Как найти расстояние между хордами окружности найдите - Autoru.top

Сегмент круга

Вычисляет площадь, длину дуги, длину хорды, высоту и периметр сегмента круга. Описывается несколько вариантов расчета по параметрам сегмента — по углу, по хорде, по радиусу, по высоте и длине дуги.

Сегмент круга

Круговой сегмент — часть круга ограниченная дугой и секущей (хордой).

На рисунке:
L — длина дуги сегмента
c — хорда
R — радиус
a — угол сегмента
h — высота

Первый калькулятор рассчитывает параметры сегмента, если известен радиус и угол по следующим формулам:

Формулы вычисления параметров сегмента

Площадь сегмента:
[1]
Длина дуги:

Расстояние от центра окружности до хорды

Рассмотрим, как найти расстояние от центра окружности до хорды.

Расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую. Значит, расстояние от центра окружности до хорды равно длине перпендикуляра, проведённого из центра окружности к этой хорде.

Например, расстояние от точки O — центра окружности — до хорды AB равно длине перпендикуляра OF:

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найти расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB=24, CD=10, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 5.

Дано: окружность (O; R), AB и CD — хорды,

1) Соединим центр окружности с концами хорд.

2) Треугольники AOB и COD — равнобедренные с основаниями AB и CD (AO=BO=CO=DO как радиусы).

Значит, их высоты OF и OK являются также медианами. Следовательно,

3) Рассмотрим треугольник AOF, где ∠AFO=90 º.

4) Рассмотрим треугольник COK, где ∠CKO=90 º.

Расстояние между хордами окружности найдите

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Свойства хорд и дуг окружности

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема о бабочке

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Фигура	Рисунок	Определение и свойства
Окружность

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Круг

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Радиус

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Хорда

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Диаметр

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Касательная

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Секущая

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Круг

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Радиус

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Хорда

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Диаметр

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Касательная

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Секущая

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Свойства хорд и дуг окружности

Фигура	Рисунок	Свойство
Диаметр, перпендикулярный к хорде		Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хорды	Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хорды		Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружности	Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длины		Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дуги		У равных дуг равны и хорды.
Параллельные хорды		Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Диаметр, перпендикулярный к хорде

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хорды

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хорды

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружности

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длины

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дуги

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хорды

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Фигура	Рисунок	Теорема
Пересекающиеся хорды

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Пересекающиеся хорды

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Тогда справедливо равенство

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Сегмент круга

Круговой сегмент — часть круга ограниченная дугой и секущей (хордой).

На рисунке:
L — длина дуги сегмента
c — хорда
R — радиус
a — угол сегмента
h — высота

Первый калькулятор рассчитывает параметры сегмента, если известен радиус и угол по следующим формулам:

Формулы вычисления параметров сегмента

Площадь сегмента:
[1]
Длина дуги:

Расстояние от центра окружности до хорды

Рассмотрим, как найти расстояние от центра окружности до хорды.

Например, расстояние от точки O — центра окружности — до хорды AB равно длине перпендикуляра OF:

Дано: окружность (O; R), AB и CD — хорды,

1) Соединим центр окружности с концами хорд.

2) Треугольники AOB и COD — равнобедренные с основаниями AB и CD (AO=BO=CO=DO как радиусы).

Значит, их высоты OF и OK являются также медианами. Следовательно,

3) Рассмотрим треугольник AOF, где ∠AFO=90 º.

4) Рассмотрим треугольник COK, где ∠CKO=90 º.

источники:

Расстояние от центра окружности до хорды

http://b4.cooksy.ru/articles/rasstoyanie-mezhdu-hordami-okruzhnosti-naydite

Источник

Содержание:

Окружность:

Определение: Кривой второго порядка называется линия, описываемая уравнением

Замечание: Если коэффициенты

При определенных значениях параметров, входящих в это уравнение, оно дает канонические у равнения окружности, эллипса (не путать с овалом), гиперболы и параболы. Рассмотрим эти кривые второго порядка в указанной последовательности.

Определение: Окружностью называется геометрическое место точек равноудаленных от выделенной точки называемой центром окружности, на расстояние R, которое называется радиусом окружности.

Получим уравнение окружности (Рис. 27). Пусть точка М(х;у) лежит на окружности:

Рис. 27. Вывод уравнения окружности.

Из рисунка видно, что по теореме Пифагора которое определяет уравнение окружности (Рис. 28):

Рис. 28. Окружность.

Если то уравнение принимает вид который называется каноническим уравнением окружности.

Пример:

Составить уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой М (2; 1), прямая линия является касательной к окружности.

Решение:

Радиус окружности равен расстоянию от центра окружности точки М (2; 1) до прямой l, т.е.

В уравнении окружности таким образом оно имеет вид:

Пример:

Составить уравнение окружности, касающейся двух параллельных прямых причем одной из них в т. А (1; 2).

Решение:

Прежде всего определим, на какой из прямых или лежит точка A(1; 2). Для этого подставим ее координаты в уравнения прямых

следовательно, точка A(1; 2) принадлежит линии (в сокращенной форме это предложение пишут так: где значок означает “принадлежит”. Таким образом, диаметр окружности D равен расстоянию от точки A(1; 2) до прямой

а радиус окружности Найдём координаты центра окружности точки которая делит отрезок АВ пополам. Вначале составим уравнение прямой (АВ) и вычислим координаты точки перейдем от общего уравнения прямой к уравнению прямой с угловым коэффициентом Так как прямаято её угловой коэффициент Прямая (АВ) проходит через известную точку A(1;2), следовательно, Отсюда находим Таким образом,уравнение прямой (АВ):

Найдем координаты точки B, которая является пересечением прямых и (АВ), т.е. решим систему линейных алгебраических уравнений, составленную из уравнений прямых и (АВ): (В): Подставим выражение для переменной у из второго у равнения в первое, получим Подставив это значение во второе уравнение системы, найдем т.е.

Для вычисления координат точки О применим формулы деления отрезка пополам (О): в этой формуле (координаты точки О), (координаты точки А), (координаты точки В), следовательно, т.е. координаты точки О

Таким образом, уравнение искомой окружности имеет вид:

Окружность в высшей математике

Рассмотрим уравнение

которое получается из уравнения (I), если положить , .

Если в формулу, выражающую расстояние между двумя точками, подставить , , то получим Из уравнения (1) находим, что , т. е. . Это значит, что все точки , координаты которых удовлетворяют уравнению (1), находятся на расстоянии от начала координат. Следовательно, геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (1), есть окружность радиуса с центром в начале координат. Аналогично получаем, что уравнение определяет окружность радиуса с центром в точке .

Пример:

Найдем уравнение окружности с центром в точке и радиусом, равным 10.

Решение:

Полагая, получим .

Разрешим это уравнение относительно , будем иметь

Первое из этих уравнений есть уравнение верхней половины окружности, второе—нижней.

Центральный угол. Градусная мера дуги

Дуга окружности. Если отметить на окружности точки и , то окружность разделится на две дуги: большую дугу (мажорная дуга) и меньшую дугу (минорная дуга). Если точка является какой-либо точкой дуги , то . Если точки и являются концами диаметра, го каждая дуга является полуокружностью.

Центральный угол. Угол, вершина которого находится в центре окружности, называется центральным углом. Дугу окружности можно измерять в градусах. Градусная мера дуги равна градусной мере соответствующего центрального угла:

Сумма всех центральных углов окружности, не имеющих общую внутреннюю точку, равна

Дуги окружности и их величины

Пример: минорная дуга:

мажорная дуга:

Конгруэнтные дуги

В окружности конгруэнтным центральным углам соответствуют конгруэнтные дуги и наоборот.

Если

Длина дуги

Какую часть составляет центральный угол от всей окружности, такую же часть длина дуги составляет от длины всей окружности.

Длина дуги в равна части длины окружности.

Длина дуги, соответствующей центральному углу с градусной мерой , составляет части длины окружности:

Длина дуги выражается единицами измерения длины (мм, см, м, и т.д.)

Пример №1

Длина окружности равна 72 см. Найдите длину дуги, соответствующей центральному углу .

Решение:

Так как центральный угол составляет часть полного угла, то длина искомой дуги:

Пример №2

Найдите длину дуги, соответствующей центральному углу в окружности радиусом 15 см.

Решение: подставляя значения в формулу длины дуги находим:

Окружность и хорда

Теорема о конгруэнтных хордах

Теорема 1. Хорды, стягивающие конгруэнтные дуги окружности, конгруэнтны.

Обратная теорема 1. Дуги, стягиваемые конгруэнтными хордами окружности, конгруэнтны.

1)Если , то

2)Если

Доказательство теоремы 1:

Теорема о серединном перпендикуляре хорд

Теорема 2.

Диаметр, перпендикулярный хорде, делит хорду и соответствующую дугу пополам.

Если

Доказательство теоремы 2.

Дано: — центральный угол,

Докажите:

Начертите радиусы и окружности.

Следствие 1. Прямая, проходящая через центр окружности и перпендикулярная хорде, делит хорду и ее дугу пополам.

Следствие 2. Центр окружности расположен на серединном перпендикуляре хорды. Серединный перпендикуляр хорды проходит через центр окружности.

Пример: Найдите расстояние от центра до хорды длиной 30 единиц в окружности радиусом 17 единиц. Если , то . Из по теореме Пифагора имеем:

Теорема о хордах, находящихся на одинаковом расстоянии от центра окружности

Теорема 3.

Конгруэнтные хорды окружности находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности.

Если , то

Обратная теорема 3. Хорды, находящиеся на одинаковом расстоянии от центра окружности, конгруэнтны.

Доказательство теоремы 3

Дано: Окружность с центром

Докажите:

Доказательство (текстовое): Прямая, проходящая через центр окружности и перпендикулярная хорде, делит хорду и стягивающую ее дугу пополам. и — серединные перпендикуляры конгруэнтных хорд и . , так как они являются половиной конгруэнтных хорд. Начертим радиусы окружности и : . Прямоугольные треугольники, и конгруэнтны (по катету и гипотенузе). Так как и являются соответствующими сторонами данных треугольников, то они конгруэнтны: . Теорема доказана.

Задача. Хорды и находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности. . Если радиус окружности равен 41 единице, то найдите .

Решение: Так как хорды и находятся на одинаковом расстоянии от центра, то они конгруэнтны: Соединим точки и с точкой В прямоугольном треугольнике ; ; ;

Так как

Угол, вписанный в окружность

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется углом вписанным в окружность. Дуга, соответствующая углу, вписанному в окружность, называется дугой, на которую опирается этот угол.

является углом вписанным в окружность с центром , а дуга, на которую опирается этот угол. Ниже показаны три разных угла, вписанных в окружность.

Угол, вписанный в окружность:

Теорема 1. Градусная мера угла, вписанного в окружность, равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Доказательство (текстовое): и радиусы окружности и равнобедренный треугольник. Значит, Так как является внешним углом , Если примем, что , то Так как градусные меры центрального угла и опирающейся на него дуги равны, то Следовательно, .

Следствие 1. Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла.

Следствие 2. Угол, вписанный в окружность и опирающийся на диаметр (полуокружность), является прямым углом.

Конгруэнтные углы, вписанные в окружность

Следствие 3. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, конгруэнтны. , .

Следствие 4. Вписанные углы, опирающиеся на конгруэнтные дуги, конгруэнтны. Если , то .

Касательная к окружности

Касательная. Признак касательной

Прямая, имеющая одну общую точку с окружностью, называется касательной. Теорема 1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Прямая является касательной к окружности. Значит, Обратная теорема (признак касательной): Прямая, проходящая через точку окружности и перпендикулярная радиусу, проведенному в эту точку, является касательной окружности.

Прямая, касающаяся обеих окружностей, называется общей касательной этих окружностей. Окружности, касаясь друг друга изнутри или извне, могут иметь общую касательную в одной точке. Также окружности могут касаться одной касательной в разных точках.

Две окружности могут иметь несколько общих касательных или вообще не иметь общих касательных.

Доказательство теоремы 1. Если прямая — касательная к окружности, значит, она имеет единственную общую точку с окружностью. Допустим, что прямая не перпендикулярна радиусу Проведем и на прямой выделим отрезок Тогда так как Значит, точка также находится на окружности. То есть прямая имеет с окружностью две общие точки, что противоречит условию. Значит,

Свойства касательных, проведенных к окружности из одной точки

Теорема 2. Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, конгруэнтны, и центр окружности находится на биссектрисе угла, образованного касательными.

и касательные, проведенные из точки к окружности с центром

Углы, образованные секущими и касательными

Прямая, имеющая две общие точки с окружностью, называется секущей окружности.

Углы между двумя секущими

Вершина угла находится внутри окружности

Теорема. Если вершина угла, образованного двумя секущими, находится внутри окружности, то градусная мера угла равна полусумме величин дуг на которые опирается этот угол и угол вертикальный данному.

Углы между касательной и секущей

Вершина угла находится на окружности

Теорема. Если вершина угла, образованного касательной и секущей, находится на окружности, то градусная мера угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Углы, образованные касательной и секущей

Вершина угла находится вне окружности

Теорема 1.

Градусная мера угла, образованного секущей и касательной, двумя касательными, двумя секущими окружности (если вершина угла находится вне окружности), равна половине разности градусных мер дуг, находящихся между сторонами угла.

Отрезки секущих и касательных

Длина отрезков, секущих окружность

Теорема 1. При пересечении двух хорд, произведение отрезков одной хорды, полученных точкой пересечения, равно произведению отрезков второй хорды.

Теорема 2. Если из точки провести две прямые, пересекающие окружность соответственно в точках и , и то верно равенство

Теорема 3. Если из точки проведены прямая, которая пересекает окружность в точках и и касательная к окружности в точке то верно равенство:

Уравнение окружности

Используя формулу расстояния между двумя точками, можно написать уравнение окружности с радиусом и с центром в начале координат. Расстояние между центром окружности и ее любой точкой равно радиусу окружности.

Расстояние между двумя точками

Упрощение

Возведение обеих частей в квадрат

Уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом :

Например, уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом 2 имеет вид:

По формуле расстояния между центром окружности и точки на окружности радиуса имеем Возведя в квадрат обе части, получаем уравнение окружности с центром в точке и радиусом

Например, уравнение окружности с центром в точке и радиусом 4 имеет вид:

Пример №3

Постройте на координатной плоскости окружность, заданную уравнением

Решение: Напишем уравнение в виде Как видно,

Отметим 4 точки, находящиеся на расстоянии 5 единиц от начала координат. Например, Проведем окружность через эти точки.

Пример №4

Точка находится на окружности, центром которой является начало координат. Напишите уравнение этой окружности.

Решение: Записав координаты точки в уравнении , получим: Уравнение этой окружности:

Пример №5

Найдем центр и радиус окружности, заданной уравнением

Решение:

Центр окружности точка Радиус

Пример №6

Мобильные телефоны работают с помощью передачи сигналов посредством спутников из одной передающей станции в другую. Компания мобильного оператора старается расположить передающую станцию так, чтобы обслуживать больше пользователей. Представим, что три больших города находятся в точках На координатной плоскости 1 единица равна расстоянию в 100 км. Передающая станция должна быть расположена в точке, находящейся на одинаковом расстоянии от этих городов. Напишите координаты этой точки и уравнение соответствующей окружности.

Решение: Сначала соединим эти точки и найдем точку пересечения серединных перпендикуляров сторон полученного треугольника. Эта точка Эта точка, являясь центром окружности, показывает месторасположение станции. Расстояние между центром и любой из заданных точек является радиусом окружности,

Уравнение окружности:

Заметка. Определив линейные уравнения, соответствующие серединным перпендикулярам, можно найти координаты центра окружности решением системы уравнений.

Координаты точек, находящихся на окружности, и тригонометрические отношения

Если точка при повороте радиуса вокруг точки против движения часовой стрелки на угол преобразуется в точку то

Для координат точки соответствующей углу поворота на окружности, верны формулы В этих формулах — угол, отсчитываемый от положительной оси против движения часовой стрелки. Если точка не находится на оси ординат, то .

Синусы смежных углов равны, а косинусы взаимно противоположны.

Из этих формул при почленным делением получаем:

С помощью формул, приведенных выше, вычисление синуса, косинуса, тангенса для тупого угла можно свести к вычислению синуса, косинуса, тангенса острого угла, соответственно.

Сектор и сегмент

Сектор часть круга, ограниченная центральным углом, образованным двумя радиусами и соответствующей этому углу дугой. Площадь сектора, соответствующего центральному углу, составляет ту часть площади круга, которую составляет центральный угол от полного угла.

Например, часть круга, соответствующая центральному углу , составляет часть всего круга. Так как площадь круга , то площадь этого сектора будет Сегмент часть круга, ограниченная хордой и соответствующей дугой.

Площадь сектора

Площадь сектора:

Площадь сегмента:

Указание: При нахождении площади сегмента, соответствующего большей дуге, к площади соответствующего сектора прибавляется площадь

Эллипс
Гипербола
Парабола
Многогранник
Сфера в геометрии
Шар в геометрии
Правильные многогранники в геометрии
Многогранники

Источник

Сегмент круга

Круговой сегмент — часть круга ограниченная дугой и секущей (хордой).

На рисунке:
L — длина дуги сегмента
c — хорда
R — радиус
a — угол сегмента
h — высота

Первый калькулятор рассчитывает параметры сегмента, если известен радиус и угол по следующим формулам:

Формулы вычисления параметров сегмента

Площадь сегмента:
$S=frac{1}{2}R^2(alpha-sin{alpha})$ [1]
Длина дуги:

Длина хорды:
$c=2{R}{sin{frac{alpha}{2}}}$
Высота сегмента:
$h={R}left(1-{cos{frac{alpha}{2}}}right)$

Сегмент

Угол в градусах, образуемый радиусами сектора

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Однако, как справедливо заметил наш пользователь:«на практике часто случается, что как радиус дуги, так и угол неизвестны» (см. длина дуги ). Для этого случая для расчета площади сегмента и длины дуги можно использовать следующий калькулятор:

Параметры сегмента по хорде и высоте

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Калькулятор вычисляет радиус круга по длине хорды и высоте сегмента по следующей формуле:
$R=frac{h}{2}+frac{c^2}{8h}$

Далее, зная радиус и длину хорды, легко найти угол сегмента по формуле:
$alpha=2arcsin{ frac{c}{2R} }$
Остальные параметры сегмента вычисляются аналогично первому калькулятору, по формулам, приведенным в начале статьи.

Следующий калькулятор вычисляет площадь сегмента по высоте и радиусу:

Площадь сегмента круга по радиусу и высоте

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Этот калькулятор вычисляет угол из высоты и радиуса по следующей формуле:
$alpha=2arccosleft(1-frac{h}{R}right)$
далее используется формула [1] для получения площади.

15 вычислений по сегменту круга в одной программе

Последний калькулятор включает в себя все оставшиеся вычисления параметров кругового сегмента:

длина дуги
угол
хорда
высота
радиус
площадь

Выберите два известных аргумента и калькулятор выдаст вам все оставшиеся.

Круговой сегмент — все варианты расчета

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.

Источник

Рассмотрим, как найти расстояние от центра окружности до хорды.

Например, расстояние от точки O — центра окружности — до хорды AB равно длине перпендикуляра OF:

Задача.

Дано: окружность (O; R), AB и CD — хорды,

AB=24, CD=10, OF=5

Найти: OK

Решение:

1) Соединим центр окружности с концами хорд.

2) Треугольники AOB и COD — равнобедренные с основаниями AB и CD (AO=BO=CO=DO как радиусы).

Значит, их высоты OF и OK являются также медианами. Следовательно,

$[ {rm{AF = }}frac{1}{2}AB = 12,CK = frac{1}{2}CD = 5. ]$

3) Рассмотрим треугольник AOF, где ∠AFO=90 º.

По теореме Пифагора

$[A{O^2} = A{F^2} + O{F^2},]$

$[A{O^2} = {12^2} + {5^2} = 169,AO = 13 = R.]$

4) Рассмотрим треугольник COK, где ∠CKO=90 º.

По теореме Пифагора

$[O{K^2} = C{O^2} - C{K^2},]$

Ответ: 12.

Источник

Задача №368 из 1087
Условие задачи:

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды
CD, если AB=12, CD=16, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 8.

Решение задачи:

Проведем отрезки OB и OC, как показано на рисунке.
Расстоянием от точки до прямой является длила перпендикуляра, проведенного к прямой. Поэтому, OE перпендикулярен AB, а OF перпендикулярен CD. Точки E и F делят свои
хорды пополам (по
свойству хорды)
Получается, что треугольники OEB и OCF —
прямоугольные, EB=AB/2 и CF=CD/2.
По
теореме Пифагора:
OB²=OE²+EB²
OB²=8²+(12/2)²
OB²=64+36=100
OB=10
OB=OC=10 (т.к. OB и OC — радиусы окружности)
По
теореме Пифагора:
OC²=CF²+FO²
OC²=(CD/2)²+FO²
10²=(16/2)²+FO²
100=64+FO²
FO²=36
FO=6
Ответ: расстояние от центра окружности до хорды CD равно 6

Вы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложения на
странице ‘Про нас’

Другие задачи из этого раздела

Задача №079233

Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AB.
Точка K — середина стороны BC. Докажите, что AK — биссектриса
угла BAD.

Задача №822163

Площадь равнобедренного треугольника равна 1600√3. Угол, лежащий напротив основания, равен 120°. Найдите длину боковой стороны.

Задача №04B0F5

В треугольнике ABC BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=84 и BC=BM. Найдите AH.

Задача №8288D1

Основания трапеции относятся как 2:3. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. В каком отношении эта прямая делит площадь трапеции?

Задача №BF15E0

Биссектриса CM треугольника ABC делит сторону AB на отрезки AM=3 и MB=12. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке D. Найдите CD.

Источник

Сегмент круга

Формулы вычисления параметров сегмента

Расстояние от центра окружности до хорды

Расстояние между хордами окружности найдите

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Свойства хорд и дуг окружности

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема о бабочке

Сегмент круга

Формулы вычисления параметров сегмента

Расстояние от центра окружности до хорды

Окружность в высшей математике

Центральный угол. Градусная мера дуги

Дуги окружности и их величины

Конгруэнтные дуги

Длина дуги

Пример №1

Пример №2

Окружность и хорда

Теорема о серединном перпендикуляре хорд

Теорема о хордах, находящихся на одинаковом расстоянии от центра окружности

Угол, вписанный в окружность

Конгруэнтные углы, вписанные в окружность

Касательная к окружности

Свойства касательных, проведенных к окружности из одной точки

Углы, образованные секущими и касательными

Углы между касательной и секущей

Углы, образованные касательной и секущей

Отрезки секущих и касательных

Уравнение окружности

Пример №3

Пример №4

Пример №5

Пример №6

Сектор и сегмент

Площадь сектора

Формулы вычисления параметров сегмента

Сегмент

Параметры сегмента по хорде и высоте

Площадь сегмента круга по радиусу и высоте

15 вычислений по сегменту круга в одной программе

Круговой сегмент — все варианты расчета

Задача №368 из 1087Условие задачи:

Решение задачи:

Вы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложения на странице ‘Про нас’

Другие задачи из этого раздела

Задача №079233

Задача №822163

Задача №04B0F5

Задача №8288D1

Задача №BF15E0

Не пропустите также:

Задача №368 из 1087
Условие задачи:

Вы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложения на
странице ‘Про нас’