Содержание
- Линии тригонометрических функций
- Значения основных функций тригонометрии
- Сведение к углу
- Использование формул
- Частные случаи
- Вычисление синуса
Для того, чтобы определить значение угла α, необходимо воспользоваться подходящей функции из тригонометрии. Во время решения задач постоянно возникает необходимость в том, чтобы узнать значение углов. Для некоторых углов можно найти точные значения, для других сложно определить точную цифру и можно вывести только приблизительное значение.
В этой статье мы подробно поговорим о функциях из тригонометрии. Мы не только расскажем о свойствах синуса, тангенса и других функций, но и узнаем, как правильно вычислять значения для каждого отдельного случая.
Рассмотрим подробно каждый случай.
Приближенное число для каждой из известных функций можно найти по определению. Для одних можно указать точные значения, для других – только приблизительные.
Соотношения сторон и углов фигуры используются для того, чтобы определить значения для 30 ° , 45 ° , 60 ° . Если угол выходит за пределы 90 ° , то перед вычислением значения следует воспользоваться специальной формулой для того, чтобы привести угол к нужному виду.
Если известно значение синуса для α , можно быстро узнать значение косинуса для этого же угла. Это легко выполнить с помощью основных тождеств, которые представлены в геометрии.
В некоторых случаях для того, чтобы узнать sin или cos угла, можно использовать подходящую тригонометрическую формулу. Например, по известному значению синуса 45 ° , мы сможем определить значение синуса 30 ° , воспользовавшись правилом из тригонометрии.
Если для примера не подходит ни одно из приведенных выше решений, можно найти приближенное значение. В этом вам помогут таблицы основных тригонометрических функций, которые легко можно найти.
Если взять за основу определения, возможно определить значения для определенного угла α . Также можно вычислить значения тангенса и котангенса для определенного случая. Можно найти значений основных функций из тригонометрии для частных вариантов. Это углы 0 ° , 90 ° , 180 ° , 270 ° , 360 ° .
Разобьем эти углы на четыре группы: 360 · z градусов ( 2 π · z рад), 90 + 360 · z градусов ( π 2 + 2 π · z рад), 180 + 360 · z градусов ( π + 2 π · z рад) и 270 + 360 · z градусов ( 3 π 2 + 2 π · z рад), где z – любое целое число.
Изобразим данные формулы на рисунке:
Для каждой группы соответствуют свои значения.
При повороте из точки A на 360 · z ° , она переходит в себя. А 1 ( 1 , 0 ) . Синус 0 ° , 360 ° , 720 ° равен 0 , а косинус равен 1 . Представим это в виде формулы: sin ( 360 ° · z ) = 0 и cos ( 360 ° · z ) = 1 .
Можно определить, что t g ( 360 ° · z ) = 0 1 = 0 , а котангенс не определен.
Если А ( 1 , 0 ) повернуть на 90 + 360 · z ° , то она перейдет в А 1 ( 0 , 1 ) . По определению: sin ( 90 ° + 360 ° · z ) = 1 и cos ( 90 ° + 360 ° · z ) = 0 . Мы не сможем определить значение тангенса, но котангенс рассчитывается по данной формуле: c t g ( 90 ° + 360 ° · z ) = 0 1 = 0 .
Рассмотрим особенности для третьей группы углов. После поворота точки А ( 1 , 0 ) на любой из углов 180 + 360 · z ° , она перейдет в A 1 ( − 1 , 0 ) . Мы находим значения функций кроме тангенса.
Рассмотрим правила для четвертой группы углов. При повороте точки на 270 + 360 · z ° мы попадем в A 1 ( 0 , − 1 ) . Мы находим значения всех функций кроме тангенса.
Для углов, которые не относятся к перечню от 0 ° , 90 ° , 180 ° , 270 ° , 360 ° … , точных значений нет. Мы можем найти лишь приближенные значения. Рассмотрим пример. Условия – найти основные значения для угла − 52 ° . Выполним построения.
Согласно рисунку, абсцисса А 1 ≈ 0 , 62 , а ордината ≈ − 0 , 78 . Соответственно, sin ( – 52 ° ) ≈ – 0 , 78 и cos ( – 52 ° ) ≈ 0 , 62 . Осталось определиться с тангенсом и котангенсом.
Выполняем вычисления: t g ( – 52 ° ) ≈ – 0 , 78 0 , 62 ≈ – 1 , 26 и c t g ( – 52 ° ) ≈ 0 , 62 – 0 , 78 ≈ – 0 , 79 .
Чем точнее выполняется чертеж, тем более точными будут значения для каждого индивидуального случая. Выполнять вычисления удобно только в теории, так как на практике довольно сложно и долго выполнять рисунки.
Линии тригонометрических функций
Линии тригонометрических функций – это линии, которые изображаются вместе с единичной окружностью. Они имеют точку отсчета и единичный отрезок, которая равна единице в координатной системе. Они используются для наглядного изображения значений.
Рассмотрим их на подробном рисунке
Как найти sin α , cos α , t g α , c t g α
Для тридцати-, сорокопяти-, шестидесятиградусных углов мы имеем определенные значения. Чтобы найти их, можно воспользоваться правилами о прямоугольном треугольнике с острыми углами. Для этого используется теорема Пифагора.
Для того, чтобы узнать значения для углов тридцати- и шестидесятиградусных углов изображаем прямоугольный треугольник с углами данной величины. Длина гипотенузы должна быть равна 1 . Согласно теореме Пифагора, катет, лежащий напротив тридцатиградусного угла, равен половине гипотенузы. Воспользуемся теоремой: 1 2 – 1 2 2 = 3 2 . Так как синус угла – это катет, деленный на гипотенузу, вычисляем, что sin 30 ° = 1 2 1 = 1 2 и sin 60 ° = 3 2 1 = 3 2 .
Косинус можно найти по формуле, которая предполагает деление прилежащего катета на гипотенузу. Вычисляем: cos 30 ° = 3 2 1 = 3 2 и cos 60 ° = 1 2 1 = 1 2 .
Тангенс можно найти по формуле, которая предполагает деление противолежащего катета на прилежащий. Котангенс находим по такой же схеме – делим прилежащий катет на противолежащий.
Вычисляем: t g 30 ° = 1 2 3 2 = 1 3 = 3 3 и t g 60 ° = 3 2 1 2 = 3 . Находим котангенс по подобной схеме: с t g 30 ° = 3 2 1 2 = 3 и с t g 60 ° = 1 2 3 2 = 1 3 = 3 3 . После этого приступаем к вычислению значений основных тригонометрических функций для сорока пятиградусного угла. Используем равнобедренный треугольник с углами 45 ° и гипотенузой, которая равна 1 . Используем теорему Пифагора. Согласно формуле, длины катетов равны 2 2 . Т
Теперь мы сможем найти значения для основных тригонометрических функций. Используем формулу, которая предполагает деление длин соответствующих сторон рассматриваемого треугольника.
Выводим формулу: c t g 45 ° = 2 2 2 2 = 1 .
Полученные значения для тридцати-, сорокапяти-, шестидесятиградусных углов будут использоваться для решения различных задач. Запишите их – они часто будут использоваться. Для удобства можно использовать таблицу значений.
Проиллюстрируем значения для тридцати-, сорокапяти-, шестидесятиградусных углов с использованием окружности и линий.
Значения основных функций тригонометрии
Основные тождества из геометрии связывают с собой sin α , cos α , t g α , c t g α для определенного угла. С помощью одной функции вы легко сможете найти другую.
Для того, чтобы найти синус по известному косинусу, sin 2 α + cos 2 α = 1 .
Тангенс по известному косинусу t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α .
Котангенс по известному синусу или наоборот 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α .
Тангенс через котангенс или наоборот можно найти благодаря удобной формуле: t g α · c t g α = 1 .
Для того, чтобы закрепить полученные знания, рассмотрим их на подробном примере
Необходимо найти значение синуса угла π 8 , если t g π 8 = 2 – 1 .
Сначала найдем котангенс угла: c t g π 8 = 1 t g π 8 = 1 2 – 1 = 2 + 1 ( 2 – 1 ) · ( 2 + 1 ) = 2 + 1 ( 2 ) 2 – 1 2 = 2 + 1 Воспользуемся формулой 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α . Благодаря этому мы вычисляем значение синуса. Имеем
sin 2 π 8 = 1 1 + c t g 2 π 8 = 1 1 + ( 2 + 1 ) 2 = 1 4 + 2 2 = 1 2 · ( 2 + 2 ) = 2 – 2 2 · ( 2 + 2 ) · ( 2 – 2 ) = = 2 – 2 2 · ( 2 2 – ( 2 ) 2 ) = 2 – 2 4
Для завершения необходимо определить значение синуса. Угол π 8 является углом первой четверти, то синус является положительным. Чтобы точно определить знак, вы можете воспользоваться таблицей, в которой определены знаки по четвертям координатной плоскости. Таким образом, sin π 8 = sin 2 π 8 = 2 – 2 4 = 2 – 2 2 . sin π 8 = 2 – 2 2 .
Сведение к углу
Удобнее всего находить значения для угла от 0 до 90 ° . Сведение к углу из интервала от 0 до 90 ° . Если угол не соответствует заданному интервалу, можно использовать законы и тождества, которые мы учили на уроках геометрии. Тогда мы сможем найти значение, которое будет равно для угла указанных пределах.
Задача заключается в том, чтобы найти синус 210 ° . Представим 210 как разность или сумму, разложив число на несколько. Воспользуемся соответствующей формулой для приведения. Используем формулу для нахождения значения синуса 30 ° : sin 210 ° = sin ( 180 ° + 30 ° ) = – sin 30 ° = – 1 2 , или косинуса 60 ° sin 210 ° = sin ( 270 ° – 60 ° ) = – cos 60 ° = – 1 2 .
Для того, чтобы решать задачи было намного проще, при нахождении значений переходите к углам из интервала от 0 до 90 ° с помощью формул приведения, если угол не находится в этих пределах.
Использование формул
Раннее мы рассмотрели подробности, касающиеся нахождению значений основных функций с использованием формул тригонометрии. Для того, чтобы определить значение для определенного угла, используйте формулы и значения основных функций для известных углов.
Для примера вычислим значение тангенса π 8 , который был использован в предыдущем примере. Возьмем за основу основные формулы тригонометрии.
Найдите значение t g π 8 .
Используя формулу тангенса, преобразуем уравнение до следующего равенства t g 2 π 8 = 1 – cos π 4 1 + cos π 4 . Значения косинуса угла π 4 известны из предыдущего примера. Благодаря этому мы быстро найдем значения тангенса.
t g 2 π 8 = 1 – cos π 4 1 + cos π 4 = 1 – 2 2 1 + 2 2 = 2 – 2 2 + 2 = = ( 2 – 2 ) 2 ( 2 + 2 ) · ( 2 – 2 ) = ( 2 – 2 ) 2 2 2 – ( 2 ) 2 = ( 2 – 2 ) 2 2
Угол π 8 является углом первой четверти. Согласно таблице основных тригонометрических функций по четвертям координатной плоскости, тангенс этого угла положителен. Продолжаем вычисления для дальнейшего решения: t g π 8 = t g 2 π 8 = ( 2 – 2 ) 2 2 = 2 – 2 2 = 2 – 1
Частные случаи
Тригонометрия – довольно сложная наука. Далеко не всегда можно найти формулы, используемые для вычисления. Существует множество уравнений, которые не поддаются стандартным формулам. Некоторые значения очень сложно обозначить точной цифрой. Это не так просто, как может показаться.
Однако точные значения не всегда нужны. Хватает и тех, что не претендуют на высокую точность. Благодаря существующим таблицам, которые можно найти в математических учебниках, можно найти любое приближенное значение основных функций. Благодаря справочным материалам вычислять формулы будет намного проще. В таблицах содержатся значения с высокой точностью.
‘);> //–>
Синус (sin) – это тригонометрическая функция, геометрически представляющая отношение противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике.
значение x может быть в градусах или радианах
Смотрите также калькулятор перевода градусов в радианы.
Быстро выполнить эту простейшую математическую операцию можно с помощью нашей онлайн программы. Для этого необходимо в соответствующее поле ввести исходное значение и нажать кнопку.
На этой странице представлен самый простой онлайн калькулятор вычисления синуса. С помощью этого калькулятора вы в один клик сможете вычислить синус любого угла в градусах и радианах.
Вычисление синуса
В этой главе будет показано, как можно вычислять стороны треугольника с точностью до 2% и углы с точностью до 1°, пользуясь одним лишь понятием синуса и не прибегая ни к таблицам, ни к формулам. Такая упрощенная тригонометрия может пригодиться во время загородной прогулки, когда таблиц под рукой нет, а формулы полузабыты. Робинзон на своем острове мог бы успешно пользоваться такой тригонометрией.
Итак, вообразите, что вы еще не проходили тригонометрии или же забыли се без остатка, — состояние, которое иным из читателей, вероятно, нетрудно себе представить. Начнем знакомиться с ней сызнова. Что такое синус острого угла? Это— отношение противолежащего катета к гипотенузе в том треугольнике, который отсекается от угла перпендикуляром к одной из его сто-
рон. Например, синус угла а (рис. 87) есть , или ,
или –, или –. Легко видеть, что вследствие по-
добил образовавшихся здесь треугольников все эти отношения равны одно другому.
Чему же равны синусы различных углов от 1 до 90°? Как узнать это, не имея под рукой таблиц? Весьма просто: надо составить таблицу синусов самому. Этим мы сейчас и займемся.
Начнем с тех углов, синусы которых нам известны из геометрии. Это, прежде всего, угол в 90°, синус которого, очевидно, равен 1. Затем угол в 45°, синус которого
легко вычислить по Пифагоровой теореме; он равен ,
т.е. 0,707. Далее нам известен синус 30°; так как катет, лежащий против такого угла, равен половине гипотенузы, то синус 30° = V2.
Рис. 87. Что такое синус острого угла?
Итак, мы знаем синусы (или, как принято обозначать, sin) трех углов 
Этого, конечно, недостаточно; необходимо знать синусы и всех промежуточных углов, по крайней мере через каждый градус. Для очень малых углов можно при вычислении синуса вместо отношения катета к гипотевычислить. Например, для угла в 1° дуга следовательно, sin 1° можно принять равным
нузе брать без большой погрешности отношение дуги к
радиусу: из рис. 87 (справа) видно, что отношение –
мало отличается от отношения . Последнее же легко
вычислить. Например, для угла в 1° дуга и,
следовательно, sin 1° можно принять равным
Таким же образом находим:
Но надо убедиться, как далеко можно продолжать эту табличку, не делая большой погрешности. Если бы мы вычислили по такому способу sin 30°, то получили
Рис. 88. Как вычислить sin 15°?
бы 0,524 вместо 0,500; разница была бы уже во второй значащей цифре, и погрешность со- й 24
ставляла бы -, т.е. около
- 500
- 5%. Это чересчур грубо даже для нетребовательной походной тригонометрии. Чтобы найти границу, до которой позволительно вести вычисление синусов по указанному приближенному способу, постараемся найти точным приемом sin 15°. Для этого воспользуемся следующим не особенно замысловатым построением (рис. 88). Пусть
sin 15° = Продолжим ВС на равное расстояние до
точки D; соединим А с D, тогда получим два равных треугольника: ADC и АВС, и угол BAD, равный 30°. Опустим на AD перпендикуляр BE; образуется прямоугольный треугольник ВАЕ с углом 30° ( = 0,016. Строго говоря, это,
конечно, не так, но отступление от указанного правила обнаруживается только в третьей значащей цифре, которую мы все равно отбрасываем. Итак, прибавляя последовательно по 0,016 к sin 15°, получим синусы 16°, 17°, 18° ит.д.:
Все эти синусы верны в первых двух десятичных знаках, т.е. с достаточною для наших целей точностью: они отличаются от истинных синусов менее чем на половину единицы последней цифры.
Таким же способом поступают при вычислении углов в промежутках между 30 и 45°. Разность sin 45°- -sin 30° = 0,707 -0,5 = 0,207. Разделив ее на 15, имеем 0,014. Эту величину будем прибавлять последовательно к синусу 30°; тогда получим:
Остается найти синусы острых углов больше 45°. В этом поможет нам Пифагорова теорема. Пусть, например, мы желаем найти sin 53°,
т.е. (рис. 89) отношение -.
Так как угол В = 37°, то синус его мы можем вычислить по предыдущему: он равен 0,5 +
+ 7 • 0,014 = 0,6. С другой стороны, мы знаем, что sin В =
=-. Итак, -= 0,6, откуда
АС = 0,6 • АВ. Зная АС, легко вычислить ВС. Этот отрезок Рис. 89. К вычислению равен синуса угла, большего 45°
Расчет в общем нетруден; надо только уметь вычислять квадратные корни.
Содержание материала
- Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения
- Видео
- Теорема косинусов
- Формула Герона
- Решение треугольников
- Пример (решение треугольника по двум сторонам и углу между ними).
- Пример (решение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам).
- Пример (решение треугольника по трем сторонам).
- Пример
- Пример
- Примеры решения задач с использованием теоремы синусов и теоремы косинусов
- Пример
- Пример
- Пример
- Теорема Стюарта
- Пример
Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения
Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.
Синус угла (sin α) — отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.
Косинус угла (cosα) — отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс угла (tg α) — отношение противолежащего катета к прилежащему.
Котангенс угла (ctg α) — отношение прилежащего катета к противолежащему.
Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!
Приведем иллюстрацию.
В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.
Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.
Область значений синуса и косинуса: от -1 до 1. Иными словами синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Область значений тангенса и котангенса — вся числовая прямая, то есть эти функции могут принимать любые значения.
Видео
Теорема косинусов
Теорема косинусов позволяет выразить длину любой стороны треугольника через длины двух других его сторон и косинус угла между ними (например, длину стороны 
треугольника АВС (рис. 165) через длины сторон 
). Теорему косинусов можно назвать самой «работающей» в геометрии. Она имеет многочисленные следствия, которые часто используются при решении задач.
Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними, т. е.
Доказательство:
Докажем теорему для случая, когда в треугольнике АВС угол А и угол С острые (рис. 166). Проведем высоту ВН к стороне АС. Из 
находим 
откуда 
Из 
по теореме Пифагора 
По основному тригонометрическому тождеству 
Тогда 
Справедливость теоремы для случаев, когда 
или 
тупой или прямой, докажите самостоятельно. Теорема доказана. Для сторон 
теорема косинусов запишется так:
Замечание. Если 
, то по теореме Пифагора 
Так как 
то 
Таким образом, теорема Пифагора — частный случай теоремы косинусов. С помощью теоремы косинусов можно решить следующие задачи:
• зная две стороны и угол между ними, найти третью сторону треугольника;
• зная две стороны и угол, противолежащий одной из этих сторон, найти третью сторону (рис. 167) (в этом случае возможны два решения).
Рассмотрим следствия из теоремы косинусов, которые дают возможность решить еще целый ряд задач.
Следствие:
Теорема косинусов позволяет, зная три стороны треугольника, найти его углы (косинусы углов). Из равенства 
следует формула
Для углов 
получим:
Пример:
В треугольнике АВС стороны АВ = 8, ВС = 5, АС = 7. Найдем ZB (рис. 168).
По теореме косинусов
Используя записанную выше формулу, можно сразу получить:
Следствие:
С помощью теоремы косинусов можно по трем сторонам определить вид треугольника: остроугольный, прямоугольный или тупоугольный.
Так, из формулы 
с учетом того, что 
следует:
- если
то и угол острый; - если то и угол тупой;
- если то и угол прямой.
то 
и угол 
острый;
то 
и угол 
тупой;
то 
и угол 
прямой.При определении вида треугольника достаточно найти знак косинуса угла, лежащего против большей стороны, поскольку только больший угол треугольника может быть прямым или тупым.
Пример:
Выясним, каким является треугольник со сторонами a = 2, 6 = 3 и с = 4. Для этого найдем знак косинуса угла у, лежащего против большей стороны с. Так как 
то 
угол 
тупой и данный треугольник тупоугольный.
Сформулируем правило определения вида треугольника (относительно углов). Треугольник является:
- остроугольным, если квадрат его большей стороны меньше суммы квадратов двух других его сторон:
- тупоугольным, если квадрат его большей стороны больше суммы квадратов двух других его сторон:
- прямоугольным, если квадрат его большей стороны равен сумме квадратов двух других его сторон:
Следствие:
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон: 
Доказательство:
Пусть в параллелограмме ABCD 
— острый, откуда 
— тупой (рис. 169). По теореме косинусов из 
(1) Из 
Поскольку cos 
то
(2)
Сложив почленно равенство (1) и равенство (2), получим 
что и требовалось доказать.
Данная формула дает возможность:
- • зная две соседние стороны и одну из диагоналей параллелограмма, найти другую диагональ;
- • зная две диагонали и одну из сторон параллелограмма, найти соседнюю с ней сторону.
Следствие:
Медиану 
треугольника со сторонами а, b и с можно найти по формуле 
Доказательство:
Рассмотрим 
— медиана треугольника (рис. 170). Продлим медиану AM за точку М на ее длину: 
Проведем отрезки BD и DC. Так как у четырехугольника ABDC диагонали AD и ВС точкой пересечения делятся пополам, то он — параллелограмм. По свойству диагоналей параллелограмма 
Отсюда следует, что 
Утверждение доказано.
Аналогично: 
Формула медианы позволяет:
- зная три стороны треугольника, найти любую из его медиан;
- зная две стороны и медиану, проведенную к третьей стороне, найти третью сторону;
- зная три медианы, найти любую из сторон треугольника.
Пример:
а) Дан треугольник АВС, а = 5, 5 = 3, 
Найти сторону с. б) Дан треугольник АВС, а = 7, с = 8, а = 60°. Найти сторону Ь.
Решение:
а) По теореме косинусов 
Отсюда 
б) Пусть 
По теореме косинусов 
то есть 
Отсюда 
или 
так как для наборов длин отрезков 7, 3, 8 и 7, 5, 8 выполняется неравенство треугольника. Ответ: а) 7; б) 3 или 5.
Пример:
Две стороны треугольника равны 6 и 10, его площадь — 
Найти третью сторону треугольника при условии, что противолежащий ей угол — тупой.
Решение:
Пусть в 
стороны АВ = 6, ВС = 10 и 
(рис. 171). Поскольку 
то 
откуда 
Так как 
и по условию 
— тупой, то 
. Для нахождения стороны АС применим теорему косинусов:
Ответ: 14.
Пример:
Найти площадь треугольника, две стороны которого равны 6 и 8, а медиана, проведенная к третьей стороне, равна 5.
Решение:
Обозначим стороны треугольника 
Пусть 
— медиана (рис. 172). По формуле медианы 
откуда 
По обратной теореме Пифагора данный треугольник со сторонами 6, 8 и 10 — прямоугольный, его площадь равна половине произведения катетов:
Ответ: 24.
Формула Герона
Мы знаем, как найти площадь треугольника по основанию и высоте, проведенной к этому основанию: 
а также по двум сторонам и углу между ними: 
Теперь мы выведем формулу нахождения площади треугольника по трем сторонам.
Теорема (формула Герона).
Площадь треугольника со сторонами 
можно найти по формуле 
где 
— полупериметр треугольника.
Доказательство:
(рис. 183). Из основного тригонометрического тождества 
следует, что 
Для 
синус положительный. Поэтому 
Из теоремы косинусов 
откуда 
Тогда 
Так как
Теорема доказана.
Решение треугольников
Решением треугольника называется нахождение его неизвестных сторон и углов (иногда других элементов) по данным, определяющим треугольник.
Такая задача часто встречается на практике, например в геодезии, астрономии, строительстве, навигации.
Рассмотрим алгоритмы решения трех задач.
Пример (решение треугольника по двум сторонам и углу между ними)
Дано: 
(рис. 184).
Найти : 
Решение:
Рис. 184 1) По теореме косинусов 
2) По следствию из теоремы косинусов 
3) Угол 
находим при помощи калькулятора или таблиц.
4) Угол 
Замечание. Нахождение угла 
по теореме синусов 
требует выяснения того, острый или тупой угол 
Пример (решение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам)
Дано: 
(рис. 185).
Найти: 
Решение:
1) Угол 
2) По теореме синусов 
(sin 
и sin 
находим при помощи калькулятора или таблиц).
3) Сторону с можно найти с помощью теоремы косинусов или теоремы синусов: 
или 
(cos 
и sin 
находим при помощи калькулятора или таблиц).
Пример (решение треугольника по трем сторонам)
Дано: 
(рис. 186).
Найти: 
и радиус R описанной окружности.
Решение:
1) По следствию из теоремы косинусов
2) Зная 
угол 
находим при помощи калькулятора или таблиц.
3) Аналогично находим угол 
4) Угол 
5) Радиус R описанной окружности треугольника можно найти по формуле 
где 
Замечание*. Вторым способом нахождения R будет нахождение косинуса любого угла при помощи теоремы косинусов 
затем нахождение по косинусу угла его синуса 
и, наконец, использование теоремы синусов 
для нахождения R.
Пример
Найти площадь S и радиус R описанной окружности треугольника со сторонами 9, 12 и 15.
Решение:
Способ 1. Воспользуемся формулой Герона. Обозначим а = 9, b = 12, с = 15. Получим: 
Тогда 
Радиус R описанной окружности найдем из формулы 
Имеем: 
Ответ: 
Способ 2. Так как 
поскольку 
то треугольник — прямоугольный по обратной теореме Пифагора. Его площадь равна половине произведения катетов: 
а радиус описанной окружности равен половине гипотенузы: 
Пример
Найти площадь трапеции с основаниями, равными 5 и 14, и боковыми сторонами, равными 10 и 17.
Решение:
Пусть в трапеции ABCD основания AD = 14 и ВС = 5, боковые стороны АВ = 10 и 
Проведем 
(рис. 187). Так как АВСК — параллелограмм, то СК = АВ = 10, АК = ВС = 5, откуда KD = AD — АК = 9. Найдем высоту СН треугольника KCD, которая равна высоте трапеции. Площадь треугольника KCD найдем по формуле Герона, обозначив его стороны а = 10, b = 17, с = 9. Получим:
Так как 
СН = 8. Площадь трапеции 
Ответ: 76.
Примеры решения задач с использованием теоремы синусов и теоремы косинусов
Пример:
Внутри угла А, равного 60°, взята точка М, которая находится на расстоянии 1 от одной стороны угла и на расстоянии 2 от другой стороны. Найти расстояние от точки М до вершины угла А (рис. 189, а).
Решение:
Пусть 
Найдем длину отрезка AM. Сумма углов четырехугольника АВМС равна 360°. Поэтому 
Так как в четырехугольнике АВМС 
, то около него можно описать окружность по признаку вписанного четырехугольника (рис. 189, б). Поскольку прямой вписанный угол опирается на диаметр, то отрезок AM — диаметр этой окружности, т. е. 
где R — радиус. Из 
по теореме косинусов 
Из 
по теореме синусов 
откуда 
Ответ: 
Замечание. Вторым способом решения будет продление отрезка ВМ до пересечения с лучом АС и использование свойств полученных прямоугольных треугольников. Рассмотрите этот способ самостоятельно.
Пример
В прямоугольном треугольнике АВС известно: 
высота СН = 2 (рис. 190). Найти гипотенузу АВ.
Решение:
Построим 
симметричный 
относительно прямой АВ (см. рис. 190). Поскольку 
то вокруг четырехугольника 
можно описать окружность, где АВ — диаметр этой окружности (прямой вписанный угол опирается на диаметр). Треугольник 
вписан в эту окружность, 
По теореме синусов 
откуда 
Ответ: 8.
Пример
Дан прямоугольный треугольник АВС с катетами ВС = а и АС = 
На гипотенузе АВ как на стороне построен квадрат ADFB (рис. 191). Найти расстояние от центра О этого квадрата до вершины С прямого угла, т. е. отрезок СО.
Решение:
Способ 1. Так как 
(диагонали квадрата ADFB взаимно перпендикулярны), то 
поэтому четырехугольник АОВС является вписанным в окружность, ее диаметр 
Тогда 
Пусть СО = х. По теореме косинусов из 
находим 
из 
находим 
По свойству вписанного четырехугольника 
Поскольку 
то 
откуда находим 
Тогда 
.
Способ 2. Используем теорему Птолемея, которая гласит: «Произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений его противоположных сторон». Для нашей задачи получаем (см. рис. 191):
Способ 3. Достроим 
до квадрата CMNK, как показано на рисунке 192. Можно показать, что центр квадрата CMNK совпадет с центром квадрата ADFB, т. е. с точкой О (точки В и D симметричны относительно центров обоих квадратов). Тогда 
Ответ: 
Пример
Точка О — центр окружности, вписанной в треугольник АВС, 
Найти стороны треугольника (см. задачу 232*).
Решение:
Пусть 
и 
— радиус вписанной окружности (рис. 193). Тогда 
Отсюда 
Применим формулу Герона:
С другой стороны, 
Из уравнения 
находим 
= 2. Откуда 
(см), 
(см), 
(см). Ответ: 15 см; 20 см; 7 см.
Теорема Стюарта
Следующая теорема позволяет найти длину отрезка, соединяющего вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.
Теорема Стюарта. «Если а, b и с — стороны треугольника и отрезок d делит сторону с на отрезки, равные х и у (рис. 194), то справедлива формула
Доказательство:
По теореме косинусов из 
и 
(см. рис. 194) следует:
(1)
(2)
Умножим обе части равенства (1) на у, равенства (2) — на 
Сложим почленно полученные равенства: 
Из последнего равенства выразим 
Теорема доказана.
Следствие:
Биссектрису треугольника можно найти по формуле (рис. 195)
Доказательство:
По свойству биссектрисы треугольника 
Разделив сторону 
с в отношении 
получим:
По теореме Стюарта 
Пример
Доказать, что если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный (теорема Штейнера—Лемуса).
Доказательство:
Пусть дан треугольник АВС, 
— биссектрисы, проведенные к сторонам ВС = а и АС = b соответственно, и 
(рис. 196). Нужно доказать, что 
Выразим 
и через 
и приравняем полученные выражения. Биссектриса делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Поэтому 
откуда 
откуда 
По формуле биссектрисы треугольника 
Из условия 
следует: 
Перенеся слагаемые в одну сторону равенства и разложив на множители (проделайте это самостоятельно), получим: 
Отсюда 
(второй множитель при положительных 
больше нуля). Утверждение доказано.
Теги
Синус угла. Таблица синусов.
Синус угла через градусы, минуты и секунды
Синус угла через десятичную запись угла
Как найти угол зная синус этого угла
У синуса есть обратная тригонометрическая функция — arcsin(y)=x
sin(arcsin(y))=y
Пример sin(30°) = 1/2; arcsin(1/2) = 30°
Рассчитать арксинус
Определение синуса
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Синусом угла α называется ордината точки B единичной окружности, полученной при повороте точки P(1;0) на угол α.
sin(α) = BC/AB
sin(-α) = -sin(α)
Периодичность синуса
Функция y = sin(x) периодична, с периодом 2π
sin(α ± 2π) = sin(α)
Пример sin(5π) = sin(4π + π) = sin(π)
Таблица синусов в радианах
sin(0°) = 0sin(π/12) = sin(15°) = 0.2588190451sin(π/6) = sin(30°) = 0.5sin(π/4) = sin(45°) = 0.7071067812sin(π/3) = sin(60°) = 0.8660254038sin(5π/12) = sin(75°) = 0.9659258263sin(π/2) = sin(90°) = 1sin(7π/12) = sin(105°) = 0.9659258263sin(2π/3) = sin(120°) = 0.8660254038sin(3π/4) = sin(135°) = 0.7071067812sin(5π/6) = sin(150°) = 0.5sin(11π/12) = sin(165°) = 0.2588190451sin(π) = sin(180°) = 0sin(13π/12) = sin(195°) = -0.2588190451sin(7π/6) = sin(210°) = -0.5sin(5π/4) = sin(225°) = -0.7071067812sin(4π/3) = sin(240°) = -0.8660254038sin(17π/12) = sin(255°) = -0.9659258263sin(3π/2) = sin(270°) = -1sin(19π/12) = sin(285°) = -0.9659258263sin(5π/3) = sin(300°) = -0.8660254038sin(7π/4) = sin(315°) = -0.7071067812sin(11π/6) = sin(330°) = -0.5sin(23π/12) = sin(345°) = -0.2588190451
Таблица Брадиса синусы
| sin(0) = 0 | sin(120) = 0.8660254038 | sin(240) = -0.8660254038 |
| sin(1) = 0.01745240644 | sin(121) = 0.8571673007 | sin(241) = -0.8746197071 |
| sin(2) = 0.0348994967 | sin(122) = 0.8480480962 | sin(242) = -0.8829475929 |
| sin(3) = 0.05233595624 | sin(123) = 0.8386705679 | sin(243) = -0.8910065242 |
| sin(4) = 0.06975647374 | sin(124) = 0.8290375726 | sin(244) = -0.8987940463 |
| sin(5) = 0.08715574275 | sin(125) = 0.8191520443 | sin(245) = -0.906307787 |
| sin(6) = 0.1045284633 | sin(126) = 0.8090169944 | sin(246) = -0.9135454576 |
| sin(7) = 0.1218693434 | sin(127) = 0.79863551 | sin(247) = -0.9205048535 |
| sin(8) = 0.139173101 | sin(128) = 0.7880107536 | sin(248) = -0.9271838546 |
| sin(9) = 0.156434465 | sin(129) = 0.7771459615 | sin(249) = -0.9335804265 |
| sin(10) = 0.1736481777 | sin(130) = 0.7660444431 | sin(250) = -0.9396926208 |
| sin(11) = 0.1908089954 | sin(131) = 0.7547095802 | sin(251) = -0.9455185756 |
| sin(12) = 0.2079116908 | sin(132) = 0.7431448255 | sin(252) = -0.9510565163 |
| sin(13) = 0.2249510543 | sin(133) = 0.7313537016 | sin(253) = -0.956304756 |
| sin(14) = 0.2419218956 | sin(134) = 0.7193398003 | sin(254) = -0.9612616959 |
| sin(15) = 0.2588190451 | sin(135) = 0.7071067812 | sin(255) = -0.9659258263 |
| sin(16) = 0.2756373558 | sin(136) = 0.6946583705 | sin(256) = -0.9702957263 |
| sin(17) = 0.2923717047 | sin(137) = 0.6819983601 | sin(257) = -0.9743700648 |
| sin(18) = 0.3090169944 | sin(138) = 0.6691306064 | sin(258) = -0.9781476007 |
| sin(19) = 0.3255681545 | sin(139) = 0.656059029 | sin(259) = -0.9816271834 |
| sin(20) = 0.3420201433 | sin(140) = 0.6427876097 | sin(260) = -0.984807753 |
| sin(21) = 0.3583679495 | sin(141) = 0.629320391 | sin(261) = -0.9876883406 |
| sin(22) = 0.3746065934 | sin(142) = 0.6156614753 | sin(262) = -0.9902680687 |
| sin(23) = 0.3907311285 | sin(143) = 0.6018150232 | sin(263) = -0.9925461516 |
| sin(24) = 0.4067366431 | sin(144) = 0.5877852523 | sin(264) = -0.9945218954 |
| sin(25) = 0.4226182617 | sin(145) = 0.5735764364 | sin(265) = -0.9961946981 |
| sin(26) = 0.4383711468 | sin(146) = 0.5591929035 | sin(266) = -0.9975640503 |
| sin(27) = 0.4539904997 | sin(147) = 0.544639035 | sin(267) = -0.9986295348 |
| sin(28) = 0.4694715628 | sin(148) = 0.5299192642 | sin(268) = -0.999390827 |
| sin(29) = 0.4848096202 | sin(149) = 0.5150380749 | sin(269) = -0.9998476952 |
| sin(30) = 0.5 | sin(150) = 0.5 | sin(270) = -1 |
| sin(31) = 0.5150380749 | sin(151) = 0.4848096202 | sin(271) = -0.9998476952 |
| sin(32) = 0.5299192642 | sin(152) = 0.4694715628 | sin(272) = -0.999390827 |
| sin(33) = 0.544639035 | sin(153) = 0.4539904997 | sin(273) = -0.9986295348 |
| sin(34) = 0.5591929035 | sin(154) = 0.4383711468 | sin(274) = -0.9975640503 |
| sin(35) = 0.5735764364 | sin(155) = 0.4226182617 | sin(275) = -0.9961946981 |
| sin(36) = 0.5877852523 | sin(156) = 0.4067366431 | sin(276) = -0.9945218954 |
| sin(37) = 0.6018150232 | sin(157) = 0.3907311285 | sin(277) = -0.9925461516 |
| sin(38) = 0.6156614753 | sin(158) = 0.3746065934 | sin(278) = -0.9902680687 |
| sin(39) = 0.629320391 | sin(159) = 0.3583679495 | sin(279) = -0.9876883406 |
| sin(40) = 0.6427876097 | sin(160) = 0.3420201433 | sin(280) = -0.984807753 |
| sin(41) = 0.656059029 | sin(161) = 0.3255681545 | sin(281) = -0.9816271834 |
| sin(42) = 0.6691306064 | sin(162) = 0.3090169944 | sin(282) = -0.9781476007 |
| sin(43) = 0.6819983601 | sin(163) = 0.2923717047 | sin(283) = -0.9743700648 |
| sin(44) = 0.6946583705 | sin(164) = 0.2756373558 | sin(284) = -0.9702957263 |
| sin(45) = 0.7071067812 | sin(165) = 0.2588190451 | sin(285) = -0.9659258263 |
| sin(46) = 0.7193398003 | sin(166) = 0.2419218956 | sin(286) = -0.9612616959 |
| sin(47) = 0.7313537016 | sin(167) = 0.2249510543 | sin(287) = -0.956304756 |
| sin(48) = 0.7431448255 | sin(168) = 0.2079116908 | sin(288) = -0.9510565163 |
| sin(49) = 0.7547095802 | sin(169) = 0.1908089954 | sin(289) = -0.9455185756 |
| sin(50) = 0.7660444431 | sin(170) = 0.1736481777 | sin(290) = -0.9396926208 |
| sin(51) = 0.7771459615 | sin(171) = 0.156434465 | sin(291) = -0.9335804265 |
| sin(52) = 0.7880107536 | sin(172) = 0.139173101 | sin(292) = -0.9271838546 |
| sin(53) = 0.79863551 | sin(173) = 0.1218693434 | sin(293) = -0.9205048535 |
| sin(54) = 0.8090169944 | sin(174) = 0.1045284633 | sin(294) = -0.9135454576 |
| sin(55) = 0.8191520443 | sin(175) = 0.08715574275 | sin(295) = -0.906307787 |
| sin(56) = 0.8290375726 | sin(176) = 0.06975647374 | sin(296) = -0.8987940463 |
| sin(57) = 0.8386705679 | sin(177) = 0.05233595624 | sin(297) = -0.8910065242 |
| sin(58) = 0.8480480962 | sin(178) = 0.0348994967 | sin(298) = -0.8829475929 |
| sin(59) = 0.8571673007 | sin(179) = 0.01745240644 | sin(299) = -0.8746197071 |
| sin(60) = 0.8660254038 | sin(180) = 0 | sin(300) = -0.8660254038 |
| sin(61) = 0.8746197071 | sin(181) = -0.01745240644 | sin(301) = -0.8571673007 |
| sin(62) = 0.8829475929 | sin(182) = -0.0348994967 | sin(302) = -0.8480480962 |
| sin(63) = 0.8910065242 | sin(183) = -0.05233595624 | sin(303) = -0.8386705679 |
| sin(64) = 0.8987940463 | sin(184) = -0.06975647374 | sin(304) = -0.8290375726 |
| sin(65) = 0.906307787 | sin(185) = -0.08715574275 | sin(305) = -0.8191520443 |
| sin(66) = 0.9135454576 | sin(186) = -0.1045284633 | sin(306) = -0.8090169944 |
| sin(67) = 0.9205048535 | sin(187) = -0.1218693434 | sin(307) = -0.79863551 |
| sin(68) = 0.9271838546 | sin(188) = -0.139173101 | sin(308) = -0.7880107536 |
| sin(69) = 0.9335804265 | sin(189) = -0.156434465 | sin(309) = -0.7771459615 |
| sin(70) = 0.9396926208 | sin(190) = -0.1736481777 | sin(310) = -0.7660444431 |
| sin(71) = 0.9455185756 | sin(191) = -0.1908089954 | sin(311) = -0.7547095802 |
| sin(72) = 0.9510565163 | sin(192) = -0.2079116908 | sin(312) = -0.7431448255 |
| sin(73) = 0.956304756 | sin(193) = -0.2249510543 | sin(313) = -0.7313537016 |
| sin(74) = 0.9612616959 | sin(194) = -0.2419218956 | sin(314) = -0.7193398003 |
| sin(75) = 0.9659258263 | sin(195) = -0.2588190451 | sin(315) = -0.7071067812 |
| sin(76) = 0.9702957263 | sin(196) = -0.2756373558 | sin(316) = -0.6946583705 |
| sin(77) = 0.9743700648 | sin(197) = -0.2923717047 | sin(317) = -0.6819983601 |
| sin(78) = 0.9781476007 | sin(198) = -0.3090169944 | sin(318) = -0.6691306064 |
| sin(79) = 0.9816271834 | sin(199) = -0.3255681545 | sin(319) = -0.656059029 |
| sin(80) = 0.984807753 | sin(200) = -0.3420201433 | sin(320) = -0.6427876097 |
| sin(81) = 0.9876883406 | sin(201) = -0.3583679495 | sin(321) = -0.629320391 |
| sin(82) = 0.9902680687 | sin(202) = -0.3746065934 | sin(322) = -0.6156614753 |
| sin(83) = 0.9925461516 | sin(203) = -0.3907311285 | sin(323) = -0.6018150232 |
| sin(84) = 0.9945218954 | sin(204) = -0.4067366431 | sin(324) = -0.5877852523 |
| sin(85) = 0.9961946981 | sin(205) = -0.4226182617 | sin(325) = -0.5735764364 |
| sin(86) = 0.9975640503 | sin(206) = -0.4383711468 | sin(326) = -0.5591929035 |
| sin(87) = 0.9986295348 | sin(207) = -0.4539904997 | sin(327) = -0.544639035 |
| sin(88) = 0.999390827 | sin(208) = -0.4694715628 | sin(328) = -0.5299192642 |
| sin(89) = 0.9998476952 | sin(209) = -0.4848096202 | sin(329) = -0.5150380749 |
| sin(90) = 1 | sin(210) = -0.5 | sin(330) = -0.5 |
| sin(91) = 0.9998476952 | sin(211) = -0.5150380749 | sin(331) = -0.4848096202 |
| sin(92) = 0.999390827 | sin(212) = -0.5299192642 | sin(332) = -0.4694715628 |
| sin(93) = 0.9986295348 | sin(213) = -0.544639035 | sin(333) = -0.4539904997 |
| sin(94) = 0.9975640503 | sin(214) = -0.5591929035 | sin(334) = -0.4383711468 |
| sin(95) = 0.9961946981 | sin(215) = -0.5735764364 | sin(335) = -0.4226182617 |
| sin(96) = 0.9945218954 | sin(216) = -0.5877852523 | sin(336) = -0.4067366431 |
| sin(97) = 0.9925461516 | sin(217) = -0.6018150232 | sin(337) = -0.3907311285 |
| sin(98) = 0.9902680687 | sin(218) = -0.6156614753 | sin(338) = -0.3746065934 |
| sin(99) = 0.9876883406 | sin(219) = -0.629320391 | sin(339) = -0.3583679495 |
| sin(100) = 0.984807753 | sin(220) = -0.6427876097 | sin(340) = -0.3420201433 |
| sin(101) = 0.9816271834 | sin(221) = -0.656059029 | sin(341) = -0.3255681545 |
| sin(102) = 0.9781476007 | sin(222) = -0.6691306064 | sin(342) = -0.3090169944 |
| sin(103) = 0.9743700648 | sin(223) = -0.6819983601 | sin(343) = -0.2923717047 |
| sin(104) = 0.9702957263 | sin(224) = -0.6946583705 | sin(344) = -0.2756373558 |
| sin(105) = 0.9659258263 | sin(225) = -0.7071067812 | sin(345) = -0.2588190451 |
| sin(106) = 0.9612616959 | sin(226) = -0.7193398003 | sin(346) = -0.2419218956 |
| sin(107) = 0.956304756 | sin(227) = -0.7313537016 | sin(347) = -0.2249510543 |
| sin(108) = 0.9510565163 | sin(228) = -0.7431448255 | sin(348) = -0.2079116908 |
| sin(109) = 0.9455185756 | sin(229) = -0.7547095802 | sin(349) = -0.1908089954 |
| sin(110) = 0.9396926208 | sin(230) = -0.7660444431 | sin(350) = -0.1736481777 |
| sin(111) = 0.9335804265 | sin(231) = -0.7771459615 | sin(351) = -0.156434465 |
| sin(112) = 0.9271838546 | sin(232) = -0.7880107536 | sin(352) = -0.139173101 |
| sin(113) = 0.9205048535 | sin(233) = -0.79863551 | sin(353) = -0.1218693434 |
| sin(114) = 0.9135454576 | sin(234) = -0.8090169944 | sin(354) = -0.1045284633 |
| sin(115) = 0.906307787 | sin(235) = -0.8191520443 | sin(355) = -0.08715574275 |
| sin(116) = 0.8987940463 | sin(236) = -0.8290375726 | sin(356) = -0.06975647374 |
| sin(117) = 0.8910065242 | sin(237) = -0.8386705679 | sin(357) = -0.05233595624 |
| sin(118) = 0.8829475929 | sin(238) = -0.8480480962 | sin(358) = -0.0348994967 |
| sin(119) = 0.8746197071 | sin(239) = -0.8571673007 | sin(359) = -0.01745240644 |
Похожие калькуляторы
|
В решении найден же угол смежного с ним угла — острого, но не тупого, которого нужно найти. Есть какие-то свойства?
Откройте учебник, на теме формулы приведения. Там есть формула: sin(Пи-a)=sin(a). Всего то и «делов». Или запомните такое определение. Вдоль оси Х (по горизонтали вправо) направьте небольшой вектор с длиной, равной 1. Теперь поворачивайте этот вектор против часовой стрелки на требуемый Вам угол (хоть острый, хоть тупой, хоть в три полных оборота «с гаком». В любом случае синусом угла будет ОРДИНАТА конца вектора, а косинусом — АБСЦИССА. автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
bezdelnik 8 лет назад В этом примере нужно сначала найти величину гипотенузы по теореме Пифагора. В решении без доказательства сказано гипотенуза равна 5. Гипотенуза равна корню квадратному из суммы квадратов катетов 9+16=25. Знаете ответ? |
В статье мы расскажем, как находить значения:
(cos300^°), (sin(-540^°)), (cos 510^°), (sin(-135^°))
и других тригонометрических выражений без тригонометрической таблицы.
Как вычисляются синусы и косинусы углов?
Чтобы вычислить косинус и синус некоторого угла нужно:
1. Отложить этот угол на тригонометрическом круге и определить какая точка соответствует этому углу;
2. Найти абсциссу и ординату этой точки. Косинус угла равен — абсциссе, а синус угла — ординате.
Предположим, стоит задача найти косинус и синус угла (30^°). Отложим на круге угол в (30^°) и найдем какая точка соответствует этому углу.
Если построить все точно, то видно, что абсцисса точки равна (0,866)… , что равно числу (frac{sqrt{3}}{2}) , а ордината равна (0,5), то есть (frac{1}{2}).
Получается, (cos 30^° = frac{sqrt{3}}{2}), а (sin30^° =frac{1}{2}).
Аналогично и для любой другой точки на круге: значение абсциссы равно косинусу угла, а ординаты – синусу угла. Поэтому:
В тригонометрии ось абсцисс (ось x) часто называют «ось косинусов», а ординат (ось y) – «ось синусов».
Обычно на осях не отмечают (0,1); (0,2); (0,3) и т.д., а сразу наносят стандартные значения для синуса и косинуса: (±frac{1}{2}=±0,5); (±frac{sqrt{2}}{2} ≈±0,707); (±frac{sqrt{3}}{2} ≈±0,866).
Первый шаг к тому, чтобы находить синусы и косинусы стандартных углов – научится отмечать эти углы на тригонометрическом круге.
Как отметить любой угол на тригонометрическом круге?
Для этого нужно знать несколько фактов:
- Начало отсчета находится в крайней правой точке окружности;
-
Чтоб отложить положительный угол нужно двигаться против часовой стрелки от начала отсчета, чтобы отметить отрицательный – по часовой стрелке;
-
Градусная мера окружности равна (360^°), полуокружности (180^°), а четверти (90^°);
-
Углы в (0^°), (30^°), (45^°) и (60^°) выглядят так:
- Одна точка может соответствовать разным углам;
- Угол может быть больше (360^°). В этом случае он просто сделает полный оборот и пойдет дальше. Фактически, можно (360^°) просто отбросить и откладывать тот угол, который останется – в итоге вы всё равно окажетесь в той же точке.
Пример. Отметьте угол в (90^° ) и (-90^°).
Решение:
Пример. Отметьте угол в (225^° ) и (-135^°).
Решение: (225^°=180^°+45^°)
(-135^°=-90^°-45^°)
Пример. Отметьте угол в (420^° ) и (-390^°).
Решение: (420^°=360^°+60^°)
(-390^°=-360^°-30^°)
Задание 1. Отметьте на окружности точки соответствующие углам: (720^°), (225^°), (300^°), (870^°), (900^°), (-330^°), (-630^°), (-210^°).
Как находить синус и косинус любого угла?
Простой алгоритм:
- Начертите тригонометрический круг и оси косинусов и синусов (не обязательно рисовать прям аккуратно, как на картинке ниже, можно и некрасиво – главное не запутаться какая точка к какому значению относится).
- Отложите на круге угол, синус и косинус которого надо найти, и определите точку на круге, соответствующую этому углу.
- Найдите координаты точки, используя картинку ниже.
Пример. Вычислите (sin300^°) и (cos300^°) .
Решение: (300^°=360^°-60^°)
(cos 300^°=frac{1}{2}), (sin{300^°}=-frac{sqrt{3}}{2}).
Пример . Вычислите (sin(-540^°)) и (cos(-540^°)) .
Решение. (-540^°=-360^°-180^°).
(-540^°) на тригонометрическом круге совпадает с (-1) на оси косинусов. То есть, координаты этой точки: ((-1;0)). Значит, (cos(-540^°)=-1), а (sin(-540^° )=0).
Да, имея перед глазами тригонометрический круг, вычислять синусы и косинусы любых углов легко. Возможно, у вас возник вопрос: «а что делать, если круга нет? Как делать такие вычисления на ЕГЭ?». Ответ очевиден – нарисовать круг самому! Для этого надо понять, как располагаются значения на нем. Подробную методику того, как это делается я рассказывала в этой статье.
Есть и другой способ запомнить тригонометрический круг – внимательно посмотреть на картинку ниже и запомнить максимальное количество элементов. После прикройте страницу и по памяти нарисуйте круг и отметьте всё, что смогли запомнить. Сверьте, что у вас получилось с тем, что было на картинке. Повторяйте эту последовательность действий пока по памяти не получится нарисовать тригонометрический круг со всеми значениями. Это займет 15 минут вашего времени, но сильно поможет в 13 задаче ЕГЭ (и не только в ней).
Примеры вычисления синуса и косинуса из ЕГЭ
В двух следующих примерах я специально рисовала круг от руки, чтобы вы увидели, как выглядят реальные решения.
Пример . Найдите значение выражения (-18sqrt{2}sin(-135^°)).
Решение. (-135^°=-90^°-45^°)
Получается (-18sqrt{2} sin(-135^° )=-18sqrt{2}cdot-frac{sqrt{2}}{2}=frac{18cdotsqrt{2}cdotsqrt{2}}{2}=9cdot 2=18.)
Ответ: (18).
Пример . Найдите значение выражения (54sqrt{3}cos(510^°)).
Решение. (510^°=360^°+150^°=360^°+180^°-30^°.)
(54sqrt{3}cos(510^°)=54sqrt{3}cdot(-frac{sqrt{3}}{2})=-frac{54cdot sqrt{3}cdot sqrt{3}}{2}=-27cdot 3=-81.)
Ответ: (-81).
Смотрите также:
Как найти тангенс и котангенс без тригонометрической таблицы? Из градусов в радианы и наборот
Тригонометрическая таблица с кругом
Почему в тригонометрической таблице такие числа?
Для тех кто хочет закрепить знания:
Задание на вычисление синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов