Как найти реакцию звена - Autoru.top - решение различных проблем

в) Центр тяжести совпадает с осью вращенияε =0, то Pи = 0; Ми = 0. Третий случай: звено совершает поступательное движение (ползун) (рис.6).

Здесь ε = 0 , Ми = 0. Если движение звена неравномерное, то возникает сила инерции

Pu = −m aS

Рис.6

Если в задании на курсовое проектирование не задан момент инерции звена, его можно приближенно определить по формуле:

где m – масса звена, l – длина звена,

K – коэффициент 8 ÷10

Одной из задач динамики механизмов является определение сил, действующих на элементы кинематических пар, и так называемых уравновешивающих сил. Знание этих сил необходимо для расчета механизмов на прочность, определения мощности двигателя, износа трущихся поверхностей, установления типа подшипников и их смазки и т. д., т. е. силовой расчет механизма является одной из существенных стадий проектирования машин.

Под уравновешивающими силами принято понимать силы, уравновешивающие заданные внешние силы и силы инерции звеньев механизма, определенные из условия равномерного вращения кривошипа. Число уравновешивающих сил, которые нужно приложить к механизму, равно количеству начальных звеньев или, иначе, — числу степеней свободы механизма. Так, например, если механизм обладает двумя степенями свободы, то в механизме должны быть приложены две уравновешивающие силы.

Силовой анализ механизмов основывается на решении прямой, или первой, задачи динамики — по заданному движению определить действующие силы. Поэтому законы движения начальных звеньев при силовом анализе считаются заданными. Внешние силы, приложенные к звеньям механизма, обычно тоже считаются заданными и, следовательно, подлежат определению только реакции в кинематических парах. Но иногда внешние силы, приложенные к начальным звеньям, считают неизвестными. Тогда в силовой анализ входит определение сил, при которых выполняются принятые законы движения начальных звеньев. При решении обеих задач используется принцип Д’Аламбера, согласно которому звено механизма может рассматриваться как находящееся в равновесии, если ко всем внешним силам, действующим на него, добавить силы инерции. Уравнения равновесия в этом случае называют уравнениями кинетостатики, чтобы отличить их от обычных уравнений статики, т. е. уравнений равновесия без учета сил инерции. Обычно звенья плоских механизмов имеют плоскость симметрии, параллельную плоскости движения. Тогда главный вектор сил инерции звена Pu и главный момент сил инер-

ции звена Mu , определяются по формулам:

Pu = −m aS Mu = −JS ε,

где m— масса звена;

aS — вектор ускорения центра масс.

При кинетостатическом расчете механизма необходимо определить реакции в кинематических парах и либо уравновешивающую силу, либо уравновешивающий момент пары сил.

Силовой расчет механизмов будем вести в предложении, что трение в кинематических парах отсутствует и все силы, действующие на механизм расположены в одной плоскости.

Одним из известных методов силового расчета является метод рассмотрения каждого звена механизма в равновесии. При этом методе механизм расчленяется на отдельные звенья.

Вначале рассматривается равновесие крайнего звена, считая от главного (ведущего), затем равновесие звена, соединенного с крайним, и т.д. Равновесие главного звена рассматривается в последнюю очередь.

Рассматривая отдельно взятое звено в равновесии, необходимо приложить к нему все внешние силы (PДВ, РПС ,РИ ,G) включая реакции связей, с которыми отсоединенные звенья действуют на взятое звено.

Изложим методику расчета на примере четырехзвенного механизма. Вначале рассмотрим в равновесии звено 3 (коромысло), приложив к нему все действующие силы, включая реакции связей. (Рис.7)

R23

					R23
					C		R23
						3
			C		Ê	è
	B	2				Ð
Py	Ê	Ð	PÏ.Ñ.	S

	è	R03
		PÏ.Ñ.	S
	1	3			D
				G3
			D
A
		G3

		à)					á)

Ðèñ. 7

Реакция во вращательной паре “С” неизвестна ни по величине, ни по направлению. Для определения этой реакции заменяем её двумя составляющими

(рис. 7б), одну из которых – R‘23 направляем по шатуну (2), вторую составляющую R23 – R‘23‘ – по коромыслу (3).

R23 = R‘23 +R‘23‘

Величина R‘23 может быть найдена из условия равновесия рассматриваемого звена.

Звено (3) находится в равновесии под действием следующих сил РП.С.; Риз; G3; R03; R‘23 ; R‘23‘ . Составляем уравнение моментов всех сил относительно точки D

∑MD (Pi ) = 0

−PП.С. hрП.С. − Рu3 hpu	+ G3 hG	− R	‘	hR‘	= 0
23
						23
откуда
R	‘	=	G3 hG −PП.С. hрП.С.−Рu3 hpu
23		hR‘23

Если после определения этой величины она окажется отрицательной, то её направление будет противоположно выбранному.

Составляющую R»23 можно найти, рассмотрев в равновесии отдельно взятое звено (2) (рис.8а).

		Pè		f
R12			R32	Pè
Ê S	2 C		R12
		d	R32 c
B	Ê	R32	R32	a	G

G2
			b

Ðèñ. 8

Из условия равновесия звена (2) можно написать

∑MB (Pi ) = 0

Рu2 hpu − G2 hG2 − R»23 hR»23 = 0

причем R32‘ ‘ = −R‘23‘

R32‘ ‘ = Pu2 hpuh−R32′ G‘ 2 hG2

Оставшуюся неизвестную реакцию R12 можно найти графическим методом, построив план сил этого звена (рис. 8б).

Уравнение равновесия звена (2) имеет следующий вид:

R12 +G2 +Pu 2 +R32‘ +R32‘ ‘ = 0

Из произвольно выбранного полюса f откладываем в масштабе μp силу R32‘ ‘ в виде вектора

fd , к нему геометрически прибавляем вектор db , изображающий в том же масштабе μР силу

G и т.д.

Вектор df дает нам величину реакции R12 в масштабеμp .

Далее приступаем к нахождению силы, уравновешивающей механизм. Для этого рассматриваем в равновесии кривошип AB. (рис.9).

K Pè R21

R01

A G1

Ðèñ. 9

Кривошип находится под действием силы веса G1, реакции шатуна (2) на кривошип R21, силу инерции Pu1.

Под действием этих сил кривошипы в общем случае не будет находиться в равновесии. Для равновесия необходимо приложить уравновешивающую силу Рy, или уравновешивающий момент Мy.

Этими уравновешивающими силой и моментом являются реактивные силы или момент от двигателя.

Пусть уравновешивающая сила будет направлена по нормали к кривошипу и приложения в точке В. Из условия равновесия звена АВ можно составить уравнение суммы моментов всех сил относительно точки А.

∑MA (Pi ) = 0

−R21 hR21 −G hG1 −Py hPy = 0

откуда

Py = −R21 hR21 −G hG1 ; hPy

Уравновешивающую силу можно найти также методом, при котором в равновесии рассматривается весь механизм.

Условие равновесия механизма можно выразить следующим уравнением:

Сумма мощностей всех сил, приложенных к механизму, с учетом сил инерции и уравновешивающих сил равна нулю.

Мгновенная мощность силы, приложенной в i –той точке пропорциональна моменту этой силы относительно конца вектора повернутой скорости данной точки (рис.10).

Соседние файлы в предмете Теория механизмов и машин

Источник

Лекции по курсу «Управление Техническими Системами», читает Козлов Олег Степанович на кафедре «Ядерные реакторы и энергетические установки», факультета «Энергомашиностроения» МГТУ им. Н.Э. Баумана. За что ему огромная благодарность.

Данные лекции только готовятся к публикации в виде книги, а поскольку здесь есть специалисты по ТАУ, студенты и просто интересующиеся предметом, то любая критика приветствуется.

В это части будут рассмотрены:

2.9. Использование обратных преобразований Лапласа для решения уравнений динамики САР (звена).
2.10. Весовая и переходная функции звена (системы).
2.11. Определение переходного процесса в системе (САР) (звене) через весовую и переходную функции.
2.12. Mетод переменных состояния.
2.13. Переход от описания переменных «вход-выход» к переменным состояния.

Попробуем применить, полученные знания на практике, создавая и сравнивая расчетные модели в разных видах. Будет интересно познавательно и жестко.

2.9. Использование обратных преобразований Лапласа для решения уравнений динамики САР (звена)

Рассмотрим динамическое звено САР изображенное на рисунке 2.9.1

Рис. 2.9.1 — Звено САР

Предположим, что уравнение динамики имеет вид:

где:

— постоянные времени;

$k$ — коэффициент усиления.

Пусть известны отображения:

$x(t) to X(t)\ y(t) to Y(t)$

Найдем изображения для производных:

$x'(t) to s cdot X(s) + добавка\ y'(t) to s cdot Y(s) + добавка\ y''(t) to s^2 cdot Y(s) + добавка$

Подставим полученные выражения в уравнение динамики и получим уравнение динамики в изображениях:

$T_2^2 cdot s^2cdot Y(s) + T_1 cdot s cdot Y(s) + Y(s) + sum добавок = k cdot[s cdot tau cdot X(s) +X(s)] +k cdot добавки\ (T_2^2 cdot s^2 + T_1 cdot s + 1) cdot Y(s)+ sum добавок =k cdot(s cdot tau +1)cdot X(s) +k cdot добавки\ Y(s) = underbrace{frac{k cdot(s cdot tau +1)}{T_2^2 cdot s^2 + T_1 cdot s + 1}}_{W(s)}cdot X(s) + underbrace{frac{k cdot добавки-sum добавок}{T_2^2 cdot s^2 + T_1 cdot s + 1}}_{B(s)}$

B(s) — слагаемое, которое определяется начальными условиями, при нулевых начальных условиях B(s)=0.
W(s) — передаточная функция.

$Y(s) = W(s) cdot X(s); W(s) = frac{Y(s) - изображение выходного сигнала} {X(s)- изображение входного воздействия}$

Передаточной функцией САР (звена) называется отношение изображений выходного сигнала к входному воздействию при нулевых н.у.

После того, как в явном виде найдено изображение для неизвестной выходной величины, нахождение оригинала не представляет сложностей. Либо по формуле Хэвисайда, либо разложением на элементарные дроби, либо по таблице из справочника.

Пример

Построить выходной сигнал звена САР при единичном входном воздействии и нулевых начальных условиях, если уравнение динамики звена имеет следующий вид:

начальные условия:

входное воздействие:

— единичное ступенчатое воздействие.

Выполним преобразование Лапласа:

$x(t) to X(s) = frac{1}{s} \ y(t) to Y(s) \ y' to s cdot Y(s)$

Подставим в уравнение динамики и получим уравнение динамики в изображениях:

$(T cdot s+1) cdot Y(s) = k cdot X(s) \ Y(s) = frac{k}{Tcdot s+1} cdot X(s) = frac{k}{Tcdot s+1} cdot frac{1}{s}\ Y(s) = frac{k}{s(Tcdot s+1)}$

Для получения выходного сигнала из уравнения в изображениях выполним обратное преобразования Лапласа:

$y(t) = L^{-1}[Y(s)] = L^{-1}left[frac{k}{s(Tcdot s+1)}right] =frac{1}{T}k cdot L^{-1}left[frac{1}{s(s+frac{1}{T})}right] Longrightarrow \ y(t) = frac{k}{T}(1-e^{-frac{t}{T}}) cdot T = k cdot(1-e^{-frac{t}{T}}).$

Рисунок 2.9.2 График переходного процесса.

2.10. Весовая и переходная функции звена (системы).

Определение: Весовой функцией звена (системы) называется реакция системы при нулевых н.у. на единичное импульсное воздействие.

Рисунок 2.10.1 Весовая функция.

Определение: Переходной функцией звена (системы) при н.у. называется реакция на единичное ступенчатое воздействие.

Рисунок 2.10.2 Переходная функция.

Рисунок 2.10.3 Пример весовой функции.

Рисунок 2.10.4 Пример перходной функции.

На этом месте можно вспомнить, что преобразование Лапласа это интеграл от 0 до бесконечности по времени (см. предыдущий текст), а импульсное воздействие при таком интегрировании превращается в 1 тогда в изображениях получаем что:

$Y(s) =W(s) cdot underbrace{X_{имп}(s)}_1 Rightarrow Y(s) = W(s)$

Передаточная функция играет роль изображения реакции звена или системы на единичное импульсное воздействие.

Рисунок 2.10.5 Весовая функция как передаточная в изображениях.

Рисунок 2.10.6 Ступенчатое воздействие.

Для единичного ступенчатого воздействия преобразование Лапласа тоже известно (см. предыдущий текст):

$L[1(t)] = frac{1}{s}$

тогда в изображениях получаем, что реакция системы $Н(s)$ на ступенчатое воздействие, рассчитывается так:

$Н(s) =W(s) cdot underbrace{X_{ступ}(s)}_{1/s} Rightarrow Н(s) = frac {W(s)}{s},$

Реакция системы на единичное ступенчатое воздействие рассчитывается обратным преобразованием Лапласа:

$h(t) = L^{-1}left[frac{W(s)}{s}right]$

2.11. Определение переходного процесса в системе (САР) (звене) через весовую и переходную функции. Формула Дюамеля-Карсона

Предположим, что на вход системы поступает произвольное воздействие x(t), заранее известное. Найти реакцию системы y(t), если известны входное воздействие x(t) и весовая функция w(t).

Рисунок 2.11 Демонстрация расчета по формуле Дюамеля-Карсона

Решение.

Представим, что входное воздействие представляет собой последовательность прямоугольных импульсов до времени t и ступеньки высотой x(t) в момент времени t. см.рис. 2.11 Для каждого импульса мы можем записать реакцию системы через весовую функциию:

$Y_k approx Y_{k-1}+x(t) cdot w(t-Deltatau) cdotDeltatau$

где:

$Y_{k-1}$ — значение отклика по завершению предыущего импульса;

— время завершения текущего импульса;

— значение весовой функции в начале текущего импульса.

Тогда для определения занчения отклика в произвольный момент времени необходимо сложить все импульсы и ступенчатое воздействие в момент времени t:

$Y(t) = h(0)x(t)+ sum_{k=0}^{n}x(kcdot Deltatau)cdot w(t-kcdot Deltatau) cdot Deltatau;$

Переходя к пределам

получаем интеграл:

если перейти от t к бесконечности мы получим формулу интеграла Дюамеля-Карсона, или по другому «интеграла свертки» который обеспечивает вычисление оригинала функции по произвдению изображения двух функций:

$Y(s) = L[y(t)];\ W(s) =L[w(t)];\ X(s) = L[x(t)];\ если Y(s) = W(s)cdot X(s), то\ y(t) =int_0^infty x(tau)cdot w(t-tau)dtau$

где $tau$ — вспомогательное время

Для вывода аналогичной зависмости от переходной функции вспомним что изображение весовой и переходной функции связаны соотношением: $H(s) =frac{W(s)}{s}$ запишем выражение изображения для отклика в операторной форме:

$y(t) = L^{-1} [W(s) cdot Y(s)]=L^{-1} left[s cdot frac{W(s)}{s} cdot Y(s) right] \ свойства преобразований Лапласа x(t) to X(s), frac {d}{dt}x(t) to s cdot X(s) to \ y(t)= frac {d}{dt}L^{-1} left[ H(s) cdot Y(s)right]$

Используя интеграл свертки получаем, что при известной переходной функции (h(t)) и известному входному воздействию х(t) выходное воздействие рассчитывается как:

$y(t) = frac{d}{dt} int_0^infty x(t)cdot h(t-tau)dtau$

2.12. Mетод переменных состояния.

До этого мы рассматривали системы с одной передаточной функцией, но жизнь всегда сложнее и как правило в системах есть несколько передаточных функций несколько входных воздейстий и несколько реакций системы. (см. рис. 2.12.1)

Рисунок 2.12.1 Моногомерная система автоматического управления.

В этом случае наиболее удобной формой пердставления систем для их анализа и расчета оказался метод переменных состояния. Для этого метода, вместо передаточных функций связывающих вход с выходом используются дополнительные переменные состояния, которые описывают систему. В этом случае можно говорить, что состояние системы — это та минимальная информация о прошлом, которая необходима для полного описания будущего поведения (т.е. выходов) системы, если поведение ее входов известно. см. рис. 2.12.2

Рисунок 2.12.2 Перменные состояния в многомерной системе.

В методе состояний, производные всех переменных состояния, в общем случае зависит от всех переменных и всех входных воздействия, и могут быть записаны в представленной ниже системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первой степени. Эта система уравнений называю системой ОДУ в форме Коши:

$left { begin{gathered} x_1'(t) = a_{11}cdot x_1(t)+ a_{12}cdot x_1(t)+..+a_{1n}cdot x_n(t)+b_{11}cdot u_1(t)+..b_{1m}u_m(t)\ x_2'(t) = a_{21}cdot x_1(t)+ a_{22}cdot x_2(t)+..+a_{2n}cdot x_n(t)+b_{21}cdot u_1(t)+..b_{2m}u_m(t)\ ...................................................................\ x_n'(t) = a_{n1}cdot x_1(t)+ a_{n2}cdot x_n(t)+..+a_{nn}cdot x_n(t)+b_{21}cdot u_1(t)+..b_{nm}u_m(t)\ end{gathered} right.$

Выход из системы зависит от переменных состояния и, в общем случае от входных воздействий и описывается следующей системой уравнений:

$left { begin{gathered} y_1(t) = c_{11}cdot x_1(t)+ c_{12}cdot x_1(t)+..+c_{1n}cdot x_n(t)+d_{11}cdot u_1(t)+..d_{1m}u_m(t)\ y_2(t) = c_{21}cdot x_1(t)+ c_{22}cdot x_2(t)+..+c_{2n}cdot x_n(t)+d_{21}cdot u_1(t)+..d_{2m}u_m(t)\ ...................................................................\ y_p(t) = c_{p1}cdot x_1(t)+ c_{p2}cdot x_n(t)+..+cp_{pn}cdot x_n(t)+d_{p1}cdot u_1(t)+..d_{pm}u_m(t)\ end{gathered} right.$

где:
n — количество перемнных состояния,
m — количество входных воздействий,
p — количество выходных переменных;

Данная система уравнений может быть записана в матричной форме:

$left { begin{gathered} x'= Acdot x+Bcdot u\ y= Ccdot x+Dcdot u end{gathered} right.$

где:
$u=left[ begin{gathered} u_1(t)\ u_2(t)\ ..\ u_m(t)\ end{gathered} right]$ — вектор входа (или вектор управления);
$x'=left[ begin{gathered} x'_1(t)\ x'_2(t)\ ..\ x'_n(t)\ end{gathered} right]$ — вектор столбец производных переменных состояния;
$x=left[ begin{gathered} x_1(t)\ x_2(t)\ ..\ x_n(t)\ end{gathered} right]$ — вектор столбец переменных состояния;
$y=left[ begin{gathered} y_1(t)\ y_2(t)\ ..\ y_p(t)\ end{gathered} right]$ — вектор выхода;
$А=left[ begin{gathered} а_{11} а_{12} ... a_{1n}\ а_{21} а_{22} ... a_{2n}\ .. .. .. ........ \ а_{n1} а_{n2} ... a_{nn}\ end{gathered} right]$ — собственная матрица системы [n x n],
$a_{ij}$ — постоянные коэффициенты;
$B=left[ begin{gathered} b_{11} b_{12} ... b_{1m}\ b_{21} b_{22} ... b_{2m}\ .. .. .. ........ \ b_{n1} b_{n2} ... b_{nm}\ end{gathered} right]$ — матрица входа [n x m],
$b_{ij}$ — постоянные коэффициенты;
$C=left[ begin{gathered} c_{11} c_{12} ... c_{1n}\ c_{21} c_{22} ... c_{2n}\ .. .. .. ........ \ c_{p1} c_{p2} ... c_{pn}\ end{gathered} right]$ — матрица выхода а [p x n],
$c_{ij}$ — постоянные коэффициенты;
$D=left[ begin{gathered} d_{11} d_{12} ... d_{1m}\ d_{21} d_{22} ... d_{2m}\ .. .. .. ........ \ d_{p1} d_{p2} ... d_{pm}\ end{gathered} right]$ — матрица обхода [p x m],
$d_{ij}$ — постоянные коэффициенты;

В нашем случае почти всегда все элементы матрицы D будут нулевыми: D = 0.

Такое описание системы позволяет с одной стороны стандартным образом описывать различные технические системы. Явная формула для расчета производных позволяет достаточно просто осуществлять численное интегрирование по времени. И это используется в различных программах моделирования

Другое использование данного представления для простых систем, описанных в переменных «вход-выход», зачастую позволяет устранить технические трудности, связанные с решением ОДУ высокой степени.

Еще одним преимуществом данного описания, является то, что уравнения в форме Коши можно получить из законов физики

Пример решения задачи в форме коши.

Рассмотрим задачу моделирования гидравлического привода, при следующих условиях:

Дано:
Цилиндрический плунжер диаметром 10 мм, с приведенной массой 100 кг, работает на пружину жесткостью 200 Н/мм и демпфер с коэффициентом вязкого трения — 1000 Н/(м/с). Полость начальным объемом 20 см³ соединяется с источником давлния дросселем диаметром диаметр которого 0,2 мм. Коэффициент расхода дросселя 0.62. Плотность рабочей жидкости ρ = 850 кг/м³.
Определить:
Перемещение дросселя, если в источнике давление происходит скачек 200 бар. см. рис. 2.12.13

Рисунок 2.12.3 Гидравлическая система.

Уравенение движение плунжера:

$m cdot frac{d^2x}{dt}=p cdot Ap - c_{pr} - b_{tr} cdot frac{dx}{dt}$

Где:

$A_p$ – площадь плунжера,

$c_{pr}$ – жесткость пружины,

$b_{tr}$ – коэффициент вязкого трения, p – давление в камере.

Поскольку дифференциальное движения это уравнение второго порядка, превратим его в систему из двух уравнений первого порядка, добавив новую переменную — скорость $v = frac{dx}{dt}v =$ , тогда $frac{d^2x}{dt} = v'$

$left { begin{align} x' &= v \ v' &=frac{A_p}{m}cdot p-frac{c_{pr}}{m}cdot x-frac{b_{tr}}{m}cdot v) end{align} right.$

Уравнение давления в камере, для упрощения принимаем что изменениям объема камеры из-за перемещения плунжера можно пренебречь:

$p'=frac{E}{V}(Q - A_p cdot x')$

Где: Q – расход в камеру, V — объем камеры.

Расход через дроссель:

$Q = mucdot f sqrt{frac{2}{rho}(p_n-p)}$

Где: f– площадь дросселя,

$p_n$ – давление в источнике, p – давление в камере.
Уравнение дросселя не линейное, по условию задачи, давление входное изменяется скачком, от 0 до 200 бар, проведем линеаризацию в окрестности точки давления 100 бар тогда:

$Q_{100} = mucdot f sqrt{frac{2}{rho}(p_{100}-0)} K_{100} =frac{Q_{100}}{p_{100}} \ Qapprox frac{Q_{100}}{p_{100}}(p_n-p) = K_{100}(p_n-p), где: K_{100} =frac{Q_{100}}{p_{100}}$

Подставляем линеаризованную формул расхода в формулу давления:

$p'=frac{E}{V}(K_{100} (p_n-p)- A_p cdot v)\ p' = - frac{E}{V}A_p cdot v - frac{E}{V}K_{100} cdot p + frac{E}{V}K_{100} cdot p_n$

Таким образом общая система уравнений в форме Коши, для рис 2.12.3 привода принимает вид:

Матрицы A, B, С, В для матричной формы системы уравнений принимают вид:

$left { begin{align} x' &= v \ v' &=-frac{c_{pr}}{m}cdot x-frac{b_{tr}}{m}cdot v+frac{A_p}{m}cdot p\ p' &= - frac{E}{V}A_p cdot v - frac{E}{V}K_{100} cdot p + frac{E}{V}K_{100} cdot p_n end{align} right.\ A =left[ begin{array}{cccc} 0& 1 & 0\ -frac{c_{pr}}{m}& -frac{b_{tr}}{m} &frac{A_p}{m}\ 0& - frac{E}{V}A_p & - frac{E}{V}K_{100} end{array} right]; B = left[ begin{array}{cccc} &0 \ &0\ & frac{E}{V}K_{100} end{array} right]; C= left[ 1,0,0 right]; D =[0].$

Проверим моделированием в SimInTech составленную модель. На рисунке 2.12.13 представлена расчетная схема содержащая три модели:
1 — «Честная» модель со всеми уравнениями без упрощений.
2 — Модель в блоке «Переменные состояние» (в матричной форме).
3 — Модель в динамическом блоке с линеаризованным дросселем.

Рисунок 2.12.4 Расчетная схема .

Все условия задачи задаются как глобальные константы проекта, в главном скрипте проекта, там же расчитываются на этапе инициализации расчета, площади плунжера и проходного сечения дросселя см. рис. 2.12.5:

Рисунок 2.12.5 Глобальный скрипт проекта.

Модель на внутреннем языке программирования представлена на рис. 2.12.6. В данной модели используется описание модели в форме Коши. Так же выполняется учет изменения объема дросселя на каждом шаге расчета, за счет перемещения плунжера (Vk = V0+Ap*x.)

Рисунок 2.12.6 Скрипт расчета модели в форме Коши.

Модель в матричном форме задается с использованием глобальных констант в виде формул. (Матрица в SimInTech задается в виде последовательности из ее столбцов) см. рис. 2.12.7

Рисунок 2.12.7 Настройка блока расчета системы уравнений в пременных состояния в матричной форме.

Результаты расчета показывают, что модель в матричной форме и модель на скриптовом языке в форме Коши, практически полностью совпадают, это означает, что учет изменения объема полости практически не влияют на результаты. Кривые 2 и З совпадают.
Процедура линеаризация расхода через дроссель вызывает заметное отличие в результатах. 1-й график c «честной» моделью дросселя, отличается от графиков 2 и 3. (см. рис. 2.12.8)

Рисунок 2.12.8 Результаты расчета трех моделей гидравлического плунжера.

Сравним полученные модели, с моделью созданной из библиотечных блоков SimInTech, в которых учитываются так же изменение свойств реальной рабочей жидкости — масла АМГ-10. Сама модель представлена на рис. 2.12.9, набор графиков на рисунке 2.12.10

Рисунок 2.12.9 Модель демпфера из библиотечных блоков.

Рисунок 2.12.10 Результаты рассчета моделей демпфера. График 4 — модель из библиотечных блоков.

На графиках видно, что уточненная модель отличается от предыдущих, однако погрешность модели составлят наших упрощенных моделей составляют примерно 10%, в лишь в некоторые моменты времени.

2.13. Переход от описания переменных «вход-выход» к переменным состояния и обратно

Рассмотрим несколько вариантов перехода от описания «вход-выход», к переменным состояния:

Вариант прехода зависит от правой части уравнения с переменными «вход-выход»:

$a_ncdot y^{(n)}(t)+...+a_1cdot y'(t)+a_0cdot y(t)=b_mcdot u^{(m)}(t)+...b_1cdot u'(t)+b_0cdot u(t)$

2.13.1. Правая часть содержит только b₀*u(t)

В этом варианте, в уравнениях в правой части отсутствуют члены с производными входной величины u(t). Пример с плунжером выше так же относится к этому варианту.

Что бы продемонстрировать технологию перехода рассмотрим следующее уровнение:

Для перехода к форме Коши ведем новые переменные:

$x_1(t) = y(t);\ x_2(t) =y'(t) = x_1'(t);\ x_3(t) = y''(t) =x_2'(t);$

И перепишем уравнение относительно y»'(t):

$y'''(t) = x_3'=- frac{a_2}{a_3} cdot underbrace{y''(t)}_{x_3} - frac{a_1}{a_3} cdot underbrace{y'(t)}_{x_2} - frac{a_0}{a_3} cdot underbrace{y(t)}_{x_1}+ frac{b_0}{a_3} cdot u(t)$

Используя эти переменные можно перейти от дифференциального уравнения 3-го прядка, к системе из 3-х уравнений первого порядка в форме Коши:

$left { begin{align} x_1' &= x_2 \ x_2' &= x_3\ x_3' &=-frac{a_0}{a_3}cdot x_1-frac{a_{1}}{a_3}cdot x_2-frac{a_2}{a_3}cdot x_3+ frac{b_0}{a_3}cdot u(t)\ end{align} right.$

Соотвественно матрицы для матричного вида уравнений в переменных сосотяния:

$A =left[ begin{array}{cccc} 0& 1 & 0\ 0& 0 &1\ -frac{a_0}{a_3}& -frac{a_1}{a_3} & -frac{a_2}{a_3} end{array} right]_{[3 times 3]}; B = left[ begin{array} {}&0 \ &0\ & frac{b_0}{a_3} end{array} right]_{[3 times 1]}; C= left[ 1,0,0 right]_{[1 times 3]}; D =[0].$

2.13.2. Правая часть общего вида

Более сложный случай, когда в уравнениях есть производные от входных воздействий и уравнение в общем случае выглядит так:

$a_ncdot y^{(n)}(t)+...+a_1cdot y'(t)+a_0cdot y(t)=b_mcdot u^{(m)}(t)+...b_1cdot u'(t)+b_0cdot u(t)$

Сделаем преобразования: перейдем к уравнениям динамики в изображениях:

$left[ begin{gathered} y(t) to Y(s)\ y'(t) to s cdot Y(s)\ y''(t) to s^2cdot Y(s)\ ..\ y^{n}(t) to s^{n} cdot Y(s)\ end{gathered} right] ; left[ begin{gathered} u(t) to U(s)\ u'(t) to s cdot U(s)\ u''(t) to s^2cdot U(s)\ ..\ u^{m}(t) to s^{m} cdot U(s)\ end{gathered} right]$

Тогда можно представить уравнение в изображениях в виде:

где:

$L(s) = a_ncdot s^{n}+a_{n-1}cdot s^{n-1}_....+a_1cdot s+a_0;\ N(s)=b_mcdot s^{m}(t)+b_{m-1}cdot s^{m-1}+...b_1cdot s+b_0;$

Разделим уравнение в изображениях на произведение полиномов , получим:

$frac{Y(s)}{N(s)} = frac{U(s)}{L(s)} =X_1(s)$

Где: — некоторая комплексная величина (отношение двух комплексных величин). Можно считать, что отображение величины . Тогда входная величина может быть в изображениях представлена как:

$frac{U(s)}{L(s)} = X_1(s) Rightarrow U(s) = X_1(s) cdot L(s);$

Вренемся к оригиналу от изображений получим: ,
где: — дифференциальный оператор.

$u(t) = a_n cdotunderbrace{ x_1^{(n)}}_{x_n'}+ a_{n-1} cdot underbrace{x_1^{(n-1)}}_{x_n}+...+a_2 cdot underbrace{ x_1''}_{x_3}+a_1 cdot underbrace{x_1'}_{x_2}+ a_0 cdot x_1$

А это дифференциальное уравнение n-го порядка мы можем преобразовать к системе из n дифференциальных уравнений первого порядка, как это мы делали выше:

$left { begin{eqnarray} x_1'&=& x_2\ x_2'&= &x_3\ &.....\ x_n'&=&-frac{1}{a_n}[a_0 cdot x_1+a_1 cdot x_2+a_2cdot x_3+..+a_{n-1}cdot x_n]+frac{u(t)}{a_n} end{eqnarray} right.$

Таким образом, мы получили систему уравнение в форе Коши, относительно переменных состояния $X_1$ :

$X_1=left[ begin{gathered} x_1(t)\ x_2(t)\ ..\ x_n(t)\ end{gathered} right]$

А регулируемую величину (выход системы) мы так же можем выразить через эти переменные, в изображениях:

$frac{Y(s)}{N(s)} = X_1(s) Rightarrow Y(s) =N(s) cdot X_1(s);$

Перейдем от изображения к оригиналам:

$y(t)=N(p) cdot X_1(t)\ y(t) = b_m cdotunderbrace{ x_1^{(m)}}_{x_{m+1}}+ b_{m-1} cdot underbrace{x_1^{(m-1)}}_{x_m}+...+b_2 cdot underbrace{ x_1''}_{x_3}+b_1 cdot underbrace{x_1'}_{x_2}+ b_0 cdot x_1\ y(t) = b_m cdot x_{m+1}+ b_{m-1} cdot x_{m}+...+b_2 cdot x_3+b_1 cdot x_1+ b_0 cdot x_1\$

Если обозначить вектор $С = [b_{m+1},b_m, ..b_2,b_1,b_0]$ , то мы получим уравнения переменных состояниях в матричной форме, где D = 0:

$left { begin{eqnarray} x'&=& Acdot x+Bcdot u\ y&=& Ccdot x +D cdot uend{eqnarray} right.$

Пример:

Рисунок 2.13.1 Передаточная функция.

Имеется передаточная функция (рис. 2.13.1) в изображениях :

$W(s) = frac{s+1}{2 cdot s^3+s^2+3 cdot s+1}$

Необходимо преобразовать передаточную функцию к системе уравнений в форме Коши

В изображения реакция системы связана с входным воздействие соотношением:

$Y(s) = W(s) cdot U(s); Rightarrow Y(s) = frac{N(s)}{L(s)} cdot U(s) Rightarrow \ Rightarrow Y(s) cdot L(s) = U(s) cdot N(s)$

Разделим в последнем правую и левую часть на произведения , и введем новую перменную $Х_1$ :

$X_1(s) = frac {Y(s)}{N(s)} = frac{U(s)}{L(s)} Rightarrow \ Rightarrow U(s) = X_1(s) cdot L(s)$

Полиномы N(s) и L(s) равны:

$N(s)= s+1\ L(s)=2 cdot s^3+s^2+3 cdot s+1 \ Rightarrow U(s) = X_1(s) cdot (2 cdot s^3+s^2+3 cdot s+1)$

Перейдем в последнем выражении от изображения к оригиналам и ведем новые переменные (состояния):

$u(t) = 2 cdot underbrace{x_1'''(t)}_{x'_3} + underbrace{x_1''(t)}_{x_3} +3 cdot underbrace{x_1'(t)}_{x_2}+underbrace{x_1(t)}_{x_1}$

Переходим от уравнения третьего порядка к системе трех уравнений первого порядка:

$left { begin{eqnarray} x_1'&=&x_2\ x_2'&=&x_3\ x_3'&=&- frac{1}{2} left[ x_1+3 cdot x_2+x_3 right]+frac {1}{2} cdot u(t) end{eqnarray} right.$

Или в матричной форме:

$x' = A cdot x+ B cdot u\ А=left[ begin{gathered} 0& 1& 0\ 0& 0& 1\ - frac{1}{2}& - frac{3}{2}& - frac{1}{2}\ end{gathered} right]; B = left[ begin{gathered} 0 \ 0\ frac{1}{2} \ end{gathered} right];\$

Для получения второго матричного уравнения воспользуемся соотношением для новых переменных в отображениях:

$X_1(s) = frac {Y(s)}{N(s)} = frac{U(s)}{L(s)} Rightarrow \ Rightarrow Y(s) = X_1(s) cdot N(s) = X_1(s) cdot (s+1)$

Перейдем от изображений к оригиналу:

$y(t) = underbrace {x_1'(t)}_{x_2}+underbrace {x_1(t)}_{x_1} = x_1(t)+x_2(t)$

Таким образом второе уравнение матричной системы выглядит так:

$y =C cdot x+ D cdot u;\ C=[1 1 0]; D = 0;$

Проверим в SimInTech сравнив передаточную функцию и блок переменных состояния, и убедимся, что графики совпадают см. рис. 2.13.2

Рисунок 2.13.2 Сравнение переходного процеса у блока передаточной функции и блока переменных состояния.

Продолжение лекций находится здесь:
3. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНЬЕВ И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ (РЕГУЛИРОВАНИЯ).
3.1. Амплитудно-фазовая частотная характеристика: годограф, АФЧХ, ЛАХ, ФЧХ.
3.2. Типовые звенья систем автоматического управления (регулирования). Классификация типовых звеньев. Простейшие типовые звенья.
3.3. Апериодическое звено 1–го порядка (инерционное звено). На примере входной камеры ядерного реактора.
3.4. Апериодическое звено 2-го порядка.
3.5. Колебательное звено.
3.6. Инерционно-дифференцирующее звено.
3.7. Форсирующее звено.
3.8. Инерционно-интегрирующее (звено интегрирующее звено с замедлением).
3.9 Изодромное звено (изодром).

Полезные ссылки:

Модель демпфера из лекции можно взять здесь…
Волченко Ю.М. Теоремы операционного исчисления.
Интеграл Дюамеля и физический смысл функции веса
Лекция. «Векторно-матричные модели систем управления в непрерывном времени»
Л. С. Шихобалов. Учебное пособие «МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ»
Характеристическое уравнение матрицы
Подробное описание моделирования гидравлического демпфера.

Источник

Определение реакций в кинематических парах механизма.

Для определения реакций в кинематических парах заданный механизм необходимо разложить на структурные группы. Механизм, изображенный на рисунках, состоит из кривошипа O1A и двухповодковой группы АВО2.

Расчет начинаем с группы Ассура АВО2 для чего вычерчиваем ее отдельно в масштабе и к ее звеньям прикладываем веса звеньев и силы инерции (рис.).

Действие отсоединенных звеньев, механизма на группу АВО2 заменяем силами реакций, которые принято обозначать буквой с двойным индексом.

Первый индекс показывает, со стороны какого звена действует сила, а

второй — на какое звено она действует. Например, — реакция связи, действующая со стороны звена1 на звено2.

Прикладываем в шарнире А силу , заменяющую действие звена 1 на звено 2, а в шарнире О2 — силу — реакцию стойки 4 на звено 3.

Реакции и проходят через центры шарниров А и О2 , но неизвестны по величине и направлению. Поэтому каждую из этих сил раскладываем на две составляющие: нормальную, направленную по звену, и тангенциальную, направленную перпендикулярно звену: ; .

Определяем тангенциальные составляющие и из уравнений моментов сил, действующих на звенья АВ и ВО2 } относительно точки В внутреннего шарнира группы.

Рассматриваем равновесие звена 2 и определяем реакцию . Составляем уравнение моментов всех сил, действующих на звено 2, относительно точки В :

Решаем это уравнение относительно :

Плечи сил следует замерять непосредственно на чертеже. Рассматриваем равновесие звена 3 и определяем реакцию. Составляем уравнение моментов всех сил, действующих на звено З относительно точки В:

Рассматриваем равновесие всей группы в целом и определяем нормальные составляющие реакциии .

Поскольку группа находится в равновесии, геометрическая сумма всех сил, действующих на ее звенья, равна нулю:

(4)

Реакции в средней кинематической паре, как силы внутренние, в уравнение не входят, поскольку

Исследуя уравнение (4), замечаем, что оно имеет два неизвестных по величине вектора и , которые определяются построением плана сил, как это показано на рис, 1.13 6.

Для построения плана сил откладываем в выбранном масштабе от произвольной точки О последовательно силы , и , и направление силы . Так как геометрическая сумма сил равна нулю, то продолжаем строить план сил, прикладывая силы ,, и направление к концу вектора так, чтобы сохранилось течение стрелок в одном направлении.

Tочка пересечения направления и и определит их величины: Измерив векторы плана сил и умножив их на масштаб µp, получим величины искомых сил:

;

Полные реакции Р12 и Р43 по величине и направлению определяются по плану сил путем геометрического сложения их составляющих;

; .

Сила реакции во внутреннем шарнире В группы АВО2 определится из того же плана сил, из уравнения равновесия звена 2:

Соединив конец вектора , с началом вектора , получим:

Расчет ведущего звена со стойкой.

Переходим к ведущему звену O1A, на которое действует приложенная в шарнире А реакция .

Под действием одной этой реакции ведущее звено не может находиться в равновесии. Звено О1А можно привести в равновесие уравновешивающей силой Pу, приложенной к звену О1А в точке А, перпендикулярно к О1А, или уравновешивающим моментом Мy.

Если звено О1А уравновешивается силой Pу, то определяем ее из

уравнения равновесия кривошипа со стойкой: .