Как найти производную показательно степенной функции

Содержание:

• 1-ый способ
• 2-ой способ
• 3-ий способ

Рассмотрим способы нахождения ее производной.

1-ый способ

Применяя формулу:

$$left(u(x)^{v(x)}right)^{prime}=v(x) cdot u(x)^{v(x)-1} cdot u^{prime}(x)+u(x)^{v(x)} cdot ln u(x) cdot v^{prime}(x)$$

То есть вначале производная берется как от степенной функции, а потом как от показательной.

$$left(u(x)^{v(x)}right)^{prime}=u(x)^{v(x)} cdot ln u(x) cdot v^{prime}(x)+v(x) cdot u(x)^{v(x)-1} cdot u^{prime}(x)$$

2-ой способ

С помощью логарифмического дифференцирования:

$$begin{array}{c}
y(x)=u(x)^{v(x)} \
ln y(x)=ln u(x)^{v(x)} \
ln y(x)=v(x) cdot ln u(x) \
(ln y(x))^{prime}=(v(x) cdot ln u(x))^{prime} \
frac{y^{prime}(x)}{y(x)}=v^{prime}(x) cdot ln u(x)+v(x) cdot(ln u(x))^{prime} Rightarrow \
Rightarrow y^{prime}(x)=y(x)left[v^{prime}(x) cdot ln u(x)+v(x) cdot(ln u(x))^{prime}right]= \
=u(x)^{v(x)}left[v^{prime}(x) cdot ln u(x)+v(x) cdot(ln u(x))^{prime}right]
end{array}$$

3-ий способ

Представим функцию $y(x)=u(x)^{v(x)}$ в следующем виде
(используются свойства логарифмов):

$$y(x)=u(x)^{v(x)}=e^{ln u(x)^{w(x)}}=e^{v(x) ln u(x)}$$

Тогда

$$begin{array}{c}
y^{prime}(x)=left(e^{v(x) ln u(x)}right)^{prime}=e^{v(x) ln u(x)} cdot(v(x) ln u(x))^{prime}= \
=e^{v(x) ln u(x)} cdotleft[v^{prime}(x) cdot ln u(x)+v(x) cdot(ln u(x))^{prime}right]= \
=u(x)^{v(x)} cdotleft[v^{prime}(x) cdot ln u(x)+v(x) cdot(ln u(x))^{prime}right]
end{array}$$

Читать дальше: основные теоремы дифференциального исчисления.

Производная
степенно-показательной функции

:

Т.е. для того чтобы
найти производную степенно-показательной
функции, нужно сначала продифференцировать
её как степенную (формула (3)), затем как
показательную (формула (7)) и полученные
результаты сложить.

Пример 2.
Вычислить производную функции

.

Решение.

.

П
роизводная
неявной функции F(x,y)=0
получается дифференцированием обеих
частей уравнения, рассматривая y
как функцию от x , а
затем из полученного уравнения находится
y`.

Пример 3.
Найти производную от неявной функции
x² +3xy
+ y² +
1 =0 и вычислить y`
в точке (2; -1).

Решение.
Дифференцируя по x,
получаем:
отсюда

.
Подставим x
=2 , y = -1,
получим
.

В.7. Производные высших порядков

Производная

называется
производной 1-го порядка. Однако
производная сама является функцией,
которая также может иметь производную.

Производная n-го
порядка называется производная от
производной (n-1)-го
порядка:

.

Обозначается :

и т.д.

Механический смысл
2-й производной: 2-ая производная пути
по времени

равна ускорению точки в момент t₀.

В.9. Приложения производной

9.1. Правило Лопиталя

Правило Лопиталя.
Предел
отношения двух бесконечно малых или
бесконечно больших функций равен пределу
отношения их производных (конечному
или бесконечному), если последний
существует в указанном смысле.

Другими
словами, если имеется неопределенность

или

,
то

Пример 4. Найти
предел, используя правило Лопиталя:

.

Решение. Имеем
неопределенность вида

.
Применяя правило Лопиталя, получим:

=

.
Неопределенность вида

по-прежнему сохраняется. Применим
правило еще раз:
=
.

Ответ: 1.

9.2. Возрастание и убывание функции. Экстремум функции

Теорема (достаточное
условие возрастания функции). Если
производная дифференцируемой функции
положительна внутри некоторого промежутка
X,то функция
возрастает на этом промежутке.

Теорема (достаточное
условие убывание функции). Если
производная дифференцируемой функции
отрицательна внутри некоторого промежутка
X, то функция
убывает на этом промежутке.

Необходимое
условие монотонности более слабое:
если функция возрастает (убывает) на
некотором промежутке X,
то можно лишь утверждать, что производная
неотрицательна (неположительна) на этом
промежутке:

,
т.е. в отдельных точках производная
монотонной функции может равняться
нулю.

Например, функция
y=x³
монотонно возрастает на всей числовой
оси, но при x=0

Точка x₀
называется точкой максимума
функции ƒ(x),если
в некоторой окрестности точки x₀
выполняется неравенство ƒ(x₀)
≥ ƒ(x).

Точка x₁называется
точкой минимума функции ƒ(x),
если в некоторой окрестности точки x₁
выполняется неравенство ƒ(x₁)
≤ ƒ(x).

Значения функции
в точках x₀
и x₁
называются соответственно максимумом
и минимумом функции. Их объединяют
общим термином – экстремум
функции. Его также называют локальным
экстремумом , поскольку понятие
экстремума связано лишь с достаточно
малой окрестностью точки x₀
На одном промежутке функция может
иметь несколько экстремумов, причем
минимум в одной точке может оказаться
больше максимума в другой точке.

Е

сли
в точке x₀
дифференцируемая функция имеет
экстремум, то в некоторой окрестности
этой точки выполнены условия теоремы
Ферма. Следовательно,

.
Но функция может иметь экстремум
и в точках, в которых она не дифференцируема.

О

тсюда
необходимое условие экстремума:
для того, чтобы функция y=
f(x)
имела экстремум в точке x₀
, необходимо, чтобы её производная в
этой точки равнялась нулю или не
существовала.

(Экстремум в точке
x =0, но
функция здесь не дифференцируемая)

(Производная равна
нулю при x=0,
но экстремума нет)

Точки в которых
выполнено необходимое условие экстремума,
называются критическими (стационарными).
Их также называют точками, подозрительными
на экстремум. Одна критическая точка
вовсе не обязательно является точкой
экстремума.

Таким
образом, для нахождения экстремумов
функции требуется дополнительное
исследование критических точек, т.е.
нужно достаточное условие экстремума.

Теорема (первое
достаточное условие экстремума). Если
при переходе через точку x₀
производная дифференцируемой функции
меняет свой знак с плюса на минус, то
точка x₀
есть точка максимума функции y=ƒ(x),
а если с минуса на плюс, то точка минимума
.

Схема исследование
функции y=ƒ(x)
на экстремум:

1. Найти
   .

2. Найти критические
   точки функции, в которых

   =0
   или не существует.

3. Исследовать знак
   производной слева и справа от каждой
   критической точки и сделать вывод о
   наличии экстремумов функции.

4. Найти экстремумы
   функции (экстремальные значение
   функции).

Пример 5. Исследовать
функцию

на экстремум.

Теорема (второе
достаточное условие экстремума). Если
функция у=ƒ(x)
дважды дифференцируема и в некоторой
точке x₀


=0,

>0,
то x₀
есть точка минимума функции y=ƒ(x),если
=0,

<0,
то точка максимума.

Д

ля
отыскания наибольшего и наименьшего
значений функции на отрезке
надо найти значения функции в
критических точках и на концах отрезка
и выбрать из них наименьшее ƒ_min
и наибольшее значение ƒ_max.

Е

сли
функция непрерывна на интервале
(а,b),
то она может не принимать на нем
наибольшего и наименьшего значений. В
частности, если дифференцируемая функция
на интервале (а,b)
имеет лишь одну точку максимума, то
наибольшее значение функции совпадает
с максимумом этой функции.

Пример
6. Найти
наибольшее и наименьшее значения функции
у
= х³
– 12х
на отрезке [0, 5].

Решение. Сначала
найдем производную функции: у’ =
3х² – 12.

Затем найдем
критические точки, т.е. точки, в которых
у’ = 0 или не существует: 3х²
– 12 = 0, откуда критические точки х₁
= –2, х₂ = 2. Точка х₁ =
–2 не принадлежит отрезку [0, 5], поэтому
мы исключаем ее из рассмотрения.

Вычислим значения
функции в критической точке х₂
= 2 и на концах интервала и выберем из
них наибольшее и наименьшее: у(2) = –
16, у(0) = 0, у(5) = 65.

Ответ: Т.о. наибольшее
значение функции на отрезке [0, 5] равно
65, наименьшее равно –16.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Содержание:

1. Производная степенной функции
2. Производная показательной функции
3. Степенная функция и ее производные

Теорема:

Пусть и — дифференцируемые в точке функции. Тогда функция называемая показательно-степенной, имеет производную

Доказательство:

Логарифмируем и полученное равенство дифференцируем Умножаем обе части равенства на и, имея ввиду получаем:

Это и есть равенство , которое называется формулой Бернулли. Смысл формулы заключается в следующем: производная показательно-степенной функции есть сумма результатов дифференцирования как функции чисто показательной и чисто степенной.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Пример 1:

Найти .

Решение:

Производная степенной функции

Пусть. Найти . Закрепим и найдем соответствующее значение функции . Придадим аргументу приращение и найдем новое значение функции

Тогда и Положив и вспомнив «замечательный предел» имеем

или

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Примеры:

1. Если ,то
2. Если ,то
3. Если ,то

Рекомендуется отдельно запомнить производную квадратного корня. Именно, пусть . Тогда по общей формуле или

т. е. производная квадратного корня равна единице, деленной на два таких же корня.

Наиболее распространенными экспоненциальными и логарифмическими функциями в курсе исчисления являются естественная экспоненциальная функция и естественная логарифмическая функция

В этом случае, в отличие от случая экспоненциальной функции, мы действительно можем найти производную от общей функции логарифма.

Производная показательной функции

Пусть (эта функция, как уже говорилось, называется показательной; не следует путать ее со степеннбй функцией ). Чтобы найти производную этой функции, проводим обычные преобразованияоткуда

Составим отношение

Устремим к нулю. Тогда, вспоминая «замечательный предел» (гл. И, § 1, п° 10) мы получаем Следовательно,

Интересен частный случай выведенной формулы, когда . Именно, а так как , то

Задача:

Пусть и. Предположим, что существуют производные и , которые нам известны. Найти производную .

Решение:

Закрепим аргумент , тогда и соответственно будут иметь значения и . Придадим аргументу приращение , тогда получит приращение , а это, в свою очередь, вызывает появление приращения .

Интересующая нас производная есть предел отношения при Но это отношение можно переписать и так:

Что касается второго множителя то по самому определению производной ясно, что при он стремится к

Что касается первого сомножителя ,то хочется думать, что по аналогичным соображениям он будет стремиться к Однако это непосредственно не очевидно. В самом деле, ведь а у нас дано не ,а . Тем не менее небольшое рас-

суждение позволяет преодолеть возникшее затруднение. Именно, ведь— функция аргумента имеющая производную .

Значит, эта функция непрерывна. Но тогда бесконечно малому приращению аргумента отвечает бесконечно малое же приращение . Стало быть, при будет и , а тогда Поскольку предел произведения равен произведению пределов, имеем при , откуда окончательно Таким образом, производная сложной функции по независимой переменной равна ее производной по промежуточной переменной, умноженной на производную промежуточной переменной по независимой.

Замечание. Правило цепочки станет совершенно наглядным, если мы вспомним, что есть скорость изменения относительно . Действительно, если у меняется вдвое быстрее, а меняется втрое быстрее , то

В то же время ясно, что у меняется в шесть раз быстрее т. е. . Стало быть,

Степенная функция и ее производные

Определение:

Функция, заданная формулой называется степенной с показателем .

Если , то степенная функция определена при , так как . При целых формулой степенная функцияопределена и для . При четных функция четная, а при нечетных — функция нечетная. Поэтому исследование степенной функции достаточно провести на промежутке .

Для любого из области определения производная степенной функции находится так:

Действительно, так как При степенная функция убывает на промежутке , так как при (рис. 5).

Рисунок 5 — График степенной функции при Пристепенная функция возрастает , так как при (рис.6).

Рисунок 6 — График степенной функции при При степенная функция и при и . Поэтому точка нуль присоединяется к промежутку возрастания, то есть при степенная функция возрастает на промежутке .

Рисунок 7 — График степенной функции при Производной степенной функции является

При общий вид первообразных степенной функции имеет вид:

При первообразной функции является

Пример 2:

Первообразная для степенной функции определяется по формуле .Таким образом первообразная для функции будет равна

Пример 3:

Найдите первообразную для функции Первообразная для функции будет равна 3. Вычислите интеграл Интеграл вычислим по формуле неопределенного интеграла степенной функции По правилам интегрирования определенного интеграла получим:

Пример 4:

Вычислите интеграл

Пример 5:

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

Показательно-степенная функция (точнее, сложно-показательная функция) — это функция вида

то есть функция, в которой переменная содержится и в основании степени, и в ее показателе. Примеры показательно степенных функций:

Чтобы найти производную показательно-степенной функции, нужно прологарифмировать обе части формулы, задающей функцию, по одинаковому основанию (как правило, логарифмируют по основанию e, потому что производная натурального логарифма — самая простая из всех производных логарифмов). Затем берут производную от обеих частей полученного равенства. Такая производная от логарифма функции называется логарифмической производной.

Рассмотрим поэтапно схему нахождения производной показательно-степенной функции с помощью логарифмической производной. Для упрощения записи обозначим f(x)=u, g(x)=v, тогда показательно-степенная функция принимает вид

Наша задача — найти производную этой функции.

Схема нахождения производной показательно-степенной функции:

1. Логарифмируем обе части равенства по основанию e:

Поскольку степень можно вынести за знак логарифма, имеем:

2. Дифференцируем обе части равенства. При этом помним, что y зависит x, и u зависит от x, то есть lny и lnu — сложные функции. А значит,  их производные  равны произведению производных внешней функции — логарифма (f=lnu) и  внутренней функции (u=y или u=u). В правой части стоит произведение двух функций, то есть надо применить правило дифференцирования произведения:

3. Обе части равенства умножаем на y:

4. Теперь вспоминаем, что

и подставляем в формулу вместо y это выражение: