Как найти разностное отношение функции

Производная функции — это понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Производная и ее применения

Пример:

Пусть точка движется вдоль прямой и за время t от начала
движения проходит путь s (t), т. е. задана функция s (t).
Зафиксируем какой-нибудь момент времени t и рассмотрим
промежуток времени от t до t + h, где h — малое число. За время
от t до t+h точка прошла путь длиной
s (t + h) — s (t)

Средняя скорость движения точки за этот промежуток времени
равна отношению

Из курса физики известно, что при уменьшении h это отношение приближается к некоторому числу, которое называется мгновенной скоростью v момент времени t и обозначается v (t). Число v (t) называют пределом данного отношения при h, стремящемся к ну­лю, и записывают так:

Если то

Пример:

Найти производную функции

Составим разностное отношение:

Если , то , поэтому Следовательно,

Пример:

Найти производную функции

Найдем сначала разность

Составим теперь разностное соотношение

Если , то и поэтому

Следовательно,

Пример:

Найти производную функции f (х)= С, где С —
заданное число.

Так как разностное отношение равно нулю при любом , т. е.
его значение не меняется при , то предел этого отношения также равен нулю. Таким образом, производная постоянной равна нулю: (С)’ = 0.

Пример:

Найти производную линейной функции f(x) = kx+b

Так как разностное отношение равно k при любом , то
и предел этого отношения при также равен к. Следовательно,
(kх + b)’ = k. ▲

Применяя формулу

например, получаем (3х + 7)’ = 3; ( —2 x + 1 ) ‘= — 2; (5x)’ = 5;
(x)’ = 1
Изучение теории пределов не входит в программу средней
школы. Поэтому мы не рассматриваем строгое определение преде­ла разностного отношения и его свойства. По этой же причине
в курсе математики средней школы некоторые формулы для
производных строго не доказываются или вообще принимаются без
доказательства.
При нахождении производных простейших функций мы пользу­емся наглядными представлениями. Например, мы считаем нагляд­но понятным, что если , то и , и т. п.

Производная степенной функции

Пример:

Доказать, что

Пусть . Тогда

Если , то , и поэтому знаменатель дроби стремится к

Следовательно,

При этом предполагалось, что если х > 0 , то и х + h > 0 , а если
х < 0 , то x + h < 0 . Таким образом, формула справедлива при

Пример:

Доказать, что .

Пусть

Составим разностное отношение:

Умножим числитель и знаменатель на сумму

Полу­чим:

Если , то стремится, поэтому знаменатель
последней дроби стремится к

Следовательно,
Таким образом, формула справедлива при

Итак, получены следующие формулы для производных:

Четыре последние формулы являются формулами производной
степенной функции для

Их можно запи­сать так:

Вообще справедлива формула производной степенной функции для
любого действительного показателя:

Эта формула справедлива при тех значениях х, при которых
правая часть формулы (1) имеет смысл.
Например,

Пример:

Вычислить f ‘ (9), если

Пользуясь формулами и можно найти производные степенной и линейной функции, например В более сложных случаях, например при нахождении производной функции можно воспользоваться следующей формулой:

Применяя формулу (2) при k = 3, b= — 1, р = 7, получаем

Пример:

Вычислить f’ ( — 3), если

Запишем данную функцию так:

По формуле (2) находим При х = —3 получаем

Пример:

Доказать, что на промежутке:
1) Если х < 0 , то и по формуле (1) получаем

2) Если x < 0, то и по формуле (2) получаем

Правила дифференцирования

При вычислении производной полезными являются следующие
правила дифференцирования:

1. Производная суммы равна сумме производных:

Тогда

Поэтому разностное отношение равно

2. Постоянный множитель можно вынести за знак производной:

Обозначим cf(x) = F(x), тогда

откуда при получаем получаем

Пример:

Вычислить f ‘( — 2), если

Приведем без доказательства формулы производной произве­дения и частного.

3. Производная произведения

Пример:

Проверить справедливость формулы (3), если .

В левой части формулы (3) получаем

В правой части формулы (3) получаем

Пример:

Решая уравнение находим:
f’ (х) = 0 при

4. Производная частного

Пример:

Найти производную функции

Обозначим По формуле (4) находим:

Пример:

Найти значения х, при которых значение произ­водной функции

По формуле (4) получаем

1) Решая неравенство находим: f’ (х) > 0 при х< 0.
2) Решая неравенство находим: f’ (х) < 0 при x > 0.

Производные некоторых элементарных функций

Элементарными функциями называют степенную, показатель­ную, логарифмическую и тригонометрические функции, а также их
различные комбинации. При решении многих практических задач
часто приходится находить производные таких функций.
Например, напряжение в цепи переменного тока выражается
формулой для нахождения силы тока J (t)
нужно уметь находить производную U’ (t), так как J (t) = U’ (t) .

Производная показательной функции

Показательная функция где а > 0 , , определена
на всей числовой прямой и имеет производную каждой ее точке.
Любую показательную функцию можно выразить через показа­
тельную функцию с основанием е по формуле

так как

В курсе высшей математики доказывает­ся, что функция обладает замечательным свойством: её произ­водная также равна , т. е.

Можно также доказать, что

Например,

Пример:

Итак,

Например,

Производная логарифмической функции

Логарифмическую функцию с любым основанием а > 0 ,
можно выразить через логарифмическую функцию с
основа­нием е с помощью формулы перехода

Производная функции ln х выражается формулой

Справедлива также формула

Например,

Пример:

Итак,

Например,

Производные тригонометрических функций

Покажем, как можно вывести формулу производной синуса.
Обозначим f (х) = sin х, составим разностное отношение

Если , то и Можно доказать, что при . В этом можно наглядно убедиться с помощью микрокалькулятора. Например, при h= 0,5; 0,1; 0,01; 0,001 дробь принимает соответственно значения:

Таким образом, (sin х)’ = cos х.
Аналогично можно убедиться в том, что (cos x)’ = — sin х.
Итак, справедливы формулы

Справедливы также формулы

Например,

Пример:

Найти производную функции tg х.
Используя правило дифференцирования частного и формулы (9), находим

Применение правил дифференцирования и формул для производных к решению задач

Приведём сводную таблицу

Пример:

Найти производную функции:

Пример:

Заметим, что равенство справедливо при тех значениях х, при которых обе его части имеют смысл, т. е.
при х > 0 .
Выражение равно нулю при положительно
на промежутках — 1 < х < 0 и x > 1 , отрицательно на промежутках
x < — 1 и 0 < x < 1.

Так как x > 0, то f’ (х)= 0 только при x = 1; f ‘ (x ) > 0 при х > 1,
f (x) < 0 при 0 < х < 1.

Геометрический смысл производной

Пусть х и х + h — абсциссы точек А и М (рис. 49), тогда их
ординаты равны f (х) и f (х+h). Из треугольника АСМ (рис. 49)
имеем или

Если число х фиксировано, а , то точка А неподвижна, а точка М, двигаясь по графику, стремится к точке А. При этом пря­мая АМ стремится к касательной АВ, угол САМ стремится к
уг­лу , и поэтому левая часть формулы (1) стремится к

Правая часть формулы (1) при стремится к f'(x). Таким образом, из формулы (1) при получаем:

Итак, геометрический смысл производной состоит в том,
что значение производной функции в точке равно угловому
коэффициенту касательной к графику функции в этой
точке.

Пример:

Производная функции f (х) = sin х равна f’ (х) = соs х. По фор­муле (2) находим , откуда (рис. 50).

Найти угол между касательной к параболе в точке (1; 1). и осью Ох и написать уравнение этой касательной.

Производная функции равна f’ (х) = 2х. По форму­ле (2) находим , откуда (рис. 51).
Найдем теперь уравнение касательной АВ к параболе
в точке А (1; 1) (рис. 51). Если у = kх + b — уравнение прямой АВ,
то т. е. уравнение касательной имеет вид

Подставляя в это уравнение координаты точки (1; 1), получаем
, откуда b = — 1. Следовательно, у = 2х — 1 —
уравне­ние искомой касательной.

Аналогично тому, как это сделано в задаче 2, выведем уравне­ние касательной к графику дифференцируемой функции у = f(х)
в точке (рис. 52).
Если у = kх + b — искомое уравнение, то по формуле (2) нахо­дим , т. е. уравнение касательной имеет вид

Подставляя в это уравнение координаты точки , получаем , откуда

Итак, уравнение касательной

или

Пример:

Найти уравнение касательной к графику функции
y = cos х в точке с абсциссой .

Значения функции f( х ) = cos х и ее производной в точке равны: ,

Ис­пользуя формулу (3), найдем искомое уравнение касательной:
или

Касательная к графику функции y = cos х в точке изображена на рисунке 53.

Пример:

Показать, что касательная к параболе
в точке с абсциссой пересекает ось Ох в точке .

Пусть , тогда и

По формуле (3) находим уравнение касательной:

Найдем точку пересечения этой касательной с осью абсцисс.
Из равенства , находим

Отсюда следует простой геометрический способ построения
ка­сательной к параболе в точке А с абсциссой : прямая, проходящая через точку А и точку оси абсцисс, касается пара­болы в точке А (рис. 54).

Построив касательную к параболе, можно построить ее фокус F .
Напомним, что фокусом является точка, в которую нужно
помес­тить источник света, чтобы все лучи, отраженные от параболичес­кого зеркала, были параллельны оси симметрии параболы. Для построения фокуса F нужно построить прямую АВ, параллельную оси Оу, и прямую AF, образующую с касательной такой же угол, как и прямая АВ (рис. 55).

Применение производной к исследованию функций

Возрастание и убывание функции

Крылов Алексей Николаевич (1863— 1945) — советский математик, механик и кораблестроитель, академик. Основные исследования относятся к теории корабля, строительной механике, теории дифференциальных уравнений и истории науки.

Итак, если f'(x)>0 на промежутке, то функция f(x) возрастает на этом промежутке.
Если f'(x)<0 на промежутке, то функция f(x) убывает на этом промежутке.
Строгое доказательство этого утверждения выходит за рамки школьного курса математики.

Пример:

Пример:

Найти интервалы монотонности функции

▲ График функции изобра­жен на рисунке 58. Из этого рисунка видно, что функция воз­растает не только на интервалах х < 0 и х > 2 , но и на промежут­ках и ; убывает не только на интервале 0 < х < 2 , но и
на отрезке

Экстремумы функции

На рисунке 58 изображен график функции

Рас­смотрим окрестность точки х = 0, т. е. некоторый интервал, содер­жащий эту точку. Как видно из рисунка, существует такая окрест­ность точки х = 0 , что наибольшее значение функция в этой окрестности принимает в точке x = 0. Например, на интервале (— 1; 1) наибольшее значение, равное 0, функция принимает в точ­ке x = 0. Точку х = 0 называют точкой максимума этой функции.

Аналогично точку х = 2 называют точкой минимума функции
, так как значение функции в этой точке не больше ее значе­ния в любой точке некоторой окрестности точки х = 2, например окрестности (1,5; 2,5).

Точка называется точкой максимума функции f(x), если существует такая окрестность точки , что для всех x из этой окрестности выполняется неравенство

Например, точка является точкой максимума функции так как f (0)= 1 и при всех значениях х верно нера­венство (рис. 59).

Точка называется точкой минимума функции f(x), если существует такая окрестность точки , что для всех x из этой окрестности выполняется неравенство

Рассмотрим функцию f (х), которая определена в некоторой
окрестности точки и имеет производную в этой точке.

Если — точка экстремума дифференцируемой функции f (х), то
Это утверждение называют теоремой Ферма*.

Теорема Ферма имеет наглядный геометрический смысл: в точ­ке экстремума касательная параллельна оси абсцисс и поэтому
ее угловой коэффициент равен нулю (рис. 61).
Например, функция (рис. 59) имеет в точке
максимум, ее производная f’ (х)= — 2х, f’ (0)= 0. Функция имеет минимум в точке (рис. 60), f ‘ (х) =
= 2 (х — 2), f’ (2 )= 0 .

Таким образом, для того чтобы точка была точкой экстрему­ма, необходимо, чтобы она была стационарной точкой.
Приведем достаточные условия того, что стационарная точка
является точкой экстремума, т. е. условия, при выполнении
кото­рых стационарная точка есть точка максимума или минимума функции.

Если производная левее стационарной точки положительна,
а правее — отрицательна, т. е. при переходе через эту точку
производная меняет знак с « + » на « — », то эта стационарная
точка является точкой максимума (рис. 63)

*Ферма Пьер (1601 — 1665) — французский математик, один из основопо­ложников теории чисел и математического анализа.

Пример:

Найти точки экстремума функции

Найдем производную:

Най­дем стационарные точки:

Приравнивая производную к нулю, на­ ходим две стационарные точки: и

При переходе через точку производная меняет знак с
« + » на « — ». Поэтому — точка максимума.

При переходе через точку производная меняет знак с
« — » на « + », поэтому — точка минимума. Значение функции в точке максимума равно

в точке минимума

Применение производной к построению графиков функций

Если график функции на некотором промежутке представляет
собой непрерывную линию, т. е. линию, которую можно провести,
не отрывая карандаша от листа бумаги, то эту функцию называют
непрерывной на этом промежутке (рис. 66). Существуют также
функции, которые не являются непрерывными. Например, на
ри­сунке 67 изображен график функции, которая непрерывна на
промежутках [а; с] и (с; b] но разрывна в точке х = с и потому не

Пример:

Построить график функции

Эта функция определена при всех С помощью произ­водной найдем промежутки монотонности этой функции и ее точ­ки экстремума. Производная равна

Найдем стационарные точки: откуда Для определения знака производной разложим квадратный трехчлен на множители:

Точка является точкой минимума, так как слева от этой
точки функция убывает, а справа возрастает; ее значение в точке
минимума равняется f (1) = 0.

Результаты исследования представим в следующей таблице:

Знак означает, что функция возрастает, а знак озна­чает, что функция убывает.
При построении графика обычно находят точки пересечения
графика с осями координат. Так как f (0)= 0, то график проходит
через начало координат. Решая уравнение f (х)= 0, находим точки
пересечения графика с осью абсцисс:

Используя результаты исследования, строим график функции (рис. 69).
Для построения графика функции обычно сначала исследуют
свойства этой функции с помощью ее производной примерно по
та­кой же схеме, как и при решении задачи 1.
При исследовании свойств функции полезно найти:
1) область ее определения;
2) производную;
3) стационарные точки;
4) промежутки возрастания и убывания;
5) точки экстремума и значения функции в этих точках.
Результаты исследования удобно записать в виде таблицы.
Затем, используя таблицу, строят график функции. Для более
точного построения графика обычно находят точки его пересече­ния с осями координат и, быть может, ещё несколько точек
графика.

Пример:

Построить график функции

1) Область определения — множество R? всех действительных
чисел.
2)

Используя результаты исследования, строим график функции
(рис. 70).
График функции построен с помощью 0
иссле­дования некоторых свойств этой функции. По графику можно выя­вить и другие свойства данной функции. Например, из рисунка 70 видно, что уравнение имеет три различных дейст­вительных корня.

Для построения графика четной (нечетной) функции доста­точно исследовать свойства и построить ее график при х > 0 , а затем отразить его симметрично относительно оси ординат
(начала координат). Приведем пример.

Пример:

Построить график функции

1) Область определения:
2) Данная функция нечетная, так как

Поэтому сначала исследуем эту функцию и построим ее график при х > 0.

3)

4) На промежутке х > 0 функция имеет одну стационарную
точку х = 2.
5) Производная положительна на промежутке х > 2 ,
следова­тельно, на этом промежутке функция возрастает. На интервале 0 < х < 2 производная отрицательна, следовательно, на этом ин­тервале функция убывает.
6) Точка х = 2 является точкой минимума, так как при пере­ходе через эту точку производная меняет знак с « —» на « + »; f (2) = 4.

Составим таблицу:

Найдем значения функции еще в двух точках: f (1 )= 5 , f (4)=5. Используя результаты исследования, строим график функции при х > 0 . График этой функции при х < 0 строим с по­мощью симметрии относительно начала координат (рис. 71).

Для краткости записи решения задач на построение графиков
функции большую часть рассуждений, предшествующих таблице,
можно проводить устно.
В некоторых задачах требуется исследовать функцию не на всей области определения, а только на некотором промежутке.

Пример:

Построить график функции на
отрезке [ — 1; 2].
Найдем производную

Со­ставим таблицу:

Используя эту таблицу, строим график функции на отрезке [— 1; 2] (рис. 72).

Наибольшее и наименьшее значения функции

На практике часто приходится решать задачи, в которых
требуется найти наибольшее или наименьшее значение из всех
тех значений, которые функция принимает на отрезке.
Рассмотрим, например, график функции на
отрезке [— 1; 2]. Этот график был построен (рис. 72).
Из рисунка видно, что наибольшее значение на этом отрезке,
равное 2, функция принимает в двух точках: х = — 1 и х = 1;
наи­меньшее значение, равное —7, функция принимает при х = 2.
Точка х = 0 является точкой минимума функции

Это означает, что есть такая окрестность точки х = 0 , например интервал что наименьшее значение в этой окрестности функция принимает при х = 0 . Однако на боль­шем промежутке, например на отрезке [— 1; 2] наименьшее значе­ние функция принимает не в точке минимума, а на конце отрезка.
Таким образом, для нахождения наименьшего значения функ­ции на отрезке нужно сравнить ее значения в точках минимума и на концах отрезка.

Вообще пусть функция f (х) непрерывна на отрезке [а; b] и имеет
производную в каждой внутренней точке этого отрезка.
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений
функции на отрезке [а; b] нужно:
1) найти значения функции в концах отрезка, т. е. числа
2) найти ее значения в тех стационарных точках, которые
принадлежат интервалу (а; b);
3) из найденных значений выбрать наибольшее и наи­меньшее.

Пример:

Найти наибольшее и наименьшее значения функ­ции на отрезке

Интервалу принадлежит одна стационарная точка

Пример:

Найти наибольшее и наименьшее значения функ­ции на отрезке [2; 4}

2.При решении многих задач часто приходится находить
наи­большее или наименьшее значение функции не на отрезке, а на интервале.
В практических задачах обычно функция / (х) имеет на задан­
ном интервале только одну стационарную точку: либо точку
макси­мума, либо точку минимума. В этих случаях в точке максимума функция f (х) принимает наибольшее значение на данном интервале (рис. 73), а в точке минимума — наименьшее значение на данном интервале (рис. 74).

Пример:

Стационарные точки и

На интервале х > 0 есть только одна стационарная точка х = 6. При переходе через точку х = 6 производная меняет знак с « —» на «+», и поэтому х = 6 — точка минимума. Следовательно, наименьшее значение на интервале x > 0 функция принимает в точке х = 6 (это зна­чение f (6)= 12).
О т в е т.

3* При решении некоторых задач на нахождение наиболь­шего и наименьшего значений функции полезно использовать следующее утверждение:
Если значения функции f (х) неотрицательны на некотором
промежутке, то эта функция и функция где n —
нату­ральное число, принимают наибольшее (наименьшее) значение в одной и той же точке.

Пример:

Площадь прямоугольника равна:

Задача свелась к нахождению такого значения х, при котором функция S (х) принимает наибольшее значение на интервале
0 < х< 2R. Так как S (х )> 0 на интервале 0< х< 2R , то функции S (x)
и принимают наибольшее значение на этом интер­вале в одной и той же точке.

На интервале 0 < х < 2 R есть только одна стационарная точка — точка максимума. Следовательно, наибольшее
значение функция f (х) (а значит, и функ­ция f (х)) принимает при

Итак, одна сторона искомого прямо­угольника равна другая равна т. е. искомый пря­моугольник — квадрат со стороной его площадь равна

Механический смысл производной

Представим себе, что мы отправляемся в автомобильную поездку. Садясь в машину, посмотрим на счетчик километража. Теперь в любой момент времени мы сможем определить путь, пройденный машиной. Скорость движения мы узнаем по спидометру. Таким образом, с нашим движением (как и с движением любой материальной точки) связаны две величины — путь s и скорость v, которые являются функциями времени t.

Ясно, что путь и скорость связаны между собой. В конце XVII в. великий английский ученый Исаак Ньютон открыл общий способ описания этой связи. Открытие Ньютона стало поворотным пунктом в истории естествознания. Оказалось, что связь между количественными характеристиками самых различных процессов, исследуемых физикой, химией, биологией, техническими науками, аналогична связи между путем и скоростью.

Основными математическими понятиями, выражающими эту связь, являются производная и интеграл. Как вы убедитесь в дальнейшем, скорость — это производная пути, а путь — это интеграл от скорости.

Построенная Ньютоном модель механического движения остается самым важным и простым источником математического анализа, изучающего производную и ее свойства. Вот почему на вопрос, что такое производная, короче всего ответить так: производная — это скорость.

А что такое скорость? Оказывается, объяснить это не так просто. Прочтите диалог между водителем-женщиной и полицейским, взятый из знаменитых «Фейнмановских лекций по физике»:

• — Мадам, Вы нарушили правила уличного движения. Вы ехали со скоростью 90 километров в час.
• — Простите, это невозможно. Как я могла проехать 90 километров за час, если я еду всего лишь 7 минут!
• — Я имею в виду, мадам, что если бы Вы продолжали ехать таким же образом, то через час Вы бы проехали 90 километров.
• — Если бы я продолжала ехать, как ехала, еще час, то налетела бы на стенку в конце улицы!
• — Ваш спидометр показывал 90 километров в час.
• — Мой спидометр сломан и давно не работает.

Как видите, полицейский не смог объяснить, что такое скорость 90 км/ч. А вы смогли бы?

Попробуйте объяснить, что такое скорость равномерного движения и как ее можно измерить.

Разберемся в том, что же такое скорость произвольного движения. Пусть точка движется по прямой. Мы считаем, что нам задан закон, по которому можно вычислить путь s как функцию времени t.

Например, если точка движется под действием силы тяжести

с нулевой начальной скоростью, то (Мы считаем, что g — ускорение силы тяжести — постоянно.) Возможны и другие законы движения. Так, ракета, стартовавшая с поверхности Земли вертикально вверх с начальной скоростью, позволяющей полностью преодолеть земное притяжение (так называемой второй космической скоростью), удаляется от центра Земли по закону где A и С — некоторые константы.

Рассмотрим отрезок времени [t1; t2]. Определим среднюю скорость точки на отрезке [t1; t2] как отношение пройденного пути к продолжительности движения:

Для определения скорости точки в момент времени t (ее в механике часто называют мгновенной скоростью) поступим так: возьмем отрезок времени [t; t1] вычислим среднюю скорость на этом отрезке и начнем уменьшать отрезок [t; t1] , приближая t1 к t. Мы заметим, что значение средней скорости при приближении t1 к t будет приближаться к некоторому числу, которое и считается значением скорости в момент времени t.

В качестве примера рассмотрим свободное падение тела. Считаем известным, что зависимость пути от времени задается функцией Зафиксируем произвольный момент времени [t; t1] и вычислим среднюю скорость на отрезке:ill-it

Если теперь будем стягивать отрезок [t; t1] к точке t, т. е. будем брать значения t1 все ближе и ближе к t, то сумма t1+t будет приближаться к t + t=2t, а выражение будет приближаться к Последнее число и является значением мгновенной скорости в точке t. Мы получим хорошо известную формулу скорости v = gt. Процедура, подобная переходу от средней скорости на отрезке [t; t1] к мгновенной скорости в точке t при стягивании отрезка в точку t, носит название предельного перехода.

Лейбниц Готфрид Вильгельм

(1646—1716) — немецкий математик, физик, философ, создатель Берлинской академии наук. Основоположник дифференциального и интегрального исчисления, пел большую часть современной символики математического анализа. В работах Лейбница впервые появились идеи теории алгоритмов.

«Предупреждаю, чтобы остерегались отбрасывать dx,— ошибка, которую часто допускают и которая препятствует продвижению вперед».

Г. В. Лейбниц

Обычно говорят, что при стремлении t1 к t выражение стремится к gt, и записывают это следующим образом:

Используя слово «предел», можно сказать, что мгновенная скорость в точке t — это предел средней скорости при стягивании отрезка, на котором она измеряется, в точку t или в символической записи

Геометрический смысл производной

Честь открытия основных законов математического анализа наравне с Ньютоном принадлежит немецкому математику Г. Лейбницу. К этим законам Лейбниц пришел, решая задачу проведения касательной к произвольной кривой.

Чтобы составить наглядное представление о том, как провести касательную, нужно вообразить себе, что к кривой, изготовленной из жесткого материала (например, из проволоки), вы приставляете
линейку так, чтобы она коснулась этой кривой в выбранной точке (рис. 40, а).

Если вы вырезаете из бумаги криволинейную фигуру, то ножницы направлены по касательной к ее границе.

Постараемся перевести наглядное представление о касательной на более точный язык. Будем считать, что кривая — это ломаная с очень большим числом маленьких звеньев. Именно такая точка зрения была у создателей дифференциального исчисления. В первом учебнике по анализу, написанном 300 лет назад последователем Лейбница маркизом Лопиталем, дано следующее определение касательной: «Если продолжить одно из маленьких I звеньев ломаной, составляющей кривую линию, то эта продолженная таким образом сторона будет называться касательной к кривой» (рис. 40, б).

Хорошее представление о касательной дает следующее описание. Посмотрим в микроскоп на маленький участок кривой. На рисунке 41 в разных масштабах изображены участки одной и той же параболы вблизи точки М. На первом графике ясно видно, что парабола искривлена, на втором это искривление уже менее заметно, а на третьем участок кривой почти неотличим от отрезка прямой линии, которая и является касательной к параболе в точке М.

Более точно объяснить, что такое касательная, так же непросто, как и дать точное определение скорости. Для этого понадобится предельный переход, аналогичный тому, который мы совершили при вычислении скорости.

Пусть дана некоторая кривая и точка Р на ней (рис. 42). Возьмем на этой кривой другую точку Р1 и проведем прямую через точки Р и Р1. Эту прямую обычно называют секущей. Станем приближать точку Р1 к Р. Положение секущей РР1 будет меняться, но с приближением Р1 к Р начнет стабилизироваться. Предельное положение секущей РР при стремлении точки Р1 к точке Р и будет касательной к кривой в точке Р.

Как перевести описанное построение на язык формул? Пусть кривая является графиком функции y = f(x), а точка Р, лежащая на графике, задана своими координатами (х; у). Касательная является некоторой прямой, проходящей через точку Р. Чтобы построить эту прямую, достаточно найти ее угловой коэффициент. Обозначим угловой коэффициент касательной k. Сначала найдем угловой коэффициент k1 секущей РР1. Пусть абсцисса точки Р1 равна Х1. Из рисунка 43 ясно, что
Для нахождения k надо устремить x1 к х. Тогда точка Р1 начнет приближаться к точке Р, а секущая РР1 — к касательной в точке Р. Таким образом, угловой коэффициент касательной можно найти как предел выражения при стремлении х1 к х, или в символической записи:

Мы пришли к той же задаче, которая встретилась при нахождении скорости: осуществить предельный переход в выражении

вида при стремлении х1 к х. Этот предельный переход носит название дифференцирования функции f.

Дифференцирование, или нахождение производной,— это новая математическая операция, имеющая тот же смысл, что в механике нахождение скорости, а в геометрии вычисление углового коэффициента касательной.

Для нахождения значения производной в данной точке надо рассмотреть маленький участок изменения аргумента вблизи этой точки. Производная будет приближенно равна средней скорости на этом участке (на языке механики) или угловому коэффициенту секущей (на языке геометрии). Для точного вычисления производной надо совершить предельный переход — стянуть отрезок изменения аргумента в точку. Тогда средняя скорость превратится в мгновенную, а секущая — в касательную, и мы вычислим производную.

Определение производной

Математический анализ, созданный Ньютоном и Лейбницем, долго развивался на основе интуитивного понятия производной как «скорости изменения функции». Современное определение производной появилось лишь в XIX в. после того, как были уточнены основные понятия математического анализа: вещественное число, функция, предел. С их помощью можно дать следующее определение:

Производной функции y=f (х) называется предел отношения при стремлении x1 к х.

Исторически сложилась символика для обозначения участвующих в этом определении выражений. Разность значений аргумента обозначают ∆ х (дельта икс) и называют приращением аргумента, а разность значений функций обозначают ∆ у и называют приращением функции. Иначе говоря, х1— x = ∆ x, а f (x + ∆ x) — f (х) = ∆ у. Средняя скорость изменения функции записывается как .

Стягивание отрезка в точку означает стремление ∆ х к нулю. Производную функции y = f(x) обозначают с помощью штриха: у’ или f’ . Получается новый вариант определения производной:

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Символически определение производной можно записать так:

Ньютон Исаак

(1643—1727) — английский физик и математик. Создал современную механику (законы Ньютона) и открыл закон всемирного тяготения. В его главном сочинении «Математические начала натуральной философии» дан математический вывод основных фактов о движении небесных тел. Один из создателей дифферен- , циального и интегрального исчисления.

«Когда величина является максимальной или минимальной, в этот момент она не течет ни вперед, ни назад».

И. Ньютон

Как вычисляют производную? Первый шаг: вычисляют ∆ у — приращение функции на

отрезке [х; x+ ∆x] и составляют отношение.

Второй шаг: представляют себе, что ∆ х приближается к нулю, и переходят к пределу, т. е. находят, к какому значению приближается отношение при ∆x → 0.

Предельные переходы

При определении скорости, при нахождении углового коэффициента касательной, при вычислении производной мы совершаем предельные переходы. Попробуем более точно описать их суть.

Мы имеем дело с переменными величинами. Пусть, например, переменная у является функцией переменной х. Нас интересует поведение у при приближении аргумента х к некоторому значению а. Отметим сразу, что это значение а может входить в область определения функции, а может и не входить. Так, исследуя функции

вблизи значения х=1, мы заметим, что его можно подставить в формулы для у1и y4 и нельзя — в формулы для y2 и уз. Предельный переход для функций у1 и у4 при приближении х к 1 (при x → 1) совершить просто — надо вычислить значения этих функций при х= 1:

Так обычно ведут себя функции, заданные известными нам формулами: предел функции при стремлении аргумента к а, входящему в область определения, равен значению функции в точке а, т. е.

если а входит в область определения функции f. Этот принцип, который отражает непрерывность элементарных функций во всех точках, где они определены, позволяет осуществить большое количество важных предельных переходов. Мы так и будем называть его: принцип непрерывности. Этот принцип удобно формулируется на языке приращений:

Предельные переходы для функций y2 и уз при x → 1 так просто осуществить нельзя: y2 и уз не определены при х=1. Предельный переход, который мы хотим осуществить, поясним на примере более простой функции Ясно, что при всех х ≠ О значения этой

функции равны 1. При х = 0 эта функция не определена, но очевидно, что ее предельным значением при х → 0 надо считать у= 1. Это значение получается при сокращении числителя и знаменателя дроби на х. Аналогичное сокращение можно произвести и для функций y2 и уз:

Полученные после сокращения выражения уже определены при х=1, и поэтому предельные значения можно получить, подставляя в них число 1 вместо х:

Приведенные примеры не исчерпывают всего разнообразия встречающихся случаев — в дальнейшем мы встретимся с более сложными предельными переходами.

Вычисление производной

Схема вычисления производной:

Вычисление производной функции y = f(x) производится по следующей схеме:

1) Находим приращение функции на отрезке [x; х+ ∆ х]:

2) Делим приращение функции на приращение аргумента:

3) Находим предел устремляя ∆x к нулю.

Переход к пределу мы будем записывать либо с помощью знака lim, либо с помощью стрелки → .

Примеры:

Производная линейной функции.

а) у = С— постоянная функция.

Так как отношение постоянно и равно нулю, то производная у тоже равна нулю: у’ =0. Итак, производная постоянной равна нулю: С’ = 0.

б) y = ax+b— линейная функция.

Как и в первом примере, отношение является постоянным.

Поэтому в качестве производной надо взять функцию, принимающую это постоянное значение а, т. е. у’ = а. Итак, производная линейной функции равна коэффициенту при переменной:

(ах + b)’ = а.

Производная функции у = ах2.

Производная функции у = х3.

Производная функции

Во всех рассмотренных примерах находится производная рациональной функции. При этом дробь всегда можно сократить на ∆ х. Переход к пределу сводится к тому, что можно положить (после сокращения) ∆ x = 0.

Рассмотрим более сложный пример.

Производная функции

Для того чтобы сократить на ∆х, умножим числитель и знаменатель на сумму радикалов:

При маленьких ∆х значение корня близко к Поэтому при переходе к пределу надо заменить в знаменателе на . Получим:

Производные, вычисленные в этих примерах, нужно запомнить:

Правила дифференцирования

Теорема:

Производные суммы и произведения вычисляются по следующим формулам:

Доказательство. Первый шаг в вычислении производной — это нахождение приращения функции. Обозначим аргумент функции буквой х, значение функции буквой у и вычислим ∆у, т. е. приращение функции у на отрезке [х; x + ∆x].

1) y = u+v — функция у есть сумма двух функций u и v. Значение функции у в любой точке является суммой значений функций и и v в этой точке:

y{x)=u(x)+v(x).

Вычисляем ∆у:

Первая скобка — это ∆ u, вторая — ∆ v. Запишем кратко результат вычисления:

т. е. приращение суммы функций равно сумме приращений слагаемых.

2) у = Сu — функция у представлена как произведение постоянной С на функцию u. Значение функции у в любой точке является произведением постоянной С на значение функции и в этой точке: у (х) = Cu (х).

Вычисляем ∆у:

т. е. при умножении функции на постоянное число приращение функции умножается на это число.

3) у = uv — функция у есть произведение функций u и v. Значение функции у в любой точке является произведением значений функций и и и в этой точке:

у (х) = u (х) v (х).

Вычисляем ∆у:

Для того чтобы выделить приращения сомножителей ∆ u и ∆ v, заменим u (х + ∆х) и v (х + ∆x) на равные им выражения u(x) + ∆x и v(x) + ∆v:

Окончательно

или

Объединим второй и третий шаги в вычислении производной, т. е. составим отношение и перейдем к пределу при ∆x → 0.

1) y=u + v.

Пусть ∆x → 0. По определению производной будет приближаться к u’, — к v’, а их сумма будет приближаться к сумме u’ + v’, т. е.

y’ = u’ + v’.

2) у = Сu,

Пусть ∆x → 0. При этом будет приближаться к u’, а тогда и будет приближаться к Сu’, т. е.

у’ = Сu’.

3) y = uv,

Пусть ∆x → 0 . Тогда

Перейдем к пределу в каждом слагаемом.

Третье слагаемое является произведением двух переменных множителей, ведущих себя по-разному при ∆x → 0 . Мы уже знаем, что Если ∆x → 0 , то по принципу непрерывности ∆v → 0 . Следовательно, , что и требовалось доказать.

Замечание:

Формула (Сu)’ = Сu’ является следствием формулы производной произведения: y = uv,v = C, y = u’v+uv’ = u’С+u0 = Сu’. Однако формула (Cu)’ = Cu’ настолько важна, что мы дали ее отдельный вывод.

Теорема:

Производная частного вычисляется по формуле

Доказательство. Формулу производной частного можно получить, следуя обычной схеме вычисления производной. Можно поступить проще. Обозначим функцию через h. Получим =h, u = hv. Найдем производную функции и по правилу дифференцирования произведения:

U’=h’v + hv’.

Выразим из этой формулы h’, а вместо h подставим его значение Получим:

Окончательно

Замечание. Производную функции найденную ранее, можно заново получить, пользуясь формулой производной частного. Представим как частное функций «=1 и v — x. Получим:

Производная степени

Производную любой степени с натуральным показателем можно получить, пользуясь правилом дифференцирования произведения. Например, для нахождения производной функции у = х4 представим х4 как х3 ⋅ х. Зная производные функций у=х3 и у=х, вычислим производную произведения:

Выпишем формулы:

Легко заметить общую закономерность:

Теперь найдем производную функции :

Заметим следующее: если дробь записать как у = хk, где k=—n (т. е. как степень с отрицательным показателем), то Если заменим ( — n) на к, то получим т. е. формула дифференцирования степени, полученная нами для натуральных показателей, остается верной и для целых отрицательных показателей:

где k — любое целое число, кроме нуля.

Выведенная формула остается верной и для дробных показателей. Возьмем известный уже нам случай .

Это функция . По формуле получится:

Линейная замена аргумента

Как меняется производная функции y = f (х), если вместо аргумента х подставить новую функцию? Ответ на этот вопрос мы дадим в заключительной беседе, а сейчас разберем важный частный случай линейной замены аргумента.

Теорема:

Производная функции y=f(kx+b) вычисляется по формуле

(f(kx + b))’=kf'(kx+b).

Словами теорему можно сформулировать так: при линейной замене аргумента производная умножается на коэффициент при аргументе.

Доказательство:

Вычислим производную функции y = f (kx + b), следуя общей схеме вычисления производной. Предварительно введем обозначения. Функцию y = f (kx + b) как функцию от х обозначим через g, т. е. g (х) = f (kx + b). Выражение kx+b обозначим через z, т. е. z = kx + b, откуда g(x) = f(z).

Найдем зависимость между ∆ х и ∆ z:

∆ z = k(x + ∆ x) + b—(kx + b)=k ∆ x,

т. е. ∆ z = k ∆ x.

Вычислим

Перейдем к пределу. Пусть ∆ х → 0. Тогда по принципу непрерывности ∆ z → 0.

Итак, , что и требовалось доказать.

Физический смысл выведенной формулы очень простой. Переход от функции y = f(x) к функции y = f(kx+b) означает изменение начала отсчета и масштаба переменной х. Изменение начала отсчета не может повлиять на вычисление скорости: показания спидометра не зависят от начального показания счетчика километража. Изменение масштаба измерения аргумента (времени) в k раз повлечет за собой такое же изменение величины скорости. Так, скорость, измеренная в километрах в час в 60 раз больше скорости, измеренной в километрах в минуту.

Примеры:

При дифференцировании функций вида у =(kх)n выведенной формулой пользоваться нерационально. Лучше вынести константу за знак производной:

Пример:

у = {Зх)3. Сделав преобразование (3х)3 = 33х3 = 27х3, вычисляем производную у’=27 • Зх2 = 81×2.

Исследование функции с помощью производной

Связь свойств функции и ее производной:

В первой главе мы научились читать график, т. е. находить свойства функции по ее графику. Сейчас перед нами стоит обратная задача — научиться строить график функции, зная необходимые для этого ее свойства.

Два важнейших свойства функции, необходимые для построения ее графика,— промежутки монотонности и точки экстремума — определяются с помощью производной.

Связь между свойствами функции и свойствами ее производной мы установим с помощью механического истолкования производной как скорости движения материальной точки.

Пусть материальная точка движется по координатной прямой. Положение точки определяется значением одной переменной — ее координатой. Эта переменная зависит от другой переменной — времени. В механике мы обычно обозначаем время буквой t, координату точки, движущейся по прямой, буквой х. Движение точки по прямой определяется заданием х как функции времени t. Разумеется, обозначения для переменных можно выбирать по-раз-ному. Если мы хотим произвольную функцию y = f (х) рассматривать как закон движения материальной точки, то независимую переменную, аргумент х, мы должны считать временем, а зависимую переменную у считать координатой движущейся точки.

Итак, пусть дана функция y=f(x). Рассмотрим ее как закон прямолинейного движения некоторой материальной точки Р. Это означает, что точка Р движется по оси, причем ее положение зависит от времени, которое обозначено через х. Для более отчетливого механического истолкования функции и ее свойств, составим таблицу, с помощью которой легко найдем связь между поведением функции и ее производной.

Теорема:

Признак постоянства функции. Если на некотором промежутке производная тождественно равна нулю, то функция на этом промежутке постоянна.

Доказательство:

Будем понимать заданную функцию у=f (х) как закон движения материальной точки Р (строка 3 таблицы) по оси у. Если производная обратилась в нуль, то точка Р остановилась (строка 9 таблицы). Если производная все время равна нулю, то точка Р все время стоит на месте, а тогда функция у является постоянной (строка 4), что и требовалось доказать.

Заметим, что верна и обратная теорема: если функция постоянна, то ее производная равна нулю. Производную постоянной функции мы вычислили ранее, это же следует и из строк 4 и 9. Таким образом,

Теорема:

Признак монотонности функции. Промежутки монотонности функции совпадают с промежутками постоянного знака ее производной.

Доказательство:

Будем понимать заданную функцию y=f(x) как закон движения материальной точки Р по оси у в зависимости от времени х (строка 3). Пусть на некотором промежутке функция f возрастает. На языке механики это означает, что материальная точка Р движется по оси у в положительном направлении (строка 6). Так как знак скорости совпадает с направлением движения (строка 10), то скорость точки, т. е. производная функции f, положительна.

Обратно: если производная, т. е. скорость точки, положительна, то точка движется по оси у в положительном направлении (строка 10), следовательно, функция возрастает (строка 6).

Аналогично рассматривается случай убывания функции.

Замечание:

Если точка движется в одном направлении, то ее скорость сохраняет постоянный знак, однако в отдельные моменты времени точка может остановиться (ее скорость обратится в нуль), а затем продолжать двигаться в том же направлении. Функция, описывающая такое движение точки, будет монотонной. Значит, если Верно и обратное. Однако если f (х) обращается в нуль не в отдельных точках, а на целом промежутке, то на этом промежутке функция будет постоянной. Если включить промежутки постоянства функции в промежутки ее монотонности (как иногда говорят, не требовать строгой монотонности функции), то можно коротко результат исследования записать так:

Теорема:

Необходимое условие экстремума функции. В точке экстремума производная обращается в нуль.

Доказательство:

Рассмотрим заданную функцию y = f(х) как закон движения материальной точки Р (строка 3). Пусть при х=х0 функция у имеет экстремум. Тогда в момент времени x=x0 точка Р занимает на оси у самое высокое (или самое низкое) положение (строка 8). В этот момент времени точка останавливается, т. е. ее скорость обращается в нуль, а значит, f {хо)=0 (строка 9), что требовалось доказать.

Обратное утверждение неверно. Нельзя утверждать, что если в некоторой точке производная обратилась в нуль, то в этой точке у функции экстремум. Кроме обращения производной в нуль, мы наложим на функцию еще дополнительное условие.

Теорема:

Достаточное условие экстремума функции. Если в некоторой точке производная обращается в нуль и, кроме того, производная, проходя через нее, меняет свой знак, то в этой точке функция достигает экстремума.

Доказательство:

Рассмотрим заданную функцию y=f (х) как закон движения материальной точки Р по оси у в зависимости от времени х (строка 3). Пусть f'(x0) = 0. Если перед точкой хо имеем f (х)>0, то до момента остановки скорость точки Р была положительна (строка 10) и точка Р двигалась по оси у вверх. Так как по условию производная, проходя через точку х0, меняет свой знак, то после x0 имеем f (х)<0, т. е. после момента остановки скорость точки Р становится отрицательной (строка 11) и точка Р движется вниз. Тогда в момент времени хо точка Р достигает самого высокого положения на оси у и функция f принимает максимальное значение (строка 8). Теорема доказана.

Вернемся еще раз к различию между необходимыми и достаточными условиями экстремума функции. Пусть производная функции обратилась в нуль в некоторой точке х0 (необходимое условие). С механической точки зрения это означает, что материальная точка Р, закон прямолинейного движения которой задается исходной функцией, в момент времени хо остановилась. Ясно, что после мгновенной остановки точка Р могла начать двигаться в обратном направлении, а могла продолжать двигаться в том же направлении, что и раньше. В первом случае скорость точки Р поменяла свой знак, а во втором нет. Соответственно в первом случае положение точки Р на числовой оси достигло экстремального значения, а во втором нет.

Мы выделили необходимое условие экстремума (обращение производной в нуль) потому, что оно легко проверяется. Точки экстремума надо искать прежде всего среди корней производной. Этих корней, как правило, мало (или вообще нет), поэтому выгодно сначала ограничить число точек, «подозрительных на экстремум», а потом уже проверять для них выполнение дополнительных, достаточных условий. Следует, кроме того, сказать, что необходимое условие экстремума легко обобщается на более широкий класс функций, чем тот, который мы изучаем в школе, в то время как достаточные условия обобщаются не так просто.

Поведение функции f вблизи точки Хо, в которой производная обратилась в нуль, представлено в таблице и на схеме VII.

Простейшими примерами, для которых реализуются случаи, изображенные на схеме VII, являются функции у= ±х2 и у= ±x3 (точка x = 0).

Особые точки

Все доказанные нами теоремы о связи свойств функции и ее производной опирались на предположение о том, что рассматриваемая функция дифференцируема, т. е. имеет производную в каждой точке области определения. На механическом языке это означает, что материальная точка Р движется плавно, без ударов и рывков, что позволяет в каждый момент вычислить ее скорость.

Однако, как мы уже знаем, функция может иметь разнообразные особые точки. В механической интерпретации они будут соответствовать моментам времени, когда нарушается плавность движения.

Нетрудно привести пример неплавного, скачкообразного движения. Простейшим из них является движение мяча, падающего на пол и упруго отскакивающего от него. На рисунке 44, а изображен закон движения мяча — график зависимости высоты h положения мяча над столом от времени t. При отскоках от пола (при h = 0) направление движения мяча меняется (и функция достигает минимума), однако в эти моменты скорость мяча не равна нулю, касательной к графику h провести нельзя.

На рисунке 44, б изображен график скорости мяча. В моменты отскока скорость мяча однозначно найти нельзя — график скорости в эти моменты имеет разрывы. Точки, в которых производная не существует, являются особыми точками функции. Приведем типичные примеры функций, имеющих подобные особые точки.

1) у=х (рис. 45). В точке x = 0 функция непрерывна, однако производная в нуле не существует (при х<0 имеем у= — х, у’ = — 1; при х>0 имеем у = х, у’ = + 1). На графике в этой точке излом.

Аналогично при построении графиков функций типа y=f(x) будут появляться изломы в точках, где f (х) = 0.

2) Так как то при х = 0 производная не существует (обращается в ∞ ), касательная становится вертикальной (рис. 46). х = 0 является особой точкой.

К числу особых точек относят также точки разрыва самой функции.

Наличие особых точек затрудняет исследование функции. Так, производная функции везде отрицательна

однако к функции нельзя применить признак монотонности

и сказать, что она везде убывает. Особая точка x = 0 «разрывает» область определения на два промежутка, на каждом из которых можно применять указанный признак, а на всей области определения его применять нельзя.

Аналогично производная функции у=|х| там, где она определена, нигде не обращается в нуль, однако к функции нельзя применить необходимое условие экстремума и сказать, что она не имеет экстремумов. Особая точка x = 0 является точкой минимума этой функции.

Решение задач на производную

Рассмотрим решение задач на применение производной к исследованию функций. Основную роль в этом исследовании будут играть корни производной — они нужны для нахождения промежутков монотонности и точек экстремума. В то же время мы заметили выше, что нужно также обратить внимание на особые точки функции, так как они могут существенно повлиять на описание ее свойств. Для удобства мы введем вспомогательное понятие «критическая точка», чтобы объединить с его помощью все нужные нам точки — корни производной и особые точки.

Назовем критическими точками функции корни ее производной, точки, где производная не существует, а также точки, где нарушается непрерывность функции.

Приведем алгоритм нахождения критических точек функции:

1) Найти точки разрыва функции у.

2) Найти производную у’.

3) Решить уравнение у’= 0.

4) Найти точки, в которых у’ не существует.

Этот алгоритм можно уточнить и упростить для наиболее часто встречающихся классов функций. Рассмотрим примеры.

1. у = х3 — Зх.

Эта функция является многочленом. Ее производная также будет многочленом. Многочлен определен при всех значениях аргумента. Поэтому алгоритм нахождения критических точек многочлена сводится к двум пунктам.

1) Вычисляем производную: у’ = 3х2 — 3.

2) Решаем уравнение у’ = 0. Получим Зх2 —3 = 0, х2=1, х=±1.

Ответ: критические точки x1 = — 1, x2 = 1

2.

Эта функция является рациональной, т. е. отношением двух многочленов. Ее производная также будет рациональной функцией, причем знаменатель производной — это квадрат знаменателя исходной дроби. Поэтому точки, в которых знаменатель обращается в нуль (в них функция не определена, имеет разрыв), одни и те же — у функции и ее производной. Алгоритм выглядит следующим образом:

1) Находим корни знаменателя:

х— 1 =0 ⇔ 0- х1= 1.

2) Вычисляем производную:

3) Решаем уравнение у’=0. Получим х2 — 2х — 3 = 0, х2= — 1, x3=3

Ответ: критические точки х1 = 1, x2 = — 1, x3 = 3.

Теперь мы можем приступить к решению задач на нахождение промежутков монотонности и точек экстремума (эти две задачи тесно связаны между собой). Приведем соответствующий алгоритм:

1) Найти критические точки функции y = f(x) и нанести их на числовую ось, выделив точки разрыва функции у.

2) Найти знак производной на каждом из получившихся промежутков.

3) Определить по знаку производной характер монотонности у на каждом промежутке.

4) Выяснить наличие экстремума в каждой критической точке, отличной от точек разрыва функции у.

Вернемся к приведенным ранее примерам.

1. у = х3 — Зх.

Наносим на числовую ось критические точки x1 = — 1, х2=1. Методом интервалов определяем знак у’ на каждом промежутке. Указываем характер монотонности у. Определяем наличие экстремума (рис. 47).

Ответ: у возрастает на промежутках (— ∞ ; — 1] и [1; + ∞ )и убывает на промежутке [—1; 1], при х1 = — 1 функция имеет максимум, при x2 = 1 — минимум.

2.

Наносим на числовую ось критические точки —1, 1,3, выделив корень знаменателя x1 = 1. Методом интервалов определяем знаки производной. Указываем характер монотонности и наличие точек экстремума (рис. 48).

Приведем пример символической записи ответа.

Ответ:

Часто требуется найти не только точки экстремума, т. е. значения аргумента, при которых функция достигает максимума или минимума, но и сами экстремальные значения, т. е. значения функции в точках экстремума. В последнем примере

Построение графика функции

1) При построении графика функции прежде всего нужно уточнить и записать ее область определения. Если не сделано специальных оговорок, то считается, что функция задана в своей «естественной области определения». Для многочленов это вся числовая ось R, для рациональных функций это вся числовая ось за исключением тех точек, в которых знаменатель обращается в нуль.

Найдя область определения, надо отметить ее на оси абсцисс. Если эта область — вся числовая ось, то никаких отметок можно не делать. Если эта область — промежуток числовой оси, то полезно провести вертикальные прямые через его концы. Эти прямые ограничат полосу, в которой будет лежать график функции. Если отдельные точки не входят в область определения функции (например, корни знаменателя), надо отметить их на оси абсцисс и провести через них вертикальные прямые.

2) Для отыскания корней функции приравниваем ее к нулю, решаем уравнение и наносим корни на ось абсцисс. Это первые найденные нами точки будущего графика функции.

3) Находим промежутки монотонности и точки экстремума, следуя алгоритму, описанному в предыдущем пункте.

4) Вычисляем значения функции в точках экстремума, а также в других критических точках, где функция определена. Строим эти точки на плоскости. При этом полезно сразу обозначить поведение функции вблизи этих точек, используя стандартное изображение точек экстремума, перегиба, излома (рис. 49).

5) Граничные точки. Если область определения состоит из одного или нескольких промежутков, надо исследовать поведение функции вблизи границ этих промежутков. При этом может представиться несколько различных случаев:

а) В точке х0 функция «обращается в бесконечность». Типичный случай — корень знаменателя рациональной функции. Через точку х0 у нас уже проведена вертикальная прямая. Около точки x0 график функции будет уходить вверх или вниз, приближаясь к этой прямой. Для того чтобы узнать, вверх или вниз уходит график, надо определить знак функции слева и справа от точки x0. Характерные случаи изображены на рисунке 50.

б) Граничная точка х0 входит в область определения функции (типичный пример — точки х = ± 1 для функции

Надо вычислить значение функции в точке x0 и построить полученную точку.

в) В область определения функции входит бесконечный промежуток (вся числовая ось или промежуток вида (— ∞ ; а], [а; +∞ )). В этом случае полезно представить себе поведение функции при больших по модулю значениях аргумента или, как говорят, «на бесконечности», т. е. при х → — ∞ или х → + ∞ . На рисунке 51 изображены типичные случаи.

Найденной информации достаточно для того, чтобы, соединив плавной кривой построенные точки, получить эскиз графика.

Пример:

Построить график функции у = х3 — Зх.

Решение:

Область определения — вся числовая ось R. Находим корни функции: х3 — 3x = 0, х (x2 — 3) = 0, x1=0, Наносим корни на ось абсцисс. Находим и исследуем критические точки (эта задача решена нами в предыдущем пункте): в точке х= — 1 максимум, у (— 1) = 2; в точке х= 1 минимум, у (1)= —2. На бесконечности функция у ведет себя как кубическая функция у = х3. Строим график (рис. 52).

х’2 I о

Пример:

Построить график функции

Решение:

Область определения — вся числовая ось, кроме точки х=1. (Можно записать так: х ≠ 1.) Строим прямую x=1. Находим корни функции: у = 0, х2 + 3 = 0 — корней нет. Критические точки (воспользуемся результатом вычислений предыдущего пункта): х= — 1 —точка максимума; х = 3 — точка минимума. Вычислив значения функции в этих точках, строим точки (3; 6) и (— 1; —2). Находим знаки у слева и справа от точки х= 1. Так как числитель дроби положителен при всех х, то ее знак определяется знаком знаменателя: при х<1 функция отрицательна, при х>1 положительна. Рисуем «хвосты» около прямой

х=1. «На бесконечности» дробь ведет себя примерно так же, как дробь, т. е. как линейная функция. Строим график

(рис. 53). Полезно дополнительно построить точку пересечения графика с осью у.

х=0, у (0)= —3.

Приложения производной

Самое главное приложениепроизводной состоит в том, что производные позволяют понять, каковы максимальные и минимальные значений исследуемой функции на каком-либо участке (конечном или бесконечном). Однако есть и другие приложенияпроизводной: производные позволяют сравнивать степень роста (или убывания) двух или нескольких функций, определять направления их выпуклости, вычислять кривизну и так далее.

Скорость и ускорение

Понятие производной возникло как математическое описание скорости движения. Поэтому важнейшим приложением производной является вычисление скорости. Скорость произвольно движущейся точки является векторной величиной, так как она определяется с помощью вектора — перемещения точки за промежуток времени. Рассмотрим сначала простейший случай — движение точки по прямой. При прямолинейном движении точки ее положение, перемещение, скорость, ускорение и другие характеристики, которые, вообще говоря, имеют векторный смысл, можно задать одним числом, т. е. считать скалярными величинами.

Составим таблицу перевода понятий механики на язык математики, применяя более привычные для физики обозначения.

Обратим внимание на обозначения. В физике производная по времени обычно обозначается не штрихом, а точкой. Более распространена запись v = x (читается: «Икс с точкой»).

Ускорение произвольного движения определяется как скорость изменения скорости, т. е. как производная скорости по времени: a = v’ = v. Так как скорость есть производная координаты, а ускорение есть производная скорости, то ускорение называют второй производной координаты и обозначают так: а = х»=’х.

Через координату точки х=х (t) и ее производные можно выразить другие механические величины:

Скорость криволинейного движения

Пусть точка А движется по криволинейной траектории. Обозначим координаты точки А в момент времени t через x(t) и у (t). Эти координаты зависят от времени t и являются тем самым функциями от t. Рассмотрим мгновенную скорость движущейся точки А в момент времени t. Вектор мгновенной скорости v направлен по касательной к траектории в точке А (рис. 54).

Координаты вектора v тоже зависят от времени t и меняются, вообще говоря, при переходе от одной точки траектории к другой. Покажем, что координаты вектора скорости v точки А равны х’ (t) и у’ (t), где х’ и у’ — производные функций х и у в точке t.

За время ∆ t точка А переместится в точку В с координатами

x{t+ ∆t) и y(t + ∆t). Рассмотрим вектор перемещения . Вектор

является разностью векторов и и его координаты поэтому будут разностями координат этих векторов. Следовательно,

координаты вектора равны x(t+ ∆t) — x(t) и y(t+ ∆t) — у (t).

Напомним, что средней скоростью называется отношение перемещения ко времени. Таким образом, вектор средней скорости равен , и поэтому его координаты равны

Вектор средней скорости при уменьшении ∆t приближается к вектору мгновенной скорости в момент времени t. (Это значит, что векторная разность между мгновенной скоростью и средней скоростью может быть сделана сколь угодно малой за счет выбора ∆t.)

По определению производной при уменьшении ∆t величина приближается к х'(t), а приближается
к у’ (t). Таким образом, координаты вектора мгновенной скорости в момент времени t равны х’ (t) и у’ (t).

Пример:

Рассмотрим движение снаряда, выпущенного под углом а к горизонту с начальной скоростью v0. Снаряд, если пренебречь сопротивлением воздуха, будет двигаться по параболе. Вектор скорости v направлен по касательной к параболе. Можно вычислить координаты скорости, зная координаты снаряда:

Мы знаем, что вектор скорости v имеет координаты (х’ (t); у’ (t)). Вычисляем производные:

Эти же равенства можно получить из известной векторной формулы

При движении точки по окружности радиуса R с постоянной угловой скоростью ω величина скорости v = ωR остается постоянной, однако направление ее меняется. Зная, что вектор v направлен по касательной, мы сможем выразить координаты v, а тем самым подсчитать производную синуса и косинуса.

Дифференциал

Основой разнообразных физических приложений производной является понятие дифференциала. Дифференциалом функции называют произведение ее производной на приращение аргумента.

Пусть нам задана функция y = f{x). Ее дифференциал обозначают через dy (или можно писать df). По определению

Рассмотрим функцию у=х. Так как производная этой функции постоянна и равна единице, то дифференциал этой функции равен ∆x т. е. для независимой переменной верно равенство dx = ∆х. Поэтому дифференциал функции записывают обычно в виде

из этой записи происходит одно из обозначений производной:

которое можно понимать как отношение дифференциалов.

Какими свойствами обладает введенное нами понятие дифференциала функции?

1) Дифференциал функции — это главная часть ее приращения.

Сравним приращение функции ∆у и ее дифференциал dy. На рисунке 55 видно, что, чем меньше ∆х, тем ближе ∆у к dy. Действительно, разность ∆y — dy преобразуется так:

По определению производной при стремлении ∆х к нулю разность тоже стремится к нулю. При умножении на ∆х мы получим выражение, еще быстрее приближающееся к нулю. Таким образом, приращение функции отличается от ее дифференциала на такую функцию, которая стремится к нулю еще быстрее, чем ∆x. Поэтому и говорят, что дифференциал есть главная часть приращения функции.

2) Дифференциал функции — это линейная функция приращения аргумента.

Если мы зафиксируем точку ∆ (х0; у0) на графике функции y=f (х) и обозначим f (х0) через k, то на равенство dy = kdx можно смотреть как на линейную зависимость между dy и dx. Если через точку А мы проведем новые оси координат (их можно обозначить через dx и dy), то график этой зависимости будет касательной к графику функции f в точке А (хо; уо) (рис. 56).

Можно сказать, что дифференциал функции f — это линейная функция, графиком которой является касательная к графику /. Геометрически на соотношение dy=f'(x0)dx можно смотреть как на уравнение касательной к графику функции f, записанное в системе координат (dx; dy). Эта система координат получается из исходной параллельным переносом начала координат в точку А (х0; у0)- Это позволяет получить уравнение касательной в исходных координатах в следующем виде:

y — y0=f’ (х0) (х0).

Вывод уравнения касательной легко запомнить следующим образом. Прежде всего касательная проходит через заданную точку (хо; уо) на графике функции y = f(x). Поэтому ее уравнение можно записать в виде y — yo = k(x—xo). Угловой коэффициент k равен значению производной в заданной точке: k = f'(x0).

Дифференциал в физике:

Для вычисления дифференциала в физике достаточно знать, что дифференциал — это главная часть приращения функции, линейно зависящая от приращения аргумента. В примерах мы из физических соображений будем получать равенства вида dy = kdx и делать вывод о том, что k — это производная у по х.

1) Работа. Рассмотрим работу, которую совершает заданная сила F при перемещении по отрезку оси х. Если сила F постоянна, то работа А равна произведению F на длину пути. Если сила меняется, то ее можно рассматривать как функцию от х, т. е. F = F (х). Приращение работы ∆А на отрезке [x; х + dx] нельзя точно вычислить как произведение F {х) dx; так как сила меняется на этом отрезке. Однако при маленьких dx можно считать, что сила меняется незначительно и произведение представляет собой главную часть ∆A, т. е. является дифференциалом работы: dA=F (х) dx. Таким образом, силу можно считать производной работы по перемещению.

2) Заряд. Пусть q — заряд, переносимый электрическим током через поперечное сечение проводника за время t. Если сила тока I постоянна, то за время dt ток перенесет заряд, равный Idt.

При силе тока, изменяющейся со временем по некоторому закону I = I (t), произведение I(t) dt дает главную часть приращения заряда на маленьком отрезке времени [t; t + ∆ t], т. е. является дифференциалом заряда: dq = I (t) dt. Тем самым сила тока является производной заряда по времени.

3) Масса тонкого стержня. Пусть есть неоднородный тонкий стержень. Если ввести координаты так, как показано на рисунке 57, то можно рассмотреть функцию m = m (l) — массу куска стержня от точки О до точки l. Неоднородность стержня означает, что его линейная плотность не является постоянной, а зависит от положения точки / по некоторому закону р = р (l). Если на маленьком отрезке стержня [l; l + dl] мы будем считать плотность постоянной и равной р (l), то произведение р (l) dt дает нам дифференциал массы — dm. Это значит, что линейная плотность — это производная массы по длине.

4) Теплота. Рассмотрим процесс нагревания какого-нибудь вещества и будем вычислять количество теплоты Q (T), которое необходимо, чтобы нагреть 1 кг этого вещества от 0° до Т° (по Цельсию). Зависимость Q = Q(T) очень сложна и определяется из опыта. Если бы удельная теплоемкость с данного вещества не зависела от температуры, то произведение cdT дало бы нам изменение количества теплоты. Считая на малом отрезке [T; T+dT] удельную теплоемкость постоянной, мы получим дифференциал теплоты dQ как c(T)dT. Поэтому теплоемкость — это производная теплоты по температуре.

5) Работа как функция времени. Нам известна характеристика работы, определяющая ее скорость по времени,— это мощность. При работе с постоянной мощностью N работа за время dt равна Ndt. Это выражение представляет собой дифференциал работы, т. е. dA=N{t)dt и мощность выступает как производная работы по времени.

Все приведенные нами примеры были построены по одному и тому же образцу. В каждом примере шла речь о связи между тремя величинами, уже знакомыми нам из курса физики: работа, перемещение, сила; заряд, время, сила тока; масса, длина, линейная плотность и т. д. Во всех примерах одна из этих величин выступала как коэффициент пропорциональности между дифференциалами двух других, т. е. каждый раз появлялось соотношение вида dy = k(x)dx.

На такое соотношение можно смотреть как на способ определения величины k (х) — тогда k (х) находится (или определяется) как производная у по х. Этот вывод мы и зафиксировали в каждом примере. Возможна и обратная постановка вопроса: как найти зависимость у от х из заданного соотношения между их дифференциалами? Эту задачу мы рассмотрим в главе, посвященной интегрированию.

Задачи на максимум и минимум

Большую часть своих усилий человек тратит на поиск наилучшего, или, как часто говорят, оптимального, решения поставленной задачи. Как, располагая определенными ресурсами, добиться наиболее высокого жизненного уровня, наивысшей производительности труда, наименьших потерь, максимальной прибыли, минимальной затраты времени — так ставятся вопросы, над которыми приходится думать каждому члену общества. Не все такие задачи поддаются точному математическому описанию, не для всех из них найдены короткие пути решения. Однако часть таких задач поддается исследованию с помощью методов математического анализа — это задачи, которые можно свести к нахождению наибольшего или наименьшего значения функции.

Наиболее важной для приложений ситуацией является следующая: функция f задана на отрезке [a; b] и имеет производную во всех точках этого отрезка. Тогда для нахождения наибольшего и наименьшего значений этой функции надо поступить так: найти критические точки (в данном случае корни производной), вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка, из найденных значений найти наибольшее и наименьшее.

Функция, график которой изображен на рисунке 58, задана на отрезке [а; Ь] и принимает наименьшее значение в точке с (одной из точек локального минимума), а наибольшее значение в точке b (крайней точке области определения). Встречаются и другие случаи, которые можно представить себе по рисунку 59. Предлагаем вам самостоятельно подумать над тем, что происходит с наибольшим и наименьшим значениями этих функций.

Примеры:

1.Найти наибольшее и наименьшее значения функции у= 1 -2x-x2, заданной на [ — 2; 2].

Находим производную: у’= — 2 —2х, ее корни (y’ = 0 при х= — 1). Вычисляем значения у в точках —2, —1, 2:

Получаем . При этом наибольшее значение функция принимает в точке локального максимума, а наименьшее — на правом конце отрезка.

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

Для решения этой задачи не надо знать никаких свойств функции y = sinx, которую мы будем изучать позже, кроме того, что . Сделаем замену z = sin х и рассмотрим функцию у = z2 + 4z + 2. Ее область определения — отрезок [—1; 1], совпадающий с множеством значений функции z = sinx. Находим производную у как функции от z:

Заметим, что критическая точка не принадлежит отрезку [—1; 1], поэтому нам надо сравнить значения у только на концах отрезка:

Итак,

Многие прикладные задачи сводятся к нахождению наибольших и наименьших значений функций, заданных на отрезке. Такие задачи часто называют задачами на максимум-минимум.

Приведем примеры.

Задача:

Из прямоугольного листа жести размером 5X8 надо изготовить открытую коробку наибольшего объема, вырезая квадратные уголки так, как показано на рисунке 60.

Обозначим через х длину стороны вырезаемого квадрата. Тогда длины сторон прямоугольника уменьшатся на 2х и объем коробки будет равен:

V=x(8-2x)(5-2х) = 4х3 — 26х2 + 40x.

При этом х может меняться в следующих пределах: 0 ⩽ х ⩽ 2,5. Заметим сразу, что в крайних точках отрезка [0; 2,5] объем равен нулю. Находим критические точки:

Отметим, что значение х2 не принадлежит области определения. При х= 1 объем максимален: Vmax=18.

Задача:

В данный шар вписать цилиндр наибольшего объема.

Обозначим через R радиус шара, а через г и /г соответственно радиус основания и высоту вписанного цилиндра. Как видно

из рисунка 61, выполняется соотношение

Будем считать h переменной. Тогда

Заметим, что h меняется в пределах от 0 до 2R, причем на концах отрезка цилиндр вырождается, объем его равен нулю. Находим критические точки:

При этом значении h объем будет максимальным:

Замечания:

1. Если бы мы стали считать переменной не h, а r, то получили бы Находить производную V (как функции от r) стало бы труднее. Но в этом случае можно воспользоваться следующим очевидным соображением: функции V и V2 принимают наибольшее значение одновременно. Тогда мы рассмотрели бы новую функцию и без труда нашли бы ее критические точки.
2. Функции V, kV (k>0), V + c, V2 (V ⩾ 0) принимают наибольшее значение одновременно. Это замечание позволяет при вычислении производных убирать постоянные множители, слагаемые и радикалы.

Задача 3. Над центром круглого стола радиуса г висит лампа (рис. 62). На какой высоте следует подвесить эту лампу, чтобы на краях стола получить наибольшую освещенность?

Из физики известно, что освещенность обратно пропорциональна квадрату расстояния до источника света и пропорциональна синусу угла наклона луча света к освещаемой маленькой площадке. Иными словами,

где Е — освещенность на краю стола, h- расстояние от лампы до стола.

Итак, освещенность максимальна, если т. е. если

Приближенные формулы

Одним из важнейших приложений производной является возможность приближенно вычислять значения функций. Пусть нам дана функция y=f(x) и точка хо, значение функции в которой известно: yo=f (хо). Мы хотим вычислить приближенно значение функции в точке х, близкой к х0.

Если мы знаем приращение функции ∆у на отрезке [xо; х], то точное значение f (х) получается из уо прибавлением ∆у, равного f (х)—уо- Приближенные формулы основаны на замене ∆у другим выражением, которое вычисляется более просто. Замена ∆у на линейную функцию dy, т. е. замена приращения функции ее дифференциалом дает наиболее простые приближенные формулы. При замене выражения его приближенным значением используется знак приближенного равенства ≈ .

Таким образом, основная, наиболее простая формула для приближенных вычислений значения функции может быть записана так: ∆y ≈ dy, или раскрывая более подробно: f (х) — уо ≈ f'(х0) ∆х. Приведем другие виды записи приближенной формулы:

Геометрически замена ∆у на dy означает, что вблизи точки х, мы вместо функции y — f (х) берем линейную функцию, т. е. маленький отрезок графика заменяем касательной. Рассмотрим примеры.

1. Дана степенная функция у=хn. Зафиксируем точку хо и применим полученную выше формулу:

Например,

Ту же формулу можно применить и для приближенного вычисления корней, учитывая что . Получим

Например,

Полезно запомнить формулы при x0=1:

2. Дана функция . Получаем приближенную формулу:

3. Вычислить приближенно значение функции в точке x = 3,02.

Находим дифференциал функции у:

Выбираем начальную точку хо = 3 и подставляем ее в производную:

Подставляем значение dx:

Линеаризация

Основная идея Ньютона состояла в следующем. Равномерное движение хорошо известно — его скорость постоянна и легко вычисляется. Пусть движение неравномерно. На коротком отрезке времени оно приблизительно может считаться равномерным. Так, стрелка спидометра автомашины не стоит на месте, однако мы можем пренебречь ее колебанием, если возьмем достаточно малый промежуток времени.

Примерно так же рассуждал Лейбниц. На малом участке кривая неотличима от Прямой. Так, секущая, проведенная через две точки кривой, меняет свой наклон, однако при сближении этих точек изменением наклона секущей можно пренебречь.

Язык функций позволяет максимально сблизить механическую и геометрическую точки зрения. Начертим график зависимости пути s от времени t. На маленьком участке этот график очень близок к отрезку прямой. Замена криволинейного участка графика на прямолинейный означает замену неравномерного движения равномерным и одновременно замену участка кривой отрезком касательной. Можно сказать, что вблизи выбранной точки (или, как говорят математики, локально) мы заменяем изучаемую функцию линейной. Производная помогает среди всех линейных функций выбрать ту, которая дает наилучшее локальное приближение к исходной функции.

Процесс «выпрямления» функции, который хорошо виден, когда мы смотрим как бы в микроскоп на маленький участок ее графика, математики называют линеаризацией. Линеаризация позволяет приближенно описывать сложные зависимости с помощью линейных.

Линеаризация зависимостей основана на следующем правиле, которое мы назовем принципом дифференцируемости: малое изменение одной величины влечет за собой пропорциональное изменение другой.

Заметим, что если некоторая функция удовлетворяет принципу дифференцируемости, то она удовлетворяет и упоминавшемуся ранее принципу непрерывности. Действительно, если ∆ y ≈ k ∆ x, то при ∆ х → 0 имеем и ∆ у → 0, т. е. малому изменению аргумента отвечает малое изменение функции.

Как следует понимать приближенное равенство ∆ yx ≈ k ∆ x? Этот вопрос можно поставить более точно: как оценить степень близости ∆ у и линейной функции k ∆ x? Это важно для практики: опасно производить все вычисления на глазок — надо суметь оценить погрешность, взвесить ошибку, получаемую при пользовании приближенными формулами. Научиться делать такие оценки важно и в теоретическом отношении: с их помощью легко обосновать правила предельных переходов, которые мы используем при вычислении производной.

Возьмем функцию у = ах2. Вычислим приращение функции:

Перепишем это равенство так:

Так как 2ax ∆ x = dy, то получается ∆y — dy = a(∆x)2 или, переходя к модулям, ∆у — dy = |а| • |∆х|2. Мы получили не просто оценку погрешности, а равенство, позволяющее узнать, насколько приращение функции отличается от дифференциала. При оценке погрешности полезно пользоваться следующими правилами, доказать которые нетрудно:

Заменяя ∆у на dy, мы допускаем определенную погрешность. Нельзя ли ее уменьшить? Иными словами, если нас не устраивает точность вычислений, получаемая при замене ∆у на dy, то как увеличить эту точность?

Пусть, например, мы хотим вычислить Возьмем за начальное приближенное число Сделаем простые преобразования:

Первое приближение корня по известной нам формуле дает:

Как получить лучшее приближение? Проведем рассуждение в общем виде. Нужно вычислить (Для удобства мы пишем h
вместо ∆х. В нашем примере h = 0,25.) Увеличения точности можно достичь, прибавляя последовательно к начальному значению у= 1 слагаемые, пропорциональные h, h2, h3 и т. д., т. е. представляя в виде

Как из этого равенства найти коэффициенты k1,k2, kз, •••? Для этого есть замечательный способ, открытый сразу вслед за созданием в XVII в. дифференциального исчисления. Продифференцируем обе части (по переменной h):

Положив в этом равенстве h = 0, получим известный нам ранее коэффициент

Но точно так же можно найти и следующие коэффициенты. Продифференцируем еще раз:

Положив h = 0, получим , откуда . Мы получили гораздо более точную формулу

Возвращаясь к вычислению , получим:

где уже имеем точность порядка 0,01. Замечательно, что точность можно повышать при помощи описанного приема столько раз, сколько мы захотим. Еще раз продифференцируем:

Подставляя h = 0, получаем , и новая добавка равна ≈ 0,0617 h3. При h = 0,25 это слагаемое имеет уже порядок 0,001.

Получаемые описанным методом формулы носят имя Б. Тейлора (1685—1731)—английского математика, ученика Ньютона. Приведем несколько формул Тейлора:

К ним можно добавить полезную простую формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии:

Производная сложной функции

Мы вывели правило вычисления производной при линейной замене аргумента. Нетрудно вывести правило вычисления производной при произвольной замене аргумента. Пусть функция h представлена как композиция функций f и g, т. е. h (х) = f (g (х)). Можно обозначить g (х) через у, a f (у) через z. Для вычисления производной переменной z составим отношение .

Домножив и разделив его на ∆у, получим .

При стремлении ∆х к нулю ∆y тоже будет стремиться к нулю (принцип непрерывности). Первая дробь будет стремиться к производной функции z (у), т. е. к f'(у). Вторая дробь будет стремиться к производной функции у(х), т. е. к g'(х). Совершая предельный переход, получаем:

Пример. Вычислить производную функции

Представим z как сложную функцию: z = у5, где у = х2+1. Применяя формулу производной сложной функции, получаем:

Правило дифференцирования сложной функции можно применить для вычисления углового коэффициента касательной к кривой, заданной уравнением. Например, рассмотрим касательную, проходящую через точку окружности х2 + у2 = 1

(рис. 63).

Конечно, можно выразить у через х и найти производную. Гораздо проще продифференцировать уравнение окружности по переменной х, считая уравнение тождеством, получающимся после подстановки в него вместо у его выражения через

Получаем 2х+2уу’ = 0, откуда . Подставляя координаты точки Р, получаем угловой коэффициент касательной

Гладкость функции

Посмотрим на рисунок 64. Приведенные на нем графики функций разбиваются на отдельные части, каждая из которых является гладкой кривой, т. е. кривой, в каждой точке которой можно провести касательную. Точки стыковки отдельных гладких частей являются, как говорят, особыми точками. Поведение функций вблизи особых точек изучают отдельно. В первой главе мы уже обращали внимание на возможные особенности, связанные с нарушением в точках стыковки принципа непрерывности. Функции, имеющие конечные разрывы (рис. 64, а, б), встречаются при описании процессов, при которых происходит включение и выключение сигнала (работа электрической сети, прием радиопередач и т. п.). Бесконечные разрывы (рис. 64, в) встречаются в приложениях реже, однако они появляются при идеализированных, предельных описаниях некоторых процессов (например, взрывов).

Нарушение гладкости в случае функций, изображенных на рисунке 64, г, д, имеет другую природу. Здесь сама функция непрерывна, но отдельные части ее графика соединены между собой негладко: если вы попробуете построить графики производных этих функций, то увидите, что в выделенных точках производная не определена.

Изучение свойств функции и построение ее графика являются одним из самых замечательных приложений производной. Этот способ исследования функции, открытый более 300 лет назад, неоднократно подвергался тщательному анализу. Основная причина, заставляющая вновь и вновь возвращаться к простому, казалось бы, вопросу о связи свойств функции и ее производной, состоит в том, что в приложениях математики приходилось иметь дело со все более и более сложными функциями, появляющимися при изучении новых явлений. Появились исключения из разработанных математикой правил, появились случаи, когда вообще созданные правила не годились. Скажем, появились функции, не имеющие ни в одной точке производной. Трудно представить себе движение, при котором ни в один момент времени нельзя вычислить скорость. Однако, отправляясь от броуновского движения мельчайших частиц, такую математическую модель построить можно. Рассмотренные нами методы доказательства правил исследования функций, основанные на простых механических и геометрических соображениях, близки к тем, которые были созданы еще Ньютоном и Лейбницем. Они уже непригодны в более сложных ситуациях и требуют уточнений.

Новые теоремы в математике доказывают путем логического рассуждения (вывода) с использованием ранее доказанных теорем или некоторых исходных простых утверждений (аксиом), которые мы принимаем без доказательства. В наших рассуждениях о связи свойств функции и ее производной роль таких исходных утверждений играли простые соображения механики, которые мы приняли без доказательства. Например, мы посчитали за очевидное то, что при прямолинейном движении направление скорости совпадает с направлением перемещения.

Использование модели (интерпретации) для проведения математического доказательства требует умения переводить математические понятия на язык этой модели (или знать правила перевода). Так, при использовании механической модели мы составили таблицу такого перевода.

Преимущество проведенных нами доказательств о связи свойств функции и ее производной состоит в том, что они позволили нам получить новые содержательные утверждения (например, о связи монотонности функции и ее производной), исходя из более простых и более очевидных утверждений механики.

Недостатком их является то, что перевод теоремы на язык механической модели сделан описательно, без формулировки точных определений и аксиом, опираясь на наши индивидуальные представления о механическом движении и его характеристиках.

То же самое относится и к пояснениям теорем с помощью геометрической модели. При таких пояснениях мы опираемся на геометрические представления о расположении касательной.

Однако в приложениях математики стремятся как раз к обратному. Для исследования какого-либо реального процесса или явления (например, механического движения) переводят основные понятия и свойства этого явления на язык математики. Затем проводятся математические рассуждения — выводят новые формулы, связывающие введенные величины, доказывают их новые свойства и т. п. Наконец, возвращаются к исходному явлению и смотрят на то, что дают для его изучения полученные математические теоремы. Усилиями великих математиков XIX в. О. Коши (1789—1857) и К. Вейерштрасса (1815—1897) была построена строгая теория математического анализа, основанная на понятии предела. Ознакомиться с этой теорией можно с помощью любого учебника по математике, предназначенного для высших учебных заведений.

Дополнительный материал по производной в высшей математике

Смотрите также:

Предмет высшая математика

Производная функции в высшей математике и ее приложения с примерами

Производная функции и некоторые ее приложения известны по школьному курсу. Однако ввиду огромной важности производной при изучении различных разделов математики и других дисциплин, целесообразно повторить ряд вопросов, связанных с этим важным понятием.

Предел и непрерывность функций

Напомним известные нам из курса математики средней школы определения понятий предела и непрерывности функций и приведем
некоторые их обобщения и дополнения, нужные для дальнейшего.

Число называется пределом функции в точке , если для любого существует такое что Например, В самом деле, для данного как видно из рис. 54, если в качестве взять наименьшее из чисел , то при будем иметь

В этом примере предел функции при равен значению функции в этой точке Но это не всегда так. Рассмотрим на отрезке функцию , где квадратные скобки означают, что при каждом берется целая часть числа, заключенного в скобках Очевидно, что при имеем ; следовательно, При получим . График функции изображен на рис. 55.

Из рис. 55 видно, что Следовательно, Функция называется непрерывной в точке если предел функции при равен значению функции в этой точке: Другими словами, функция непрерывна в точке если для любого существует такое , что Рис. 55.

Из рассмотренных выше примеров следует, что функция непрерывна в точке , функция не является непрерывной (разрывна) в точке .

Функция называется непрерывной на некотором промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции.

Если в определении предела вместо неравенств , рассмотреть неравенства , то получим понятие правого предела. В этом случае пишут

Аналогично, рассматривая неравенства вводим понятие левого предела: Предел (двусторонний) функции в точке существует в том и только в том случае, когда левый и правый пределы в этой точке существуют и совпадают:

Заметим также, что при вместо и
пишут соответственно Если правый (левый) предел совпадает со значением функции, то функция называется непрерывной справа (слева) в рассматриваемой точке.

Точка разрыва функции называется точкой разрыва первого рода, если в ней функция имеет конечные левый и правый пределы. Все остальные точки разрыва называются точками разрыва второго рода.
Число называется пределом функции при если для любого существует такое, что

Например, В самом деле, беря при

Аналогично, число называется пределом функции , если для любого существуют существует такое что

Функция называется бесконечно большой при , если для любого найдется такое , что

При этом пишут

Записи

означают соответственно, что при .

Аналогично определяется бесконечно большая функция при и
употребляются соответствующие записи.

Напомним еще, что функция называться бесконечно малой при если

Примерами бесконечно малых функций служат функции при , (в частности, при ( — любое целое число). Заметим, что если — бесконечно малая (бесконечно большая) при — бесконечно большая (бесконечно малая) при . Говорят, что функция является при бесконечно малой более высокого порядка, чем бесконечно малая при , если

При этом, очевидно, функция заведомо является бесконечно малой в обычном смысле. Действительно,

Например, функция является бесконечно малой более высокого порядка, чем , при :

Производная функции, ее геометрический и физический смысл

Производная функции: Рассмотрим функцию . Возьмем произвольную точку . Для любого разность называется приращением аргумента в точке и обозначается . Таким образом,

Разность называется приращением функции в точке и обозначается . Следовательно,

Определение:

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при , если этот предел существует, и обозначается . Итак,

Производную («эф штрих от икс») функции обозначают также: («игрек штрих по икс»), («де эф по де икс»), («де игрек де икс»), причем все эти обозначения равноправны.

Функция, имеющая производную в точке , называется дифференцируемой в этой точке. Функция, имеющая производную в каждой точке интервала , называется дифференцируемой на этом интервале, при этом производную можно рассматривать как функцию на .

Необходимое условие существования производной вытекает из следующей теоремы.

Теорема:

Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

В самом деле, любому значению , взятому из области определения функции , соответствует приращение аргумента и некоторое приращение функции , Рассмотрим тождество

Переходя к пределу при B этом тождестве, получим:

Это означает, что функция в точке непрерывна.

Доказанная теорема дает лишь необходимое условие существования производной, но не достаточное, т. е. из непрерывности функции в точке не следует ее дифференцируемость в этой точке. Убедимся в этом на конкретном примере.

Пример:

Функция (рис. 56) непрерывна в любой точке числовой оси, в том числе и в точке . Однако в точке данная функция не имеет производной. В самом деле,

Отсюда следует, что предел не существует и, следовательно, не существует производной функции в точке .
Таким образом, существуют функции, всюду
непрерывные, но не имеющие производных в некоторых
точках.

Геометрический смысл производной

Пусть непрерывная функция , дифференцируема в точке , и пусть кривая — график этой функции (рис. 57). На кривой возьмем точку , и произвольную точку проведем секущую .

Определение:

Касательной к кривой в точке называется прямая , занимающая предельное положение секущей (если такое предельное положение существует). Пусть — соответственно углы наклона
касательной и секущей к положительному направлению оси Ох. Из рис. 57 видно, что

Переходя к пределу при , получим,

Но следовательно,

т. e. производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику данной функции в его точке с абсциссой .

Уравнения касательной и нормали к кривой

Уравнение касательной к кривой в точке напишем как уравнение прямой, проходящей через точку и имеющей угловой коэффициент , т. е.

Определение:

Прямая перпендикулярная касательной в точке , называется нормалью к кривой в точке (см. рис. 57).

Так как угловой коэффициент нормали равен

то уравнение нормали к кривой в точке имеет вид

Пример:

Составить уравнение касательной и нормали к кривой в ее точке с абсциссой

Решение:

Находим:

Подставив найденные значения в уравнения (3) и (4), найдем искомые уравнения касательной

и нормали

Физический смысл производной

Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону

Тогда средняя скорость точки в промежутке времени вычисляется по формуле

Как известно, мгновенной скоростью в момент времени называется предел (если он существует), к которому стремится средняя скорость за промежуток времени от

Таким образом, мгновенная скорость прямолинейного движения материальной точки в любой момент времени есть производная от пути по времени :

В этом заключается физический смысл производной.

Пример:

Найти скорость движения точки в момент времени если закон движения задан формулой

Решение:

Находим:

следовательно,

Сложная функция и ее производная

Функция вида

называется сложной функцией, составленной из функций , или суперпозицией функций .

Например, функция есть сложная функция, составленная из функций , Можно показать, что если функции непрерывны, то и сложная функция непрерывна.

Сложную функцию (1) часто пишут в виде

При этом аргумент называют независимой переменной, и — промежуточным аргументом:

Теорема:

Если функция дифференцируема в некоторой точке , а функция определена на множестве значений функции и дифференцируема в точке , то сложная функция в данной точке имеет производную, которая находится по формуле

или

Доказательство:

Дадим независимой переменной приращение и допустим, что получит приращение , а следовательно, и получит приращение , которое, как известно из курса средней школы, равно

где функция такова, что

Формула (4) будет верна и при , если положить

Разделим обе части равенства (4) на :

Переходя к пределу при , получим

Рассмотрим отдельно

Если , то

(здесь мы воспользовались тем, что дифференцируемая функция всегда непрерывна, т. е. при , Так как при мы положили , то и в этом случае, очевидна,

что и требовалось доказать.

Пример:

Найти производную функции

Решение:

Обозначив , получим . Найдем:

По формуле (3) имеем

Формулы дифференцирования

Нахождение производной функции непосредственно по определению занимает много времени и часто связано с большими трудностями. Поэтому выводится ряд формул, с помощью которых можно проще и с
минимальной затратой времени дифференцировать различные функции. В этом параграфе приведены основные формулы дифференцирования. Условимся буквами обозначать дифференцируемые функции независимой переменной буквами — константы. (с)’ = 0.

Остальные формулы записаны как для функций независимой переменной, так и для сложных функций.

Пример:

Найти производную функции

Решение:

Обратная функция и ее производная

Функции называются взаимно обратными, если иДля любых (здесь, как обычно, через обозначены соответственно область определения и область значений
функции).

Часто у обратной функции меняют ролями обозначения функции и аргумента, т. е. вместо пишут . Например,
функция имеет обратную функцию Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой (рис. 58).

Теорема:

Если функция имеет отличную от нуля производную в некоторой точке , а ее обратная функция определена на и дифференцируема в соответствующей точке , то

Доказательство:

Рассмотрим сложную функцию По определению обратной функции

для любого . По теореме о производной сложной функции имеем

откуда и следует формула (1).

Пример:

Найти производную функции

Решение:

Данная функция является обратной для
функции По формуле (1) имеем

Так как

то

Если то

Аналогично можно доказать формулы:

Неявная функция и ее производная

Пусть функция задана уравнением

связывающим переменные и разрешенным относительно . Такое задание функции называется явным.

Например,

Если функция задана уравнением

связывающим переменные и неразрешенным относительно , то такое задание функции называется неявным.

Например,

Заметим, что не всякое уравнение вида (2) задает неявную функцию. Так, уравнение не определяет функцию, потому что ему не удовлетворяет ни одна пара действительных чисел .

Чтобы найти производную функции по аргументу заданной уравнением (2), дифференцируем по левую часть этого уравнения, считая функцией от и результат приравниваем нулю (так как производная правой части ; получим линейное уравнение
относительно из которого находим искомую производную

Пример:

Найти производную функции

Решение:

Производные высших порядков

Пусть функция , дифференцируема во всей области ее определения. Производная , вообще говоря, также является функцией от . Производная от функции (от первой производной), если она существует, называется производной второго порядка или второй производной функции и обозначается . Таким образом,

Пример:

Найти вторую производную функции

Решение:

Находим

затем

Производная от второй производной функции , если она существует, называется производной третьего порядка или третьей производной:

Производной п-го порядка (или п-й производной) функции ) называется производная от производной (п—1)-порядка:

Пример:

Найти производную n-го порядка функции

Решение:

; Вообще,

Механический смысл второй производной

Пусть материальная точка движется прямолинейно
по закону

Тогда, как было показано в § 1, скорость движения в
момент времени определяется по формуле

Если движение неравномерное, то скорость также есть функция от времени . Поэтому производная

определяет скорость изменения скорости материальной точки, движущейся по закону (1). Но, как известно из механики, скорость изменения скорости называется ускорением, и обозначается . Таким образом, ускорение прямолинейного движения материальной точки в момент времени равно первой производной от скорости по времени или второй производной от пути по времени, т. е.

Пример:

Тело движется прямолинейно по закону . Найти скорость и ускорение в момент времени

Решение:

Находим

Возрастание и убывание функции. Признаки возрастания и убывания функции

Определение:

Функция называется возрастающей на интервале , если для любых , принадлежащих этому интервалу,

Определение:

Функция , называется убывающей на интервале , если для любых , принадлежащих этому интервалу,

Определение:

Функция называется неубывающей (невозрастающей) на интервале , если для любых , принадлежащих этому интервалу,

Напомним, что интервалы, в которых функция либо только возрастает (не убывает), либо только убывает (не возрастает), называются интервалами строгой монотонности (интервалами монотонности).

Необходимые условия монотонности функции на интервале дают следующие теоремы.

Теорема:

Необходимое условие возрастания функции. Если дифференцируемая функция , , возрастает на интервале для любого .

Доказательство:

Из определения (1) имеем;

или

В обоих случаях

а следовательно,

т. е. , что и требовалось доказать.

Теорема:

Необходимое условие убывания функции. Если дифференцируемая функция , убывает на интервале для любого .

Доказательство этой теоремы аналогично предыдущей.

Теоремы, дающие достаточные признаки монотонности функции, доказываются в школьном курсе, поэтому мы приводим лишь их формулировку.

Теорема:

Достаточное условие возрастания функции. Если функция имеет положительную производную в каждой точке интервала , то эта функция возрастает на интервале .

Короче, если, то функция возрастает на интервале .

Теорема:

Достаточное условие убывания функции. Если функция , имеет отрицательную производную в каждой точке интервала то эта функция убывает на интервале .

Короче, если , то функция убывает на интервале .

Заметим, что если функция монотонна на интервале и непрерывна в точках , то она монотонна на отрезке .

Пример:

Найти интервалы монотонности функции

Решение:

Данная функция определена и дифференцируема на всей действительной прямой. Находим производную: . Очевидно, что при .

Таким образом, данная функция возрастает на множестве и убывает на интервале

Экстремумы функции. Необходимые условия существования экстремума

Определение:

Точка из, области определения функции называется точкой минимума этой функции, если найдется такая
— окрестность точки что для всех из этой окрестности выполняется неравенство

Определение:

Точка из области определения функции называется точкой максимума этой функции, если найдется такая окрестность точки что для всех из этой окрестности выполняется неравенство

Точки минимума и максимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках называются экстремумами функции.

Рассмотрим график функции (рис. 59). Точки — являются точками максимума, а — точками минимума. Из рис. 59 видно, что

минимум в точке больше максимума данной функции в точке . Это объясняется тем, что экстремум функции связан с определенной
— окрестностью точки экстремума, а не со всей областью определения функции. По этой причине употребляется термин «локальный экстремум», т. е. экстремум, связанный с данным местом.
Этим же объясняется и тот факт, что точки не относятся к точкам экстремума. Для них не существуют — окрестности, принадлежащие области определения функции.

Необходимые условия существования экстремума дает теорема Ферма, которая известна по школьному курсу, поэтому мы приводим лишь ее формулировку.

Теорема Ферма:

Если точка является точкой экстремума функции и в этой точке существует производная .

Эта теорема имеет простой геометрический смысл: касательная к графику функции в точке, удовлетворяющей условиям теоремы Ферма, параллельна оси абсцисс (рис. 60).

Напомним, что точки, в которых производная функции обращается в нуль или не существует, называются критическими точками (первого рода).

Теорема Ферма дает лишь необходимое условие существования экстремума, но не достаточное.

Пример:

Производная функции в точке обращается в нуль, а экстремума в этой точке функция не имеет (рис. 61).

Можно показать, что и в тех критических точках, в которых производная не существует, функция также может иметь или не иметь экстремум.

Пример:

Функция в точке не имеет производной (см. § 1). Однако, как видно из рис. 56, в точке она имеет экстремум (минимум).

Пример:

Рассмотрим функцию (рис 62.) По графику видно, что в точке данная функция экстремума не имеет. Производная в рассматриваемой точке не существует.

Таким образом, экстремум функции, если он существует, может быть только в критических точках. Но это не означает, что во всякой критической точке функция имеет экстремум.

Чтобы выяснить, в каких критических точках функция имеет экстремум, рассмотрим достаточные условия существования экстремума.

Достаточные условия существования экстремума

Первое достаточное условие

Теорема:

Пусть функция непрерывна в точке х и в ее
— окрестности имеет производную, кроме, быть может, самой точке . Тогда:

1) если производная при переходе через точку меняет знак с плюса на минус, то является точкой максимума;

2) если производная при переходе через точку меняет знак с минуса на плюс, то является точкой минимума;

3) если производная при переходе через точку не меняет знак, то в точке функция не имеет экстремума.

С доказательством первой части этой теоремы читатель знаком по школьному курсу. Доказательство остальных частей проводится аналогично, поэтому мы его не приводим.

При исследовании функции на экстремум с помощью первой производной применяют правило (первое), которое мы сформулируем, решая конкретный пример.

Пример:

Исследовать на экстремум функцию

Решение:

Находим производную данной
функции:

2. Находим критические точки: а) решая уравнение

получим

б) не существует при Следовательно,
критические точки:

3. Методом пробных точек определяем знак производной в каждом из интервалов: (рис. 63). Имеем:

Таким образом, —точка максимума, а — точка минимума.

4. Вычисляем значения данной функции в точках экстремума:
/max == / (1) = 3, /min — / (2) = 0.

Второе достаточное условие

Теорема:

Если функция определена и дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки , причем , а то в точке функция имеет максимум, если , и минимум, если .

Доказательство:

Пусть, для определенности, . По определению второй производной имеем:

Согласно условию теоремы поэтому

По предположению, , следовательно,
А это возможно лишь в случае, когда знак производной совпадает со знаком разности , Таким образом, при имеем , и при имеем , т. е. при переходе через точку производная меняет знак с минуса на плюс. Согласно первому достаточному условию, в точке функция имеет минимум. Аналогично доказывается, что если , то в точке функция имеет максимум.

Правило (второе) исследования функции на экстремум при помощи второй производной, которое следует из теоремы 2, рассмотрим на следующем примере.

Пример:

Исследовать на экстремум функцию

Решение:

Находим производную:

2. Решая уравнение , находим критические точки: .

3. Находим вторую производную:

4. Определяем знак второй производной в критических точках, для чего вычисляем:

Следовательно, — точка максимума, а — точка минимума.

Вычисляем максимальное и минимальное
значения функции:

Заметим, что в случае, когда вторая производная в критической точке обращается в нуль или не существует, второе правило нахождения экстремума с помощью второй производной неприменимо. В этом случае исследование функции на экстремум следует проводить по
первому правилу.

Пример:

Исследовать на экстремум функцию

Решение:

1. Находим

2. Решая уравнение , получим критическую точку .

3. Находим .

4. Вычисляем .

В критической точке вторая производная обращается в нуль, поэтому исследование проводим по первому правилу.

Так как , то в точке данная функция имеет минимум, причем

Выпуклость графика функции. Достаточное условие выпуклости

При исследовании поведения функции и формы ее графика полезно установить, на каких интервалах график функции обращен выпуклостью вверх, а на каких — выпуклостью вниз. Прежде всего выясним понятие выпуклости графика функции, имеющей на некотором интервале непрерывную производную.

Определение:

График функции , называется выпуклым вверх (или обращен выпуклостью вверх) на интервале , если он расположен ниже касательной, проведенной в любой его точке (рис. 64).

Определение:

График функции называется выпуклым вниз (или обращен выпуклостью вниз) на интервале , если он расположен выше касательной, проведенной в любой его точке (рис.65).

Легко видеть, что на интервале выпуклости вверх производная убывает (см. рис. 64), а на интервале выпуклости вниз производная возрастает (рис.65).

Теорема:

Достаточное условие выпуклости графика функции. Если на интервале дважды дифференцируемая функция имеет отрицательную (положительную) вторую производную, то график функции обращен выпуклостью вверх (вниз).

Доказательство:

Допустим, для определенности, что для всех . Рассмотрим производную как функцию от — как ее первую производную. Тогда согласно теореме 4 из § 8 функция убывает на интервале a следовательно, график функции на этом интервале обращен выпуклостью вверх. Аналогично доказывается, что если для всех , то график функции на интервале обращен выпуклостью вниз.

Исследовать на выпуклость график функции означает найти те интервалы из области ее определения, в которых вторая производная сохраняет свой знак. Очевидно, что меняет свай знак лишь в точках, где она обращается в нуль или не существует. Такие точки принято называть критическими точками
второго рода.

Пример:

Исследовать на выпуклость график функции

Решение:

Данная функция определена на всей числовой прямой. Находим критические точки второго рода:

Итак, — критическая точка второго рода. Методом пробных
точек определяем знак в каждом из интервалов . Так, при имеем , а при имеем

Следовательно, на интервале график данной функции обращен выпуклостью вверх, а на интервале — выпуклостью вниз (рис. 66).

Точка перегиба. Необходимое и достаточное условия существования точки перегиба

Определение:

Точка графика непрерывной функции , при переходе через которую кривая меняет направление выпуклости, называется точкой перегиба.

Согласно определению в точке перегиба касательная к графику функции с одной стороны расположена выше графика, а с другой — ниже, т. е. в точке перегиба касательная пересекает кривую (см. рис. 66).

Теорема:

Необходимое условие существования точки перегиба. Если функция имеет непрерывные производные до второго порядка включительно на интервале и точка , где , является точкой перегиба графика функции , то .

Доказательство:

Так как точка является точкой перегиба, то слева и справа от имеет разные знаки. Но тогда в силу непрерывности второй производной имеем .

Теорема:

Если функция , дважды дифференцируема на интервале и при переходе через вторая производная меняет знак, то точка кривой с абсциссой является точкой перегиба.

Доказательство:

Пусть при . и при . Тогда при график функции обращен выпуклостью вверх, а при — выпуклостью вниз. Таким образом, точка является точкой перегиба графика функции .

Аналогично доказывается, что если при при , то точка является точкой перегиба графика функции .

Так как вторая производная функции может изменить свой знак при переходе не только через точки, в которых обращается в нуль, но и через точки, в которых не существует, то точки перегиба следует искать среди критических точек второго рода.

Пример:

Найти точки перегиба графика функции

Решение:

Данная функция определена на всей числовой прямой.

1. Находим:

Вторая производная существует для любого действительного и обращается в нуль при — критическая точка второго рода. Следовательно, на интервалах функция сохраняет свой знак.

2. Методом пробных точек определяем знак производной на каждом из этих интервалов. При имеем , при имеем . Следовательно, точка кривой с абсциссой является точкой перегиба.

3. Находим ординату точки перегиба:

Таким образом, точка является точкой перегиба графика данной функции, причем на интервале функция обращена выпуклостью вверх, а на интервале — выпуклостью вниз.

Асимптоты кривой

Как мы знаем, прямая называется асимптотой кривой , если

Отсюда

где Имеем:

Отсюда

По формулам (2) и (3) вычисляются угловой коэффициент и начальная ордината асимптоты .

Аналогично определяется и находится асимптота кривой .

Очевидно, что если , то уравнение асимптоты примет вид

Асимптота, определяемая уравнением (4), называется горизонтальной асимптотой.

Прямая называется вертикальной асимптотой, если

Для определения вертикальных асимптот надо отыскать те значения , вблизи которых функция неограниченно возрастает по
модулю. Обычно — это точки разрыва функции.

Пример:

Найти асимптоты кривой

Решение:

Так как

то прямая является вертикальной асимптотой.
Находим:

Итак, является наклонной асимптотой данной функции при .

Таким образом, данная функция имеет вертикальную асимптоту и наклонную (рис. 67).

Общая схема исследования функций и построения графиков

С учетом изложенного в настоящей главе можно рекомендовать следующую схему исследования функции и построения ее графика:
1) найти область определения функции;
2) исследовать функцию на четность и нечетность;
3) исследовать функцию на периодичность;
4) исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва;
5) найти критические точки первого рода;
6) найти интервалы монотонности и экстремумы функции;
7) найти критические точки второго рода;
найти интервалы выпуклости и точки перегиба;
9) найти асимптоты графика функции;
10) найти точки пересечения графика функции с осями координат (если это возможно);
11) построить график функции.

Пример:

Построить график функции

Решение:

1) Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек .
2) Функция нечетна, так как

3) Функция непериодическая.
4) Функция непрерывна во всей области ее определения. Точки являются точками разрыва.
5) Находим

Очевидно, что Кроме
того, не существует при . Следовательно, имеет следующие критические точки первого рода:

6) Методом пробных точек определяем знак ghjbpводной в каждом из интервалов: (рис. 68). Следовательно, функция в интервалах возрастает, а в интервалах убывает.

В точке функция имеет максимум, а в точке — минимум. Так как при переходе

через критическую точку производная не меняет знак, то в этой точке экстремума нет. Имеем:

7) Находим

Так как не существует при являются критическими точками второго рода.

Определяем знак второй производной в каждом из интервалов (рис.69).

Мы видим, что в интервалах график функции обращен выпуклостью вверх, а в интервалах — выпуклостью вниз. Вторая производная меняет свой знак в каждой из критических точек второго рода, однако точки не принадлежат области определения функции и поэтому лишь точка является точкой перегиба. Имеем , следовательно, точкой перегиба является начало координат.

9) Так как

то являются вертикальными асимптотами. Далее, находим:

Следовательно, является наклонной асимптотой.

Результаты исследования заносим в таблицу 4. По полученным данным строим график функции (рис. 70).

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Пусть функция , непрерывна на отрезке , дифференцируема во всех точках этого отрезка и имеет на нем конечное число критических точек первого рода.

Очевидно, что если данная функция монотонна на отрезке , то наибольшее и наименьшие значения достигаются на концах этого отрезка, а именно:
1) если функция возрастающая, то наименьшее значение и — наибольшее значение;

Таблица 4

2) если функция убывающая, то наибольшее значение и — наименьшее значение.

Если функция не является монотонной, то свое наибольшее значение на отрезке она достигает либо в одной из
точек максимума, либо на одном из концов этого отрезка. Точно так же наименьшее значение на отрезке функция достигает либо в одной из точек минимума, либо на одном из концов отрезка (см., например, рис. 71).

Таким образом, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке нужно:
1) найти критические точки первого рода данной функции;
2) вычислить значения функции во всех критических точках, принадлежащих интервалу и на концах отрезка ;
3) из полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример:

Найти наибольшее и наименьшее
значения функции на отрезке .

Решение:

1) Находим критические точки данной функции:
2) Находим

Итак, .

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции широко применяется при решении многих практических задач.

Задачи прикладного характера

Пример:

Из квадратного листа жести со стороной требуется сделать открытый сверху ящик наибольшего объема и имеющего квадратное основание.

Решение:

Для изготовления ящика нужно вырезать по углам данной жести четыре равных квадратика так, чтобы после сгибания получить ящик наибольшего объема (рис. 72).

Обозначим длину стороны каждого из вырезаемых
квадратиков через . Тогда сторона квадрата, образующего дно ящика, будет , а объем

Найдем наибольшее значение функции на отрезке
. Находим критические точки первого рода функции откуда . Находим значения функции в точках

Таким образом, ящик будет иметь наибольший объем, если сторона вырезаемого квадрата равна .

Пример:

Из шара радиуса выточить цилиндр наибольшего объема.

Решение:

Обозначим длину высоты цилиндра через . Тогда, как видно из рис. 73, радиус основания цилиндра равен

а объем цилиндра —

Таким образом, требуется найти наибольшее значение функции на отрезке . Находим критические точки первого рода функции :

Находим значения функции в точках ,

Итак, искомый цилиндр имеет высоту, равную

Понятие о производной функции

Равномерное движение и его скорость

Пусть тело движется равномерно и прямолинейно. Это значит, что в каждую единицу времени оно проходит одно и то же расстояние, называемое скоростью этого движения. Закон равномерного движения выражается формулой

представляющей собой функцию первой степени, а геометрически — прямую линию.

Обратно, всякая линейная функция вида

гдеи — постоянные величины, выражает закон равномерного прямолинейного движения. Чтобы в этом убедиться, найдем расстояния, пройденные телом к моментам t1 и t2. Подставив в равенстве (1) вместо t значения t1 и t2 , получим:

Отсюда

и

Обозначив приращение пути через , а приращение времени через , напишем:

Равенство (2) показывает, что отношение пройденного телом пути к промежутку времени, в течение которого этот путь совершен, величина постоянная. Поэтому представляет скорость равномерного движения.

Следовательно, линейная функция выражает закон равномерного прямолинейного движения, причем есть скорость этого движения.

Неравномерное движение и его скорость

Кроме равномерного движения в природе имеет место и неравномерное движение. Закон его выражается уже не уравнением первой степени, а более сложным уравнением. Пусть, например, дана функция

выражающая закон падения тела. Так как падение тела — движение неравномерное, то возникает вопрос, как определить его скорость в какой-нибудь момент времени. Поступим следующим образом.

Допустим, что в начале падения тело было в точке О (рис. 81).

По истечении времени t оно пройдет путь, равный

и окажется в точке A, а по прошествии времени от начала движения совершит путь

и будет в точке В. Отрезок пути, пройденный телом за время , будет:

Разделив пройденный путь равный на время , получим:

Результат деления называется средней скоростью падения тела на участке пути АВ— .

Однако средняя скорость движения тела не выражает истинной скорости в любой момент времени. Так, например, когда говорят, что поезд идет со скоростью 50 км в час, то это не значит, что он движется с этой скоростью во всех точках своего пути; отходя от станции, поезд постепенно увеличивает скорость, доводит ее до наибольшей величины, затем замедляет движение, пока не остановится на следующей станции. Таким образом, на одном участке пути его скорость меньше 50 км в час, на другом — больше, в среднем же — 50 км в час.

Средняя скорость тем лучше характеризует движение, чем меньше участок пути, на котором она определена; поэтому положим, что промежуток времени падения тела уменьшается, тогда и путь

АВ = будет уменьшаться, становясь равным АВ1, АВ2, АВ3 и т. д. (рис. 81), и для каждого нового значения отношение будет определять среднюю скорость падения тела на участке пути, все более и более коротком. Положим, что, тогда , а отношение будет стремиться к величине, называемой скоростью в данный момент времени t, что соответствует скорости в точке А.

Обозначив эту скорость через , будем иметь:

Таким образом, скорость прямолинейного движения тела в данный момент времени t есть предел средней скорости в промежутке времени от t до , когда .

Приняв во внимание равенства (1) и (2), найдем скорость падения тела в момент t:

Итак,

Скорость изменения функции

Определять скорости приходится не только в случае движения, но и при изменении любой переменной величины, имеющей физическое содержание (скорость испарения жидкости, скорость реакции и т. д.).

Пусть переменная величина у, характеризующая какой-либо процесс изменения, есть линейная функция другой переменной x, т. е.

тогда отношение , как и в случае равномерного движения

, будет постоянной величиной, равной , т. е.

Величина , показывающая, сколько единиц приращения линейной функции приходится на единицу приращения аргумента, называется скоростью изменении линейной функции при любом х.

Если же величина у представляет функцию иного вида, то отношение по аналогии с неравномерным движением определяет среднюю скорость изменения у для промежутка значений аргумента от х до . При будем иметь:, а средняя скорость изменения функции стремится к величине, называемой скоростью изменения функции при данном х. Обозначив эту скорость через напишем:

Таким образом, скорость изменения функции при данном х есть предел средней скорости ее для промежутка аргумента от х до когда .

Разберем несколько примеров.

Пример:

Вес Р в килограммах однородного стержня выражается формулой Р = 0,5l, где l — длина стержня в метрах. Определить скорость изменения веса стержня с изменением его длины.

Решение:

Так как Р — функция первой степени относительно длины l, то в данном случае имеет место равномерное изменение. Следовательно, скорость изменения веса Р при любом значении длины l будет согласно формуле (1)

Это значит, что при удлинении стержня на 1 м вес его увеличивается на 0,5 кг.

Пример:

При нагревании тела температура его Т изменяется в зависимости от времени нагревания t по закону

С какой скоростью нагревается тело в момент 10 сек.?

Решение:

Данная функция второй степени и выражает закон неравномерного изменения, а потому для решения задачи применим формулу (2), причем для нахождения предела поступим так же, как это мы делали при определении скорости падающего тела.

В момент t = 10 температура тела

Вычтя из Т2 значение Т1 получим приращение температуры

за время :

отсюда

Частное есть средняя скорость нагревания тела за время от t= 10 до .

Чтобы определить скорость нагревания тела в момент t = 10 сек., найдем предел средней скорости нагревания при условии, что . Получим:

Итак, в момент t = 10 сек. тело нагревается на 8° в единицу времени. Это значит, что если бы, начиная с момента t = 10 сек., тело нагревалось равномерно, то в каждую единицу времени температура его увеличивалась бы на 8°.

Производная функции

Величина являющаяся основным понятием математического анализа, носит специальное название производной функции по аргументу x.

Определение:

Производной функции у = f(х) по аргументу х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента , когда . Для производной функции у = f(х) приняты обозначения:

В целях упрощения производную функции, заданной математическим выражением, записывают в виде скобок, заключающих данную функцию, со штрихом с правой стороны. Например, производную функции

можно записать так:

Из определения производной следует правило: Для отыскания производной функции у — f(х) по аргументу х нужно найти:

1) наращенное значение функции, т. е.

2) приращение функции, т. е. ;

3) отношение приращения функции к приращению аргумента, т. е.

4) предел этого отношения при , т. е.

Нахождение производной называется дифференцированием функции. Раздел математического анализа, занимающийся вопросами, связанными с производной, называется дифференциальным исчислением.

Пример:

Найти производную функции

Решение:

1-й шаг:

2-й шаг:

3-й шаг:

4-й шаг:

Пример:

Продифференцировать функцию

Решение:

1-й шаг:

2-й шаг:

3-й шаг:

4-й шаг:

Производная функции y = f(x) является также функцией аргумента х.

Определение:

Значение производной функции у = f(x) при данном х называется частным значением производной.

Пример:

Найти частное значение производной функции

Решение:

Подставив в найденную уже производную данной функции (см. пример 1) х = 3, получим:

В связи с данным выше определением производной можно сформулировать определения рассмотренных нами скорости движения и скорости изменения функции следующим образом.

Скорость прямолинейного движения тела в данный момент равна производной пути по времени, вычисленной для данного момента.

Скорость изменения функции при данном значении аргумента равна производной функции при этом значении аргумента.

Связь дифференцируемости функции с непрерывностью

Теорема:

Если функция у = f(х) имеет производную при каком-нибудь значении х, то при этом значении х данная функция непрерывна.

Доказательство:

Пусть при каком-нибудь значении х функция у = f(x) дифференцируема, т. е. имеет производную

тогда по определению предела можем написать:

где при . Отсюда

и

как предел произведения постоянной на бесконечно малую и как предел произведения бесконечно малых). Но мы знаем, что если при данном значении аргумента выполняется равенство

то функция при этом значении аргумента непрерывна. Теорема доказана.

Обратное же утверждение не всегда бывает верно, так как существуют функции, всюду непрерывные, но при некоторых значениях х не имеющие производной.

Понятие о касательной

Касательную к окружности мы определили как прямую, имеющую с ней одну общую точку.

Такое определение годится не для любой кривой линии. Например, прямая MN касается кривой в точке А (рис. 82), но имеет с этой кривой не одну, а две общие точки.

Чтобы определить касательную к данной кривой в точке М (рис. 83), возьмем на ней еще одну точку М1 и проведем секущую ММ1. Если будем перемещать точку М1 по кривой так, чтобы она приближалась к М, стремясь с ней слиться, то секущая ММ1, будет поворачиваться вокруг точки М, стремясь занять положение прямой МN , называемой касательной.

Определение:

Касательной к банной кривой в данной ее точке М называется предельное положение секущей ММ1 когда точка М1 двигаясь по кривой, неограниченно приближается к точке М.

В математике и в технических дисциплинах часто приходится рассматривать прямую, проходящую через точку касания М перпендикулярно касательной; эта прямая называется нормалью к кривой в точке М.

Геометрический смысл производной

Пусть дана непрерывная функция у = f(х), график которой представлен на рис. 84. Возьмем на нем точку М(х; у); тогда

Дадим х приращение

в этом случае наращенному значению абсциссы

будет соответствовать наращенное значение ординаты

точки М, кривой. Проведем из точки М прямую МQ, параллельную оси Ох, а также секущую через точки М и М1

B полученном прямоугольном треугольнике M1MQ

Обозначим угол наклона секущей M1R к положительному направлению оси Ох через ; тогда

Из треугольника M1MQ имеем:

или

откуда

Из равенства (1) видно, что отношение приращения функции к приращению аргумента равно тангенсу угла наклона секущей к положительному направлению оси Ох.

Пусть , тогда так как данная функция

непрерывна. Вследствие этого точка М1, будет неограниченно приближаться к М, а секущая M1R— вращаться вокруг точки М, стремясь занять положение касательной NL.

Найдем предел обеих частей равенства (1) при условии ; получим:

Так как наклон секущей к оси Ох при ее повороте изменяется, то становится переменной величиной и в пределе стремится к величине угла, образованного касательной NL с положительным направлением оси Ох; поэтому, обозначив буквой а, можем написать:

Равенство (2) можно теперь переписать так:

Левая часть равенства (3) есть производная данной функции , а правая часть — угловой коэффициент к касательной NL:

Обозначив абсциссу точки М через а, можно равенство (4) сформулировать так: Производная функции у = f(х) при х = а равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику данной функции в его точке, с абсциссой х = а.

Задача:

Написать уравнение касательной, проведенной к кривой

в точке ее M с абсциссой, равной 2.

Решение:

Найдем ординату точки М кривой:

Искомая касательная находится в пучке прямых, проходящих через точку М (2; 6) и определяемых уравнением

Остается определить угловой коэффициент касательной, для чего следует найти производную данной функции. Эта производная нами была уже найдена: она равна 2x + 1 и определяет угловой коэффициент касательной, проведенной в любой точке данной кривой. Чтобы иметь угловой коэффициент касательной, проведенной в данной точке М (2; 6), нужно в выражение

вместо х подставить его значение, равное 2. Получим:

Искомое уравнение касательной напишется в следующем виде:

или

Производная функции одной переменной

Определение производной. Пусть задана некоторая функция Выберем произвольное допустимое значение аргумента х и вычислим . Затем, не выходя из области определения, изменим х на величину которая называется приращением аргумента, и вычислим Разность называется приращением функции. Если при существует конечный предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, то функция называется дифференцируемой в точке х, а значение предела называется производной от функции в точке х и обозначается

Производная — это функция от того же аргумента, что и . Операцию вычисления производной называют дифференцированием функции.

Геометрический смысл производной. Если изобразить на рисунке график функции , то величина отношения рав-

на тангенсу угла наклона секущей графика к оси абсцисс (см. рис. 3.2). Если то точка N стремится к точке М и секущая МИ стремится занять положение касательной к в точке М. Следовательно, значение производной в любой точке х области определения функции равно тангенсу наклона касательной к графику в точке с координатами х и к оси абсцисс.

На отрезке [а,b] существует точка с, в которой касательная параллельна секущей МN (см. рис. 3.3). В этом случае из построения следует формула (3.4), позволяющая выразить приращение функции через приращение аргументов и производную.

Замечание:

Если функция дифференцируема в точке а, то она непрерывна в этой точке, но из непрерывности не следует дифференцируемость.

Правила дифференцирования

Производная постоянной С равна нулю

Производная линейной комбинации функций равна линейной комбинации производных

Производная произведения функций вычисляется по правилу: произведение производной от первой функции на неизменную вторую плюс произведение производной от второй функции на неизменную первую

Производная частного двух функций вычисляется по правилу

Например:

Дифференцирование сложной функции. Пусть дифференцируемая функция является аргументами другой функции . В этом случае говорят о сложной функции или суперпозиции функций f и g. Приращение сложной функции вызывается приращением аргумента т. е.

Производная сложной функции

В компактной форме производную от сложной функции можно записать так

Формула, называемая правилом цепочки, обобщается на случай большего числа аргументов.

Например, Эта сложная функция состоит из следующих отдельных функций:

Дифференциалом функции в точке x называется произведение производной от функции в этой точке на ве-

личину приращения аргумента По определению для независимой переменной Поэтому дифференциал функции записывают чаще так

Геометрический смысл дифференциала (рис. 3.5). Производная численно равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции .

Дифференциал равен изменению ординаты, касательной к функции в точке N. Замена истинного приращения функции на дифференциал равносильна замене части графика функции на соответствующую часть касательной к этому графику. Дифференциал определяет главную линейную часть приращения функции.

Производная является функцией того же аргумента х, что и исходная функция. Поэтому ее можно опять дифференцировать, т.е. вычислять предел

Если этот предел существует и конечен, то он называется второй производной от функции в точке х. Принятые обозначения:

Подобным образом вводят производные n-го порядка

Пример:

Производные от степенной функции

Дифференциалом второго порядка называется дифференциал от дифференциала

или в других обозначениях

Аналогичным образом можно определить дифференциал k-го порядка

Как найти производную — подробная инструкция

Скорость

Прямолинейным и равномерным движением называется движение, при котором тело (точка) движется по прямой и за равные промежутки времени проходит равные пути. Скоростью v этого движения называется отношение пути s, пройденного за промежуток времени t, к величине этого промежутка, т. е. . Если движение неравномерное, то отношение меняется, поэтому говорить о скорости неравномерного движения так просто, как это можно сделать при равномерном движении, нельзя. Разберем подробнее этот вопрос.

Пусть по железной дороге (рис. 44), на которой имеются станции А, В, С, D, Е, F, G, движется поезд от станции A до станции G согласно приведенному ниже расписанию. В расписании указаны также расстояния от начальной станции. Напомним, что средней скоростью при любом движении называется отношение пути к промежутку времени, за который этот путь пройден.

Весь путь от A до G поезд проходит за три часа, а это расстояние равно 120 км, поэтому средняя скорость поезда равна 40 кмчас.

Но этот же поезд на отдельных перегонах имеет большую cреднюю скорость.

На станции D, как это видно из расписания, поезд не останавливается. Поставим вопрос: что мы будем понимать под скоростью поезда в момент прохождения им станции D и чему эта скорость будет равна? Будем вычислять средние скорости на различных перегонах, имеющих станцию D или своим началом, или концом:

перегон DG = 60 км проходится за 1 час 20 мин; средняя скорость равна 45 кмчас;

перегон DF = 40 км проходится за 1 час; средняя скорость равна 40 кмчас;

перегон DE = 20 км проходится за 30 мин; средняя скорость равна 40 кмчас;

перегон АD = 60 км проходится за 1 час 40 мин; средняя скорость равна 36 кмчас;

перегон в BD = 40 км проходится за 1 час 5 мин; средняя скорость равна 36 кмчас;

перегон СD = 25 км проходится за 40 мин; средняя скорость равна 37,5 кмчас.

Как видим, средние скорости меняются от перегона к перегону. Какую же скорость принять за истинную? Ведь мимо станции D поезд проходил с вполне определенной скоростью. Чему же она равна? Ответить на поставленный вопрос нельзя, так как у нас нет для этого оснований. Однако вероятнее всего, что средние скорости на участках СD и DЕ будут лучше отражать истинное положение, так как на перегонах СD и DЕ поезд подвергался меньшим случайностям, чем на больших перегонах. Но и эти скорости не являются ответом на вопрос. Ведь можно и дальше уменьшать перегоны и получать все новые и новые средние скорости. Очевидно, чем меньше перегон, тем лучше средняя скорость будет отображать действительное положение. Поэтому за скорость в данный момент принимают предел средней скорости за промежуток времени, имеющий началом данный момент, при условии, что этот промежуток стремится к нулю.

Касательная

Как известно, касательная к окружности имеет с окружностью одну общую точку. Если же рассмотреть какую-ни-будь другую линию, например синусоиду, то прямая, касающаяся синусоиды в точке А (рис. 45), пересечет ее в точке В, т. е. будет иметь с ней уже две общие точки. Таким образом, определение касательной, данное для окружности, к другим линиям уже неприменимо.

Общее определение касательной стало возможным только после того, как было введено понятие предела.

Рассмотрим кривую и на ней точку Р (рис. 46). Проведем через эту точку прямую, пересекающую линию еще и в точке М. Точка М может лежать по любую сторону от точки Р. На рис. 46 указаны два возможных положения точки М. Точку Р не будем менять в процессе рассуждения, а точку М, наоборот, начнем двигать по линии в направлении к точке Р. Тогда секущая РМ будет поворачиваться вокруг точки Р. Если при этом окажется, что существует предельное положение секущей при условии, что М приближается к Р, то предельное положение секущей и называют касательной к рассматриваемой линии в данной точке Р.

Несмотря на то, что в предыдущих параграфах были рассмотрены два различных примера, между ними есть нечто общее. Для того чтобы это выяснить, нужно стать на функциональную точку зрения.

Пусть дана функция у = f(х).

Чтобы получить задачу о скорости, будем считать, что независимое переменное х есть время, а у — расстояние точки, движущейся по прямой, от начала координат. Уравнение у = f(х) в этом случае называется законом движения.

Чтобы получить задачу о карательной, будем считать, что х—абсцисса и у — ордината точки, лежащей на кривой линии, определяемой уравнением у = f(х) .

Будем производить над функцией у = f(х) некоторые операции и одновременно выяснять, что эти операции означают в задаче о скорости и в задаче о касательной.

Дадим х определенное числовое значение и вычислим соответствующее значение

у = f(х) (1)

В задаче о скорости это значит, что для определенного момента времени х мы нашли расстояние у движущейся точки от начала координат (рис, 47).

В задаче о касательной это означает, что мы определили координаты точки Р, лежащей на кривой, определенной уравнением у = f(х) (рис. 48).

Дадим х приращение h и вычислим соответствующее приращенное значение у, которое отличается от первоначального на величину (приращение функции) (см. гл. V, § 4):

В задаче о скорости тем самым мы определяли положение Р1 движущейся точки в момент времени x+h.

В задаче о касательной получена новая точка М. Здесь

Hайдем приращение функции ; для этого вычтем почленно из равенства (2) равенство (1):

В задаче о скорости вычислен путь, пройденный точкой за промежуток времени от момента х до момента x+h .

В задаче о касательной вычислен отрезок

Pазделим на h, т. е. найдем отношение приращения функции к приращению независимого переменного:

В задаче о скорости вычислена средняя скорость за промежуток времени h от момента х до момента x+h .

В задаче о касательной найдено отношение отрезков QМ и РQ, т. е. тангенс угла QРМ, являющийся угловым коэффициентом секущей РМ.

Hайдем предел при условии, что

В задаче о скорости найденный предел дает скорость в данный момент.

В задаче о касательной этот предел дает тангенс угла наклона касательной к оси Ох.

Таким образом, последовательность операций 1, 2, 3, 4, 5, произведенных над функцией, приводит к двум важным понятиям:

1) скорости в данный момент,

2) углового коэффициента касательной.

Но этими двумя приложениями применение указанной последовательности операций не исчерпывается. Поэтому целесообразно изучить рассмотренную совокупность операций э общем виде. Для этого прежде всего дадим определение.

Определение:
Производной от функции f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению независимого переменного при условии, что приращение независимого переменного стремится к нулю. Производная от функции y = f(x) обозначается f'(х), или y‘ , или так что имеем:

Пример:

Вычислим производную функции

Для этого дадим х приращение h:

Находим приращение функции :

Ищем отношение приращения функции к приращению независимого переменного:

Находим предел этого отношения при условии :

Таким образом, найдена производная функции

Пример:

Вычислим производную функции

Даем х приращение h:

Находим приращение функции

Ищем отношение

Находим предел этого отношения, т. е. производную

Итак,

Как видно из приведенных примеров, вычисление производных довольно кропотливо, но однообразно. Поэтому предпочитают заранее вычислить производные часто встречающихся функций, запомнить эти производные и при решении задач уже пользоваться готовыми результатами.

Правила вычисления производных

В этом параграфе будут вычисляться производные при заданном значении независимого переменного, т. е. х будет считаться постоянным, меняться будет его приращение h и, следовательно, у. Вычисления будут производиться по схеме, данной в § 3.

Производная степени

Возьмем степенную функцию

Дадим независимому переменному приращение h, тогда функция получит приращение :

найдем приращение функции , вычитая почленно из равенства (2) равенство (1):

Раскладываяпо формуле бинома Ньютона, преобразуем правую часть равенства (3):

или, после приведения подобных членов,

Разделим обе части последнего равенства на h, тогда

Перейдем к пределу при условии, что h стремится к нулю. Так как

т. е. производная степени равна произведению показателя степени на степень с тем же основанием и показателем, уменьшенным на единицу.

Пример:

Вычислим производную функции Применяя выведенное правило, будем иметь

Пример:

Вычислим производную функции у = х или ; применяя выведенное правило, получаем

Это следует запомнить в следующей формулировке:

Производная независимого переменного равна единице.

Примечание:

При выводе производной степени мы считали, что п — число целое и положительное, однако формула остается верной, если отказаться от этого условия.

Пример:

Вычислим производную функции

Здесь

поэтому

Пример:

Вычислим производную функции

Следовательно,

Производная синуса

Пусть

Дадим х приращение h, тогда у изменится и будет равен

Найдем приращение , вычитая почленно из равенства (2) равенство (1):

или, после преобразования,

Разделим обе части равенства (3) на приращение независимого переменного:

Переходим к пределу при условии, что . Получим

Так как отношение синуса к его аргументу при условии, что аргумент стремится к нулю, равно единице (см. гл. VI, § 2), то

Кроме того, косинус—функция непрерывная (см. гл. VI, § 5),

следовательно,

В силу сказанного из равенства (5) получаем

а это значит, что

т. е. производная синуса равна косинусу того же угла.

Производная косинуса

Аналогично тому, как мы вывели производную синуса, можно вывести производную косинуса. Только при этом придется применить формулу разности косинусов. Проделав все выкладки, получим

т. е. производная косинуса равна синусу того же угла, взятому с обратным знаком.

Производная суммы двух функций

Предположим, что производные функций f(х) и нам известны. Требуется найти производную от их суммы. Рассмотрим сумму

Дадим х приращение h, тогда каждая из функций получит приращение и их сумма также получит приращение

Найдем приращение , вычитая из равенства (2) почленно равенство (1):

Разделим обе части последнего равенства на h:

Перейдем к пределу при условии, что :

Так как есть приращение функции f(x), а

— приращение функции , то

являются производными функций f(x) и . Поэтому

или

т. е. производная суммы двух функций равна сумме их производных.

Производная произведения двух функций

Предположим, что нам известны производные функций f(x) и , а требуется найти производную их произведения. Пусть

Дадим х приращение h, получим

Найдем приращение :

Прибавим и вычтем из правой части равенства (3) выражение тогда

Разделим обе части равенства (4) на h:

Так как

и

то, переходя к пределу в равенстве (5) при условии , получим

или

т. е. производная произведения двух функций равна сумме двух произведений: первое из них есть произведение первой функции на производную второй, а второе равно произведению производной первой функции на вторую.

Производная функции, сохраняющей одно и то же значение, т. е. производная постоянного

Если функция сохраняет при всех значениях независимого переменного одно и то же значение а, то ее график есть прямая линия, параллельная оси Ох, а ее уравнение у = а. Касательная к этой прямой, конечно, совпадает с ней самой, поэтому угол наклона касательной равен нулю, следовательно, и тангенс угла наклона тоже равен нулю, а это и значит, что производная равна нулю.

Таким образом, производная постоянного равна нулю, т. е.

Следствие:

Пусть дано произведение некоторой функции f(x) на постоянное а, т. е. y = af(x) . Найдем производную этого произведения. Применяя формулу (V) этого параграфа, получим

но производная постоянного равна нулю, поэтому а’ = 0 и у’ = аf'(x), или

Говорят, что постоянный множитель можно вынести за знак производной.

Приведем примеры применения правил (L)—(VII).

Пример:

Вычислим производную функции

Записываем последовательно . Применяя правило (IV), получим Применяя правило (VII), получим

Наконец, применяя правило (I), будем иметь окончательный результат

Пример:

Вычислим производную функции

Применяя правило (VII), получим

Применяя правило (V), получим

Применяя правила (II) и (III), будем иметь

или, произведя упрощения,

Пример:

Вычислим производную функции у = -Lg—

Применяя (VII), получим

применяя (IV), получим

применяя (I), получим

применяя (II), получим

Производная частного двух функций

Если даны две функции, производные которых известны, то производная их частного вычисляется по следующему правилу:

Прoизводная частного двух функций равна дроби, в числителе которой стоит разность произведения производной числителя на знаменатель и произведения числителя на производную знаменателя, а в знаменателе стоит квадрат знаменателя.

Пусть

тогда

Производная тангенса

Пусть у=tgx. Выражая тангенс через синус и косинус, получим

Применим правило (VIII), а потом (И) и (III), тогда получим

Следовательно, производная тангенса равна единице, деленной на квадрат косинуса того же угла.

Производная котангенса

Вычислим производную котангенса. Пусть

Применяя правило (VIII), получим

Применяя правила (II) и (III), получим

Производная сложной функции

Прежде чем рассматривать производную сложной функции представим ее в виде цепочки функций (см. гл. V, § 3):

и

Рассмотрим уравнения ( *) и ( **) независимо друг от друга. Первое из них дает и как функцию х, ее производная равна . Второе определяет у как функцию независимого переменного и; ее производная равна f’ (и). Но на самом деле рассматривать эти два уравнения отдельно друг от друга нельзя. Они связаны между собой. Действительно, если мы дадим х приращение h, то и, как функция х, получит приращение , но и есть в то же время независимое переменное для функции у. Следовательно, изменяя и на , мы изменим и у, который получит приращение . По определению производной

Умножим почленно два последних равенства. Так как приприращение тоже стремится к нулю, то

Но у есть функция независимого переменного х (в силу равенства поэтому по определению производной

Соединяя равенства () и (*), получим

т. е. производная сложной функции равна произведению производных цепочки функций.

Пример:

Вычислим производную функции Представим у в виде цепочки функций:

Так как

то производная у’ равна произведению

Пример:

Вычислим производную y = tg Зx. Представим сложную функцию y = tg Зx в виде цепочки: и = Зx, y = tgu. Вычислим производные:

произведение даст искомую производную

Производная показательной функции

Производная показательной функции находится по правилу, выражаемому формулой

В частности, если а = е, то In е = 1 и

Эта формула имеет много применений.

Пример:

Найти производную

Производная логарифмической функции

Производная логарифмической функции находится по правилу, выражаемому формулой

Если а = e то ln е = 1, поэтому

Пример:

Пример:

Производные обратных тригонометрических функций arcsin х и arcsin х

Эти производные определяются так:

и

Пример:

Пример:

Найдем производную функции Представим функцию у в виде цепочки:

Так как

Пример:

Найдем производную функции у = arctg In x. Представим функцию в виде цепочки: и = In x, у = arctg и

Так как

то

Пример:

Найдем Равносильная цепочка будет состоять из

Так как

Когда разовьются навыки в вычислении производных, то представление в виде цепочки можно делать в уме. Покажем это на примере. Конечно, первый пример будет описан подробно, поэтому на первый взгляд не будет заметно упрощения.

Пример:

Вычислим производную функции Представив эту функцию в виде цепочки, будем иметь

Так как

Первый множитель в правой части последнего равенства получим в следующей формулировке: производная логарифма равна единице, деленной на то, от чего берется логарифм. Так как в этом примере дан , то производная равна . Операция логарифмирования рассмотрена. Осталась функция . Второй множитель читаем так: производная синуса равна косинусу того, от чего берется синус. Поэтому производная равна . Операция взятия синуса рассмотрена. Остается. Производная этого выражения равна З, это и есть третий множитель.

Пример:

Найдем Здесь последняя (вторая) операция—возведение в третью степень. Первая операция — взятие арктангенса. Поэтому сначала находим производную степени, получаем 3 , а затем — производную арктангенса, пoлучаем . Перемножая полученные производные, будем иметь

Пример:

Найдем Здесь последняя (вторая) операция — взятие арктангенса, его производная равна. Первая операция есть возведение в куб, поэтому производная равна 3.Перемножая полученные выражения, будем иметь

Простейшие применения производной

Уравнение касательной

Как было показано в § 3, геометрический смысл производной состоит в том, что ее значение равно угловому коэффициенту касательной в данной точке к кривой, заданной уравнением у=f(х). Поэтому, если дана кривая у=f(х) и на ней точка Р с абсциссой х1 и надо написать уравнение касательной, то поступают так. Вычисляют сначала ординату точки Р, она равна у1=f(х1). Через точку Р проводят пучок прямых; уравнение пучка, как это было показано в гл. II, напишется следующим образом:

Но надо еще обеспечить касание, т. е. выбрать соответствующий угловой коэффициент. Угловой коэффициент касательной в данной точке равен значению производной, поэтому

Таким образом, уравнение касательной в точке (x1, (x1)) к кривой, заданной уравнением у = f(х), напишется так:

Пример:

Напишем уравнение касательной к параболе

в точке Р с абсциссой х1 = 3. Вычислим ординату точки Р:

Ищем производную: у’= 2х — 4 — и находим ее значение при х1=3:

Уравнение касательной к параболе

в точке (3, —2) будет иметь вид у— (—2) = 2 (х—3) или

Пример:

Написать уравнение касательной к кривой у = sin х. Здесь не указана точка, в которой происходит касание. Это надо понимать так: написать уравнение, из которого в любой момент можно получить уравнение касательной для любой точки синусоиды.

Возьмем точку (х, sin х ); эта точка лежит на синусоиде. Найдем производную:

Чтобы не было путаницы, координаты точки, лежащей на касательной, обозначим большими буквами X и Y. Тогда уравнение касательной к синусоиде в любой ее точке запишется в виде

Уравнение нормали

Определение:

Нормалью к кривой называется прямая, проведенная через точку касания перпендикулярно касательной.

Если обозначить угловой коэффициент касательной буквой , а угловой коэффициент нормали 1 то по условию перпендикулярности (гл. 11)

Поэтому уравнение нормали выглядит так:

Пример:

Напишем уравнение нормали к кривой, заданной уравнением , в точке, лежащей на этой кривой и имеющей абсциссу, равную 3.

Так как точка лежит на кривой, то, подставляя x = 3 в уравнение

получим ее ординату у = 6. Найдем производную: у’ = 2х — 2 —и ее значение при

Подставляя полученные данные в уравнение нормали, получим

Угол между двумя кривыми

Определение:

Углом между двумя кривыми в точке их пересечения называется угол между касательными к этим кривым, проведенными в точке их пересечения.

Пример:

Найти угол между параболами

в точке их пересечения, лежащей внутри первой четверти.

Точки пересечения парабол найдем, решая совместно уравнения ,

Подставляя выражение у из первого уравнения во второе, получим уравнение решая которое, найдем: x = 0 и других действительных корней нет, так как уравнение

действительных корней не имеет. Для x= 0 и x = 1 найдем у = 0 и у = 1. Таким образом, мы нашли две точки пересечения в первой четверти: (0, 0) и (1, 1). Искомая точка имеет координаты (1, 1) (см. рис. 49).

Найдем производные от функции и от функции (знак минус не берем, так как рассматривается первая четверть):

Вычислив значения этих производных при x =1, получаем:

Это угловые коэффициенты касательных. Угол между прямыми (касательными) определяется по формуле (1) из гл. II. Подставляя в нее значения1 и2 будем иметь

Следовательно, угол между параболами в точке (1, 1) равен

—(найден тупой угол).

Если кривая задана уравнением у = f(х) и на ней взята точка Р с координатами (х1, f(x1)), то касательную к этой кривой в точке Р можно построить следующим способом (рис. 50).

1.Из точки Р проведем прямую, параллельную оси Ох, и на ней отложим отрезок РM, направленный в сторону возрастания абсцисс, длина которого равна единице.

2.Найдем производную функции у = f(х), т. е.

3.Вычислим ее значение при х = х1 т. е. Построим отрезок МN, равный как по величине, так и по направлению.

4.Соединяем точки Р и N получаем прямоугольный треугольник РMN, в котором

Из этого треугольника находим

Отсюда заключаем, что PN является искомой касательной. В самом деле, эта прямая проходит через точку Р и имеет угловой коэффициент, равный

Вторая производная. Производные высших порядков

Определение:

Второй производной называется производная от производной. Вторая производная обозначается у» или f»(x). Так, по определению

Пример:

Вычислим Вторую производную от функции . Последовательно находим

Пример:

Найдем вторую производную от функции sin x. Находим у’ = cos х, поэтому у» = — sin.

Пример:

Найдем у», если . Найдем сначала ,а затем

Определение:

Производной порядка n называется производная от производной порядка n—1.

Производная порядка п обозначается или . Исключение представляет третья, четвертая и пятая производные, которые чаще записывают.

Пример:

Вычислим производную четвертого порядка от функции

Последовательно находим:

Пример:

Найдем , если .

Последовательно находим:

Итак, для того чтобы вычислить, скажем, производную десятого порядка, надо вычислить предварительно все производные меньших порядков.

Пример:

Вычислим производную функции . Вычисляем последовательно

Очевидно, что и все производные высших порядков будут равны , так что и

Если точка движется прямолинейно, но неравномерно, то скорость ее изменяется. Следовательно, можно говорить о скорости изменения скорости. Скорость изменения скорости называется ускорением и обозначается буквой а. Так как скорость выражается при помощи производной, то ускорение будет выражаться через производную от производной, т. е. ускорение есть вторая производная от пути по времени.

Пример:

Тело движется по оси Ох. Расстояние х от начала координат изменяется по закону x = sin t (здесь t обозначает время). Найти скорость и ускорение тела.

Скорость v равна производной, поэтому v = cos t, а ускорение равно второй производной, поэтому а = — sin t.

Решение заданий и задач по предметам:

• Математика
• Высшая математика
• Математический анализ
• Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
2. Функции и графики
3. Преобразования графиков функций
4. Квадратная функция и её графики
5. Алгебраические неравенства
6. Неравенства
7. Неравенства с переменными
8. Прогрессии в математике
9. Арифметическая прогрессия
10. Геометрическая прогрессия
11. Показатели в математике
12. Логарифмы в математике
13. Исследование уравнений
14. Уравнения высших степеней
15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
16. Комплексные числа
17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
18. Алгебраические уравнения
19. Неопределенные уравнения
20. Соединения
21. Бином Ньютона
22. Число е
23. Непрерывные дроби
24. Функция
25. Исследование функций
26. Предел
27. Интеграл
28. Двойной интеграл
29. Тройной интеграл
30. Интегрирование
31. Неопределённый интеграл
32. Определенный интеграл
33. Криволинейные интегралы
34. Поверхностные интегралы
35. Несобственные интегралы
36. Кратные интегралы
37. Интегралы, зависящие от параметра
38. Квадратный трехчлен
39. Применение производной к исследованию функций
40. Приложения производной
41. Дифференциал функции
42. Дифференцирование в математике
43. Формулы и правила дифференцирования
44. Дифференциальное исчисление
45. Дифференциальные уравнения
46. Дифференциальные уравнения первого порядка
47. Дифференциальные уравнения высших порядков
48. Дифференциальные уравнения в частных производных
49. Тригонометрические функции
50. Тригонометрические уравнения и неравенства
51. Показательная функция
52. Показательные уравнения
53. Обобщенная степень
54. Взаимно обратные функции
55. Логарифмическая функция
56. Уравнения и неравенства
57. Положительные и отрицательные числа
58. Алгебраические выражения
59. Иррациональные алгебраические выражения
60. Преобразование алгебраических выражений
61. Преобразование дробных алгебраических выражений
62. Разложение многочленов на множители
63. Многочлены от одного переменного
64. Алгебраические дроби
65. Пропорции
66. Уравнения
67. Системы уравнений
68. Системы уравнений высших степеней
69. Системы алгебраических уравнений
70. Системы линейных уравнений
71. Системы дифференциальных уравнений
72. Арифметический квадратный корень
73. Квадратные и кубические корни
74. Извлечение квадратного корня
75. Рациональные числа
76. Иррациональные числа
77. Арифметический корень
78. Квадратные уравнения
79. Иррациональные уравнения
80. Последовательность
81. Ряды сходящиеся и расходящиеся
82. Тригонометрические функции произвольного угла
83. Тригонометрические формулы
84. Обратные тригонометрические функции
85. Теорема Безу
86. Математическая индукция
87. Показатель степени
88. Показательные функции и логарифмы
89. Множество
90. Множество действительных чисел
91. Числовые множества
92. Преобразование рациональных выражений
93. Преобразование иррациональных выражений
94. Геометрия
95. Действительные числа
96. Степени и корни
97. Степень с рациональным показателем
98. Тригонометрические функции угла
99. Тригонометрические функции числового аргумента
100. Тригонометрические выражения и их преобразования
101. Преобразование тригонометрических выражений
102. Комбинаторика
103. Вычислительная математика
104. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
105. Прямая и плоскость
106. Линии и уравнения
107. Прямая линия
108. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
109. Кривые второго порядка
110. Кривые и поверхности второго порядка
111. Числовые ряды
112. Степенные ряды
113. Ряды Фурье
114. Преобразование Фурье
115. Функциональные ряды
116. Функции многих переменных
117. Метод координат
118. Гармонический анализ
119. Вещественные числа
120. Предел последовательности
121. Аналитическая геометрия
122. Аналитическая геометрия на плоскости
123. Аналитическая геометрия в пространстве
124. Функции одной переменной
125. Высшая алгебра
126. Векторная алгебра
127. Векторный анализ
128. Векторы
129. Скалярное произведение векторов
130. Векторное произведение векторов
131. Смешанное произведение векторов
132. Операции над векторами
133. Непрерывность функций
134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
135. Предел и непрерывность функции одной переменной
136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
139. Матрицы
140. Линейные и евклидовы пространства
141. Линейные отображения
142. Дифференциальные теоремы о среднем
143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
144. Функции комплексного переменного
145. Преобразование Лапласа
146. Теории поля
147. Операционное исчисление
148. Системы координат
149. Рациональная функция
150. Интегральное исчисление
151. Интегральное исчисление функций одной переменной
152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
153. Отношение в математике
154. Математическая логика
155. Графы в математике
156. Линейные пространства
157. Первообразная и неопределенный интеграл
158. Линейная функция
159. Выпуклые множества точек
160. Система координат