Как найти работу силы тяжести при подъеме - Autoru.top

Полезно ознакомиться в отдельности с работой каждой из механических сил, с которыми мы ознакомились в пятой главе: силы тяжести, силы упругости и силы трения. Начнем с силы тяжести. Сила тяжести равна $vec{F} = m vec{g}$ и направлена по вертикали вниз. Вблизи поверхности Земли ее можно считать постоянной.

рис. 1

При движении тела по вертикали вниз сила тяжести совпадает по направлению с перемещением. При переходе с высоты $h_{1}$ над каким-то уровнем, от которого мы начинаем отсчет высоты, до высоты $h_{2}$ над тем же уровнем (рис. 1), тело совершает перемещение, по абсолютной величине равное $h_{1} — h_{2}$. Так как направления перемещения и силы совпадают, то работа силы тяжести положительна и равна:

$A = mg (h_{1} — h_{2})$.

Высоты $h_{1}$ и $h_{2}$ не обязательно отсчитывать от поверхности Земли. Для начала отсчета высот можно выбрать любой уровень. Это может быть пол комнаты, стол или стул, это может быть и дно ямы, вырытой в земле, и т. д. Ведь в формулу для работы входит разность высот, а она не зависит от того, откуда начинать их отсчет. Мы могли бы, например, условиться начинать отсчет высоты с уровня $B$ (см. рис. 1). Тогда высота этого уровня была бы равна нулю, а работа выражалась бы равенством

$A = mgh$,

где $h$ — высота точки $A$ над уровнем $B$.

Если тело движется вертикально вверх, то сила тяжести направлена против движения тела и ее работа отрицательна. При подъеме тела на высоту $h$ над тем уровнем, с которого оно брошено, сила тяжести совершает работу, равную

$A = — mgh$.

Если после подъема вверх тело возвращается в исходную течку, то работа на таком пути, начинающемся и кончающемся в одной и той же точке (на замкнутом пути), на пути «туда и обратно», равна нулю. Это одна из особенностей силы тяжести: работа силы тяжести на замкнутом пути равна нулю.

Теперь выясним, какую работу совершает сила тяжести в случае, когда тело движется не по вертикали.

рис. 2

В качестве примера рассмотрим движение тела по наклонной плоскости (рис. 2). Допустим, что тело массой $m$ по наклонной плоскости высотой $h$ совершает перемещение $vec{s}$, по абсолютной величине равное длине наклонной плоскости. Работу силы тяжести $m vec{g}$ в этом случае надо вычислять по формуле $A = mgs cos alpha$. Но из рисунка видно, что

$cos alpha = frac{h}{s}$.

Поэтому

$A = mgs frac{h}{s} = mgh$.

Мы получили для работы то же самое значение.

рис. 3

Выходит, что работа силы тяжести не зависит от того, движется ли тело по вертикали или проходит более длинный путь по наклонной плоскости. При одной и той же «потере высоты» работа силы тяжести одинакова (рис. 3).

рис. 4

Это справедливо не только при движении по наклонной плоскости, но и по любому другому пути. В самом деле, допустим, что тело движется по какому-то произвольному пути, например по такому, какой изображен на рисунке 4. Весь этот путь мы можем мысленно разбить на ряд малых участков: $AA_{1}, A_{1}A_{2}, A_{2}A_{3}$ и т. д. Каждый из них может считаться маленькой наклонной плоскостью, а все движение тела на пути $AB$ можно представить как движение по множеству наклонных плоскостей, переходящих одна в другую. Работа силы тяжести на каждой такой наклонной плоскости равна произведению $mg$ на изменение высоты тела на ней. Если изменения высот на отдельных участках равны $h_{1}, h_{2}, h_{3}$ и т. д., то работы силы тяжести на них равны $mgh_{1}, mgh_{2}, mgh_{3}$ и т. д. Тогда полную работу на всем пути можно найти, сложив все эти работы:

$A = mgh_{1} + mgh_{2} + mgh_{3} + cdots = mg (h_{1} + h_{2} + h_{3} + cdots)$.

Но

$h_{1} + h_{2} + h_{3} + cdots = h$.

Следовательно,

$A = mgh$.

Таким образом, работа силы тяжести не зависит от траектории движения тела и всегда равна произведению силы тяжести на разность высот в исходном и конечном положениях. При движении вниз работа положительна, при движении вверх — отрицательна.

Почему же в технике и быту при подъеме грузов часто пользуются наклонной плоскостью? Ведь работа перемещения груза по наклонной плоскости такая же, как и при движении по вертикали!

Это объясняется тем, что при равномерном движении груза по наклонной плоскости сила, которая должна быть приложена к грузу в направлении перемещения, меньше силы тяжести. Правда, груз при этом проходит больший путь. Больший путь — это плата »а то, что по наклонной плоскости груз можно поднимать с помощью меньшей силы.

Задача. Шарик массой $m$ скатывается по рельсам, образующим круговую петлю радиусом $r$ (рис. 196). Какую работу совершает сила тяжести к моменту, когда шарик достигает высшей точки петли $C$, если в начальный момент он находится на высоте $H$ над нижней точкой петли?

рис. 5

Решение. Работа силы тяжести равна произведению ее значения на разность высот начального и конечного положений шарика. Начальная высота равна $H$, а конечная, как это видно из рисунка, равна $2r$. Следовательно,

$A = mg (H — 2r) = mgh$.

Источник

Работа против силы тяжести, формула

Возле поверхности Земли, от самой поверхности до небольшой высоты можно пренебречь изменением ускорения свободного падения в зависимости от высоты и считать эту величину постоянной:

[
g = 9.81 (м/c^2)
]

Если тело равномерно поднимается, т.е. движется с постоянной скоростью в направлении, противоположном направлению действия силы тяжести, то согласно общей формуле работы, над телом совершается работа
W = Fs, где F — сила; она совпадает по направлению с перемещением s и равна по величине весу тела G = mg.

[
W = Fs
]
[
F = G = mg
]
[
W = mgs = mgh
]

Здесь:
W — работа по поднятию тела (Дж),
G — вес тела, сила тяжести (Ньютон),
g — ускорение свободного падения, 9.81 (м/с²),
s=h — высота на которую поднимают тело (метр),
m — масса тела (кг)

Вычислить, найти работу против силы тяжести по формуле (3)

Работа против силы тяжести	стр. 464

Источник

Авторы
Резюме
Файлы

Иванов Е.М.

Показано, что работа подъема тела в однородном поле тяжести всегда больше величины потенциальной энергии mgh. Величина работы имеет минимум, величина которого зависит от способа подъема тела.

В школьных [1] и вузовских [2-4] курсах физики утверждается, что если тело массы m равномерно поднимать вверх на высоту h с помощью силы F=mg, то сила совершает положительную работу A_F=mgh, равную потенциальной энергии П=mgh, а сила тяжести отрицательную работуA_P=-mgh [1]. Рассматривается также случай бросания тела вертикально вверх с начальной скоростью V₀, обеспечивающей подъем тела на высоту h на основании закона сохранения и превращения энергии: K=П или . Работу бросания считают равной . В этих безобидных, на первый взгляд, утверждениях, содержится нечто, противоречащее одному из положений физики. В физике используется понятие КОЭФФИЦИЕНТА ПОЛЕЗНОГО ДЕЙСТВИЯ (η ) — КПД. КПД не может быть больше единицы. КПД всегда меньше единицы, поскольку часть энергии превращается тоже в энергию, но не в ту, что нужна, и поэтому теряется для полезного использования. КПД всегда меньше единицы вследствие самой физической природы вещей и явлений. Если же записать КПД для выше приведенных случаев подъема тела на высоту h, то получим: . Рассмотрим более подробно ряд случаев подъема тела на высоту h.

§ 1. Рассмотрим движение тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью V₀, за счет действия мгновенной силы в виде [5, 6] , где — δ- функция Дирака [7, 8]. Величину I₀ будем называть единичным импульсом силы, численно равным количеству движения (импульсу), полученным телом I₀=mV₀. Дифференциальное уравнение движения (II закон Ньютона) имеет вид:

(1)

при нулевых начальных условиях:

; (2)

Где x— вертикальная координата, отсчитываемая от поверхности Земли. Для решения задачи воспользуемся двусторонним преобразованием Лапласа [9]

(3)

Для решения этой задачи используется дифференциальное уравнение для односторонней функции где H(t) — единичная (ступенчатая) функция Хевисайда [8, 9]. Тогда производные функции x*(t) имеют вид [9]

;

После соответствующих преобразований, решение получается в следующем виде

(4)

Вычислим работу, совершаемую силами

(5)

Вычисляя интегралы, получим [9]

;

Работа, совершаемая силами, запишется в виде:

(6)

Работа, совершенная единичным импульсом силы I₀=mV₀ (или начальная энергия, полученная телом) будет равна

(7)

где — начальная кинетическая энергия тела. Время подъема до максимальной высоты , а максимальная высота подъема . Подставляя в выражение (6) значение t₀, получим конечное значение совершенной работы:

(8)

Поскольку начальная энергия полученная телом A₀=2K₀, то КПД процесса бросания тела вертикально вверх будет равен

То, что начальная энергия тела A₀=2K₀ можно объяснить эффектом удвоения массы (силы тяжести) в случае внезапно приложенной нагрузки при бросании [5, 10].

§ 2. Рассмотрим случай движения тела вертикально вверх под действием постоянной вертикальной силы тяги F_T. Уравнение движения (II закон Ньютона) запишется в следующем виде

(9)

Если F_T=mg, то правая часть тождественно равна нулю, и движения тела вверх не происходит, но в этом случае сила давления тела на опору (например, на поверхность Земли) равна нулю, поскольку сила тяги нейтрализует «тяжелую» массу, и тело находится в квазиневесомом состоянии (состояние левитации). Обозначим силу тяги, равную mg, значком «Л»: F_Л=mg. Если сила тяги больше mg на величину ΔF, то уравнение (9) можно переписать в виде

или (10)

Таким образом, часть силы тяги F_Л =mg не будет принимать непосредственного участия в работе по подъему тела вверх. Тело будет подниматься вверх только благодаря действию силы ΔF с ускорением . За время t высота подъема будет равна

(11)

Работа подъема составит величину, равную

(12)

Поскольку есть импульс силы, численно равный импульсу (количеству движения), полученному телом , где V₁ — скорость тела в момент времени t, то можно записать .

Однако чтобы остановить тело на данной высоте h, необходимо еще совершить работу торможения, численно равную кинетической энергии, приобретенной телом ;

(13)

Отдельного разговора заслуживает вопрос о том, что же делает другая часть силы тяги F_Л=mg? Ведь она не принимает участия в подъеме тела на высоту h, она лишь нейтрализует силу тяжести, обеспечивая условия левитации. Можно записать баланс импульсов сил в виде:

(14)

Возведя обе части равенства в квадрат и разделив на 2m, получим баланс энергий (работ):

(15)

Работу, совершаемую силой F_T, можно переписать в следующем виде:

(16)

Или, с учетом выражений (11) и (12):

(17)

Первый член в правых частях выражений (15)-(17) представляет собой работу силы левитации в стационарном (неподвижном) состоянии

(18)

Второй член выражает работу, связанную с ускоренным перемещением силы левитации

(19)

Третий член — это обычная работа силы ΔF, обеспечивающей ускоренное движение тела в соответствии со II законом Ньютона:

(20)

Произведение работ . На рис. 1 показана зависимость величины работы левитации A_Л от величины работы A_Δ, выраженных в долях потенциальной энергии mgh.

Выражение (17) имеет минимум, равный при . На графике (рис. 2) показана зависимость работы , совершаемой силой тяги F_T, выраженной в долях потенциальной энергии П=mgh, от величины соотношения ΔF / mg. Если использовать обычную формулу определения работы подъема тела на высоту h с некоторым ускорением a, то будем иметь A=m(g+a)h = (F_Л+ ΔF)h . Ее зависимость от величины соотношения ΔF / mg показана на графике (рис. 3). Самое нелепое на этом графике то, что при ΔF=0 совершается работа подъема, равная mgh, хотя, согласно условиям статики, тело должно оставаться неподвижным.

Отрицательная работа, совершаемая силой тяжести при подъеме тела вверх вовсе не равна mgh. Она равна

(21)

Сумма работ (17) и (21) дает величину , т.е. величину кинетической энергии, приобретенной телом на высоте h.

КПД подъема при без учета работы торможения составляет .

§3. Тело находится в состоянии левитации (приложена сила тяги ). Для того, чтобы тело двигалось вверх, в начальный момент времени на тело действует направленный вверх единичный импульс силы . В этом случае дифференциальное уравнение движения запишется в виде

(22)

при нулевых начальных условиях. Решая уравнение с помощью преобразования Лапласа, получим

(23)

Вычисляем работу, совершаемую всеми силами

(24)

где , а t₁ — время движения до высоты . Вычисляя интегралы, выделим положительную и отрицательную работы

(25)

(26)

Преобразуем выражения, входящие в (25)

, где

Тогда суммарную положительную работу (работу подъема) можно записать в виде

(25а)

Эта работа имеет минимум, равный при величине . График зависимости суммарной работы подъема A_Σ в зависимости от величины 2K₁, выраженных в долях потенциальной энергии П=mgh, показана на графике (рис. 4). Отрицательная работа, совершаемая силой тяжести (27), может быть представлена в виде:

(26а)

При больших значениях начального импульса ( ) она асимптотически стремится к своему обычному значению .

Величина энергии, приобретенной в результате ударного нагружения мгновенным импульсом силы I₁=mV₁, равна . Двойная энергия является результатом удвоения массы при внезапно приложенной нагрузке (в рамках модели материальной точки). В рамках реального упругого тела половина энергии идет на возбуждение упругих колебаний, которые вследствие дисперсии и внутреннего трения с течением времени затухают, переходя во внутреннюю энергию (тело нагревается).

СПИСОК ЛИТЕРАТУР

Кикоин И.К., Кикоин А.К. Физика: Учеб. для 9 кл. средн. шк. — М.: Просвещение, 1990.
Сивухин Д.В. Общий курс физики. Том I. Механика. — М.: Наука, 1989.
Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. Учебн. пособие для вузов. — М.: Высш. шк., 1989.
Матвеев А.Н. Механика и теория относительности: Учебн. пособие для физ. спец. вузов. — М.: Высш. шк., 1986.
Иванов Е.М. Дополнительные главы классической механики: — Димитровград: ДИТУД УлГТУ, 2004.
Иванов Е.М. Работа центростремительных и гироскопических //Успехи современного естествознания, № 9, 2004.
Арсенин В.Я. Математическая физика. — М.: Наука, 1966.
Арфкен Г. Математические методы в физике. М.: Атомиздат, 1970.
Б. Ван Дер Поль, Х. Бреммер. Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа. — М.: Изд. Иностр.Лит. 1952.
Иванов Е.М. Закон инерции Галилея (I закон Ньютона) //Вестник ДИТУД, № 1, 2003.

Библиографическая ссылка

Иванов Е.М. РАБОТА ПОДЪЕМА ТЕЛА В ОДНОРОДНОМ ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ // Современные наукоемкие технологии. – 2005. – № 3.
– С. 9-12;

URL: https://top-technologies.ru/ru/article/view?id=22372 (дата обращения: 25.05.2023).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»

(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

Источник

Итак, мы уже с вами знаем, что любое состояние тела (или
системы тел) характеризуется его координатами и скоростью. И если изменяется
хотя бы одна из этих величин, то говорят, что изменилось механическое состояние
тела. Количественно механическое состояние системы и её изменение характеризуется
механической энергией. Напомним, что механическая энергия — это физическая
величина, являющаяся функцией состояния системы и характеризующая её
способность совершать работу.

Так же мы с вами говорили о том, что в механике принято
выделять два вида механической энергии: кинетическую и потенциальную.

Кинетической энергией обладает любое движущееся тело. А её
изменение равно работе равнодействующей всех сил, действующих на него. При
этом не важно, какие силы действуют на тело: сила упругости, сила трения или
сила тяжести. Теорема о кинетической энергии справедлива всегда.

Потенциальная энергия — это энергия, обусловленная взаимным
расположением тел или частей тела друг относительно друга и характером сил
взаимодействия между ними.

Её изменение тоже равно работе. Однако эта работа будет
зависть от того, какие силы действуют на тело.

Итак, пусть у нас есть материальная точка массой т,
которая под действием силы тяжести перемещается с высоты h₁
до высоты h₂. При этом будем считать,
что данные высоты намного меньше радиуса Земли, чтобы действующая на
материальную точку сила тяжести была постоянной.

Тогда работа, совершаемая этой силой при перемещении тела с
одного уровня на другой, будет равна произведению модуля вектора силы тяжести
на модуль вектора перемещения точки и на косинус угла между этими двумя
векторами.

A
= mg|Δr|cosα.

В нашем примере направление вектора перемещения и вектора
силы тяжести совпадают. Следовательно, угол между этими двумя ве́кторами
равен нулю. А косинус нуля градусов — это единица. Что касается перемещения
точки, то из рисунка видно, что его модуль равен разности высот «Аш один» и «Аш
два» (h₁ и h₂).
Значит, работа силы тяжести положительна и равна произведению модуля силы
тяжести и разности высот:

A = mg(h₁ – h₂) = mgh₁
– mgh₂.

Теперь давайте с вами найдём работу силы тяжести при подъёме
материальной точки с высоты h₁ до
высоты h₂ над поверхностью Земли.

Запишем формулу для работы силы тяжести в общем виде:

A
= mg|Δr|cosα.

Модуль перемещения, как и в предыдущем случае, равен разности
в конечном и начальном положениях точки:

Δr = h₂ – h_1.

Но теперь векторы силы тяжести и перемещения направлены в
противоположные стороны. Значит, угол между этими двумя векторами составляет
180^о. А сos180^o
= –1. Перепишем формулу для работы с учётом наших рассуждений:

A
= mgh₁ – mgh₂.

Как видим, мы с вами получили точно такое же выражение для
работы силы тяжести, что и в предыдущем случае.

И давайте ещё раз определим работу силы тяжести, но для
случая, когда тело переходит с одной высоты на другую не по вертикали.

Обозначив угол между направлением вектора силы и вектора
перемещения через α, запишем формулу для работы силы тяжести в общем виде:

A
= mg|Δr|cosα.

Для определения перемещения точки воспользуемся получившимся
прямоугольником треугольником ΔMKN, в
котором гипотенуза — это искомое перемещение, а один из острых углов — это наш
угол между вектором силы и вектором перемещения. Тогда очевидно, что произведение
модуля вектора перемещения на косинус угла альфа равно длине прилежащего к углу
катета МК:

MK
= |Δr|cosα.

С другой же стороны

MK
= h₁ –h₂.

Тогда получается, что работа силы тяжести вновь определяется
той же формулой, что и в предыдущих двух случаях:

A
= mgh₁ – mgh₂.

Отсюда следует главный вывод о том, что работа силы
тяжести не зависит от того, по какой траектории движется материальная точка и
всегда равна произведению модуля силы тяжести на разность высот в начальном и
конечном положениях точки.

Тогда становится очевидным, что в случае движения точки по
замкнутой траектории работа силы тяжести будет равна нулю, так как начальное и
конечное положения точки совпадают.

Силы, работа которых не зависит от формы траектории точки
приложения силы и которые на замкнутой траектории равны нулю, называются
потенциальными или консервативными силами. Значит, сила тяжести — это
консервативная сила.

Теперь давайте найдём формулу для работы, совершаемой силой
упругости. Для этого рассмотрим механическую систему, состоящую из пружины и
прикреплённого к ней шарика, через который проде́т тонкий металлический
стержень, по которому шарик может свободно скользить практически без трения. Так
как действующая на шар сила тяжести уравновешивается силой нормальной реакции
стержня, то вся система находится в состоянии равновесия.

Направим координатную ось ОХ параллельно стержню, а за
начало отсчёта примем центр тяжести шара в положении равновесия. Теперь отведём
шар от положения равновесия на некоторое расстояние. Пружина при этом растянется
и в ней возникнет сила упругости, модуль которой будет определяться на
основании закона Гука:

F₁
= kx₁.

Если мы теперь отпустим шарик, то он за счёт совершения
работы силой упругости придёт в движение. Предположим, что шар переместился
так, что его координата стала равной x₂,
а модуль силы упругости — F₂ = kx₂. Тогда модуль перемещения шарика будет
равен разности между его начальной и конечной координатой:

|Δr|
= x₁ – x₂.

Так как сила упругости является переменной силой, то для
нахождения совершённой ею работы воспользуемся графиком зависимости модуля силы
упругости от координаты шара.

Как нам уже известно, работа силы численно равна площади под
графиком силы. В нашем случае это площадь трапеции, основаниями которой
являются силы упругости пружины в начальном и конечном состояниях, а высота —
это перемещение тела:

Из полученной нами формулы следует, что работа силы упругости
пружины зависит только от координат её конца в начальном и конечном состояниях.
То есть она не зависит от формы траектории. Тогда становится очевидным,
что если начальное и конечное состояния пружины совпадают, то работа силы
упругости будет равна нулю. Следовательно, сила упругости, как и сила
тяжести, является потенциальной (или консервативной) силой.

На прошлом уроке мы с вами ввели понятие потенциальной
энергии, которая определяется взаимным расположением тел или частей тела друг
относительно друга.

Введя понятие потенциальной энергии, мы с вами получаем
возможность выразить работу любых консервативных сил через изменение
потенциальной энергии. Напомним, что под изменением величины понимают разность
между её конечным и начальным значениями:

ΔЕ_п
= Е_п2 – Е_п1.

Тогда для работы силы тяжести и силы упругости можно записать,
что изменение потенциальной энергии материальной точки равно работе
консервативной силы, взятой с обратным знаком:

А = Е_п1
– Е_п2 = –(Е_п2 – Е_п1) = –
ΔЕ_п.

Таким образом, работа консервативных сил определяет не саму
потенциальную энергию точки, а её изменение. И лишь это изменение в механике
имеет физический смысл. Поэтому можно произвольно выбрать состояние системы,
в котором её потенциальная энергия считается равной нулю. Этому состоянию
соответствует нулевой уровень отсчёта потенциальной энергии. Его выбор
диктуется условиями конкретной задачи.

Для примера решим с вами такую задачу. Бревно цилиндрической
формы массой 400 кг, длиной 4 м и диаметром основания 50 см лежит на земле.
Какую минимальную работу необходимо совершить, чтобы это бревно поставить в
вертикальное положение? Ускорение свободного падения примем равным 10 м/с².

Источник

Подробности: Обновлено 30.05.2018 20:11; Просмотров: 707

Задачи по физике — это просто!

Вспомним

Формулы, по которым можно вычислить работу силы:

Не забываем, что решать задачи надо всегда в системе СИ!

А теперь к задачам!

Типовые задачи из курса школьной физики по динамике на расчет работы, совершаемой силой тяжести.

Задача 1

Автомобиль массой 500 кг движется вверх по наклонной плоскости, расположенной под угломм 30^o к горизонту. Найти работу силы тяжести на пути в 200 метров.