Как найти промежутки монотонности по формуле

Е
сли
для всех точек отрезка

при

выполняется равенство

,
то функция

называется возрастающей
на

.

При
выполнении условий

,

функция

называется убывающей
на

.

Интервалы,
в которых функция

только
возрастает или только убывает, называются
интервалами
монотонности
функции.

П
ризнак
возрастания.
Дифференцируемая функция

возрастает на отрезке

тогда и только тогда, когда её производная

.

П
ризнак
убывания.
Дифференцируемая функция

убывает на отрезке

тогда и только тогда, когда её производная

.

В
точках, отделяющих интервалы монотонности
функции, производная функции обращается
в нуль или не существует. Эти точки
называются критическими.

Для
нахождения интервалов монотонности
функции

необходимо
найти все её критические точки и
установить знак производной в каждом
из интервалов, на которые критические
точки разбивают область существования
функции.

Пример
7.13.
Найдите интервалы монотонности функции

.

Ф
ункция
определена на всей числовой оси. Найдём
её производную.

.

Найдём
критические точки, приравняв производную
к нулю.

— критические.
Результаты исследования занесём в
таблицу:

Т
аким
образом, функция

возрастает а интервалах

и

,
а убывает на интервале

.

§ 6. Экстремум функции. Необходимый признак.

Т
очка

называется точкой
максимума
(maximum)
функции

,
если значение функции в этой точке
больше её значений во всех точках
некоторого интервала, содержащего точку

,
т.е.

для любого

(

—
мало
по величине).

Т

очка

называется точкой
минимума
(minimum)
функции

,
если значение функции в этой точке
меньше её значений во всех точках
некоторого интервала, содержащего точку

,
т.е.

.

Точки,
в которых функция достигает максимума
или минимума, называются точками
экстремума
функции, а значения функции в этих точках
называют экстремальными.

Ф
ункция,
заданная кривой на рисунке выше, в точках

и

достигает максимума, в точках

и

—
минимума, в точке

—
экстремума нет. Очевидно, что функция
имеет производную, равную нулю в
критических точках. Касательная к кривой
в этих точках параллельна оси

.

Необходимый
признак экстремума.
Если дифференцируемая функция достигает
в некоторой точке экстремума, то её
производная в этой точке равна нулю или
не существует.

§ 7. Достаточные признаки экстремума функции.

П
ервый
достаточный признак.
Пусть функция

непрерывна в некотором интервале,
содержащем критическую точку

и дифференцируема во всех точках этого
интервала (кроме, быть может самой точки

).
Тогда, если:

а)

при

,

при

,
то в точке

функция

достигает максимума;

б)

при

,

при

,
то в точке

функция

достигает
минимума.

В
торой
достаточный признак экстремума.
Пусть функция

имеет
в точке

производную

и
непрерывную вторую производную

.
Тогда, если

в точке

будет максимум, а если

в точке

будет минимум.

Пример
7.14. В
примере 7.13 точки

являются точками экстремума. В точке

функция достигает максимума, в точке

функция достигает минимума.

Пример
7.15.
Издержки предприятия выражаются формулой

,
где

—
объём производства. При каком объёме
производства средние издержки будут
минимальными?

С
редние
издержки выражаются формулой

.
Найдем минимум этой функции.

.

.

Найдем
вторую производную функции.

,
значит, по второму достаточному признаку
экстремума при

средние издержки достигают минимума.

Соседние файлы в предмете Высшая математика

• #
• #

Содержание:

Критерий монотонности функции:

Прежде всего, сформулируем определение монотонной функции:

1. Функция f называется неубывающей (невозрастающей) на интервале (а,b), если для любых двух точек
2. Функция f называется возрастающей (убывающей) на интервале (а,b), если для любых двух точек из интервала (а, b), удовлетворяющих условию справедливо неравенствоНеубывающие и невозрастающие функции называют монотонными функциями.

Монотонные функции

Возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными функциями.

Например, функция у = х- возрастающая (строго монотонная) на всей числовой оси; функция -возрастает на полуоси х > О и убывает при ; функция у = signx — неубывающая на всей числовой оси; убывает при .

Теорема 14.1.1. (Критерий монотонности) Пусть функция определена и дифференцируема на интервале (а,b). Для того, чтобы f не убывала (не возрастала) на этом интервале, необходимо и достаточно чтобы производная этой функции была неотрицательной (неположительной) всюду на этом интервале. Для того чтобы функция / возрастала (убывала) на интервале (а, b), достаточно чтобы производная была положительной (отрицательной) на этом интервале.

Доказательство: Пусть — любые две точки из интервала (а, b), удовлетворяющие условию Поскольку функция f(x) дифференцируема, а стало быть и непрерывна на (а, b), то она непрерывна и дифференцируема на отрезке. Поэтому к функции можно применить теорему Лагранжа:

(14.1.1)

где .

Необходимость. Пусть функция f дифференцируема на интервале (а, b) и не убывает (не возрастает) на этом интервале. Требуется доказать, что на этом интервале. Рассмотрим равенство (14.1.1). Левая часть равенства поскольку функция f не убывает (не возрастает) и по условию, тогда и на интервале — любые две точки из интервала (а,b)).

Достаточность. Пусть теперь на интервале (а,b). Тогда из (14.1.1) следует, что,т.е. так

Поскольку — любые две точки из интервала, то функция f не убывает (не возрастает ) на интервале (а, b).

Аналогично теорема доказывается и для возрастающей (убывающей) функции.

Из доказанной теоремы следует, что для определения интервалов монотонности функции нужно:

1. Найти область определения функции.
2. Вычислить ее производную.
3. Приравнять производную к нулю; полученные нули производной разобьют область определения на интервалы, в которых производная сохраняет знак.
4. Определить знак производной в каждом интервале при помощи «пробной» точки и сделать вывод.

Пример:

Найти интервалы монотонности функции

Решение:

Область определения заданной функции — вся числовая ось Производная этой функции обращается в нуль в точках:.

Составим схему изменения знаков производной:

Согласно теореме’ 14.1.1, данная функция возрастает при и убывает при .

Функция не убывает в области определения (при поскольку ;

Функция , определенная при , возрастает, поскольку

Экстремумы функций

Определение 14.2.1. Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки — Точка называется точкой максимума (минимума) функции f, если существует такая окрестность точки , что для всехx из этой окрестности.

Если выполняются строгие неравенства , то точка называется точкой строгого максимума (строгого минимума).

Точки максимума и минимума (строгого максимума и минимума) называются точками экстремума (строгого экстремума).

Теорема 14.2.1 .(необходимое условие экстремума) Если точка является точкой экстремума функции f определенной в некоторой окрестности точки . то либо производная не существует, либо

Справедливость этой теоремы следует из теоремы Ферма в силу определения точек экстремума. Действительно, если точка экстремума, то согласно определения экстремума это точка, в которой функция достигает наибольшего либо наименьшего значения, и в силу теоремы Ферма , если производная существует.

Функция может достигать экстремума также в точке, в которой производная не существует. Например, функция не имеет производной в точке х=2, но достигает в ней максимума: у= 0 при х=2, а для всякой другой точки y0 (рис. 14.3). Функция не имеет конечной производной в точке х=0, поскольку при х=0 обращается в бесконечность, но в этой точке функция имеет Минимум: при (рис. 14.4).

Из приведенных рассуждений следует, что точки экстремума функции нужно искать среди тех точек её области определения, где производная функции равна нулю или не существует.

Если, это еще не значит, что в точке есть экстремум. Примером может служить функция . В точке х=0 её производная равна нулю, но экстремума в этой точке функция не имеет. График функции изображен на рисунке 14.5.

Точки области определения функции, в которых производная равна нулю, называются стационарными, а в которых производная не существует, называются критическими.

Каждая стационарная (критическая) точка — это точка возможного экстремума. Однако сделать заключение о том, что в данной стационарной (критической) точке на самом деле экстремум, можно лишь на основании дополнительного исследования, т.е. на основании достаточных условий экстремума.

Теорема 14.2.2. (первое достаточное условие экстремума) Пусть функция f определена, дифференцируема в некоторой окрестности точки и непрерывна слева и справа от точки — Тогда если в пределах указанной окрестности производная положительна (отрицательна) слева от точки и отрицательна (положительна) справа от точки , то функция f имеет в точке локальный максимум (минимум):

1. если на и на, то точка — точка максимума функции f(x);
2. если на и на , то точка — точка минимума функции f(x);

Если же в пределах указанной окрестности точки производная имеет один и тот же знак слева и справа от точки , то экстремума в точке нет.

Доказательство. Докажем первое утверждение теоремы.

Предположим, что на интервале . Поскольку функция непрерывна в точке , то, в силу теоремы 14.1.1, она убывает на полуинтервале — Следовательно, для любого х выполняется неравенство .

Пусть на интервале . Так как функция непрерывна в точке , то она возрастает на полуинтервале Тогда для любого выполняется неравенство .

В результате получается, что при любом из интервала (а;b) выполняется неравенство. Это значит, что точка -точка минимума функции .

Второе утверждение теоремы доказывается аналогично.

Пример:

Найти точки экстремума функции’.

Решение:

Поскольку (см. пример 14.1.1) и при переходе через точку х=0 производная меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точку х=2- с минуса на’ плюс, то точка х=0 — точка максимума, а х=2 — точка минимума.

Производная функции , определенной для , обращается в нуль в одной точке х=1: при х=1. Поскольку положительна как слева, так и справа от этой точки, то функция не имеет точек экстремума.

Теорема 14.2.3. (второе достаточное условие экстремума) Если функция f определена в некоторой окрестности точки и в точке она имеет конечную вторую производную, причем то при -точка является точкой максимума, а при — точка является точкой минимума.

Доказательство: Поскольку функция f дважды дифференцируема в точке , то для нее справедлива формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и функцию f можно представить

в виде:

где точка с расположена между . По условию теоремы . Тогда формула Тейлора принимает вид:

или

Поскольку , то существует окрестность точки в которой и, следовательно,, так как точка с расположена в окрестности точки . Если, то слагаемое так же меньше нуля. Значит разность , т.е. и точка — точка максимума. Если же, то и. следовательно, разность, т.е. и точка — точка минимума.

Пример:

Найти точки экстремума функции на отрезке.

Решение:

Вычислим первую и вторую производные заданной функции:. Из уравнения l-2sinx = 0 определяем стационарные точки на отрезке •

Теперь находим знак второй производной в каждой стационарной точке и определяем ее характер, используя теорему 14.2.3. Поскольку

, то — точка максимума,

то точка — точка минимума.

Теорема 14.2.4. (третье достаточное условие экстремума). Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки и в точке функция f имеет производные до порядка n включительно, причем для Тогда, если n- четное и, то — точка максимума, а если , то — точка минимума. Если же n — нечетное, то функция f в точке экстремума не имеет.

Пример:

Исследовать на экстремум функцию .

Решение:

Функция определена, непрерывна и дифференцируема на всей числовой оси. Найдем первую производную- и, приравняв ее к нулю, определяем стационарную точку х=0. Вычисляем последовательно производные . Применив теорему 14.2.4. определяем, что х=0 — точка минимума.

Сформулированные теоремы позволяют решать определенный круг задач. Например, требуется определить наибольшее (найме шее) значение функции f на отрезке [а, b]. Для этого следует на ней все точки, в которых производная функции либо равна нулю, ли’ не существует. Затем из этих точек выбираем те, которые принадлежат отрезку. После этого достаточно лишь сравнить между собой по величине значения функции в отобранных точках и значения функции на концах отрезка . Наибольшее (найме шее) из этих значений и будет наибольшим (наименьшим) значениях функции на отрезке.

Пример:

Найти наибольшее и наименьшее значениях функции на отрезке [—2;2].

Решение:

Вычислив производную и приравняв ее к ну: , находим стационарные точки данного функции:

Отрезку [-2;2] принадлежит только одна точка . Вычисляем значения функции в точке и на концах отрезка:. Сравнивая полученные значения, определяем, что наибольшее значение функции, анаименьшее значение функции на отрезке [-2;2].

Выпуклость и точки перегиба

Пусть функция f определена на интервале (а; b) и пусть точки и такие, что выполняется неравенство . Проведем прямую через точки графика функции у = f(x). Ее уравнение имеет вид:

Разрешим это уравнение относительно у:

ИЛИ

, где

Ясно, что.

Определение 14.3.1. Функция f называется выпуклой вверх (выпуклой вниз) на интервале , если для любых точек и для любой точки выполняется неравенство

соответственно. А сам интервал называется интервалом выпуклости вверх (выпуклости вниз).

Геометрически это означает, что любая точка хорды АВ (т.е. отрезка прямой у=1(х) с концами в точках А и В) лежит не выше (не ниже) точки графика функции , соответствующей тому же значению аргумента.

Если неравенства (14.3.1) и (14.3.2) строгие, то функция f называется строго выпуклой вверх (рис. 14.6) (строго выпуклой вниз (рис. 14.7)). В этом случае любая точка хорды АВ, исключая ее концы, лежит ниже (выше) соответствующей точки графика функции

Теорема 14.3.1. (достаточное условие строгой выпуклости) Если функция f определена и дважды дифференцируема на интервале (а,b), то на (а, b) функция f строго выпукла вверх, а при на (а,b) функция f строго выпукла вниз на этом интервале.

Доказательство. Пусть функция f определена и дважды непрерывно дифференцируема на интервале (а, b). Возьмем некоторые точки на интервале (а, b), такие, что и проведем хорду АВ: у=l(х). Рассмотрим разность:

Применяя теорему Лагранжа к каждой разности, т.е. к . получим

где

Снова применим теорему Лагранжа к разности Будем иметь.

Отсюда видно, что если на (а, b) , то и и поэтому- , т.к. Следовательно. l(х) f(x),- функция f строго выпукла вверх; если же на (a, b) , го l(x)> f(x),- функция f строго выпукла вниз. Теорема дока-jaiia.

Заметим, что условие знакопостоянства второй производной не является необходимым условием. Так, функция строго выпукла вниз на всей числовой оси, однако ее вторая производная обращается в 0 при x=0. Следовательно, может быть, что для строго выпуклой функции вторая производная и не сохраняет знак. Но если для функции вторая производная сохраняет знак на некотором интервале, то график функции строго выпуклый (при вверх и при вниз).

Определение 14.3.2. Пусть фунщия f определена в некоторой окрестности точки ‘и непрерывна в этой точке. Точка называется точкой перегиба функции f, если она является одновременно концом интервала строгой выпуклости вверх и строгой выпуклости вниз, т.е. она отделяет выпуклые части вверх от выпуклых частей внешнего графика функции.

Теорема 14.3.2. (необходимое условие точки перегиба) Если функция f определена и дважды непрерывно дифференцируема на (а,b) и — точка перегиба, то

Доказательство. Пусть задана функция f, которая определена и дважды’ непрерывно дифференцируема на (а.b) и пусть точка является точкой перегиба. Предположим, что вторая производная (либо ). Тогда в силу непрерывности второй производной найдется окрестность точки в которой (либо ) и, следовательно, функция f в этой окрестности точки строго выпукла вверх (вниз), что противоречит тому, что — точка перегиба. Полученное противоречие и доказывает теорему.

Из теоремы вытекает, что точками перегиба дважды дифференцируемой функции могут быть лишь точки, в которых вторая производная обращается в нуль либо не существует.

Сформулируем и докажем теперь достаточные условия точки перегиба.

Теорема 14.3.3. Если функция f определена и дважды дифференцируема на интервале (а,b), кроме, быть может точки , в которой она, однако, непрерывна, и ее вторая производная меняет знак при переходе аргумента через точку , то точка является точкой перегиба функции f

Действительно, в силу теоремы 14.3.1 точка является одновременно концом интервала строгой выпуклости вверх и концом интервала строгой выпуклости вниз — т.е. — точка перегиба.

Теорема 14.3.4. Если f трижды непрерывно дифференцируема на (а,b) и, то — точка перегиба.

Доказательство (проведем для случая f»(x0) > 0). Так как по предположению , то существует окрестность точки , в которой и, следовательно, функция возрастает, обращаясь в нуль при x=, т.е. функция меняет знак при переходе через точку х=. Следовательно, в силу теоремы 14.3.3, точка -точка перегиба.

Теорема 14.3.5. Пусть функция f непрерывно дифференцируема n раз на (а,b), причем

Тогда если п нечетно, то n — точка перегиба, если же n четно, то не является точкой перегиба.

Итак, из изложенного материала вытекает, что выпуклость вверх или вниз графика функции f зависит от знака ее второй производной. Оказывается, что и расположение графика функции относительно касательной также связано со знаком второй производной, т.е. если функция f имеет вторую производную, все значения которой имеют один и тот же знак, то все точки графика функции f лежат над (под) касательной.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий исследование графика функции на выпуклость и точки перегиба.

Пример 14.3.1. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции

Решение. Функция определена для всех . Вычисляем последовательно первую и вторую производные функции:

Приравняв вторую производную к нулю , т.е. , находим

Составляет схему изменения знаков второй производной:

Следовательно, у»>0 на интервалах и функция выпукла вниз; на интервале (-2;3/2) и функция выпукла вверх на этом интервале. Так как при переходе через точки 3/2 вторая производная меняет знак, то точки (-2;-124) и (3/2;-129/16) являются точками перегиба графика функции.

Рассмотрим пример из микроэкономики:

В количественной теории полезности предполагается, что потребитель может дать количественную оценку (в некоторых единицах измерения) полезности любого количества потребляемого им товара.

Это означает существование функции полезности TU аргумента Q -количества купленного товара. Введём понятие предельной полезности, как добавочной полезности, прибавляемой каждой последней порцией товара. Построим прямоугольную систему координат и отложим по горизонтальной оси Ох количество потребляемого товара Q, а по вертикальной оси Оу — общую полезность TU (см. рис. 14.3). Рассмотрим график функции TU = TU(Q). Точка на горизонтальной оси означает количество приобретенного товара, величина -добавочный приобретенный товар. Разность — добавочная полезность, полученная от покупки добавочного товара . Добавочная полезность от последней приобретенной порции товара (или единицы товара) вычисляется по формуле (см. Курс экономической теории. Под общей редакцией проф. Чепурина М.Н. 1995, стр. 122). Переходя к пределу при . получим формулу для определения предельной полезности MU:

Но предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю, равен производной функции.

Следовательно, предельная полезность равна производной функции полезности TU=TU(Q). Закон убывающей предельной полезности сводится к уменьшению этой производной с ростом величины Q. Отсюда следует выпуклость графика функции

Асимптоты графика функции

Рассмотрим функцию f определенную на интервале (а;b), . Если , то прямую х=n называют левосторонней вертикальной асимптотой графика функции f если , то прямую х=а называют правосторонней вертикальной асимптотой графика функции f и если , то прямую х=с в плоскости хОу называют двусторонней вертикальной асимптотой графика функции f.

Заметим, что вертикальными асимптотами являются, как правило, нули знаменателей дробно-рациональных функций.

Если функция f определена на и для постоянных выполняется соотношение

то прямая у = kх + b- называется наклонной асимптотой вправо графика функции f Если соотношение (14.4.1) выполняется и при , то прямая — называется наклонной асимптотой влево. Из (14.4.1) следует, что если — наклонная вправо (влево) асимптота, то постоянные k и b определяются по формулам (из предельных соотношений):

И наоборот, если пределы (14.4.2) и (14.4.3) существуют и конечны, то прямая у = kх + b- наклонная вправо (влево) асимптота графика функции f

Рассмотрим геометрический смысл асимптоты. Пусть точка графика функцииf, точка — ее проекция на ось Ох.

На рис. 14.9 видно, что отрезок , а MP = MQ cos a.. По определению, прямая y = kx + b называется асимптотой, если . Это значит, что и при . Расстояние от точки М до прямой, как легко видно, равно MP = MQ cos а. Поэтому, если при . Следовательно, асимптота может быть определена как прямая, расстояние до которой от графика функции, т.е. отрезок MP, стремится к нулю, когда точка М стремится к бесконечности по графику функцииf Таким образом, функция f при ведет себя почти как линейная функция, если ее график имеет асимптоту у = kх + b.

Пример:

График функции имеет вертикальную асимптоту х = 2, так как

Пример:

Найти асимптоты графика функции

Решение:

Область определения функции D(f): . Вычислим пределы:

Так как значения пределов останутся такими же и при , то прямая у = х-4 является наклонной вправо и влево асимптотой графика функции. Кроме того, х = — 1 является двусторонней вертикальной асимптотой, так как

• Заказать решение задач по высшей математике

Общая схема исследования функций и построение их графиков

Под исследованием функций понимается изучение ее изменения в зависимости от изменения аргумента. Исследование функций и построение их графиков можно проводить по следующей схеме:

1. Найти область определения и множество значений функции; исследовать на непрерывность, найти точки разрыва и выяснить характер точек разрыва; определить вертикальные асимптоты. Найти точки пересечения с осями координат.
2. Исследовать функцию на периодичность; четность, нечетность.
3. Исследовать поведение функции на границе области определения; найти асимптоты графика функции.
4. Исследовать функцию на монотонность, выяснить характер экстремумов.
5. Определить интервалы выпуклости графика функции, точки перегиба.
6. Составить таблицу значений функции куда включаются все точки графика функции, найденные на предыдущих этапах исследования и необходимые дополнительные контрольные точки.
7. Используя все полученные результаты построить график функции.

Пример:

Построить график функции

Решение:

Проведем полное исследование функции по указанной схеме.

1. Функция определена и непрерывна при всех кроме точек х = ±2. Множество значений функции

Прямые- х = ±2 являются вертикальными асимптотами, т.к.

График пересекает оси координат в точке O(0; 0).

2. Функция не периодическая. Функция не четная, т.к. выпол-

няется равенство: . График

функции симметричный относительно начала координат. Поэтому достаточно провести исследование функции на полуинтервале

3. Найдем наклонную асимптоту. Для этого вычислим пределы:

Подставив значения k и b уравнение , получим уравнение асимптоты у =2х.

4. Для нахождения промежутков возрастания и убывания найдем первую производную:

приравняем ее к нулю, и найдем стационарные точки . Составляем схему изменения знаков первой производной:

На промежутке производная обращается в нуль в точках и обращается в бесконечность в точке х = 2. Поскольку при производная , то функция на этих интервалах убывает, а на интервале , следовательно, функция возрастает. Очевидно, что точка является точкой минимума.

5. Для нахождения промежутков выпуклости и точек перегиба, найдем вторую производную

Вторая производная обращается в нуль в точке х = 0 и в бесконечность в точке х = 2. Составляем схему изменения знаков второй производной:

На интервале и поэтому функция выпукла вверх, а на интервале и, следовательно, функция выпукла вниз. Кроме того, точка х = 0 является точкой перегиба, т.к. вторая производная меняет знак при переходе через эту точку.

6. Используя результаты исследования и учитывая нечетность функции, строим график (рис. 14.11).

Пример:

Провести полное исследование целевой функции потребления от услуги х и построить её график.

Решение:

Проведём полное и разностороннее изучение свойств функции, применив изложенную выше схему.

1) Функция определена и непрерывна для всех Точка х= -3 является точкой разрыва. Так

как то прямая х =

-3 является вертикальной асимптотой. Если х=0, то Если

у=О, тс получим уравнение, решив которое найдём

. Итак, график функции пересекает оси

координат в точках:

2) Функцияне является периодической

3) Исследуемая функция не является ни чётной, ни нечётной, гак как

4) Исследуем существование наклонных асимптот. Для этого вычислим пределы;

Итак, при график функции , имеет наклонную асимптоту у=х-9.

Исследуем повеление функции на границе области определения. Поведение функции в окрестности точки х = -3 исследовано. Поэтому изучим поведение функции при , вычислив пределы:

5) Первая производная

обращается в нуль в точках и стремится к бесконечности при . Для определения интервалов монотонности функции и точек экстремума, построим схему изменения знаков производной:

Поскольку при и при

то функция убывает при

и возрастает при

Следовательно, точка

— точка максимума, а точка — точка минимума. Значения функции в этих точках равны:

6) Вторая производная не обращается в нуль и стремится к бесконечности при . Построим схему изменения знаков второй производной:

Поскольку и при , то график функции является выпуклым вверх на интервале и выпуклым вниз при . Точка х = -3 не является точкой перегиба, так как это точка разрыва функции.

По результатам исследования строим график функции. Вначале строим систему координат; затем вертикальную и горизонтальную асимптоты; наносим точки пересечения с осями координат и точки экстремума функции. Затем строим график (рис. 14.12).

План урока:

Возрастание и убывание функций

Промежутки монотонности основных функций

Свойства монотонных функций

Четные и нечетные функции

Свойства четных и нечетных функций

Ограниченные и неограниченные функции

Квадратичная функция

Возрастание и убывание функций

Посмотрим на график произвольной функции:

Видно, что область определения ф-ции – это промежуток [– 6; 4].

На графике сначала ф-ция как бы «поднимается». При увеличении х растет значение у. Так происходит до точки (1; 5). После этого ситуация меняется, при увеличении аргумента значение ф-ции начинает падать. В математике принято говорить, что ф-ция возрастает на промежутке [– 6; 1] и функция убывает на промежутке [1; 4]. Можно сказать и иначе – ф-ция у является возрастающей функцией на множестве [– 6; 1] и убывающей функцией на множестве [1; 4].

Рассмотрим это определение возрастающей функции подробнее. Построим произвольную возрастающую ф-цию и выберем на ней две точки со значениями аргумента х₁ и х₂. Также отметим значения ф-ции в этих точках, у(х₁) и у(х₂):

По определению, если х₁ меньше х₂, то и у(х₁) <у(х₂). Другими словами, из двух точек та, которая располагается левее (то есть имеет меньшее значение х), будет одновременно располагаться и ниже, (то есть иметь меньшее значение у).

Мы видим возрастание функции на промежутке [– 6; 5]. Однако она также будет возрастать и на любом другом промежутке, который является частью отрезка [– 6; 5]. Например, можно сказать, что она возрастает на промежутке [1; 3] или [– 2; 0].

Аналогично дается и определение убывающей ф-ции:

По сравнению с определением возрастающей ф-ции изменился лишь один символ, в последнем неравенстве для у(х₁) и у(х₂) стоит знак «больше» а не меньше. Покажем пример убывания функции.

Заметим, что в приведенных определениях используются строгие неравенства со знаками «>»и «<». Однако в математике используются и нестрогие неравенства, содержащие знаки «≤» и «≥». С их использованием можно записать ещё 2 определения:

Приведем пример неубывающей ф-ции:

Здесь х₁<x₂<x₃<x₄. Видно, что, например, у(х₁) <у(х₂). Однако у(х₂) = у(х₃). Получается, что на графике ф-ции есть плоская «площадка» на промежутке [1; 3]. Для всех значений х из этого промежутка у = 3,5. Из-за этой площадки ф-цию нельзя считать строго возрастающей.

Теперь покажем пример невозрастающей ф-ции:

Здесь также есть плоские «площадки», из-за которых ф-цию нельзя считать просто убывающей.

Ясно, что всякая возрастающая ф-ция является неубывающей, а каждая убывающая ф-ция одновременно считается и невозрастающей.

В математике часто вместо всех этих терминов используют понятие монотонности. Дадим определение монотонной функции:

Если же ф-ция убывает или возрастает на промежутке (то есть не имеет плоской площадки), то говорят, что она строго монотонна.

Рассмотрим ф-цию, изображенную на рисунке:

Ф-ция возрастает на промежутках [– 6; –2] и [3; 4,5], а также убывает на промежутках [– 2; 1,5] и [2,5; 3]. Значит, на каждом из этих промежутков ф-ция строго монотонна. На отрезке [-2; 3] ф-ция невозрастающая, поэтому здесь она просто монотонна. Любой промежуток, на котором ф-ция монотонна, называют промежутком монотонности.

Различают как промежутки убывания функции, так и промежутки возрастания функции.

Понятно, что если ф-ция строго монотонна, то она и просто монотонна. В большинстве школьных задач не важна строгость монотонности, поэтому слово «строго» часто опускают.

Во всех данных определениях рассматривалось поведение ф-ции на каком-то отдельном числовом промежутке. Одна и та же ф-ция может на одном числовом промежутке возрастать, а на другом убывать. Однако некоторые ф-ции сохраняют свой характер на всей своей области определения. Например, линейная ф-ция у = 2х – 3 возрастает на протяжении всей числовой прямой, то есть на промежутке (– ∞; + ∞):

В большинстве случаев промежутки монотонности ф-ции очевидны, исходя из графика ф-ции. Однако и без их построения можно аналитически доказывать монотонность ф-ции.

Пример. Докажите, что ф-ция у = 2х – 3 возрастает на промежутке (– ∞; + ∞).

Решение. Выберем произвольные числа х₁ и х₂, причем х₁< х₂. Разность (х₂ – х₁) будет, очевидно, положительным числом. Найдем теперь разность (у(х₂) – у(х₁)):

у(х₂) – у(х₁) = (2х₂ – 3) – (2х₁ – 3) = 2х₂– 3 – 2х₁+ 3 = 2х₂ – 2х₁ = 2(х₂ – х₁)

Так как (х₂ – х₁) – положительное число, то и 2(х₂ – х₁), а значит, и (у(х₂) – у(х₁)) – тоже положительное число. Если же разность двух числе положительна, то уменьшаемое больше вычитаемого. Значит, у(х₂) > у(х₁). По определению получаем, что у = 2х – 3 – возрастающая ф-ция.

Промежутки монотонности основных функций

Мы ранее уже изучили несколько видов ф-ций. Посмотрим, какие у них промежутки монотонности.

Поведение линейной ф-ции у = kх + b зависит исключительно от значение коэффициента k. Если он больше нуля, то функция возрастает на промежутке (– ∞; + ∞), то есть на всей числовой прямой. Если же k< 0, то ф-ция будет убывать. Если k = 0, то график будет выглядеть как горизонтальная линия. Её можно считать одновременно и неубывающей, и невозрастающей ф-цией. Приведем примеры на рисунке:

Поведение обратной пропорциональности у = k/х также зависит от значения k. Если он больше нуля, то ф-ция убывает на двух промежутках: (– ∞;0) и (0; + ∞).

Здесь стоит обратить внимание, что, хотя у ф-ции нет ни одного участка, на котором бы она возрастала, нельзя утверждать, что обратная пропорциональность убывает на всей своей области определения (– ∞; 0)∪(0; + ∞). Например, сравним значение ф-ции у = 5/х при х₁ = – 1 и х₂ = 1:

у(– 1) = 5/(– 1) = – 5

у(1) = 5/1 = 5

Получили, что для этих значений х₁<x₂, а у(– 1) <у(1), поэтому ф-цию нельзя считать убывающей на всей области определения.

Если в обратной пропорциональности коэффициент k отрицательный, то ф-ция возрастает на промежутках (– ∞;0) и (0; + ∞):

Ф-ция

возрастает на всей своей области определения, то есть на промежутке [0; + ∞):

Поведение степенной ф-ции у = хⁿ зависит от показателя n. Если он нечетный, то получается ф-ция, возрастающая на всей числовой прямой:

Если же число n четное, то степенная ф-ция будет убывать на промежутке (– ∞:0] и возрастать на промежутке [0; + ∞):

Пример. Найдите значения параметра a, при котором ф-ция

у = (5а – 2)х +16

является возрастающей.

Решение. Данная ф-ция является линейной ф-цией вида у = kx + b, где в роли коэффициента k выступает выражение (5а – 2). Ф-ция будет возрастать, если этот коэффициент будет больше нуля, то есть

5а – 2> 0

5а> 2

а > 0,4

Получаем, что ф-ция будет возрастающей при значениях а, больших 0,4, или, другими словами, при а∊(4; + ∞).

Ответ: а∊(4; + ∞).

Свойства монотонных функций

Монотонные функции имеют ряд примечательных свойств, которые могут помогать при решении задач. Вспомним, что некоторые ф-ции могут при различных значениях аргументов принимать одинаковое значение. Например, таковой является степенная ф-ция у = х²:

у(2) = 4

у(– 2) = 4

С точки зрения графиков это означает, что горизонтальная линия может пересекать график ф-ции в нескольких точках:

С другой стороны, это значит, что уравнение х² = 4 имеет два корня, 2 и ( – 2).

Если же ф-ция строго монотонна, то такая ситуация невозможна. Любое ее значение может быть получено только при одном значении аргумента.

Действительно, если ф-ция монотонна, то любая горизонтальная прямая сможет пересечь ее график не более чем в одной точке:

Это также означает, что, если у(х) – строго монотонная ф-ция, а b– произвольное число, то уравнение у(х) = b имеет не более одного корня. Так, у уравнения х³ = 8 есть только один корень (он равен 2), потому что х³ – монотонная ф-ция.

Рассмотрим следующее свойство монотонных функций.

Действительно, ранее мы уже изучали сжатие и растягивание графиков. умножение ф-ции на постоянное число как раз и ведет к подобным преобразованиям. Ясно, что при этом не происходит изменение монотонности ф-ций:

Например, парабола у = х² возрастает на промежутке [0; + ∞), значит, и ф-ция у = 3х² также возрастает на этом же промежутке:

Проще говоря, при умножении ф-ции на положительное число ее промежутки монотонности не изменяются.

А что же произойдет при умножении ф-ции на отрицательное число. Она не только сожмется или растянется, но ещё и отобразится симметрично относительно оси Ох. В результате промежутки возрастания ф-ции превратятся в промежутки убывания, и наоборот.

Проиллюстрируем это на примере ф-ций у = х² и у = – х²:

Видно, что на промежутке (– ∞; 0] ф-ция у = – х² возрастает, в то время как обычная парабола убывает. На промежутке [0; + ∞)ситуация противоположная.

Если две ф-ции одновременно возрастают на одном промежутке, то и их сумма также будет возрастать на этом промежутке.

Например, ф-ции у = х⁵ и у = 4х возрастают на всей числовой прямой. Следовательно, возрастающей является и ф-ция у = х⁵ + 4х.

Пример. Решите уравнение

х⁷ + 2х – 3 = 0

Решение. Можно заметить, что число 1 является корнем этого уравнения. Действительно, подставим единицу в уравнение и получим верное равенство:

1⁷ + 2•1 – 3 = 0

1 + 2 – 3 = 0

0 = 0

Докажем, что других корней уравнение не имеет. В его левой части стоит сумма двух возрастающих ф-ций, у = х⁷ и у = 2х – 3. Следовательно, и ф-ция у = х⁷ + 2х – 3 также является возрастающей на всей числовой прямой. Это значит, что исследуемое уравнение имеет не более 1 корня, то есть корень х = 1 – единственный.

Ответ: 1.

Пример. Докажите, что у уравнения

не более одного корня.

Решение.

Выражение в левой части имеет смысл только при положительных х. Ведь если х < 0, то под корнем окажется отрицательное число, а если х = 0, то ноль окажется в знаменателе. Другими словами, уравнение имеет смысл на промежутке (0; + ∞). При этом левая часть представляет собой сумму трех слагаемых:

Первое и третье из них являются возрастающими ф-циями. Второе слагаемое – это взятая со знаком «минус» ф-ция у = 2/х. Так как у = 2/х убывает на промежутке (0; + ∞), то у = – 2/х на нем же возрастает. В итоге получаем, что в левой части сумма трех возрастающих ф-ций, значит, и всё это выражение – возрастающая ф-ция. Из этого следует, что у уравнения есть не более одного корня. Попробуйте сами подобрать его.

Четные и нечетные функции

При изучении степенных ф-ций мы заметили, что при четном показатели степени n их график симметричен относительно оси Оу:

Почему так происходит? Дело в том, что у этих ф-ций противоположным значениям аргументов соответствует одно и то же значение у. Убедимся в этом на примере у = х²:

• у(1) = 1² = 1 и у(– 1) = (– 1)² = 1;
• у(2) = 2² = 4 и у(– 2) = (– 2)² = 4;
• у(3) = 3² = 9 и у(– 3) = (– 3)² = 9.

В общем случае эту особенность можно доказать так:

у(– х) = (– х)² = х² = у(х)

В математике есть специальный термин для обозначения ф-ций, обладающих таким свойством. Их называют четным функциями.

Определение четной функции можно записать и так, чтобы в нем фигурировали формулы:

Для проверки того, является ли функция четной, достаточно подставить в нее вместо аргумента х величину (– х).

Пример. Докажите, что ф-ция у = х⁴ + 3х² является четной.

Решение. Подставим в ф-цию значение (– х):

у(– х) = (– х)⁴ + 3(– х)² = х⁴ + 3х²

Получили исходную ф-цию у(х). Значит, исследуемая функция является четной.

Пример. Четна ли ф-ция

Решение снова подставим в ф-цию значение (– х):

Получили изначальную ф-цию. Следовательно, она – четная.

Почему же четные ф-ции симметричны относительно оси Оу? Из определения следует, что если графику четной ф-ции принадлежит точка (х₀;у₀), то ему же принадлежит точка (– х₀;у₀). Посмотрим, как они располагаются на координатной плоскости:

Они симметричны относительно оси Оу. Если же для каждой точки графика есть симметричная точка, также ему принадлежащая, то и в целом график симметричен относительно вертикальной оси.

Теперь посмотрим на степенные ф-ции, у которых нечетный показатель степени. В качестве примера можно привести у = х³ и у = х⁵. Видно, что они симметричны относительно центра координат:

Такая симметрия (относительно точки), называется центральной. Геометрически она означает, каждой точке графика в I четверти с двумя положительными координатами соответствует точка графика в III четверти с такими же координатами, но взятыми со знаком «минус»:

Существует множество ф-ций, обладающих подобной симметрией. В математике их все называют нечетными функциями. У них противоположным значениям аргументов соответствуют противоположные значения ф-ции, а график нечетной функции всегда симметричен относительно начала координат.

Чаще используется определение, содержащее формулу:

Покажем это свойство у ф-ции у = х³:

• у(1) = 1³ = 1 и у(– 1) = (– 1)³ = – 1;
• у(2) = 2³ = 8 и у(– 2) = (– 2)³ = – 8;
• у(3) = 3³ = 27 и у(– 3) = (– 3)³ = – 27.

Для того, чтобы доказать нечетность ф-ции, надо поставить в нее (– х) вместо х. Если получилась исходная ф-ция с противоположным знаком, то это значит, что ф-ция нечетная.

Пример. Докажите, что ф-ция у = х⁵ + х – нечетная.

Решение: Подставим (– х):

у(– х) = (– х)⁵ + (– х) = –х⁵ – х = – (х⁵ + х) = – у(х)

Получили исходную ф-цию, но со знаком «минус», поэтому ф-ция является нечетной.

Пример. Докажите нечетность ф-ции у = 5/х + 4х.

Решение. Подставляем в ф-цию (– х):

у = 5/(– х) + 4(– х) = – 5/х – 4х = – (5/х + 4х) = – у(х)

Снова получили исходную ф-цию со знаком минус, следовательно, мы исследовали нечетную ф-цию.

Известно, что любое целое число либо четное, либо нечетное. Однако с ф-циями всё по-другому. Существует множество ф-ций, которые не относятся ни к тем, ни к другим. Чтобы доказать, что ф-ция не является ни четной, ни нечетной, достаточно продемонстрировать, что хотя бы для одного значения х не выполняются условия у(– х) = у(х) и у(– х) = – у(х).

Пример. Докажите, что у = х³ + х² – ни четная, ни нечетная ф-ция.

Решение. Определим значение ф-ции при, например, х = 1 и х = –1

у(1) = 1³ + 1² = 2

у(– 1) = (– 1)³ + (– 1)² = 0

Получили, что при противоположных х значения у не являются ни одинаковыми, ни противоположными. Значит, рассматриваемая ф-ция не подходит под приведенные определения четности и нечетности.

Свойства четных и нечетных функций

Рассмотрим важные свойства, помогающие быстро определять четность и нечетность ф-ций.

Например, так как четной является ф-ция у = х⁶, то также четными будут и ф-ции:

• у = 2х⁶;
• у = 3х⁶;
• у = – х⁶;
• у = – 12х⁶;
• у = 0,135х⁶.

Так, ф-ции у = х³ и у = 1/х – нечетны. Значит, нечетна и их сумма у = х³ + 1/х.

Другими словами, ф-цию можно «перевернуть», и она всё равно сохранит свою четность. Так, ф-ция 5х⁴ + х² четная, поэтому и ф-ция

останется такой же.

Вообще рассматриваемое свойство ф-ции часто называют ее четностью. Так, про две рассматриваемые ф-ции у = х³ и у = х⁹ можно сказать, что они обладают одинаковой четностью (обе нечетные), а у = х⁵ и у = х⁷ обладают различной четностью (одна из них четная, а другая нечетная).

Например, ф-ции у = 5х³ + 6х и у = 9х⁵ имеют одинаковую четность (обе нечетные), а потому их произведение у = 9х⁵(5х³ + 6х) является четным. С другой стороны, у = х⁵ и у = х⁸ + у⁶ имеют различную четность, следовательно, их произведение у = х⁵(х⁸ + у⁶) нечетное.

Докажем справедливость этого правила. Пусть есть две ф-ции, у = у(х) и g = g(х), которые обладают какой-нибудь четностью. Определим четность их произведения у(х)•g(х). Для этого рассмотрим 3 различных случая:

1. И у = у(х), и g = g(х) – четные. Тогда у(– х) = у(х), g(– х) = g(х), и мы получаем следующее:

у(– х)•g(– х) = у(х)•g(х).

1. Обе рассматриваемые ф-ции – нечетные. Тогда у(– х) = – у(х), g(– х) = – g(х), и получается следующее:

у(– х)•g(– х) = (– у(х))•(– g(х)). = (– 1)(– 1)у(х)•g(х) = у(х)•g(х).

1. Если же одна из ф-ций, например, у(х), будет четной, а вторая – нечетной, то их произведение будет следующим:

у(– х)•g(– х) = у(х)•(– g(х)) = – у(х)•g(х).

Пример. Определите четность ф-ции у = (8х⁴ + 3х²)(7х⁵ + 2х)

Решение. Ф-ция из условия представляет собой произведение двух других ф-ций: у = 8х⁴ + 3х² и у = 7х⁵ + 2х. Первая из них является суммой двух четных и поэтому сама четная. Вторая ф-ция, наоборот, нечетная. Следовательно, их произведение – это тоже нечетная ф-ция.

Ответ: Нечетная ф-ция.

Пример. Определите четность ф-ции у = (х⁶ + х²)(х¹⁰ + х⁸)

Решение. Так как ф-ции у = х⁶ + х² и у = х¹⁰ + х⁸ имеют одинаковую четность (обе четные), то их произведение является четным.

Ответ: Четная ф-ция.

Для изучения следующего свойства ф-ций необходимо сначала рассмотреть понятие сложной ф-ции. Так называют ф-цию, которую получают подстановкой одной «простой» ф-ции в другую.Например, пусть есть ф-ции g = х² и у = х³ + 2х. Подставив вторую в первую, получим

g = (х³ + 2х)²

Ещё пример сложной ф-ции:

у = 2(9х² + 4х + 1)³ + 3(9х² + 4х + 1)

Она получена путем подстановки выражения 9х² + 4х + 1 в ф-цию у = х³ + 3х. В общем случае, если в ф-цию у = f (x) подставляют g(x), то используют запись у = f (g(x)). Иногда вместо термина «сложная функция» используют аналогичное понятие «композиция функций».

Итак, сформулируем ещё одно свойство четных функций:

Например, пусть есть четная ф-ция у = х². Подставим ее в любую другую ф-цию, скажем, в у = 5х + 7 + 1/х. В итоге получим новую, сложную ф-цию

у = 5х² + 7 + 1/(х²)

которая будет четной. При этом природа ф-ции у = 5х + 7 + 1/х не играет никакой роли. Мы могли бы взять любую другую ф-цию, например, у = 958,235х³ – 12,25х² + 19х + 2/3, и подставив в нее х² вместо х, получить ф-цию

у = 958,235(х²) ³ – 12,25(х²) ² + 19х²+ 2/3

которая будет четной.

Ограниченные и неограниченные функции

Ещё раз рассмотрим ф-цию у = х². Очевидно, что все точки ее графика лежат выше оси Ох (кроме точки (0;0), лежащей непосредственно на оси Ох). Ось Ох – это, по сути, горизонтальная прямая у = 0. Можно провести ряд других горизонтальных линий, каждая из которых лежит ниже параболы и не пересекает её:

В математике говорят, что ф-ция у = х² ограничена снизу. То есть для любого допустимого х выполняется неравенство у(х) ⩾ а, где а – это какое-то произвольное число. И действительно, неравенство х²⩾ 0 выполняется при всех значениях х. Также выполняются неравенства

х²⩾ – 1,5

х²⩾ – 3

х²⩾ – 5

Дадим определение функции, ограниченной снизу

Очевидно, что если неравенство у(х) ⩾ а выполняется хотя бы для одного числа а, то оно выполняется и для всех а, которые ещё меньше. Так, из справедливости неравенства х²⩾ 0 автоматически следует справедливость неравенства х²⩾ – 1,5, так как

– 1,5 ⩽ 0.

Аналогично в математике существует понятие функции, ограниченной сверху.

В качестве примера ограниченной сверху ф-ции можно привести у = 4 – х²:

Ясно, что неравенство 4 – х²⩽ 4 выполняется при всех х, то есть ни одна точка графика не лежит выше прямой у = 4.

Иногда бывает так, что функция ограничена одновременно и снизу, и сверху. Их называют ограниченными функциями.

Ф-ция, не попадающее под это определение, называется неограниченной функцией. В качестве примера неограниченной функции можно привести линейную ф-цию у = х + 1.

График ограниченной ф-ции находится в своеобразной «полосе» из горизонтальных линий, которые ограничивают его сверху и снизу. Примером ограниченной ф-ции является

С одной стороны, у этой дроби и числитель, и знаменатель – положительное число, поэтому она ограничена снизу прямой у = 0. С другой стороны, дробь тем больше, чем меньше ее знаменатель (если они оба положительны). Минимальное значение выражения х² + 1 – это единица (при х = 0), а поэтому максимальное значение дроби равно 4/1 = 4. Поэтому график ограничен сверху прямой у = 4.

Пример. Ограничена ли ф-ция

Решение. Выделим в ф-ции целую часть:

Так как величина 5х² + 5 всегда положительна, то и дробь

а значит, и вообще вся ф-ция положительна, то есть ограничена снизу прямой у = 0

С другой стороны, дробь будет принимать максимальное значение при минимальном значении знаменателя, которое равно 5 (при х = 0) При х = 0 имеем

Получается, что ф-ция ограничена сверху прямой у = 1,4.

Ответ: ограничена.

Пример. Ограничена ли ф-ция

Решение. Величина х² всегда положительна, то есть х²⩾ 0. Преобразуем это неравенство, умножив его на (– 1) и добавив к нему 16:

х²⩾ 0

– х²⩽ 0

16 – х²⩽ 16

Получили, что подкоренное выражение не превосходит 16, а значит, и корень из него не больше, чем

То есть график будет ограничен прямой у = 4 сверху. С другой стороны, арифметический квадратный корень не может быть отрицательным числом, а потому его график ограничен снизу прямой у = 0. Для наглядности покажем график исследуемой ф-ции:

Ответ: ограничена.

Квадратичная функция

В качестве ф-ции можно использовать квадратный трехчлен, например:

у = 2х² + 6х – 10

у = – 1,5х² + 19х + 0,5

у = 0,005х² + 654,25х – 124

Все эти ф-ции заданы с помощью выражения, представляющего собой квадратный трехчлен, поэтому в математике их называют квадратичными функциями.

Если коэффициент перед х² окажется равным нулю, то ф-ция превратится из квадратичной в линейную:

0х² + bx + c = bx + c

Попытаемся понять, как выглядит график квадратичной функции. Для этого начнем рассматривать частные случаи и использовать правило растяжения и сжатия, а также параллельного переноса графиков ф-ций.

Если в выражение для квадратичной ф-ции подставить значения

а =1

b= 0

с = 0

то получится уже известная нам степенная ф-ция у = х²:

1х² + 0x + 0 = х²

Её графиком является парабола.

График ф-ции у = ах² – это тоже парабола (где а – некоторое число), которая однако, получена из «обычной» параболы у = х² путем сжатия или растяжения графика. Если коэффициент а является отрицательным, то парабола «перевернется» то есть отобразится симметрично относительно оси Ох. Покажем примеры нескольких графиков у = ах²:

Напомним, что при добавлении к ф-ции какого-нибудь постоянного числа n ее график переносится на n единиц вверх. Зная это можно легко получить график ф-ции у = ах² + с из графика у = ах²:

Таким образом, графиком ф-ции у = ах² + с является парабола, чья вершина поднята на с единиц вверх.

Как изменится график квадратичной ф-ции у = ах² + с, если в вместо х возводить в квадрат выражение (х +m), где m – произвольное число? В этом случае ф-ция примет вид у = а(х +m)² + с. Вершина параболы должна будет сместиться на m единиц влево:

Теперь докажем, что любая квадратичная ф-ция может быть представлена как в виде у = а(х + m) + n, где m и n – некоторые числа (в том числе и отрицательные). Похожие преобразования мы производили, когда учились решать квадратные уравнения. Запишем саму квадратичную ф-цию:

у = ах² + bх + с

Вынесем множитель а за скобки:

Далее попытаемся преобразовать трехчлен в скобках, используя формулу квадрата суммы. Для этого добавим к нему и сразу же вычтем величину (b/2a)²:

Теперь раскроем внешние скобки:

Теперь произведем две замены:

Используя их, можно записать:

Получили, что любую квадратичную ф-цию можно свести к виду у = а(х + m)² + n. Что это значит и для чего мы это доказывали? Из этого факта следует, что график любой квадратичной ф-ции может быть получен из обычной параболы у = х² за счет трех действий.

1. Необходимо растянуть график у = х² в а раз и получить график у = ах². Если число а является отрицательным, то график не только растянется, но ещё «перевернется» ветвями вниз, то есть отобразится симметрично относительно оси Ох.
2. Необходимо сдвинуть график у = ах² на n единиц вверх и получить график у = ах² + n. Если n< 0, то график переместится вниз, а не вверх.
3. Полученный график у = ах² + n следует сместить влево на m единиц и получить график у = а(х + m)² + n. Если m отрицательно, то график сместится не влево, а вправо.

Итак, как будет выглядеть график квадратичной ф-ции? В общем случае он является параболой, центр которой располагается не в точке (0;0), а в некоторой другой точке (х₀; у₀):

Если мы вернемся к доказательству того, что любую квадратичную ф-цию можно представить в виде у = а(х + m)² + n, то увидим, что число m рассчитывается по формуле

Так как график из-за этого числа m перемещается влево, а не вправо, то координата вершины х₀ рассчитывается по формуле:

Нет смысла составлять такую же формулу для определения координаты вершины у₀, ведь можно подставить х₀ в сам ф-цию и так узнать вторую координату вершины.

Пример. Определите вершину параболы, задаваемой ф-цией

у = 2х² + 8х + 5

Решение. Выпишем коэффициенты а, b и c квадратичной ф-ции:

а = 2

b = 8

c = 5

Зная их, легко рассчитаем координату х вершины параболы:

Теперь подставим это число в исходную ф-цию и определим координату у вершины параболы:

у₀ = у(х₀) = 2(– 2)² + 8(– 2) + 5 = 8 – 16 + 5 = – 3

Ответ (– 2; – 3)

Напомним, что нули ф-ции – это те точки, в которых ее график пересекает ось Ох. Для их поиска необходимо приравнять ф-цию к нулю и решить уравнение. В случае с квадратичной ф-цией мы получим квадратной уравнение.

Пример. Постройте график ф-ции у = х² – 4х + 3, отметьте на нем вершину параболы и нули ф-ции.

Решение. Приравняем ф-цию к нулю:

х² – 4х + 3 = 0

Решим это уравнение

D = b² – 4ас = (– 4)² – 4•1•3 = 16 – 12 = 4

Итак, нашли нули ф-ции: 1 и 3. Теперь найдем вершину параболы:

у₀ = у(х₀) = 2² – 4•2 + 3 = 4 – 8 + 3 = – 1

Вершина находится в точке (2; – 1). Теперь отметим ее, а также нули ф-ции на графике, и соединим их линией, похожей на параболу:

При необходимости для точности построения всегда можно вычислить значение ф-ции в нескольких дополнительных точках и провести параболу через них. Здесь мы этого делать не будем

Ответ: вершина параболы – точка (2; – 1), нули ф-ции х₁ = 1 и х₂ = 3

Обратите внимание, что в рассмотренном примере вершина параболы оказалась ниже нулей, поэтому ее ветви смотрят вверх. Вообще, если коэффициент а > 0, то ветви смотрят вверх, а если а < 0, то они смотрят вниз. Также можно заметить ещё одно свойство квадратичной функции – вершина параболы находится точно посередине между нулями ф-ции. То есть если нули ф-ции равны 1 и 3, то координата х вершины параболы равна их среднему арифметическому:

х₀ = (х₁ + х₂)/2 = (1 + 3)/2 = 2

Заметим, что не все квадратичные ф-ции имеют нули, ведь не каждое квадратное уравнение имеет решение.

Пример. Постройте графики ф-ций

у = – 2х²– 4х + 6

у = – 3х² + 6х – 4

Решение. Начнем с первой ф-ции. Сначала найдем ее нули:

– 2х² – 4х + 6 = 0

D = b² – 4ас = (– 4)² – 4•(– 2)•6 = 16+48 = 64

Найдем вершину. Сначала используем обычную формулу:

Далее просто проверим себя, найдя среднее арифметическое нулей ф-ции:

Как и ожидалось, получились одинаковые результаты! Вычислим теперь у₀:

у₀ = у(х₀) = – 2(– 1)² – 4(– 1) + 6 = – 2 + 4 + 6 = 8

Итак, вершина первой ф-ции – это точка (– 1; 8).

Перейдем ко второй ф-ции. Попробуем найти ее нули:

– 3х² + 6х – 4 = 0

D = b² – 4ас = 6² – 4•(– 3)•(– 4) = 36–48 = – 16

Дискриминант отрицательный, значит, корней у уравнения нет. Не будет и нулей и ф-ции. Найдем вершину параболы

Найдем координату у₀ вершины:

у₀ = у(х₀) = – 3•1² + 6•1 – 4 = – 3 + 6 – 4 = – 1

Отметим, что у обоих графиков коэффициент а отрицательный, а потому их ветви будут смотреть вниз. Построим их графики:

Иногда приходится решать обратную задачу – по графику квадратичной ф-ции находить выражение, задающее эту ф-цию. Для ее решения необходимо подставлять в общий вид квадратичной ф-ции

у = ах² + bx + c

значения квадратичной функции, взятые из графика (то есть координаты точек параболы) и получать уравнения, из которых можно найти величины a, b и c.

Пример. Запишите выражение для квадратичной ф-ции, имеющей следующий график:

Решение. Заметим, что графику параболы принадлежит точка с координатами (0; 3). Подставим эти числа, х = 0 и у = 3, в квадратичную ф-цию:

у = ах² + bx + c

3 = а•0² + b•0² + c

3 = c

Итак, мы нашли, что коэффициент с = 3. Осталось найти а и b. Возьмем ещё одну точку, скажем, (1; 0), и подставим ее координаты (вообще в большинстве случаев удобно брать точки, одна из координат которой равна 0 или, на худой конец, единице):

у = ах² + bx + 3

0 = а•1² + b•1 + 3

a + b = – 3

Возьмем точку с координатами (– 3; 0):

у = ах² + bx + 3

0 = а•(– 3)² + b•(– 3) + 3

9а – 3b = – 3

Получили два уравнения с двумя неизвестными: a + b = – 3 и 9а – 3b = – 3. Решим систему, составленную из них:

Подставим первое уравнение во второе и получим:

9а – 3(– 3 – а) = – 3

9а + 9 + 3а = – 3

12а = – 3 – 9

12а = – 12

а = – 1

Нашли а. Теперь подставим его в уравнение для b:

b = – 3 – а = – 3 – (– 1) = – 2

Получили b = – 2. Мы нашли все коэффициенты, а потому можем записать ф-цию в аналитическом виде:

у = – х² – 2х + 3

Ответ:– х² – 2х + 3