Как найти симметричные точки квадратичной функции - Autoru.top

Функция вида , где называется квадратичной функцией.

График квадратичной функции – парабола.

Рассмотрим случаи:

I СЛУЧАЙ, КЛАССИЧЕСКАЯ ПАРАБОЛА

, то есть , ,

Для построения заполняем таблицу, подставляя значения x в формулу:

Отмечаем точки (0;0); (1;1); (-1;1) и т.д. на координатной плоскости (чем с меньшим шагом мы берем значения х ( в данном случае шаг 1 ), и чем больше берем значений х, тем плавнее будет кривая), получаем параболу:

Нетрудно заметить, что если мы возьмем случай , , , то есть , то мы получим параболу, симметричную относительно оси (ох). Убедиться в этом несложно, заполнив аналогичную таблицу:

II СЛУЧАЙ, «a» ОТЛИЧНО ОТ ЕДИНИЦЫ

Что же будет, если мы будем брать , , ? Как изменится поведение параболы? При парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):

На первой картинке (см. выше) хорошо видно, что точки из таблицы для параболы (1;1), (-1;1) трансформировались в точки (1;4), (1;-4), то есть при тех же значениях ордината каждой точки умножилась на 4. Это произойдет со всеми ключевыми точками исходной таблицы. Аналогично рассуждаем в случаях картинок 2 и 3.

А при парабола «станет шире» параболы :

Давайте подитожим:

III СЛУЧАЙ, ПОЯВЛЯЕТСЯ «С»

Теперь давайте введем в игру (то есть рассматриваем случай, когда ), будем рассматривать параболы вида . Нетрудно догадаться (вы всегда можете обратиться к таблице), что будет происходить смещение параболы вдоль оси вверх или вниз в зависимости от знака :

IV СЛУЧАЙ, ПОЯВЛЯЕТСЯ «b»

Когда же парабола “оторвется” от оси и будет, наконец, “гулять” по всей координатной плоскости? Когда перестанет быть равным .

Здесь для построения параболы нам понадобится формула для вычисления вершины: $x_o=frac{-b}{2a}$ , .

Так вот в этой точке (как в точке (0;0) новой системы координат) мы будем строить параболу , что уже нам по силам. Если имеем дело со случаем , то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, один вверх, – полученная точка – наша (аналогично шаг влево, шаг вверх – наша точка); если имеем дело с , например, то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, два – вверх и т.д.

Например, вершина параболы :

$x_o=frac{4}{2}=2$ , . Теперь главное уяснить, что в этой вершине мы будем строить параболу по шаблону параболы , ведь в нашем случае.

При построении параболы после нахождения координат вершины очень удобно учитывать следующие моменты:

1) парабола обязательно пройдет через точку . Действительно, подставив в формулу x=0, получим, что . То есть ордината точки пересечения параболы с осью (оу), это . В нашем примере (выше), парабола пересекает ось ординат в точке , так как .

2) осью симметрии параболы является прямая $x=frac{-b}{2a}$ , поэтому все точки параболы будут симметричны относительно нее. В нашем примере, мы сразу берем точку (0; -2) и строим ей симметричную относительно оси симметрии параболы, получим точку (4; -2), через которую будет проходить парабола.

3) Приравнивая к , мы узнаем точки пересечения параболы с осью (ох). Для этого решаем уравнение . В зависимости от дискриминанта, будем получать одну (, $x=-frac{b}{2a}$ ), две (, $x_{1,2}=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}$ ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох). В предыдущем примере у нас корень из дискриминанта – не целое число, при построении нам особо нет смысла находить корни, но мы видим четко, что две точки пересечения с осью (ох) у нас будут (так как ), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.

Итак, давайте выработаем

Алгоритм для построения параболы, если она задана в виде

1) определяем направление ветвей ( а>0 – вверх, a<0 – вниз)

2) находим координаты вершины параболы по формуле $x_o=frac{-b}{2a}$ , .

3) находим точку пересечения параболы с осью (оу) по свободному члену , строим точку, симметричную данной относительно оси симметрии параболы (надо заметить, бывает, что эту точку невыгодно отмечать, например, потому, что значение велико… пропускаем этот пункт…)

4) В найденной точке – вершине параболы (как в точке (0;0) новой системы координат) строим параболу . Если , то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с

5) Находим точки пересечения параболы с осью (оу) (если они еще сами “не всплыли”), решая уравнение

Пример 1

Пример 2

Замечание 1. Если же парабола изначально нам задана в виде , где – некоторые числа (например, ), то построить ее будет еще легче, потому что нам уже заданы координаты вершины . Почему?

Возьмем квадратный трехчлен и выделим в нем полный квадрат: $ax^2+bx+c=a(x^2+frac{b}{a}x+frac{c}{a})=a((x^2+2frac{b}{2a}x+frac{b^2}{4a^2})-frac{b^2}{4a^2}+frac{c}{a})=a(x+frac{b}{2a})^2-frac{b^2}{4a}+c.$ Посмотрите, вот мы и получили, что $m=frac{-b}{2a}$ , $n=-frac{b^2}{4a}+c=y(frac{-b}{2a})$ . Мы с вами ранее называли вершину параболы , то есть теперь , .

Например, $y=-frac{1}{3}{(x+2)}^2+6$ . Отмечаем на плоскости вершину параболы , понимаем, что ветви направлены вниз, парабола расширена (относительно ). То есть выполняем пункты 1; 3; 4; 5 из алгоритма построения параболы (см. выше).

Замечание 2. Если парабола задана в виде, подобном этому (то есть представлен в виде произведения двух линейных множителей), то нам сразу видны точки пересечения параболы с осью (ох). В данном случае – (0;0) и (4;0). В остальном же действуем согласно алгоритму, раскрыв скобки.

Источник

График квадратичной функции

График квадратичной функции y=ax²+bx+c, (где a, b, c — числа, причём a≠0) — парабола. При a>0 ветви параболы направлены вверх, при a<0 — вниз.

Как и в частном случае — y=±x²+bx+c — существуют различные способы построения графика функции y=ax²+bx+c. Рассмотрим два из них.

I способ — по точкам.

1) Ищем координаты вершины параболы.

2) Находим точки пересечения графика с осями координат.

3) Для более точного изображения графика подбираем дополнительные точки. Прямая, проходящая через вершину параболы параллельно оси Ox, является осью симметрии параболы. Поэтому в качестве дополнительных точек можно взять несколько точек либо справа, либо слева от вершины (где проще находить y), после чего построить симметричные им точки.

Примеры.

1) Построить график функции y=0,25x²+0,5x-4,75.

Решение:

y=0,25x²+0,5x-4,75 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вверх (так как a=0,25>0). Координаты вершины параболы

$[{x_o} = frac{{ - b}}{{2a}} = frac{{ - 0,5}}{{2 cdot 0,25}} = - 1,]$

$[{y_o} = 0,25cdot{( - 1)^2} + 0,5cdot( - 1) - 4,75 = - 5.]$

Первая точка графика — (-1; -5).

Ищем точки пересечения параболы с осями координат. В точке пересечения с осью Ox y=0, то есть нужно решить уравнение 0,25x²+0,5x-4,75=0. Его дискриминант равен 5, искать корни смысла нет, поскольку положение точек в этом случае можно найти только приближенно.

В точках пересечения с осью Oy x=0, поэтому y(0)=0,25∙0²+0,5∙0-4,75=-4,75.

Вторая точка графика — (0; -4,75).

Прямая x= -1, проходящая через вершину параболы параллельно оси Ox, является осью симметрии параболы.

В качестве дополнительных берем точки справа от оси симметрии (проще вычислять y).

Найдём значение функции при x=1, x=3, x=5 и x=7 (удобнее брать нечётные значения x, поскольку в этом случае получаем целые значения y).

y(1)=0,25∙1²+0,5∙1-4,75=-4, точка (1; -4);

y(3)=0,25∙3²+0,5∙3-4,75=-1, точка (3; -1);

y(5)=0,25∙5²+0,5∙5-4,75=4, точка (5; 4);

y(7)=0,25∙7²+0,5∙7-4,75=11, точка (7; 11).

Найденные точки отмечаем на координатной плоскости. Строим точки, симметричные отмеченным относительно прямой x= -1. Через полученные точки проводим параболу:

График квадратичной функции y=0,25x²+0,5x-4,75

2) Построить график функции y= -2x²+12x-10.

Решение:

y= -2x²+12x-10 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вверх (так как a=-2<0).

Координаты вершины параболы

$[{x_o} = frac{{ - b}}{{2a}} = frac{{ - 12}}{{2 cdot ( - 2)}} = 3,]$

$[{y_o} = - 2 cdot {3^2} + 12 cdot 3 - 10 = 8.]$

(3; — вершина, x=3 — ось симметрии параболы.

В точках пересечения графика с осью Ox y=0, то есть решаем уравнение -2x²+12x-10=0. Его корни — x=1 и x=5. Получили точки графика (1; 0) и (5; 0).

В точке пересечения графика с осью Oy x=0:

y= -2∙0²+12∙0-10= -10. Точка графика — (0; -10).

Дополнительную точку возьмём справа от оси симметрии: x=2.

y= -2∙2²+12∙2-10= 6, (2; 6).

Найденные 5 точек отмечаем на координатной плоскости. Находим еще две точки, симметричные относительно прямой x=3 точкам (0; -10) и (2; 6). Через эти семь точек проводим параболу:

График квадратичной функции y=-2x²+12x-10

3) Построить график функции

$[y = frac{1}{3}{x^2} - x + 2]$

Решение:

$[y = frac{1}{3}{x^2} - x + 2]$

— квадратичная функции. Её графиком является парабола, ветви которой направлены вверх (так как a=1/3>0). Координаты вершины параболы

$[{x_o} = frac{{ - b}}{{2a}} = frac{{ - ( - 1)}}{{2 cdot frac{1}{3}}} = frac{3}{2} = 1,5,]$

$[{y_o} = frac{1}{3} cdot {(frac{3}{2})^2} - frac{3}{2} + 2 = frac{5}{4} = 1,25.]$

Первая точка графика — вершина (1,5; 1,25) — найдена.

Чтобы найти точки пересечения графика с осью Ox, надо решить уравнение

$[frac{1}{3}{x^2} - x + 2 = 0]$

Его дискриминант — число отрицательное. Значит, уравнение не имеет корней, а график функции не пересекает ось абсцисс.

Чтобы найти точку пересечения графика с осью Oy, находим значение функции при x=0:

$[y(0) = frac{1}{3} cdot {0^2} - 0 + 2 = 2.]$

Вторая точка графика — (0; 2).

Прямая x=1,5, проходящая через вершину параболы — её ось симметрии. Найдем пару точек графика слева от оси симметрии.

$[y( - 1) = frac{1}{3} cdot {( - 1)^2} - ( - 1) + 2 = 3frac{1}{3},]$

$[y( - 3) = frac{1}{3} cdot {( - 3)^2} - ( - 3) + 2 = 8.]$

Таким образом, получили ещё две точки

$[( - 1;3frac{1}{3});( - 3;8).]$

На координатной плоскости отмечаем найденные точки, затем — точки, симметричные им относительно оси симметрии, и проводим через них параболу:

График квадратичной функции y=(1/3) x²-x+2

В алгебре с построением графиков, в том числе, графиков квадратичных функций, приходится иметь дело при решении заданий из самых разных разделов. Вот почему важно вовремя успешно овладеть навыками построения квадратичной параболы.

Другой способ построения графика квадратичной функции рассмотрим в следующий раз.

Источник

Парабола в математике: уравнение, построение, виды

Содержание:

Что такое парабола в математике
Алгоритм построения параболы
- Примеры решения задач на построение параболы
Смещение параболы

Что такое парабола в математике

Парабола — график квадратичной функции вида (f(x)=ax^2+bx+c). Состоит данный график из вершины и ветвей.

Парабола

Источник: tutomath.ru

При этом (aneq0), иначе функция уже будет не квадратичной, а линейной.

Формула параболы может рассказать нам о многом:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Коэффициент (a) говорит о направлении ветвей параболы. Если (а>0), то ветви смотрят вверх, если (а<0), вниз.
От параметра (b) зависит вершина параболы. Она рассчитывается по формуле: (x_в=frac{-b}{2a})
Свободный член (с) отвечает за пересечение параболы с осью (y).

Алгоритм построения параболы

Построим график функции (f(x)=ax^2+bx+c.)

Определим куда смотрят ветви параболы.
Найдем вершину по формуле (x_в=frac{-b}{2a}). Подставим (x_в) в формулу функции и получим значение (y_в). Таким образом мы имеем обе координаты вершины. Нанесем их на систему координат.
Найдем точку пересечения с осью y по параметру с и нанесем на чертеж точку, симметричную ей, относительно оси симметрии параболы, т.е. прямой (y=frac{-b}{2a}.)
Далее решаем уравнение (ax^2+bx+c=0). Получаем корни — они являются точками пересечения параболы с осью (x). Если они рациональны, наносим их на чертеж, в обратном случае, они не пригодятся.
Затем считаем значения функции в дополнительных симметричных точках и соединяем все найденные точки.

Примеры решения задач на построение параболы

Пример задачи

Источник: egemaximum.ru

Пример задачи 2

Источник: egemaximum.ru

Смещение параболы

Свободный член с смещает параболу по оси y. Например, если c=2, то парабола f(x)=ax^2+bx сместится вверх на 2 единичных отрезка, а если с=-2, то график сместится вниз так же на 2 единичных отрезка.

Смещение параболы

Источник: egemaximum.ru

В случае, когда к аргументу x прибавляется или вычитается какое-либо число, график смещается по оси x. Например, для построения графика функции (y={(x+4)}^2) достаточно сместить график (y=x^2 )на 4 единичных отрезка влево, а для построения графика (y={(x-3)}^2) нужно сместить график (y=x^2) на 3 единичных отрезка вправо.

Смещение параболы 2

Насколько полезной была для вас статья?

Рейтинг: 5.00 (Голосов: 1)

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»

Текст с ошибкой:

Расскажите, что не так

Поиск по содержимому

Источник

§4. Построение графиков функций

График квадратичной функции `y=ax^2+bx+c` (где `a!=0`) — парабола. Абсцисса вершины этой параболы задаётся формулой `x_B=-b/(2a)`. Если `a>0`, то ветви параболы направлены вверх, если `a<0` — вниз.

Если дискриминант квадратного трёхчлена положителен, то парабола пересекает ось абсцисс в двух точках (абсциссы этих точек — корни квадратного уравнения `ax^2+bx+c=0`); если дискриминант меньше нуля — то не имеет с осью абсцисс ни одной общей точки; если равен нулю — парабола имеет с осью абсцисс ровно одну общую точку (в этом случае говорят, что парабола касается оси абсцисс). В последнем случае квадратный трёхчлен имеет вид `a(x-x_0)^2`.

Постройте график функции `y=-2x^2+8x-5`.

Выделим полный квадрат:

`y=-2x^2+8x-5=-2(x^2-4x)-5=`

`=-2(x^2-4x+4-4)-5=-2(x-2)^2+8-5=`

`=-2(x-2)^2+3`.

График функции `y=-2(x-2)^2+3` — парабола, полученная из параболы `y=2x^2` с помощью симметрии относительно оси абсцисс, затем параллельного переноса на `2` единицы вправо вдоль оси абсцисс и, наконец, параллельного переноса на `3` единицы вверх вдоль оси ординат (см. рис. 10).

При помощи построения графика квадратичной функции можно решать квадратные неравенства.

Решите неравенство:

а) `x^2-x-2>0`;

б) `4x^2+4x+1<=0`;

в) `3x^2-2x+1>0`.

а) График квадратного трёхчлена `y=x^2-x-2` — парабола, её ветви направлены вверх (коэффициент при `x^2` положителен), абсциссы точек пересечения с осью `Ox:` `x_1=-1`, `x_2=2` (корни квадратного уравнения `x^2-x-2=0`). Все точки оси абсцисс, для которых парабола находится выше этой оси (т. е. решения данного неравенства), расположены вне промежутка между корнями `x_1` и `x_2`. Значит, множество решений данного неравенства — объединение открытых лучей:

`(-oo;-1)uu(2;+oo)`.

`x in (-oo;-1)uu(2;+oo)`.

б) `4x^2+4x+1<=0 iff (2x+1)^2<=0 iff 2x+1=0 iff x=-0,5`.

`x=-0,5`.

в) График квадратного трёхчлена `y=3x^2-2x+1` — парабола, её ветви направлены вверх (коэффициент при `x^2` положителен), она не пересекает ось абсцисс, т. к. уравнение `3x^2-2x+1=0` не имеет решений (его дискриминант отрицателен). Поэтому все точки параболы расположены выше оси `Ox`. Следовательно, данное неравенство истинно для всех `x`.

`x in RR`.

Заметим, что эти неравенства могли быть решены также с помощью метода интервалов, изложенного выше (см. §2).

Парабола `y=2016x^2-1941x-76` — пересекает ось абсцисс в точках `x_1` и `x_2`. Определите, где на этой прямой расположены точки `1`; `–1`; `–5` (т. е. вне промежутка между `x_1` и `x_2` или внутри него?).

Так как `a>0` и `c<0`, то `D>0` и данное уравнение имеет корни.

График функции `f(x)=2016x^2-1941x-76` — это парабола, ветви которой направлены вверх. Видно, что точка лежит в промежутке между корнями тогда и только тогда, когда `f(x)<0` и вне этого промежутка, если `f(x)>0` (см. рис. 11).

`f(1)=-1<0=>1 in (x_1;x_2)`;

`f(-1)=2016+1941-76>0=>1!in (x_1;x_2)`;

`f(-5)=2016*25+1941*5-76>0=>5!in (x_1;x_2)`.

Определите знаки коэффициентов квадратного трёхчлена `y=ax^2+bx+c`, график которого изображён на рис. 12.

1) Заметим, что `y(0)=c`, откуда `c>0`.

2) Ветви параболы направлены вниз `=>a<0`.

3) Ось симметрии параболы — это прямая `x_B=-b/(2a)`, по рисунку видно, что `-b/(2a)>0`, откуда `b>0`.

`a<0`, `b>0`, `c>0`.

Найти все значения `l`, при которых неравенство

`lx^2-2(l-6)x+3(l-2)<0`

верно для всех значений `x`.

Коэффициент при `x^2` зависит от `l` и равен `0` при `l= 0`. В этом случае данное неравенство не квадратное, а линейное: `12x-6<0`. Это неравенство неверно, например, при `x=1`, значит, при `l=0` данное неравенство не является верным для всех значений `x`.

Рассмотрим значения `l!=0`. Для них данное неравенство квадратное. Видно, что все числа являются его решениями только в одном случае: во-первых, если старший коэффициент отрицателен, (т. е. ветви параболы направлены вниз), и во-вторых, если дискриминант отрицателен, (т. е. парабола не пересекает ось абсцисс).

Получаем систему неравенств

$$left{begin{array}{l}l<0,\frac D4=left(l-6right)^2-3lleft(l-2right)<0end{array}right.Leftrightarrowleft{begin{array}{l}l<0,\-2l^2-6l+36<0end{array}right.Leftrightarrow$$

$$Leftrightarrowleft{begin{array}{l}l<0,\left(-2l+6right)left(l+6right)<0end{array}right.Leftrightarrowleft{begin{array}{l}l<0,\linleft(-infty;-6right)cupleft(3;+inftyright)end{array}right.Leftrightarrow l<-6.$$

`l< -6`.

Перейдём к графикам, содержащим знак модуля.

Постройте график функции:

а) `y=|x+3|`;

б) `y=4-|x|`;

в) `y=|4-2x|-1`;

г) `y=2|x+4|+|x-3|+2x-3|x+1|`;

д) `y=|||x|-3|-1|`.

а) Рассмотрим графики функций `f(x)=|x|` и `g(x)=|x+3|`. Заметим, что при подстановке значения `x_0` в функцию `f(x)` и значения `(x_0-3)` в функцию `g(x)` получается одно и то же число. Это означает, что если графику функции `y=f(x)` принадлежит точка с координатами `A(x_0;|x_0|)`, то графику функции `y=g(x)` принадлежит точка `B(x_0-3;|x_0|)`, расположенная на `3` единицы слева от точки `A`.

Таким образом, график функции `g(x)` получается из графика функции `f(x)` сдвигом на `3` единицы влево (рис. 13).

б) Рассмотрим функции `f(x)=-|x|` и `g(x)=4-|x|`. При любом `x` значение функции `g(x)` на `4` больше, чем значение функции `f(x)`, а это означает, что график функции `g(x)` получается из графика функции `f(x)` сдвигом на `4` единицы вверх (рис. 14).

в) `y=|4-2x|-1=|2x-4|-1=2|x-2|-1`.

Построим сначала график функции `y=|x|` (рис. 15а).

График функции `y=2|x|` получается из него «растяжением» в два раза (рис. 15б); график `y=2|x-2|` получается из предыдущего сдвигом на `2` единицы вправо (рис. 15в);

график `y=2|x-2|-1` получается из последнего сдвигом на единицу вниз (рис. 15г).

График функции `y=af(x-b)+c` получается из графика функции `y=f(x)` следующим образом.

1) Проводится «растяжение» в `|a|` раз; при этом если `a<0`, то график функции отражается относительно оси абсцисс.

2) График сдвигается на `|b|` влево (если `b<0`) или на `|b|` вправо (`b>0`).

3) График сдвигается на `|c|` вверх при `c>0` и на `|c|` вниз при `c<0`.

г) Отметим на числовой прямой точки, в которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в ноль (рис. 16а). Эти три точки делят числовую прямую на четыре части, причём на каждой из частей знаки выражений, стоящих под модулями, не меняются.

Возможны 4 случая.

1) `ul(x<=-4)`. Тогда `x+4<=0`, `x-3<0`, `x+1<0`, поэтому

`y=2*(-x-4)-(x-3)+2x+3(x+1)=2x-2`.

Получаем луч (часть прямой `y=2x-2`, лежащую слева от прямой `x=-4`).

2) `ul(-4<x<=-1)`. Тогда `x+4>0`, `x-3<0`, `x+1<=0`, поэтому

`y=2(x+4)-(x-3)+2x+3(x+1)=6x+14`.

Получаем отрезок (часть прямой `y=6x+14`, лежащая между прямыми `x=-4` и `x=-1`).

3) `ul(-1<x<=3)`. Тогда `x+4>0`, `x-3<=0`, `x+1>0`, поэтому

`y=2(x+4)-(x-3)+2x-3(x+1)=8`.

Получаем отрезок (часть прямой `y=8`, заключённая между прямыми `x=-1` и `x=3`).

4) `ul(x>3)`. Тогда `x+4>0`, `x-3>0`, `x+1>0`, поэтому

`y=2(x+4)+(x-3)+2x-3(x+1)=2x+2`.

Получаем луч (часть прямой `y=2x+2`, находящуюся справа от прямой `x=3`). График см. на рис. 16б.

Укажем второй способ построения. На каждом из четырёх участков `(-oo;-4]`, `[-4;-1]`, `[-1;3]`, `[3;+oo)` после раскрытия модулей получим линейную функцию, графиком которой является прямая. Чтобы построить прямую, достаточно знать две её точки. Отсюда вытекает следующий способ построения. Вычислим значения функции в точках `x=-4`, `x=-1` и `x=3`, а также в каких-либо точках, лежащих на промежутках `(-oo;-4)` и `(3;+oo)`, например, `x=-5` и `x=4`. Получаем пять точек, принадлежащих графику:

`A(-4;-10)`, `B(-1;8)`, `C(3;8)`, `D(-5;-12)`, `E(4;10)`.

Проводим отрезки `AB` и `BC`, лучи `AD` и `CE` и получаем график.

д) Построим сначала график функции `f_1(x)=|x|-3` (рис. 17а).

График `f_2(x)=||x|-3|` получается из графика функции `f_1(x)` так: точки, лежащие выше оси `Ox` и на оси `Ox` сохраняются, а все точки, лежащие ниже оси `Ox`, отражаются относительно оси `Ox` в верхнюю полуплоскость (рис. 17б). Действительно, если `f_1(x)>=0`, то `f_2(x)=|f_1(x)|=f_1(x)`, а если `f_1(x)<0`, то `f_2(x)=|f_1(x)|=-f_1(x)`. Таким образом, если при некотором `x` оказалось, что `f_1(x)>=0`, то точки на графике для `f_1(x)` и `f_2(x)` совпадают. Если же `f_1(x)<0`, то для `y=f_2(x)` абсцисса точки не поменяется, а ордината сменит знак. График функции `f_3(x)=||x|-3|-1` получается из графика функции `f_2(x)` сдвигом на единицу вниз (рис. 17в).

График функции `f_4(x)=|||x|-3|-1|` получается из `f_3(x)` отражением всех точек, лежащих ниже оси `Ox`, относительно оси `Ox` наверх (рис. 17 г).

График функции `y=|f(x)|` получается из графика функции `y=f(x)` следующим образом. Все точки, лежащие выше оси `Ox` и на оси `Ox`, сохраняются, а все точки, лежащие ниже оси `Ox`, отражаются относительно оси `Ox` и попадают в верхнюю полуплоскость.

Постройте график функции:

а) `y=x^2-4x+3`,

б) `y=|x^2-4x+3|`,

в) `y=x^2-4|x|+3`,

г) `y=|x^2-4|x|+3|`.

а) `x^2-4x+3=x^2-4x+4-1=(x-2)^2-1`.

График функции `y=x^2-4x+3` получается из графика функции `y=x^2` сдвигом на `2` вправо и на `1` вниз (рис. 18а).

б) Отразим все точки графика пункта а), лежащие ниже оси абсцисс, относительно этой оси (рис. 18б).

в) Заметим, что функция `f(x)=x^2-4|x|+3` чётная (т. е. удовлетворяет условию `f(-x)=f(x)`), поэтому её график симметричен относительно оси ординат. Кроме того, при `x>=0` этот график совпадает с графиком функции `f(x)=x^2-4x+3`.

Отсюда вытекает следующий способ построения. От графика функции `y=x^2-4x+3` оставим точки, лежащие справа от оси `Oy`, отразим их симметрично относительно этой оси, а точки, лежащие слева от оси `Oy`, отбросим (рис. 18в).

График функции `y=f(|x|)` получается из графика функции `y=f(x)` следующим образом. Отбрасываем все точки, лежащие слева от оси `Oy`, а оставшиеся точки отражаем относительно оси `Oy`.

г) Есть 2 способа построения.

(1) Все точки графика из пункта (в), лежащие ниже оси абсцисс, отражаем относительно этой оси.

(2) От графика пункта (б) отбрасываем точки, лежащие слева от оси ординат; все точки, находящиеся справа от оси ординат, отражаем относительно неё. Разумеется, в обоих случаях получается одинаковый результат (рис. 18г).

Теперь рассмотрим график функции `y=(ax+b)/(cx+d)`; при этом считаем, что

1) `c!=0` — т. к. иначе получится линейная функция – и

2) коэффициенты в числителе и в знаменателе не пропорциональны друг другу, т. е. `ad!=bc`. (Если `ad=bc`, то `b=(ad)/c` и получаем

`(ax+b)/(cx+d)=(ax+(ad)/c)/(cx+d)=(a/c(cx+d))/(cx+d)=a/c` при `cx+d!=0`).

Покажем на примере, как этот график может быть построен.

Постройте график функции:

а) `y=6/(2x+3)`;

б) `y=(6-3x)/(2x+1)`.

а) `y=3/(x+3//2)`. Это график получается из гиперболы `y=3/x` параллельным переносом на `3/2` влево (см. рис. 19). Асимптотами этой гиперболы являются прямые `x=-3/2` и `y=0`. (У каждой гиперболы есть две асимптоты. Горизонтальная асимптота `y=bbb»const»` — это та прямая, к которой график приближается при `x`, стремящемся к бесконечности. Вертикальная асимптота `x=bbb»const»` возникает при том значении `x`, где знаменатель дроби обращается в ноль. При `x`, приближающемся к данной точке, функция стремится к бесконечности).

б) Отношение коэффициентов при `x` в числителе и знаменателе дроби равно `(-3/2)`.

Преобразуем данную дробь, добавляя и вычитая `(-3/2)`:

`y=-3/2+((6-3x)/(2x+1)+3/2)`.

Дроби в скобках приводим к общему знаменателю:

`y=-3/2+(12-6x+6x+3)/(2(2x+1)) iff y=-3/2+15/(4x+2) iff`

`iff y=-3/2+(15//4)/(x+1//2)`.

Этот график получается из графика `y=(15//4)/x` параллельным переносом на `3/2` вниз и на `1/2` влево (рис. 20).

Источник

Что такое квадратичная функция

Полиномиальная функция второй степени называется квадратичной функцией. Формально, f (x) = ax ² + bx + c — квадратичная функция, где a, b и c — действительная постоянная и a ≠ 0 для всех значений x. График квадратичной функции является параболой.

Как найти ось симметрии квадратичной функции

Любая квадратичная функция показывает поперечную симметрию поперек оси y или линии, параллельной ей. Ось симметрии квадратичной функции может быть найдена следующим образом:

f (x) = ax ² + bx + c, где a, b, c, x∈R и a ≠ 0

Написание х терминов в виде полного квадрата у нас есть,

Переставляя члены вышеприведенного уравнения

Это означает, что для каждого возможного значения f (x) есть два соответствующих значения x. Это хорошо видно на диаграмме ниже.

Эти значения расположены,

расстояние влево и вправо от значения -b / 2a. Другими словами, значение -b / 2a всегда является средней точкой линии, соединяющей соответствующие значения x (точки) для любого заданного f (x).

Следовательно,
x = -b / 2a — уравнение оси симметрии для заданной квадратичной функции в виде f (x) = ax ² + bx + c

Как найти ось симметрии квадратичной функции — Примеры

Квадратичная функция задается как f (x) = 4x ² + x + 1. Найдите симметричную ось.

х = -b / 2a = -1 / (2 × 4) = — 1/8

Следовательно, уравнение оси симметрии имеет вид х = -1 / 8

Квадратичная функция задается выражением f (x) = (x-2) (2x-5)

Упрощая выражение, мы получаем f (x) = 2x ² -5x-4x + 10 = 2x ² -9x + 10

Мы можем сделать вывод, что a = 2 и b = -9. Следовательно, мы можем получить ось симметрии как

х = — (-9) / (2 × 2) = 9/4

Источник

I СЛУЧАЙ, КЛАССИЧЕСКАЯ ПАРАБОЛА

II СЛУЧАЙ, «a» ОТЛИЧНО ОТ ЕДИНИЦЫ

III СЛУЧАЙ, ПОЯВЛЯЕТСЯ «С»

IV СЛУЧАЙ, ПОЯВЛЯЕТСЯ «b»

Парабола в математике: уравнение, построение, виды

Что такое парабола в математике

Алгоритм построения параболы

Примеры решения задач на построение параболы

Смещение параболы

Текст с ошибкой:

Поиск по содержимому

§4. Построение графиков функций

Что такое квадратичная функция

Как найти ось симметрии квадратичной функции

Как найти ось симметрии квадратичной функции — Примеры

Не пропустите также: