Как найти радиус шара вписанного в тетраэдр

2023-02-18   

Найдите радиус сферы, вписанной в правильный тетраэдр с ребром $a$.

Решение:

Первый способ. Пусть $ABCD$ — правильный тетраэдр с ребром $a$, $M$ — центр грани $ABC$, $L$ — середина $BC$, $Q$ — центр вписанной сферы, $r$ — её радиус.
Поскольку $DLperp BC$ и $LMperp BC$, линейный угол искомого двугранного угла между плоскостями $ABC$ и $DBC$ — это угол $DLM$. Обозначим его $beta$. Так как $DM$ — высота тетраэдра, то треугольник $DLM$ — прямоугольный. В нём известно, что $DL=frac{asqrt{3}}{2}$, $LM=frac{asqrt{3}}{6}$. Следовательно,

$cosbeta=cosangle DLM=frac{LM}{DL}=frac{frac{asqrt{3}}{6}}{frac{asqrt{3}}{2}}=frac{1}{3},~sinbeta=frac{2sqrt{2}}{3}.$

Поскольку сфера вписана в двугранный угол, образованный плоскостями $ABC$ и $DBC$, её центр $Q$ лежит в биссекторной плоскости этого угла.
Проведём сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через ребро $AD$ и середину $L$ противоположного ему ребра $BC$. Получим треугольник $ALD$, стороны $AL$ и $AD$ которого касаются окружности радиуса $r$ с центром $Q$ на высоте $DM$. Из прямоугольного треугольника $LMQ$ находим, что

$r=QM=LMtgangle QKM=frac{asqrt{3}}{6}cdot tgfrac{beta}{2}=frac{asqrt{3}}{6}cdotfrac{sinbeta}{1+cosbeta}=frac{asqrt{3}}{6}cdotfrac{frac{2sqrt{2}}{3}}{frac{4}{3}}=frac{asqrt{6}}{12}.$

Второй способ. Пусть $ABCD$ — правильный тетраэдр с ребром $a$, $r$ — искомый радиус вписанной сферы. Центр сферы, вписанной в правильный тетраэдр, лежит на каждой из четырёх высот тетраэдра. Высоты правильного тетраэдра являются его медианами, а медианы любой треугольной пирамиды пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении $3:1$, считая от вершины. Значит, центр вписанной сферы совпадает с точкой пересечения высот правильного тетраэдра, а радиус равен $frac{1}{4}$ высоты тетраэдра. Следовательно,

$r=frac{1}{4}asqrt{frac{2}{3}}=frac{asqrt{6}}{12}.$

Третий способ. Пусть $r$ — радиус сферы, вписанной в правильный тетраэдр с ребром $a$, $V$ — объём тетраэдра, $S$ — полная поверхность. Тогда

$r=frac{3V}{S}=frac{frac{3a^{3}sqrt{2}}{12}}{a^{2}sqrt{3}}=frac{asqrt{6}}{12}.$

Сфера, вписанная в пирамиду

Биссекторная плоскость. Основное свойство биссекторной плоскости

Определение 1. Биссекторной плоскостью двугранного угла называют такую плоскость, которая проходит через ребро двугранного угла и делит этот угол на два равных двугранных угла (рис. 1).

Утверждение 1. Точка, расположенная внутри двугранного угла, находится на одном и том же расстоянии от граней этого угла тогда и только тогда, когда она лежит на биссекторной плоскости.

Доказательство. Рассмотрим произвольную точку O, расположенную внутри двугранного угла, и проведем через эту точку плоскость δ , перпендикулярную к ребру AB двугранного угла (рис. 2).

Плоскость δ пересекает ребро AB двугранного угла в точке C, а грани двугранного угла α и β по лучам CD и CE соответственно. Угол DCE является линейным углом двугранного угла. Биссекторная плоскость γ пересекает плоскость δ по биссектрисе CF линейного угла DCE .

Таким образом, справедливость утверждения вытекает из соответствующих теорем о свойствах биссектрисы угла. Доказано.

Следствие 1. Если сфера, расположенная внутри двугранного угла, касается каждой из плоскостей граней этого угла, то центр сферы находится на биссекторной плоскости двугранного угла (рис. 3).

Сфера, вписанная в пирамиду. Свойства пирамиды, описанной около сферы

Определение 2. Сферой, вписанной в пирамиду, называют такую сферу, которая касается плоскостей всех граней пирамиды, причем точки касания лежат на гранях пирамиды (рис. 4).

Определение 3. Если сфера вписана в пирамиду, то пирамиду называют описанной около сферы.

Если сфера вписана в пирамиду, то она касается граней каждого внутреннего двугранного угла, образованного соседними гранями пирамиды. В соответствии со следствием 1 центр вписанной в пирамиду сферы должен находиться в точке пересечения биссекторных плоскостей всех внутренних двугранных углов, образованных соседними гранями пирамиды.

Если у пирамиды нет точки, в которой пересекаются биссекторные плоскости всех внутренних двугранных углов, образованных соседними гранями пирамиды, то в такую пирамиду нельзя вписать сферу.

Замечание 1. Для того, чтобы проверить, можно ли в пирамиду вписать сферу, достаточно проверить, существует ли точка пересения биссекторных плоскостей всех внутренних двугранных углов при основании пирамиды. Если такая точка существует, то она будет равноудалена как от основания пирамиды, так и от каждой из боковых граней.

Рассмотрим несколько типов пирамид, в которые можно вписать сферу.

Утверждение 2. Если у пирамиды SA₁A₂ . A_n основание O перпендикуляра, опущенного из вершины S на плоскость основания пирамиды, лежит внутри многоугольника A₁A₂ . A_n , а все боковые грани пирамиды наклонены под одним и тем же углом к плоскости основания пирамиды, то в такую пирамиду можно вписать сферу.

Доказательство. Пусть все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом φ , а высота пирамиды равна h. Рассмотрим, например, боковую грань SA₁A₂ и проведем в ней высоту SB (рис. 5).

По теореме о трех перпендикулярах отрезок OB перпендикулярен ребру A₁A₂ . Следовательно, угол SBO является линейным углом двугранного угла между боковой гранью SA₁A₂ и плоскостью основания пирамиды и равен φ. Биссекторная плоскость этого двугранного угла пересекает высоту пирамиды в точке O’ (рис. 6).

Катет OB прямоугольного треугольника SOB выражается через высоту пирамиды h и угол φ по формуле

Катет OO’ прямоугольного треугольника OO’B выражается через высоту пирамиды h и угол φ по формуле

Поскольку длина отрезка OO’ не зависит от выбора боковой грани пирамиды, то биссекторные плоскости всех внутренних двугранных углов при основании пирамиды пересекаются в точке O’, которая и является центром вписанной в пирамиду сферы.

Доказательство утверждения 2 завершено.

Поскольку у любой правильной пирамиды все внутренние двугранные углы при основании равны, то справедливо

Следствие 2. В любую правильную пирамиду можно вписать сферу, причем ее радиус R выражается через высоту пирамиды h и внутренний двугранный угол при основании пирамиды φ по формуле

(1)

Радиус сферы, вписанной в правильную n — угольную пирамиду

Решение. Рассмотрим правильную n — угольную пирамиду SA₁A₂ . A_n и обозначим символом O’ центр вписанной в пирамиду сферы, а буквой O – центр основания пирамиды. Проведем плоскость через высоту пирамиды SO и апофему SB какой-либо боковой грани (рис. 7).

Буквой R на рисунке 7 обозначен радиус вписанной в пирамиду сферы, буквой r – радиус вписанной в основание пирамиды окружности, а буквой φ – внутренний двугранный угол при основании пирамиды. Из прямоугольного треугольника OSB получаем

(2)

В силу следствия 2 из формул (1) и (2) получаем

из формулы (3) получаем соотношение

Ответ.

Следствие 3. Радиус сферы, вписанной в правильную треугольную пирамиду с высотой h и ребром основания a, равен

Следствие 4. Радиус сферы, вписанной в правильный тетраэдр с ребром a, равен

Следствие 5. Радиус сферы, вписанной в правильную четырехугольную пирамиду с высотой h и ребром основания a, равен

Следствие 6. Радиус сферы, вписанной в правильную шестиугольную пирамиду с высотой h и ребром основания a, равен

Сфера, вписанная в треугольную пирамиду.
Формула для радиуса вписанной сферы

Утверждение 3. В любую треугольную пирамиду можно вписать сферу.

Доказательство. Доказательство этого утверждения напоминает планиметрическое доказательство возможности вписать окружность в произвольный треугольник.

Действительно, пусть SABC – произвольный тетраэдр. Биссекторная плоскость внутреннего двугранного угла с ребром AC и биссекторная плоскость внутреннего двугранного угла с ребром AB пересекаются по некоторой прямой, проходящей через вершину A. Биссекторная плоскость внутреннего двугранного угла в ребром BC пересекает эту прямую в единственной точке O , которая и является центром вписанной сферы (рис. 8).

Получим формулу, позволяющую вычислить радиус вписанной в тетраэдр SABC сферы. Для этого заметим, что объем пирамиды SABC равен сумме объемов пирамид OABC, OSCA, OSAB, OSCB, причем высота каждой из пирамид OABC, OSCA, OSAB, OSCB равна радиусу R вписанной в пирамиду SABC сферы. Если обозначить площади граней тетраэдра SABC символами

а объемы пирамид SABC, OABC, OSCA, OSAB, OSCB – символами

то справедливы следующие равенства:

где символом S_полн обозначена площадь полной поверхности пирамиды SABC.

Замечание 2. Если в пирамиду (необязательно треугольную) можно вписать сферу, то, рассуждая аналогично, можно получить следующую формулу для радиуса вписанной в пирамиду сферы

где символами V_пир и S_полн обозначены объем и площадь полной поверхности пирамиды соответственно.

Радиус вписанной сферы тетраэдра

Свойства

Зная радиус сферы, вписанной в тетраэдр, нужно сначала найти ребро тетраэдра, а также можно без хитрых преобразований рассчитать сразу радиус сферы, описанной около тетраэдра. a=2√6 r_1 R_1=3r_1

Зная ребро тетраэдра через радиус вписанной сферы, можно рассчитать периметр тетраэдра, равный длине всех шести его ребер, площадь одной грани и площадь полной поверхности тетраэдра, состоящей из четырех таких граней. P=12√6 r_1 S_1=6√3 〖r_1〗^2 S_(п.п.)=4S_1=24√3 〖r_1〗^2

Кроме радиусов вписанной и описанной около тетраэдра сфер, у него есть также радиусы вписанной и описанной окружностей около грани, являющейся основанием, которые можно вычислить через радиус вписанной сферы. r=√2 r_1 R=2√2 r_1

Высота и апофема тетраэдра располагаются под прямым углом к основанию с той лишь разницей, что высота падает в центр основания, являющийся по совместительству центром для вписанной и описанной окружностей основания, а апофема опускается по боковому ребру в центр стороны основания. h=4r_1 l=3√2 r_1

Чтобы вычислить объем тетраэдра через радиус сферы, вписанной в него, нужно возвести радиус в третью степень и умножить его на восемь корней из трех. V=8√3 〖r_1〗^3

Нахождение радиуса шара (сферы), вписанного в правильную пирамиду

В данной публикации представлены формулы, с помощью которых можно найти радиус шара (сферы), вписанного в правильную пирамиду: треугольную, четырехугольную, шестиугольную и тетраэдр.

Формулы расчета радиуса шара (сферы)

Приведенная ниже информация применима только к правильным пирамидам. Формула для нахождения радиуса зависит от вида фигуры, рассмотрим самые распространенные варианты.

Правильная треугольная пирамида

a – ребро основания пирамиды, т.е. это равные отрезки AB, AC и BC;

Если известны значения этих величин, то найти радиус (r) вписанного шара/сферы можно по формуле:

Частный случай правильной треугольной пирамиды – это правильный тетраэдр. Для него формула нахождения радиуса выглядит следующим образом:

Правильная четырехугольная пирамида

• a – ребро основания пирамиды, т.е. AB, BC, CD и AD;
• EF – высота пирамиды (h).

Радиус (r) вписанного шара/сферы рассчитывается так:

Правильная шестиугольная пирамида

• a – ребро основания пирамиды, т.е. AB, BC, CD, DE, EF, AF;
• GL – высота пирамиды (h).

Радиус (r) вписанного шара/сферы вычисляется по формуле:

Зная радиус сферы, вписанной в тетраэдр, нужно сначала найти ребро тетраэдра, а также можно без хитрых преобразований рассчитать сразу радиус сферы, описанной около тетраэдра.
a=2√6 r_1
R_1=3r_1

Зная ребро тетраэдра через радиус вписанной сферы, можно рассчитать периметр тетраэдра, равный длине всех шести его ребер, площадь одной грани и площадь полной поверхности тетраэдра, состоящей из четырех таких граней.
P=12√6 r_1
S_1=6√3 〖r_1〗^2
S_(п.п.)=4S_1=24√3 〖r_1〗^2

Кроме радиусов вписанной и описанной около тетраэдра сфер, у него есть также радиусы вписанной и описанной окружностей около грани, являющейся основанием, которые можно вычислить через радиус вписанной сферы.
r=√2 r_1
R=2√2 r_1

Высота и апофема тетраэдра располагаются под прямым углом к основанию с той лишь разницей, что высота падает в центр основания, являющийся по совместительству центром для вписанной и описанной окружностей основания, а апофема опускается по боковому ребру в центр стороны основания.
h=4r_1
l=3√2 r_1

Чтобы вычислить объем тетраэдра через радиус сферы, вписанной в него, нужно возвести радиус в третью степень и умножить его на восемь корней из трех.
V=8√3 〖r_1〗^3

Чтобы легко справиться с решением задач на шар, вписанный в пирамиду, полезно разобрать небольшой теоретический материал.

Шар вписан в пирамиду (или сфера вписана в пирамиду) — значит, шар (сфера) касаются каждой грани пирамиды. Плоскости, содержащие грани пирамиды, являются касательными плоскостями шара. Отрезки, соединяющие центр шара с точками касания, перпендикуляры к касательным плоскостям. Их длины равны радиусу шара. Центр вписанного в пирамиду шара — точка пересечения бисекторных плоскостей двугранных углов при основании (то есть плоскостей, делящих эти углы пополам).

Чаще всего в задачах речь идет о шаре, вписанном в правильную пирамиду. Шар можно вписать в любую правильную пирамиду. Центр шара в этом случае лежит на высоте пирамиды. При решении задачи удобно провести сечение пирамиды и шара плоскостью, проходящей через апофему и высоту пирамиды.

Если пирамида четырехугольная или шестиугольная, сечение представляет собой равнобедренный треугольник, боковые стороны которого — апофемы, а основание — диаметр вписанной в основание окружности.

Если пирамида треугольная или пятиугольная, достаточно рассмотреть лишь часть этого сечения — прямоугольный треугольник, катеты которого — высота пирамиды и радиус вписанной в основание пирамиды окружности, а гипотенуза — апофема.

В любом случае, в итоге приходим к рассмотрению соответствующего прямоугольного треугольника и других связанных с ним треугольников.

Итак, в прямоугольном треугольнике SOF катет SO=H — высота пирамиды, катет OF=r — радиус вписанной в основание пирамиды окружности, гипотенуза SF=l — апофема пирамиды. O1- центр шара и, соответственно, окружности, вписанной в треугольник, полученный в сечении (мы рассматриваем его часть). Угол SFO — линейный угол двугранного угла между плоскостью основания и плоскостью боковой грани SBC. Точки K и O — точки касания, следовательно, O1K перпендикулярен SF. OO1=O1K=R — радиусу шара.

Прямоугольные треугольники OO1F и KO1F равны (по катетам и  гипотенузе). Отсюда KF=OF=r.

Прямоугольные треугольники SKO1 и SOF подобны (по острому углу S), откуда следует, что

В треугольнике SOF применим свойство биссектрисы треугольника:

Из прямоугольного треугольника OO1F

При решении задач на шар, вписанный в правильную пирамиду, будет полезным еще одно рассуждение.

Теперь найдем отношение объема пирамиды к площади ее поверхности:

Таким образом, радиус вписанного шара выражается через объем пирамиды и ее полную поверхность:

Все эти рассуждения верны не только для правильной пирамиды, но и для пирамиды, основание высоты которой совпадает с центром вписанной в основание окружности (то есть для пирамиды, у которой все двугранные углы при основании равны).