Как найти расходимость интеграла

Содержание:

1. Несобственный интеграл — Основные понятия и теоремы
2. Свойства несобственного интеграла
3. Несобственные интегралы
4. Интегралы с бесконечными пределами интегрирования (несобственные интегралы І типа)
5. Интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы II типа)

Несобственный интеграл — Основные понятия и теоремы

Пусть функция определена на промежутке и интегрируема на отрезке при любом . Если существует предел

(1.1)

то его называют несобственным интегралом от функции по промежутку и обозначают символом

(1.2)

Символ (1.2) также называется несобственным интегралом. Если предел (1.1) существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае — расходящимся.

Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом:

(1.3)

Интегралы (1.2) и (1.3) называются несобственными интегралами по неограниченному множеству.

Пусть функция определена на промежутке , интегрируема на отрезке при любом и не ограничена в левой полуокрестности точки . Тогда интеграл (1.4)

называют несобственным интегралом от неограниченной функции и по определению полагают

(1.5)

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Если предел (1.5) существует, то несобственный интеграл (1.4) называется сходящимся, в противном случае — расходящимся.

Аналогично определяется несобственный интеграл по промежутку .

Обозначим через один из символов и сформулируем определение несобственного интеграла в общем случае.

Пусть функция определена на промежутке и интегрируема на каждом отрезке. Если существует предел

(1.6)

то его называют несобственным интегралом от функции по промежутку и обозначают символом

(1.7)

Несобственный интеграл по промежутку , где — один из символов определяется аналогично. Далее все утверждения будем формулировать для промежутка . Они очевидным образом переносятся на интегралы по промежутку .

Несобственные интегралы возникают в задачах на геометрические приложения интегрального исчисления: при вычислении площадей неограниченных фигур; объемов тел и площадей поверхностей вращения, если вращающаяся фигура неограничена.

Пусть функция непрерывна и неотрицательна в промежутке . Рассмотрим фигуру

(1.8)

которую назовем неограниченной криволинейной трапецией.

Если несобственный интеграл сходится, то площадью фигуры называется число

(1.9)

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Объем тела, образованного вращением фигуры вокруг оси равен несобственному интегралу

(1.10)

Площадь поверхности, полученной вращением непрерывной кривой

вокруг оси , вычисляется по формуле

(1.11)

Формулы (1.10), (1.11), как и формула (1.9), применимы при условии сходимости соответствующих несобственных интегралов.

При решении геометрических задач используются и несобственные интегралы от неограниченных функций.

Свойства несобственного интеграла

1

2.

3. При любом

Свойства 1 и 2 называют линейными, а свойство 3 — аддитивностью.

Теорема 1.1 (о замене переменной в несобственном интеграле). Пусть выполнены следующие условия:

1) непрерывно дифференцируемая и строго монотонная функция отображает промежуток в промежуток , где и при

2) функция непрерывна в промежутке . Тогда интегралы

либо оба сходятся, либо оба расходятся. В случае сходимости справедливо равенство

(1.12)

Теорема 1.2 (об интегрировании по частям в несобственном интеграле). Пусть функции и непрерывно дифференцируемы на промежутке и существует .

Тогда интегралы

либо оба сходятся, либо оба расходятся. В случае сходимости справедливо равенство

(1.13)

где

Определенный интеграл считается неуместным, если выполнено хотя бы одно из следующих условий: Поля интеграции бесконечны. Например, бесконечный разрыв. Функция не ограничена вблизи некоторых точек области интегрирования.

Примеры с решением

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Пример 1.

Решение:

Вычислим несобственный интеграл по определению:

Следовательно, данный интеграл интеграл сходится.

Пример 2.

Решение: По определению несобственного интеграла с бесконечным верхним пределом имеем

Следовательно, данный интеграл интеграл расходится.

Пример 3.

Решение:

По определению несобственного интеграла с бесконечным нижним пределом имеем

Итак, интеграл сходится и равен 1.

Пример 4.

Решение:

Интеграл является несобственным, поскольку верхний предел бесконечен. Рассмотрим два случая.

1). Пусть Тогда по определению имеем

2). Пусть . Тогда Итак, интеграл сходится при и расходится при

Пример 5.

Решение:

Данный интеграл является несобственным, поскольку подынтегральная функция не определена в точке и . По определению несобственного интеграла от неограниченной функции имеем

Итак, данный интеграл сходится и равен

Пример 6.

Решение:

Подынтегральная функция не ограничена в правой полуокрестности нижнего предела. Поэтому данный интеграл — несобственный. Рассмотрим два случая.

1). Пусть . По определению несобственного интеграла от неограниченной функции имеем

2). Пусть . Тогда

Итак, интеграл сходится при и расходится при

Пример 7.

Решение:

Применим к данному интегралу формулу интегрирования по частям: Пример 1.8.

Данный интеграл является несобственным, поскольку

подынтегральная функция не определена в точке

и . Воспользуемся формулой замены переменной в несобственном интеграле. Положим . Имеем

Заметим, что в результате замены переменной несобственный интеграл преобразовался в определенный интеграл от непрерывной функции по отрезку.

Пример 8.

Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции и прямой .

Решение:

Функция непрерывна и неотрицательна в промежутке . Поэтому заданная фигура является неограниченной криволинейной трапецией вида (1.8). Площадь фигуры находится по формуле (1.9):

Для вычисления интеграла применим формулу (1.13) интегрирования по частям. Положим Тогда . Функции и непрерывно дифференцируемы в промежутке и существует

По формуле (1.13) имеем

Пример 9.

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной графиком функции

и прямыми

Решение: Функция непрерывна, неотрицательна в промежутке (1,2] и не ограничена на нем, так как . Поэтому объем тела вращения выражается через несобственный интеграл:

Итак,

Несобственные интегралы

Понятие «несобственные интегралы» связано с нарушением условий теоремы 23.1 о существовании определенного интеграла. В зависимости от того, какая именно условие существования нарушена, рассматривают несобственные интегралы I и II типов.

Различают следующие случаи:

1) вместо конечного отрезка рассматриваются бесконечные пол интервалы или интервал
2) вместо подынтегральной функции, которая является непрерывной или ограниченной на отрезке интегрирования и имеет конечное число точек разрыва первого рода, рассматривают функцию, имеет на этом отрезке бесконечный разрыв, то есть разрыв второго рода.

Интегралы с бесконечными пределами интегрирования (несобственные интегралы І типа)

Пусть функция определена и непрерывна на промежутке Тогда согласно теореме 23.1 она интегрируема на любом отрезке где — произвольное действительное число, большее Итак, существует определенный интеграл от этой функции  на отрезке

 где 

то есть является первоначальной для подынтегральной функции

Несобственным интегралом I типа функции на промежутке называется предел определенного интеграла при условии, что верхняя граница интегрирования стремится к плюс бесконечности, то есть

Если граница конечна, то несобственный интеграл I типа называется сходящимся, или говорят, что он совпадает. Если граница в соотношении (25.1) является бесконечной или вовсе не существует, то несобственный интеграл I типа называется расходящимся, то есть разбегается.

С учетом формулы Ньютона-Лейбница соотношение (25.1) можно записать так:

где применяется обозначения: 

Аналогично определяется несобственный интеграл I типа для случая, когда вместо отрезка интегрирования рассматривается интервал с бесконечной нижней границей.

Пусть функция определена и непрерывна на промежутке тогда для любого действительного существует определенный интеграл:

Несобственным интегралом I типа функции на промежутке называется предел определенного интеграла при условии, что нижняя граница интегрирования стремится к минус бесконечности, то есть

где применяется обозначение 

Пусть функция определена и непрерывна на промежутке Тогда представим интеграл на этом промежутке как сумму двух несобственных интегралов на промежутках и

Если в соотношении (25.4) обе границы существуют, то несобственный интеграл I типа с бесконечными пределами совпадает.

С учетом формулы Ньютона-Лейбница несобственный интеграл на промежутке определяется соотношением:

Общий порядок нахождения несобственного интеграла I типа состоит из двух шагов:

1) вычисляем определенный интеграл от на где — переменная нижняя граница интегрирования ( — переменная верхний предел интегрирования)
2) находим границу определенного интеграла при

Под исследованием несобственных интегралов на сходимость понимают установления факта его сходимости или разногласия. Для этого во многих случаях бывает достаточна не вычислять самый интеграл (а он может быть таким, что и «не берется»), а сравнить его с несобственным интегралом, сходимость (или расхождение) которого известна.

Приведем признаки сравнения несобственных интегралов (которые примем без доказательства).

Теорема 25.1. Если функции и для всех связанные соотношением и несобственный интеграл совпадает, то совпадает и несобственный интеграл при этом 

Теорема 25.2. Если функции и для всех связанные соотношением и несобственный интеграл расходится, то расходится и несобственный интеграл

Несобственный интеграл от функции сходимость или расхождение которого известна заранее, называется эталонным интегралом, а — эталонной функцией.

В предыдущих теоремах рассматривались несобственные интегралы от неотъемлемых функций. Для знакопеременной функции на бесконечном промежутке справедлива следующая теорема.

Теорема 25.3. Если несобственный интеграл от модуля заданной функции совпадает, то совпадает и интеграл от самой функции

В этом случае несобственный интеграл от на называется абсолютно сходящимся.

Рассмотрим некоторые примеры несобственных интегралов I типа. Одним из таких интегралов является интеграл Эйлера-Пуассона:

Этот интеграл нельзя представить в виде конечного числа элементарных функций, поэтому по общему алгоритму проблему вычисления интеграла Эйлера — Пуассона решить невозможно. Докажем, что этот интеграл совпадает, применив теорему 25.1.

Как эталонную функцию выберем функцию φ () x e x = -. Учтем также парность подынтегральной функции Как эталонную функцию выберем функцию φ () x e x = -. Учтем также парность подынтегральной функции (рис. 25.1):

Рис. 25.1

Сравним функции и Обе функции положительные на числовой оси, и для выполняется неравенство тогда относительно функций и имеет место соотношение:

Следовательно, применить теорему 25.1 можно только на промежутке
Исследуем на сходимость интеграл от эталонной функции на

Эталонный интеграл совпадает на промежутке тогда по признаку сравнения сходится есть интеграл Поскольку несобственный интеграл  отличается от несобственного интеграла  постоянной, равной площади криволинейной трапеции для то интеграл Эйлера-Пуассона тоже является сходящимся.

В главе 26 будет доказано, что:

При исследовании вопроса о сходимости несобственных интегралов I типа часто в роли эталонного интеграла принимают интеграл вида:

Свойства этого интеграла зависят от значений параметра

Интеграл (25.8) при разбегается:

Следовательно, несобственный интеграл от степенной функции совпадает, если и расходится, если

Исследовать на сходимость несобственный интеграл I типа:

По определению:

Мы доказали, что несобственный интеграл совпадает, поскольку соответствующая граница равна конечном числу.

Исследовать на сходимость несобственный интеграл I типа: 

По определению имеем: 

Эта граница не существует, поскольку не существует следовательно, заданный несобственный интеграл расходится.

Исследовать на сходимость несобственный интеграл I типа: 

По определению: 

то есть данный интеграл расходится.

Интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы II типа)

Пусть на имеет конечное число точек разрыва второго рода. Это означает, что хотя бы одна из односторонних пределов функции в этих точках равна бесконечности, то есть при приближении к точкам разрыва функция неограниченно приходит или растет. Такие точки называются особыми точками функции. На рис. 25.2 приведены примеры расположения особых точек c на отрезке Так, особой точкой может быть как левый, так и правый конец отрезка, а также любая внутренняя точка. В геометрическом смысле прямая является вертикальной асимптотой графика функции

Рис. 25.2

Выберем некоторое положительное число и рассмотрим, соответственно, отрезки (рис. 25.2 а, б и в), на которых подынтегральная функция ограничена и непрерывная, следовательно, существует определенный интеграл от этой функции.

Несобственным интегралом II типа от функции на промежутке  где при функция имеет разрыв второго рода, называется предел определенного интеграла на промежутке при условии, что стремится к нулю:

Аналогично определяют несобственные интегралы II типа для случая, когда особой точкой является верхняя граница отрезка интегрирования:

а также для случая, когда особая точка является внутренней точкой отрезка интегрирования:

Несобственный интеграл II типа называется сходящимся, если существуют конечные границы в правых частях формул (25.10) — (25.12). В противном случае их называют расходящимися.

Порядок исчисления несобственных интегралов II типа принципиально ничем не отличается от порядка определения несобственных интегралов I типа: вычисляют определенный интеграл на конечном отрезке и находят его границу при условии, что или Если для подынтегральной функции не существует первоначальная в виде конечной суммы элементарных функций, то для исследования несобственных интегралов II типа на сходимость применяются признаки сравнения их с эталонными интегралами, то есть такими, о которых заранее известно, совпадают они или разбегаются. Часто в качестве эталонных берут несобственные интегралы от степенных функций:

 и его обобщения: 

где 

Для первого и второго эталонных интегралов особой точкой является нижняя граница отрезка интегрирования, а для третьего — верхний предел.

Проведем исследование на сходимость первого интеграла с (25.13):

Если то

Следовательно, несобственный интеграл II типа совпадает при и расходится при

Определим, совпадает ли несобственный интеграл

Его подынтегральная функция имеет разрыв второго рода в точке то есть ее особой точкой является верхняя граница отрезка интегрирования. По определению имеем:

Заданный интеграл совпадает, потому соответствующая граница равна конечном числу.

Исследуем на сходимость несобственный интеграл 

Подынтегральная функция непрерывна на промежутке по исключением точки в которой знаменатель равен нулю, следовательно, в окрестности этой точки функция не ограничена, поэтому интеграл записываем в таком виде:

Если каждый интеграл в правой части совпадает, то выходной интеграл тоже будет совпадать.

Рассмотрим первый интеграл:

Поскольку первый интеграл расходится, то нет необходимости вычислять второй. Окончательно делаем вывод, что заданный несобственный интеграл расходится.

Сегодня я подготовил для вас подробную статью о несобственных интегралах. 

Определенные интегралы , для которых отрезок [a; b] конечен, а функция f(x) – непрерывна на этом отрезке, называют собственными.

С целью обобщения понятия интеграла рассмотрим:

1) определенные интегралы от непрерывных функций, но с бесконечными пределами интегрирования;
2) определенные интегралы с конечными пределами интегрирования, но от функций, имеющих бесконечный разрыв на промежутке интегрирования. Такие определенные интегралы называют несобственными.

1. Интегралы с бесконечными пределами.

Пусть функция  f(x) определена на промежутке [a; +∞) и пусть f(x) интегрирована на любом отрезке [a; b]  (b> a– произвольные действительные числа).

Определение 1.1. Предел  интеграла при b→+∞  называется несобственными интегралом функции f(x) от а до +∞ и обозначается символом: 

Если предел (1.1) есть конечное число, то несобственный интеграл   называют сходящимся. Если предел (1.1) не существует или равен бесконечности, то несобственный  интеграл называют расходящимся.

Пример 1.1. Исследовать на сходимость интеграл

Решение. Вычислим определенный интеграл

Имеем

Следовательно, заданный интеграл сходится и он равен

Из рассмотренного следует, что вопрос о сходимости (расходимости) несобственных интегралов решается с помощью первоначальной функции для подынтегральной функции. Это обстоятельство сильно сужает круг практического использования понятия несобственного интеграла. В отдельных случаях вопрос о сходимости (расхождении) несобственного интеграла можно решить, не находя первообразной для подынтегральной функции. При этом пользуются так называемыми признаками сходимости несобственных интегралов. Простейшим признаком сходимости является признак сравнения.

Теорема 1.1. Пусть для всех x ≥ a функции f(x) и g(x) определены и выполняются неравенства 0 ≤ f(x) ≤ g(x). Тогда:

Для функции f(x), непрерывной на бесконечном промежутке -∞ < x ≤ b, определяется несобственный интеграл 

Для функции f(x), непрерывной на всей числовой оси, несобственный интеграл  определяется равенством:

где с – произвольное действительное число. 

2. Интегралы от неограниченных функций.

Пусть функция f(x) такая, что для произвольного малого ɛ>0  она определена, ограничена и интегрирована на отрезке [a+ɛ; b] и неограниченна на (a; b].

Определение 1.2. Предел определенного интеграла  при ɛ→0  называется несобственным интегралом функции f(x) на отрезке [a; b]  и обозначается символом

Аналогично для функции f(x), определенной, непрерывной и интегрированной на отрезке [a; b- ɛ] и неограниченной на [a; b) обозначается несобственный интеграл:

Если пределы (1.4), (1.5) есть конечные числа, то несобственные интегралы называются сходящимися, а если эти пределы не существуют, то несобственные интегралы называются расходящимися.

В конце отметим, что для функции f(x), которая имеет на промежутке (a; b) точку с, в окрестности которой f(x) неограниченная, но является ограниченной и интегрированной на каждом из отрезков [a; c- ɛ] и [ñ + ɛ; b], интеграл определяется равенством.

Аналогично обозначается несобственный интеграл на отрезке [a; b] от функции, которая непрерывна на нем всюду, кроме конечного числа точек, и неограниченной вблизи этих точек.

Пример 1.2.Исследовать сходимость интегралов. Для сходящихся интегралов найти их значение:

Решение.

а) функция  
 
ограничена и непрерывна, а потому и интегрируемая. Предельное значение

существует; таким образом,

ограничена и непрерывна, но

 расходится.

Пример 1.3. Исследовать сходимость интегралов. Для сходящихся интегралов найти их значение

Решение.

если α > 0, интеграл сходится; если α ≤ 0, то интеграл расходится;

если α > 1; если 0 < α ≤ 1, интеграл расходится как и при α = 1:

так и при 0 < α < 1:

Пример 1.4. Найти несобственный интеграл

Решение. Функция  непрерывна при 0 ≤ x < 2 и имеет бесконечный разрыв в точке x=2, поэтому имеем

Поэтому данный интеграл сходится и равен 2√2.

Пример 1.5. Исследовать сходимость интегралы. Для сходящихся интегралов найти их значение:

Решение.

то есть, несобственный интеграл  расходится

то есть, несобственный интеграл I₂ сходится и равен .

Пример 1.5. Исследовать на сходимость интегралы:

Решение.

Если у Вас есть ко мне вопросы, или нужна помощь, консультация по решению несобственных интегралов, записывайтесь на мои занятия. Буду рад Вам помочь. 

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

12.
Несобственные интегралы.

При
рассмотрении определённых интегралов
мы предполагали, что область интегрирования
ограничена (более конкретно, является
отрезком

); для существования определённого
интеграла

необходима ограниченность подынтегральной
функции на
.
Будем называть определённые интегралы,
для которых выполняются оба эти условия
(ограниченность и области интегрирования,
и подынтегральной функции) собственными;
интегралы, для которых нарушаются эти
требования (т.е. неограничена либо
подынтегральная функция, либо область
интегрирования, либо и то, и другое
вместе) несобственными.
В этом разделе мы изучим несобственные
интегралы.

12.1. Несобственные интегралы по
неограниченному промежутку

(несобственные интегралы первого рода).

12.1.1.
Определение несобственного интеграла
по бесконечному промежутку.
Пусть функция

определена на полуоси

и интегрируема по любому отрезку
,
принадлежащему этой полуоси. Предел
интеграла

при

называется несобственным интегралом
функции

от

до

и обозначается
.

Итак,
по определению,
.
Если этот предел существует и конечен,
интеграл

называется сходящимся; если предел не
существует или бесконечен, интеграл
называется расходящимся.

Примеры:
1.
;
этот предел не существует; следовательно,
исследуемый интеграл расходится.

2.;

следовательно,
интеграл сходится и равен
.

Аналогично
интегралу с бесконечным верхним пределом
интегрирования определяется интеграл
в пределах от

до
:

и
в пределах от

до
:

.
В последнем случае

определена на всей числовой оси,
интегрируема по любому отрезку;

— произвольная (собственная) точка
числовой оси; интеграл называется
сходящимся, если существуют и конечны
оба входящих в определение предела.
Пользуясь свойством аддитивности
определённого интеграла, можно показать,
что существование конечных пределов и
их сумма не зависят от выбора точки
.
Примеры:

3.

.
Интеграл сходится.

4.

следовательно,
интеграл сходится и равен
.

Очевидно
следующее утверждение, которое мы
сформулируем для интеграла с бесконечным
верхним пределом:

сходится тогда и только тогда, когда
для любого
,
удовлетворяющего неравенству
,
сходится интеграл

(док-во: так как при

по свойству аддитивности
,
и

от
не
зависит, то конечный предел при

для интеграла в левой части существует
тогда и только тогда, когда существует
конечный предел для интеграла в правой
части равенства).

12.1.2.
Формула Ньютона-Лейбница для несобственного
интеграла.
В приведённых примерах мы сначала
вычисляли с помощью первообразной
функции определённый интеграл по
конечному промежутку, а затем выполняли
предельный переход. Объединим два этих
действия в одной формуле. Символом

будем обозначать
;
символом

— соответственно,
;
тогда можно записать
,

,

,
подразумевая в каждом из этих случаев
существование и конечность соответствующих
пределов. Теперь решения примеров
выглядят более просто:

— интеграл сходится;

— интеграл расходится.

Для
несобственных интегралов применимы
формулы интегрирования по частям и
замены переменной:
;
при замене переменной несобственный
интеграл может преобразовываться в
собственный. Так, например, вычислим
интеграл:
.
Пусть

,

;
если
,
то
;
если

то
;

Поэтому

(это уже собственный интеграл) =
.

12.1.3.
Признаки сравнения для неотрицательных
функций. В
этом разделе мы будем предполагать, что
все подынтегральные функции неотрицательны
на всей области определения. До сих пор
мы определяли сходимость интеграла,
вычисляя его: если существует конечный
предел первообразной при соответствующем
стремлении (
или
),
то интеграл сходится, в противном случае
— расходится. При решении практических
задач, однако, важно в первую очередь
установить сам факт сходимости, и только
затем вычислять интеграл (к тому же
первообразная в практических задачах
часто не выражается через элементарные
функции). Сформулируем и докажем ряд
теорем, которые позволяют устанавливать
сходимость и расходимость несобственных
интегралов от неотрицательных функций,
не вычисляя их.

12.1.3.1.
Признак сравнения.
Пусть функции

и

интегрируемы по любому отрезку

и при

удовлетворяют неравенствам
.
Тогда:

если
сходится интеграл
,
то сходится интеграл
;

если
расходится интеграл
,
то расходится интеграл

(эти
утверждения имеют простой смысл: если
сходится интеграл от большей функции,
то сходится интеграл от меньшей функции;
если расходится интеграл от меньшей
функции, то расходится интеграл от
большей функции; в случаях, когда сходится
интеграл от меньшей функции или расходится
интеграл от большей функции, никаких
выводов о сходимости второго интеграла
сделать нельзя).

Док-во:
если
,

,
то функции

и

— монотонно возрастающие функции верхнего
предела
(следствие
свойств аддитивности и интегрирования
неравенств). Монотонно возрастающая
функция имеет конечный предел тогда и
только тогда, когда она ограничена
сверху. Пусть

сходится.

ограничена

,

ограничена, т.е.

сходится. Пусть

расходится

неограничена

неограничена, т.е.

расходится.

Примеры:
Исследовать на сходимость интегралы
5.
.
Функция

не имеет первообразной, выражающейся
через элементарные функции, поэтому
исследовать сходимость с помощью
предельного перехода невозможно. При

имеет место
;
интеграл

сходится

сходится

сходится.

6.

.
При

;
интеграл

расходится

расходится

расходится.

В
качестве «стандартного» интеграла,
с которым сравнивается данный, обычно
берётся интеграл типа
,
часто называемый интегралом Дирихле.
Этот интеграл сходится, если
,
и расходится, если
:

Примеры:

7.

.
На всём промежутке интегрирования
;
интеграл

сходится (),
поэтому исходный интеграл сходится;

8.

. Здесь

при
,

расходится (),поэтому
исходный интеграл расходится;

9.

.
Здесь сравнить подынтегральную функцию
с какой-либо степенью

невозможно, так как числитель —
неограниченная функция, поэтому
рассуждаем по-другому. При

— бесконечно большая низшего порядка
по сравнению с любой положительной
степенью
,
поэтому

ограниченная функция, поэтому
,
интеграл от большей функции сходится,
следовательно, исходный интеграл тоже
сходится;

10.

.
На всём промежутке интегрирования

(отбросив бесконечно большие низших
порядков в числителе и знаменателе, мы
увеличили числитель и уменьшили
знаменатель); интеграл

сходится, поэтому исходный интеграл
сходится.

Теперь
рассмотрим
.
Понятно, что бесконечно большие низших
порядков в числителе и знаменателе не
влияют на сходимость интеграла; в то же
время, отбросив их, мы уменьшим
подынтегральную функцию, а из сходимости
интеграла от меньшей функции не следует
сходимость интеграла от большей функции.
Можно рассуждать так: при достаточно
больших

выполняются неравенства
,
поэтому

и т.д., однако при решении таких задач
проще применить другой признак сравнения
— предельный.

12.1.3.2.
Признак сравнения в предельной форме.
Пусть неотрицательные функции

и

интегрируемы по любому отрезку

и пусть существует конечный
.
Тогда несобственные интегралы

и

сходятся или расходятся одновременно.

Док-во.
Так как функции неотрицательны, то
.
По определению предела для

существует такое значение
,
что при

выполняется
.
Дальше рассуждения простые: пусть
;
если сходится
,
то сходится
,
тогда, по теореме сравнения, сходится

сходится

сходится. Если расходится
,
то расходится
,
тогда, по теореме сравнения, расходится

расходится

расходится. Случаи, когда сходится или
расходится
,
рассмотреть самостоятельно.

Сравнение
интеграла

со «стандартным» интегралом

в предельной форме позволяет сформулировать
такое правило: если при

неотрицательная функция

— бесконечно малая порядка малости выше
первого по сравнению с
,
то

сходится; если

не является бесконечно малой или имеет
порядок малости единица или ниже, то
интеграл расходится. Примеры:

11.

.
При

эквивалентна функции
,
поэтому интеграл сходится.

12.

.
При

эквивалентна
функции
,
поэтому интеграл расходится.

13.

.
При

эквивалентна
функции
,
поэтому интеграл расходится.

14.

.
При

эквивалентна
функции
,
поэтому интеграл расходится.

12.1.4.
Абсолютная сходимость несобственных
интегралов по бесконечному промежутку.
В предыдущем разделе рассматривались
интегралы от знакоположительных
(знакопостоянных) функций; мы убедились,
что для таких несобственных интегралов
существуют хорошие методы исследования
их сходимости. Естественен вопрос:
нельзя ли свести исследование интеграла
от произвольной функции

к исследованию интеграла от положительной
функции
?
Можно показать, что если сходится
интеграл
,
то обязательно сходится интеграл

(идея доказательства: разобьем отрезок

на два множества,

и
,
т.е. к первому множеству отнесены точки,
в которых функция неотрицательна, ко
второму — в которых функция отрицательна.
Тогда
,

.
В последней сумме оба слагаемые —
монотонно возрастающие с ростом
,
ограниченные сверху, следовательно,
имеющие конечный предел при
.
Отсюда следует, что имеет конечный
предел и предыдущая сумма). Обратное
утверждение неверно, т.е. при сходимости
интеграла

интеграл

может расходиться. Введём важное понятие
абсолютной сходимости.

Опр.
12.1.4. Если
сходится интеграл
,
то интеграл

называется сходящимся абсолютно. Если
сходится интеграл
,
а интеграл

расходится, то интеграл

называется сходящимся условно.

Примеры
исследования интегралов на абсолютную
сходимость:

15.

.

;
интеграл от большей функции сходится,
следовательно,

сходится, следовательно, исходный
интеграл сходится абсолютно.

16.

.

,
первый множитель,
,
стремится к нулю при
,
следовательно, ограничен:
,
интеграл от последней функции сходится,
следовательно, исходный интеграл
сходится абсолютно.

Приведённые
примеры показывают, что переход от

к

и применение к последнему интегралу
методов исследования на сходимость
несобственных интегралов от неотрицательных
функций, в случае его сходимости,
позволяет сделать вывод и о сходимости
(притом, абсолютной) исходного интеграла.
Если же интеграл от

расходится, решение задач значительно
усложняется. Пример: исследовать на
сходимость интеграл
.

1.
Докажем, что этот интеграл сходится.
Интегрируем его по частям:
.

Для
последнего интеграла
,
т.е. он сходится абсолютно, следовательно,
исходный интеграл сходится.

2.
Докажем, что для исходного интеграла
абсолютной сходимости нет, т.е. что

расходится. Так как
,
то
,
для последнего
интеграла, по доказанному выше, существует
конечный предел при
,
для предыдущего — нет, следовательно,

расходится.

Вывод
— исходный интеграл сходится условно.

Установить
условную сходимость несобственного
интеграла по бесконечному промежутку
при отсутствии абсолютной сходимости
позволяют два следующих признака:

признак
сходимости Абеля:
пусть функции

и

определены в промежутке
,
причём 1.

интегрируема в этом промежутке, т.е.
интеграл

сходится (условно или абсолютно);

2.

монотонна и ограничена:
.

Тогда
интеграл

сходится.

признак
сходимости Дирихле:
1. пусть функция

интегрируема в любом конечном промежутке

,
и интеграл по этому промежутку ограничен
(как функция верхнего предела
):

;

2.

монотонно стремится к нулю при
:

.

Тогда
интеграл

сходится.

Применим,
например, признак Дирихле к
.
Здесь
,

,
условия признака выполнены, поэтому
интеграл сходится условно.

12.2. Несобственные интегралы от
неограниченных функций

(несобственные интегралы второго рода).

12.2.1.
Определение несобственного интеграла
от неограниченной функции.

12.2.1.1.
Особенность на левом конце промежутка
интегрирования.
Пусть функция

определена на полуинтервале
,
интегрируема по любому отрезку
,
и имеет бесконечный предел при
.
Несобственным интегралом от

по отрезку

называется предел
.
Если этот предел конечен, говорят, что
интеграл сходится; если предел не
существует или бесконечен, говорят, что
интеграл расходится. Примеры:

Соседние файлы в папке Лекции

• #
• #
• #
• #