Момент количества движения точки.
В некоторых задачах
в качестве динамической характеристики
движущейся точки вместо самого количества
движения рассматривают его момент
относительно какого-либо центра или
оси. Эти моменты определяются также как
и моменты силы.
М
оментом
количеством движения
материальной точки
относительно
некоторого центра О называется вектор,
определяемый равенством
Момент количества
движения точки называют также кинетическим
моментом.
Момент
количества движения
относительно какой-либо оси
,
проходящий через центр О, равен проекции
вектора количества движения
на эту ось
.
Если количество
движения
задано своими проекциями
на оси координат и даны координаты
точки
в пространстве, то момент количества
движения
относительно начала координат вычисляется
следующим образом:
Проекции
момента количества движения
на
оси координат равны:
Единицей измерения
количества движения в СИ является –
.
Теорема об изменении момента количества движения точки.
Теорема.
Производная по времени от момента
количества движения точки, взятого
относительно какого-нибудь центра,
равна моменту действующей на точку силы
относительно того же центра.
Доказательство:
Продифференцируем момент количества
движения по времени
, 
,
следовательно
,
(*)
что и требовалось
доказать.
Теорема.
Производная по времени от момента
количества движения точки, взятого
относительно какой-либо оси, равна
моменту действующей на точку силы
относительно той же оси.
Для доказательства
достаточно спроектировать векторное
уравнение (*) на эту ось. Для оси
это
будет выглядеть так:
Следствия из
теорем:
1. Если момент силы
относительно точки равен нулю, то момент
количества движения относительно этой
точки величина постоянная.
, 
2. Если момент силы
относительно оси равен нулю, то момент
количества движения относительно этой
оси величина постоянная.
, 
Работа силы. Мощность.
Одна из основных
характеристик силы, оценивающих действие
силы на тело при некотором его перемещении.
Э
лементарная
работа силы
скалярная величина равная произведению
элементарного перемещения на проекцию
силы на это перемещение.
.
,
Единицей измерения
работы в СИ является –
При
при
Частные случаи: 
Элементарное
перемещение равно дифференциалу радиуса
вектора точки приложения силы.
Элементарная
работа силы
равна скалярному произведению силы на
элементарное перемещение или на
дифференциал радиуса вектора точки
приложения силы.
Элементарная
работа силы
равна скалярному произведению
элементарного импульса силы на скорость
точки.
Если сила
задана своими проекциями (
)
на оси координат и элементарное
перемещение задано своими проекциями
(
)
на оси координат, то элементарная работа
силы равна:
(аналитическое
выражение элементарной работы).
Работа
силы на любом конечном перемещении
равна взятому вдоль этого перемещения
интегралу от элементарной работы.
Мощностью
силы называется
величина, определяющая работу, совершаемую
силой в единицу времени. В общем случае
мощность равна первой производной по
времени от работы.
, 
Мощность
равна скалярному произведению силы на
скорость.
Единицей измерения
мощности в СИ является –
В технике за единицу
силы принимается
.
Пример 1. Работа
силы тяжести.
Пусть
точка М, на которую действует сила
тяжести Р, перемещается из положения
в положение
.
Выберем оси координат так, чтобы ось
была направлена вертикально вверх.
Тогда,
,
,
и
Работа
силы тяжести равна взятому со знаком
плюс или минус произведению модуля
силы на вертикальное перемещение точки
ее приложения.Работа положительна,
если начальная точка выше конечной, и
отрицательна, если начальная точка ниже
конечной.
Пример 2. Работа
силы упругости.
Рассмотрим
материальную точку закрепленную на
упругом элементе жесткости с, которая
совершает колебания вдоль оси х. Сила
упругости (или восстанавливающая сила)
.
Пусть точка М, на которую действует
только сила упругости, перемещается из
положения
в положение
.
(
,
).
Работа
силы упругости равна половине произведения
жесткости упругого элемента на разность
квадратов начального и конечного
удлинения (или сжатия) упругого элемента.
Работа силы
упругости равна площади фигуры (трапеции)
расположенной под кривой
.
Пример 3. Работа
и мощность пары сил.
П
усть
пара сил приложена к вращающемуся вокруг
неподвижной оси телу. Элементарная
работа пары сил равна
.
Полная работа пары сил равна
—
угол поворота тела,
—
момент пары сил.
Мощность пары сил
равна
Работа — пара — сила
Cтраница 1
Работа пары сил согласно формуле (65.7) равна нулю, так как балка, к которой приложена пара, не получила поворота.
[1]
Работа пары сил с моментом от2 отрицательна, так как направления / и2 и 8сра противоположны.
[2]
Работа пары сил с моментом т равна нулю, так как колесо / неподвижно. Работа сил Р и Р2 равна нулю, ибо их точки приложения неподвижны. Работа силы Р3 равна нулю, так как ее точка приложения перемещается в горизонтальной плоскости, а сила Р3 вертикальна.
[3]
Работа пары сил согласно формуле (65.7) равна нулю, так как балка, к которой приложена пара, не получила поворота.
[4]
Работа пары сил равна произведению момента пары М на угол поворота кривошипа ба.
[5]
При вычислении работы пары сил заметим, что малый цилиндр на этом перемещении катится без скольжения по внутренней поверхности неподвижного большого цилиндра, вращаясь вокруг своей оси.
[6]
Как известно из механики, работа пары сил при таком повороте равна произведению Мбф угла поворота на момент пары.
[7]
Как известно из механики, работа пары сил при таком повороте равна произведению М5р угла поворота на момент пары.
[8]
При составлении уравнения работ определим работу пары сил по формуле (65.7) как произведение М 8ф, где знак минус обусловлен тем, что поворот произведен на угол 6ф ( по движению часовой стрелки, а пара стремится вращать плоскость в противоположную сторону.
[9]
Моменты пары сил М2 и угол 8ф имеют одинаковые направления по часовой стрелке, поэтому элементарная работ пары сил является положительной.
[10]
Что касается вариации 8U потенциальной энергии, то, взятая с обратным знаком, она представляет собой работу внешних сил при повороте на. К-ак известно из механики, работа пары сил при таком повороте равна произведению Л46ф угла поворота на момент пары.
[11]
Рассмотрим случай, когда к твердому телу приложены две равные по абсолютному значению, параллельные и противоположно направленные силы FI и F2 — так называемая пара сил. Эти силы не могут быть заменены одной равнодействующей, так как их векторная сумма равна нулю. При вращении же тела работа пары сил не равна нулю.
[12]
Страницы:
1
Работа пары сил согласно формуле (65.7) равна нулю, так как балка, к которой приложена пара, не получила поворота. На возможном перемещении работу совершают только силы и Р , [c.312]
Работа пары сил сопротивления качению по (27) [c.202]
Аналогично определяется работа пары сил [c.297]
Работу при вращательном движении производят пары сил. Величина работы пары сил измеряется произведением момента пары (вращающего момента) на угол поворота, выраженный [c.317]
Работа пар сил, моменты которых равны главным моментам сил инерции нижних блоков и на возможном перемещении 8г равна нулю, так как блоки перемещаются только поступательно. Работа силы тяжести Р верхнего блока равна нулю, так как точка приложения этой силы неподвижна. [c.451]
Элементарная работа пары сил с вращающим моментом т равна [c.462]
Подставляя выражения элементарных работ пары сил с моментом т и сил P , Р , Рд из формул (2), (3), (4) и (10) в (1), имеем [c.464]
Работа пары сил с моментом Шу равна нулю, так как колесо 1 неподвижно. Работа сил Ру и равна нулю, ибо их точки приложения неподвижны. Работа силы Р равна нулю, так как ее точка приложения перемещается в горизонтальной плоскости, а сила Яд вертикальна. Обобщенной силой является коэффициент, стоящий при 8(ро в формуле (3), т. е. [c.507]
Полученный таким образом результат весьма замечателен алгебраическая сумма элементарных работ пары сил взаимодействия в произвольной Я-системе отсчета оказывается всегда равной элементарной работе, кото- [c.102]
Рассмотрим случай, когда к твердому телу приложены две равные по абсолютному значению, параллельные и противоположно направленные силы F[ и р2 — так называемая пара сил . Эти силы не могут быть заменены одной равнодействующей, так как их векторная сумма равна нулю. При любом поступательном движении тела пара сил не производит работы (Л=0). При вращении же тела работа пары сил не равна нулю. Выберем произвольную точку О, лежащую в той же плоскости, это и силы, образующие в той же плоскости, это и силы, образующие пару (рис, 48). [c.67]
Работа пары сил сопротивления качению катка 5 [c.230]
В данном примере работу пары сил сопротивления вычислим как сумму работ этой пары при качении катка 5 влево при повороте тела 3 на угол я/2 и качении вправо, когда тело 3 повернется еще на угол п/2. [c.230]
Элементарная работа пары сил, действующей на твердое тело. — Пусть на твердое тело действует пара с осевым моментом G. Дадим этому телу элементарное перемещение, происходящее в течение бесконечно малого промежутка времени 3/. [c.290]
Таким образом, работа пары сил при повороте на угол а равна моменту пары, умноженному на угол поворота (в радианах). [c.163]
Угловые единицы (радиан и стерадиан) не могут быть введены в число основных, так как это вызвало бы затруднения в трактовке размерностей величин, связанных с вращением (дуги окружности, площади круга, работы пары сил и т. д.). По существу эти единицы являются производными, хотя и с той особенностью, что имеют одинаковый размер в различных системах единиц. [c.23]
М (работа пары сил на поступательном перемещении сплошного ци- [c.166]
При вычислении работы пары сил заметим, что малый цилиндр при таком перемещении будет катиться без скольжения по поверхности большого, вращаясь вокруг своей оси. Мгновенное перемещение малого цилиндра можно представить как сумму мгновенно-поступательного перемещения вместе с осью Сг и мгновенного вращения вокруг этой оси. На поступательном перемещении пара сил работы не совершает. Обозначая угол поворота малого цилиндра относительно неподвижных осей через бф, получим для этого угла выражение [c.166]
Работа пары сил равна произведению момента пары М на угол поворота кривошипа ба. Следовательно, [c.418]
Величина работы пары сил измеряется произведением момента пары (вращающего момента) на угол поворота, выраженный в радианах [c.274]
Определить работу пары сил, приводящей в движение барабан лебедки, при повороте его на 360°. Момент пары сил 150 н-м. [c.117]
Работа пары сил. Рассмотрим плоское движение абсолютно твердого тела и работу пары сил (Рх, Рг), приложенной к этому телу (рис. 3.29). Момент пары сил 202 [c.202]
Элементарная работа пары сил запишется как сумма элементарных работ сил, которые ее образуют [c.203]
Таким образом, элементарная работа пары сил или момента может быть определена как произведение момента пары на элементарный угол поворота тела в плоскости, перпендикулярной моменту, взятое со знаком плюс , если направления момента и угла поворота совпадают, и со знаком минус , если направления момента и угла поворота не совпадают. [c.203]
Итак, при вычислении суммы элементарных работ сил, приложенных к твердому телу, движущемуся поступательно, можно заменять данные силы их главным вектором, приложенным в любой точке тела. Отсюда, между прочим, следует, что работа пары сил, приложенной к твердому телу, движущемуся поступательно, равна нулю. [c.206]
Работа пары сил. Пример. Данная пара сил перемещается в собственной плоскости от одного положения к другому показать, что работа равна произведению ее момента на угол поворота. [c.301]
В теоретической механике доказывается, что работа пары сил равна произведению момента на угол поворота. [c.19]
При составлении уравнения работ определим работу пары сил но формуле (65.7), как проиаведение М (р, где знак минус обусловлен тем, что поворот произведен на угол бфх но движению часовой стрелки, а пара стремится вращать плоскость II противополох ную сторону. [c.313]
Работа пары сил с моментом отрицательна, так как направления ij и 8ср2 противоположны. Учитывая формулу (2), получим [c.507]
Элементарная работа пары сил с моментом Alj отрицательна, так как /И.2 и направлены в противоположные стороны. Сумма элементарных работ S] равна нулю, так как у них точка приложения общая и одно и то же возможное перемещение, а сами силы равны и противоположны. При ф = onst углы поворота шестерен бф( и бф » направлены в противоположные стороны. Перемещения точки соприкосновения шестерен одинаковы следовательно, [c.385]
В последнем члене слева берется разность значений на пределах интегрирования, т. е. на концах стержня. Один из этих концов, скажем нижний, закреплен так, что на нем бф = 0. Что касается вариации 6U потенциальной энергии, то, взятая с обратным знаком, она представляет собой работу внешних сил при повороте на. угол бф. Как известно из механики, работа пары сил при таком повороте равна произведению Мбф угла поворота на момент пары. Поскольку никаких других внешних сил нет, то 8U = —уИбф, и мы получаем [c.91]
Сила тока коррозионного элемента зависит от значения потенциалов катода «к и анода Еа. Она изхме-няется во времени, причем в начале работы пары сила тока больше, а через определенное время, уменьшаясь, она становится равной какой-то устойчивой величине. [c.56]
Установим зависимость реакции N сжимаемого тела от момента приложенной пары сил, пользуясь принципом возможных перемещений. Сообщим частям пресса возможные перемещения, совпадающие с их истинными перемещениями при работе пресса. Повернем рукоятку АВ на малый утат 6 в сторону действия пары сил. Тогда точка приложения силы N получит возможное перемещение налравление которого противоположно направлению силы N. Составим уравнение работ в виде (114.2), Работу пары сил определим по формуле (65.7) как произведение ее момента на приращение угла поворота тела [c.510]
Сила, перемещающая тело, совершает работу. Работа – это разность энергии тела в начале процесса и в его конце. А мощность – это работа за одну секунду. Коэффициент полезного действия (КПД) – это дробное число. Максимальный КПД равен единице, однако, часто, КПД меньше единицы.
Работы силы, формула
Сила, приложенная к телу и перемещающая его, совершает работу (рис. 1).
Рис. 1. Сила перемещает тело и совершает работу
Работа силы — это скалярное произведение вектора силы на вектор перемещения.
Работу, совершаемую силой, можно посчитать, используя векторный или скалярный вид записи такой формулы:
Векторный вид записи
[ large boxed{ A = left( vec{F} , vec{S} right) }]
Для решения задач правую часть этой формулы удобно записывать в скалярном виде:
[ large boxed{ A = left| vec{F} right| cdot left| vec{S} right| cdot cos(alpha) }]
( F left( H right) ) – сила, перемещающая тело;
( S left( text{м} right) ) – перемещение тела под действием силы;
( alpha ) – угол между вектором силы и вектором перемещения тела;
Работу обозначают символом (A) и измеряют в Джоулях. Работа – это скалярная величина.
В случае, когда сила постоянная, формула позволяет рассчитать работу, совершенную силой за полное время ее действия.
Если сила изменяется со временем, то в каждый конкретный момент времени будем получать мгновенную работу. Эти, мгновенные значения для разных моментов времени будут различаться.
Рассмотрим несколько случаев, следующих из формулы:
- Когда угол между силой и перемещением острый, работа силы положительная;
- А если угол тупой — работа отрицательная, так как косинус тупого угла отрицательный;
- Если же угол прямой – работа равна нулю. Сила, перпендикулярная перемещению, работу не совершает!
Работа — разность кинетической энергии
Работу можно рассчитать еще одним способом — измеряя кинетическую энергию тела в начале и в конце процесса движения. Рассмотрим такой пример. Пусть автомобиль, движется по горизонтальной прямой и, при этом увеличивает свою скорость (рис. 2). Масса автомобиля 1000 кг. В начале его скорость равнялась 1 м/с. После разгона скорость автомобиля равна 10 метрам в секунду. Найдем работу, которую пришлось проделать, чтобы ускорить этот автомобиль.
Рис. 2. Автомобиль движется прямолинейно и увеличивает свою скорость
Для этого посчитаем энергию движения автомобиля в начале и в конце разгона.
( E_{k1} left(text{Дж} right) ) – начальная кинетическая энергия машины;
( E_{k2} left(text{Дж} right) ) – конечная кинетическая энергия машины;
( m left( text{кг}right) ) – масса автомобиля;
( displaystyle v left( frac{text{м}}{c}right) ) – скорость, с которой машина движется.
Кинетическую энергию будем вычислять, используя формулу:
[ large E_{k} = m cdot frac{v^{2}}{2} ]
[ large E_{k1} = 1000 cdot frac{1^{2}}{2} = 500 left(text{Дж} right) ]
[ large E_{k2} = 1000 cdot frac{10^{2}}{2} = 50000 left(text{Дж} right) ]
Теперь найдем разницу кинетической энергии в конце и вначале разгона.
[ large boxed{ A = Delta E_{k} }]
[ large Delta E_{k} = E_{k2} — E_{k1} ]
[ large Delta E_{k} = 50000 – 500 = 49500 left(text{Дж} right) ]
Значит, работа, которую потребовалось совершить, чтобы разогнать машину массой 1000 кг от скорости 1 м/с до скорости 10 м/с, равняется 49500 Джоулям.
Примечание: Работа – это разность энергии в конце процесса и в его начале. Можно находить разность кинетической энергии, а можно — разность энергии потенциальной.
[ large boxed{ A = Delta E }]
Работа силы тяжести — разность потенциальной энергии
Рассмотрим теперь следующий пример. Яблоко массой 0,2 кг упало на садовый стол с ветки, находящейся на высоте 3 метра от поверхности земли. Столешница располагается на высоте 1 метр от поверхности (рис. 3). Найдем работу силы тяжести в этом процессе.
Рис. 3. На рисунке указано начальное 1 положение тела (яблока) и его конечное 2 положение, отмечены высоты для подсчета работы по вертикальному перемещению тела
Посчитаем потенциальную энергию яблока до его падения и энергию яблока на столешнице.
( E_{p1} left(text{Дж} right) ) – начальная потенциальная энергия яблока;
( E_{p2} left(text{Дж} right) ) – конечная потенциальная энергия яблока;
Примечание: Работу можно рассчитать через разность потенциальной энергии тела.
Потенциальную энергию будем вычислять, используя формулу:
[ large E_{p} = m cdot g cdot h]
( m left( text{кг}right) ) – масса яблока;
Величина ( displaystyle g approx 10 left(frac{text{м}}{c^{2}} right) ) – ускорение свободного падения.
( h left( text{м}right) ) – высота, на которой находится яблоко относительно поверхности земли.
Начальная высота яблока над поверхностью земли равна 3 метрам
[ large E_{p2} = 0,2 cdot 10 cdot 3 = 6 left(text{Дж} right) ]
Потенциальная энергия яблока на столе
[ large E_{p1} = 0,2 cdot 10 cdot 1 = 2 left(text{Дж} right) ]
Теперь найдем разницу потенциальной энергии яблока в конце падения и перед его началом.
[ large Delta E_{p} = E_{p2} — E_{p1} ]
[ large Delta E_{p} = 2 – 6 = — 4 left(text{Дж} right) ]
Важно помнить: Когда тело падает на землю, его потенциальная энергия уменьшается. Сила тяжести при этом совершает положительную работу!
Чтобы работа получилась положительной, в правой части формулы перед ( Delta E_{p}) дополнительно допишем знак «минус».
[ large boxed{ A = — Delta E_{p} }]
Значит, работа, которую потребовалось совершить силе тяжести, чтобы яблоко массой 0,2 кг упало с высоты 3 м на высоту 1 метр, равняется 4 Джоулям.
Примечания:
- Если тело падает на землю, работа силы тяжести положительна;
- Когда мы поднимаем тело над землей, мы совершаем работу против силы тяжести. Наша работа при этом положительна, а работа силы тяжести будет отрицательной;
- Сила тяжести относится к консервативным силам. Для консервативных сил перед разностью потенциальной энергии мы дописываем знак «минус»;
- Работа силы тяжести не зависит от траектории, по которой двигалось тело;
- Работа для силы (displaystyle F_{text{тяж}}) зависит только от разности высот, в которых тело находилось в конечный и начальный моменты времени.
Рисунок 4 иллюстрирует факт, что для силы (displaystyle F_{text{тяж}}) работа зависит только от разности высот и не зависит от траектории, по которой тело двигалось.
Рис. 4. Разность высот между начальным и конечным положением тела во всех случаях на рисунке одинакова, поэтому, работа силы тяжести для представленных случаев будет одинаковой
Мощность
В механике мощность часто обозначают символами N или P и измеряют в Ваттах в честь шотландского изобретателя Джеймса Уатта.
Примечание: Символ (vec{N}) используется для обозначения силы реакции опоры — она измеряется в Ньютонах и является векторной величиной. Чтобы не возникло путаницы, мощность вместо N будем обозначать символом P. Символ P – первая буква в английском слове power – мощность.
Мощность – это работа, совершенная за одну секунду (энергия, затраченная за 1 сек).
Расчет работы осуществляем, используя любую из формул:
[ large A = Delta E_{k} ]
[ large A = Delta E_{p} ]
[ large A = F cdot S cdot cos(alpha) ]
Разделив эту работу на время, в течение которого она совершалась, получим мощность.
[ large boxed{ P = frac{A}{Delta t} }]
Если работа совершалась равными частями за одинаковые интервалы времени – мощность будет постоянной величиной.
Мощность переменная, когда в некоторые интервалы времени совершалось больше работы.
Еще одна формула для расчета мощности
Есть еще один способ расчета мощности, когда сила перемещает тело и при этом скорость тела не меняется:
[ large P = left( vec{F} , vec{v} right) ]
Формулу можно записать в скалярном виде:
[ large P = left| vec{F} right| cdot left| vec{v} right| cdot cos(alpha) ]
( F left( H right) ) – сила, перемещающая тело;
( displaystyle v left( frac{text{м}}{c} right) ) – скорость тела;
( alpha ) – угол между вектором силы и вектором скорости тела;
Когда векторы (vec{F}) и (vec{v}) параллельны, запись формулы упрощается:
[ large boxed{ P = F cdot v }]
Примечание: Такую формулу для расчета мощности можно получить из выражения для работы силы, разделив обе части этого выражения на время, в течение которого работа совершалась (а если точнее, найдя производную обеих частей уравнения).
КПД
КПД – коэффициент полезного действия. Обычно обозначают греческим символом (eta) «эта». Единиц измерения не имеет, выражается либо десятичной дробью, либо в процентах.
Примечания:
- Процент – это дробь, у которой в знаменателе число 100.
- КПД — это либо правильная дробь, или дробь, равная единице.
Вычисляют коэффициент (eta) для какого-либо устройства, механизма или процесса.
[ large boxed{ eta = frac{ A_{text{полезная}}}{ A_{text{вся}}} }]
(eta) – КПД;
( large A_{text{полезная}} left(text{Дж} right)) – полезная работа;
(large A_{text{вся}} left(text{Дж} right)) – вся затраченная для выполнения работы энергия;
Примечание: КПД часто меньше единицы, так как всегда есть потери энергии. Коэффициент полезного действия не может быть больше единицы, так как это противоречит закону сохранения энергии.
[ large boxed{ eta leq 1 }]
Величина (eta) является дробной величиной. Если числитель и знаменатель дроби разделить на одно и то же число, полученная дробь будет равна исходной. Используя этот факт, можно вычислять КПД, используя мощности:
[ large boxed{ eta = frac{ P_{text{полезная}}}{ P_{text{вся затраченная}}} }]
Выводы
- Сила, приложенная к телу и перемещающая его, совершает работу;
- Когда угол между силой и перемещением острый, работа силы положительная, а если угол тупой — работа отрицательная; Если же угол прямой – работа равна нулю. Сила, перпендикулярная перемещению, работу не совершает!
- Работу можно вычислить, измеряя кинетическую энергию тела в начале и в конце его движения;
- Вычислить работу можно через разность потенциальной энергии тела в начальной и в конечной высотах над землей;
- Когда тело падает на землю, его потенциальная энергия уменьшается. Сила тяжести при этом совершает положительную работу!
- Мы совершаем работу против силы тяжести, когда поднимаем тело над землей. При этом наша работа положительная, а работа силы тяжести — отрицательная;
- Сила тяжести — это консервативная сила. Поэтому, работа силы (displaystyle F_{text{тяж}}) не зависит от траектории, по которой двигалось тело, а зависит только от разности высот, в которых тело находилось в конечный и начальный моменты времени;
- Мощность – это работа, совершенная за одну секунду, или затраченная за 1 сек. энергия;
- Коэффициент полезного действия обозначают греческим символом (eta) «эта», единиц измерения не имеет, выражается либо десятичной дробью, либо в процентах;
- КПД — это либо правильная дробь, или дробь, равная единице.
- Можно вычислять КПД, подставляя в формулу работу, или мощности