Расстояние между двумя точками, формула
Расстояние между двумя точками
Расстояние между двумя точками A1(x1;y1) и
A2(x2;y2)
в прямоугольной системе координат выражается формулой:
[ d = sqrt{(x_2-x_1)^{2} + (y_2-y_1)^{2}} ]
Порядок точек не играет роли. Расстояние считается положительным. поэтому корень берется с одним знаком (плюс).
Вычислить, найти расстояние между двумя точками по формуле (1)
| x1 | y1 |
| x2 | y2 |
Вычислить
нажмите кнопку для расчета
Расстояние между двумя точками |
стр. 138 |
|---|
Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости
1. Расстояние между двумя точками.
Теорема
1.
Для любых двух точек
и
плоскости расстояние
между ними выражается формулой:
.
(1.1)
Например,
если
даны точки
и
,
то расстояние между ними:
.
2. Площадь треугольника.
Теорема
2.
Для любых точек 
,
не лежащих на одной прямой, площадь
треугольника
выражается формулой:
.
(1.2)
Например,
найдем площадь треугольника, образованного
точками
,
и
.
.
Замечание.
Если площадь треугольника равна нулю,
это означает, что точки лежат на одной
прямой.
3. Деление отрезка в заданном отношении.
Пусть
на плоскости дан произвольный отрезок
и
пусть
–любая
точка этого отрезка, отличная от точек
концов. Число
,
определенное равенством
,
называетсяотношением,
в
котором точка
делит отрезок
.
Задача
о делении отрезка в данном отношении
состоит в том, чтобы по данному отношению
и данным координатам точек
и
найти координаты точки
.
Теорема
3.
Если
точка
делит отрезок
в
отношении 
,
то
координаты этой точки определяются
формулами:
(1.3), где
– координаты точки
,
– координаты точки
.
Следствие:
Если
– середина отрезка
,
где
и
,
то
(1.4) (т.к.
).
Например.
Даны точки
и
.
Найти координаты точки
,
которая в два раза ближе к
,
чем к
Решение:
Искомая точка
делит
отрезок
в
отношении
так как
,
тогда
,
,
получили
.
Полярные координаты
Наиболее
важной после прямоугольной системы
координат является полярная система
координат. Она состоит из некоторой
точки
,
называемойполюсом,
и исходящего из нее луча
–полярной
оси.
Кроме того, задается единица масштаба
для измерения длин отрезков.
Пусть
задана полярная система координат и
пусть
– произвольная точка плоскости. Пусть
–
расстояние от точки
до
точки
;
– угол, на который нужно повернуть
полярную ось для совмещения с лучом
.
Полярными
координатами точки
называются числа
и
.
При этом число
считается первой координатой и называетсяполярным
радиусом,
число
– второй координатой и называетсяполярным
углом.
Обозначается
.
Полярный радиус может иметь любое
неотрицательное значение:
.
Обычно считают, что полярный угол
изменяется в следующих пределах:
.
Однако в ряде случаев приходится
определять углы, отсчитываемые от
полярной оси по часовой стрелке.
Связь между полярными координатами точки и ее прямоугольными координатами.
Будем
считать, что начало прямоугольной
системы координат находится в полюсе,
а положительная полуось абсцисс совпадает
с полярной осью.
Пусть
– в прямоугольной системе координат и
– в полярной системе координат. Определен
– прямоугольный треугольник с
.
Тогда
(1.5).
Эти формулы выражают прямоугольные
координаты через полярные.
С
другой стороны, по теореме Пифагора
и
(1.6)
– эти формулы, выражают полярные
координаты через прямоугольные.
Заметим,
что формула
определяет два значения полярного угла
,
так как
.
Из этих двух значений угла
выбирают тот, при котором удовлетворяются
равенства
.
Например,
найдем полярные координаты точки
.
.
или
,
т.к.
I
четверти
.
Пример
1:
Найти точку, симметричную точке 
относительно
биссектрисы первого координатного
угла.
Решение:
Проведем
через точку А
прямую l1,
перпендикулярную биссектрисе l
первого координатного угла. Пусть
.
На прямой
l1
отложим отрезок
СА1,
равный
отрезку
АС.
Прямоугольные треугольники
АСО
и
А1СО
равны
между собой (по двум катетам). Отсюда
следует, что |ОА|
= |OA1|.
Треугольники
ADO
и
ОЕА1
также равны между собой (по гипотенузе
и острому углу). Заключаем, что
|AD|
= |ОЕ|
= 4,
|OD| = |EA1|
=
2, т.е. точка имеет координаты х
= 4, у = -2,
т.е. А1(4;-2).
Отметим,
что имеет место общее утверждение: точка
A1,
симметричная точке
относительно биссектрисы первого и
третьего координатных углов, имеет
координаты
,
то есть
.
Пример
2:
Найти точку, в которой прямая, проходящая
через точки
и
,
пересечет ось
Ох.
Решение:
Координаты
искомой точки
С
есть (x;
0). А так как точки
А,
В и
С
лежат на одной прямой, то должно
выполняться условие (x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)=0
(формула (1.2), площадь треугольника ABC
равна
нулю!), где
–
координаты точки А,
– точкиВ,
– точкиС.
Получаем
,
т.е.
,
,
.
Следовательно, точка
С
имеет координаты
,
,
т.е.
.
Пример
3: В
полярной системе координат заданы точки
,
.
Найти:
а)
расстояние между точками
и
;
б)
площадь треугольника
ОМ1М2
(О
– полюс).
Решение:
а)
Воспользуемся формулами (1.1) и (1.5):
,
то
есть,
.
б)
пользуясь формулой для площади
треугольника со сторонами
а
и
b
и углом
между ними (
),
находим площадь треугольника
ОМ1М2.
.
Расстояние между двумя точками онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти расстояние между точками по известным координатам этих точек. Дается решение с пояснениями. Для нахождения расстояния между точками задайте размерность (2-если задача рассматривается в двухмерном пространстве, 3- если задача рассматривается в трехмерном пространстве), введите координаты точек в ячейки и нажмите на кнопку «Решить». Теоретическую часть смотрите ниже.
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Расстояние между двумя точками на прямой
Пусть заданы на оси OX точки A с координатой xa и B с координатой xb (Рис.1). Найдем расстояние между точками A и B.
Расстояние между точками A и В равно:
Поскольку расстояние от O до В равна xb, а расстояние от O до A равна xa, получим:
На рисунке 2 точки A и В находятся по разные стороны начала координат O. B этом случае рассояние между точками A и B равно:
Поскольку координата точки A отрицательна а координата точки B положительна, то (2) можно записать так:
На рисунке 3 точки A и В находятся c левой стороны начала координат O.
B этом случае рассояние между точками A и B равно:
Координаты точек A и B отрицательны. Тогда , то (5) можно записать так:
Из формул (2),(4),(6) следует, что независимо от расположения точек отностительно начала координат рассояние этих точек равна разности координат этих точек, причем от большего значения вычитается меньшее (так как расстояние не может быть отрицательным числом).
Формулы (2),(4),(6) можно записать и так:
Пример 1. на оси Ox заданы точки ( small A(x_a)=A(-4) ) и ( small B(x_b)=B(7) ) . Найти рассояние между этими точками.
Решение. Для нахождения расстояния между точками A и B воспользуемся формулой (7):
Ответ: 11.
Расстояние между двумя точками на плоскости
Пусть на плоскости задана декартова прямоугольная система координат XOY и пусть на плоскости заданы точки A и B, где A имеет координаты (xa,ya), а B имеет координаты (xb,yb) (Рис.4).
Учитывая результаты предыдующего параграфа, можем найти расстояние между точками A и M, а также расстояние между точками B и M:
ABM является прямоугольным треугольником, где AB гипотенуза, а AM и BM катеты. Тогда, исходя из теоремы Пифагора, имеем:
Тогда, учитывая (8), получим:
Откуда:
Пример 2. На плоскости, в декартовой прямоугольной системе координат XOY заданы точки ( small A(x_a; y_a)=A(-6;3) ) и ( small B(x_b, y_b)=B(11,-4). ) . Найти рассояние между этими точками.
Решение. Для нахождения расстояния между точками A и B воспользуемся формулой (9). Подставляя координаты точек A и B в формулу (9), получим:
Ответ: 
.
Расстояние между двумя точками в пространстве
Рассмотрим в пространстве, в декартовой прямоугольной системе координат точки A и B, где A имеет координаты (xa,ya,za), а B имеет координаты (xb,yb,zb) (Рис.5).
AB является диагональю параллелепипеда, грани которго параллельны координатным плоскостьям и проходят через точки A и B. Но AB является гипотенузой прямоугольного треугольника AMB, а AM и BM являются катетами этого прямоугольного треугольника. Тогда, по теореме Пифагора, имеем:
Учитывая, что BM равно разности третьих координат точек B и A, получим:
Из предыдующего параграфа следует, что:
Но AM=A’B’. Тогда из (10) и (11) следует:
Откуда:
Пример 3. В пространстве задана декартова прямоугольная система координат XOY и точки ( small A(x_a; y_a ; z_a)=A(5;1;0) ) и ( small B(x_b, y_b, z_b)=B(-8,-4;21). ) Найти рассояние между этими точками.
Решение. Для нахождения расстояния между точками A и B воспользуемся формулой (12). Подставляя координаты точек A и B в формулу (12), получим:
Ответ: 
.
На первый взгляд может показаться, что математика сложна и коварна, но это далеко не так. Если приложить усилия к её изучению, то можно удивиться тому, насколько быстро вы измените своё мнение о ней. Давайте же разберём одну из тем, которая поможет находить расстояние от точки до точки при различных условиях. После того как вы изучите данную статью, вы можете решить предоставленные задания, чтобы лучше закрепить пройденный материал.
Математические термины
Для начала введём некоторые определения.
Определения
Расстояние между точками – это измерение отрезка, находящегося между этими точками, составляющего длину расстояния.
Эти отрезки располагаются в определенном масштабе, потому как необходимо знать единицу длины для их измерения, без этого нельзя.
Функция – это связь величин, выражаемая в зависимости одной переменной Y, от второй переменной X.
Произвольная функция (точка) – это такая точка, которую можно расположить в любом месте.
Координатная прямая – это прямая, на которой изображают точку отсчёта 0 и единичные отрезки. Прямой также задают направление.
Действительные числа – это совокупность рациональных и иррациональных чисел.
Рациональное число – это такое число, которое может находиться в виде обыкновенной дроби, в отличие от иррационального числа.
Иррациональное число – это бесконечная непериодическая десятичная дробь. Такое число нельзя представить в виде обыкновенной дроби.
Модуль или же абсолютная величина – это обязательно неотрицательное число, которое является расстоянием определённых точек.
Как определить расстояние между точками, находящимися на координатной прямой
Важно
Чтобы найти расстояние от одной точки до другой, т.е. длину этого отрезка, нужно сравнить его с другим таким отрезком в заданном масштабе.
Действительные числа
Рассмотрим этот способ на примере:
Здесь мы имеем координатную прямую OX, на которой отмечена точка A. Она произвольная, поэтому мы можем задать ей любое действительное число, пусть это будет 3.
Отрезок – это единица длины, поэтому все отрезки, что мы отложили от точки O нужно сложить, вследствие чего полученное количество единичных отрезков будет равняться длине отрезка OA. В данном случае здесь три отрезка, поэтому и ответ таков.
Ещё один пример, где точку отсчёта O и произвольную точку A соединяют 2 отрезка. Это значит, что расстояние длин всех единичных отрезков OA равно 2. Если же точка A будет иметь другое число, например: 6, то мы откладываем от точки O именно 6 единичных отрезков и получаем искомое расстояние.
Рациональные числа
С действительным числами всё понятно, а что делать с рациональными? Представим, что координаты точки A равны 5,5. Из этого следует, что нам нужно отложить из точки O сначала 5 единичных отрезков, то есть, целое число, а после прибавить 0,5. Иногда это кажется невозможным, ведь некоторые числа трудно представить в виде отрезка, из-за чего приходится искать самое приближенное значение числа.
Иррациональные числа
Иррациональным числам данный метод не подходит, потому как такие числа нельзя поставить на координатной прямой OX. Для примера приведём числа √5, √8, √17. Здесь можно перейти к отвлечённому представлению и посмотреть на эти числа таким образом:
- 0>A – если 0 больше A, то A имеет отрицательное значение координат: |OA| = (–A).
- 0<A – если 0 меньше A, то A имеет положительное значение координат: |OA| = (A).
Также можно сказать, что это подходит и к действительным числами. Если точка A будет находиться на начальной точке O, то и расстояние между ними будет равно 0. Здесь нужно уметь хорошо работать с рисунком, тогда всё будет понятно.
- Модуль
Важно помнить, что расстояние между точками не может быть отрицательным.
В данном случае у нас есть модуль числа A, что является расстоянием OA и это число 3.
Если на координатной прямой будут точки A и B, то их расстояние нужно определить по модулю разности этих координат. Получается, чтобы найти длину отрезка AB, необходимо из числа точки B отнять число точки A:
4-2=2.
Как определить расстояние между двумя точками на плоскости
Представим прямоугольную систему координат и плоскость на ней, с находящимися там точками A и B. Далее проведём прямые от этих точек к осям Ox и Oy, как на изображении. В следствие этого образовались точки Ax и Ay, а также Bx и By.
Из этого можно вывести несколько вариантов:
- Ось Ox
В случае расположения точек A и B на прямой, которая в свою очередь перпендикулярна оси Ox – точки A и B совпадают, а модуль AB равен модулю AyBy. Как говорилось ранее, для нахождения длины промежутка (расстояния) между двумя точками, нужно найти разность модуля заданных координат, поэтому можно сказать, что:
|AB| = |AyBy| = |yB – yA|.
При этом совпадении их расстояние равняется 0.
Формула
Формула для нахождения расстояния между двумя точками на плоскости:
[|A B|=sqrt{(} x B-x A)^{2}+(y B-y A)^{2}=sqrt{0}^{2}+(y B-y A)^{2}]
- Ось Oy
Теперь рассмотрим тот случай, когда прямая перпендикулярна оси Oy. Находится расстояние таким же образом, но уже с участием xB и xA: |AB| = |AxBx| = |xB – xA|.
Формула
Формула для нахождения расстояния между двумя точками на плоскости:
[left.|A B|=sqrt{(} x B-x A)^{2}+(y B-y A)^{2}=sqrt{(} x B-x Aright)^{2}+0^{2}]
- Точки не лежат на прямой, которая перпендикулярна оси Ox и Oy
Теперь поговорим о прямоугольном треугольнике ABC. Чтобы найти расстояние на плоскости между точкой A и точкой B, необходимо воспользоваться формулой:
|AB| = √(xB – xA)² + (yB – yA)².
Эта формула доказывает правильность ранее написанных утверждений к тем заданиям, на графиках которых точки лежат на прямой, перпендикулярной Ox и Oy.
Если точки совпадают, к ним справедливо равенство:
|AB| = √(xB – xA)² + (yB – yA)² = √0² + 0² = 0.
По рисунку видно, что:
|AC| = |AxBx|, а также |BC|=|AyBy|. Далее вспомним теорему Пифагора и с её помощью запишем равенство:
|AB|² = |AC|² + |BC|²
|AB|² = |AxBx|² + |AyBy|²
√|AxBx|² + |AyBy|²
√|xB – xA|² + |yB – yA|²
√(xB – xA)² + (yB – yA)²
Пример
Найдите расстояние между двумя точками на плоскости, если известно, что они находятся на прямоугольной системе координат со значениями: A (3, –1), а также B (X + 3, 7). Также надо найти значение действительного числа X, зная, что при них расстояние между точками будет равно 10.
Чтобы решить эту задачу, необходимо использовать формулу:
|AB| = √(xB – xA)² + (yB – yA)².
После этого действия подставляем вышеприведённые числа:
√(X + 3 – 3)² + (7 – ( – 1))² = √X² + 64.
Далее обратим внимание на то, что |AB| = 10 и составим равенство:
√X² + 64 = 10
X² + 64 = 100
X = ± 6
Ответ: |AB| = 10, при X = ±6.
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Как определить расстояние между точками в пространстве
Более сложным заданием на нахождение расстояния является то, где точки расположены в пространстве, а не на плоскости.
Возьмём точки, имеющие свои координаты: A (xA, yA, zA), B (xB, yB, zB). Они размещены на прямоугольной системе координат Oxyz. Имея эти данные, мы можем приступить к поиску расстояния между этими точками.
Итак, проведём плоскости через наши точки A и B, которые должны быть перпендикулярными осям с заданными координатами. Таким образом мы получаем точки точки проекции: Ax, Ay, Az, Bx, By, Bz. Так и получился параллелепипед, диагональ которого равна расстоянию точек.
Правило
Для нахождения диагонали нужно вспомнить, что она находится путем сложения квадратных измерений точек проекции:
[|A B|^{2}=|A x B x|^{2}+|A y B y|^{2}+left.|A| z B zright|^{2}]
После чего выполним такие действия:
|AxBx| = |xB – xA|
|AyBy| = |yB – yA|
|AzBz| = |zB – zA|
Теперь выполним преобразование получившегося выражения:
|AB|² = |AxBx|² + |AyBy|² + |AzBz|² = |xB – xA|² + |yB – yA|² + |zB – zA|² = (xB – xA)² + (yB – yA)² + (zB – zA)².
После всех этих действий мы можем выделить основную формулу, которая применяется для нахождения расстояния точек в пространстве:
=√(xB – xA)² + (yB – yA)² + (zB – zA)².
Её можно применять в тех случаях, когда точки располагаются на прямой, которая параллельна координатной оси или же они находятся на этой координатной оси. При совпадении точек эта формула также действительна.
Пример
Найдите расстояние между точками, которые лежат на прямоугольной системе координат в трёхмерном пространстве, координаты которых: A (2, 3, 4), а также B (-6, -1, 5).
Перейдём к решению, воспользовавшись формулой:
√(xB – xA)² + (yB – yA)² + (zB – zA)².
Подставляем имеющиеся значения:
√(–6 – 2)² + (–1 – 3)² + (5 – 4)² = √64 + 16 + 1 = √81 = 9.
Ответ: расстояние |AB| равно 9.
Задачи для самостоятельного решения
- Задача
Найдите расстояние между точками на плоскости, если известно, что они находятся на прямоугольной системе координат со значениями: A (2, 5), а также B (6, 4). - Задача
Найдите расстояние между точками на плоскости, если известно, что они находятся на прямоугольной системе координат со значениями: A (1, 6), а также B (1, 25). - Задача
Найдите расстояние между точками, которые лежат на прямоугольной системе координат в трёхмерном пространстве, координаты которых: A (1, -3, 4), а также B (4, 1, 4). - Задача
Найдите расстояние между точками, которые лежат на прямоугольной системе координат в трёхмерном пространстве, координаты которых: A (2, -2, 7), а также B (6, 2, 5).
Ответы с решением:
- Решение первой задачи
Для решения понадобится формула:
|AB| = √(xB – xA)² + (yB – yA)².
Далее подставляем числа:
|AB| = √(6 – 2)² + (4 – 5)² = √4² + (–1)² = √16 + 1 = √17.
Ответ: |AB| равен √17. - Решение второй задачи
Формула для нахождения:
|AB| = √(xB – xA)² + (yB – yA)².
Подставляем:
|AB| = √(1 – 1)² + (25 – 6)² = √(0)² + (19)² = √0 + 361 = √361 = 19
Ответ: |AB| равен 19. - Решение третьей задачи
Запишем формулу:
√(xB – xA)² + (yB – yA)² + (zB – zA)².
Подставим числа:
√(4 – 1)² + (1 – (–3))² + (4 – 4)² = √(3)² + (4)² + (0)² = √9 + 16 + 0 = √25 = 5.
Ответ: |AB| равняется 5. - Решение четвертой задачи
Записываем формулу для решения:
√(xB – xA)² + (yB – yA)² + (zB – zA)²
Заменим на координаты точек:
√(6 – 2)² + (2 – (–2))² + (5 – 7)² = √(4)² + (4)² + (–2)² = √16 + 16 + 4= √36 = 6.
Ответ: |AB| равняется 6.
Random converter
- Калькуляторы
- Математика
Калькулятор расстояния между двумя точками
Этот калькулятор определяет расстояние (называемое также метрикой) между двумя точками в одномерном, двумерном, трехмерном и четырехмерном евклидовом, чебышёвском и манхэттенском пространствах.
Пример: Рассчитайте евклидово расстояние между точками (3; 3,5) and (-5,1; -5.2) в двумерном пространстве.
Размерность пространства
1D2D3D4D
Координаты первой точки
Координаты второй точки
Поделиться ссылкой на этот калькулятор, включая входные параметры
Евклидово расстояние
Манхэттенское расстояние
Чебышёвское расстояние
Введите значения для расчета и нажмите кнопку Рассчитать
Определения и формулы
Прямоугольная (декартова) система координат
Метрики и метрические пространства
Евклидово расстояние
Расстояние Чебышёва
Манхэттенское расстояние
Расстояние Минковского
Определения и формулы
Прямоугольная (декартова) система координат
«Я мыслю, следовательно, я существую» — Рене Декарт
Прямоугольная система координат носит имя французского философа и математика Рене Декарта, так как именно он ввел эту систему в своей работе «Геометрия» (фр. La Géométrie), опубликованной на французском языке в 1637 г. в Лейдене (Нидерланды) совестно с тремя другими книгами, включая «Рассуждения о методе» (фр. Discours de la méthode pour bien conduire sa raison, et chercher la verité dans les sciences), которая больше всего известна по знаменитой цитате «Je pense, donc je suis» — «Я мыслю, следовательно, я существую».
В прямоугольной системе координат каждая точка на плоскости однозначно определяется двумя числовыми координатами, которые являются расстояниями до точки от двух перпендикулярных осей, измеренными в одинаковых единицах. Ось x называется абсциссой, а ось y — ординатой. Эти два числа называется соответственно координатами x и y заданной точки.
Изобретение прямоугольной системы координат дало толчок к развитию аналитической геометрии — науки, использующей систему координат для построения фигур или тел. В аналитической геометрии кривые и формы описываются алгебраическими функциями, которые облегчают расчеты. Декартова система координат позволяет использовать относительно простые алгебраические уравнения для простых линий, плоскостей и трехмерных фигур. Числовое представление кривых и объемных фигур в аналитической геометрии удобно для их последующей компьютерной обработки.
Декартова система координат часто используются в реальных жизненных ситуациях — например, в вашем смартфоне двумерная система прямоугольных координат используется для показа изображений и отслеживания движений пальцев.
А трехмерная прямоугольная система координат с тремя осями может использоваться для описания положения точки на Земле или над Землей. Эта система вращается вместе с Землей. Начало такой системы координат (нулевая точка с координатами 0; 0; 0) находится в центре масс Земли. Ось z направлена от центра на Северный полюс. Ось x направлена от центра на экватор в точку его пересечения с нулевым меридианом и перпендикулярна оси z. Она указывает на долготу 0°и широту 0°. Ось y геоцентрической системы координат направлена от центра Земли вдоль линии, перпендикулярной осям z и x и, в соответствии с правилом правой руки, указывает на долготу 90° и широту 0°.
Поскольку метр вначале определялся как одни десятимиллионная часть расстояния от экватора до Северного полюса (10 000 км или ¼ длины окружности Земли, приблизительно равной 40 000 км), а километр является одной десятитысячной частью этого расстояния, километр представляется хорошим выбором единицы измерения для геоцентрической системы координат. Описанная выше система координат получила название привязанная к Земле геоцентрическая система координат.
Метрики и метрические пространства
Когда мы говорим о расстоянии в математике, мы всегда упоминаем метрику, которая также называется функцией расстояния. Метрикой называется функция, которая определяет расстояние между каждой парой элементов во множестве, которое является коллекцией объектов и само рассматривается как объект. Множество, в котором определена метрика, называется метрическим пространством. Метрическое пространство — математический объект, в котором расстояние между двумя точками точно определено и имеет смысл. Множество, в котором такая функция не определена, не является метрическим пространством.
Метрика, как числовая функция, удовлетворяет минимальным требованиям к расстоянию, которое мы обычно представляем себе как длину перемещения между двумя точками
- две точки с нулевым расстоянием между ними считаются идентичными (аксиома тождества);
- расстояние между двумя точками в обоих направлениях одинаково (аксиома симметрии);
- расстояние между двумя точками всегда положительно;
- прямое расстояние между двумя точками всегда меньше, чем непрямое расстояние между ними (аксиома неравенства треугольника)
Знакомое нам евклидово пространство с метрикой в форме евклидова расстояния, которое мы изучали в средней школе — это один из примеров метрического пространства. Другими примерами является метрические пространства с метриками расстояния городских кварталов (манхэттенское расстояние, метрика такси), чебышёвского расстояния и расстояния Минковского. Есть даже такая экзотическая метрика как метрика SNCF (Национальная компания французских железных дорог), в которой, если нужно добраться на поезде из точки А в точку В, наиболее эффективным способом будет добраться из точки А до Парижа, а оттуда добраться до точки В.
Метрики расстояния широко используются в алгоритмах машинного обучения для улучшения процессов классификации и информационного поиска. Например, они помогают классифицировать и узнавать изображения в системах распознавания изображений. Эта статья была написана во время пандемии COVID-19 и поэтому мы можем даже сказать, что использование метрик расстояния в системах распознавания лиц помогает отслеживать распространение вируса, так как эта технология обеспечивает быстрый неконтактный метод идентификации лиц, которые известны как носители вируса COVID-19, а также людей, которые были с ними в контакте.
Отметим, что, хотя мы говорим о расстоянии, «расстояние» в этом контексте означает не только то, как далеко друг от друга находится объекты в пространстве. Метрика расстояния между объектами — это одна из основных вычислимых функций, используемых в программах машинного обучения. В приложениях машинного обучения часто необходимо определить как близко друг к другу находятся два объекта данных. Например, апельсин похож на яблоко, потому что он сферический. В то же время апельсин похож на баскетбольный мяч, потому что они оранжевые. Цвет и форма — характеристики объектов, их можно выразить в цифровом виде и различие между ними будет являться «расстоянием» между объектами.
Для надежного сравнения предметов нужно описать их математически, в виде чисел, и тогда мы превратим нашу задачу в набор объектов, различные характеристики которых будут описываться числами. Затем, чтобы определить насколько они похожи, мы определим «расстояние» между ними. В нашем случае мера расстояния — это численная оценка, которая описывает относительное различие между объектами в наборе.
В компьютерной науке расстояния между объектами множества можно определять с использованием любых количественных мер или переменных, например, высоты, возраста, веса или температуры. Годится любая переменная, которую можно измерить и выразить числом. Например, если имеется набор нескольких объектов с различными температурами, мы можем сказать, что «расстояние» между объектами с разницей температур в 1 °С меньше, чем расстояние между объектами с разницей температур 2 °С. Или можно рассмотреть объекты с различными температурами и весами и измерить «расстояния» между ними с использованием этих двух количественных переменных для каждого объекта в наборе. Конечно, в этом контексте можно рассматривать и реальные расстояния между объектами, выраженные в единицах длины.
Евклидово расстояние
«Нет царского пути в геометрии» — Евклид
Евклидово расстояние между двумя точками в двумерном и трехмерном пространстве представляет собой прямую линию, соединяющую две точки. Это очевидный способ представить расстояние между двумя точками. Поскольку в евклидовом пространстве имеется функция, определяющая евклидово расстояния в виде прямой линии, евклидово пространство считается метрическим. Это исторически первое метрическое пространство в математике. Позднее, с развитием математической и физической наук появились другие метрические пространства. Евклидово расстояние, называется также расстоянием L², так как это частный случай расстояния Минковского второго порядка, которое мы рассмотрим ниже.
Для определения расстояния в двумерном пространстве можно использовать теорему Пифагора. Для точек p и q с координатами (x₁, y₁) и (x₂, y₂) в двумерном пространстве (на плоскости) евклидово расстояние определяется по формуле
В трехмерном пространстве евклидово расстояние между двумя точками p и q с координатами (x₁, y₁, z₁) и (x₂, y₂, z₂) определяется как
Обобщая эту формулу для n-мерного евклидова пространства, получаем расстояние d(p,q) между двумя точками p = (p₁, p₂, …, pn) и q = (q₁, q₂, …, qn):
Конечно, трудно понять даже четырехмерное пространство, не говоря уже об n-мерном пространстве, потому что наши чувства слишком ограничены. Если, например, в трехмерном пространстве многогранник составляется из плоских многоугольников, то в четырехмерном пространстве политопы (многогранники в n-мерном пространстве) составляются из трехмерных многогранников. Например, «гиперграни» гиперповерхности четырехмерного куба, называемого тессерактом, представляют собой трехмерные кубы.
Интересно сравнить сечения двумерных, трехмерных и четырехмерных объектов. Если двумерный объект пересекает одномерная прямая, мы наблюдаем сечение, которое представляет собой отрезок этой линии. Если рассмотреть сечение плоскостью трехмерного объекта, например, куба, мы можем наблюдать один из нескольких многоугольников: треугольник, трапецию, пятиугольник и шестиугольник. Тип многоугольника зависит от количества пересекаемых поверхностей: если плоскость пересекает три поверхности куба, получается треугольник, если четыре — трапеция (помним, что квадрат и прямоугольник — частные случаи трапеции); пять пересекаемых граней куба дают пятиугольник и шесть — шестиугольник.
А что получится, если «разрезать» четырехмерный объект трехмерным объектом, например, если мы возьмем трехмерный куб и разрежем им четырехмерный куб, называемый тессерактом? Мы оставляем читателям возможность ответить на этот вопрос самостоятельно. Подсказка: при построении сечения четырехмерной сферы трехмерной сферой получается трехмерная сфера.
До начала XIX в. считалось, что единственным правильным способом определения расстояния является способ, которым пользовался Евклид. Однако в XIX веке математики начали исследовать другие версии геометрии, которые выглядели необычно. Конечно, в таких привычных областях техники как архитектура или геодезия без евклидовой геометрии не обойтись. В то же время, физики и математики поняли, что пришло время создания неевклидовых геометрий. Во многих случаях бывает удобно не применять евклидову геометрию и измерять расстояния иным образом.
Немецкий математик Герман Минковский ввел несколько других видов геометрии, основанных на различных методах измерения расстояния между точками пространства. Выступая перед делегатами съезда немецких естествоиспытателей и врачей в Кёльне, Минковский начал доклад ставшими знаменитыми словами, что «Отныне пространство само по себе и время само по себе должны сделаться всецело тенями и только особого рода их сочетание должно еще сохранить самостоятельность».
Ниже мы очень кратко рассмотрим несколько неевклидовых геометрий. Отметим, что мы не будем здесь затрагивать пространство-время Минковского и поговорим только о расстоянии Минковского.
Расстояние Чебышёва
«Нестрогие доказательства вредно действуют на умственные способности учеников, приучая их видеть там достаточную причину, где ее нет» — Пафнутий Чебышёв
Расстояние Чебышёва между двумя n-мерными точками или векторами — это максимальный модуль разности координат этих точек. Для прямоугольной системы координат расстояние Чебышёва между двумя точками можно определить как сумму абсолютных значений разностей их прямоугольных координат. Расстояние Чебышёва называется также максимальной метрикой и метрикой L∞. Метрика названа в честь русского математика Пафнутия Чебышёва, который известен работами по механике, статистике, аналитической геометрии и теории чисел.
Расстояние Чебышёва оценивает абсолютный максимум значения разности между координатами (или иными количественными свойствами) пары объектов. Расстояние Чебышёва между двумя точками p и q с координатами pi и qi равно
Например, рассмотрим две точки в трехмерном пространстве p (x₁,y₁,z₁) = p (2,3,4) и q (x₂,y₂,z₂) = q (5,9,11). Чебышёвское расстояние между этими точками p and q равно
Пример расстояния Чебышёва на шахматной доске
Расстояние Чебышёва называют также метрикой шахматной доски, так как минимальное число ходов, которое нужно сделать королю, чтобы перейти из одного поля в другое, равно расстоянию Чебышёва между центрами полей при условии, что поля шахматной доски имеют единичную длину стороны квадрата и координатные оси выровнены с краями шахматной доски. Это связано с тем, что король может делать ход на соседнее поле в любом направлении: влево, вправо, вверх, вниз и по диагонали. Отметим, что расстояние Чебышёва для ходов по диагонали равно расстоянию для ходов по вертикали и горизонтали. Например, расстояние Чебышёва для перемещения короля e4—g6 равно 2.
Расстояние Чебышёва также широко применяется в программировании промышленных роботов, если их манипуляторы могут с одинаковой скоростью двигаться в восьми направления вдоль осей y и y, а также по диагонали.
Манхэттенское расстояние
Вид Манхэттена на закате, снятый с обзорной площадки «Top of the Rock» небоскреба на Рокфеллер-плаза, 30 в среднем Манхэттене
Формула евклидова расстояния удобна для измерения теоретических расстояний. Однако в реальной жизни, например, в городе, в большинстве случаев невозможно двигаться от одной точки до другой по прямой. Заборы, здания, улицы не позволяют это сделать и приходится двигаться по улицам, которые часто бывают расположены в виде регулярной сетки. В городе удобнее пользоваться манхэттенским расстоянием, так как оно позволяет рассчитывать расстояние между двумя точками данных на регулярной координатной сетке, например, среди городских кварталов или на шахматной доске, где между двумя точками может быть много путей с одинаковым манхэттенским расстоянием. Оно называется манхэттенским, потому что большинство улиц на Манхэттене расположены в строгом порядке, за исключением, разве что, Бродвея, который появился до создания регулярной планировки улиц.
Сравнение манхэттенского и евклидова расстояний от обзорной площадки «Top of the Rock» до небоскреба на Лексингтон Авеню, 731. Отметим, что манхэттенское расстояние всегда больше расстояния по прямой или равно ему.
Манхэттенское расстояние известно также под названием «метрика такси», «расстояние городских кварталов». метрика L¹, расстояние L₁, метрика прямоугольного города и другими. Формула для манхэттенского расстояния между двумя точками p и q с координатами (x₁, y₁) и (x₂, y₂) имеет вид:
Обобщенная формула для манхэттенского расстояния в n-мерном векторном пространстве имеет вид:
Расстояние Минковского
«Ах, этот Эйнштейн, всегда пропускавший лекции, я бы никогда не поверил, что он способен на такое» — Герман Минковский
Расстояние Минковского между двумя точками в n-мерном пространстве — обобщение манхэттенского, евклидова и чебышёвского расстояний:
где λ — порядок метрики Минковского. Для различных значений λ расстояние Минковского рассчитывается тремя способами:
- λ = 1 — манхэттенское расстояние (метрика L¹)
- λ = 2 — евклидово расстояние (метрика L²)
- λ = ∞ — чебышёвское расстояние (метрика L∞)
Можно рассчитывать и с промежуточными значениями λ, например λ = 1,5, при которых получается нечто среднее между двумя метриками.