Как найти секущую в прямоугольнике

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по геометрии 7-9 класс
4. Четырехугольники
5. Прямоугольник

Советуем посмотреть:

Многоугольник

Выпуклый многоугольник

Четырехугольник

Параллелограмм

Признаки параллелограмма

Трапеция

Ромб и квадрат

Осевая и центральная симметрии

Четырехугольники

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 399,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 403,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 453,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 486,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 565,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 708,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 745,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 774,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 895,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 951,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Прямоугольник, свойства, признаки и формулы.

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые (каждый из углов равен 90 градусам).

Прямоугольник (понятие, определение)

Видеоурок “Прямоугольник“

Свойства прямоугольника

Признаки прямоугольника

Формулы прямоугольника

Прямоугольник (понятие, определение):

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые (каждый из углов равен 90 градусам).

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого каждый угол является прямым.

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого две противоположные стороны равны между собой и все четыре угла равны между собой и каждый из них составляет 90 градусов.

Рис. 1. Прямоугольник

В свою очередь четырёхугольник (греч. τετραγωνον) – это геометрическая фигура (многоугольник), состоящая из четырёх точек (вершин), никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), последовательно соединяющих эти точки.

Длинную сторону прямоугольника называют длиной прямоугольника, а короткую – шириной прямоугольника.

@ https://youtu.be/_EVDcbOydAI

Свойства прямоугольника:

1. Прямоугольник является параллелограммом – его противоположные стороны попарно параллельны.

Рис. 2. Прямоугольник

AB || CD,   BC || AD

2. Противоположные стороны прямоугольника равны.

Рис. 3. Прямоугольник

AB = CD,  BC = AD

3. Стороны прямоугольника являются его высотами.

4. Прилегающие стороны прямоугольника всегда перпендикулярны.

Рис. 4. Прямоугольник

AB ┴ BC,   BC ┴ CD,   CD ┴ AD,   AD ┴ AB

5. Каждый угол прямоугольника прямой и равен 90 градусам. Сумма всех углов прямоугольника составляет 360 градусов.

Рис. 5. Прямоугольник

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°,

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Диагонали прямоугольника равны.

Рис. 6. Прямоугольник

AC = BD

7. Каждая диагональ прямоугольника делит его на два одинаковых прямоугольных треугольника.

Рис. 7. Прямоугольник

△ABD = △BCD, △ABC = △ACD

8. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его смежных сторон (что вытекает из теоремы Пифагора).                                   

Рис. 8. Прямоугольник

AC² ​= AD​²​​+ CD​²

9. Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам.

Рис. 9. Прямоугольник

AO = BO = CO = DO = АС / 2 = BD / 2

10. Около любого прямоугольника можно описать окружность. Диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности.

Рис. 10. Прямоугольник

АС и BD – диаметр описанной окружности и диагональ прямоугольника

11. Точка пересечения диагоналей называется центром прямоугольника и является центром описанной окружности.

12. Прямоугольник может содержать вписанную окружность и только одну, если все его стороны равны, т.е. он является квадратом.

Рис. 11. Квадрат

AВ = ВC = AD = CD

Признаки прямоугольника: 

– если диагонали параллелограмма равны, то он является прямоугольником;

– если квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов смежных сторон, то он (параллелограмм) является прямоугольником;

– если углы параллелограмма равны, то он является прямоугольником. 

Формулы прямоугольника:

Пусть a – длина прямоугольника, b – ширина прямоугольника, d – диагональ и диаметр описанной окружности прямоугольника, R – радиус описанной окружности прямоугольника, P – периметр прямоугольника, S – площадь прямоугольника.

Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника):

,

,

,

. 

Формула диагонали прямоугольника:

,              

d = 2R.

Формулы периметра прямоугольника:

P = 2a + 2b,

P = 2(a + b). 

Формулы площади прямоугольника:

S = a · b. 

Формула радиуса окружности, описанной вокруг прямоугольника:

.

Прямоугольник

Прямоугольный треугольник

Равнобедренный треугольник

Равносторонний треугольник

Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com

Видео https://youtu.be/_EVDcbOydAI

Коэффициент востребованности
5 410

Теорема

(Свойство секущих)

Для каждой из секущих, проведённых из одной точки, произведение длины секущей на длину её внешней части есть величина постоянная.

Дано: окружность (O; R), AB и AC — секущие,

AB∩окр. (O; R)=F, AC∩окр. (O; R)=K

Доказать:

AB ∙ AF=AC ∙ AK

Доказательство:

I способ

Рассмотрим треугольники ABK и ACF.

∠A — общий угол;

∠ABK=∠ACF (как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу FK).

Следовательно, треугольники ABK и ACF подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

По основному свойству пропорции:

Что и требовалось доказать.

II способ

1) Проведём отрезки FK и BC.

2) Так как четырёхугольник BFKC — вписанный в окружность, то сумма его противолежащих углов равна 180º:

∠BCK+∠BFK=180º. Следовательно, ∠BFK=180º-∠BCK.

3) ∠AFK+∠BFK=180º (как смежные). Отсюда,

∠AFK=180º-∠BFK=180º-(180º-∠BCK)=180º-180º+∠BCK=∠BCK,

то есть ∠AFK=∠BCK.

4) Рассмотрим треугольники ABC и AKF.

У них ∠ACB=∠AFK (так как ∠AFK=∠BCK по доказанному), ∠A — общий угол. Следовательно, треугольники ABC и AKF — подобны (по двум углам).

Отсюда,

Что и требовалось доказать.

При решении задач будем использовать свойство секущих, а также запомним полученные в ходе доказательства теоремы факты о подобии треугольников, образованных секущими. Причем подобие треугольников ABC и AKF можно доказывать как приведённым выше способом, так и опираясь на свойство секущих.

[{Large{text{Прямоугольник}}}]

Определение

Прямоугольник – это параллелограмм, у которого один угол прямой.

Таким образом, прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма:

(sim) противоположные стороны попарно равны;

(sim) диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Теоремы: свойства прямоугольника

1) Все углы прямоугольника прямые.

2) Диагонали прямоугольника равны.

Доказательство

1) Пусть (angle A=90^circ). Т.к. в параллелограмме сумма соседних углов равна (180^circ), то (angle B=180^circ-angle A=90^circ).

Т.к. в параллелограмме противоположные углы равны, то (angle
C=angle A=90^circ, angle D=angle B=90^circ), чтд.

Прямоугольные треугольники (ACD) и (DBA) равны по двум катетам ((CD = BA), (AD) – общий катет). Отсюда следует, что гипотенузы этих треугольников равны, т.е. (AC = BD).

Следствие

Таким образом, половинки диагоналей в прямоугольнике равны, т.е. (OA=OB=OC=OD).

Теоремы: признаки прямоугольника

1) Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.

2) Если в выпуклом четырехугольнике все углы прямые, то он – прямоугольник.

Доказательство

Треугольники (ABD) и (DCA) равны по трем сторонам ((AB = CD), (BD =
AC), (AD) – общая сторона). Отсюда следует, что (angle A = angle
D). Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то (angle
A = angle C) и (angle B = angle D). Таким образом, (angle A =
angle B = angle C = angle D). Параллелограмм – выпуклый четырехугольник, поэтому (angle A + angle B + angle C + angle D
= 360^circ). Следовательно, (angle A = angle B = angle C =
angle D = 90^circ).

Т.к. (angle A+angle B=180^circ) – односторонние углы при прямых (AD) и (BC) и секущей (AB), следовательно, (ADparallel BC).

Аналогично доказывается, что (ABparallel CD). Значит, (ABCD) – параллелограмм. Т.к. у него к тому же все углы прямые, то по определению это прямоугольник.
 

[{Large{text{Квадрат}}}]

Определение

Два эквивалентных определения квадрата:

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Квадрат – это ромб, у которого один угол прямой.

Свойства квадрата

Так как квадрат является прямоугольником и ромбом, то он обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба:

(sim) Все углы квадрата равны (90^circ);

(sim) Все стороны квадрата равны;

Прямоугольник

• Свойства диагоналей

Прямоугольник — это выпуклый многоугольник. Прямоугольник образуется замкнутой ломаной линией, состоящей из четырёх звеньев, и той частью плоскости, которая находится внутри ломаной.

В тексте прямоугольники обозначаются четырьмя прописными латинскими буквами, стоящими при вершинах —  ABCD.

У прямоугольников противоположные стороны параллельны и равны:

В прямоугольнике  ABCD  точки  A,  B,  C  и  D  — это вершины прямоугольника, отрезки  AB,  BC,  CD  и  DA  — стороны. Углы, образованные сторонами, называются внутренними углами или просто углами прямоугольника.

Главное отличие прямоугольников от остальных четырёхугольников — четыре прямых внутренних угла:

Свойства диагоналей

Отрезки, соединяющие противолежащие вершины прямоугольника, называются диагоналями.

Отрезки  AC  и  BD  — диагонали,  O  — точка пересечения диагоналей.

В любом прямоугольнике можно провести всего две диагонали. Они обладают следующими свойствами:

• диагонали прямоугольника равны

  AC = BD;
• точка пересечения делит каждую диагональ на два равных отрезка

  AO = OC    и    BO = OD;

• так как диагонали равны, то и отрезки, на которые они разделяются в точке пересечения, тоже равны между собой:

  AO = OC = BO = OD;

• каждая диагональ делит прямоугольник на два равных треугольника:

  ΔABC = ΔCDA    и    ΔDAB = ΔBCD.

Квадрат — прямоугольник, у которого все стороны равны. Диагонали квадрата обладают всеми свойствами диагоналей прямоугольника. Также диагонали квадрата имеют и дополнительных свойства:

• диагонали квадрата пересекаются под прямым углом, то есть они взаимно перпендикулярны:

  AC ⊥ BD;

• диагонали квадрата делят его на четыре равных треугольника:

  ΔABO = ΔBCO = ΔCDO = ΔDAO;

• диагонали квадрата делят внутренние углы на две равные части, то есть они являются биссектрисами.