Как найти скалярное произведение функций - Autoru.top

Федеральное
агентство по образованию

Государственное
образовательное учреждение высшего
профессионального образования
Санкт-Петербургский государственный
горный институт им. Г.В.Плеханова

(технический
университет)

А.П. Господариков,
Г.А. Колтон,
С.А. Хачатрян

Ряды фурье. Интеграл
Фурье.

Операционное
исчисление

Учебно-методическое
пособие

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

2005

УДК 512 + 517.2 (075.80)

ББК 22.161.5

Г723

Учебно-методическое
пособие дает возможность получить
практические навыки анализа функций с
помощью разложения в ряд Фурье или
представления интегралом Фурье и
предназначено для самостоятельной
работы студентов дневной и заочной форм
обучения специальностей.

В пособии рассмотрены
основные вопросы операционного исчисления
и широкий класс технических задач с
применением основ операционного
исчисления.

Научный
редактор проф.
А.П. Господариков

Рецензенты:
кафедра высшей математики № 1
Санкт-Петербургского государственного
электротехнического университета;
доктор физ.-мат. наук В.М. Чистяков
(Санкт-Петербургский государственный
политехнический университет).

Господариков
А.П.

Г723.
Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное
исчисление: Учебно-методическое
пособие /
А.П. Господариков,
Г.А. Колтон,
С.А. Хачатрян;
Санкт-Петербургский государственный
горный институт (технический университет).
СПб,
2005. 102 с.

ISBN 5-94211-104-9

УДК
512 + 517.2 (075.80)

ББК
22.161.5

ISBN
5-94211-104-9

 Санкт-Петербургский
горный

институт им. Г.В.Плеханова,
2005 г.

Введение

Из
теории Фурье известно, что при некотором
воздействии на физические, технические
и другие системы, его результат повторяет
форму начального входного сигнала,
отличаясь только масштабным коэффициентом.
Понятно, что на такие сигналы (их называют
собственными) система реагирует наиболее
простым образом. Если произвольный
входной сигнал есть линейная комбинация
собственных сигналов, а система линейна,
то реакция системы на этот произвольный
сигнал есть сумма реакций на собственные
сигналы. И поэтому полную информацию о
системе можно получить по «кирпичикам»
– откликам системы на собственные
входные сигналы. Так поступают, например,
в электротехнике, когда вводят частотную
характеристику системы (передаточную
функцию). Для наиболее простых линейных,
инвариантных во времени систем (например,
описываемых обыкновенными дифференциальными
уравнениями с постоянными коэффициентами)
в некоторых случаях собственными
функциями являются гармоники вида
.
Таким образом можно получить и результат
произвольного воздействия на систему,
если последний будет представлен в виде
линейной комбинации гармоник (в общем
случае, в виде ряда Фурье или интеграла
Фурье). Вот одна из причин, по которой в
теории и приложениях возникает потребность
применения понятия тригонометрического
ряда (ряда Фурье) или интеграла Фурье.

Глава 1. Ряды фурье

§ 1. Векторные пространства

Здесь
приведены краткие сведения из векторной
алгебры, необходимые для лучшего
понимания основных положений теории
рядов Фурье.

Рассмотрим
множество 
геометрических векторов (векторное
пространство), для которого обычным
образом введены понятие равенства
векторов, линейные операции (сложение
и вычитание векторов, умножение вектора
на число) и операции скалярного умножения
векторов.

Введем
в пространстве 
ортогональный базис, состоящий из трех
попарно ортогональных векторов
,и.
Произвольный векторявляется линейной комбинацией векторов
базиса:

.
(1.1)

Коэффициенты
_i
(i = 1, 2, 3),
называемые координатами вектора
относительно базиса,
могут быть определены следующим образом.
Скалярное произведение вектораи одного из векторов базиса

В
силу ортогональности базиса скалярные
произведения
при,
следовательно, в правой части последнего
равенства отлично от нуля лишь одно
слагаемое, соответствующее,
поэтому,
откуда

,
(1.2)

где
.

Если
векторы
изаданы своими координатамии,
то их скалярное произведение

Так
как при
скалярное
произведение,
то в двойной сумме отличны от нуля лишь
слагаемые с равными индексами, поэтому

.
(1.3)

В
частности при
из (1.3) следует

.
(1.4)

§ 2. Скалярное произведение и норма функций

Обозначим
символом
множествофункций,
кусочно-непрерывных
на промежутке [a, b],
т.е. функций, имеющих на промежутке
[a, b]
конечное число точек разрыва первого
рода и непрерывных во всех остальных
точках этого промежутка.

Скалярным
произведением функций
называется число

Свойства
скалярного произведения функций
полностью
совпадают со свойствами скалярного
произведения векторов:

1.
.

2.
.

3.
.

4.
;.

Таким
образом, скалярное произведение линейно
зависит от своих компонентов. Это
свойство называется билинейностью
скалярного произведения.

Функции

называются
ортогональными
на [a, b],
если
.

Нормой
функции
на промежутке
[a, b]
называется неотрицательное число
,
квадрат которого равен скалярному
произведению функции

на себя:

Свойства
нормы функции
во многом совпадают со свойствами модуля
вектора:

1.
.

2. Если
функция
непрерывна на [a, b]
и
,
то.
Так как,
то при

откуда
.
Дифференцируя последнее соотно- шение
пои применяя теорему Барроу, получими, сле-довательно,.

3. теорема
косинусов
..

Следствие.
Если
,
то(теорема Пифагора).

4. Обобщенная
теорема Пифагора. Если
функции
(k =
= 1, 2, …, n)
попарно ортогональны на промежутке
,
то

Используя
свойство билинейности скалярного
произведения, получим

В
силу ортогональности функций
скалярные произведенияпри,
поэтому

5. неравенство
Коши – Буняковского
,
или, что то же самое,

При
любых вещественных

Таким
образом, квадратный трехчлен в левой
части последнего не-равенства сохраняет
знак на всейвещественнойоси, следовательно,
его дискриминант
.

Упражнение 1. Доказать
свойства скалярного произведе-ния
функций 1-3.

Упражнение 2. Показать
справедливость следующих ут-верждений:

а) функция
ортогональна функциям
ина промежуткепри любых целыхk
и m;

б) при
любых целых k
и m
функции
иортогональны
на промежутке;

в) функции
и,
а такжеиприортогональны на промежуткахи;

г) функции
ине ортогональны на промежутке.

Упражнение 3. Используя
свойство нормы 5, доказать неравенство
треугольника

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

проверено. буква E смотрится странно

Определение 1. Пусть $ V $ — векторное пространство над полем или . Билинейная форма называется скалярным произведением¹⁾, если выполнены условия:

Симметричность: для всех ;
Положительная определенность: для всех , и обращается в нуль, лишь если .

Часто для скалярного произведения векторов $ x $ и $ y $ вместо используют обозначение $(x,y)$ или .

Пример 1. На пространстве непрерывных функций можно задать скалярное произведение $(f,g)=int_{a}^{b}f(x)g(x)textrm{d}x$ .

Пример 2. На пространстве $mathbb{R}^n$ скалярное произведение задается формулой: , где и — разложение векторов по стандартному базису .

Определение 2. Евклидовым векторным пространством²⁾ называется векторное пространство над полем с фиксированным скалярным произведением $(,)$ .

Пример 3. Пространство $mathbb{R}^n$ является евклидовым пространством. Скалярное произведение здесь можно задать формулой из примера 2.

Определение 3. Пусть $ E $ — евклидово пространство. Для любого $vin E$ число называется длиной, или нормой вектора $ v $ .

Предложение 1 (Неравенство Коши-Буняковского). Для произвольных векторов $x,y$ из евклидова пространства $ E $ справедливо неравенство
.

Пример 4. В случае, когда евклидово пространство — это пространство непрерывных на отрезке $[a,b]$ вещественнозначных функций³⁾, неравенство Коши-Буняковского имеет вид
$|int_{a}^{b}f(x)g(x)textrm{d}x|leqslantsqrt{int_{a}^{b}f^2(x)textrm{d}x}cdotsqrt{int_{a}^{b}g^2(x)textrm{d}x}$ .

Определение 4. Векторы $x,y$ из евклидова пространства $ E $ называются ортогональными⁴⁾, если .

Источник

Студент
не посудина, которую надо заполнить, а факел, который надо зажечь.

Скалярное
произведение

1.
Определение

Скалярное произведение –
это функционал типа , т. е. любым векторам ставится в соответствие пара . (Аргументы – это векторы, значение
– число.)

–
функция, – преобразование, – функционал

При
этом выполняются аксиомы:

1.
–
симметрия (коммутативность),

2.
–однородность.
В силу симметрии .

3.
– аддитивность. Следовательно, , т. к. .

4.
и – неотрицательность.

Рассмотрим
примеры скалярных произведений в различных пространствах.

· Скалярное произведение в арифметическом
пространстве .

Определим скалярное произведение
следующим образом: .

Очевидно, что все свойства скалярного
произведения выполнены.

Замечание. Можно ввести скалярное произведение следующим
образом , где .
Какими свойствами должна обладать матрица ?

· Скалярное произведение в геометрическом
пространстве .

Определим скалярное произведение , но если только знаем длину, и какой
угол. Что такое длина?

3 свойство выполнено или нет – это большой вопрос.

, следовательно, .

Т. к. проекция суммы есть сумма проекций:

, то перед нами скалярное произведение.

· Скалярное произведение в пространстве функций .

Определим . Аксиомы
выполнены по свойствам интеграла, а значит, перед нами скалярное произведение.

2.
Неравенство Коши – Буняковского

Рассмотрим скалярное произведение в силу 4 свойства. Раскроем скобки,
используя свойства аддитивности и однородности: –
квадратный трехчлен относительно , который
неотрицателен для , следовательно, .

или
– неравенство Коши – Буняковского,
которое еще записывается в виде: .

Неравенство выполняется в любом линейном пространстве,
т. к. выводится только из свойств скалярного произведения. Знак равенства в том
случае, если или равны
, или ( и одного
направления).

Рассмотрим, какой вид примет данное неравенство в
конкретных линейных пространствах.

· В арифметическом пространстве .

– неравенство
Коши.

· В пространстве функций .

– неравенство
Буняковского (Шварца).

Этими неравенствами будем пользоваться и отдельно
доказывать не будем, т. к. мы доказали его для любого линейного пространства.

В некоторых учебниках можно найти вывод этих
неравенств отдельно для каждого пространства.

3.
Норма вектора и угол между
векторами

Норма элемента ,
обозначается , – это функционал типа , который удовлетворяет свойствам:

1.
, – неотрицательность,

2.
–
однородность,

3.
–
неравенство Минковского (треугольника).

Определим пока норму элемента следующим образом: . Очевидно, что свойства 1 и 2
выполняются. Проверим выполнение неравенства треугольника. По определению

(второе слагаемое неположительное по неравенству Коши
– Буняковского).

Норму ассоциируют как длину.

Линейное пространство со скалярным
произведением называют Евклидовым. Если определена норма, то нормированным.

Замечание. Норму можно
ввести и другими способами, главное, чтобы она удовлетворяла свойствам нормы.
Если норма появилась как следствие скалярного произведения, то норма называется
евклидовой.

Упражнение. Докажите, что
норма евклидова .
Каким скалярным произведением она порождается?

Если
мы определим норму как , то неравенство
Коши – Буняковского примет вид: .

Определим угол между
векторами следующим образом .

Определение
корректно, т. к. в силу неравенства Коши – Буняковского: , то –
косинус некоторого угла.

Тогда
.

Примеры.

· : , .
.

Вычислим угол: , , тогда .

Если система координат декартова (единичные векторы
обозначаем как ):

, то

Если система координат криволинейна?

То , тогда , где –
некоторая матрица.

· .

, . Найдем нормы: , .
, тогда угол между функциями: .

4. Ортогональность

Элементы ортогональны,
если .

Т.
к. , то из определения следует что, либо
, либо ,
либо .

Примеры.

· . , .

, следовательно .

Вставить рисунок

· Типовая задача 1. Вычислить все элементы ,
ортогональные .

.
Обозначим . По определению . –
однородная система ранга 1.

Т.
о. . Геометрический образ – это
плоскость.

5. Типовые задачи

· Типовая задача 2. Нормировать элемент линейного пространства.

Т.
е. представить его в виде , где – единичный вектор (орт), того же
направления, что и . Вычислим норму элемента : (т.
к. ).,
т. е. .

Значит,
.

Пример. ,
. Следовательно, .

· Типовая задача 3. Вычислить
угол между элементами .

. Т. е. угол – это разница между направлениями
и от длин не зависит (как в геометрическом пространстве).

· Типовая задача 4. Вычислить
длину проекции элемента на направление
.

– проекция на . Вектор –
расстояние от вектора до . Тогда

– коэффициенты Фурье.

· Типовая задача 5. Вычислить
проекцию элемента на направление .

– проекция элемента на направление . Тогда расстояние
от вектора до .

Замечание. Проекция – это
вектор, длина проекции – это число.

6. Метрика линейного пространства

Пусть – линейное
пространство. Всякое линейное пространство можно задать как линейную оболочку
некоторой линейно независимой системы : , тогда любой элемент линейного
пространства можно представить линейной комбинацией векторов . Пусть ,
.

Найдем скалярное произведение:

(раскроем,
используя свойства)

– общий случай скалярного
произведения.

– называется
матрицей Грама.

– это
арифметический объект. Он и называется тензором скалярного произведения или
метрическим тензором.

В тензорном виде: .

· Типовая задача 6. Вычислить
скалярное произведение.

Если
, то ,
тогда .

Если
, то элементы и
ортогональны.

Пример.

В
дан метрический тензор . Вычислить скалярное произведение
векторов и

1)
в системе , 2) в системе .

1).
.

2).
, следовательно .

Зачем нужен базис? Чтобы сопоставить векторам их координаты,
т. е. арифметику (мы умеем работать с числами). Вводя матрицу , мы навязываем арифметическому
пространству геометрию.

Пример. Дан базис в
геометрическом пространстве:

Найти метрический тензор.