Как найти синусы углов произвольного треугольника

Я так понял, что задача сводится к тому, что нам неизвестен угол треугольника, и нам нужно его найти.

Для того чтобы найти синус угла, а затем и сам угол в произвольном треугольнике, необходимо знать длины двух сторон: стороны, противолежащей искомому углу, и какой-либо другой стороны — и ещё величину угла, противолежащего этой последней стороне.

А затем нужно применить теорему синусов.

Обозначим искомый (неизвестный) угол как A, противолежащую сторону — a, другую известную сторону — b, известный противолежащий этой стороне угол — B.

По теореме синусов: a/sin(A) = b/sin(B).

Отсюда: sin(A) = a * sin(B)/b;

A = arcsin[a * sin(B)/b].

Содержание:

При изучении геометрии вы рассматривали отношения сторон в прямоугольном треугольнике и познакомились с понятиями синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла (рис. 28).

Построение синуса и косинуса произвольного угла

Построим точку

Рассмотрим прямоугольный треугольник в котором гипотенуза равна 1 (радиусу единичной окружности). По определению синуса и косинуса острого угла получим:

Таким образом, синус угла равен ординате точки а косинус угла равен абсциссе точки

Поскольку в тригонометрии рассматриваются углы то определим синус и косинус для любого угла

Определение синуса произвольного угла

Определение:

Синусом угла называется ордината точки полученной поворотом точки единичной окружности вокруг начала координат на угол

Определение косинуса произвольного угла

Определение:

Косинусом угла называется абсцисса точки полученной поворотом точки единичной окружности вокруг начала координат на угол

Для того чтобы найти синус и косинус произвольного угла нужно:

1. Построить точку единичной окружности.
2. Найти ординату точки
3. Найти абсциссу точки

Найдите синус и косинус угла

Значения синуса и косинуса произвольного угла с помощью единичной окружности в основном можно указать только приближенно.

Однако для некоторых углов значения синуса и косинуса можно указать точно. Определим значения синуса и косинуса для углов, которые соответствуют точкам пересечения окружности с осями координат Найдем Углу соответствует точка имеющая координаты По определению синус угла равен ординате точки значит, Косинус угла равен абсциссе точки т.е. (рис. 31).

Пользуясь определением синуса и косинуса угла получим, что:

Так как ординаты и абсциссы точек единичной окружности изменяются от -1 до 1, то значения синуса и косинуса произвольного угла принадлежат промежутку

Например, выясним, может ли принимать значения, равные:

Значения синуса произвольного угла принадлежат отрезку значит, может принимать значения, равные и так как и Поскольку то не может принимать значения, равные

По определению синуса и косинуса угла синус угла равен ординате точки а косинус угла равен абсциссе этой точки. Значит, знаки и совпадают со знаками ординаты и абсциссы точки соответственно.

Пример №1

Определите знак выражения:

Решение:

а) Так как — угол второй четверти (рис. 32), а ординаты точек единичной окружности, находящихся во второй четверти, положительны, то

б) Так как — угол третьей четверти (см. рис. 32), а абсциссы точек единичной окружности, находящихся в третьей четверти, отрицательны, то

в) Так как — угол третьей четверти (см. рис. 32), а ординаты точек единичной окружности, находящихся в третьей четверти, отрицательны, то

г) Так как — угол первой четверти (см. рис. 32), а абсциссы точек единичной окружности, находящихся в первой четверти, положительны, то

Из геометрии нам известны значения синусов и косинусов острых углов (см. табл.).

С помощью этих значений можно находить значения синусов и косинусов некоторых других углов

Пример №2

Вычислите:

Решение:

а) Отметим на единичной окружности точку Поскольку известно, что а то ордината точки равна а абсцисса этой точки равна

Точки единичной окружности симметричны относительно оси абсцисс (рис. 33), значит, их ординаты (синусы углов противоположны, а абсциссы (косинусы углов и равны. Таким образом, а

б) Так как то точки единичной окружности симметричны относительно оси ординат (рис. 34). Тогда их ординаты (синусы углов равны, а абсциссы (косинусы углов и противоположны. Значит,

в) Точки единичной окружности симметричны относительно начала координат (рис. 35), поскольку Тогда и их ординаты противоположны, и их абсциссы противоположны, т. е.

г) Поскольку то точки и единичной окружности совпадают (рис. 36), а значит, их координаты равны. Тогда

Пример №3

Вычислите:

Решение:

а) Так как то точка единичной окружности совпадает с точкой (рис. 37).

Поскольку

б) Точки единичной окружности симметричны относительно начала координат (см. рис. 37), а значит, их абсциссы (косинусы углов и отличаются только знаком. Так как

Пример №4

Постройте один из углов, если:

Решение:

а) Так как то на оси ординат отметим Проведем прямую, параллельную оси абсцисс, и найдем на единичной окружности точки ордината каждой из которых равна Отметим один из углов, соответствующих точкам или (рис. 38, а).

б) Так как то на оси абсцисс отметим 0,8. Проведем прямую, параллельную оси ординат, и найдем на единичной окружности точки и абсцисса каждой из которых равна 0,8. Отметим один из углов,соответствующих точкам или (рис. 38, б).

• Заказать решение задач по высшей математике

Примеры заданий и их решения:

Пример №5

Точка единичной окружности имеет координаты Используя определение синуса и косинуса произвольного угла, найдите

Решение:

Синусом угла называется ордината точки полученной поворотом точки единичной окружности вокруг начала координат на угол По условию ордината точки равна значит,

Косинусом угла называется абсцисса точки полученной поворотом точки единичной окружности вокруг начала координат на угол По условию абсцисса точки равна значит,

Пример №6

Если то угол может быть равен:

Выберите правильный ответ.

Решение:

Так как синусом угла называется ордината точки полученной поворотом точки единичной окружности вокруг начала координат на угол то нужно найти точку единичной окружности, ордината которой равна -1. Эта точка лежит на оси ординат, и из данных углов ей соответствует угол (рис. 39). Правильный ответ в).

Пример №7

Если то угол может быть равен:

Выберите правильный ответ.

Решение:

Так как косинусом угла называется абсцисса точки полученной поворотом точки единичной окружности вокруг начала координат на угол то нужно найти точку единичной окружности, абсцисса которой равна 0. Эта точка лежит на оси ординат, и из данных углов ей соответствует угол (рис. 40). Правильный ответ в).

Пример №8

Найдите значение выражения:

Решение:

а) Абсцисса точки соответствующей углу равна -1 (рис. 41), значит, Ордината точки соответствующей углу равна 1 (см. рис. 41), т. е. Значит,

б) ( рис. 42) тогда

Может ли быть равным:

Решение:

Поскольку

а) не может быть равным 1,2, так как

б) может быть равным 0,89, так как

в) не может быть равным так как

г) может быть равным так как

Пример №9

Определите знак выражения:

Решение:

а) так как — угол четвертой четверти, а косинус в четвертой четверти положителен;

б) так как — угол первой четверти, а косинус в первой четверти положителен;

в) так как угол второй четверти, а синус во второй четверти положителен;

г) так как 6 радиан — угол четвертой четверти, а синус в четвертой четверти отрицателен.

Пример №10

Сравните:

Решение:

а) Отметим на единичной окружности точки, соответствующие углам и сравним ординаты этих точек. Ордината точки больше ординаты точки (рис. 43), значит,

б) Сравним абсциссы точек единичной окружности Так как абсцисса точки больше абсциссы точки (рис. 44), то

Пример №11

С помощью единичной окружности найдите значение:

Решение:

а) Ордината точки равна ординате точки (рис. 45), поэтому

б) Абсцисса точки противоположна абсциссе точки (см. рис. 45), поэтому

Что такое синус в треугольнике? Как найти синус острого угла в прямоугольном треугольнике?

Определение.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

   Например,

для угла A треугольника ABC

противолежащий катет — это BC.

Соответственно, синус угла A в треугольнике ABC — это

   Для угла B треугольника ABC

противолежащим является катет AC.

Соответственно,  синус угла B в треугольнике ABC

равен отношению AC к AB:

Таким образом, синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это некоторое число, получаемое в результате деления длины противолежащего катета на длину гипотенузы. Длины отрезков выражаются положительными числами, поэтому синус угла треугольника также является положительным числом.

Поскольку длина катета всегда меньше длины гипотенузы, то синус острого угла прямоугольного треугольника — число, меньшее единицы.

Вывод:

Синус любого острого угла прямоугольного треугольника больше нуля, но меньше единицы:

Синус угла треугольника зависит не от длин сторон треугольника, а от отношения этих длин.

Например,

1) В треугольнике ABC катет BC=3 см, а гипотенуза AB=5 см.

Тогда

2) В треугольнике ABC катет BC=21 дм, гипотенуза AB=35 дм.

Тогда

Длины сторон треугольника изменилось, но отношения длин остались прежними, поэтому и значение синуса угла A не изменилось.

Угол A в обоих треугольниках одинаков.

Для нахождения элементов в произвольном треугольнике используется теорема синусов или теорема косинусов.

(в решении задачи одновременно пишутся две части, они образуют пропорцию).

Теорема синусов используется для вычисления:

• неизвестных сторон треугольника, если даны два угла и одна сторона;

• неизвестных углов треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.