Как найти радиус сходимости ряда тейлора

Определение

Степенным рядом называется функциональный
ряд

,
элементы которого произведения постоянных

на степенные функции с целыми
показателями степеней от разности

—
коэффициенты степенного ряда (обычно
действительные функции).

В частности, если

,то
мы будем иметь степенной ряд, расположенный
по степеням x

В дальнейшем рассматриваем именно такие
ряды (замена

)

Для удобства n-м элементом
степенного ряда называют элемент

(хотя он стоит на n+1 месте).
Свободный элемент

считается
нулевым элементом ряда.

Рассмотрим ряд

(*)

и докажем очень важную теорему, на
которой будет основано изучение таких
рядов.

Теорема Абеля

Если степенной ряд (*) сходится в точке

,
то он сходится и притом абсолютно, в
интервале

,
т. е. при всяком x ,
удовлетворяющем условию

.

Доказательство:

Заметим, что вследствие сходимости ряда

его
общий элемент

.
Поэтому все элементы этого ряда ограничены
в совокупности, т.е. существует М>0,
такое, что при всяком n

.
Запишем ряд (*) так

и составим ряд их абсолютных величин
элементов этого ряда:

В силу установленного неравенства
каждый элемент здесь меньше соответствующего
элемента геометрической прогрессии со
знаменателем

:

Если

,
то

и прогрессия сходится, поэтому сходится
ряд из абсолютных величин, а значит,
абсолютно сходится сам ряд (*). Теорема
доказана.

Несмотря на то, что

нельзя сразу воспользоваться признаком
сравнения, поскольку в условиях теоремы
не сказано, что ряд в самой точке

сходится абсолютно.

Следствие

Если степенной ряд (*) расходится при

, то он расходится и при всяком х,
большем по абсолютной величине

,
то есть при

Область сходимости степенного ряда

Здесь возможны три случая:

Область сходимости состоит только из
одной точки х=0, то есть ряд расходится
для всех значений х, кроме х=0.
Пример

Если х фиксировано и х не равно
0,то, начиная с достаточно большого n,
будет

,
откуда вытекает неравенство
,
означающее, что общий элемент ряда не
стремится к нулю.

Область сходимости состоит из всех
точек оси ОХ, то есть ряд сходится
при всех значениях х. Пример

Для любого х, начиная с достаточно
большого n, будет

,
так как

и т.д.

Начиная с номера n,
элементы ряда по абсолютной величине
будут меньше элементов сходящейся
геометрической прогрессии. Следовательно,
при любом х ряд сходится.

Область сходимости состоит более чем
из одной точки оси ОХ, причем есть
точки оси, не принадлежащие области
сходимости. Пример

Это геометрическая прогрессия со
знаменателем х. Ряд сходится при
|x|<1 и расходится
при

.

В этом случае на числовой оси наряду с
точками сходимости ряда имеются и точки
его расходимости.

Из теоремы Абеля и ее следствия вытекает,
что все точки сходимости расположены
от начала координат не дальше, чем любая
из точек расходимости. Точки сходимости
будут целиком заполнять некоторый
интервал с центром в начале координат.

Таким образом

Для каждого степенного ряда, имеющего
как точки сходимости , так и точки
расходимости, существует такое
положительное число R,
что для всех х по модулю меньшим R
(
),
ряд абсолютно сходится, а для всех |x|>R
ряд расходится. При x=R
и x=-R различные
варианты:

А) ряд сходится в обеих точках.

Б) ряд сходится в одной из точек.

В) ряд расходится в обеих точках.

Определение

Радиусом сходимости степенного ряда
(*) называется такое число R,
что для любых х, |x|<R,
степенной ряд сходится, а для всех х,
|x|>R,
расходится. Интервал (-R,R)
называется интервалом сходимости.

Считаем, что если ряд расходится для
любого х, кроме х=0, R=0.

Если ряд сходится при всех х, то
считаем

или

.

Для ряда

центр интервала сходимости в точке

( а не х=0) и интервал сходимости

.

Способ отыскания радиуса сходимости
степенного ряда

Отметим, что для нахождения радиуса
сходимости можно исследовать ряд,
составленный из абсолютных величин
элементов исходного ряда, то есть

(**) так как интервалы сходимости ряда
(*) и ряда (**) совпадают. К ряду (**) применим
признак Даламбера.

будет
содержать |x| или
степень |x|

Для тех значений х, при которых
получаемый предел меньше 1, ряд сходится,
а для тех, при которых x>1,
ряд расходится. Отсюда следует, что
значения |x|,
при которых этот предел равен 1, и будет
являться радиусом сходимости ряда.

Может случиться, что найденный предел
при всех х будет равен 0. Это означает,
что ряд (*) сходится при всех х и

Наоборот, если для любых х кроме х=0
предел равен бесконечности, то ряд будет
везде расходиться, кроме х=0, то есть
R=0.

Примеры

Найти радиус сходимости ряда

,
то есть для всякого х ряд сходится

Найти радиус сходимости ряда

Если |x|<1 —
ряд сходится

Если |x|>1 –
ряд расходится

При х=1 получаем гармонический ряд,
который расходится.

При х=-1 ряд

сходится условно.

Найти радиус сходимости ряда

,
то есть R=1

При |x|<1 –
ряд сходится

При |x|>1 –
ряд расходится

При |x|=1 – ряд
сходится абсолютно.

Найти радиус сходимости ряда

Если

ряд сходится, то есть при -2<x-1<2.
Получаем интервал сходимости (-1,3)
с центром х=1.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

From Wikipedia, the free encyclopedia

In mathematics, the radius of convergence of a power series is the radius of the largest disk at the center of the series in which the series converges. It is either a non-negative real number or infty . When it is positive, the power series converges absolutely and uniformly on compact sets inside the open disk of radius equal to the radius of convergence, and it is the Taylor series of the analytic function to which it converges. In case of multiple singularities of a function (singularities are those values of the argument for which the function is not defined), the radius of convergence is the shortest or minimum of all the respective distances (which are all non-negative numbers) calculated from the center of the disk of convergence to the respective singularities of the function.

Definition[edit]

For a power series f defined as:

$f(z) = sum_{n=0}^infty c_n (z-a)^n,$

where

a is a complex constant, the center of the disk of convergence,
c_n is the n-th complex coefficient, and
z is a complex variable.

The radius of convergence r is a nonnegative real number or infty such that the series converges if

and diverges if

Some may prefer an alternative definition, as existence is obvious:

${displaystyle r=sup left{|z-a| left| sum _{n=0}^{infty }c_{n}(z-a)^{n} {text{ converges }}right.right}}$

On the boundary, that is, where |z − a| = r, the behavior of the power series may be complicated, and the series may converge for some values of z and diverge for others. The radius of convergence is infinite if the series converges for all complex numbers z.^[1]

Finding the radius of convergence[edit]

Two cases arise. The first case is theoretical: when you know all the coefficients $c_{n}$ then you take certain limits and find the precise radius of convergence. The second case is practical: when you construct a power series solution of a difficult problem you typically will only know a finite number of terms in a power series, anywhere from a couple of terms to a hundred terms. In this second case, extrapolating a plot estimates the radius of convergence.

Theoretical radius[edit]

The radius of convergence can be found by applying the root test to the terms of the series. The root test uses the number

${displaystyle C=limsup _{nto infty }{sqrt[{n}]{|c_{n}(z-a)^{n}|}}=limsup _{nto infty }left({sqrt[{n}]{|c_{n}|}}right)|z-a|}$

«lim sup» denotes the limit superior. The root test states that the series converges if C < 1 and diverges if C > 1. It follows that the power series converges if the distance from z to the center a is less than

${displaystyle r={frac {1}{limsup _{nto infty }{sqrt[{n}]{|c_{n}|}}}}}$

and diverges if the distance exceeds that number; this statement is the Cauchy–Hadamard theorem. Note that r = 1/0 is interpreted as an infinite radius, meaning that f is an entire function.

The limit involved in the ratio test is usually easier to compute, and when that limit exists, it shows that the radius of convergence is finite.

${displaystyle r=lim _{nto infty }left|{frac {c_{n}}{c_{n+1}}}right|.}$

This is shown as follows. The ratio test says the series converges if

$lim_{ntoinfty} frac{|c_{n+1}(z-a)^{n+1}|}{|c_n(z-a)^n|} < 1.$

That is equivalent to

$|z - a| < frac{1}{lim_{ntoinfty} frac{|c_{n+1}|}{|c_n|}} = lim_{ntoinfty} left|frac{c_n}{c_{n+1}}right|.$

Practical estimation of radius in the case of real coefficients[edit]

Plots of the function $f(varepsilon)=frac{varepsilon(1+varepsilon^3)}{sqrt{1+2varepsilon}}.$
The solid green line is the straight-line asymptote in the Domb–Sykes plot,^[2] plot (b), which intercepts the vertical axis at −2 and has a slope +1. Thus there is a singularity at and so the radius of convergence is

Usually, in scientific applications, only a finite number of coefficients $c_{n}$ are known. Typically, as increases, these coefficients settle into a regular behavior determined by the nearest radius-limiting singularity. In this case, two main techniques have been developed, based on the fact that the coefficients of a Taylor series are roughly exponential with ratio 1/r where r is the radius of convergence.

Radius of convergence in complex analysis[edit]

A power series with a positive radius of convergence can be made into a holomorphic function by taking its argument to be a complex variable. The radius of convergence can be characterized by the following theorem:

The radius of convergence of a power series f centered on a point a is equal to the distance from a to the nearest point where f cannot be defined in a way that makes it holomorphic.

The set of all points whose distance to a is strictly less than the radius of convergence is called the disk of convergence.

A graph of the functions explained in the text: Approximations in blue, circle of convergence in white

The nearest point means the nearest point in the complex plane, not necessarily on the real line, even if the center and all coefficients are real. For example, the function

${displaystyle f(z)={frac {1}{1+z^{2}}}}$

has no singularities on the real line, since 1+z^2 has no real roots. Its Taylor series about 0 is given by

$sum_{n=0}^infty (-1)^n z^{2n}.$

The root test shows that its radius of convergence is 1. In accordance with this, the function f(z) has singularities at ±i, which are at a distance 1 from 0.

For a proof of this theorem, see analyticity of holomorphic functions.

A simple example[edit]

The arctangent function of trigonometry can be expanded in a power series:

${displaystyle arctan(z)=z-{frac {z^{3}}{3}}+{frac {z^{5}}{5}}-{frac {z^{7}}{7}}+cdots .}$

It is easy to apply the root test in this case to find that the radius of convergence is 1.

A more complicated example[edit]

Consider this power series:

${displaystyle {frac {z}{e^{z}-1}}=sum _{n=0}^{infty }{frac {B_{n}}{n!}}z^{n}}$

where the rational numbers B_n are the Bernoulli numbers. It may be cumbersome to try to apply the ratio test to find the radius of convergence of this series. But the theorem of complex analysis stated above quickly solves the problem. At z = 0, there is in effect no singularity since the singularity is removable. The only non-removable singularities are therefore located at the other points where the denominator is zero. We solve

${displaystyle e^{z}-1=0}$

by recalling that if z = x + iy and e^iy = cos(y) + i sin(y) then

${displaystyle e^{z}=e^{x}e^{iy}=e^{x}(cos(y)+isin(y)),}$

and then take x and y to be real. Since y is real, the absolute value of cos(y) + i sin(y) is necessarily 1. Therefore, the absolute value of e^z can be 1 only if e^x is 1; since x is real, that happens only if x = 0. Therefore z is purely imaginary and cos(y) + i sin(y) = 1. Since y is real, that happens only if cos(y) = 1 and sin(y) = 0, so that y is an integer multiple of 2π. Consequently the singular points of this function occur at

z = a nonzero integer multiple of 2πi.

The singularities nearest 0, which is the center of the power series expansion, are at ±2πi. The distance from the center to either of those points is 2π, so the radius of convergence is 2π.

Convergence on the boundary[edit]

If the power series is expanded around the point a and the radius of convergence is r, then the set of all points z such that |z − a| = r is a circle called the boundary of the disk of convergence. A power series may diverge at every point on the boundary, or diverge on some points and converge at other points, or converge at all the points on the boundary. Furthermore, even if the series converges everywhere on the boundary (even uniformly), it does not necessarily converge absolutely.

Example 1: The power series for the function f(z) = 1/(1 − z), expanded around z = 0, which is simply

$sum_{n=0}^infty z^n,$

has radius of convergence 1 and diverges at every point on the boundary.

Example 2: The power series for g(z) = −ln(1 − z), expanded around z = 0, which is

$sum_{n=1}^infty frac{1}{n} z^n,$

has radius of convergence 1, and diverges for z = 1 but converges for all other points on the boundary. The function f(z) of Example 1 is the derivative of g(z).

Example 3: The power series

${displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n^{2}}}z^{n}}$

has radius of convergence 1 and converges everywhere on the boundary absolutely. If h is the function represented by this series on the unit disk, then the derivative of h(z) is equal to g(z)/z with g of Example 2. It turns out that h(z) is the dilogarithm function.

Example 4: The power series

${displaystyle sum _{i=1}^{infty }a_{i}z^{i}{text{ where }}a_{i}={frac {(-1)^{n-1}}{2^{n}n}}{text{ for }}n=lfloor log _{2}(i)rfloor +1{text{, the unique integer with }}2^{n-1}leq i<2^{n},}$

has radius of convergence 1 and converges uniformly on the entire boundary |z| = 1, but does not converge absolutely on the boundary.^[5]

Rate of convergence[edit]

If we expand the function

${displaystyle sin x=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{frac {x^{3}}{3!}}+{frac {x^{5}}{5!}}-cdots {text{ for all }}x}$

around the point x = 0, we find out that the radius of convergence of this series is infty meaning that this series converges for all complex numbers. However, in applications, one is often interested in the precision of a numerical answer. Both the number of terms and the value at which the series is to be evaluated affect the accuracy of the answer. For example, if we want to calculate sin(0.1) accurate up to five decimal places, we only need the first two terms of the series. However, if we want the same precision for x = 1 we must evaluate and sum the first five terms of the series. For sin(10), one requires the first 18 terms of the series, and for sin(100) we need to evaluate the first 141 terms.

So for these particular values the fastest convergence of a power series expansion is at the center, and as one moves away from the center of convergence, the rate of convergence slows down until you reach the boundary (if it exists) and cross over, in which case the series will diverge.

Abscissa of convergence of a Dirichlet series[edit]

An analogous concept is the abscissa of convergence of a Dirichlet series

${displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {a_{n}}{n^{s}}}.}$

Such a series converges if the real part of s is greater than a particular number depending on the coefficients a_n: the abscissa of convergence.

Notes[edit]

^ Mathematical Analysis-II. Krishna Prakashan Media. 16 November 2010.
^ See Figure 8.1 in: Hinch, E.J. (1991), Perturbation Methods, Cambridge Texts in Applied Mathematics, vol. 6, Cambridge University Press, p. 146, ISBN 0-521-37897-4
^ Domb, C.; Sykes, M.F. (1957), «On the susceptibility of a ferromagnetic above the Curie point», Proc. R. Soc. Lond. A, 240 (1221): 214–228, Bibcode:1957RSPSA.240..214D, doi:10.1098/rspa.1957.0078, S2CID 119974403
^ Mercer, G.N.; Roberts, A.J. (1990), «A centre manifold description of contaminant dispersion in channels with varying flow properties», SIAM J. Appl. Math., 50 (6): 1547–1565, doi:10.1137/0150091
^ Sierpiński, W. (1918). «O szeregu potęgowym, który jest zbieżny na całem swem kole zbieżności jednostajnie, ale nie bezwzględnie». Prace Matematyczno-Fizyczne. 29 (1): 263–266.

References[edit]

Brown, James; Churchill, Ruel (1989), Complex variables and applications, New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-010905-6
Stein, Elias; Shakarchi, Rami (2003), Complex Analysis, Princeton, New Jersey: Princeton University Press, ISBN 0-691-11385-8

External links[edit]

What is radius of convergence?

Источник

Содержание:

Степенные ряды:

До сих пор мы рассматривали ряды, членами которых были числа, т.е. числовые ряды. Теперь перейдем к рассмотрению рядов, членами которых являются функции, в частности степенные функции

Такие ряды называются степенными, а числа

Область сходимости степенного ряда

Совокупность тех значений , при которых степенной ряд (14.1) сходится, называется областью сходимости степенного ряда.

Пример:

Найти область сходимости степенного ряда

Решение:

Данный ряд можно рассматривать как геометрический ряд со знаменателем , который сходится при Отсюда , т.е. областью сходимости является интервал

Структура области сходимости степенного ряда устанавливается с помощью теоремы Абеля.

Теорема Абеля. 1) Если степенной ряд сходится при значении (отличном от нуля), то он сходится и, притом абсолютно, при всех значениях х таких, что . 2) Если степенной ряд расходится при то он расходится при всех значениях х таких, что .

1) По условию ряд (14.1) сходится при следовательно, выполняется необходимый признак сходимости Отсюда следует, что последовательность ограничена, т.е. существует такое число что для всех п выполняется неравенство

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (14.1) который представим в виде

Члены ряда (14.3) согласно неравенству (14.2) меньше соответствующих членов ряда

представляющего геометрический ряд, который сходится, когда его знаменатель основании признака сравнения ряд (14.1) сходится.

2) По условию ряд (14.1) расходится при . Покажем, что он расходится для всех , удовлетворяющих условию Предположим противное, т.е. при ряд (14.1) сходится. Тогда по доказанному выше он должен сходиться и в точке (ибо ), что противоречит условию. Таким образом, для всех х таких, что ряд (14.1) расходится. ■

Из теоремы Абеля (см. рис. 14.1) следует, что существует такое число что при ряд сходится, а при — расходится.

Число получило название радиуса сходимости, а интервал — интервала сходимости степенного ряда. На концах интервала сходимости, т.е. при ряд может как сходиться, так и расходиться (см. рис. 14.1).

Найдем выражение радиуса сходимости степенного ряда (14.1) через его коэффициенты. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его членов

в котором все коэффициенты , по крайней мере начиная с некоторого номера , отличны от нуля. По признаку Даламбера ряд (14.4) сходится, если

будет меньше 1, т.е. Если этот предел существует, то он и является радиусом сходимости ряда (14.1), т.е.

Замечание. Следует отметить, что у некоторых рядов интервал сходимости вырождается в точку , у других охватывает всю ось

Пример:

Найти область сходимости степенного ряда

Решение:

Найдем радиус сходимости ряда по формуле (14.5) т.е. интервал сходимости ряда

Теперь выясним поведение ряда на концах интервала сходимости. На левом конце при данный степенной ряд принимает вид этот ряд сходится по признаку Лейбница. На правом конце при получаем ряд представляющий обобщенный гармонический ряд (13.12) при у которого все члены с четными номерами равны нулю. Так как то этот ряд сходится.

Следует отметить, что сходимость ряда на левом конце ин-тервала сходимости при могла быть установлена с помощью достаточного признака сходимости знакопеременного ряда (см. § 13.4), так как ряд, составленный из абсолютных величин его членов, т.е. ряд сходится.

Итак, область сходимости данного ряда

Замечание. При исследовании сходимости на концах интервала сходимости для получающегося ряда с положительными членами применять признак Даламбера не имеет смысла, так как в этом случае всегда будем получать с нерешенным вопросом о сходимости ряда; в этом случае рекомендуется рассматривать другие признаки сходимости (например, признак сравнения, необходимый признак и т.д.).

Пример:

Найти области сходимости степенных рядов:

Решение:

а) Радиус сходимости ряда по (14.5)

т.е. область сходимости ряда

б) Задачу можно решать аналогично предыдущим. Решение упрощается, если заметить, что , т.е. необходимый признак сходимости не выполняется, и ряд расходится.

Итак, область сходимости ряда состоит из одной точки

Пример:

Найти область сходимости ряда

Решение:

Найти радиус сходимости по формуле (14.5) в данном случае не представляется возможным, так как коэффициенты ряда и т.д. равны нулю. Поэтому непосредственно применим признак Даламбера. Данный ряд будет абсолютно сходиться, если и расходиться, если Поэтому найдем

Следовательно, ряд сходится при или на интервале

Исследуем сходимость на концах интервала сходимости: при ряд принимает вид а при вид т.е. оба ряда расходятся, так как не выполняется необходимый признак сходимости.

Итак, область сходимости ряда

Свойства степенных рядов. Пусть функция является суммой степенного ряда, т.е. В подобных курсах математического анализа доказывается, что степенные ряды по своим свойствам напоминают конечные суммы (многочлены): на любом отрезке целиком принадлежащем интервалу сходимости функция является непрерывной, а следовательно, степенной ряд можно почленно интегрировать на этом отрезке:

Кроме того, в интервале сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать:

При этом после интегрирования или дифференцирования полученные ряды имеют тот же радиус сходимости

Определение степенного ряда и его сходимости

Понятое функциональной зависимости является одним из важнейших в математике. Всякая функция осуществляет некоторое соответствие между объектами, составляющими область задания этой функции, и объектами, составляющими область её значений. Так можно рассматривать функции, которые ставят в соответствие числам — ряды. Эти функции называются функциональными рядами, т.е. функциональный ряд это выражение

членами которого являются некоторые функции переменной х. Например, ряд

является функциональным рядом.

Придавая в выражении (29.1.1) переменной х некоторые значения мы будем получать числовые ряды

которые могут оказаться, как сходящимися, так и расходящимися.

В простейших случаях для определения сходимости ряда (29.1.1) можно применять к нему известные признаки сходимости числовых рядов, считая х фиксированным.

Определение 29.1.1. Совокупность всех значений переменной х, для которых соответствующие числовые ряды сходятся, называется областью сходимости функционального ряда (29.1.1). Определение 29.1.2. Функциональный ряд вида

где — действительные числа, независящие от переменной х, называется степенным относительно переменной х рядом. Числа называются коэффициентами этого ряда.

Если в ряде (29.1.2) сделать замену переменного, положив

, то получим ряд . В дальнейшем будем использовать букву x:

Очевидно, что исследование сходимости ряда (29.1.2) эквивалентно исследованию сходимости ряда (29.1.3). Примером степенного ряда может служить ряд

Сумма п первых членов ряда называется n -ой частичноной суммой ряда и обозначается , т.е.

Для степенного ряда можно составить последовательность частичных сумм Очевидно, что n-ые частичные суммы степенного ряда являются функциями.

Остатком степенного ряда после n -го его члена (или n -ым остатком) называется ряд, полученный из заданного исключением n его первых членов:

Определение 29.1.3. Степенной ряд называется сходящимся на некотором множестве, если он сходится в любой точке этого множества.

Степенной ряд называется абсолютно сходящимся на некотором множестве, если в каждой точке этого множества сходится ряд из модулей его членов:

Степенной ряд (29.1.3) при тех или иных конкретных значениях переменной x превращается в числовой ряд; так если , то получим числовой ряд:

Соответствующий числовой ряд а0 +о,л:0 +… сходится абсолютно, если сходится ряд составленный из модулей его членов.

Так как каждой точке сходимости ряда (29.1.3) ставится в соответствие определенное значение суммы (29.1.4), то сумма сходящегося на некотором множестве степенного ряда является функцией переменной x. Тогда Если обозначить сумму остатка через , то в области сходимости степенного ряда справедливо равенство:

Для сходящегося степенного ряда предел остатка равен нулю:

Степенные ряды можно складывать, вычитать, умножать. Пусть заданы два степенных ряда:

Сумма, разность и произведение заданных степенных рядов определяется формулами:

где

Например, сумма, разность и произведение степенных рядов:

имеет вид:

где

Радиус сходимости, интервал сходимости

Области сходимости степенных рядов устроены довольно просто. Они описываются следующей теоремой.

Теорема 29.2.1 (теорема Абеля). Если степенной ряд

сходится при некотором , то он сходится абсолютно при всех значениях х, для которых

Если же степенной ряд (29.2.1) расходится при , то он расходится при всех значениях х, для которых.

Доказательство. Предположим сначала, что степенной ряд (29.2.1) сходится в точке . Это значит, что сходится числовой ряд

Тогда, в силу необходимого признака сходимости, и поэтому члены этого ряда ограничены, т.е. найдется такое К, что при любом номере . В силу этого для n -го члена ряда (29.2.1) получаем следующею оценку

Если , то ряд , являясь геометрической прогрессией со знаменателем сходится. Поэтому, в силу I признака сравнения и так как , сходится и ряд А это означает абсолютную сходимость ряда (29.2.1), при

Предположим теперь, что степенной ряд (29.2.1) расходится, при , т.е. расходится числовой ряд:

Возьмём тогда некоторое значение х, для которого и предположим, что ряд в этой точке

сходится. Но тогда из сходимости этого ряда, в силу первой части доказательства теоремы, вытекает сходимость ряда (29.2.2), что противоречит предположению, о его расходимости. Полученное противоречие означает, что для всех степенной ряд (29.2.1) расходится.

Если ряд (29.2.1) имеет вещественные коэффициенты и переменная х принимает только вещественные значения, то справедливо следующее определение, вытекающее из теоремы Абеля.

Определение 29.2.1. Величина (R-число или символ)

такая, что при всех х, у которых сходится, а при всех X у которых расходится, называется радиусом сходимости степенного ряда (29.2.1).

Множество точек х удовлетворяющих соотношению , называется интервалом сходимости.

Итак, из определения 29.2.1 и теоремы Абеля следует, что областью сходимости степенного ряда — является интервал сходимости. И если значение переменной х, принадлежит интервалу сходимости, то можно говорить о сумме степенного ряда (29.2.1) в точке. Таким образом, значение суммы степенного ряда зависит от значения переменной х, т.е. сумма степенного ряда сама является функцией переменной х. Эта функция ничем не отличается от обычной функции и, следовательно, можно говорить о дифференцировании, непрерывности, интегрируемости и других ее свойствах.

Свойства степенных рядов

Для степенных рядов справедливы следующие свойства:

1) Степенной ряд сходится равномерно внутри интервала сходимости.

2) Внутри интервала сходимости ряда сумма его является непрерывной функцией.

3) Если пределы интегрирования лежат внутри интервала сходимости степенного ряда, то последовательность интегралов от частичных сумм ряда сходится к интегралу от суммы ряда.

4) Если степенной ряд

имеет радиус сходимости R , то и ряд

получаемый в результате почленного дифференцирования ряда (29.2.3) также имеет радиус сходимости R. Производная суммы ряда (29.2.3) равна сумме ряда (29.2.4), т.е.

Вычисление интервала сходимости

Как уже было сказано в и. 2 областью сходимости степенного ряда является интервал сходимости. Более того, из теоремы Абеля следует, что областью сходимости степенного ряда является интервал с центром в начале координат (рис 29.1).

Действительно, если есть точка сходимости, то весь интервал заполнен точками абсолютной сходимости, что следует из теоремы Абеля. Если же — точка расходимости, то вся бесконечная полупрямая вправо от точки и вся полупрямая влево от точки — состоят из точек расходимости, в противном случае мы бы получили, что степенной ряд в точке или — сходится по теореме Абеля.

Заметим, что на концах интервала вопрос о сходимости или расходимости решается индивидуально в каждом конкретном случае. У некоторых рядов интервал сходимости может вырождаться в точку, у других охватывать всю ось Ох.

Укажем теперь способ вычисления радиуса сходимости степенного ряда.

Пусть задан степенной ряд Составим ряд из модулей членов данного ряда и применим признак Д’Аламбера, т.е.

вычислим предел

Если этот предел меньше единицы, то, как следует из признака Д’Аламбера, ряд, составленный из модулей членов ряда (29.2.1) сходится, т.е. ряд сходится если

Если же , то ряд (29.2.1) расходится.

А это означает, что если , то степенной ряд (29.2.1) сходится абсолютно, а при . степенной ряд расходится.

Учитывая определение радиуса сходимости степенного ряда, получим, что радиус сходимости можно вычислить по формуле:

Рассуждая аналогичным образом можно получить еще одну формулу для определения радиуса сходимости:

Если степенной ряд содержит только четные или нечетные степени х, то применяем признак Д’Аламбсра или Коши к ряду, составленному из модулей членов данного ряда.

Пример №1

Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда:

Решение:

Выпишем вначале значения

Для определения радиуса сходимости воспользуемся формулой (29.3.1):

Итак, степенной ряд сходится для |х| 1.

Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.

Пусть х =—1. Тогда получим знакочередующийся ряд который согласно признаку Лейбница сходится. Пусть х = 1. Получим числовой ряд который расходится, так как является гармоническим рядом.

Суммируя вышесказанное, получим интервал сходимости

Пример №2

Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда

Решение:

Выпишем вначале значения

Для определения радиуса сходимости воспользуемся формулой (29.3.2):

Так как , то исследуемый ряд сходится для всех х.

Пример №3

Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда:

Решение:

Выпишем вначале значения

Для определения радиуса сходимости воспользуемся формулой (29.3.1):

Так как радиус сходимости равен нулю, то ряд сходится только в одной точке x= 0.

Пример №4

Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда

Решение:

Данный ряд содержит только четные степени (а- — 5), коэффициенты при нечетных степенях равны нулю. Поэтому воспользоваться формулами (29.3.1) и (29.3.2) не представляется возможным.

Считая х фиксированным, применим признак Д’Аламбера к ряду, составленному из модулей членов данного ряда. Выпишем значения

Тогда

так как

Ряд сходится, если или

Это значит, что ряд сходится в интервале

Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости. Пусть . Подставив это значение х в исследуемый ряд, получим числовой ряд:

который сходится, как ряд Дирихле, для которого а = 4. При получим тот же сходящийся числовой ряд. Следовательно, данный ряд сходится на отрезке

Пример №5

Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда

Решение:

Выпишем значение и вычислим радиус сходимости данного ряда по формуле (29.3.2):

Так как , то данный ряд сходится в интервале

Исследуем его сходимость на концах интервала.

Пусть . Подставив это значение х в данный степенной ряд, получим числовой знакочередующийся ряд:

Предел общего члена полученного ряда не стремится к нулю:

Следовательно, данный ряд расходится. И при получим расходящийся числовой ряд: Следовательно, интервал сходимости данного ряда.

Ряды Тейлора и Маклорена

Как уже отмечалось, сумма сходящегося степенного ряда является некоторой функцией, определенной внутри интервала сходимости. В связи с этим мы рассмотрим задачу разложения некоторой функции в ряд, т.е. будем по заданной функции искать сходящийся ряд того или иного типа, сумма которого в интервале сходимости равнялась бы заданной функции.

Известно, что если функция f имеет на некотором отрезке производные всех порядков, то можно написать формулу Тейлора для любого значения n:

где заключено между и х. Формула (29.4.1) называется формулой Тейлора с оста точным членом в форме Лагранжа.

В формуле Тейлора обозначим:

пункта 27.2 (теорема 27.2.1) следует, что если

то степенной ряд

сходится и его суммой будет функция f(х), так как Следовательно,

Справедливо и обратное утверждение, что если степенной ряд (29.4.3) сходится, то выполняется (29.4.2).

Определение 29.4.1. Представление функции f в виде ряда

называется разложением этой функции в ряд Тейлора. Если же , то разложение в ряд Тейлора называется разложением в ряд Маклорена:

Следует заметить, что остаточный член в формуле Тейлора для функции J не обязательно является остатком ряда Тейлора для этой функции. Поэтому из сходимости ряда Тейлора для функции f , еще не следует сходимость именно к этой функции. При разложении функции в ряд Тейлора необходимо проверять условие (29.4.2). Однако сели разложение функции в какой-либо степенной ряд вообще возможно, то оно является разложением в ряд Тейлора, т.е. справедлива следующая теорема.

Теорема 29.4.1. Пусть

и стоящий справа ряд сходится в интервале к функции f . Тогда этот ряд является рядом Тейлора, т.е.

Доказательство. Так как степенной ряд в интервале сходимости можно почленно дифференцировать, то n-ую производную функции (29.4.4) можно представить в виде:

Полагая в последнем тождестве , получим (все другие слагаемые равны нулю). Откуда и следует (29.4.5).

Из доказанной теоремы вытекает, что в одной и той же области, для одной и той же функции существует единственное разложение.

На практике, для разложения функции в ряд Тейлора, удобно пользоваться следующей теоремой.

Теорема 29.4.2. Если при любых х, удовлетворяющих неравенствупроизводные функции f(x) для любых п ограничены одним и тем же числом С > 0 т.е.

то ряд Тейлора, для этой функции, сходится в интервале и его сумма равна f(x).

Доказательство. Из условия теоремы следует, что функцию f можно представить формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, т.е.

Оценим остаток:

Переходя к пределу при, получим неравенство:

Воспользовавшись асимптотической формулой Стерлинга, получим:

так как стспснно-показательная функция и взрастает быстрее показательных функций

Тогда из неравенства (29.4.6) получим:. Слсдова-

сходится к функции f(х). Теорема доказана.

Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена

Из пункта 29.4 следует, что для того чтобы некоторая функция разлагалась в ряд Тейлора нужно, чтобы она имела производные любого порядка и чтобы либо (где С> 0 — произвольная постоянная), для любых n и . Рассмотрим разложение некоторых функций в ряд Маклорена.

1. Разложение функции.

Находим производные данной функции и их значения при х=0. Так как

и формула Маклорена для функции имеет вид:

где заключено между 0 и х.

Вычислим предел остаточного члена, для любого х:

Выражение как общий член сходящегося ряда . Множитель в выражении остаточного члена не превосходит при х > 0 , и единицы при х 0. Это означает, что остаточный член стремится к нулю при всех значениях x

Следовательно, ряд сходится при любом х и суммой его является функция . Итак, Заменяя х на -x, получим ряд —, интервалом сходимости для которого является вся числовая ось.

2. Разложение функций cos х и sin х. Для функции cos x имеем:

Следовательно,

и формула

Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа для функции cosx имеет вид:

Ясно, что для любого X

Поэтому, функция cos л- разлагается в ряд Маклорена вида:

Аналогично получается разложение в ряд Маклорена функции sinx:

3. Биномиальный ряд.

Найдем разложение в степенной ряд функции

где m -произвольное действительное число.

Дифференцируя равенство (29.5.1) n раз, получим:

Значения функции и се производных при х = 0 равны:

Следовательно, ряд Маклорена имеет вид:

Если m- целое, то выражение (29.5.2) содержит конечное число членов. Если же m- нецелое, то выражение (29.5.2)- бесконечный ряд, называемый биномиальным.

Определим вначале радиус сходимости этого ряда, для чего применим признак Д’Аламбсра к ряду, составленному из модулей его членов:

Следовательно, при |х| 1, биномиальный ряд абсолютно сходится, т.е. существует сумма S(x) этого ряда.

Покажем теперь, что ряд (29.5.2) сходится к функции ‘. Для этого продифференцируем ряд (29.5.2) , получим:

Умножим обе части (29.5.3) на и приведем подобные члены. Получим степенной ряд, в котором коэффициент при равен сумме двух слагаемых:

Эта сумма, как показано, равна произведению коэффициента при , ряда (29.5.2), на m . Следовательно, в интервале сходимости биномиального ряда, имеем равенство:

С другой стороны, вычисляя производную отношения

получим:-в силу (29.5.4).

Решая дифференциальное уравнение , последовательно получим:

Пусть x = 0, тогда S(0) = С. Из (29.5.2) следует, что S(0) = 1, тогда С = 1.

Следовательно,

Итак, разложение

имеет место при всех х, удовлетворяющих условию . Придавая m конкретные значения можно получать разложения различных функций в степенные ряды. В общем случае разложение (29.5.5) даст обобщение бинома Ньютона для какого угодно показателя m.

Применение рядов в приближенных вычислениях

Разложения функций в ряд Маклорена позволяют во многих случаях вычислить с большой степенью точности значения этих функций, заменяя ее конечным числом членов разложения. Чем меньше х, тем меньше членов можно брать в этом разложении для вычисления f(х) с желаемой точностью. Если х весьма мало, то достаточно ограничится первыми двумя членами, отбросив все остальные. Например, при х близких к нулю можно пользоваться следующими приближенными формулами:

Например, вычислим , до пяти знаков.

Имеем, Остаточный член

Так как близко к единице, то остальные члены в разложении не повлияют на первые пять знаков после запятой и их можно отбросить. Вычисление приводит к результату:

Иногда при вычислении значений функций удобно пользоваться почленным дифференцированием или интегрированием рядов.

Например, известно, что

С другой стороны,

Следовательно,

В частности, при x = 0,1, получим:

Этот ряд знакочередующийся. Поэтому, его остаток не превосходит первого «отброшенного» члена. Удерживая в разложении первых два слагаемых, получим значение arctg 0,1 = 0,09967 с пятью верными знаками.

При помощи биномиальною ряда можно быстро и довольно точно вычислять значение корней из чисел.

Пример №6

Вычислить с точностью до 0,0001.

Решение:

Представим, этот корень в виде

и воспользуемся разложением бинома:

следующим член , поэтому точность нужная получена.

В общем случае можно записать:

где , причем, так как всегда можно подобрать целое число а так, чтобы m -ая степень а была, по возможности, ближе к А.

Кроме того, биномиальный ряд является основой многих дальнейших разложений функций в ряды. Например, можно найти разложение в ряд Маклорена функции:

При помощи рядов можно вычислять определенные интегралы.

Например, вычислим интегральный синус:

Имеем

тогда

Подставляя вместо x, те или иные конкретные значения переменной, мы можем вычислять интересующие нас значения интегрального синуса.

При помощи разложении в степенные ряды можно приближенно интегрировать разнообразные дифференциальные уравнения.

Например, найдем решение уравнения при начальных условиях

Будем искать решение этого уравнения в виде степенного ряда: при начальных условиях . Тогда получим:

Вычислим первую и вторую производные от этого ряда:

и подставив у, в заданное уравнение:

приравняем коэффициенты при равных степенях .г, предварительно умножив правую часть на х:

Получаем систему уравнений, из которой находим:

Замечаем, что отличными от нуля будут лишь те коэффициенты, у которых индекс и степень делятся на 3. Получим решение заданного дифференциального уравнения в виде:

Заказать решение задач по высшей математике

Ряд Маклорена

Предположим, что функция , определенная и раз дифференцируемая в окрестности точки может быть представлена в виде суммы степенного ряда или, другими словами, может быть разложена в степенной ряд

Выразим коэффициенты ряда через . Найдем производные функции , почленно дифференцируя ряд раз:

Полагая в полученных равенствах получим откуда

Подставляя значения коэффициентов получим ряд

называемый рядом Маклорена.

Следует отметить, что не все функции могут быть разложены в ряд Маклорена. Может оказаться, что ряд Маклорена, составленный формально для функции , является расходящимся либо сходящимся не к функции .

Так же как и для числовых рядов, сумму ряда Маклорена можно представить в виде (13.9)

где — -я частичная сумма ряда; — -й остаток ряда.

Тогда на основании свойства 4 сходящихся рядов (см. §13.1) можно сформулировать теорему.

Теорема. Для того чтобы ряд Маклорена сходился к функции , необходимо и достаточно, чтобы при остаток ряда стремился к нулю, т.е.

для всех значений из интервала сходимости ряда.

Можно доказать, что если функция разложима в ряд Маклорена, то это разложение единственное.

Замечание. Ряд Маклорена является частным случаем ряда Тейлора:

при

Ряд Тейлора тесно связан с формулой Тейлора.

где — остаточный член формулы Тейлора:

), записанный в форме Лагранжа.

Очевидно, что при выполнении условия (14.7) остаток ряда Тейлора равен остаточному члену формулы Тейлора.

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций

По формуле (13.6)

Область сходимости ряда .

Очевидно, что производные четного порядка , а нечетного порядка . По формуле (14.6)

Область сходимости ряда

Рассматривая аналогично, получим

Область сходимости ряда

Интервал сходимости ряда (на концах интервала при сходимость ряда зависит от конкретных значений от).

Ряд (14.11) называется биномиальным. Если — целое положительное число, то биномиальный ряд представляет формулу бинома Ньютона, так как при -й член ряда и все последующие равны нулю, т.е. ряд. обрывается, и вместо бесконечного разложения получается конечная сумма.

Получить разложение для этой функции можно проще, не вычисляя непосредственно коэффициенты ряда (14.6) с помощью производных.

Рассмотрим геометрический ряд

со знаменателем который сходится при т.е. при к функции

Интегрируя почленно равенство (14.12) в интервале где , с учетом того, что получим

Область сходимости ряда (после выяснения сходимости на концах интервала сходимости) есть

Можно доказать, что ряды, приведенные в формулах (14.8) — (14.13), сходятся к функциям, для которых они составлены.

При разложении более сложных функций используют непосредственно формулу (14.6) либо таблицу простейших разложений (14.8) — (14.13).

Пример №7

Разложить в ряд функции:

Решение:

а) Так как по (14.8)

то, заменяя получим

и, наконец,

Область сходимости ряда

б) В разложении заменим получим

Теперь

Область сходимости ряда

Применение рядов в приближенных вычислениях

Степенные ряды имеют самые разнообразные приложения. С их помощью вычисляют с заданной степенью точности значения функций, определенных интегралов, которые являются «неберущимися» или слишком сложными для вычислений, интегрируются дифференциальные уравнения.

Пример №8

Вычислить приближенно с точностью до

Решение:

а) Для вычисления запишем ряд (14.8) при принадлежащем области сходимости

Взяв первые шесть членов разложения, на основании следствия из теоремы Лейбница (см. § 13.4) для сходящегося знакочередующегося ряда мы допустим погрешность не превышающую первого отброшенного члена (по абсолютной величине), т.е.

б) Для вычисления запишем ряд (14.13) при входящем в область сходимости ряда

Если в качестве взять первые четыре члена, мы допустим погрешность

(Мы учли, что сумма сходящегося геометрического ряда в

скобках равна .) Итак, 1 -q 1-0,2

Следует отметить, что для вычисления логарифмов более удобным является ряд (14.14), который сходится быстрее ряда (14.13). Действительно, пусть тогда и согласно (14.14)

т.е. для вычисления с точностью до потребуется всего два члена. С помощью ряда (14.14) можно вычислять логарифмы любых чисел, в то время как с помощью ряда (14.13) -лишь логарифмы чисел, расположенных на промежутке

в) Представим в виде

Так как входит в область сходимости степенного ряда то при учитывая (14.11), получим

(Для обеспечения данной точности расчета необходимо взять 4 члена, так как по следствию из признака Лейбница для сходящегося знакочередующегося ряда погрешность )

г) Для вычисления запишем ряд (14.9) при принадлежащем области сходимости

(Необходимо взять два члена, так как при этом погрешность

д)«Точное» интегрирование здесь невозможно, так как интеграл «неберущийся». Заменив в разложении (14.8), получим

Умножая полученный ряд на

и почленно интегрируя в интервале принадлежащем интервалу сходимости ряда , получим

Оценка погрешности вычисления производится так же, как в примерах а), в) и г). ►

Пример №9

Исследовать сходимость ряда

Решение:

Радиус сходимости ряда (14.15), заданного по степеням находится по той же формуле (14.5);

т.е. Интервал сходимости ряда (14.15) определяется из условия В данном примере интервал сходимости ряда есть или

Исследуем сходимость ряда (14.15) на концах этого интервала. При ряд принимает вид т.е. представляет сумму двух рядов. Первый, знакочередующийся ряд сходится (условно) (см. § 13.4), а второй ряд исследуем на сходимость с помощью признака Даламбера: т.е. ряд сходится, а следовательно, сходится и ряд (14.15) при

При ряд (14.15) имеет вид Первый из полученных рядов — гармонический — расходится, а второй — сходится на основании признака абсолютной сходимости, так как выше было показано, что ряд из абсолютных величин его членов сходится. Следовательно, ряд (14.15) при расходится. (Установить расходимость этого ряда с положительными членами при любом можно было и с помощью признака сравнения, так как его члены при превосходят члены расходящегося гармонического ряда, умноженные на

Итак, область сходимости степенного ряда (14.15)

Пример №10

Разложить в ряд Маклорена функцию

Решение:

Первый способ. Применим метод непосредственного разложения по формуле (14.6).

Вначале найдем производные до «-го порядка и вычислим их значения при

При значения функции и ее производных:

и т.д. Теперь по формуле (14.6) запишем ряд

или

Второй способ. Учитывая, что используем готовое разложение (14.10) для функции (в котором вместо берем ), умножаем обе части полученного равенства на а затем прибавляем к ним Получим

или

т.е. то же разложение (14.16).

Третий способ. Разложение функции может быть осуществлено с помощью правила перемножения рядов. Если в некоторой окрестности точки имеют место разложения

то произведение функций разлагается в той же окрестности в степенной ряд

В частности, при получаем следующее правило возведения в квадрат степенного ряда:

Для функции имеющей разложение в ряд (14.9), т.е.

находим по формуле (14.17)

т.е. получили то же разложение (14.16).

Область сходимости ряда, как нетрудно убедиться, есть ►

Пример №11

Вычислить с точностью до

Решение:

Выражение данного интеграла в виде числового ряда находится

Вычисление интеграла свелось не к нахождению суммы сходящегося знакочередующегося ряда, при вычислении которой погрешность оценивается с помощью следствия из теоремы Лейбница, а к определению суммы ряда с положительными членами с неизвестной оценкой погрешности.

Поступим следующим образом. Предположим, что для оценки суммы ряда мы взяли членов (вместе с первым при ). Тогда погрешность вычисления суммы ряда будет определяться остатком ряда