Как найти прямую параллельную кривой

2.5.2. Как найти прямую, параллельную данной?

За незнание этой простейшей задачи сурово наказывает Соловей-Разбойник.

Задача 75

Прямая задана уравнением . Составить уравнение параллельной прямой, которая проходит через точку .

Решение: обозначим неизвестную прямую буквой . Что о ней сказано в условии? Прямая проходит через точку . А если прямые параллельны, то очевидно, что направляющий вектор прямой «цэ» подойдёт и для построения прямой «дэ».

Вытаскиваем направляющий вектор из уравнения :

Уравнение искомой прямой составим по точке и направляющему вектору :

Ответ:

Геометрия задачи выглядит незатейливо:

Аналитическая же проверка состоит в следующих шагах:

1) Проверяем, что у прямых один и тот же направляющий вектор (если уравнения не упрощены должным образом, то векторы будут коллинеарны). Да что тут векторы?! – посмотрим на коэффициенты:
– параллельность прямых понятна без всякого чертежа!

2) Проверяем, удовлетворяет ли точка полученному уравнению . И это тоже устный пункт!

Примеры для самостоятельного решения сегодня будут творческими. Потому что вам ещё придётся тягаться с Бабой-Ягой, а она, знаете, любительница всяких загадок.

Задача 76

Составить уравнение прямой, проходящей через точку , параллельную прямой , если

Существует рациональный и не очень рациональный способ решения. Самый короткий путь в конце книги.

С параллельными прямыми немного поработали и к ним ещё вернёмся. Случай совпадающих прямых малоинтересен, поэтому перейдём к задаче, которая хорошо знакома вам из школьной программы:

Кривые линии в начертательной геометрии с примерами

Содержание:

Кривую линию можно рассматривать как множество последова­тельных положений точки, непрерывно перемещающейся в пространстве. Кривая линия может являться результатом пересечения между собой поверхностей или поверхности и плоскости.

Различают плоские и пространственные линии. Кривая линия называется плоской, если все точки линии лежат в одной плоскости, и пространственной, если ее точки нс лежат в одной плоскости. Плоскими линиями являются, например, окружность, эллипс, овал. Примером пространственной линии может служить винтовая линия.

Проекциями пространственной кривой являются плоские линии. Плоская кривая проецируется в виде плоской линии или в виде прямой линии, если кривая находится в проецирующей плоскости.

В общем случае секущая АВ кривой проецируется секущей се проекции, а касательная CD к кривой проецируется касательной к ее проекции (рис. 5.1).

Линия считается закономерной, если в своем образовании она подчинена какому-либо геометрическому зако­ну. Закономерные линии подразделяют на алгебраические и трансцендентные. В первом случае линию можно описать алгебраическим уравнением, а во втором — трансцендентным (например, тригонометрическим). Порядок алгебраической кривой равен степени ее уравнения или максимальному числу точек ее возможного пересечения с плоскостью или прямой.

На комплексном чертеже кривая линия задается своими проекциями, которые строят по проекциям точек, принадлежащих этой линии. Если плоскость плоской кривой занимает проецирующее положение (рис. 5.2, а), то одна проекция этой кривой имеет форму прямой. У пространственной кривой все проекции — кривые линии (рис. 5.2, б).

Чтобы определить по чертежу, какая задана кривая (плоская или пространственная), необходимо выяснить, принадлежат ли все точки кривой одной плоскости. Заданная на рис. 5.2, б кривая является пространственной, так как прямые AD и BF не пересекаются, а скрещива­ются (то есть не лежат в одной плоскости).

В начертательной геометрии кривая часто строится как линия, последовательно проходящая через задающие ее точки. Упорядоченное множество точек, определяющих линию, составляет се точечный каркас. Точки каркаса подразделяют на опорные и промежуточные. Промежуточные точки должны обеспечить необходимую и достаточную плотность каркаса, то есть обеспечивают количественную характеристику кривой. Наиболее важны опорные точки, которые отражают качественную характеристику кривой. Рассмотрим некоторые из опорных точек.

Экстремальные точки это точки, которые удалены от плоскостей проекций на максимальное или минимальное расстояние (верхняя и нижняя, крайние правая и левая точки).

Точки видимости. Если кривую рассматривать как линию на какой-то непрозрачной поверхности, то те точки, в которых меняется видимость кривой, называют точками видимости (обычно они расположены на контурных линиях поверхности).

К опорным относят и точки, в которых кривая пересекает свою ось или плоскость симметрии (если таковые имеются).

Кривые второго порядка:

Уравнениям второй степени соответствуют кривые второго порядка. К ним относятся эллипс, гипербола и парабола. Окружность является частным случаем эллипса; точка, две пересекающиеся, парал­лельные и две совпавшие прямые есть вырожденные случаи кривых второго порядка. Все эти линии (кроме двух параллельных прямых) можно встретить на конической поверхности вращения, поэтому часто их называют кониками.

Кривые линии

Кривую линию можно рассматривать как непрерывное множество последовательных положений точки, движущейся в пространстве, то есть как траекторию движущейся точки. На протяжении кривой линии не должно быть прямолинейных участков. Кривая линия определяется положениями составляющих ее точек, точки кривой определяются их координатами. Если координаты любой точки кривой удовлетворяют некоторому уравнению, то такие кривые называются закономерными. Закономерные кривые линии образуются по определенному закону и могут быть заданы графически и аналитически.

Аналитически кривую линию на плоскости можно задать уравнением

(может оказаться, что данному уравнению не удовлетворяют координаты ни одной действительной точки на плоскости. Тогда условно говорят, что данные уравнения изображаются мнимой кривой), в пространстве — двумя уравнениями (как линию пересечения двух поверхностей)

Существуют также незакономерные кривые, образование которых носит эмпирический характер. Незакономерные кривые линии задаются только графически на чертеже.

Одна и та же кривая линия может быть образована разными способами:

1. движением точки в пространстве;
2. пересечением кривой поверхности с плоскостью;
3. взаимным пересечением двух поверхностей, из которых хотя бы одна кривая.

Кривые линии подразделяют на плоские и пространственные. У плоских кривых все точки принадлежат плоскости, у пространственных кривых точки не принадлежат одной плоскости. Пространственные прямые называются также линиями двоякой кривизны. Наиболее известными из плоских и пространственных кривых линий являются соответственно окружность и цилиндрическая винтовая линия.

Закономерные кривые, определяемые в декартовой системе координат алгебраическим уравнением вида где — многочлен й степени от одного или нескольких переменных называются алгебраическими.

Порядком алгебраической кривой линии называется степень ее уравнения. Геометрически порядок плоской алгебраической кривой линии характеризуется наибольшим числом точек ее пересечения с прямой линией. Порядок пространственной алгебраической кривой линии определяется наибольшим числом точек ее пересечения с плоскостью общего положения.

К линиям первого порядка относятся прямые линии, рассмотренные ранее.

Линии второго порядка — это эллипс, гипербола и парабола.

Из линий третьего порядка наиболее известны Аньези локон, декартов лист, полукубическая парабола, строфоида.

Из линий четвертого порядка — улитка Паскаля, конхоида Никомеда, лемниската Бернулли.

Из линий высших порядков — кривая Ламе, синусоидальная спираль.

Если закономерная кривая определяется неалгебраическим уравнением, то она относится к числу трансцендентных. Среди трансцендентных кривых выделяют графики тригонометрических функций, показательной и логарифмической функции, класс циклоидальных кривых, спирали.

Локальные элементы кривой

Локальные свойства характеризуют кривую и относятся к весьма малым частям ее. Каждая из кривых линий обладает большей или меньшей степенью искривленности. Эта искривленность задается некоторым числом и называется кривизной. Кривизна в точке — это число, характеризующее отклонение кривой (в малой ее части, заключающей точку ) от прямой линии.

Радиусом кривизны в точке кривой называется величина, обратная кривизне Чем больше искривлена кривая вблизи заданной точки, тем больше и меньше в этой точке. В общем случае для любой точки кривизна и радиус кривизны различны, они характеризуют кривую на бесконечно малом участке, составляющем окрестность точки .

Секущей называется прямая, пересекающая кривую в одной, двух или более точках.

Касательная к кривой в точке определяется как предельное положение секущей, проходящей через и соседнюю точку кривой, при условии, что стремится к (рис. 135). Касательная указывает направление движения точки.

Нормаль для плоских кривых — это прямая, перпендикулярная касательной в точке касания

Для пространственных кривых линий в каждой точке в общем случае, определяются три прямые и три плоскости, взаимно пересекающиеся в под прямыми углами и образующие сопровождающий трехгранник (рис. 136). На рисунке видно, что касательная к кривой в точке перпендикулярна нормальной плоскости. Все прямые, проходящие через и лежащие в этой плоскости, называются нормалями пространственной кривой в точке

Соприкасающаяся плоскость — это предельное положение плоскости, проходящей через три близкие точки кривой и когда и стремятся к Соприкасающаяся плоскость содержит в себе касательную.

Главная нормаль — это линия пересечения нормальной и соприкасающейся плоскостей (та из нормалей, которая лежит в соприкасающейся плоскости).

Бинормаль — прямая, перпендикулярная соприкасающейся плоскости.

Спрямляющая плоскость — проходит через касательную и бинормаль.

Длина отрезка кривой (плоской или пространственной) определяется в общем случае приближенно путем замены кривой линии вписанной в нее ломаной линией с максимально большим числом ее сторон, достаточно хорошо передающей форму кривой.

Свойства проекций кривой линии

Из всех инвариантных свойств проецирования для кривой линии можно выделить следующие:

• — проекции кривой в общем случае есть кривые. В частном случае плоская кривая проецируется в прямую, если она принадлежит проецирующей плоскости;
• — если точка лежит на кривой, то ее проекции лежат на одноименных проекциях этой кривой;
• — если прямая касается кривой в пространстве, то проекции этой прямой касаются одноименных проекций кривой. Секущая кривой проецируется как секущая проекции кривой;
• — кривая, представляющая собой проекцию кривой некоторого порядка, сохраняет тот же порядок или оказывается кривой более низкого порядка.

Плоские кривые линии

При построении проекций плоской кривой линии необходимо указывать на их так называемые характерные точки, к которым относятся особые точки кривой, а также точки, наиболее удаленные от плоскости проекций и наиболее близкие к ним. Плоская кривая, к каждой точке которой можно провести касательную, называется плавной. Однако на кривой могут существовать точки, в которых имеются две касательные, общая касательная для двух ветвей или нескольких витков кривой. Кривая в таких точках не является плавной.

Пусть касательная перекатывается по кривой при этом переменная точка касания совершает поступательное движение по касательной (рис. 137). В каждом своем положении переменная точка касания совпадает с произвольной точкой перемещающейся по кривой и т.д.

Если в некоторой точке изменяется направление поступательного движения ее по касательной, то она называется особой точкой.

Если в некотором положении изменяется направление поворота касательной то она называется особой касательной.

Если таких изменений не происходит, то точка и касательная называются обыкновенными. Соответствующая точка кривой также называется обыкновенной (рис. 138, а).

На рис. 138 представлены некоторые особые точки кривых:

На комплексном чертеже задаются проекции нескольких обыкновенных и всех особых точек кривой линии. Касательные и нормали к кривым линиям строят или графически, или пользуясь специальными приборами.

На рис. 139 показано построение касательной к кривой линии, проходящей через заданную вне кривой точку Через точку проводят пучок прямых, пересекающих кривую по хордам 11, 22, 33, . . Через середины хорд проводят кривую которая называется кривой ошибок. Эта вспомогательная кривая пересекает данную кривую в точке являющейся точкой касания. Прямая есть касательная к данной кривой линии.

Построение нормали к кривой линии, проходящей через заданную точку вне кривой, показано на рис. 140. Принимая точку за центр, проводят ряд окружностей, пересекающих кривую по хордам 11, 22, 33 и т.д. Из концов хорд проводят разносторонне направленные перпендикуляры к ним, на которых откладывают отрезки, равные длинам соответствующих хорд. Концы отрезков этих перпендикуляров намечают кривую ошибок — линию пересекающую данную кривую в точке Прямая задает направление искомой нормали к данной кривой.

Кривые линии называются соприкасающимися. если в общей их точке они имеют общую касательную. Нормали кривых линий в точке соприкасания лежат на одной прямой.

Соприкасание называется внутренним, если в точке соприкасания нормали кривых совпадают (рис. 141, а). Если нормали направлены в разные стороны, то кривые линии имеют внешние соприкасания (рис. 141,б).

Соприкасающаяся окружность в данной точке кривой определяет кривизну плоской кривой в этой точке. Соприкасающейся окружностью или кругом кривизны кривой называют предельное положение окружности, когда она проходит через данную точку и две бесконечно близкие к ней точки кривой. Радиус этой окружности есть радиус кривизны, а центр — центр кривизны кривой линии в данной точке (рис. 142).

Геометрическое место центров кривизны для всех точек данной кривой есть кривая, называемая эволютой (рис. 143).Она является огибающей нормалей данной кривой.

Рассматриваемую кривую линию по отношению к своей эволюте называют эвольвентой. Касательные эволюты являются нормалями эвольвенты. Через каждую точку касательной к эволюте проходит одна и только одна эвольвента. Всякая плоская кривая линия есть геометрическое место центров кривизны бесчисленного множества эвольвент.

Плоские кривые линии второго порядка и их проекции

Алгебраическую кривую линию, которая описывается в системе декартовых координат уравнением второй степени относительно текущих координат, называют линией второго порядка.

Общее уравнение второй степени с двумя переменными имеет вид

После приведения уравнения кривой к каноническому виду кривые могут быть квалифицированы следующим образом:

1. кривые эллиптического типа. Это эллипс (в частном случае окружность, одна точка или мнимое место точек);
2. кривые гиперболического типа. Это гипербола или пара пересекающихся прямых;
3. кривые линии параболического типа — парабола, пара параллельных прямых (в частном случае совпадающих) или мнимое место точек.

Кривые линии второго порядка называют кониками или линиями конических сечений, так как они могут быть получены при пересечении прямого кругового конуса с плоскостью. Конические сечения будут рассмотрены далее (Раздел VII. 1.). Кривую второго порядка однозначно определяют заданием пяти точек общего положения: через заданные пять точек проходит одна и только одна кривая второго порядка. Если хотя бы три точки лежат на одной прямой, то получается распадающееся коническое сечение.

Эллипс представляет собой геометрическое место точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек (фокусов) есть величина постоянная. Каноническое уравнение эллипса имеет вид

где

Оси координат являются осями симметрии эллипса (рис. 144). Точка пересечения осей симметрии называется центром эллипса, точки пересечения эллипса осями симметрии — вершинами эллипса. Отрезки, соединяющие противоположные вершины эллипса, равные и называют соответственно большой и малой осями эллипса. Два фокуса эллипса — точки и расположены на расстоянии друг от друга. Величину называют фокусным расстоянием. Любая точка плоскости принадлежит эллипсу, если соблюдается условие где — большая ось эллипса.

Диаметры эллипса — это отрезки прямых, проходящие через центр эллипса. Геометрическим местом середин хорд, параллельных одному из диаметров эллипса, является диаметр, сопряженный заданному. На рис.145 диаметры и является сопряженными. Большая и малая оси эллипса являются сопряженными взаимно перпендикулярными диаметрами.

Касательные, проведенные к эллипсу в концах какого-либо диаметра, параллельны другому диаметру, сопряженному с первым. Касательная к эллипсу составляет равные углы с фокальными радиусами-векторами точки касания. Нормаль эллипса в заданной точке является биссектрисой угла между фокальными радиусами-векторами этой точки (см. рис. 144).

Частным видом эллипса является окружность. Если фокусы и совпадают, то из условия имеем получается геометрическое место точек, равноудаленных от одной данной точки, т.е. окружность. Эллипс есть кривая, родственная окружности. На родстве двух фигур основан ряд способов построения эллипса.

На рис. 146 представлен один из способов построения эллипса по его сопряженным диаметрам. Этот способ используют в случае, когда эллипс проецируется на плоскости проекций в виде эллипсов.

Пусть заданы проекции двух произвольно выбранных и делящихся пополам отрезков — и Эти отрезки можно рассматривать как сопряженные диаметры эллипса. Один из отрезков, например примем за диаметр окружности, родственной эллипсу. Здесь диаметр окружности совпадает с диаметром эллипса. Диаметры и родственной эллипсу окружности являются взаимно сопряженными, т.е. взаимно перпендикулярными. Построив окружность и наметив на ней ряд точек можно определить соответствующий им ряд точек эллипса.

Другой способ построения эллипса по его сопряженным диаметрам показан на рис. 147. На полудиаметрах эллипса и строят параллелограмм. Стороны параллелограмма делят соответственно на одинаковое число равных отрезков. Лучи, проведенные из точек и — концов полудиаметров через одинаково нумерованные точки сторон параллелограмма, пересекаются в точках эллипса.

На рис. 148 показан способ построения эллипса по заданным осям. Для построения точек эллипса из центра проводят две окружности, диаметрами которых являются большая и малая оси эллипса. Из центра произвольно проводят луч, который пересекает окружности в точках и Из этих точек проводят прямые, параллельные соответственно осям и эллипса. Точка их пересечения является точкой эллипса. Выбирая другие лучи и помечая точки на окружностях, строят соответствующие точки эллипса.

В начертательной геометрии эллипсы чаще всего рассматривают как проекции окружности. При ортогональном параллельном проецировании окружность может проецироваться на плоскости проекций в виде отрезка прямой, окружности (частные случаи) или в виде эллипса (общий случай).

Окружность проецируется на плоскость проекций без искажения, если ее плоскость параллельна плоскости проекций. Пусть окружность лежит во фронтальной плоскости уровня, тогда ее фронтальная проекция есть окружность, а горизонтальная — отрезок, равный диаметру и параллельный оси проекций (рис. 149).

Если окружность принадлежит проецирующей плоскости, то одна из ее проекций совпадает со следом плоскости и равна диаметру окружности, а другая есть эллипс.

Пусть окружность данного диаметра принадлежит заданной горизонтально-проецирующей плоскости (рис. 150). Горизонтальная проекция окружности равна диаметру и совпадает со следом плоскости Фронтальная проекция окружности есть эллипс, большая ось которого а есть проекция вертикального диаметра окружности. Большая ось эллипса является горизонтально-проецирующей прямой и на изображается в истинную величину, равную диаметру окружности. Малая ось эллипса перпендикулярна большой оси и параллельна оси она является горизонталью. Таким образом, фронтальная проекция горизонтального диаметра окружности есть малая ось эллипса.

Построение других точек эллипса выполняют способом хорд. Хорды параллельны вертикальному диаметру и на проецируются в натуральную величину. Для более точного построения на чертеже ось проекций проводят через фронтальную проекцию центра эллипса — точку Вводят дополнительную плоскость проекций которая совпадает с плоскостью (на чертеже новая ось совпадает со следом ). На плоскости проекций изобразится только половина окружности с положительными координатами равными половине хорд. Величину координаты откладывают от оси по линиям связи вверх и вниз. Получаются две точки эллипса и симметричные относительно малой оси. Аналогично строят другие точки эллипса.

Если окружность принадлежит плоскости общего положения, то ортогональными проекциями ее являются эллипсы. Большая ось эллипса равна и параллельна тому диаметру окружности, который параллелен данной плоскости проекций. Малая ось эллипса равна проекции диаметра окружности, являющегося линией наибольшего ската плоскости этой окружности.

Пусть окружность лежит в плоскости общего положения, заданной горизонталью и фронталью точка пересечения которых принимается за центр окружности (рис. 151). Диаметр окружности 12 совпадает с горизонталью, а диаметр 34 совпадает с фронталью. На горизонтальной плоскости проекций большая ось эллипса совпадает с проекцией горизонтали Малую ось эллипса определяют с помощью дополнительной плоскости проекций перпендикулярной заданной плоскости

На окружность проецируется в отрезок, равный диаметру. В системе плоскостей решаем ранее рассмотренную задачу построения эллипса как проекции окружности, лежащей в проецирующей плоскости. Аналогично можно построить большую и малую оси эллипса — фронтальной проекции окружности. Однако здесь приведен другой способ построения эллипса. На фронтальной плоскости проекций большая ось эллипса совпадает с направлением фронтали плоскости и равна диаметру 34 окружности. Для построения малой оси эллипса проводят окружность с диаметром, равным большой оси эллипса. Через точку перпендикулярно большой оси строят соответственно полухорды и эллипса и окружности. Полухорду вращением вокруг точки совмещают с большой осью.

Точки и соединяют прямой линией, параллельно которой из точки проводят прямую до пересечения в точке с направлением малой оси эллипса. Отрезок определяет величину малой полуоси эллипса — фронтальной проекции окружности.

По заданным осям можно построить другие точки эллипса рассмотренным выше способом (см. рис. 148).

Гипербола — это геометрическое место точек, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух заданных фиксированных точек (фокусов) есть величина постоянная.

На рис. 152 точки и являются фокусами гиперболы. Расстояние между ними Точка пересечения координатных осей является центром симметрии. Точки и — вершины гиперболы, расстояние между ними называют действительной осью гиперболы. Ось симметрии которая не пересекает гиперболу, называют мнимой осью.

Асимптоты гиперболы — прямые, к которым ветви гиперболы неограниченно приближаются при удалении в бесконечность. Асимптоты гиперболы направлены по диагоналям прямоугольника со сторонами и

Каноническое уравнение гиперболы (оси координат совпадают с осями гиперболы) имеет вид

где

Любая точка плоскости принадлежит правой ветви гиперболы, если соблюдается условие Точки, для которых принадлежат левой ветви. Касательная и нормаль к гиперболе являются биссектрисами соответственно внутреннего и внешнего углов, образованных радиусами-векторами, проведенными из фокусов в точку касания.

На рис. 153 показано построение гиперболы по точкам, если известны величины ее полуосей и Из точки как из центра, проводят окружность радиусом Окружность пересекает ось в точках и являющихся фокусами гиперболы. Из фокусов, как из центров, проводят дуги окружностей соответственно радиусами и Точки их пересечения являются точками гиперболы, так как разность расстояний от каждой точки до фокусов равна и есть величина постоянная. Изменяя и повторяя построения, находят новые точки гиперболы.

Парабола — это геометрическое место точек, равноудаленных от фиксированной точки (фокуса) и от заданной прямой (директрисы).

На рис. 154 точка есть фокус параболы, а прямая перпендикулярная оси — ее директриса. Ось совпадает с осью симметрии параболы, точка является вершиной параболы. Расстояние от фокуса до вершины параболы равно Величина называется фокальным параметром и равна расстоянию от фокуса до директрисы или половине хорды, проходящей через фокус перпендикулярно оси

Каноническое уравнение параболы: где Любая точка плоскости принадлежит параболе, если

Касательная и нормаль к параболе являются биссектрисами углов между фокальным радиусом-вектором точки параболы и диаметром, проходящим через эту же точку. Под диаметром параболы понимают прямую, параллельную оси параболы. На рис. 155 показан способ построения параболы, если известна ее вершина — точка и одна из точек — точка Соединив вершину с точкой определяют разности координат и между этими точками. Расстояния и делят на одинаковое количество равных частей, точки деления обозначают. Через точки деления с одинаковыми номерами проводят линии построения, на пересечении которых определяют искомые точки параболы.

Пространственные кривые линии и их проекции

Пространственную кривую линию на чертеже задают последовательным рядом ее точек. Чтобы установить особые точки пространственной кривой, необходимо наличие двух ее проекций, в отличие от плоской кривой, для определения особых точек которой достаточно одной проекции. Сопоставление горизонтальной и фронтальной проекций на рис. 156 показывает, что хотя на горизонтальной проекции имеется двойная точка, но на самой кривой двойной точки нет.

Так же, как и для плоской кривой, касательная к кривой в пространстве проецируется в касательную к проекции этой кривой. Проецирующая плоскость, проведенная через касательную к проекции кривой, касается кривой в пространстве.

Но если для плоской кривой можно было провести только один перпендикуляр к касательной в точке то для пространственной кривой таких перпендикуляров в точке касания можно провести бесчисленное множество, что приводит к понятию нормальной плоскости.

Тремя плоскостями — спрямляющей, соприкасающейся и нормальной (см. рис.136), образующими трехгранник, пользуются как координатными при рассмотрении кривой в данной ее точке. Положение трехгранника зависит от положения точки на кривой.

Если касательные к пространственной кривой линии во всех ее точках одинаково наклонны к какой-либо плоскости, то такие линии называются линиями одинакового уклона.

Цилиндрические винтовые линии одинакового уклона широко применяются в технике. Моделью такой линии может служить цилиндрическая пружина.

Цилиндрическая винтовая линия — гелиса — есть траектория сложного движения точки, равномерно перемещающейся по образующей и равномерно вращающейся вместе с этой образующей вокруг оси цилиндра.

Винтовая линия имеет три параметра: диаметр цилиндра, шаг и направление. Шаг — это смещение точки вдоль образующей за один оборот. Различают два направления винтовой линии: правое — при движение точки вверх против часовой стрелки и левое — при движении точки вверх по часовой стрелке.

На рис. 157 построена гелиса заданного радиуса правого направления и с шагом, равным высоте цилиндра. Для построения проекций такой линии длина окружности (горизонтальная проекция цилиндра) и высота прямоугольника (фронтальная проекция цилиндра) делятся на 12 равных частей. Через точки деления окружности проводят вертикальные линии связи.

На фронтальной плоскости проекций через точки деления прямоугольника проводят прямые, параллельные основанию. Точки пересечения линий связи с соответствующей горизонтальной прямой определяют фронтальную проекцию цилиндрической винтовой линии. На видимой части цилиндра гелиса будет видимой, на невидимой — нет. Направление винтовой линии на чертеже определяет стрелка, поставленная на горизонтальной проекции. Итак, горизонтальная проекция винтовой линии есть окружность, а фронтальная — синусоида.

При построении развертки цилиндрическая поверхность развертывается в прямоугольник со сторонами, равными длине окружности основания и высоте цилиндра. Винтовая линия на развертке преобразуется в прямую — диагональ прямоугольника, так как для каждой точки этой прямой существует пропорциональная зависимость между отрезками длины окружности и высоты цилиндра.

Что такое поверхности

В существующем мире нас окружает неограниченное количество разнообразных поверхностей. Некоторые могут быть математически описаны, другие настолько сложны, что не поддаются математическому описанию.

В математике под поверхностью подразумевается непрерывное множество точек, если между координатами точек этого множества может быть установлена зависимость, определяемая уравнением вида где — многочлен й степени, или в форме какой-либо трансцендентной функции. В первом случае поверхности называются алгебраическими, во втором — трансцендентными.

Если алгебраическая поверхность описывается уравнением й степени, то поверхность считается го порядка.

Любая произвольно расположенная секущая плоскость пересекает поверхность по кривой того же порядка (иногда распадающейся или мнимой), какой имеет сама поверхность.

Порядок поверхности может быть определен также числом точек ее пересечения с произвольной прямой, считая все точки (действительные и мнимые).

Что такое кривые линии

Кривой линией называется траектория точки, перемещающейся в пространстве по какому-либо закону. Однако, имеются кривые линии, не описываемые какой-либо закономерностью (незакономерные кривые линии). Кривая линия может быть также определена как однопараметрическое множество точек.

На рисунке 8.1 представлена классификация кривых линий.

Плоской кривой линией называется линия, каждая точка которой принадлежит одной плоскости. В противном случае кривая линия называется пространственной (винтовая линия, линии пересечения двух поверхностей, из которых хотя бы одна является кривой поверхностью).

Закономерные линии описываются уравнениями и делятся на алгебраические второго и высшего порядков и трансцендентные, описываемые тригонометрическими функциями. Порядок кривой линии -это степень её уравнения или количество точек пересечения кривой линии с прямой линией (для плоских кривых) или количество точек пересечения с плоскостью (для пространственных линий). Кривые второго порядка иногда называются кониками.

Коробовыми линиями (или обводами) называются составные кривые линии, дуги которых последовательно определены парами точек обвода. Если на стыках можно построить общую касательную, то обвод называется гладким. Циркульными линиями называются линии, построение которых можно осуществить циркулем (овал, овоид, завиток и др.).

Лекальными кривыми называются плоские закономерные линии, при вычерчивании которых используются лекала (эллипс, парабола, гипербола и др.). Циклические кривые линии — это линии, повторяющиеся в процессе образования (циклоида, эпициклоида, гипоциклоида и др.).

Гладкие кривые линии состоят из обыкновенных точек. Обыкновенные точки кривой линии — это точки, в которых можно построить только одну касательную к кривой линии. Если кривая линия содержит особые точки (см. далее), то линия называется негладкой.

Эквидистантные и эквитангентные линии — это линии, равноудаленные от некоей кривой линии и повторяющие её форму. Аппроксимированные линии — это линии, приближенно замененные другими более удобными для вычерчивания линиями (например, эллипс иногда заменяют овалом).

Кривые линии могут быть образованы движением точки в пространстве, пересечением кривой поверхности плоскостью (кривые Персея), взаимным пересечением двух поверхностей. Кривые Персея, например, образуются при пересечения торовых поверхностей плоскостью.

На рисунке 8.2 представлены некоторые алгебраические кривые линии второго, третьего и четвертого порядков, а также трансцендентные кривые линии.

Наиболее часто в технике применяются лекальные кривые линии, которые могут быть плоскими и пространственными. К ним относятся эллипс, парабола, гипербола, эвольвента, циклоида, винтовая линия и другие, примеры которых приведены на рисунке 8.3. Способы построения лекальных кривых обычно рассматривается в курсе технического черчения.

Эвольвента — траектория точки касательной, перекатываемой без скольжения по окружности. Иногда её неправильно называют разверткой окружности.

Синусоида — кривая линия, описываемая уравнением

Гипербола — геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Винтовая линия — траектория точки, перемещающейся по образующей цилиндра, конуса или тора, в то время как сама образующая равномерно вращается вокруг оси упомянутых поверхностей.

Эллипс — геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Парабола — геометрическое место точек, равноудаленных от некоторой точки, называемой фокусом, и некоторой прямой, называемой директрисой.

Циклоида — траектория точки окружности, перекатываемой без скольжения по прямой линии. При построении эпи- и гипоциклоиды окружность перекатывают по окружности.

На рисунке 8.4 представлены особые точки кривых линий. Особыми точками называются точки, в которых можно провести не одну, а две и более касательных или в которых изменяется направление движения точки или вращения касательной.

На эпюре кривые линии задаются множеством точек, принадлежащих линии (рисунок 8.5). Возможны табличный и аналитический способы задания.

Проекции кривой линии имеют следующие свойства:

1. В общем случае проекция кривой линии есть кривая линия;
2. Если точка принадлежит кривой линии, то её проекции принадлежат одноименным проекциям кривой;
3. Касательная к кривой линии проецируется в касательную к проекциям кривой линии.

Пример: Построить проекции правой цилиндрической винтовой линии, проходящей через точку поверхности цилиндра.

Решение: Находим точку Начиная с точки , делим окружность основания цилиндра на 12 частей. Высоту цилиндра Н делим на 12 частей, начиная с точки На пересечении вертикальных и горизонтальных одноименных линий находим точки винтовой линии, которые плавно соединяем (рисунок 8.6).

Кривые линии и кривые поверхности

Линию можно рассматривать как множество последовательных положений движущейся точки – траекторию точки.

Кривая – разновидность линии, которая получается, когда движущая точка изменяет направление своего движения. Кривая линия может являться результатом пересечения кривой поверхности плоскостью или кривых поверхностей между собой.

В начертательной геометрии кривые линии изучаются по их проекциям. Если все точки кривой лежат в одной плоскости, кривую называют плоской, в противном случае – пространственной.

Кривая — это множество точек пространства, координаты которых являются функциями одной переменной. Термин «кривая» в разных разделах математики определяется по разному. В начертательной геометрии кривую рассматривают как траекторию, описанную движущей точкой, как проекцию другой кривой, как линию пересечения двух поверхностей (рисунок 7.1), как множество точек, обладающих каким-либо общим для всех их свойством и т.д.

Рисунок 7.1 – Кривая, как линия пересечения двух поверхностей

Способы задания кривых. Каждая кривая включает в себя геометрические элементы, которые составляют её определитель, т.е. совокупность независимых условий, однозначно определяющих эту кривую.

Различны и способы задания кривых:

• Аналитический – кривая задана математическим уравнением;
• Графический – кривая задана визуально на носителе графической информации;
• Табличный – кривая задана координатами последовательного ряда точек.

Кривые линии делятся на плоские и пространственные.

Об этом можно узнать по наличию конкурирующих точек на двух ее проекциях. Изображения пространственных кривых могут и не иметь конкурирующих точек. В таком случае, если требуется, кривую проверяют на плоскостность. Для этого соединяют попарно четыре произвольные точки кривой прямыми. Если прямые пересекаются, то исследуемая кривая плоская, а если скрещиваются — пространственная.

Из пространственных кривых более всего применяются гелисы -цилиндрические винтовые линии. Обычно их ориентируют относительно плоскостей проекций так, чтобы ось была перпендикулярна к одной из них. Тогда проекции гелисы — окружность и синусоида.

Такую линию в пространстве описывает точка, которая движется по какой-либо образующей прямого кругового цилиндра, вращающегося вокруг своей оси так, что путь проходимый точкой по образующей пропорционален углу поворота цилиндра.

Все плоские кривые разделяются на циркульные, состоящие из сопряженных дуг окружностей (их проводят при помощи циркуля), и лекальные, вычерчивающиеся с помощью лекала по предварительно построенным точкам.

Некоторые кривые, часто встречающиеся в практике

Рассмотрим построение некоторых плоских кривых (эллипса, синусоиды, спирали Архимеда), а также пространственных винтовых линий [5].

Эллипс (рис 7.2.) – плоская замкнутая кривая, у которой сумма расстояний от любой ее точки (например, от точки М) до двух заданных точек F1 и F2 (фокус эллипса) есть величина постоянная, равная большой оси эллипса АВ (F1M+F2M=AB).

Рисунок 7.2 — Эллипс Рисунок 7.3 — Построение эллипса

Отрезок CD – малая ось эллипса, точка О – центр эллипса. Точка F1 и F2 расположены на большой оси АВ симметрично относительно точки О и удалены от концов малой оси (точек С и D) на расстояние, равное половине большой оси эллипса.

Существует ряд способов построения эллипса. Наиболее просто построить эллипс по двум его осям при помощи вспомогательных окружностей (рис. 7.3).

Синусоида- кривая, характеризующая изменение синуса угла в зависимости от величины центрального угла (рис.7.4).

Расстояние между крайними точками синусоиды по высоте, равное диаметру производящей окружности, называется амплитудой. Расстояние — шаг синусоиды. Построение точек синусоиды показано на рисунке 7.4.

Рисунок 7.4 — Построение точек синусоиды

Спираль Архимеда (рис. 7.5 ) – кривая , которую описывает точка, равномерно вращающаяся вокруг неподвижной точки (полюса О) и одновременно равномерно удаляющаяся от него. Расстояние ОА, пройденное точкой от полюса О при повороте на 360 º — шаг спирали.

Точки, принадлежащие спирали Архимеда, строят, исходя из определения кривой, задаваясь шагом ОА и направлением вращения.

Полученный отрезок и окружность делят на одинаковое число частей (12) и через точки деления окружности проводят в одном направлении касательные к ней. По каждой касательной откладываем отрезки и т.д.,равные соответственно и т.д. Полученные точки соединяем плавной кривой.

Рисунок 7.5 — Спираль Архимеда

Цилиндрическая винтовая линия (гелиса) – пространственная кривая, которая образуется на поверхности цилиндра вращения в результате двойного равномерного движения точки – вращение вокруг оси цилиндра и поступательного движения вдоль образующей цилиндра (рис. 7.6).

Рисунок 7.6 — Цилиндрическая винтовая линия

Шаг винтовой линии (Н) – расстояние между двумя ее соседними витками в направлении параллельности. Для построения цилиндрической винтовой линии делим окружность основания цилиндра и шаг Н винтовой линии на ровное число частей (12). Определим соответствующие фронтальные проекции перемещаемой точки и соединим их плавной кривой.

Горизонтальная проекция цилиндрической винтовой линии – окружность, а фронтальная синусоида. Разверткой цилиндрической винтовой линии является прямая.

Угол α – угол подъема винтовой линии: . Различают правые и левые винтовые линии. У правой подъем слева вверх направо, у левой – справа вверх налево.

Коническая винтовая линия – пространственная кривая, которая образуется на поверхности конуса вращения в результате двойного равномерного движения точки – вращения вокруг оси конуса и поступательного движения вдоль образующей конуса (рис. 7.7) .

Рисунок 7.7 — Коническая винтовая линия

Шаг конической винтовой линии Р — величина прямолинейного перемещения точки в направлении оси конуса при полном обороте вокруг оси.

Для построения проекций конической винтовой линии разделим окружность основания конуса и шаг Р на равное число частей (12). Проводим проекции образующих конуса и определим на них положение соответствующих проекций точек и соединим их плавной кривой.

Горизонтальная проекция винтовой линии – спираль Архимеда, а фронтальная – затухающая синусоида (синусоида с уменьшающейся амплитудой).

Образование и классификация поверхностей

Перемещающаяся в пространстве линия или поверхность называется образующей, которая при движении может сохранять или изменять свою форму.

Закон перемещения образующей обычно определяется другими линиями (иногда точками), называемыми направляющими, по которым скользит образующая при своем движении, а также условием движения образующей.

Различают три основных способа задания поверхности:

• — аналитический (поверхность задается уравнением);
• — каркасный (поверхность задается совокупностью точек или линий);
• — кинематический (поверхность образуется непрерывным перемещением в пространстве какой–либо линии поверхности).

В начертательной геометрии пользуются, главным образом, кинематическим способом образования поверхностей (Рисунок 7.8) [1]. При этом способе поверхность рассматривается как совокупность всех последовательных положений линии, перемещающейся в пространстве по определенному закону.

Линия, производящая поверхность в каждом ее положении, называется образующей (L). Образующая может быть как прямой, так и и любой кривой, постоянной или менять свою форму в процессе перемещения.

Неподвижная линия, по которой скользит образующая, называется направляющей (М).

Совокупность нескольких последовательных положений образующей и направляющих создает каркас поверхности. Не трудно убедиться (рис. 7.8), что образующие L и направляющие М можно менять местами. При этом поверхность получается одна и та же.

Рисунок 7.8 — Образование поверхности

Поверхность на чертеже считается заданной полностью, когда по одной проекции точки, принадлежащей поверхности, можно построить вторую ее проекцию. Точка принадлежит поверхности, если принадлежит какой-либо линии, лежащей на этой поверхности.

Чтобы задать поверхность на комплексном чертеже достаточно иметь на нем такие элементы поверхности, которые позволят построить каждую ее точку. Совокупность элементов поверхности, позволяющих построить каждую ее точку, называется определителем поверхности (Ф). Определитель состоит из 2-х частей: Ф(Г), /А/:(Г) – геометрической, в которую входят основные геометрические элементы и соотношения между ними и [А] -алгоритмической, содержащей закон построения отдельных точек и линий данной поверхности. Условно геометрическую часть заключают в круглые скобки, а алгоритмическую – в квадратные. Для придания чертежу поверхности наглядности наряду с проекцией определителя в большинстве случаев дается еще и очертание её.

Очерком поверхности называется след (линия) на плоскости проекций проецирующей поверхности, который огибает заданную поверхность. Это, как правило, контурная линия, которую называют линией видимости.

В зависимости от формы образующей и закона ее перемещения в пространстве поверхности условно можно разделить на следующие классы [1]:

1. Линейчатые поверхности;
2. Поверхности вращения;
3. Винтовые поверхности;
4. Поверхности второго порядка;
5. Циклические поверхности;
6. Топографические поверхности.

Следует отметить, что отдельные поверхности могут быть отнесены не к одному, а к нескольким классам.

Линейчатой поверхностью называется поверхность, образованная перемещением в пространстве прямолинейной образующей, закон движения которой может быть различным.

В общем случае линейчатые поверхности однозначно определяется тремя направляющими линиями.

В зависимости от вида направляющих и закона движения образующей получаются различные типы линейчатых поверхностей.

Рисунок 7.9 — Образование цилиндрической поверхности

Рассмотрим некоторые линейчатые поверхности с одной направляющей. Цилиндрическая поверхность образуется движением прямой линии L по некоторой кривой линии М и имеющей постоянное направление S. На рис. 7.9 показана цилиндрическая поверхность, у которой L — прямолинейная образующая, М – криволинейная направляющая, S – заданное направление перемещения образующей.

Следует отметить, что одна и та же поверхность может быть получена различными способами. Например, цилиндрическая поверхность может быть получена в результате перемещения прямолинейной образующей по кривой направляющей, или движением кривой образующей по прямолинейной направляющей.

Для большей наглядности изображения поверхностей в ряде случаев используют ее очерк – границы видимости на плоскостях проекций. Очерк проекции получается при пересечении с плоскостью проекций проецирующей поверхности, обертывающей данную. Например, очерком сферы является окружность радиуса, равного радиусу сферы.

В зависимости от формы образующей поверхности разделяются на линейчатые (образующая – прямая линия) и нелинейчатые (криволинейная образующая). Линейчатые поверхности называются развертывающимися, если их можно совместить с плоскостью без разрывов и складок. Не развертывающиеся поверхности не могут быть совмещены с плоскостью без наличия разрывов и складок.

Поверхности с постоянной образующей – поверхности, образующая которых не имеет своей формы при образовании поверхности. Поверхности с переменной образующей – поверхности, образующая которых изменяется при образовании поверхности.

Винтовые поверхности

Винтовые поверхности образуются винтовым движением некоторой линии – образующей.

Под винтовым движением понимается совокупность двух движений: поступательного параллельно некоторой оси, и вращательного, вокруг той же оси.

При этом поступательное и угловое перемещение находятся в определенной зависимости – линейное перемещение за время – угловое перемещение за то же время, k – коэффициент пропорциональности. Если k = Const, то шаг поверхности постоянный.

Линейчатые винтовые поверхности (образующая — прямая линия) называются геликоидами.

Прямой геликоид (рис. 7.10) образуется движением прямой, которая пересекает винтовую линию, а также ось винтовой линии i под прямым углом [5].

Поскольку образующая перпендикулярна оси винтовой линии, то она параллельна плоскости проекций Н. Поэтому другое название прямого геликоида — винтовой коноид.

Рисунок 7.10 — Прямой геликоид Рисунок 7.11 — Косой геликоид

Косой геликоид (рис. 7.11) образуется движением прямой, которая пересекает винтовую линию и ось винтовой линии i под постоянным углом не равным 90° [5].

Особое место занимают такие нелинейные поверхности, образование которых, не подчинено ни какому закону. Оптимальную форму таких поверхностей определяют теми физическими условиями, в которых они работают и устанавливают ее форму экспериментально (поверхности лопастей турбин, обшивка каркасов морских судов и самолетов).

Поверхности вращения

Поверхности вращения – это поверхности созданные при вращении образующей m вокруг оси i (рис. 7.12).

Геометрическая часть определителя состоит из двух линий: образующей m и оси i .

Алгоритмическая часть включает две операции:

1. На образующей m выделяют ряд точек A, B, C, …F;
2. Каждую точку вращают вокруг оси i.

Так создается каркас поверхности, состоящей из множества окружностей), плоскости которых расположены перпендикулярно оси i. Эти окружности называются параллелями; наименьшая параллель называется горлом, наибольшая – экватором.

Из закона образования поверхности вращения вытекают два основных свойства:

1. Плоскость перпендикулярная оси вращения, пересекает поверхность по окружности – параллели.
2. Плоскость, проходящая через ось вращения, пересекает поверхность по двум симметричным относительно оси линиям – меридианам.

Плоскость проходящая через ось параллельно фронтальной плоскости проекций называется плоскостью главного меридиана, а линия, полученная в сечении, – главным меридианом.

Рисунок 7.12 — Поверхность вращения

Замкнутую область пространства вместе с ее границей (поверхностью) называют геометрическим телом.

Рассмотрим наиболее распространенные поверхности вращения с прямолинейными и криволинейными образующими.

Цилиндр вращения (рис. 7.12) образуется вращением прямой вокруг параллельной ей оси i. Все точки образующей (например, точка А) описывают окружности (параллели) равные окружностям оснований цилиндра.

Рисунок 7.12 — Цилиндр вращения Рисунок 7. 13 — Конус вращения

Конус вращения (рис. 7.13) образуется вращением прямой вокруг пересекающейся с ней оси i. Все точки образующей описывают окружности различных радиусов. Величина радиуса изменяется от нуля до радиуса окружности основания конуса.

Однополостный гиперболоид вращения (рис. 7.14) образуется вращением образующей линии ℓ вокруг скрещивающейся с ней оси i. Точки образующей ℓ описывают окружности переменных радиусов. Радиус параллели наименьшего радиуса (горла) равен кратчайшему расстоянию между образующей ℓ и осью i.

Рисунок 7.14 — Однополостный

Рисунок 7.15 — Сфера гиперболоид вращения

Сфера (рис. 7.15) образуется вращением окружности вокруг ее диаметра. Точки образующей окружности описывают окружности переменных радиусов. Точка А описывает параллель наибольшего радиуса (экватор). Для сферы экватор и меридианы — равные между собой окружности.

Эллипсоид вращения образуется вращением эллипса вокруг его оси. При вращении эллипса вокруг его большой оси получается вытянутый эллипсоид, при вращении вокруг малой — сжатый эллипсоид. Для эллипсоида вращения меридианом является эллипс.

Рисунок 7.16 – Тор

Рисунок 7.17 – Однополостный гиперболоид

Рисунок 7.18 – Двуполостный гиперболоид

Тор (рис. 7.16) образуется вращением окружности вокруг оси i, лежащей в плоскости окружности, но не проходящей через ее центр.

В зависимости от взаимного расположения образующей окружности и оси вращения различают: открытый тор (круговое кольцо), замкнутый, самопересекающийся.

Внутреннюю часть открытого тора в технике называют глобоидом.

Пример применения — глобоидная червячная передача.

Однополостный гиперболоид вращения (рис.7.17) образуется вращением гиперболы вокруг ее мнимой оси.

Двуполостный гиперболоид вращения (рис. 7.18) образуется вращением гиперболы вокруг ее действительной оси.

Меридианами гиперболоидов вращения являются гиперболы.

Параболоид вращения (рис. 7.19) образуется вращением параболы вокруг ее оси.

Меридианом параболоида вращения является парабола.

Рисунок 7.19 –Параболоид вращения

Поверхности вращения: цилиндр, конус, однополостный гиперболоид — являются также и линейчатыми поверхностями.

Тор является поверхностью четвертого порядка, что соответствует максимальному числу точек пересечения поверхности с прямой линией. Все остальные перечисленные выше поверхности вращения являются поверхностью второго порядка.

Поверхности циклические, каркасные и с плоскостью параллелизма

Циклическая поверхность образуется окружностью постоянного или переменного радиуса при ее произвольном движении.

Каналовая поверхность (рис. 7.20) образуется движением окружности переменного радиуса вдоль кривой направляющей, причем плоскость образующей окружности остается перпендикулярной к заданной направляющей, по которой движется центр окружности. Если радиус об-разующей окружности постоянен, то такая каналовая поверхность называется трубчатой.

Когда направляющей кривой является цилиндрическая винтовая линия, образуется трубчатая винтовая поверхность. Она может быть получена и движением сферы постоянного диаметра, центр которой перемещается по цилиндрической винтовой линии. Примером такой поверхности является поверхность цилиндрической пружины с круглым сечением витков.

Рисунок 7.20 – Каналовая поверхность

Каркасными называют поверхности, заданные некоторым числом линий — каркас поверхности может быть получен линиями пересечения ее плоскостями параллельными плоскостям проекций.

Примером каркасных поверхностей могут служить поверхности корпусов судов, самолетов, автомобилей. К разряду каркасных поверхностей относится и топографическая поверхность. Эта изображается совокупностью горизонталей, т.е. линий, получаемых в сечении земной поверхности поверхность горизонтальными плоскостями.

Поверхности с плоскостью параллелизма (поверхности Каталана) представляют собой множество прямых линий l (образующих), параллельных некоторой плоскости α (плоскости параллелизма) и пересекающих две данные направляющие m, n.

Поверхности с плоскостью параллелизма имеют применение в архитектуре, строительстве, в конструировании технических форм.

Рисунок 7.15 – Поверхности с плоскостью параллелизма

Точка и линия на поверхности

Точка принадлежит поверхности в том случае, если она находится на линии лежащей на этой поверхности. В качестве таких линий могут быть выбраны образующие, параллели, меридианы и др.

Рисунок 7.16 – Точка и линия на поверхности

Рассмотрим построение точек, лежащих на геометрических телах и поверхностях.

Точка на поверхности цилиндра

Поверхности цилиндра вращения (рис. 7.17) является горизонтально проецирующей, образующие цилиндра перпендикулярны горизонтальной плоскости проекций, вследствие чего поверхность цилиндра проецируется на эту плоскость окружностью [5].

Рисунок 7.17 — Точка на поверхности цилиндра

Горизонтальные проекции точек А и В (А’ и В’) лежат на окружности.

Профильные проекции этих точек А»‘ и В «‘ находятся при помощи линий.

Очерковые образующие цилиндра разделяют фронтальную и профильные проекции на видимую и невидимые части. Так образующие L1 и L2 делят цилиндрическую поверхность на видимую спереди и невидимую, образующие L3 и L4 на видимую слева и невидимую. Невидимые проекции точек указаны в скобках.

Точка на поверхности конуса

Конус вращения является также и линейной поверхностью, поэтому для построения точек на его поверхности можно использовать и образующие и параллели.

На рис. 7.18а показано построение горизонтальной А’ и профильной А»‘ проекций точки А по заданной фронтальной проекции А» при помощи образующей [5].

Рисунок 7.18 — Точка на поверхности конуса

Если задана горизонтальная проекция В’ точки В, то построение начинается с проведения горизонтальной проекции S ‘2’ образующей S2, на которой находится точка В. Определить фронтальную проекцию S» 2″ этой образующей, по линиям связи находим фронтальную проекцию — В» точки В, а затем и профильную В”’.

Образующие L1 и L2 разделяют коническую поверхность на видимую спереди и невидимую, а образующие L3 и L4 на видимую слева и невидимую.

Проекции B» и В»‘ находятся на невидимой части конуса. Горизонтальная проекция поверхности конуса является видимой.

На рис. 7.18 б показано построение недостающих проекций точек A и В при помощи параллелей. Через заданные проекции А» и В’ проводятся проекции m»1 и m’ 2 параллелей m1 и m2 Используя т.1 и 2, лежащие на очерковых образующих, определим положение проекций m’1 и m»2 проведенных параллелей. По линиям связи определим положение проекций А’ и А » точки А и проекций В» и В»’ точки В.

Точка на поверхности сферы

На рис. 7.19 приведены проекции сферы, которые ограничены экватором К, фронтальным меридианом m и профильным n [5]. Каждый из них проецируется на соответствующую плоскость проекций в натуральную величину (окружность), на остальные — в виде отрезков прямых длиной, равной диаметру сферы. На этом же рисунке показано построение недостающих проекций точек А, В и С по заданным фронтальным проекциям этих точек. Точка А находится на экваторе К, точка В — на фронтальном меридиане m, точка С — на профильном меридиане n. Недостающие проекции определяются при помощи линий связи (проведение линий связи на рисунке показано стрелками).

Рисунок 7.19 — Точка на поверхности сферы

Экватор К разделяет сферу на видимую (верхняя половина) на горизонтальной проекции невидимую части. Фронтальный меридиан m разделяет сферу на видимую (ближняя половина) и невидимую части на фронтальной проекции.

Профильный меридиан n разделяет сферу на видимую (левая половина) и невидимую части на профильной проекции.

Так на рис. 7.19 горизонтальная проекция С’ точки С невидимая (взята в скобки), т.к. находится на нижней (невидимой) половине сферы.

На поверхности сферы можно провести множество параллелей, соответственно параллельных плоскостям проекций. Эти параллели используются для построения проекций точек на сфере.

По данной фронтальной проекции А» точки А, найдена горизонтальная А’ как принадлежащая горизонтальной параллели L1. Для построения горизонтальной проекции L’2 использована точка 1, принадлежащая фронтальному меридиану. Профильная проекция А'» точки А построена при помощи линий связи и находится на невидимой (правой половине) части сферы.

Точка на поверхности тора

На рисунке 7.20 представлены проекции открытого тора (кругового кольца), полученного вращением окружности радиуса r вокруг оси i.

Проекции экватора обозначены k, горла — m, крайних параллелей n1 (верхняя) и n2 (нижняя).

Стрелками на рисунке показано построение фронтальных проекций точек А, В, С по заданным горизонтальным, расположенных соответственно на экваторе k, горле — m, и крайней (верхней) параллели п1.

Для построения горизонтальной проекции D’ точки D, через фронтальную проекцию D» проведена фронтальная проекция L»1 параллели L1. Горизонтальная проекция L’1 параллели L1 построена при помощи точки 1, лежащей на образующей окружности.

Горизонтальная проекция точки В найдена при помощи линий связи, как принадлежащая параллели L1.

Для построения фронтальной проекции точки Е (по заданной гори-зонтальной), лежащей на внутренней части тора, использована параллель L2. Фронтальная проекция этой параллели строится при помощи точки 2, принадлежащей образующей окружности.

Рисунок 7.20 — Точка на поверхности тора

Экватор k разделяет тор на видимую (верхняя половина) и невидимую части на горизонтальной проекции. На фронтальной проекции видимой является ближняя наружная часть открытого тора.

Определение кривых линий

Проектирование обводов сложных технических форм напрямую связано с вопросом конструирования кривых по наперед заданным условиям. Последнее в большой степени обусловлено способом задания и формирования кривых.

Принято рассматривать кривые по отношению их к трехмерному пространству. Если кривые полностью принадлежат гиперпространству (двумерной плоскости) расширенного Евклидова пространства ,то такие кривые называет плоскими. Все остальные относят к пространственным кривым.

В общем случае кривые рассматриваются как результат пересечения поверхностей. В этом смысле плоские кривые являются результатом пересечения поверхности с плоскостью.

Все кривые на чертеже задаются проекциями, которые являются плоскими кривыми, поэтому большая честь раздела и посвящена конструированию плоских кривых.

В практической работе проектировщику приходится иметь дело с двумя большими классами кривых, представляющих дуги простых кривых (графиков функций) и составных (сложных). Составные кривые, получившие в технике название обводов, конструируются из ряда дуг простых с соблюдением заданных условий на стыках.

Дифференциальные характеристики кривой

Форма и характер поведения плоской кривой в окрестности любой точки определяется ее дифференциальными характеристиками.

Рисунок 7.1 — Характеристики кривой линии F(x,y)=0

К основным характеристикам плоской кривой относят касательную t, нормаль т и кривизну р (рисунок 7.1).

Касательная (в точке Р) — предельное положение секущей 12 при бесконечном приближении точек У и 2 к точке

Уравнение касательной имеет вид:

— первая производная в точке

Нормаль — линия, перпендикулярная касательной в фиксированной точке кривой.

Кривизна — величина, обратная значению радиуса круга кривизны кривой p=l/R в фиксированной точке Р, определится уравнением:

где штрихи означают дифференцирование по X .

Круг кривизны — предельное положение соприкасающейся окружности 1Р2 при бесконечном приближении точек 1 и 2 к точке

Приведенные уравнения показывают, что касательная и кривизна не являются полными аналогами первой и второй производной (такая аналогия принята в вычислительной математике), хотя и связаны с ними.

Особые точки кривых

«Поведение кривой» можно оценить и по типу точек, которые она несет на себе (рисунок 7.2).

Рисунок 7.2 — Точки кривой

Точка кривой, в которой определена единственная касательная, называется обыкновенной (регулярной). Если в обыкновенной точке (А, В, С, D) кривизна достигает экстремального значения (например, ноль), то такая точка называется специальной. К специальным точкам относятся точки перегиба М, точки экстремума (вершины кривой В, D) и несобственные точки (рисунок 7.2). В точке перегиба ветви кривой расположены по разные стороны от касательной, кривизна в ней равна нулю (радиус кривизны стремится к бесконечности). Несобственная точка — это точка пересечения кривой с несобственной прямой плоскости. Такие точки на чертеже задаются асимптотами.

Точка кривой, в которой не определено положение касательной, получила название особой. К таким точкам относят (рисунок 7.3) узловые точки

А, точки возврата С и D , излома K, прекращения L, точки изолированные В, асимптотические M и точки самоприкосновения E.

Рисунок 7.3 — Особые точки кривых

При проектировании технических форм следует избегать работы с дугами, несущими на себе особые точки.

Алгебраические кривые

Кривые могут быть классифицированы по виду их уравнения. Кривые, определяемые уравнениями в виде полиномов типа:

или отношения полиномов, получили название алгебраических. Все прочие кривые называют трансцендентными.

Для алгебраических кривых существует специальная характеристика -порядок кривой. Она совпадает по значению с максимальной степенью полинома. Геометрически порядок определяется числом точек пересечения алгебраической кривой с произвольной прямой линией. Эти точки могут быть: действительными (А и В), или мнимыми (D) (в соответствии с рисунком 7.4). Еще одна существенная характеристика — жанр (род) кривой.

Рисунок 7.4 — Точки пересечения кривой линии с прямой

Жанр (род) кривой определяется как разность между возможными для данного порядка и существующими количествами двойных (совпавших) точек. Кривые нулевого жанра называют рациональными. Эти кривые нашли широкое применение для описания гидро — и аэродинамических профилей.

Конические сечения

Кривые, получающиеся при пересечении прямого кругового конуса плоскостью, называются кониками или коническими сечениями (рисунок 7.5).

Рисунок 7.5 — Коники

Если секущая плоскость перпендикулярна оси вращения, то в сечении (в общем случае) получается окружность. При прохождении такой плоскости через вершину конуса окружность вырождается в точку.

Плоскость, пересекающая конус одновременно по всем образующим, позволяет получить эллипс.

Плоскость, параллельная образующей, отсекает параболу. В частном случае, когда секущая плоскость касается образующей, парабола вырождается в две совпавшие прямые.

Плоскость, параллельная оси вращения, отсекает гиперболу. В частном случае, при прохождении плоскости через саму ось, получаются две пересекающиеся прямые.

Наиболее употребительные графические способы построения дуг кривых второго порядка основаны на методах проективной геометрии. В соответствии с рисунком 7.6 дуга кривой второго порядка может быть определена тремя точками и касательными в двух точках. Например, точки А, В, С и касательные

Рисунок 7.6 — Построение коник

Порядок построения точек дуги коники следующий: строится треугольник АТВ, где а затем внутри этого треугольника — точки кривой второго порядка.

Для построения текущей точки дуги объединяются точки А, В и С. Проводится произвольная прямая l, которая в пересечении с прямой ВС определит положение точки N. Точки N и Т (пересечение касательных) соединяются прямой. Пересечение прямых NT и АС позволяет получить точку Р. Положение текущей точки дуги коники — найдется в пересечении прямых ВР и AN.

Меняя положение точки N, можно получить множество точек дуги кривой второго порядка.

Изменение положения точки С приведет получению другой формы коники. Такая возможность управления формой кривой широко используется в инженерной практике, для чего введено понятие инженерного дискриминанта.
В этом случае точка С задается на медиане DT . Инженерный дискриминант f определяется из отношения f = CD/TD. Он характеризует тип коники:при f 0.5 — дуга гиперболы.
В отдельных случаях, если известен тип коники, построение кривой может быть значительно упрощено. Например, парабола может быть построена, как пропорциональная кривая (рисунок 7.7).

Рисунок 7.7 — Парабола

Исходная информация для построения дуги параболы: граничные точки А, В и точка пересечения касательных Т.

Отрезки АТ и ВТ делятся точками 1 и 2 пополам. Прямая 12 также делится пополам. Точка М — точка параболы.

Затем процесс повторяется (в обе стороны): граничные точки А, М и точка пересечения касательных 1 и т.д.

Эллипс удобнее стоить по его полуосям (большой ОВ и малой ОА).

Для построения эллипса проводятся две соосные окружности радиусами ОВ и ОА (рисунок 7.8). Проведение произвольной прямой ОС и дальнейшее построение «ключа” (треугольника СDM со сторонами параллельными осям эллипса) позволяет определить положение текущей точки эллипса М.

Плоские обводы

Решение практических задач по формированию сложных технических контуров наталкивается на такую проблему, как невозможность представления всего контура единственной кривой. Это и породило необходимость конструирования составных кривых (кривых, сформированных из дуг простых).

В технике такие кривые получили название обводов, в математике они более известны как сплайны (spline). Основной характеристикой обвода является гладкость. Под гладкостью понимают число совпавших производных (уравнений стыкующихся кривых) в точках стыка.

Наиболее простой вариант построения составной кривой — из дуг окружностей.

Окружности могут сопрягаться таким образом, что в точках стыка будут располагаться общие касательные. Такой стык соответствует первому порядку гладкости (совпадают только первые производные).

Для построения этого обвода используется идея радиусо — графического сопряжения дуг окружностей. Исходной информацией является точечный ряд (1,2,3. n) и касательная на одном из концов этого ряда (например,

Вследствие того, что окружность трехпараметрическая кривая, для её построения кроме точки i нужно определить еще одну, например (i+1) или (i-1). He нарушая общности рассуждений, рассмотрим вариант с (i+1)-ой точкой (рисунок 7.9).

Рисунок 7.9 — Дуга окружности с заданными параметрами

Рисунок 7.10 — Обвод первого порядка гладкости

Графическое решение выглядит следующим образом: через точку i проводится нормаль n . Конечные точки i и (i+1) соединяются хордой. В средней точке хорды строится перпендикуляр h . Пересечение нормали п и перпендикуляра h и определит положение центра искомой окружности. Радиус окружности совпадает с отрезками [o-i] и [o-(i+Касательная к построенной окружности будет перпендикулярна радиусу, проведенному в (i+1)-ю точку.

Центры соприкасающихся окружностей лежат на одной прямой, проходящей через точку касания. Таким образом, определение центра окружности сопрягающейся с i-той найдется на пересечении линии с перпендикуляром к середине хорды (i+l)(i+2) (рисунок 7.10).

Пространственные кривые

В отличие от плоских кривых, пространственные кривые (линии двоякой кривизны) не лежат всеми своими точками в одной плоскости.

Общие свойства пространственной кривой, ее проекции связаны со свойствами проецирования и справедливы для проекций плоских кривых:

• несобственная точка кривой проецируется в несобственную точку ее
• проекции;
• касательная к кривой проецируется в касательную к ее проекции;
• порядок проекции алгебраической кривой равен порядку самой кривой. В частных случаях проекция может распадаться и иметь меньший, чем у кривой, порядок. Например, кривая второго порядка, лежащая в проецирующей плоскости, проецируется в «двойную» прямую.

Исследование свойств кривой в окрестности ее точки, так называемых дифференциальных (локальных) свойств, производится путем построения проекций кривой на гранях сопровождающего трехгранника (рисунок 7.11).
Сопровождающий трехгранник (трехгранник Френе) состоит из трех ребер — касательной t, нормали n и бинормали b и из трех граней — соприкасающейсянормальной Г, спрямляющей плоскостей.

Рисунок 7.11 — Оснащение пространственной кривой

Рассмотрим наиболее часто встречающуюся на практике пространственную кривую — цилиндрическую винтовую линию (рисунок 7.12.)

Цилиндрическая винтовая линия представляет собой траекторию точки, совершающей равномерное движение вдоль некоторой прямой, которая в свою очередь равномерно вращается вокруг параллельной ей оси.

Расстояние h, на которое точка М перемещается вдоль образующей за один ее оборот, называется шагом винтовой линии. Описываемая при этом точкой М дуга называется витком.

Число р = h/2 называется параметром винтовой линии и определяет перемещение z точки М вдоль прямой m за время поворота последней на угол

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Кривые второго порядка

Кривая второго порядка — это некоторая линия на плоскости, которая в декартовой системе координат задается общим уравнением:

Имеем дело с уравнением второй степени, в котором коэффициенты при старших членах — при вторых степенях одновременно не нули.

или можно встретить следующую форму записи:

К кривым второго порядка относятся окружность, эллипс, гипербола и парабола.

Покажем на примере определение значений коэффициентов.

Рассмотрим кривую второго порядка:

Вычислим определитель из коэффициентов:

Если Δ = 0, кривая второго порядка параболического типа,

если Δ > 0, кривая второго порядка эллиптического типа,

если Δ F₁ и F₂ — фокусы.

с — фокальное расстояние,

Каноническое уравнение эллипса с центром симметрии в начале координат:

2а — большая ось эллипса, 2b — малая ось эллипса.

а — большая полуось эллипса, b — малая полуось эллипса.

Если a = b, то имеем окружность с радиусов R = a = b:

Если центр эллипса находится не в начале координат, а в некоторой точке C(x₀;y₀), оси эллипса параллельны осям координат, то каноническое уравнение эллипса имеет вид:

Эксцентриситет — число, равное отношению фокального расстояния к большей полуоси:

Эксцентриситет характеризует отклонение эллипса от окружности, т.е. чем эксцентриситет больше, тем эллипс более сплющен, вытянут.

Гипербола — множество точек на плоскости для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек F₁ и F₂ есть величина постоянная, меньшая расстояния между этими точками.

с — фокальное расстояние,

Расстояние от центра гиперболы до одного из фокусов называется фокальным расстоянием.

Каноническое уравнение гиперболы с центром симметрии в начале координат:

x — действительная ось, y — мнимая ось.

а — действительная полуось, b — мнимая полуось.

Если центр гиперболы находится в некоторой точке C(x₀;y₀), оси симметрии параллельны осям координат, то каноническое уравнение имеет вид:

Эксцентриситет гиперболы — число, равное отношению фокусного расстояния к действительной полуоси.

Чем эксцентриситет меньше, тем гипербола более вытянута, сплюшена вдоль оси Ох.

Директриса гиперболы — прямые, параллельные мнимой оси гиперболы и отстоящая от нее на расстоянии a/Ε.

f₁ — правая директриса, f₂ — левая директриса.

Порядок построения гиперболы :

1. Строим прямоугольник со сторонами 2a и 2b.

2. Провести асимптоты гиперболы — диагонали построенного прямоугольника.

3. Строим гиперболу с вершинами в точках А 1 (-а;0), А 2 (а;0).

Парабола — множество точек на плоскости для каждой из которых расстояние до данной точки F равно расстоянию до данной прямой f.

F — фокус параболы, f — директриса параболы.

Привет, Вы узнаете про параллельные кривые, Разберем основные ее виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое
параллельные кривые, параллельная кривая , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Планометрия.

Параллельное из кривой является

• огибающая семейства конгруэнтных окружностей с центром на кривой.

Он обобщает концепцию параллельных линий . Его также можно определить как

• кривая, точки которой находятся на фиксированном нормальном расстоянии от данной кривой.

Эти два определения не полностью эквивалентны, поскольку последнее предполагает гладкость , а первое — нет.

параллельные кривые графика на расстояния

Два определения параллельной кривой: 1) огибающая семейства конгруэнтных окружностей, 2) фиксированное нормальное расстояние

Параллельные кривые круга (красный) тоже круги

В системе автоматизированного проектирования предпочтительным термином для параллельной кривой является кривая смещения . (В других геометрических контекстах термин «смещение» также может относиться к переносу . ) Кривые смещения важны, например, при обработке с числовым программным управлением , где они описывают, например, форму выполненного резания. круглым режущим инструментом двухкоординатного станка. Форма реза смещена от траектории резца на постоянное расстояние в направлении, перпендикулярном траектории резца в каждой точке.

В области компьютерной 2D- графики, известной как векторная графика , (приблизительное) вычисление параллельных кривых задействовано в одной из фундаментальных операций рисования, называемых штриховкой, которая обычно применяется к полилиниям или полилинии (сами называемые контурами) в этом поле.

За исключением случая линии или круга , параллельные кривые имеют более сложную математическую структуру, чем кривая-прародительница. Например, даже если кривая-предшественница гладкая , ее смещения могут быть не такими; это свойство проиллюстрировано на верхнем рисунке с использованием синусоидальной кривой в качестве кривой-предшественницы. В общем, даже если кривая рациональна , ее смещения могут быть не такими. Например, смещения параболы являются рациональными кривыми, но смещения эллипса или гиперболы не рациональны, даже если сами эти исходные кривые рациональны.

Это понятие также распространяется на 3D- поверхности , где оно называется смещенной поверхностью . Увеличение твердого объема за счет (постоянного) смещения расстояния иногда называют растяжением . Противоположную операцию иногда называют обстрелом . Смещенные поверхности важны при обработке с числовым программным управлением , где они описывают форму реза, выполненного концевой фрезой со сферической головкой на трехосном станке. ^[10] Другие формы режущих коронок могут быть смоделированы математически с помощью общих поверхностей смещения. ^[11]

параллельная кривая параметрически заданной кривой

Если существует регулярное параметрическое представление данной доступной кривой, второе определение параллельной кривой (см. выше) приводит к следующему параметрическому представлению параллельной кривой с расстоянием :

с блоком нормальный .

В декартовых координатах:

Параметр расстояния тоже может быть отрицательным. В этом случае получается параллельная кривая на противоположной стороне кривой (см. Диаграмму на параллельных кривых окружности). Легко проверить: параллельная кривая прямой — это параллельная линия в обычном смысле, а параллельная кривая окружности — это концентрическая окружность.

Геометрические свойства:

• Что касается параллельных прямых , нормальная линия к кривой также нормальна к ее параллелям.
• При построении параллельных кривых они будут иметь выступы, когда расстояние от кривой совпадает с радиусом кривизны . Это точки, где кривая касается эволюции .
• Если кривая-предшественница является границей плоского множества, а его параллельная кривая не имеет самопересечений, то последняя является границей суммы Минковского плоского множества и диска данного радиуса.

Если данная кривая полиномиальна (то есть а также являются полиномами), то параллельные кривые обычно не являются полиномами. В области САПР это недостаток, потому что системы САПР используют полиномы или рациональные кривые. Чтобы получить хотя бы рациональные кривые, квадратный корень из представления параллельной кривой должен быть разрешимым. Такие кривые называются кривыми пифагора годографа и исследованы Р. Т. Фаруки. ^[13]

Параллельные кривые неявной кривой

Как правило, аналитическое представление параллельной кривой неявной кривой невозможно. Только для простых случаев прямых и окружностей можно легко описать параллельные кривые. Например:

Линия → функция расстояния: (Нормальная форма Гессе)

Круг → функция расстояния:

Вообще говоря, предполагая определенные условия, можно доказать существование ориентированной функции расстояния . На практике приходится относиться к этому численно. ^[14] Рассматривая параллельные кривые, верно следующее:

Свойства функции расстояния:

Пример: на
схеме показаны параллельные кривые неявной кривой с уравнением
Примечание: кривые не являются параллельными кривыми, потому что не соответствует действительности в интересующей области.

Дальнейшие примеры

• В эвольвенты данной кривой представляют собой набор параллельных кривых. Например: эвольвенты окружности — это параллельные спирали (см. Диаграмму).

И: ^[16]

• Параболы имеют в качестве (двусторонний) смещают рациональные кривой степени 6.
• Гиперболу или эллипс имеет в качестве (двусторонний) смещает в алгебраической кривой степени 8.
• Кривая Безье степени п имеет в качестве (двусторонний) смещает алгебраических кривых степени 4 п — 2 . В частности, кубическая кривая Безье имеет в качестве (двусторонних) смещений алгебраические кривые степени 10.

Параллельная кривая кривой с углом

При определении траектории резания детали с острым углом для обработки вы должны определить кривую, параллельную (смещенной) заданной кривой, которая имеет прерывистую нормаль в углу. Даже если данная кривая не является гладкой в ​​остром углу, ее параллельная кривая может быть гладкой с непрерывной нормалью или может иметь изломы, когда расстояние от кривой совпадает с радиусом кривизны в остром углу.

Обычные фанаты [ править ]

Как описано выше , параметрическое представление параллельной кривой,, к заданной кривой, , с расстоянием является:

с блоком нормальный .

В остром углу () нормаль к данный разрывной, что означает односторонний предел нормали слева не равняется до предела справа . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Математически,

.

Однако мы можем определить нормальный веер ^[11] который обеспечивает интерполянт между а также , и используйте на месте в остром углу:

где .

Полученное определение параллельной кривой обеспечивает желаемое поведение:

Алгоритмы

Эффективным алгоритмом компенсации является уровневый подход, описанный Кимелем и Брукштейном (1993). ^[17]

Для этой задачи существует множество приближенных алгоритмов. Обзор 1997 года см. В книге Элбера, Ли и Кима «Сравнение методов аппроксимации кривой смещения». ^[18]

Параллельные (смещенные) поверхности

Смещенные поверхности важны при обработке с числовым программным управлением , где они описывают форму реза, выполненного концевой фрезой со сферическим концом трехосевой фрезы. ^[10] Если существует регулярное параметрическое представление данной доступной поверхности, второе определение параллельной кривой (см. выше) обобщается до следующего параметрического представления параллельной поверхности с расстоянием :

с блоком нормальный .

Параметр расстояния тоже может быть отрицательным. В этом случае получается параллельная поверхность на противоположной стороне поверхности (см. Аналогичную диаграмму на параллельных кривых окружности). Легко проверить: параллельная поверхность плоскости — это параллельная плоскость в обычном смысле, а параллельная поверхность сферы — это концентрическая сфера.

Геометрические свойства:

Главные кривизны являются собственными значениями этого оператора формы , главные направления кривизны являются его собственными векторами , то гауссова кривизна является определяющей , а средняя кривизна равна половина его след .

Главные радиусы кривизны являются собственными значениями обратного оператора формы , главные направления кривизны являются его собственными векторами , обратная величина гауссовой кривизны является его определителем , а средний радиус кривизны составляет половину его следа .

Обратите внимание на сходство с геометрическими свойствами параллельных кривых .

Обобщения

Проблема довольно очевидно обобщается на большие размеры, например, на смещенные поверхности, и несколько менее тривиально на поверхности труб . ^[20] Обратите внимание, что терминология для многомерных версий варьируется даже шире, чем в плоском случае, например, другие авторы говорят о параллельных волокнах, лентах и ​​трубках. ^[21] Для кривых, встроенных в 3D-поверхности, смещение может производиться по геодезической . ^[22]

Другой способ обобщить это (даже в 2D) — рассмотреть переменное расстояние, например, параметризованное другой кривой. ^[19] Можно, например, обводить (конверт) эллипсом вместо круга ^[19], как это возможно, например, в METAFONT . ^[23]

Совсем недавно Adobe Illustrator добавил несколько аналогичных возможностей в версию CS5 , хотя контрольные точки для переменной ширины указаны визуально. ^[24] В контекстах, где важно различать постоянное и переменное смещение расстояния, иногда используются аббревиатуры CDO и VDO.

Общие кривые смещения

Предположим, у вас есть регулярное параметрическое представление кривой, , и у вас есть вторая кривая, которая может быть параметризована ее единичной нормалью, , где нормаль (эта параметризация нормалью существует для кривых, кривизна которых строго положительна или отрицательна и, следовательно, выпуклая, гладкая и непрямая). Параметрическое представление общей кривой смещения компенсируется является:

где единица нормали .

Обратите внимание, что тривиальное смещение, , дает вам обычные параллельные (иначе говоря, смещенные) кривые.

Геометрические свойства:

Поверхности общего смещения

Общие смещенные поверхности описывают форму резов, выполненных различными режущими головками, используемыми трехосными концевыми фрезами при обработке с числовым программным управлением . ^[11] Предположим, у вас есть регулярное параметрическое представление поверхности,, и у вас есть вторая поверхность, которая может быть параметризована ее единичной нормалью, , где нормаль (эта параметризация нормалью существует для поверхностей, гауссова кривизна которых строго положительна и, следовательно, выпуклая, гладкая и не плоская). Параметрическое представление общей офсетной поверхности компенсируется является:

где единица нормали .

Обратите внимание, что тривиальное смещение, , дает вам обычные параллельные (иначе говоря, смещенные) поверхности.

Геометрические свойства:

Главные кривизны являются собственными значениями этого оператора формы , главные направления кривизны являются его собственными векторами , то гауссова кривизна является определяющей , а средняя кривизна равна половина его след .

Главные радиусы кривизны являются собственными значениями обратного оператора формы , главные направления кривизны являются его собственными векторами , обратная величина гауссовой кривизны является его определителем , а средний радиус кривизны составляет половину его следа .

Обратите внимание на сходство с геометрическими свойствами общих кривых смещения .

Вывод геометрических свойств для общих выносов [ править ]

Геометрические свойства, перечисленные выше для общих кривых и поверхностей смещения, могут быть получены для смещений произвольного размера. Предположим, у вас есть регулярное параметрическое представление n-мерной поверхности,, где размерность это n-1. Также предположим, что у вас есть вторая n-мерная поверхность, которая может быть параметризована ее единичной нормалью,, где нормаль (эта параметризация нормалью существует для поверхностей, гауссова кривизна которых строго положительна и, следовательно, выпуклая, гладкая и не плоская). Параметрическое представление общей офсетной поверхности компенсируется является:

где единица нормали . (Тривиальное смещение,, дает обычные параллельные поверхности.)

Во-первых, обратите внимание, что нормальный нормальный по определению. Теперь применим дифференциал по к , который дает нам его касательные векторы, покрывающие его касательную плоскость.

Обратите внимание, касательные векторы для являются суммой касательных векторов для и его смещение , которые используют одну и ту же единицу нормально. Таким образом, общая поверхность смещения имеет одну касательную плоскость и нормаль с а также . Это соответствует природе конвертов.

Теперь рассмотрим уравнения Вейнгартена для оператора формы , которые можно записать как. Если обратимо, . Напомним, что главные кривизны поверхности — это собственные значения оператора формы, главные направления кривизны — его собственные векторы , кривизна Гаусса — его определитель , а средняя кривизна — половина его следа . Обратный к оператору формы сохраняет те же значения для радиусов кривизны.

Подставляя в уравнение для дифференциала , мы получили:

где оператор формы для .

Затем мы снова используем уравнения Вейнгартена, чтобы заменить:

где оператор формы для .

Затем мы решаем для и умножить обе стороны на чтобы вернуться к уравнениям Вейнгартена , на этот раз для:

Таким образом, , и инвертирование обеих сторон дает нам, .

эквидистанта

Параллельная кривая или эквидистанта плоской кривой — огибающая семейства окружностей равного радиуса, центры которых лежат на заданной кривой. Понятие параллельной кривой — обобщение понятия параллельной прямой на случай плоских кривых.

Для параметрически заданной кривой параллельная кривая, проходящая на расстоянии от данной определяется уравнениями

,

.

Или в векторной форме:

,

где матрица соответствует повороту вектора на 90° по часовой стрелке.

Свойства эквидистанты

Эллипс (красный), его эволюта (синий) и несколько параллельных кривых (зеленый). Обратите внимание, как изламываются параллельные кривые при встрече с эволютой

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!

• Отображение рельефа (горизонталь)
• Функция расстояния и подписана функция расстояния
• Поле расстояния
• Эволюта
• Эвольвента
• пареллельность
• параллельные прямые
• антипареллельность
• параллельные прямая и плоскость
• параллельные плоскости

В общем, мой друг ты одолел чтение этой статьи об параллельные кривые. Работы в переди у тебя будет много. Смело пишикоментарии, развивайся и счастье окажется в ваших руках.
Надеюсь, что теперь ты понял что такое параллельные кривые, параллельная кривая
и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания,
то нестесняся пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории
Планометрия



2.5.2. Как найти прямую, параллельную данной?

За незнание этой простейшей задачи сурово наказывает Соловей-Разбойник.

Задача 75

Прямая задана уравнением . Составить уравнение параллельной прямой, которая

проходит через точку .

Решение: обозначим неизвестную прямую буквой . Что о ней

сказано в условии? Прямая  проходит через точку . А если прямые параллельны, то очевидно, что направляющий вектор прямой «цэ» подойдёт и для

построения прямой «дэ».

Вытаскиваем направляющий вектор из уравнения :

Уравнение искомой прямой  составим по точке  и направляющему вектору :

Ответ:

Геометрия задачи выглядит незатейливо:

Аналитическая же проверка состоит в следующих шагах:

1) Проверяем, что у прямых  один и тот же направляющий вектор (если

уравнения не упрощены должным образом, то векторы будут коллинеарны). Да что тут векторы?! – посмотрим на коэффициенты:  
– параллельность прямых понятна без всякого чертежа!

2) Проверяем, удовлетворяет ли точка  полученному уравнению . И это тоже устный пункт!

Примеры для самостоятельного решения сегодня будут творческими. Потому что вам ещё придётся тягаться с Бабой-Ягой, а она, знаете, любительница

всяких загадок.

Задача 76

Составить уравнение прямой, проходящей через точку , параллельную прямой , если

Существует рациональный и не очень рациональный способ решения. Самый короткий путь в конце книги.

С параллельными прямыми немного поработали и к ним ещё вернёмся. Случай совпадающих прямых малоинтересен, поэтому перейдём к задаче, которая

хорошо знакома вам из школьной программы:

2.5.3. Как найти точку пересечения прямых?

2.5.1. Взаимное расположение двух прямых

| Оглавление |



Автор: Aлeксaндр Eмeлин

Как построить прямую, параллельную данной?

Пример

Прямая
задана уравнением 
.
Составить уравнение параллельной
прямой, которая проходит через точку 
.

Решение:
Обозначим неизвестную прямую буквой 
.

Прямая 
 проходит
через точку 
.
А если прямые параллельны, то очевидно,
что направляющий вектор прямой c
подойдёт и для
построения прямой d.

Направляющий
вектор берем из уравнения 
:

Уравнение
прямой 
 составим
по точке 
 и
направляющему вектору 
:

Ответ: 

Иллюстрация
примера:

Как найти точку пересечения двух прямых?

Если
прямые 
 пересекаются
в точке 
,
то её координаты являются решением
СЛАУ:

Как
найти точку пересечения прямых? Решить
систему.

Геометрический
смысл системы двух линейных уравнений
с двумя неизвестными –
это две пересекающиеся (чаще всего)
прямые на плоскости.

Пример

Найти
точку пересечения прямых  

Решение:
Существуют два способа решения –
графический и аналитический.

Графический
способ состоит в том, чтобы просто
начертить данные прямые и узнать точку
пересечения непосредственно из
чертежа:

Получилась
точка 
.
Для проверки следует подставить её
координаты в каждое уравнение прямой,
они должны подойти и там, и там. Иными
словами, координаты точки 
 являются
решением системы 
.

 Точку
пересечения 
 целесообразнее
искать аналитическим методом. Решим
систему:

Ответ:

Как построить прямую, перпендикулярную данной?

Пример

Прямая
задана уравнением 
.
Составить уравнение перпендикулярной
прямой 
,
проходящей через точку 
.

Решение:
По условию известно, что 
.
Надо найти направляющий вектор прямой 

Из
уравнения 
 находим
вектор нормали: 
,
который будет направляющим вектором
прямой 
.

Уравнение
прямой 
 составим
по точке 
 и
направляющему вектору 
:

Ответ: 

Расстояние от точки до прямой

Расстояние
от точки до прямой – это длина
перпендикулярного отрезка.

Расстояние
в геометрии традиционно обозначают
греческой буквой «ро», например: 
 –
расстояние от точки «эм» до прямой «дэ».

Расстояние
от точки 
 до
прямой 
 выражается
формулой 

Пример

Найти
расстояние от точки 
 до
прямой 

Решение:

Ответ: 

Как найти угол между двумя прямыми?

Существуют
две формулы.

Первый
способ.

Рассмотрим
две прямые, заданные уравнениями в общем
виде:

Если
прямые не
перпендикулярны, то 
угол 
 между
ними можно вычислить с помощью формулы:

Рассмотрим
знаменатель – это скалярное произведение
направляющих векторов прямых:

Если 
,
то знаменатель формулы обращается в
ноль, а векторы будут ортогональны и
прямые перпендикулярны. Именно поэтому
сделана оговорка о неперпендикулярности
прямых в формулировке.

Второй
способ.

Если
прямые заданы уравнениями с угловым
коэффициентом 
 и не
перпендикулярны,
то  угол 
 между
ними можно найти с помощью формулы:

 

Условие
перпендикулярности прямых выражается
равенством 
,
откуда следует полезная взаимосвязь
угловых коэффициентов перпендикулярных
прямых: 
,
которая используется в некоторых
задачах.

Пример

Найти
угол между прямыми  

Решение первым
способом

Решение
удобно оформить в два этапа:

1)
Вычислим скалярное произведение
направляющих векторов прямых:

,
значит, прямые не перпендикулярны.

2)
Угол между прямыми найдём по формуле:

С
помощью обратной функции легко найти
и сам угол. При этом используем нечётность
арктангенса:

Ответ: 

Решение
вторым способом

Алгоритм
решения похож на предыдущий пункт. Но
сначала перепишем прямые в нужном
виде:

Таким
образом, угловые коэффициенты: 

1)
Проверим, будут ли прямые перпендикулярны:

,
значит, прямые не перпендикулярны.

2) 
Используем формулу:

Ответ: 

13

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Содержание:

Аналитическая геометрия

В этой главе все геометрические объекты мы будем определять и изучать с помощью соответствующих уравнений этих объектов и, следовательно, в принципе геометрия может быть изложена без единого чертежа. И, действительно, все чертежи, которые мы будем использовать, будут служить лишь для визуальной иллюстрации наших рассуждений.

Уравнение поверхности в выбранной декартовой системе координат

т. е. в виде связи или зависимости между координатами х, у, z произвольной точки поверхно-аналогично, уравнение

определяет некоторую линию (кривую) в системе координат на плоскости.

Кривая в пространстве может быть задана как пересечение двух поверхностей и, следовательно, она определяется системой из уравнений этих поверхностей:

Кроме того, кривую на плоскости или в пространстве можно также задать с помощью зависимостей координат произвольной то’жи этой кривой от некоторого параметра, т. е. с помощью параметрических уравнений:

где t — действительный параметр.

Плоскость в пространстве. Различные виды уравнения плоскости

Найдем уравнение плоскости в пространстве с выбранной в нем декартовой системой координат . Будем исходить из того, что положение этой плоскости полностью определяется точкой . через которую проходит плоскость и ненулевым вектором . ей перпендикулярным. Вектор называется нормальным вектором плоскости.

Пусть — произвольная точка плоскости П. Тогда вектор ортогонален вектору и, следовательно,

или, учитывая, что запишем в координатах уравнение плоскости П :

Преобразовав полученное уравнение к виду

мы получим тем самым общее уравнение плоскости.

Рассмотрим теперь некоторые частные случаи общего уравнения плоскости. Если в общем уравнении плоскости отсутствует, одна из координат, то нормальный вектор этой плоскости перпендикулярен соответствующей координатной оси и, следовательно, плоскость расположена параллельно этой координатной оси.

Аналогично, если в общем уравнении плоскости отсутствуют две координаты, то нормальный вектор данной плоскости перпендикулярен соответствующей координатной плоскости и, значит, плоскость расположена параллельно этой координатной плоскости.

Научимся теперь находить уравнение плоскости по трем элементам.

1) Плоскость, проходящая через точку, параллельно двум векторам.

Пусть плоскость проходит через точку  параллельно неколлинеарным векторам .

Обозначим через произвольную точку плоскости Для точек данной плоскости и только для них три вектора компланарны и, следовательно (глава II, §5, теорема), их смешанное произведение равно нулю, т. е.

Раскрыв определитель (проще всего, разлагая его по первой строке), получим общее уравнение плоскости 

2)Плоскость, проходящая через две точки, параллельно вектору.

Найдем уравнение плоскости , проходящей через две точки , параллельно ненулевому вектору . Задача сводится к предыдущей, если положить, например,  Тогда

— искомое уравнение плоскости

3)Плоскость, проходящая через три точки.

Если плоскость проходит через три точки , не лежащие на одной прямой, то ее уравнение можно найти, как и в случае 1). положив например,  Следовательно, уравнение плоскости  записать в виде:

Замечание. Во всех трех случаях уравнение плоскости можно найти, вычислив предварительно ее нормальный вектор. Например, в первом случае в качестве нормального вектора можно взять векторное произведение Тогда — уравнение плоскости.

Пример №1

Найти уравнение плоскости 11 ^ — перпендикулярной плоскости

параллельной вектору и проходящей через точку пересечения плоскости с координатного осью

Решение. Из уравнения плоскости находим у = — 2. Следовательно, плоскость проходит через точку Кроме того, , поэтому нормальный вектор плоскости параллелен плоскости . Осталось записать искомое уравнение по трем элементам: точке и векторам . Имеем:

Таким образом, общее уравнение плоскости имеет вид:

Пусть плоскость  не проходит через начало координат и не параллельна ни одной из координатных осей. Тогда, очевидно, все числа A, В, С, D отличны от нуля.

Разделив обе части уравнения плоскости на число D. мы можем записать его в виде:

Числа а, b, с представляют собой величины отрезков, которые плоскость П отсекает на координатных осях. Полученное уравнение называется уравнением плоскости в отрезках.

Найдем теперь формулу для вычисления расстояния от точки до плоскости

Обозначим искомое расстояние через. Очевидно., где точка — основание перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость П. Вычислим скалярное произведение коллинеарных векторов . С одной стороны,

С другой,

так как  и поэтому  Следовательно, расстояние от точки  до плоскости П вычисляется по формуле:

В заключение этого параграфа выясним характер взаимного расположения двух плоскостей. Пусть плоскости заданы своими общими уравнениями:

Очевидно, что угол между этими плоскостями равен углу между их нормальными векторами  и, следовательно,

В частности,

Пример №2

Убедиться в том, что плоскость отсекающая на координатных осях отрезки величиной 2, —1, 2 соответственно и плоскость

параллельны и найти расстояние между ними.

Решение. Запишем уравнение плоскости II| в отрезках:

Преобразовав его к общему виду, получим:

Так как нормальные векторы плоскостей коллинеарны. то эти плоскости параллельны. Возьмем какую-нибудь точку в плоскости  например, . Тогда

Уравнения прямой в пространстве

Пусть прямая L в пространстве с декартовой системой координат проходит через точку и параллельна ненулевому вектору, который называется направляющим вектором прямой.

Обозначим через произвольную точку прямой L. Вектор коллинеарен вектору и, следовательно, их координаты пропорциональны, т. е.

Эта двойная пропорция представляет собой канонические уравнения прямой в пространстве.

Заметим, что в канонических уравнениях прямой формально допускается запись нулей в знаменателях, это означает лишь то, что прямая перпендикулярна соответствующей координатной оси или координатной плоскости.

Если прямая проходит через две точки , то в качестве ее направляющего вектора можно взять вектор и, следовательно, канонические уравнения этой прямой имеют вид:

Коллинеарные векторы линейно связаны (глава II. §1), т.е. существует действительный параметр t такой, что

Если точка М перемещается вдоль прямой, параметр t изменяется в пределах от до . Так как — радиусы-векторы точек и М соответственно, то последнее уравнение мы можем переписать в виде

Это уравнение называется векторным уравнением прямой.

Переходя в полученном векторном уравнении к координатам, запишем параметрические уравнения прямой:

Прямую в пространстве можно задать также как пересечение двух плоскостей.

Система

составленная из уравнений этих плоскостей, дает нам общие уравнения прямой в пространстве. Для перехода от общих к каноническим уравнениям прямой, достаточно найти какую-нибудь точку на ней, решив при фиксированном значении одной из координат систему уравнений плоскостей, а также определить направляющий вектор прямой, которым может служить векторное произведение нормальных векторов плоскостей. т. е. вектор

Пример №3

Найти канонические уравнения прямой

Решение. Полагая в данной системе z = 0, получим

Решив эту систему, найдем х = 1, у = —2. Таким образом, мы получили точку на прямой. Найдем ее направляющий вектор:

Осталось записать канонические уравнения данной прямой:

Научимся теперь вычислять расстояние от точки до прямой в пространстве. Пусть задана точка и прямая L своими каноническими уравнениями

Искомое расстояние равно, очевидно, высоте треугольника, построенного, на векторах Воспользовавшись геометрическим смыслом длины векторного произведения (глава II. §4), найдем:

Пусть нам известны канонические уравнения двух прямых в пространстве:

Очевидно,

Один из углов между этими прямыми равен углу между их направляющими векторами и и, следовательно.

Изучим взаимное расположение прямых . Если направляющие векторы  коллинеарны, то данные прямые параллельны или совпадают. Совпадать они будут в том случае, когда

В случае, когда , прямые пересекаются или являются скрещивающимися.

Прямые пересекаются, очевидно, тогда и только тогда, когда векторы компланарны. В противном случае данные прямые являются скрещивающимися. Таким образом, для того, чтобы выяснить, являются ли две данные непараллельные прямые пересекающимися или скрещивающимися, достаточно вычислить смешанное произведение и, если оно окажется равным нулю, то прямые пересекаются, иначе — скрещиваются.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно, очевидно, расстоянию между параллельными плоскостями, в которых расположены эти прямые и, следовательно, равно высоте параллелепипеда, построенного на векторах Отсюда, использовав геометрический смысл смешанного произведения (глава II. §5), мы и найдем искомое расстояние:

Пример №4

Убедиться в том, что прямые

являются скрещивающимися. Найти расстояние между ними и уравнение общего перпендикуляра к ним.

Решение. Первая прямая проходит через точку параллельно вектору . а вторая — через точку параллельно вектору  Вычислим смешанное произведение векторов

следовательно, прямые являются скрещивающимися. Для вычисления расстояния между ними иенолтьзуем приведенную выше формулу. Так как

Осталось найти уравнение общего перпендикуляра к данным прямым. Заметим, прежде всего, что его направляющим вектором является уже вычисленный нами вектор . Очевидно, указанный перпендикуляр расположен в пересечении двух плоскостей , проходящих через данные прямые параллельно вектору Найдем уравнения этих плоскостей по трем элементам. Первая из них проходит через точку параллельно векторам следовательно (§1),

Таким образом, плоскость имеет уравнение Аналогично, плоскость содержит точку и расположена параллельно векторам поэтому

и, стало быть, — уравнение плоскости . Система из уравнений плоскостей и даст нам общие уравнения перпендикуляра к прямым :

В заключение этого параграфа вычислим угол между прямой L, заданной каноническими уравнениями

и плоскостью П, для которой известно ее общее уравнение 

Очевидно, искомый угол связан с углом между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости соотношением следовательно,  откуда,

В частности, если  

Прямая на плоскости

Для прямой на плоскости наблюдается большее разнообразие ее уравнений, так как на плоскости прямая фиксируется точкой, через которую она проходит и, либо вектором ей перпендикулярным (нормальным вектором), либо вектором ей параллельным (направляющим вектором) и, следовательно, для прямой на плоскости можно записывать как уравнения, характерные для плоскости в пространстве (§1), так и аналоги уравнений прямой в пространстве (§2). Перечислим, не повторяя деталей, изложенных в предыдущих двух параграфах, основные уравнения прямой на плоскости и связанные с ними формулы.

Пусть прямая L на плоскости с выбранной в ней системой координат проходит через точку перпендикулярно ненулевому вектору .

Уравнение такой прямой имеет вид:

откуда после очевидных преобразований получим уравнение

которое представляет собой общее уравнение прямой на плоскости.

Пусть прямая L отсекает на координатных осях отрезки величиной а и Ь соответственно.

Тогда, как и для плоскости, мы можем записать уравнение прямой в отрезках:

Если прямая L содержит точку и расположена параллельно ненулевому вектору

то ее каноническое уравнение имеет вид:

По аналогии с прямой в пространстве, прямая на плоскости может быть задана также векторным уравнением

и параметрическими уравнениями

Расстояние от точки  прямой L на плоскости, заданной общим уравнением , может быть вычислено по формуле:

Найдем еще одно уравнение прямой на плоскости, характерное для этого геометрического объекта. Пусть прямая L, заданная своим каноническим уравнением  , непараллельна оси

Тогдаи мы можем записать уравнение прямой L с угловым коэффициентом:

где — угловой коэффициент прямой, b — величина отрезка, который отсекает эта прямая на оси . В частности,

представляет собой уравнение прямой с угловым коэффициентом, которая проходит через точку

Если две прямые на плоскости заданы общими или каноническими уравнениями, то их взаимное расположение исследуется по аналогии с плоскостями или прямыми, заданными такими же уравнениями (§1 или §2). Изучим поэтому взаимное расположение двух прямых, которые заданы уравнениями с угловым коэффициентом. Итак, рассмотрим две прямые

Предположим сначала, что прямые не являются перпендикулярными, обозначим черезострый угол между ними. Тогда, очевидно, и, следовательно,

Если же, то нормальные векторы этих прямых ортогональны, следовательно,

Таким образом, для перпендикулярности прямых необходимо и достаточно, чтобы

Очевидно. прямые параллельны в том и только в том случае, когда равны углы, которые они образуют с осью Ох. Следовательно, для параллельности прямых необходимо и достаточно, чтобы совпадали их угловые коэффициенты, т. е.

Пример №5

Даны прямая и точка А(—2, 1). Найти уравнения прямыхпроходящих через точку А и таких, что

Решение. Прямые имеют общий нормальный вектор , поэтому,

— общее уравнение прямой 

Так как то направляющим вектором прямой является нормальный вектор прямой L, следовательно,

 каноническое уравнение прямой

Из уравнения прямой L находим следовательно, Тогда угловые коэффициенты прямых  удовлетворяют уравнению

откуда, Осталось записать уравнения прямых

Кривые второго порядка на плоскости

В предыдущих трех параграфах нами были изучены линейные геометрические объекты -плоскость и прямая в пространстве и на плоскости. Мы показали, что в декартовой системе координат они определяются алгебраическими уравнениями первой степени, т. е. линейными уравнениями. Предметом нашего исследования в этом параграфе будут являться кривые второго порядка, т. е. линии на плоскости, уравнения которых в декартовой системе координат Оху имеют вид:

где А, В, С, D, Е, F — действительные числа. Мы убедимся в том, что, за исключением случаев вырождения данное уравнение определяет одну из трех замечательных линий — эллипс, гиперболу или параболу. Приведем сначала геометрическое определение каждой из этих линий и найдем их канонические уравнения.

Эллипс

Определение: Эллипсом называется множество точек на плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух фиксированных точек (фокусов эллипса) есть величина постоянная.

Найдем каноническое уравнение эллипса. Обозначим через 2с фокусное расстояние, т. е. расстояние между фокусами, а через 2а — постоянную сумму расстояний от точек эллипса до фокусов. Из неравенства треугольника следует, что . Выберем декартову систему координат на плоскости следующим образом: ось Ох направим через фокусы, а начало координат выберем посередине между ними.

Пусть М(х, у) — произвольная точка эллипса. По определению этой линии,

Упростим последнее уравнение:

откуда, использовав обозначение    , мы и получим каноническое уравнение эллипса :

Построим эту линию. Для этого прежде всего заметим, что она симметрична относительно координатных осей и начала координат, так как переменные x и у входят в каноническое уравнение в квадратах. Отсюда следует, что эллипс достаточно построить в первой координатной четверти и затем отразить его относительно координатных осей. Из канонического уравнения эллипса находим:

Очевидно, эта функция определена и убывает при Кроме того, ее график располагается выше прямой  Из приведенных рассуждений следует, что эллипс представляет собой следующую замкнутую линию на плоскости:

Числа а и b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса. Точка O(0,0) -центр эллипса, точки — вершины эллипса, отрезок — большая, — малая оси эллипса.

Форму эллипса характеризует величина . равная отношению фокусного расстояния к длине большой оси. Это число называется эксцентриситетом эллипса. Очевидно, Так как

то при мы имеем , и, следовательно, эллипс по форме мало отличается от окружности. В предельном случае, когда . полуоси совпадают и эллипс превращается в окружность. Если же и эллипс является вытянутым вдоль оси Ох.

Замечание. В уравнении эллипса может оказаться, что Тогда фокусы эллипса находятся на оси — большая, — малая полуоси эллипса.
 
 

Гипербола

Определение: Гипербола представляет собой линию на плоскости, для каждой точки которой абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек (фокусов гиперболы) есть величина постоянная.

Обозначим и здесь фокусное расстояние через 2с. а через 2а — постоянную абсолютную величину разности расстояний от точек гиперболы до фокусов. Для гиперболы а < с, что следует из неравенства треугольника. Выберем декартову систему координат на плоскости точно также, как и при выводе канонического уравнения эллипса.

По определению гиперболы для произвольной точки М(х, у) этой линии

Избавляясь от корней в этом уравнении, получим:

Обозначая здесь , получим каноническое уравнение гиперболы:

Как видно из ее уравнения, гипербола симметрична относительно координатных осей и начала координат. Из канонического уравнения гиперболы следует, что в первой четверти

Эта функция возрастает, при всех при больших х.

а    а    а    а

Это означает, что в первой четверти гипербола, выходя из точки (а, 0) на оси Ох, приближается

затем при больших значениях х к прямой  Следовательно, гипербола выглядит следующим образом:

Прямые называются асимптотами гиперболы. Точка O(0,0) — центр гиперболы. Точки называются вершинами гиперболы. Ось симметрии гиперболы, пересекающая ее в вершинах, называется действительной осью. Вторая ось симметрии, не имеющая с гиперболой общих точек, называется мнимой осью гиперболы. Числа а и Ь называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. Если полуоси равны, то гипербола называется равносторонней (равнобочной).

Как и для эллипса, определим эксцентриситет гиперболы как отношение половины фокусного расстояния к действительной полуоси:

Так как

то эксцентриситет гиперболы характеризует величину угла, в котором она располагается. При угол мал и, наоборот, если эксцентриситет велик, то и угол. в котором находится гипербола, близок к развернутому.

Замечание. В каноническом уравнении гиперболы знаки перед квадратами могут располагаться и в обратном порядке:

В этом случае фокусы и вершины находятся на оси

 

Парабола

Определение: Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от. фиксированной точки (фокуса параболы) и фиксированной прямой (директрисы параболы).

Обозначим расстояние от фокуса до директрисы через р. Число р > 0 называется параметром параболы. Выберем удобную систему координат на плоскости: ось Ох направим через фокус F перпендикулярно директрисе D, а начало координат возьмем посередине между директрисой и фокусом.

Если М(х,у) — произвольная точка параболы, то по определению этой кривой

После возведения в квадрат и очевидных преобразований, получим каноническое уравнение параболы:

Очевидно, парабола проходит через начало координат и симметрична относительно оси Ох. Точка O(0,0) называется вершиной параболы, ось Ох — осью параболы.

Замечание. Если бы при выборе системы координат мы направили ее оси в противоположные стороны, то каноническое уравнение параболы приняло бы вид:

Аналогично, уравнения

также определяют параболы, фокусы которых расположены на оси Оу. а директрисы параллельны оси Ох.

Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду

Покажем, что общее уравнение кривой второго порядка на плоскости, кроме случаев вырождения, определяет одну из линий — эллипс, гиперболу или параболу.

Выясним сначала, как преобразуются координаты точки на плоскости при параллельном переносе системы координат. Предположим, что осуществлен параллельный перенос системы координат Оху в точку . Пусть — координаты точки М в старой Оху, а — координаты той же точки в новой системе координат.

Так как то новые и старые точки координаты на плоскости связаны линейными соотношениями:

Рассмотрим теперь уравнение второго порядка на плоскости в частном случае, когда оно не содержит произведения координат ху :

причем коэффициенты А и С не равны одновременно нулю. Здесь возможны три случая.

а) АС > 0. Очевидно, всегда можно считать, тгго А > 0, С > 0. Выделяя в уравнении второго порядка полные квадраты по переменным х и у, получим:

где — некоторые действительные числа. Ясно, что при > 0 ни одна из точек плоскости не удовлетворяет этому уравнению. Если = 0, то единственным решением полученного уравнения является точка . Наконец, при < 0 уравнение приводится к виду

и, следовательно, в смещенной с помощью параллельного переноса в точку системе координат оно является каноническим уравнением эллипса:

b)    АС < 0. Будем считать для определенности, что А > 0. С < 0.

В этом случае исходное уравнение второго порядка также приводится к виду (1). При F = 0 оно определяет пару прямых, проходящих, через точку  :

Если же , то полученное уравнение мы можем преобразовать к виду

и, стало быть, после параллельного переноса системы координат в точку последнее уравнение является каноническим уравнением гиперболы:

c)    АС = 0. Предположим, например, что

Выделяя в данном уравнении второго порядка полный квадрат по переменной у, получим:

С {у ~ Уо)2 + Dx + F1=0.

Если в этом уравнении D = 0, то при > 0 множество решений этого уравнения пусто, а при  < 0 полученное уравнение определяет пару прямых, параллельных оси Ох :

Если же , то мы можем привести уравнение к виду:

т.е. после параллельного переноса системы координат в точку , мы получим тем самым каноническое уравнение параболы:

Аналогично. если в исходном уравнении второго порядка  то, не принимая во внимание вырожденные случаи, это уравнение мы также можем привести к каноническому уравнению параболы:

Пример №6

Привести уравнение второго порядка к каноническому виду, назвать и построить кривую:

Решение. Выделяя полные квадраты по обеим переменным, получим:

что представляет собой каноническое уравнение эллипса в смещенной в точку системе координат. Для этого эллипса и, следовательно, фокусы находятся в точках . Эксцентриситет эллипса равен

Пример №7

Найти каноническое уравнение параболы с вершиной в точке , осью симметрии, параллельной координатной оси Ох и фокусом на оси Оу. Построить параболу.

Решение. Фокус параболы находится в точке F(0 , 2), следовательно, уравнение параболы с учетом смещения имеет вид:

Здесь и, стало быть.

каноническое уравнение параболы.

 

Замечание. Для приведения к каноническому виду уравнения второго порядка, содержащего произведение координат ху, необходимо кроме параллельного переноса выполнить еще и поворот системы координат на определенный угол. Например, для равносторонней гиперболы ху = 1 следует повернуть систему координат Оху вокруг ее начала на угол 45° против часовой стрелки. Поскольку вершины гиперболы находятся на расстоянии от начала координат. то в новой системе координат каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

Поверхности второго порядка в пространстве

В заключение этой главы мы изучим поверхности в пространстве, которые в декартовой системе координат задаются алгебраическими уравнениями второй степени. Существуют пять видов таких поверхностей: эллипсоид, гиперболоиды, параболоиды, цилиндры второго порядка и конус второго порядка.

Поверхность вращения

Найдем уравнение поверхности, которая получается вращением некоторой линии вокруг одной из координатных осей. Пусть линия L, которая в координатной плоскости Oyz задается уравнением F(y, z) = 0. вращается вокруг оси Oz.

Пусть M(x,y,z) — произвольная точка на поверхности вращения. Перегоним ее по окружности, расположенной в сечении поверхности плоскостью, проходящей через данную точку перпендикулярно оси Oz, в точку N на линии L. Поскольку расстояние от точки М до оси Oz равно то точка N имеет координаты . Подставив координаты точки N в уравнение линии L. мы и получим тем самым уравнение поверхности вращения:

Найдем теперь уравнения поверхностей, которые получаются вращением кривых второго порядка с последующей линейной деформацией этих поверхностей.

Эллипсоид

Возьмем в плоскости Oyz эллипс

и будем вращать его вокруг оси Oz. В результате, как следует из предыдущего пункта, мы получим поверхность с уравнением

которая называется эллипсоидом вращения. Заменив в найденном уравнении координату х на —, т. е. линейно деформируя поверхность вдоль оси Ох с коэффициентом —, мы получим тем самым уравнение эллипсоида общего вида:

Положительные числа а, b, с называются полуосями эллипсоида.

Очевидно, сечениями эллипсоида плоскостями параллельными координатным, являются эллипсы.

Замечание. В частном случае, когда а = b = с = R эллипсоид превращается в сферу

радиуса R с центром в начале координат.

Гиперболоиды

а) Однополостный гиперболоид.

Вращая гиперболу

вокруг оси Oz, получим однополостный гиперболоид вращения с уравнением

После линейной деформации вдоль оси Ох эта поверхность превращается в однополостный гиперболоид общего вида с осью Oz :

Аналогично, уравнения однополостных гиперболоидов с осями Ох и Оу имеют, соответственно, вид:

Сечениями однополостного гиперболоида плоскостями, перпендикулярными его оси, являются эллипсы, а в сечениях плоскостями, перпендикулярными другим координатным осям, располагаются гиперболы.

Двухполостный гиперболоид

Поверхность, полученная вращением вокруг оси Оz гиперболы

вершины которой расположены на оси вращения, называется двухполостным гиперболоидом вращения. Запишем уравнение двухполостного гиперболоида:

Линейная деформация двухполостного гиперболоида вращения вдоль оси Ох прообразует его в двухполостный гиперболоид общего вида с осью Oz. Уравнение этой поверхности имеет вид:

Двухполостные гиперболоиды с осями Ох и Оу имеют, соответственно, уравнения:

Как и в случае однополостного гиперболоида, сечениями двухполостного гиперболоида плоскостями, параллельными координатным, являются эллипсы и гиперболы.

Параболоиды

а) Эллиптический параболоид

Вращение параболы вокруг ее оси приводит к поверхности, которая называется параболоидом вращения. В частности, если параболу с каноническим уравнением вращать вокруг оси Oz, то, как следует из пункта 0, уравнение полученного параболоида вращения имеет вид:

Линейная деформация параболоида вращения вдоль оси Оу превращает его в эллиптический параболоид с уравнением:

Положительные числа p, q называются параметрами параболоида, точка O(0,0) — вершина, ось Oz — ось эллиптического параболоида.

Уравнения эллиптических параболоидов с осями Ох и Оу имеют, соответственно, вид:

Как следует из уравнения эллиптического параболоида, плоскости, перпендикулярные его оси, пересекают эту поверхность по эллипсам, а в сечениях плоскостями, параллельными другим координатным, находятся параболы.

Замечание. Изменение знака в правой части уравнения эллиптического параболоида приводит к отражению этой поверхности относительно координатной плоскости, перпендикулярной оси параболоида.

b) Гиперболический параболоид.

Будем поступательно перемещать образующую параболу

расположенную в плоскости Oyz, параллельно самой себе вдоль направляющей параболы

находящейся в плоскости Oxz. Полученная таким образом поверхность называется гиперболическим параболоидом или седловидной поверхностью.

Найдем уравнение этой поверхности. Пусть М(х. у, z) — произвольная точка гиперболического параболоида. По его построению точка М принадлежит параболе с вершиной в точке , параллельной параболе Так как координаты произвольной точки этой параболы удовлетворяют уравнению

то, подставив в него координаты точки М, мы и получим после несложных преобразований уравнение гиперболического параболоида:

Здесь, как и для эллиптического параболоида, числа р, q — параметры гиперболического параболоида, точка O(0,0) и ось Oz — соответственно вершина и ось гиперболического параболоида.

Замечание 1. Седловидная поверхность может быть также получена перемещением параболы параллельно самой себе вдоль параболы

Судя по уравнению гиперболического параболоида, в сечениях этой поверхности плоскостями z = h > 0 находятся гиперболы, действительные оси которых параллельны координатной оси Ох. Аналогично, плоскости z = h < 0 пересекают данную поверхность по гиперболам с действительными осями, параллельными оси Оу. Наконец, плоскость Оху пересекает гиперболический параболоид по двум прямым

Гиперболические параболоиды, осями которых служат координатные оси Ох и Оу, имеют, соответственно, уравнения:

Замечание 2. Отразив седловидную поверхность относительно координатной плоскости, перпендикулярной ее оси, получим гиперболический параболоид, уравнение которого отличается знаком правой части от уравнения исходной поверхности.

Цилиндры второго порядка

Цилиндром второго порядка называется поверхность, полученная перемещением некоторой прямой (образующей) вдоль кривой второго порядка (направляющей), расположенной в плоскости, не содержащей образующую, параллельно фиксированному ненулевому вектору в пространстве.

Ограничимся случаем, когда направляющая расположена в одной из координатных плоскостей, а образующая перпендикулярна этой плоскости. Возьмем для определенности в плоскости Оху кривую второго порядка и будем перемещать прямую, параллельную оси Oz, вдоль этой кривой. Так как проекцией любой точки M(x,y,z) полученного таким образом цилиндра на плоскость Оху является точка N(x,y), принадлежащая кривой второго порядка, то координаты точки М удовлетворяют уравнению этой кривой. Следовательно, уравнением построенного цилиндра является уравнение его направляющей.

Перечислим теперь цилиндры второго порядка.

1) — эллиптический цилиндр. 

В частности, при а = b мы получим круговой цилиндр.

2 2 X у

2) — гиперболический цилиндр.

3)  — параболический цилиндр.

Аналогичные уравнения имеют цилиндры второго порядка, образующие которых параллельны осям Ох и Оу, а направляющие расположены в координатных плоскостях Oyz и Oxz, соответственно.

Конус второго порядка

Конус второго порядка представляет собой поверхность, которая может быть получена перемещением прямой (образующей), имеющей неподвижную точку, которая называется вершиной конуса, вдоль кривой второго порядка (направляющей), расположенной в плоскости, не содержащей вершину.

Найдем уравнение конуса, вершина которого совпадает с началом координат, а направляющей служит эллипс с уравнением

расположенный в плоскости z = с, с > 0.

Пусть M(x,y,z) — произвольная точка конуса. Обозначим через точку перс-сечения образующей, проходящей через точку М, с направляющей. Координаты точки удовлетворяют уравнениям

а точки M — уравнениям 

Из последних уравнений мы находим:

Подставив найденные выражения для в уравнение эллипса, получим после несложных преобразований уравнение конуса второго порядка:

Координатная ось Oz называется осью конуса. Если а = b, то конус является круговым.

Конусы второго порядка с осями Ох и Оу имеют, соответственно, уравнения:

Покажем, что вид конуса второго порядка не зависит от выбора направляющей. Действительно, если в качестве направляющей взять гиперболу

находящегося в плоскости 2 = с, то после рассуждений, аналогичных предыдущим, получим поверхность с уравнением

т. е. конус с осью Ох. Если же за направляющую мы выберем в плоскости z = с параболу с уравнением

то построенный таким образом конус имеет уравнение

Наблюдая со стороны положительной полуоси Оу, повернем систему координат Oxz вокруг оси Оу на угол 45° против часовой стрелки. Тогда произведение xz в системе координат

запишется как (§4, пункт 4, замечание). Следовательно, в новой системе координат Oxyz найденное уравнение поверхности приобретает вид

и, стало быть, эта поверхность является конусом с осью

Как следует из уравнения конуса и его построения, плоскости, перпендикулярные его оси, пересекают эту поверхность по эллипсам, сечениями конуса плоскостями, параллельными его оси, являются гиперболы, и, наконец, в сечениях конуса плоскостями, параллельными образующей, располагаются параболы.

Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду

По аналогии с уравнением кривой второго порядка (§4, пункт 4), уравнение поверхности второго порядка, не содержащее произведений координат, мы можем за счет выделения полных квадратов привести к уравнению одной из рассмотренных в пунктах 1—5 поверхностей. Следовательно, мы получим одну из поверхностей второго порядка в смещенной с помощью параллельного переноса системе координат. Исключение, правда, составляет случай, когда уравнение поверхности содержит полный квадрат и два линейных слагаемых относительно других координат. Такая поверхность представляет собой параболический цилиндр в смещенной с помощью параллельного переноса и повернутой затем вокруг одной из координатных осей системе координат.

Пример №8

Привести уравнение второго порядка

к каноническому виду, назвать и построить поверхность.

Решение. После выделения полных квадратов по переменным у, z получим:

Переписав это уравнение в виде

мы замечаем, что в смещенной с помощью параллельного переноса в точку системе координат, эта поверхность представляет собой гиперболический параболоид с параметрами р = 1, q = 4.

Прямая на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости

Докажем, что всякая прямая на плоскости задается в любой пдск  уравнением первой степени относительно двух переменных. 
Если  A  – некоторая точка на прямой    – вектор, перпендикулярный ей, то, во-первых, через  A  перпендикулярно  проходит единственная прямая на  плоскости,  а,  во-вторых,    для любой  точки    вектор   .  Таким свойством обладают только точки, лежащие на.  

Чтобы вывести уравнение прямой, зададим на плоскости пдск  XOY .  
В этой системе координат  

Пусть M (x, y)  – произвольная точка 
на . Тогда (рис. 22 ) . Так как   , то по свойству 5 скалярного произведения   – векторное уравнение прямой .   
поэтому по формуле (2.5) получим  

Координаты точек, лежащих на прямой, связаны соотношением (3.1). Если же    не перпендикулярен  значит, координаты  M  не  будут  удовлетворять полученному  уравнению.  Поэтому  (3.1)  –  уравнение прямой, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Заметим, что это уравнение линейно относительно переменных   x  и  y . 
 

Определение: Любой ненулевой вектор   , перпендикулярный прямой , называется ее нормальным вектором, или нормалью. 
. Обозначая   , получим 

(3.2) – общее уравнение прямой на плоскости,

Уравнение прямой с направляющим вектором

Определение:  Любой  ненулевой  вектор   ,  параллельный  прямой, называется ее направляющим вектором. 
Если  A  – некоторая точка на прямой  – вектор, параллельный ей, то, во-первых, через  A  параллельно  проходит единственная прямая, а, во-вторых,  для любой точки вектор Таким свойством обладают только точки, лежащие на .  

Чтобы  вывести  уравнение  прямой,  зададим  на  плоскости  пдск  XOY .  В этой системе координат  

Пусть  M (x, y) – произвольная точка на  . Тогда   и . Запишем условие коллинеарности векторов: 

(3.3) – уравнение прямой на плоскости с направляющим вектором.                    
Если   – направляющий вектор прямой   , поэтому уравнение прямой, проходящей через две точки имеет вид: 

 

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пусть – направляющий вектор прямой  не параллельна оси OY , тогда
 

Определение: Угловым коэффициентом прямой  называется число 

Очевидно, что если  – угол между прямой  и положительным направлением оси ОХ, то  
Рассмотрим уравнение (3.3)  прямой с направляющим вектором
 
Отсюда следует  (3.5) – уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку

Из (3.5) получим . Обозначим , тогда  

(3.6) – уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Угол между прямыми на плоскости

Определение: Углом между двумя прямыми на плоскости называется  любой  из  двух  смежных  углов,  образованных  ими  при  пересечении.  Если прямые параллельны, то угол между ними равен  0  или  радиан. 
Пусть прямые заданы общими уравнениями. 


Условие параллельности прямых: 

Условие перпендикулярности прямых:   

Рассмотрим случай, когда прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом. 
                                                                     

Так как    (рис. 24  ), то 

Условие параллельности прямых:    

Условие перпендикулярности:     
Так как
не существует, то

Пример №9

Даны  вершины  треугольника:
Написать: 
 а) уравнение медианы  AM , б) высоты  AH , в) найти угол между   AM  и  AH  
(рис. 25).      
                     
Перепишем уравнение  медианы в общем виде:   
 – нормаль АМ. 
б) – нормаль  AH . Уравнение прямой (3.1), проходящей через точку  A  перпендикулярно вектору :  

в). По формуле (3.7)
 

Расстояние от точки до прямой на плоскости

Пусть  в некоторой пдск  XOY  задана прямая    и точка   Найдем расстояние от точки M  до прямой  . 

Пусть   – проекция точки  M  на  (рис.  26),  тогда  . 

Нормаль 

где   d  – искомое расстояние, – скалярное произведение.  
Следовательно,        

Так как . Поэтому    

Отсюда    
(3.8) – формула для вычисления расстояния от точки до прямой на плоскости. 
 

Пример №10

Найти длину высоты  
Уравнение   —
искомая длина высоты АН. 
 

Кривые второго порядка

Окружность

Определение: Кривые второго порядка – плоские линии, которые в пдск   XOY  задаются уравнениями второй степени относительно двух переменных x,y. 
 

Определение: Окружностью называется совокупность точек  плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой ее центром. 

Выведем уравнение окружности. Зададим пдск  XOY . Пусть – фиксированная точка (центр окружности), а  R  – расстояние от точек окружности до ее центра (радиус окружности). Если    – произвольная точка окружности, то длина равна R .

Если точка  M (x, y)   не лежит на окружности, то    и ее координаты уравнению (3.9) не удовлетворяют, поэтому, (3.9) – уравнение окружности с центром   радиуса  R . 
Если   , то уравнение окружности примет вид: 

(3.10) – каноническое уравнение окружности.

Пример №11

Показать, что уравнение задает окружность (то есть найти  ее центр и радиус). 
Приведем  данное  уравнение  к  виду (3.9), выделив  полный квадрат по переменной   x : 

 

Пример №12

Написать уравнение линии центров окружностей  

Найдем центр второй окружности:         

Уравнение прямой (3.4), проходящей через две точки: 

 

Эллипс

Определение:  Эллипс  –  совокупность  точек  плоскости,  сумма  расстояний от которых до двух фиксированных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная и большая, чем расстояние между фокусами. 

Чтобы вывести уравнение эллипса, выберем пдск следующим образом: ось абсцисс проведем через фокусы   , а ось ординат – посередине отрезка  перпендикулярно  оси  абсцисс.    Обозначим  расстояние  между  фокусами  тогда . Пусть  M(x, y)  – произвольная точка, лежащая на эллипсе, а  2a  – сумма расстояний от точек на эллипсе до  ,     
                     
2a>2c определению эллипса. 
(рис. 27). 
Запишем  в  виде  уравнения  свойство  точек, принадлежащих эллипсу, сформулированное в определении: 

(3.11) – уравнение эллипса в выбранной системе координат. Преобразуем его к 
более простому (каноническому) виду. Для этого умножим (3.11)  на сопряженное выражение: 

Сложим (3.11) и (3.12) и результат возведем в квадрат: 

Так как по определению  a>c, то есть  , то обозначим . 
Тогда из (3.13) получим:  

(3.14) – каноническое уравнение эллипса. 
 

Исследуем форму эллипса по его каноническому уравнению. Найдем точки пересечения с осями координат:
  

Из (3.14) следует, что 

Значит, эллипс расположен в прямоугольнике со сторонами   .  
Кроме того, из уравнения следует, что он симметричен относительно OX  и OY . O(0,0)  – точка пересечения осей симметрии – центр симметрии  эллипса. 
Ось, на которой лежат фокусы, называется фокальной осью эллипса. Точки  пересечения  эллипса  с  осями  симметрии  называются  его  вершинами.  

– полуфокусное расстояние, – малая полуось,  
– большая полуось эллипса и  (рис. 28). 

Отношение полуфокусного расстояния к длине большой полуоси  называется эсцентриситетом  эллипса. Он характеризует форму эллипса.

Так как , и чем меньше , тем больше эллипс похож на окружность. Для окружности . 
 

ЗАМЕЧАНИЕ  1.  Уравнение  эллипса,  центр  которого  ,  а  оси симметрии параллельны координатным осям, имеет вид:  

 

ЗАМЕЧАНИЕ 2. К кривым второго порядка эллиптического типа относятся также мнимый эллипс 
 и точка 

 

Пример №13

Найти эксцентриситет эллипса   (рис. 29).    
Так как , то фокусы лежат на оси  OY  и поэтому  

 

Гипербола

Определение:  Гипербола  –  совокупность  точек  плоскости,  модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек этой плоскости, называемых фокусами,  есть величина постоянная, не равная  нулю и меньшая, чем расстояние между фокусами. 

Чтобы вывести уравнение гиперболы, выберем пдск следующим образом: 

ось абсцисс проведем через фокусы , а ось ординат – посередине отрез-
ка перпендикулярно оси абсцисс. Тогда – фокусы гиперболы (рис. 30). Пусть  M(x, y)  – произвольная точка, лежащая на гиперболе.

– расстояние между фокусами, 2a  – модуль разности  расстояний от точек на гиперболе до (рис. 30). 

Запишем свойство точек, принадлежащих гиперболе, сформулированное в определении: 

(3.16) – уравнение гиперболы в выбранной системе координат ( «+» – если разность расстояний  положительна, и «–»  – если отрицательна). Чтобы привести это уравнение к более простому виду, умножим (3.16) на сопряженное выражение и выполним такие  же действия, как при упрощении уравнения эллипса, после чего получим: 

По определению . Обозначим  , тогда (3.17) перепишется в виде:  

(3.18) – каноническое уравнение гиперболы. 

Исследуем форму гиперболы по ее каноническому уравнению.  
Из (3.18) следует, что гипербола симметрична относительно осей координат. Если x=0,  , значит, точек пересечения с  OY  нет; если  y = 0 , то . Точки пересечения с осями симметрии называются вершинами гиперболы.  Кроме  того,  из  (3.18)  следует,  что . Точка  пересечения осей  симметрии  называется  центром  гиперболы.  Ось  симметрии,  на  которой расположены  фокусы,  называется  фокальной  осью.  При  этом  фокальная  ось также называется действительной (с ней гипербола пересекается), а ось симметрии, с которой гипербола не пересекается, называется ее мнимой осью. 

c  – полуфокусное расстояние,   a  – действительная полуось, b  – мнимая полуось.  Отношение  полуфокусного  расстояния  к  длине  действительной  полуоси называется эксцентриситетом  гиперболы: .  Так  как  по  определению 

Считая, что из (3.18) получим, что  – уравнение части гиперболы, расположенной в первой четверти. Заметим, что при неограниченном  возрастании   разность , то есть при достаточно больших   x  гипербола приближается к прямой , 
причем ординаты точек на ней меньше соответствующих ординат точек на этой 
прямой:. Прямая называется асимптотой гиперболы.  

Из симметрии гиперболы следует, что то же самое происходит во второй, третьей и четвертой  четвертях. Поэтому   – также асимптота. 
Итак, прямые  – асимптоты гиперболы (3.18), а гипербола – кривая, состоящая из двух ветвей (рис. 31). 
Если фокусы гиперболы лежат на OY , то ее уравнение имеет вид: 

Гиперболы  (3.18)  и  (3.19)  называются  сопряженными  (рис.  31).  Уравнения асимптот  (3.19) такие же, как и для (3.18), но действительной является ось OY . 
Если  a = b, то гипербола называется равносторонней:  – уравнения ее асимптот (рис. 32 ).     

Очевидно, в этом случае асимптоты перпендикулярны. После поворота осей координат на против часовой стрелки, получим  гиперболу, задаваемую уравнением
 

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Если центр гиперболы  в точке , а оси симметрии параллельны координатным осям, то уравнение гиперболы имеет вид         

 ЗАМЕЧАНИЕ 2. К кривым второго порядка гиперболического типа относится также  пара пересекающихся прямых:  
 

Пример №14

Найти координаты центра и написать уравнения асимптот гиперболы
Приведем данное уравнение к виду (3.20): 

Таким образом,  – центр,  – уравнения асимптот данной гиперболы. 
 

Парабола

Определение: Парабола – совокупность точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки этой плоскости, называемой фокусом, и фиксированной прямой, не проходящей через эту точку, называемой директрисой.   Чтобы вывести уравнение параболы, выберем пдск следующим образом: ось абсцисс проведем через фокус перпендикулярно директрисе, а ось ординат посередине между фокусом и директрисой (рис. 33). 

Пусть расстояние между фокусом  F  и директрисой  DK  равно  p . Тогда .  Если  M(x, y)   –  произвольная  точка  на  параболе,  то  по определению 

(3.21) – уравнение параболы в выбранной системе координат. 

Упростим его:                                 

(3.22) – каноническое уравнение параболы;  p  называется ее параметром. 
Из уравнения следует, что парабола симметрична относительно   OX  и проходит через начало координат. Кроме того,  если , поэтому кривая лежит в правой полуплоскости и с ростом величины также растет. Точка пересечения параболы с осью симметрии называется ее вершиной (рис. 34). 

Если фокус параболы на оси ОУ (рис. 35), то ее каноническое уравнение имеет вид

 

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Если вершина параболы в точке и ось симметрии параллельна OX , то ее уравнение имеет вид

ЗАМЕЧАНИЕ 2.  К кривым второго порядка параболического типа относятся также  – пара совпадающих прямых;  
– пара параллельных прямых; пара мнимых параллельных прямых.  
 

Пример №15

Написать уравнение геометрического места точек, равноудаленных от прямой  x + y — 1 = 0 и точки F(-3,2). 
По определению множество точек, равноудаленных от данных точки и прямой, является  параболой.  Пусть  M (x, y)   –  произвольная  точка  искомой  параболы, тогда . Расстояние от точки M  до прямой x + y — 1 = 0 вычисляется по формуле (3.8): . Из условия следует, что  
 – уравнение искомого геометрического места точек. 

Если  оси  координат  системы XOY   повернуть на угол  так, чтобы  одна  из  них  стала  параллельна директрисе, а затем перенести  начало координат в точку   – вершину параболы, то в новой  системе   уравнение  параболы  будет  каноническим (рис. 36).  
 

ЗАМЕЧАНИЕ. Можно показать, что, кроме окружности, эллипса, гиперболы, параболы и вырожденных случаев, указанных в замечаниях, других кривых второго порядка не существует.  
 

Преобразования координат на плоскости

Преобразование координат — замена системы координат на плоскости, в пространстве или, в самом общем случае, на заданном n-мерном многообразии.

Параллельный перенос координатных осей

Пусть на плоскости задана пдск ХОУ. Будем называть ее “старой”. “Новая” система координат получена из “старой” параллельным переносом осей в точку .  Выясним, как связаны координаты одной и той же точки М  в этих системах координат.

Пусть  – орты координатных осей системы ХОУ, а  – системы
Тогда

так как по определению  равенства  векторов (рис. 37). 
Так как , то 

или                                                  

(3.23) – формулы параллельного переноса осей пдск. 

 

Поворот координатных осей на угол α

Поворот координатных осей на угол . 

Пусть  “новая”  пдск    получена из  “старой” системы координат XOY поворотом осей ОХ и ОУ на угол (рис. 38) и М(х, у) – произвольная  точка  в  системе XOY . Выясним, какими станут ее координаты в “новой” пдск.  
Из рис. 38 очевидно, что 

Так как , то  

(3.24) – формулы поворота координатных осей на угол  , выражающие старые координаты точки через новые. 
Если обозначить  , то (3.24) можно переписать:  . Так как , то существует   и  

(3.25) – формулы поворота координатных осей на угол , выражающие новые  координаты точки через старые. 

 

Пример №16

Каким  будет  уравнение  прямой  x + y — 1 = 0 после поворота координатных осей на угол 

 новое уравнение прямой (рис. 39). 
 

Линейные  преобразования на плоскости

Рассмотрим систему линейных уравнений: 

Каждой точке  плоскости  M(x, y)  по формулам (3.26) можно поставить в соответствие  единственную точку той же плоскости. При этом точка  N  называется образом точки  M , а точка  M  – прообразом точки  N .  Кроме того,уравнения (3.26) линейны относительно  x  и  y , поэтому будем говорить, что (3.26) определяют линейное преобразование плоскости в себя. 
Преобразование (3.26) определяется матрицей , которая называется  матрицей  линейного  преобразования.  Обозначая  ,
(3.26)  можно  переписать  в  виде .  Можно  показать,  что  определитель  равен  коэффициенту  изменения  площадей  при  линейном  преобразовании (3.26). При этом , если в результате преобразования направление обхода некоторого  контура  не  меняется,  и ,  если  оно  меняется  на  противоположное. Поясним это на примерах. 

 

Пример №17

 – растяжение вдоль 
оси OX  в 2 раза.  
(рис. 40). 

 

Пример №18

при этом направление обхода   от O  к  A , затем к  B  – по часовой стрелке, а соответствующее направление обхода  – против часовой стрелки. Геометрически данное преобразование – растяжение вдоль  OX  и OY  в 2 раза и отражение симметрично относительно оси OY  (рис. 41). 
 

Определение:  Линейное  преобразование  (3.26)  называется  невырожденным, если

В  этом  случае  существует  обратная  матрица  и  можно  найти . То есть, если , то не только у каждого прообраза существует единственный образ, но и наоборот: для каждого образа существует единственный прообраз. В этом случае говорят, что (3.26) устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками плоскости, или линейное преобразование плоскости на себя. 
Можно  показать,  что  невырожденное  линейное  преобразование  переводит прямую в прямую, а кривую второго порядка – в кривую второго порядка. 
 

Пример №19

Пусть  преобразование вырожденное. 
Какими будут образы точек, лежащих, например, на прямой  x + y — 1 = 0 
(рис. 42)?

Очевидно, что если , то есть у точки N(1,2) существует  бесконечное  множество  прообразов:  все  они  лежат  на  прямой x + y — 1 = 0.  Потому  данное  вырожденное  линейное  преобразование  не  устанавливает взаимно-однозначного соответствия между точками плоскости. 
 

Пример №20

Рассмотрим формулы (3.25):  

Очевидно, что поворот осей пдск на угол – линейное преобразование. 
Так как это линейное преобразование невырожденное, то существует  

Заметим, что в этом случае
 

Определение: Матрица  A называется ортогональной, если . 
Линейное  преобразование,  матрица  которого  ортогональна,  называется  ортогональным. 

Таким образом, поворот координатных осей – ортогональное линейное преобразование. 

Можно показать, что если  A  – ортогональная матрица, то (доказать самостоятельно). Таким образом, в результате ортогональных линейных преобразований на плоскости площади фигур остаются неизменными.  
 

Произведение линейных преобразований

Рассмотрим  матрицы Каждая  из  них определяет  линейное  преобразование  плоскости.  Если  M(x, y) –  некоторая точка плоскости, то под действием линейного преобразования  с матрицей  B   она перейдет в точку

В свою очередь точка  N  под действием линейного преобразования с матрицей C   перейдет в точку

Такое последовательное выполнение линейных преобразований называется их произведением:

Покажем, что произведение линейных преобразований также линейное преобразование, и найдем его матрицу. Подставим (3.27) в (3.28): 
 
То есть  

(3.29)  – система линейных уравнений, а потому произведение линейных преобразований линейно. Матрица (3.29)  имеет вид: 

Таким образом, матрица произведения линейных преобразований равна произведению их матриц. Само же правило умножения матриц, сформулированное в гл.1, находит объяснение в этом выводе.  
 

Приведение квадратичной формы к каноническому виду

Определение: Квадратичной формой относительно двух переменных  x  и  y  называется однородный многочлен второй степени:  

Уравнение задает на плоскости кривую второго порядка, причем, так как вместе с точкой  M(x, y) , лежащей на этой кривой,  ей  принадлежит  и  точка ,  кривая  симметрична  относительно 
начала  координат,  то  есть  является  центральной  кривой  (эллиптического  или гиперболического типа).

Предположим, что уравнение задает в пдск ХОУ эллипс. Если , то это уравнение не является каноническим уравнением эллипса, а потому, хотя О(0, 0) – его центр, оси симметрии не совпадают с ОХ и ОУ (рис. 43). Тем не менее, заметим, что если оси системы  XOY  повернуть на 

угол , то в системе  эллипс будет  задаваться  каноническим  уравнением:  кривая  симметрична  относительно .  Найдем  линейное преобразование,  соответствующее этому повороту. 

Матрица  называется матрицей квадратичной формы (3.30).  
Пусть  
Вычислим
Таким образом, квадратичная форма может быть записана в матричном виде: 

Пусть  x, y – координаты точек плоскости в системе  XOY , а  – координаты точек  плоскости  в новой системе , где  кривая задается каноническим уравнением. Переход от “старых” координат к “новым” будем искать в виде  

(3.32) – ортогональное линейное преобразование с матрицей  

По определению ортогональной матрицы  

(В  результате  ортогонального  преобразования  не  происходит  изменение  площадей фигур, то есть фигуры не деформируются.) 
Чтобы узнать, как изменится матрица квадратичной формы в результате линейного  преобразования  (3.32),  подставим  (3.32)  в  (3.31): (свойство 5 умножения матриц)
(свойство 2 умножения матриц и равенство (3.33)) – матрица новой квадратичной формы.  

Так как в “новой” системе координат кривая должна задаваться каноническим уравнением, то есть в нем должно отсутствовать произведение координат  xy, то   имеет вид:
, где – неизвестные числа. Умножим равенство  на матрицу T  слева. Так как , то получим: 

По определению равных матриц имеем: 

Системы уравнений (3.34), (3.35) – линейные и однородные. Они имеют нетривиальное решение, если их определители равны 0. 

Это означает, что  являются решениями уравнения 

Уравнение (3.36) называется характеристическим уравнением матрицы  A  (характеристическим  уравнением  квадратичной  формы).  Его  решения  называются собственными значениями матрицы  A (квадратичной формы).  

Покажем, что дискриминант квадратного уравнения (3.36) положителен, то есть любая квадратичная форма двух переменных имеет 2 различных собственных значения. 
Вычислим определитель (3.36):      

Дискриминант
так как  (иначе квадратичная форма будет канонической). 
 

Таким образом, коэффициентами при  в каноническом виде квадратичной формы являются ее собственные значения, то есть решения уравнения (3.36).  

Решим (3.36) и подставим  в (3.34). Система имеет бесконечное множество решений и пусть  – одно их них. Так как система (3.34) однородная, то  – тоже решение. Подберем  k  так, чтобы вектор  
 был единичным:

Векторы   называется  собственными  векторами  квадратичной формы, соответствующими собственному значению   , или первыми собственными  векторами.  Их направление называется  первым  главным  направлением квадратичной формы. Таким образом, первым собственным вектором квадратичной формы называется любое ненулевое решение системы (3.34). 

Аналогично  подставим   в  (3.35)  и  найдем –  второй  собственный вектор, соответствующий собственному значению  r2 . Его направление  называется  вторым  главным  направлением  квадратичной  формы.  – второй единичный собственный вектор, то есть 

Можно показать, что . Кроме того,  – первый собственный вектор, а  – второй собственный 
вектор, поэтому ортами “новой” системы координат  , к которой мы перейдем в результате линейного преобразования с матрицей  T , являются единичные собственные векторы квадратичной формы, найденные как решения систем (3.34), (3.35). Направив оси “новой” системы координат вдоль собственных векторов  , получим систему координат,  в которой квадратичная форма будет иметь канонический вид
 

ВЫВОД.  

Чтобы привести квадратичную форму к каноническому виду, надо: 

1. Составить и решить характеристическое уравнение (3.36); его решения – собственные значения – являются коэффициентами при  в каноническом виде квадратичной формы. 
2. Найти единичные собственные векторы, решив (3.34) и (3.35); они будут ортами новой системы координат .При этом если ось сонаправлена с   – канонический вид, который квадратичная форма имеет в системе .

Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду

Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид:  

В результате невырожденного линейного преобразования с матрицей   T  квадратичная форма перейдет в квадратичную форму, линейная – в линейную, а свободный член   не изменится. Каждую группу слагаемых будем преобразовывать отдельно, а именно: найдем ортогональное преобразование, приводящее  квадратичную  форму  к  каноническому  виду, затем  посмотрим, как  в результате этого преобразования изменится линейная форма (ортогональное преобразование в нашем случае – это поворот осей).

После поворота осей подберем параллельный перенос новой системы  так, чтобы после него уравнение кривой стало каноническим. 

Пример №21

Привести к каноническому виду ранее полученное уравнение параболы (стр. 58) и построить ее:  

1) Составим матрицу квадратичной формы: 
2) Составим и решим характеристическое уравнение (3.36):  
– собственные значения. 
3) Найдем первый единичный собственный вектор, то есть решим систему (3.34): 
– первый собственный вектор.  
 – первый единичный  собственный вектор (орт оси ). 
4) Найдем второй единичный собственный вектор, то есть решим (3.35): 
 –  второй    собственный вектор.  
 – второй  единичный  собственный вектор (орт оси ) . 
Заметим, что ,так как скалярное произведение

В полученной таким образом системе координат , взяв несколько контрольных точек, нарисуем параболу (рxис. 44). 
Сравните  эскиз  (рис.  36)  и  данный  рисунок,  являющийся  результатом точных расчетов. 

 

Плоскость

Покажем, что плоскость в пространстве задается в любой пдск линейным уравнением относительно трех переменных  x, y, z. 
Если  A  – некоторая точка на плоскости  – вектор, перпендикулярный ей, то, во-первых, через  A  перпендикулярно  проходит единственная плоскость, а, во-вторых,  для любой точки вектор . Таким свойством обладают только точки, лежащие на .  
Чтобы  вывести  уравнение  плоскости,  зададим  в  пространстве  пдск  OXYZ .  В этой системе координат

Раскрыв скобки в (3.38), получим   
Обозначим , тогда уравнение (3.38) примет вид: 

(3.39) – общее уравнение плоскости в пространстве, – ее нормаль. 
 

Определение: Любой ненулевой вектор  , перпендикулярный плоскости , называется ее нормальным вектором, или нормалью.  

Особые случаи расположения плоскости

Выясним, какие особенности в расположении плоскости влечет за собой равенство нулю одного или нескольких коэффициентов в уравнении (3.39). 

1.  координаты точки O(0,0,0) удовлетворяют уравнению, значит, плоскость проходит через начало  координат. 
2. , так как , значит, плоскость . 
3. ,  так  как .Значит, плоскость .
4. так как . Значит, плоскость . 
5.  проходит через OX . 
6.  проходит через OY . 
7.  проходит через OZ . 
8.  или . 
9.  или . 
10.  или . 
11.  – плоскость YOZ . 
12.  – плоскость XOZ . 
13.  – плоскость XOY . 
     

Уравнение плоскости в отрезках

Пусть плоскость  не параллельна ни одной из координатных осей и не проходит  через  начало  координат.  Тогда  она  отсекает  на  координатных  осях отрезки a,b,c (рис. 46). Выведем уравнение  такой плоскости.  
  

Рассмотрим общее уравнение плоскости. Так как , то   .
Аналогично  

Подставив А, В, С в общее уравнение, получим  

(3.40) – уравнение плоскости в отрезках. 
 

Пример №22

Вычислить объем тетраэдра, образованного плоскостями   


Перепишем уравнение плоскости в виде (3.40):   

уравнение данной плоскости в отрезках. Поэтому (рис. 47) 

 

Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Пусть в некоторой пдск заданы три точки, не лежащие на одной прямой: 
.  Известно,  что  через  них  проходит  единственная плоскость  . 

Чтобы вывести  ее уравнение, рассмотрим произвольную точку этой плоскости  M(x,y,z) . Тогда  – компланарные векторы, и их смешанное произведение равно нулю: . Тогда по формуле (2.9) получим 

(3.41) – уравнение плоскости, проходящей через три точки.

ЗАМЕЧАНИЕ. Если точки лежат на одной прямой, то векторы    коллинеарны и   их соответствующие координаты пропорциональны. Поэтому в определителе (3.41) две строки пропорциональны и по свойству 6 определителей он тождественно равен нулю, что означает, что  координаты любой точки   M(x,y,z) удовлетворяют уравнению (3.41). Это иллюстрация того факта, что через прямую и любую точку можно провести плоскость.  
 

Пример №23

Написать уравнение плоскости, проходящей через точки  


 

Угол между плоскостями

Определение: Углом между плоскостями называется любой из двух смежных  двугранных  углов,  образованных  плоскостями  при  их  пересечении. 

Если плоскости параллельны, то угол между ними равен 0  или  радиан. 

Рассмотрим плоскости и 
. 
Очевидно,
или  

Если    –0 условие перпендикулярности плоскостей.  

Если  – условие параллельности плоскостей.

Пример №24

Найти угол между плоскостями  

 плоскости перпендикулярны. 
 

Прямая линия в пространстве

Всякая линия в пространстве есть результат пересечения двух поверхностей. В частности прямую линию можно рассматривать  как результат пересечения  двух плоскостей  

и 

Если  не  параллельна ,  то есть не  коллинеарен ,  то  система уравнений  

определяет прямую линию в пространстве. 
  

Уравнения (3.42) называются общими уравнениями прямой в пространстве. 
Очевидно,  одна  и  та  же  прямая  может  быть результатом пересечения разных  пар плоскостей  (рис.  48),  поэтому  прямую  в  пространстве  можно  задать    различными  способами. 

Уравнения (3.42) неудобны в использовании, так как не дают представления о расположении  прямой  относительно  выбранной  системы координат.  
Поэтому выведем более  удобные  уравнения,  эквивалентные  (3.42),  то  есть  из  бесконечного  множества плоскостей, проходящих через данную прямую, выберем в некотором смысле более заметную пару.

Канонические уравнения прямой в пространстве

Пусть  в  некоторой  пдск  задана  прямая ,  проходящая  через  точку   параллельно  ненулевому  вектору .  Такой  вектор называется направляющим вектором этой прямой.  
                                                                      

Для произвольной точки   вектор   где  t  – не-который  числовой  множитель.  Кроме того,   –  радиус-вектор точки  M ,  – радиус вектор точки  A  
(рис. 49).  

Отсюда                                             
(3.43) – векторное уравнение прямой в пространстве. Из (3.43) получаем: 

(3.44) – параметрические уравнения прямой в пространстве,  – параметр.  

Выразим из каждого уравнения (3.44) параметр:  

Тогда
(3.45)  –  канонические  уравнения  прямой  в  пространстве,  то  есть  уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору .  

Заметим, что уравнения (3.45) задают прямую  как результат пересечения плоскостей   

одна из которых параллельна OZ , а вторая – OY   или как

где первая плоскость параллельна OZ , а вторая – OX . 

Если прямая  проходит через две заданные точки , то  направляющий вектор этой прямой, поэтому из (3.45) получим: 

(3.46) – уравнения пространственной прямой, проходящей через две заданные точки.  
 

Угол между прямыми в пространстве

Рассмотрим прямые, заданные в некоторой пдск каноническими уравнениями:  

и   

 

Определение:  Углом  между  прямыми  в  пространстве  называется угол между двумя пересекающимися прямыми, проходящими через произвольную точку пространства параллельно данным. 
Из определения следует, что . Если , то  
 
1)–  условие перпендикулярности прямых. 
2)  –  условие  параллельности  прямых  в пространстве.

Пример №25

Найти угол между прямой и прямой , проходящей через точки  . 

Заметим, что уравнение прямой  имеет вид: . В данном случае  ноль  в  знаменателе    писать  принято:  он  означает,  что  направляющий вектор прямой (и сама прямая) параллелен плоскости  XOZ . Эта прямая является результатом пересечения плоскостей
 

Приведение общих уравнений прямой в пространстве к каноническому виду

Рассмотрим  прямую , заданную  общими  уравнениями (3.42) в пространстве:  

Привести эти уравнения к каноническому виду можно двумя способами: 

1. найти  координаты  какой-либо  точки ,  лежащей  на , ее направляющий вектор  s  и написать уравнения (3.45); 
2. найти координаты двух точек, лежащих на , и воспользоваться уравнениями (3.46). 

1 способ.

Координаты точки  A – любое частное решение системы линейных уравнений (3.42). Эта система имеет бесконечное множество решений, так как  ранги  основной  и  расширенной  матриц ,  а  число  неизвестных . 
 – направляющий вектор прямой , поэтому – нормаль плоскости – нормаль плоскости . Из определения векторного произведения векторов следует, что тогда . Так как  – произвольный вектор, параллельный , то будем  считать, что .

Пример №26

Привести уравнения прямой  к каноническому виду. 
Найдем  какое-нибудь  частное  решение  этой  системы:  пусть,  например, 
,  то  есть  точка  A(1,2,0) лежит  на прямой. 

Таким образом,  – канонические уравнения данной прямой. 
 

2  способ.  

Найдем  два  произвольных  частных  решения  системы  уравнений, задающей прямую. 
В рассмотренном примере . Пусть теперь 

тогда  – направляющий вектор  прямой, который  отличается  от  найденного  ранее  только  знаком.  Поэтому  уравнения совпадают (с точностью до знака) с уже найденными. 
 

Угол между прямой и плоскостью

Определение: Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. 
Пусть в некоторой пдск заданы плоскость  

и прямая

Определение общих точек прямой и плоскости

Чтобы найти общие точки прямой :   и плоскости, надо решить систему  линейных уравнений: 

Решение этой системы будет наименее трудоемким, если перейти  к параметрическим  уравнениям прямой (3.44): 

1) Пусть . Это значит, что прямая не параллельна плоскости, а потому они имеют одну общую точку. Из (3.47) найдем   
 
и по формулам (3.44) M(x,y,z) – их  точку пересечения. 

2) Пусть . Это означает, что в (3.47) решений нет: выполнено  условие  параллельности  прямой  и  плоскости,  при  этом  точка  , но не лежит в плоскости , значит, прямая и плоскость общих точек не имеют. 

3)  Пусть . Тогда любое – решение (3.47) и система имеет бесконечно много решений: выполнено условие параллельности прямой и плоскости и  точка   , лежащая на прямой, лежит в плоскости. Это значит, что прямая лежит в плоскости, то есть имеет с ней бесконечное множество  общих точек. 
 

Пример №27

Найти    проекцию    точки   на    плоскость (рис. 53). 

Пусть прямая проходит через точку  М  перпендикулярно плоскости  . Точка ее пересечения с плоскостью и будет искомой проекцией. В качестве направляющего вектора можно взять нормаль к плоскости . 

Напишем канонические уравнения  прямой  (3.45):

 Подставим   x,y,z   в уравнение плоскости: 

, то есть  P 1,2,0  – искомая проекция.                                                     
 

Цилиндрические поверхности

Уравнение  F(x, y, z)=0  задает в пространстве некоторую поверхность.  

Пусть  уравнение содержит только две переменные, например,  F(x,y)=0.Рассмотренное  в  плоскости  XOY ,  оно  задает  некоторую  кривую.  Но  ему  будут удовлетворять и все точки пространства, которые проецируются в точки  этой кривой, так как в уравнении отсутствует  z , то есть все точки  M(x,y,z)  у которых  х и у  связаны соотношением   – произвольно. 

 

Пример №28

Построить  поверхность  
На  плоскости  это  уравнение  задает окружность  с центром О(0, 0) и  R=1. 
В  пространстве  ему  удовлетворяют координаты  всех  точек,  проекция  которых  на  плоскость  ХОУ  лежит  на этой  окружности.  Очевидно,  что  эта поверхность  –  круговой    цилиндр 
(рис. 54).  
Цилиндрические поверхности бывают не только круговыми.

Определение: Цилиндрической называется поверхность, полученная движением  прямой,  параллельной  некоторому  вектору,  и  пересекающей  при движении некоторую кривую. При этом движущаяся прямая называется образующей,  а  кривая,  которую  она  пересекает,  называется  направляющей  цилиндрической поверхности. 
Для поверхности   образующая параллельна оси OZ  (так как в уравнении  z  отсутствует), а направляющей является окружность в плоскости  XOY . 

ВЫВОД. Если уравнение поверхности содержит только две переменные, то оно задает цилиндрическую поверхность. У поверхности  F(y,z) ,образующая параллельна  OX , а направляющая лежит в плоскости  YOZ . Для поверхности  F(x,z) ,образующая параллельна OY , направляющая в плоскости  XOZ . 
 

Пример №29

Построить и назвать поверхности Эти уравнения задают цилиндрические поверхности. В первом случае направляющей является парабола в плоскости  YOZ , а образующая параллельна  OX  (рис. 55). Во втором – образующая синусоида в плоскости  XOZ , образующая параллельна OY  (рис. 56).

Поверхности вращения

Определение: Поверхностью вращения называется поверхность, полученная  в  результате  вращения  плоской  кривой  вокруг  оси,  лежащей  в  ее 
плоскости. 

Из определения следует, что сечением такой поверхности любой плоскостью, перпендикулярной оси вращения, является окружность.  

Пусть в плоскости  YOZ  задана кривая – координаты точки  в  плоской  системе  координат  YOZ .  Эта  кривая  вращается  вокруг  оси OZ . Выведем уравнение поверхности вращения. 

Пусть  M(x,y,z)  –  произвольная  точка  на  поверхности, ,  z–  центр  окружности сечения,  проходящего  через точку  M ,  а   –  точка, лежащая  на кривой и одновременно в рассматриваемом  сечении (рис. 57). 

Тогда – радиусы сечения. 
Но

Таким образом, уравнение поверхности вращения получим, если в уравнении  кривой  заменим  на  –  на  z.  Тогда  получим: 
 – уравнение поверхности вращения (OZ  – ось вращения). 

Очевидно, что  если  кривая  F(y,z)=0 вращается    вокруг  OY ,  то  уравнение 
поверхности вращения имеет вид:  

Некоторые поверхности второго порядка

1. Пусть эллипс вращается вокруг оси OY .  
 

Полученная поверхность является поверхностью  второго  порядка, так ее уравнение  – второй  степени  относительно  переменных  x,y,z .  Она  называется эллипсоидом вращения (рис. 58). 
Поверхность, задаваемая уравнением   , называется трехосным эллипсоидом. 

2. Если гипербола  вращается вокруг оси OZ , то уравнение 

поверхности вращения имеет вид   

или  

Такая поверхность называется однополостным гиперболоидом вращения (рис. 59). 

3. Если гипербола   вращается вокруг оси  OY , то уравнение поверхности имеет вид   . Такая поверхность называется двуполостным гиперболоидом вращения (рис. 60). 

4. Если пара пересекающихся прямых   вращается вокруг оси OY , то получается  конус вращения с уравнением  или   (рис. 61). 

5. При вращении параболы  вокруг оси OZ  получается поверхность , которая называется эллиптическим параболоидом вращения (рис. 62). 

Лекции по предметам:

1. Математика
2. Алгебра
3. Линейная алгебра
4. Векторная алгебра
5. Геометрия
6. Высшая математика
7. Дискретная математика
8. Математический анализ
9. Теория вероятностей
10. Математическая статистика
11. Математическая логика