Как найти скнф для кнф

Для любой логической формулы можно построить бесконечное количество равносильных ей формул. Для этого потребуется произвести некоторое количество тождественных преобразований. Одной из главных задач в алгебре логики является нахождение канонических форм формул. Проще говоря таких, которые построены по одному канону (правилу).

Форма представления какой-либо логической функции будет считаться нормальной, если она выражена через конъюнкцию, дизъюнкцию, а также отрицание переменных. Среди всех нормальных форм можно выделить совершенно нормальные. Это тот случай, когда функция может быть записана только одним единственным способом.

Классы СКНФ и СДНФ

В при решении задач в алгебре логики особая роль отводится классам конъюнктивных и дизъюнктивных совершенно нормальных форм. Они основаны на стандартных понятиях элементарной конъюнкции и дизъюнкции.

СКНФ

Форма любой логической формулы нормального типа не может содержать знаки эквивалентности, импликации, а также отрицания неэлементарных формул. Она может существовать только в двух видах:

• КНФ – конъюнктивная нормальная форма, представляющая собой конъюнкцию нескольких дизъюнкций. К примеру, [(A vee bar{B} vee C) wedge(A vee C)];
• ДНФ – дизъюнктивная нормальная форма, которая является дизъюнкцией нескольких конъюнкций. К примеру, [(A wedge bar{B} wedge C) vee(A wedge C)].

Правила построения СКНФ

В алгебре логики для любого набора переменных, при котором конечное значение функции становится нулевым, можно записать сумму. При этом переменные, имеющие числовые значение больше единицы, должны браться с отрицательным знаком.

Построение должно осуществляться по следующему алгоритму:

1. В таблице нужно отметить такие наборы переменных, при которых [f=1].
2. Для каждого выбранного набора переменных записываем КНФ, при этом если значение какой-либо из них равно 1, то она включается в неизменном виде, иначе – ее отрицание.
3. На последнем этапе все полученные конъюнкции следует связать операциями дизъюнкции.

СНДФ

Любую булеву формулу в алгебре логики, не являющуюся тождественно ложной, можно представить в виде СНДФ, но только в одном единственном виде.

Правила построения СДНФ

Если существует определённый набор переменных, при котором значение функции равно единице, то можно записать произведения, учитывая, что переменные, значение которых больше нуля, нужно брать с отрицанием.

Алгоритм построения будет следующим:

1. В таблице отмечаются все те наборы переменных, при которых [f=0]
2. Для каждого отмеченного набора всех переменных записывается ДНФ, при этом если значение какой-либо из них равно нулю, то включается сама переменная, в любом другом случае ее нужно инвертировать.
3. В конце все полученные дизъюнкции связываются друг с другом операциями конъюнкции.

Примеры нахождения СКНФ и СДНФ

Рассмотрим несколько примеров нахождения СКНФ и СДНФ с помощью данных таблицы истинности.

КНФ

Простая дизъюнкция

• полная, если в неё каждая переменная (или её отрицание) входит ровно один раз;
• монотонная, если она не содержит отрицаний переменных.

Пример КНФ:

СКНФ

Пример СКНФ:

Алгоритм построения СКНФ по таблице истинности

1. В таблице истинности отмечаем те наборы переменных, на которых значение функции равно .
2. Для каждого отмеченного набора записываем дизъюнкцию всех переменных по следующему правилу: если значение некоторой переменной есть , то в дизъюнкцию включаем саму переменную, иначе ее отрицание.
3. Все полученные дизъюнкции связываем операциями конъюнкции.

Пример построения СКНФ для медианы

Построение СКНФ для медианы от трех аргументов

1. В таблице истинности отмечаем те наборы переменных, на которых значение функции равно .

2. Для каждого отмеченного набора записываем конъюнкцию всех переменных по следующему правилу : если значение некоторой переменной есть , то в дизъюнкцию включаем саму переменную, иначе ее отрицание.

3. Все полученные дизъюнкции связываем операциями конъюнкции.

Построение СКНФ для медианы от пяти аргументов

Примеры СКНФ для некоторых функций

Стрелка Пирса:

Исключающее или:

См. также

• Специальные формы КНФ
• ДНФ

Источники информации

• Википедия — СКНФ
• Е.Л Рабкин, Ю.Б. Фарфоровская — Дискретная математика

Нормальная форма логической формулы не содержит знаков импликации, эквивалентности и отрицания неэлементарных формул.

Нормальная форма существует в двух видах:

1. конъюнктивная нормальная форма (КНФ) — конъюнкция нескольких дизъюнкций, например, $left(Avee overline{B}vee Cright)wedge left(Avee Cright)$;

2. дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) — дизъюнкция нескольких конъюнкций, например, $left(Awedge overline{B}wedge Cright)vee left(Bwedge Cright)$.

СКНФ

Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) — это КНФ, удовлетворяющая трем условиям:

• не содержит одинаковых элементарных дизъюнкций;

• ни одна из дизъюнкций не содержит одинаковых переменных;

• каждая элементарная дизъюнкция содержит каждую переменную из входящих в данную КНФ.

Любая булева формула, которая не является тождественно истинной, может быть представлена в СКНФ.

Правила построения СКНФ по таблице истинности

Для каждого набора переменных, при котором функция равна 0, записывается сумма, причем переменные, которые имеют значение 1, берутся с отрицанием.

СДНФ

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) — это ДНФ, удовлетворяющая трем условиям:

• не содержит одинаковых элементарных конъюнкций;

• ни одна из конъюнкций не содержит одинаковых переменных;

• каждая элементарная конъюнкция содержит каждую переменную из входящих в данную ДНФ, к тому же в одинаковом порядке.

Любая булева формула, которая не является тождественно ложной, может быть представлена в СДНФ, к тому же единственным образом.

Правила построения СДНФ по таблице истинности

Для каждого набора переменных, при котором функция равна 1, записывается произведение, причем переменные, которые имеют значение 0 берут с отрицанием.

Примеры нахождения СКНФ и СДНФ

Любая булева
функция может иметь много представлений
в виде ДНФ и КНФ. Особое место среди этих
представлений занимают совершенные
ДНФ (СДНФ) и совершенные КНФ (СКНФ).

Совершенная
дизъюнктивная нормальная форма
(СДНФ) – это ДНФ, в которой в каждый
конъюнктивный одночлен каждая переменная
х_iиз
набора f(х₁,
х₂,
…, х_п)входит
ровно один раз, причем входит либо сама
х_iлибо
ее отрицание
.

Конструктивно
СДНФ для каждой формулы алгебры
высказываний, приведенной к ДНФ, можно
определить так:

Совершенной
дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ)
формулы алгебры высказываний называется
ее ДНФ, обладающая следующими свойствами:

1. ДНФ не содержит
   двух одинаковых конъюнкций.

2. Ни
   одна конъюнкция не содержит одновременно
   двух одинаковых переменных.

3. Ни
   одна конъюнкция не содержит одновременно
   некоторую переменную и ее отрицание.

4. Каждая
   конъюнкция содержит либо переменную
   х_iлибо
   ее отрицание
   для
   всех переменных, входящих в формулу.

Конструктивно
СКНФ для каждой формулы алгебры
высказываний, приведенной к КНФ, можно
определить так:

Совершенной
конъюнктивной нормальной формой (СКНФ)
данной формулы алгебры высказываний
называется такая ее КНФ, которая
удовлетворяет следующим свойствам:

1. КНФ не содержит
   двух одинаковых дизъюнкций.

2. Ни одна из дизъюнкций
   не содержит одновременно двух одинаковых
   переменных.

3. Ни
   одна из дизъюнкций не содержит
   одновременно некоторую переменную и
   ее отрицание.

4. Каждая
   дизъюнкция СКНФ содержит либо переменную
   х_iлибо
   ее отрицание
   для
   всех переменных, входящих в формулу.

Сформулируем
следующие теоремы:

Теорема
1:
Произвольную
булеву функциюМожно
задать формулой где
дизъюнкция берется по всем
где и

Теорема
2: Произвольную
булеву функциюможно
задать формулой где
конъюнкция берется по всем где
и

Эти
формулы называются соответственно
совершенной дизъюнктивной нормальной
формой или совершенной конъюнктивной
нормальной формой булевой функции
Исходя из таблицы истинности булевой
функции, можно построить СДНФ функции:
для каждого набора ,
такого что ,
составляется конъюнкция
, а затем все эти конъюнкции соединяем
знаком дизъюнкции.

Для
построения СКНФ функции выписываем
наборы такие,
что .
Для такого набора составляется
дизъюнкция
а затем все такие дизъюнкции соединяют
знаком конъюнкции.

Приведенные
формулы позволяют сформулировать
следующие утверждения:

1. Каждая
   булева функция от nпеременных,
   отличная от константы 0, имеет
   единственную СДНФ.

2. Каждая
   булева функция от п
   переменных,
   отличная от константы 1, имеет
   единственную СКНФ.

Эти
утверждения называются теоремой
о функциональной полноте.

1.4 Многочлены Жегалкина

Согласно
сформулированным утверждениям, можно
говорить, что система булевых функций
полна. Тогда любую булеву функцию можно
представить в виде многочлена от своих
переменных и такой многочлен называется
многочленом Жегалкина.

Многочленом
Жегалкина называется многочлен,
являющийся суммой константы и различных
одночленов, в которые каждая из переменных
входит не выше, чем в первой степени.

Многочлен
Жегалкина константы равен самой же
константе; многочлен Жегалкина булевой
функции одной переменной многочлен
Жегалкина булевой функции двух переменных

Многочлен
Жегалкина булевой функции трех переменных

и
т. д. Коэффициенты и
свободный член принимают
значения 0 или 1 , а число слагаемых в
формуле равно
, где n-
число переменных. Знак
— сумма Жегалкина или сумма по модулю
два.

Теорема
3(Жегалкина):
Каждая булева функция может
быть представлена в виде многочлена
Жегалкина и притом единственным образом,
с точностью до порядка слагаемых.

Сформулируем
алгоритм построения многочлена Жегалкина.
Выше былоуказано, что любую функцию,
отличную от константы 0, можно представить
в виде СДНФ. Если сравним таблицы
истинности дизъюнкции и суммы по модулю
два, видим, что они отличаются только
последней строкой, т.е. на наборе 11. Так
как в СДНФ на каждом наборе только одна
конъюнкция равна 1, то все дизъюнкции
можно заменить суммами по модулю два.
Кроме того, известно, что
. На этом и основан первый алгоритм
построения многочлена Жегалкина:

1. Находим
   множество тех двоичных наборов, на
   которых функция принимает значение 1.

2. Составляем
   СДНФ.

3. В
   СДНФ каждый знак дизъюнкции меняем на
   знак суммы Жегалкина.

4. Упрощаем,
   если можно, полученное выражение,
   используя тождество
   .

5. В
   полученной формуле каждое отрицание
   
   заменяем на

6. Раскрываем
   скобки в полученной формуле, содержащей
   только функции
   и и
   константу 1.

7. Приводим
   подобные члены, используя тождество
   

Используя метод
неопределенных коэффициентов, получаем
второй алгоритм определения многочлена
Жегалкина:

1. Составляем
   систему линейных уравнений относительно
   неизвестных
   коэффициентов, содержащих
   уравнений, решением которой является
   коэффициенты многочлена
   Жегалкина.

Многочлен Жегалкина
называется нелинейным, если он содержит
конъюнкции переменных, а если он не
содержит конъюнкции переменных, то он
называется линейным.

Функция

называется линейной, если ее многочлен
Жегалкина имеет вид
, и нелинейной в противном случае.

Из
определения многочлена Жегалкина
следует, что для любой булевой функции
коэффициенты при переменных
и свободный член вычисляются по формулам:

…

На этом основан
алгоритм определения линейности(или
нелинейности) булевой функции.

1. По
   таблицам истинности булевой функциии
   выше указанным формулам находим
   коэффициенты: ().

2. Выписываем
   многочлен и
   проверяем, задает ли он эту функцию.
   Для этого строим таблицу истинности
   многочлена
   и сравниваем ее с таблицей истинности
   функции .

Если
таблицы истинности совпадают, то функция

линейная и –
ее многочлен Жегалкина. В противном
случае функция нелинейная.

1. Примеры решения
   задач

Задача
1. Составьте
таблицу истинности булевой функции
трех переменных и
найдите ее двоичный набор.

Решение:
Для вычисления значений функции следует
определить порядок выполнения операций.
Это можно сделать многими способами.
Пусть, например, порядок выполнения
операций будет следующим:

Последовательно
составляются таблицы истинности всех
указанных функций.

Лексикографическое
упорядочение наборов в таблице истинности
булевой функции позволяет задать функцию
двоичным набором длины 2ⁿ,
который будем обозначать буквой F.
Двоичный
набор данной функции F = 11111111.
Отметим, что двоичный набор определяет
булеву функцию в том и только в том
случае, когда его длина есть степень
двойки, а соответствующий показатель
степени определяет число переменных
данной функции.

Задача
2. Докажите
тождественную истинность формулы.

Решение:
Необходимо показать, что двоичный набор
данной формулы F=1111.

Составим
таблицу истинности:

Задача 3.
Докажите эквивалентность функций:
и

Решение:
Для
доказательства необходимо построить
таблицы истинности этих функций, и если
их двоичные наборы совпадут, то
эквивалентность будет доказана.

Получаем
Значит,
функции эквивалентны.

Задача
4. Используя
СДНФ, найдите булеву функцию, принимающую
значение 1 на следующих наборах переменных,
и только на них:

Решение:
Алгоритм
построения СДНФ.

1. Наборам 010; 101; 111
   соответствуют конъюнкции:

Напомним,
что для каждого набора из нулей и единиц

выписываем конъюнкцию ,
причем, если
, то соответствующая переменная входит
в конъюнкцию без отрицания.

1. Составим дизъюнкцию
   полученных конъюнкций, т. е. составляем
   СДНФ функции:

Задача
5. Составьте
СКНФ функции

Решение:

1. Выпишем
   
   булева функция принимает значение 0 на
   наборах (0;0) и (1;1).

2. Составим
   дизъюнкции, соответствующие этим
   наборам:
   
   (если
   то переменная входит в дизъюнкцию без
   отрицания, если ,
   то переменная в дизъюнкции берется с
   отрицанием).

3. Составим конъюнкцию
   полученных дизъюнкций, т. е. составляем
   СКНФ функции

.

Задача
6. Постройте
КНФ функций и доказать тождественную
истинность с помощью таблицы истинности:

а)

б)

Решение
:Напомним
процедуру построения КНФ.

1. Исключаем
   связку с
   помощью законов преобразования
   переменных:

.

1. Исключение
   двойное отрицания с помощью правила
   и
   используем законы де Моргана:
   или

2. Для
   получения нормальной формы используем
   дистрибутивные законы:

а)

б)

Таблица
истинности для функции ( б ):

Задача
7. Приведите
к ДНФ формулу

Решение:
Выразим логические операции

Используя закон
дистрибутивности, приводим формулу к
ДНФ:

Задача 8.
Приведите
к КНФ формулу.

Решение:
Преобразуем
формулу f
к формуле, не содержащей :

В
полученной формуле перенесем отрицание
к переменным и сократим двойные отрицания:

По
закону дистрибутивности получим:
, являющейся КНФ.

Замечание.
Если полученную
формулу упростить, используя законы
дистрибутивности, эквивалентности и
поглощения, то получим:

Таким образом, мы
получили формулу, которая является
одновременно ДНФ и КНФ.

Задача 9.
Найдите СДНФ и СКНФ функции заданной
следующей таблицей истинности:

Решение:
По теореме
о функциональной полноте СДНФ имеет
вид:

СКНФ имеет вид:

Описанный
способ нахождения СДНФ и СКНФ по таблице
истинности бывает часто более трудоемким.
Для нахождения СДНФ данную формулу
приводим сначала к ДНФ, а затем
преобразовываем ее конъюнкции с помощью
следующих действий:

А)
если в конъюнкцию входит некоторая
переменная со своим отрицанием, то мы
удаляем эту конъюнкцию из ДНФ;

Б) если в конъюнкцию
одна и та же переменная входит несколько
раз, то все они удаляются, кроме одной;

В)
если в конъюнкцию не входят некоторые
переменные, то для каждой из них к
конъюнкции добавляется соответствующая
формула вида;

Г) если в полученной
ДНФ имеется несколько одинаковых
конъюнкций, то оставляем только одну
из них.

В результате
получается СДНФ.

Задача 10.
Найдите СДНФ
для ДНФ

Решение:

1. Удаляем
   конъюнкцию
   так как здесь переменная вместе со
   своим отрицанием. Остается

2. Из
   конъюнкции
   удаляем переменную у,
   так как она входит сюда два раза. Остается
   

3. В
   первой конъюнкции нет переменной y,
   поэтому к ней добавляется формула
   а во второй конъюнкции нет переменной
   x,
   поэтому к ней добавляется формула
   Получаем:

4. Используем
   дистрибутивные законы:

5. К
   первой и второй конъюнкциям добавляеми
   получаем:

1. Используем
   дистрибутивные законы:

1. В
   полученной формуле имеется две одинаковые
   конъюнкции:
   .Удалив одну из них, получим:

В итоге мы получили
соответствующую СДНФ.

Задача 11.
Найдите СКНФ
для КНФ.

Решение:
Опишем
алгоритм приведения КНФ к СКНФ аналогично
вышеизложенному приведению ДНФ к СДНФ.

1. Во
   второй дизъюнкции не хватает переменной
   y,
   поэтому в дизъюнкцию добавими,
   используя дистрибутивные законы,
   получаем:

.

1. В
   третью дизъюнкцию добавим
   и получим две дизъюнкции:

Добавив в каждую из них
, получим:

1. Соберем
   в конъюнкцию все дизъюнкции:

1. Избавимся
   от одинаковых дизъюнкций, оставляя
   только одну. В результате получаем
   СКНФ:

Задача
12. Задана
булева функция трех переменных:

А)
Постройте таблицу истинности, найдите
двоичную форму F
булевой
функции и приведите функцию к СДНФ и
СКНФ.

Б) найдите двумя
способами многочлен Жегалкина.

Решение:

А)

.

Двоичная
форма F=11000100.

Наборы
,где

СДНФ
функции

Наборы

, где .

СКНФ функции

Б)
Построим многочлен Жегалкина первым
способом:

выписываем СДНФ
функции

заменяем
знак дизъюнкции на знак суммы Жегалкина

Вынесем
из первой и второй конъюнкции
:

Проделаем
замены:

.

Далее раскроем
скобки:

Итак, мы получили
многочлен Жегалкина:

Построим
многочлен Жегалкина методом неопределенных
коэффициентов, для этого составим
следующие восемь уравнений:

Составим многочлен
Жегалкина:

Задача
13. Проверьте
на линейность функцию ,
если ее двоичный набор F=11100001.

Решение.
Применяем
к функции алгоритм
проверки на линейность.

1. Вычисляем
   коэффициенты
   многочлена Жегалкина для данной функции:

1. Вычисляем
   многочлен

Очевидно,
что двоичный набор F=11110000
многочлена

не совпадает с двоичным набором булевой
функции, следовательно, функция
не линейна.

Задача
14. Докажите,
что булева функция ,
заданная таблицей истинности линейна.

Решение.
Снова применим
алгоритм определения линейности булевой
функции.

1. Вычисляем
   коэффициенты
   многочлена Жегалкина функции

1. Таким
   образом,

2. Достроим
   в таблице истинности последний столбик
   для ,
   напомним, что

3. Столбики
   для
   и
   совпали. Следовательно, функция
   -линейна.

Задача
15. Задана
булева функция трех переменных

С помощью
эквивалентных преобразований приведите
функцию к ДНФ, КНФ, СДНФ, СКНФ.

Решение.
Заменяем,

,

тогда

ДНФ

КНФ

Строим
СДНФ, для этого из ДНФ удаляем вторую
конъюнкцию ,
а в третью конъюнкцию добавляем ,
тогда:

,

т.е.
получили СДНФ функции

Строим
СКНФ, для этого из КНФ удаляем третью
дизъюнкцию, а к первой добавляем :

Добавляем
к первой и второй дизъюнкциям

Получили СКНФ
функции

1. Индивидуальные
   задания для самостоятельной работы

Задачи
1 − 25. Постройте
таблицу истинности функции. С помощью
эквивалентных преобразований приведите
функцию к ДНФ, КНФ, СДНФ, СКНФ. Составьте
двумя способами полином Жегалкина и
проверьте линейность функции:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

1. Самостоятельные
   вопросы

1. Что
   называется высказыванием?

2. Приведите
   пример высказываний. Какое высказывание
   называется истинным, а какое ложным?

3. Что
   называется составным высказыванием?

4. Перечислите
   виды логических операций над высказываниями
   и сформулируйте их определение.

5. Какие
   основные символы используются в теории
   высказываний?

6. Какие
   связки простейшие? Назовите другие
   связки.

7. Что
   такое таблица истинности высказывания
   и как она строится? Как еще называется
   эта таблица?

8. Какие
   существуют логические отношения между
   высказываниями?

9. Перечислите
   варианты импликации.

1. Сформулируйте
   основные законы алгебры высказываний.
   Как их доказать?

2. Что
   такое булева функция?

3. Как
   строится таблица истинности для булевых
   функций?

4. Что
   такое ДНФ и КНФ?

5. Дайте
   определение совершенного одночлена.

6. Приведите
   правило преобразования формул в СДНФ
   и СКНФ.

7. Как
   булевы функции связаны с формулами
   алгебры высказываний?

8. Дайте
   определение многочлена Жегалкина и
   сформулируйте теорему Жегалкина.

9. Сформулируйте
   первый алгоритм построения многочлена
   Жегалкина булевой функции.

10. В
    чем состоит метод неопределенных
    коэффициентов для построения многочлена
    Жегалкина?

11. Какой
    многочлен Жегалкина называется
    нелинейным?

12. Каков
    алгоритм определения линейности
    (нелинейности) булевой функции?