Как найти работу тела в полете - Autoru.top - решение различных проблем

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, теория и онлайн калькуляторы

Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Начальные условия. Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Рассмотрим движение тела в поле тяжести Земли, сопротивление воздуха учитывать не будем. Пусть начальная скорость брошенного тела направлена под углом к горизонту $alpha $ (рис.1). Тело брошено с высоты ${y=h}_0$; $x_0=0$.

Тогда в начальный момент времени тело имеет горизонтальную ($v_x$) и вертикальную ($v_y$) составляющие скорости. Проекции скорости на оси координат при $t=0$ равны:

[left{ begin{array}{c}
v_{0x}=v_0{cos alpha , } \
v_{0y}=v_0{sin alpha . } end{array}
right.left(1right).]

Ускорение тела равно ускорению свободного паления и все время направлено вниз:

[overline{a}=overline{g}left(2right).]

Значит, проекция ускорения на ось X равна нулю, а на ось Y равна $a_y=g.$

Так как по оси X составляющая ускорения равна нулю, то скорость движения тела в этом направлении является постоянной величиной и равна проекции начальной скорости на ось X (см.(1)). Движение тела по оси X равномерное.

При ситуации, изображенной на рис.1 тело по оси Y будет двигаться сначала вверх, а затем виз. При этом ускорение движения тела в обоих случаях равно ускорению $overline{g}.$ На прохождение пути вверх от произвольной высоты ${y=h}_0$ до максимальной высоты подъема ($h$) тело тратит столько же времени, сколько на падение вниз от $h$ до ${y=h}_0$. Следовательно, точки симметричные относительно вершины подъема тела лежат на одинаковой высоте. Получается, что траектория движения тела симметрична относительно точки-вершины подъема — и это парабола.

Скорость движения тела, брошенного под углом к горизонту можно выразить формулой:

[overline{v}left(tright)={overline{v}}_0+overline{g}t left(3right),]

где ${overline{v}}_0$ — скорость тела в момент броска. Формулу (3) можно рассматривать как результат сложения скоростей двух независимых движений по прямым линиям, в которых участвует тело.

Выражения для проекции скорости на оси принимают вид:

[left{ begin{array}{c}
v_x=v_0{cos alpha , } \
v_y=v_0{sin alpha -gt } end{array}
left(4right).right.]

Уравнение для перемещения тела при движении в поле тяжести:

[overline{s}left(tright)={overline{s}}_0+{overline{v}}_0t+frac{overline{g}t^2}{2}left(5right),]

где ${overline{s}}_0$ — смещение тела в начальный момент времени.

Проектируя уравнение (5) на оси координат X и Y, получим:

[left{ begin{array}{c}
x=v_0{cos left(alpha right)cdot t, } \
y={h_0+v}_0{sin left(alpha right)cdot t-frac{gt^2}{2} } end{array}
left(6right).right.]

Тело, двигаясь вверх, имеет по оси Y сначала равнозамедленное перемещение, после того, как тело достигает вершины, движение по оси Y становится равноускоренным.

Траектория движения материальной точки получается, задана уравнением:

[y=h+x tg alpha -frac{gx^2}{2v^2_0{cos}^2alpha }left(7right).]

По форме уравнения (7) видно, что траекторией движения является парабола.

Время подъема и полета тела, брошенного под углом к горизонту

Время, затрачиваемое телом для того, чтобы достигнуть максимальной высоты подъема получают из системы уравнений (4). . В вершине траектории тело имеет только горизонтальную составляющую, $v_y=0.$ Время подъема ($t_p$) равно:

[t_p=frac{v_0{sin alpha }}{g}left(8right).]

Общее время движения тела (время полета ($t_{pol}))$находим из второго уравнения системы (6), зная, что при падении тела на Землю $y=0$, имеем:

[t_{pol}=frac{v_0{sin alpha +sqrt{v^2_0{sin}^2alpha +2gh} }}{g}left(9right).]

Дальность полета и высота подъема тела, брошенного под углом к горизонту

Для нахождения горизонтальной дальности полета тела ($s$) при заданных нами условиях в уравнение координаты $x$ системы уравнений (6) следует подставить время полета ($t_{pol}$) (9). При $h=0,$ дальность полета равна:

[s=frac{v^2_0{sin left(2alpha right) }}{g}left(10right).]

Из выражения (9) следует, что при заданной скорости бросания дальность полета максимальна при $alpha =frac{pi }{4}$.

Максимальную высоту подъема тела ($h_{max}$) находят из второго уравнения системы (6), подставляя в него время подъема ($t_p$) (8):

[h_{max}=h+frac{{v_0}^2{{sin}^2 б }}{2g}left(11right).]

Выражение (11) показывает, что максимальная высота подъема тела прямо пропорциональна квадрату скорости бросания и увеличивается при росте угла бросания.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. Во сколько раз изменится время полета тела, которое бросили с высоты $h$ в горизонтальном направлении, если скорость бросания тела увеличили в $n$ раз?

Решение. Найдем формулу для вычисления времени полета тела, если его бросили горизонтально (рис.2).

В качестве основы для решения задачи используем выражение для равноускоренного движения тела в поле тяжести:

[overline{s}={overline{s}}_0+{overline{v}}_0t+frac{overline{g}t^2}{2}left(1.1right).]

Используя рис.2 запишем проекции уравнения (1.1) на оси координат:

[left{ begin{array}{c}
X:x=v_0t;; \
Y:y=h_0-frac{gt^2}{2} end{array}
right.left(1.2right).]

Во время падения тела на землю $y=0,$ используем этот факт и выразим время полета из второго уравнения системы (1.2), имеем:

[0=h_0-frac{g{t_{pol}}^2}{2}to t_{pol}=sqrt{frac{2h_0}{g}} left(1.3right).]

Как мы видим, время полета тела не зависит от его начальной скорости, следовательно, при увеличении начальной скорости в $n$ раз время полета тела не изменится.

Ответ. Не изменится.

Пример 2

Задание. Как изменится дальность полета тела в предыдущей задаче, если начальную скорость увеличить в $n$ раз?

Решение. Дальность полета — это расстояние, которое пройдет тело по горизонтальной оси. Это означает, что нам потребуется уравнение:

[x=v_0t (2.1)]

из системы (1.2) первого примера. Подставив вместо $t,$ время полета, найденное в (1.3), мы получим дальность полета ($s_{pol}$):

[s_{pol}=v_0t_{pol}=v_0sqrt{frac{2h_0}{g}} left(2.2right).]

Из формулы (2.2) мы видит, что при заданных условиях движения дальность полета прямо пропорциональна скорости бросания тела, следовательно, во сколько раз увеличим начальную скорость, во столько раз увеличится дальность полета тела.

Ответ. Дальность полета тела увеличится в $n$ раз.

Читать дальше: закон сообщающихся сосудов.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Источник

Что такое движение тела брошенного под углом к горизонту

Определение

Движением тела под углом к горизонту в физике называют сложное криволинейное перемещение, которое состоит из двух независимых движений, включая равномерное прямолинейное движение в горизонтальном направлении и свободное падение по вертикали.

В процессе подбрасывания объекта вверх под углом к горизонту вначале наблюдают его равнозамедленный подъем, а затем равноускоренное падение. Скорость перемещения тела, относительно поверхности земли, остается постоянной.

Направление

На графике изображено схематичное движение тела, которое подбросили под углом к горизонту. В этом случае α является углом, под которым объект начал свое перемещение. Характеристики такого процесса будут следующими:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Направление вектора скорости тела, которое подбросили под определенным углом к горизонту, будет совпадать с касательной к траектории его перемещения.
Начальная скорость отличается от направления горизонтальной линии, а обе ее проекции не равны нулю.
Проекция скорости в начале движения на ось ОХ составляет (V_{ox}=V_{0}cos alpha).
Проекция начальной скорости на ось ОУ равна (V_{oy}=V_{0}sin alpha).
Проекция мгновенной скорости на ось ОХ следующая: (V_{x}=V_{0}cos alpha).
Проекция мгновенной скорости на ось ОУ обладает нулевым значением и рассчитывается следующим образом: (V_{x}=V_{0}sin alpha-gt).
Ускорение свободного падения на ось ОХ обладает нулевой проекцией, или (g_{x}=0).
Проекция ускорения свободного падения на ось ОУ равна (–g), или (g_{y}=-g).

К числу кинематических характеристик движения тела, которое подбросили под углом к горизонту, относят модуль мгновенной скорости в определенное время t. Данный показатель можно рассчитать с помощью теоремы Пифагора:

(V=sqrt{V^{2}_{x}+V^{2}_{y}})

Минимальная скорость тела будет замечена в самой верхней точке траектории, а максимальная величина данной характеристики будет достигнута, когда объект только начинает перемещаться, а также в точке падения на поверхность земли. Время подъема представляет собой время, необходимое для достижения телом верхней точки траектории. За полное время объект совершает полет, то есть перемещается от начальной точки к точке приземления.

Дальность полета является перемещением объекта по отношению к оси ОХ. Такую кинематическую характеристику обозначают буквой l. По отношению к оси ОХ тело перемещается, сохраняя постоянство скорости.

Определение

Горизонтальным смещением тела называют смещение данного объекта, относительно оси ОХ.

Расчет горизонтального смещения тела в какой-либо момент времени t выполняют с помощью уравнения координаты х:

(x=x_{0}+V_{0x}t+frac{gxt^{2}}{2})

Зная следующие условия:

(x_{0}=0);
проекция ускорения свободного падения, относительно оси ОХ, также имеет нулевое значение;
проекция начальной скорости на ось ОХ составляет (V_{0}cos alpha).

Записанная формула приобретает следующий вид:

(x=V_{0}cos alpha t)

Мгновенной высотой принято считать высоту, на которой находится объект в определенный момент времени t. Наибольшей высотой подъема является расстояние от поверхности земли до верхней точки траектории движения тела под углом к горизонту.

Вывод формулы, как найти угол и дальность полета

Перемещение объекта, который был брошен под углом к горизонту, необходимо изобразить с помощью суперпозиций, характерных для двух типов движений:

равномерное горизонтальное движение;
равноускоренное перемещение в вертикальном направлении с ускорением свободного падения.

Движение тела

Скорость тела будет рассчитываться таким образом:

(v_{0x}=v_{x}=v_{0} cos alpha =const)

(v_{0y}=v_{0}sin alpha)

(v_{y}=v_{0}sin alpha-gt)

Уравнение координаты записывают в следующем виде:

(x=v_{0}cos alpha times t)

(y=v_{0}sin alpha times t-frac{gt^{2}}{2})

В любое время значения скорости тела будут равны:

(v=sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}})

Определить угол между вектором скорости и осью ОХ можно таким образом:

(tan beta =frac{v_{y}}{v_{x}}=frac{v_{0}sin alpha -gt}{v_{0}cos alpha })

Время подъема на максимальную высоту составляет:

(t=frac{v_{0}sin alpha }{g})

Максимальная высота подъема будет рассчитана следующим образом:

(h_{max}=frac{v_{0}^{2}sin ^{2}alpha}{2g})

Полет тела будет длиться определенное время, которое можно рассчитать с помощью формулы:

(t=frac{2v_{0}sin alpha }{g})

Максимальная дальность полета составит:

(L_{max}=frac{v_{0}^{2}sin 2alpha }{g})

Примеры решения задач

В примерах, описывающих движение тела, на которое действует сила тяжести, следует учитывать, что а=g=9,8 м/с².

Задача 1

Небольшой камень был брошен с ровной горизонтальной поверхности под углом к горизонту. Необходимо определить, какова максимальная высота подъема камня при условии, что, спустя 1 секунду после его начала движения, скорость тела обладала горизонтальным направлением.

Решение

Направление скорости будет горизонтальным в верхней точке перемещения камня. Таким образом, время, за которое он поднимется, составляет 1 секунду. С помощью уравнения времени подъема можно представить формулу произведения скорости в начале полета на синус угла, под которым бросили камень:

(V_{0}sin alpha =gt)

Данное равенство следует подставить в уравнение для расчета максимальной высоты, на которую поднимется камень, и выполнить вычисления:

(h=frac{V_{0}sin ^{2}alpha }{2g}=frac{(gt)^{2}}{2g}=frac{gt^{2}}{2}=frac{10times 1}{2}=5)

Ответ: максимальная высота подъема камня, который бросили под углом к горизонту, составляет 5 метров.

Задача 2

Из орудия выпустили снаряд, начальная скорость которого составляет 490 м/с, под углом 30 градусов к горизонту. Нужно рассчитать, какова высота, дальность и время полета снаряда без учета его вращения и сопротивления воздуха.

Решение

Систему координат и движение тела можно представить схематично:

Задача

Составляющие скорости, относительно осей ОХ и ОУ, будут совпадать во время начала движения снаряда:

(V_{0x}=V_{0} cos alpha) сохраняет стабильность значения в любой промежуток времени во время всего перемещения тела.

(V_{0y}=V_{0}sin alpha) будет меняться, согласно формуле равнопеременного движения (V_{y}=V_{0}sin alpha-gt).

В максимальной точке, на которую поднимется снаряд:

(V_{y}=V_{0}sin alpha-gt_{1}=0)

Из этого равенства следует:

(t=frac{V_{0sin alpha }}{g})

Полное время полета тела будет рассчитано по формуле:

(t=2t_{1}=frac{2V_{0}sin alpha }{g}=50)

Высота, на которую поднимется снаряд, определяется с помощью уравнения равнозамедленного перемещения тела:

(h=V_{0y}t_{1}-frac{gt_{1}^{2}}{2}=frac{V_{0}^{2}sin ^{2}alpha }{2g}=3060)

Дальность полета снаряда будет рассчитана таким образом:

(S=V_{0x}t=frac{V_{0}^{2}sin 2alpha }{g}=21000)

Ответ: высота составляет 3060 метров, дальность полета равна 21000 метров, время движения составит 50 секунд.

Источник

Конспект по физике для 9 класса «Движение тела, брошенного под углом к горизонту». Как движется тело, брошенное под углом к горизонту. Как найти дальность и наибольшую высоту подъёма тела, брошенного под углом к горизонту.

Конспекты по физике Учебник физики Тесты по физике

Движение тела, брошенного
под углом к горизонту

Теперь рассмотрим случай, когда тело, движущееся под действием силы тяжести, имеет начальную скорость, направленную под некоторым углом к горизонту. Примерами такого движения могут служить: движение мяча, брошенного под различными углами к горизонту; движение снаряда, выпущенного из пушки; движение лыжника при прыжке с трамплина; движение воды из шланга и т. п.

ТРАЕКТОРИЯ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА, БРОШЕННОГО ПОД УГЛОМ К ГОРИЗОНТУ

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно разбить на два этапа.

На первом этапе при движении от начала траектории до точки, соответствующей наибольшей высоте подъёма, скорость тела уменьшается. На втором этапе тело будет двигаться вниз, аналогично движению тела, брошенного горизонтально.

Внимание учёных к такому виду движения начиная с XVI в. объяснялось необходимостью развития баллистики — науки о движении снарядов, выпущенных из огнестрельного оружия, и в частности развития теории полёта пушечных ядер. Итальянский математик Н. Тарталья в своих сочинениях впервые утверждает, что траектория пушечного ядра является кривой линией, тогда как его предшественники считали, что она состоит из двух прямых, соединённых кривой линией.

Точную форму траектории тела, брошенного под утлом к горизонту, установил великий Галилей спустя почти сто лет после Тартальи. Именно он доказал, что траектории снарядов, если пренебречь сопротивлением воздуха, представляют собой параболы.

Рассмотрим движение тела, брошенного под углом а к горизонту. Пусть при этом точка бросания тела и точка его падения лежат на горизонтальной прямой. Сопротивлением воздуха пренебрегаем. Это движение также можно представить как сумму двух движений, протекающих независимо друг от друга: равномерного движения вдоль оси ОХ и движения под действием силы тяжести вдоль оси OY.

Введём следующие обозначения: ʋ₀ — начальная скорость, h — максимальная высота подъёма тела, l — дальность полёта.

Обозначим проекцию начальной скорости ʋ₀ на ось ОХ через ʋ_0x и на ось OY через ʋ_0y. Поскольку движение вдоль оси ОХ является равномерным, то проекция скорости на эту ось остаётся неизменной: ʋ_0x = ʋ_x.

ВЫСОТА ПОДЪЕМА ТЕЛА, БРОШЕННОГО ПОД УГЛОМ К ГОРИЗОНТУ

Поднимаясь вверх, тело движется равнозамедленно, и его скорость в момент времени t можно найти по формуле ʋ = ʋ₀ + gt. Рассмотрим движение тела вдоль оси ОУ. Получаем, что

Обозначим максимальную высоту подъёма тела как h, а момент времени, в который тело достигло наибольшей высоты, через t_под. Поскольку в наивысшей точке траектории ʋ_y = 0, то

Воспользовавшись уравнением движения тела, получим

Подставив выражение (2) в выражение (3), получим

При отсутствии сопротивления воздуха время t_под, затраченное телом на подъём, составляет половину всего времени движения тела, т. е. оно равно времени от момента, когда тело достигает максимальной высоты, до момента падения тела.

ДАЛЬНОСТЬ ПОЛЕТА ТЕЛА, БРОШЕННОГО ПОД УГЛОМ К ГОРИЗОНТУ

Учитывая, что движение вдоль горизонтальной оси равномерное, дальность полёта I можно найти по формуле

где t — время полёта тела.

С учётом формулы (3) можно записать:

Подставив выражение (5) в формулу (4), получим

Полученное выражение свидетельствует о том, что при одном и том же значении начальной скорости дальность полёта зависит от значений проекций ʋ_x и ʋ_0x и, следовательно, от величины угла а. В геометрии доказывается, что максимальное значение l достигается для угла а = 45.

Именно Н. Тарталья впервые установил, что наибольшая дальность полёта тела, брошенного под углом к горизонту, достигается под углом 45°. Этот результат он получил, пытаясь ответить на вопрос своего друга-артиллериста, под каким углом необходимо устанавливать ствол пушки для наибольшей дальности полёта ядра.

При одном и том же значении начальной скорости величина проекции ʋ_y будет тем больше, чем больше угол а. При этом с увеличением угла а величина проекции ʋ_x уменьшается.

Траекторию движения снарядов считали состоящей из двух прямолинейных участков и одного криволинейного участка. Это неудивительно, так как в реальной жизни с учётом сопротивления воздуха траектория такого движения уже не является параболой, а выглядит так, как изображено на рисунке сплошной линией.

Никколо Тарталья (1500—1557) В первом из своих сочинений «Nuova scienza» («Новая наука», 1537 г.) он впервые рассматривает вопрос о траектории выпущенного снаряда.

Вы смотрели Конспект по физике для 9 класса «Движение тела, брошенного под углом к горизонту».

Вернуться к Списку конспектов по физике (Оглавление).

Источник

Алексей Алексеевич Ивахно

Эксперт по предмету «Физика»

Задать вопрос автору статьи

Если тело бросить под углом к горизонту, то в полете на него действуют сила тяжести и сила сопротивления воздуха. Если силой сопротивления пренебречь, то остается единственная сила — сила тяжести. Поэтому вследствие 2-го закона Ньютона тело движется с ускорением, равным ускорению свободного падения; проекции ускорения на координатные оси ах = 0, ау = — g.

Рисунок 1. Кинематические характеристики тела, брошенного под углом к горизонту

Любое сложное движение материальной точки можно представить как наложение независимых движений вдоль координатных осей, причем в направлении разных осей вид движения может отличаться. В нашем случае движение летящего тела можно представить как наложение двух независимых движений: равномерного движения вдоль горизонтальной оси (оси Х) и равноускоренного движения вдоль вертикальной оси (оси Y) (рис. 1).

Сдай на права пока
учишься в ВУЗе

Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!

Получить скидку 3 000 ₽

Проекции скорости тела, следовательно, изменяются со временем следующим образом:

где $v_0$ — начальная скорость, ${mathbf alpha }$ — угол бросания.

Координаты тела, следовательно, изменяются так:

При нашем выборе начала координат начальные координаты (рис. 1) $x_0=y_0=0$. Тогда получим:

(1)

Проанализируем формулы (1). Определим время движения брошенного тела. Для этого положим координату y равной нулю, т.к. в момент приземления высота тела равна нулю. Отсюда получаем для времени полета:

(2)

Второе значение времени, при котором высота равна нулю, равно нулю, что соответствует моменту бросания, т.е. это значение также имеет физический смысл.

Дальность полета получим из первой формулы (1). Дальность полета — это значение координаты х в конце полета, т.е. в момент времени, равный $t_0$. Подставляя значение (2) в первую формулу (1), получаем:

(3)

Из этой формулы видно, что наибольшая дальность полета достигается при значении угла бросания, равном 45 градусов.

Наибольшую высоту подъема брошенного тела можно получить из второй формулы (1). Для этого нужно подставить в эту формулу значение времени, равное половине времени полета (2), т.к. именно в средней точке траектории высота полета максимальна. Проводя вычисления, получаем

(4)

Из уравнений (1) можно получить уравнение траектории тела, т.е. уравнение, связывающее координаты х и у тела во время движения. Для этого нужно из первого уравнения (1) выразить время:

и подставить его во второе уравнение. Тогда получим:

Это уравнение является уравнением траектории движения. Видно, что это уравнение параболы, расположенной ветвями вниз, о чем говорит знак «-» перед квадратичным слагаемым. Следует иметь в виду, что угол бросания $alpha $ и его функции — здесь просто константы, т.е. постоянные числа.

«Движение тела, брошенного под углом к горизонту» 👇

Задача 1

Тело брошено со скоростью v0 под углом ${mathbf alpha }$ к горизонту. Время полета $t = 2 с$. На какую высоту Hmax поднимется тело?

Решение

Дано:

$$t_В = 2 с$$
$$H_max — ?$$

Закон движения тела имеет вид:

$$left{ begin{array}{c}
x=v_{0x}t \
y=v_{0y}t-frac{gt^2}{2} end{array}
right.$$

Вектор начальной скорости образует с осью ОХ угол ${mathbf alpha }$. Следовательно,

[v_{0x}=v_0{cos {mathbf alpha } }, v_{0y}=v_0{sin {mathbf alpha } }.][y_B=v_{0y}t_В-frac{gt^2_B}{2}=0;; v_{0y}t_В=frac{gt^2_B}{2};; v_{0y}=frac{gt_B}{2} ][H_{max}=frac{v^2_{0y}}{2g}=frac{gt^2}{8}=4.9 м]

Задача 2

С вершины горы бросают под углом = 30${}^circ$ к горизонту камень с начальной скоростью $v_0 = 6 м/с$. Угол наклонной плоскости = 30${}^circ$. На каком расстоянии от точки бросания упадет камень?

Решение

Дано:

$$ alpha =30{}^circ$$
$$v_0=6 м/с$$
$$S — ?$$

Поместим начало координат в точку бросания, ОХ — вдоль наклонной плоскости вниз, OY — перпендикулярно наклонной плоскости вверх. Кинематические характеристики движения:

Закон движения:

$$left{ begin{array}{c}
x=v_0t{cos 2alpha +gfrac{t^2}{2}{sin alpha } } \
y=v_0t{sin 2alpha }-frac{gt^2}{2}{cos alpha } end{array}
right.$$

[y_В=v_0t_В{sin 2alpha }-frac{g{t_В}^2}{2}{cos alpha }=0;; t_В=frac{{4v}_0{sin alpha }}{g}]

Подставив полученное значение $t_В$, найдём $S$:

[S=v_0{cos 2alpha times frac{{4v}_0{sin alpha }}{g}+frac{g}{2}{sin alpha }{times left(frac{{4v}_0{sin alpha }}{g}right)}^2 }=frac{4v^2_0{sin alpha }}{g}left(cos2alpha +2sin^2alpha right)=frac{4times 6^2times 0.5}{9.81}left(cos^2alpha -sin^2alpha +2sin^2alpha right)=7.34]

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Источник

Цель урока: создать модель полета тела, брошенного под углом к горизонту.

Постановка задачи (этап 1)

Задача. Под углом 60° к горизонту и начальной скоростью 30 м/с брошен камень. Сопротивление воздуха не учитывается.
Вопросы:

Как далеко от места бросания камень упадет?
Сколько секунд камень будет находиться в полете?
Какова наибольшая высота взлета камня?
Как скоро от начала полета будет достигнута наивысшая точка полета?

Выбор плана создания модели (этап 2)

Объектом исследования является положение в пространстве летящего тела в зависимости от времени.

Определенно ясно, что камень при данных начальных условиях действительно должен полететь.

Для создания модели потребуются специальные знания из курса физики и математики. Устное решение задачи невозможно.

Для решения задачи нужно строить документальную математическую модель задачи (уравнения, формулы).

Дальнейшее моделирование возможно двумя путями. Решение математической задачи можно получить в виде формулы (аналитическое решение). Второй путь связан с построением компьютерной модели (расчетное решение).

Будем строить компьютерную модель с помощью электронных таблиц, рассчитывая для разных моментов времени удаление и высоту полета камня.

Таким образом, получаем этапы создания модели:

3а — создание документальной математической реализации модели.
3б — создание компьютерной реализации модели.

Создание документальной математической реализации модели (этап 3а)

В вертикальной плоскости полета камня зададим прямоугольную систему координат с началом в точке вылета.

Схема представлена на рисунке

Начальная скорость v (м/c) разлагается на составляющие vx и vy по углу бросания u в градусах:

Положение тела в полете определяется парой координат x(t), y(t). Зависимость координат от времени t (с) описывается формулами:

где g = 9,81 — ускорение свободного падения, т.е.

Положение камня в полете будем рассматривать в отдельные моменты времени t0, t1, t2 и т.д. Пусть начальный момент t0 равен 0, а последующие моменты отстоят друг от друга на одну и ту же величину dt, называемую шагом времени. Зададим dt = 0,2 c.

Создание компьютерной реализации модели (этап 3б)

Используем табличную схему модели в электронных таблицах.

В первую строку рабочей таблицы введем название «Модель полета тела».

Исходными данными для задачи являются начальная скорость (30 м/с), угол бросания (60 град.) и шаг времени (0,2 с).

В расчетной таблице в столбцах будем отображать: время с начала процесса (столбец Время), координату-удаление (столбец x(t)) и координату-высоту (столбец y(t)). Модель получит вид, приведенный на рисунке

Вводим данные в первую строку расчетной таблицы:

A9: 0 В9: 0 С9: 0

Вторая строка расчетной таблицы — формульная:

          A10: =A9+$A$5
           В10: =$A$3*COS($A$4*3,14/180)*A10
           C10: =$A$3*SIN($A$4*3,14/180)*A10–9,81*A10^2/2

Абсолютные адреса в формулах введены для обеспечения последующего копирования формул.

Следующие 35 строк расчетной таблицы, включая строку 45 рабочей таблицы, заполняем вниз содержимым блока A10:C10.

Расчетную таблицу можно дополнить диаграммой.

Выделяем в расчетной таблице блок B9:C45 и вставляем на свободное место рабочей таблицы диаграмму (Точечная с гладкими кривыми и маркерами). Легенду можно удалить.

Проверка адекватности модели (этап 4)

Адекватность модели проверяется рассчитанными данными. Для 1 сек полета удаление равно 15,01379067 м, а высота — 21,06779518 м.

Модель адекватна реальному процессу только с допущением об отсутствии сопротивления воздуха и для положительных значений координат. Когда координата (высота) становится отрицательной, модель становится неадекватной (тело находится ниже уровня земли).

Получение решения задачи с помощью модели (этап 5)

Для ответа на вопросы задачи анализируются расчетная таблица и диаграмма.

По числам в графе y(t) находится та строка, в которой положительные числа переходят в отрицательные (на диаграмме график полета тела пересекает горизонтальную ось). Это и есть момент падения с точностью до величины шага времени. Так получается ответ на 1-й вопрос.

Ответы на остальные вопросы находятся аналогично.

Финансовая модель

Постановка задачи. В сберегательном банке имеется два вида денежных вкладов: с простым и сложным (капитализированным) процентом. Простой процент составляет 30% в год, сложный — 25% в год. Первоначальная сумма вклада составляет 1000 рублей. Каким видом вклада и в ка-кие сроки выгодно пользоваться?

План создания модели. Объектами исследования являются денежные вклады. Известны начальная сумма вклада, процентные ставки для каждого вида вкладов. Чтобы получить суммы вкладов на каждый год, будем строить таблицу сумм вкладов. Вычисления удобно производить с помощью электронных таблиц.

Построение математической модели.

Введем обозначения. Пусть S₀ – начальная сумма вклада, P₁ – простой процент, P₂ — сложный процент, А₁ — сумма вклада с простым процентом через 1 год, В₁ — сумма вклада со сложным процентом через 1 год, A_i и B_i — суммы с простым и сложным процентом через i лет. Тогда имеем следующие равенства: