как найти эти «потери»? Мне кажется, лучше искать как работу силы трения, но тогда как найти расстояние, которое проскользит шайба до того как отскочит?

Zai

09.09.2007, 16:04

Заслуженный участник

11/04/07
1352
Москва

В Вашей задаче предполагается что нормальная составляющая вектора скорости после удара меняет знак, т.е. нет потерь энергии. Изменение касательной составляющей импульса равна на изменение нормальной составляющей импульса. Попробуйте связать это утверждение с углами.

Olympiya	09.09.2007, 20:20
11/05/07 17	Попробовала. Получается уравнение, описывающее зависимость начальной и конечной скорости. А как найти разность начальной и конечной энергии шайбы?

peregoudov	09.09.2007, 22:26
10/03/07 ∞ 473 Москва	Условие задачи не совсем корректное, поскольку, даже если шайба на подлете двигалась поступательно, на отскоке она уже будет вращаться. Zai , я не совсем понял, что Вы предлагаете, возможно ниже я предложу то же самое. Как ни странно, в этой задаче работает закон сохранения импульса, точнее, одной из его компонент. Если бы трения не было, сила реакции льда была бы направлена вертикально и сохранялась бы горизонтальная проекция импульса. Нам же дан коэффициент трения, поэтому сила реакции льда будет составлять угол с вертикалью, а сохраняться будет проекция импульса на ось, составляющую угол с горизонталью. Это дает возможность (все углы известны!) связать модули импульса на подлете и отскоке. Ну, а в кинетическую энергию уже просто пересчитать. Потери будут, конечно, в процентах.

Olympiya	10.09.2007, 18:52
11/05/07 17	peregoudov Цитата: сила реакции льда будет составлять угол с вертикалью Вы имеете ввиду «сила реакции льда будет составлять угол с вертикалью и » ?

peregoudov	10.09.2007, 18:59
10/03/07 ∞ 473 Москва	Ну да. Что, моя запись сильно отличается от ?

Olympiya	10.09.2007, 20:09
11/05/07 17	Не сильно, но я не понимаю, почему , по-моему , но это не логично.

peregoudov	11.09.2007, 01:27
10/03/07 ∞ 473 Москва	Ну как же, $F_{hbox{small тр}}=mu N$ , сила трения горизонтальна, (нормальная) сила реакции вертикальна, какой угол составляет ${bf F}_{hbox{small тр}}+{bf N}$ с вертикалью?

Zai

11.09.2007, 13:20

Заслуженный участник

11/04/07
1352
Москва

Olympiya	12.09.2007, 22:23
11/05/07 17	Решила. Даже двумя способами, предложенными выше. Но самое удивительное то, что ответы совпали. Спасибо за помощь! Можно задать очень, очень глупый вопрос? Задача: Груз, висящий на легкой пружине жесткости , растягивает ее на величину . Какую работу надо совершить, чтобы утроить удлинение пружины, прикладывая к грузу вертикальную силу? Получается: $A=E_{p0}-E_{p}=frac{kx^{2}}{2}-frac{k(3x)^{2}}{2}<0$ или все же надо считать $A=frac{k(3x)^{2}}{2}-frac{kx^{2}}{2}$ ?

peregoudov	13.09.2007, 11:45
10/03/07 ∞ 473 Москва	Я думаю, надо еще учитывать потенциальную энергию в поле тяжести — ведь изначально растяжение пружины определяется именно балансом сил тяжести и упругости. А знак работы зависит от того, чью работу Вы считаете: свою собственную (внешней силы) или работу потенциального поля (сил тяжести и упругости). Обычное соотношение — работа равна изменению потенциальной энергии, взятому с обратным знаком, — относится именно к работе потенциального поля. P.S. Не надо писать звездочки (умножение) в ТеХе.

Olympiya	13.09.2007, 19:23
11/05/07 17	Цитата: Я думаю, надо еще учитывать потенциальную энергию в поле тяжести Я тоже сначала так думала, но мне почему-то это показалось неправильным. Еще раз спасибо.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Источник

(Окончание. Начало см. «Наука и жизнь» № 6, 2001 г.)

Публикуем последнюю часть задач по теме «Механика». Очередная статья будет посвящена колебаниям и волнам.

Задача 4 (1994 г.). С горки, плавно переходящей в горизонтальную плоскость, с высоты h соскальзывает небольшая гладкая шайба массой m. На плоскости стоит гладкая подвижная горка массой М и высотой Н > h. Сечения горок вертикальной плоскостью, проходящей через центры масс шайбы и подвижной горки, имеют вид, показанный на рисунке. На какую максимальную высоту х может подняться по неподвижной горке шайба после того, как она первый раз соскользнет с подвижной горки?

Решение. Горка, на которой первоначально находилась шайба, по условию задачи неподвижна и, следовательно, жестко скреплена с Землей. Если, как это обычно и делается при решении подобных задач, учитывать лишь силы взаимодействия шайбы с горками и силу тяжести, поставленную задачу можно решить, используя законы сохранения механической энергии и импульса. Лабораторную систему отсчета, как уже отмечалось в решении предыдущих задач (см. «Наука и жизнь» № 6, 2001 г.), можно считать инерциальной. Решение задачи разделим на три этапа. На первом этапе шайба начинает скользить с неподвижной горки, на втором — взаимодействует с подвижной горкой, а на последнем — поднимается вверх по неподвижной горке. Из условия задачи и сделанных предположений следует, что шайба и подвижная горка могут двигаться лишь поступательно так, чтобы их центры масс все время оставались в одной и той же вертикальной плоскости.

С учетом сказанного и того, что шайба гладкая, систему «Земля с неподвижной горкой — шайба» во время первого этапа следует считать изолированной и консервативной. Поэтому, согласно закону сохранения механической энергии, кинетическая энергия шайбы W_к=mv₁²/2 при ее движении по горизонтальной плоскости после соскальзывания с горки должна быть равна mgh, где g — величина ускорения свободного падения.

Во время второго этапа шайба вначале станет подниматься по подвижной горке, а затем, достигнув некоторой высоты, с нее соскальзывать. Это утверждение вытекает из того, что в результате взаимодействия шайбы с подвижной горкой последняя, как уже было сказано, к моменту окончания второго этапа должна двигаться поступательно с некоторой скоростью u, удаляясь от неподвижной горки, то есть в направлении скорости v₁ шайбы в конце первого этапа. Поэтому даже если бы высота подвижной горки была равна h, шайба не смогла бы ее преодолеть. Учитывая, что сила реакции со стороны горизонтальной плоскости на подвижную горку, как и силы тяжести, действующие на эту горку и шайбу, направлены вертикально, на основании закона сохранения импульса можно утверждать, что проекция v₂ скорости шайбы в конце второго этапа на направление скорости v₁ шайбы в конце первого этапа должна удовлетворять уравнению

mυ₁ = mυ₂ + Mи (1)

С другой стороны, согласно закону сохранения механической энергии, указанные скорости связаны соотношением

, (2)

поскольку система «Земля — подвижная горка — шайба» оказывается при сделанных предположениях изолированной консервативной, а ее потенциальная энергия в начале и в конце второго этапа одинакова. Учитывая, что после взаимодействия с подвижной горкой скорость шайбы в общем случае должна измениться (v₁ — v₂ ≠ 0), и воспользовавшись формулой разности квадратов двух величин, из соотношений (1) и (2) получим

υ₁ + υ₂ = и (3)

а затем из (3) и (1) определим проекцию скорости шайбы в конце второго этапа на направление ее скорости перед началом взаимодействия с подвижной горкой

. (4)

Из соотношения (4) видно, что v₁≠ v₂ при m ≠ M и шайба будет двигаться к неподвижной горке после соскальзывания с подвижной только при m < M.

Применив вновь закон сохранения механической энергии для системы «Земля с неподвижной горкой — шайба», определим максимальную высоту подъема шайбы по неподвижной горке х =v₂²/2 g. После простейших алгебраических преобразований окончательный ответ можно представить в виде

Задача 5 (1996 г.). Лежащий на горизонтальной плоскости гладкий брусок массой М прикреплен к вертикальной стене легкой пружиной жесткости k. При недеформированной пружине брусок торцом касается грани кубика, масса m которого много меньше М. Ось пружины горизонтальна и лежит в вертикальной плоскости, проходящей через центры масс кубика и бруска. Сдвигая брусок, пружину сжимают вдоль ее оси на величину ∆x, после чего брусок отпускают без начальной скорости. На какое расстояние передвинется кубик после идеально упругого удара, если коэффициент трения кубика о плоскость достаточно мал и равен μ?

Решение. Будем считать, что выполнены стандартные предположения: лабораторная система отсчета, относительно которой первоначально покоились все тела, инерциальна, а на рассматриваемые тела действуют только силы взаимодействия между ними и силы тяжести, и, кроме того, плоскость соприкосновения бруска и кубика перпендикулярна оси пружины. Тогда, учитывая заданное в условии положение оси пружины и центров масс бруска и кубика, можно полагать, что эти тела могут двигаться лишь поступательно.

После отпускания брусок начинает двигаться под действием сжатой пружины. В момент касания бруском кубика по условию задачи пружина должна стать недеформированной. Поскольку брусок гладкий и движется по горизонтальной плоскости, силы тяжести и реакции плоскости не совершают над ним работы. По условию массой пружины (а потому и кинетической энергией ее движущихся частей) можно пренебречь. Следовательно, кинетическая энергия поступательно движущегося бруска в момент касания им кубика должна стать равной потенциальной энергии пружины в момент отпускания бруска, а потому скорость бруска в этот момент должна быть равна .

При касании бруском кубика происходит их соударение. При этом сила трения, действующая на кубик, изменяется от нуля до mmg, где g — величина ускорения свободного падения. Полагая, как обычно, что время соударения бруска и кубика мало, можно пренебречь импульсом силы трения, действующей на кубик со стороны плоскости, по сравнению с импульсом силы, действующей на кубик со стороны бруска за время удара. Поскольку смещение бруска за время удара мало, а в момент касания кубика пружина по условию задачи не деформирована, считаем, что пружина во время соударения на брусок не действует. Поэтому систему «брусок — кубик» во время соударения можно полагать замкнутой. Тогда, согласно закону сохранения импульса, должно выполняться соотношение

M v = MU + mu, (1)

где U и u — соответственно скорости бруска и кубика непосредственно после соударения. Работа сил тяжести и нормальной составляющей сил реакции плоскости, действующих на кубик и брусок, равна нулю (эти силы перпендикулярны их возможным перемещениям), удар бруска о кубик идеально упругий, и в силу малой длительности соударения смещением кубика и бруска (а следовательно, и работой сил трения и деформации пружины) можно пренебречь. Поэтому механическая энергия рассматриваемой системы должна оставаться неизменной и имеет место равенство

M υ²/2 = MU²/2 + mи²/2 (2)

Определив из (1) скорость бруска U и подставив ее в (2), получим 2Mvu=(M+m)u², а так как по условию задачи m << M, то 2vu=u². Отсюда с учетом возможного направления движения следует, что кубик после соударения приобретает скорость, величина которой

(3)

а скорость бруска останется неизменной и равной v. Следовательно, после удара скорость кубика должна превышать скорость бруска вдвое. Поэтому после удара на кубик в горизонтальном направлении вплоть до его остановки действует лишь сила трения скольжения μmg и, следовательно, кубик станет двигаться равнозамедленно с ускорением μg. На брусок же после соударения в горизонталь ном направлении действует только сила упругости пружины (брусок гладкий). Следовательно, скорость бруска изменяется по гармоническому закону, и, пока кубик движется, он опережает брусок. Из сказанного следует, что брусок от положения равновесия может сместиться на расстояние ∆х. Если коэффициент трения μ достаточно мал, повторного соударения бруска с кубиком не произойдет, а потому искомое смещение кубика должно быть

L = и²/ 2μg = 2k (∆x)²/ μM g.

Сопоставив это расстояние с ∆х, получим, что приведенный ответ верен при μ ≤ 2k ∆x/ M g

Задача 6 (2000 г.). На край доски, лежащей на гладкой горизонтальной плоскости, кладут небольшую шайбу, масса которой в k раз меньше массы доски. Шайбе щелчком сообщают скорость, направленную к центру доски. Если эта скорость больше u, то шайба соскальзывает с доски. С какой скоростью будет двигаться доска, если скорость шайбы будет в n раз больше u (n > 1)?

Решение. При решении задачи, как обычно, пренебрежем влиянием воздуха и будем считать, что система отсчета, связанная со столом, инерциальна, а шайба после удара движется поступательно. Отметим, что это возможно лишь в том случае, когда линия действия импульса внешней силы и центр масс шайбы лежат в одной вертикальной плоскости. Поскольку по условию задачи шайба при начальной скорости, меньшей u, не соскальзывает с доски, необходимо считать, что при скольжении шайбы по доске между ними действуют силы трения. Учитывая, что после щелчка шайба движется по доске к ее центру, а сила трения скольжения направлена антипараллельно относительно скорости, можно утверждать, что и доска должна начать двигаться по столу поступательно. Из ранее сказанного и закона сохранения импульса (поскольку доска находится на гладкой горизонтальной плоскости) следует, что скорость шайбы непосредственно после щелчка u_ш, ее скорость v_ш и скорость доски V_д в момент соскальзывания шайбы должны удовлетворять соотношению

mu_ш = M V_д + mv_ш,(1)

где m — масса шайбы, а M — масса доски, если u_ш> u. Если же u_ш≤ u, то по условию задачи шайба не соскальзывает с доски, и, следовательно, по прошествии достаточно большого промежутка времени скорости доски и шайбы должны стать равными. Полагая, как обычно, величину силы сухого трения скольжения не зависящей от скорости, пренебрегая размерами шайбы и учитывая, что перемещение шайбы относительно доски к моменту соскальзывания не зависит от ее начальной скорости, с учетом ранее сказанного и на основании закона изменения механической энергии можно утверждать, что при u_ш≥ u

mu _ш²/ 2 = MV_д²/ 2 + mυ_ш²/ 2 + A,(2)

где А — работа против сил трения, причем при u_ш> u V_д< v_ш, а при u_ш=u V_д=v_ш. Учитывая, что по условию M/m=k, из (1) и (2) при u_ш=u после алгебраических преобразований получим

, (3)

а так как при u_ш=nu из (1) следует, что

υ_ш² = n²и² + k²V_д² — 2nkи V_д (4)

искомая скорость доски должна удовлетворять уравнению

k (k + 1) V_д² — 2nkиV_д + kи²/(k + 1) = 0. (5)

Очевидно, что при n→∞ время взаимодействия шайбы с доской должно стремиться к нулю и, следовательно, искомая скорость доски по мере увеличения n (после того, как оно превысит некоторое критическое значение) должна уменьшаться (в пределе до нуля). Поэтому из двух возможных решений уравнения (5) условиям задачи удовлетворяет

Источник

Введение[править]

Неупругие столкновения[править]

Задача № 1[править]

Задача № 2[править]

Задача № 3[править]

Упругие столкновения[править]

Задача № 4[править]

Задача № 5[править]

Задача № 6[править]

Задача № 7[править]

Задача № 8[править]

Центр масс системы материальных точек. Теорема Кёнига[править]

Задача № 9[править]

Законы сохранения импульса и энергии в микромире[править]

Задача № 10[править]

Задача № 11[править]

Задача № 12[править]

Задача № 13[править]

Комментарии

Правила форума

Кто сейчас на конференции

Не пропустите также: