Как найти производную имея график

Производная функции. Геометрический смысл производной



Производная функции — одна из сложных тем в школьной программе. Не каждый выпускник ответит на вопрос, что такое производная.

В этой статье просто и понятно рассказано о том, что такое производная и для чего она нужна. Мы не будем сейчас стремиться к математической строгости изложения. Самое главное — понять смысл.

Запомним определение:

Производная — это скорость изменения функции.

На рисунке — графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?

Ответ очевиден — третья. У нее самая большая скорость изменения, то есть самая большая производная.

Вот другой пример.

Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года:

На графике сразу все видно, не правда ли? Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции, то есть производная, — разная. Что касается Матвея — у его дохода производная вообще отрицательна.

Определение.

Производная – это скорость изменения функции.

Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?

На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами — насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной — то есть может меняться быстрее или медленнее.

Производная функции обозначается .

Покажем, как найти с помощью графика.

Нарисован график некоторой функции . Возьмем на нем точку А с абсциссой . Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого — тангенс угла наклона касательной.

Производная функции в точке  равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

Обратите внимание — в качестве угла наклона касательной мы берем угол между касательной и положительным направлением оси ОХ.

Иногда учащиеся спрашивают, что такое касательная к графику функции. Это прямая, имеющая на данном участке единственную общую точку с графиком, причем так, как показано на нашем рисунке. Похоже на касательную к окружности.

Найдем . Мы помним, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Из треугольника

Мы нашли производную с помощью графика, даже не зная формулу функции. Такие задачи часто встречаются в ЕГЭ по математике.

Есть и другое важное соотношение. Вспомним, что прямая задается уравнением

.

Величина k в этом уравнении называется угловым коэффициентом прямой. Она равна тангенсу угла наклона прямой к оси X.

.

Мы получаем, что

Запомним эту формулу. Она выражает геометрический смысл производной.

Производная функции в точке  равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной.

Мы уже сказали, что у одной и той же функции в разных точках может быть разная производная. Посмотрим, как же связана производная с поведением функции.

Нарисуем график некоторой функции . Пусть на одних участках эта функция возрастает, на других — убывает, причем с разной скоростью. И пусть у этой функции будут точки максимума и минимума.

В точке A функция возрастает. Касательная к графику, проведенная в точке A, образует острый угол  с положительным направлением оси X. Значит, в точке A производная положительна.

В точке B наша функция убывает. Касательная в этой точке образует тупой угол  с положительным направлением оси X. Поскольку тангенс тупого угла отрицателен, в точке B производная отрицательна.

Вот что получается:

Если функция возрастает, ее производная положительна.

Если убывает, ее производная отрицательна.

А что же будет в точках максимума и минимума? Мы видим, что в точках C (точка максимума) и D (точка минимума) касательная горизонтальна. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этих точках равен нулю, и производная тоже равна нулю.

Точка С — точка максимума. В этой точке возрастание функции сменяется убыванием. Следовательно, знак производной меняется в точке С с «плюса» на «минус».

В точке D — точке минимума — производная тоже равна нулю, но ее знак меняется с «минуса» на «плюс».

Вывод: с помощью производной можно узнать о поведении функции всё, что нас интересует.

Если производная положительна, то функция возрастает.

Если производная отрицательная, то функция убывает.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Запишем эти выводы в виде таблицы:

Сделаем два небольших уточнения. Одно из них понадобится вам при решении задач ЕГЭ. Другое — на первом курсе, при более серьезном изучении функций и производных.

1. Возможен случай, когда производная функции в какой-либо точке равна нулю, но ни максимума, ни минимума у функции в этой точке нет. Это так называемая точка перегиба:

В точке E касательная к графику горизонтальна, и производная равна нулю. Однако до точки E функция возрастала — и после точки E продолжает возрастать. Знак производной не меняется — она как была положительной, так и осталась.

2. Бывает и так, что в точке максимума или минимума производная не существует. На графике это соответствует резкому излому, когда касательную в данной точке провести невозможно.

А как найти производную, если функция задана не графиком, а формулой? В этом случае применяется таблица производных. В ней вы найдете производные всех элементарных функций и правила взятия производных, то есть дифференцирования.

Геометрический смысл производной, задачи

Покажем, что такое геометрический смысл производной, на примере нескольких задач из Банка заданий ФИПИ.

Задача 1. На рисунке изображен график функции ). Найдите количество решений уравнения )=0 на отрезке [-2,5; 9,5].

Решение:

Производная функции равна нулю в точках максимума и минимума функции Таких точек на графике 5.

Ответ: 5.

Задача 2. На рисунке изображен график функции y= ) — производной функции ). Сколько точек максимума имеет функция ) на отрезке ? В ответе запишите это число.

Решение:

Обратите внимание, что на этом рисунке изображен не график функции, а график ее производной.

В вариантах ЕГЭ по математике таких задач много. Пользуясь графиком производной, надо ответить на вопрос о поведении функции.

В точке максимума функции производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус». Такая точка на отрезке на графике одна.

Ответ: 1.

Задача 3. На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой Найдите значение производной функции в точке

Решение:

Вспомним определение.

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в этой точке (то есть угловому коэффициенту касательной).

Это геометрический смысл производной.

В точке функция y = f(x) убывает. Касательная, проведенная к ее графику в этой точке, образует тупой угол с положительным направлением оси Х. Найдем тангенс острого угла смежного с углом

Ответ: -0,5.

Задача 4. На рисунке изображен график производной функции определенной на отрезке В какой точке отрезка принимает наименьшее значение?

Решение:

На рисунке изображен график производной. Если функция возрастает — ее производная положительна. Если функция убывает — ее производная отрицательна. В точке минимума производная равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

На рисунке есть такая точка, и это x = 1,5.

Слева от этой точки, на отрезке [1; 1,5] производная отрицательна, и функция убывает. Справа от этой точки, на интервале [1,5; 5), производная положительна, и функция возрастает.

Значит, — точка минимума функции

Поэтому и свое наименьшее значение функция принимает в точке 1,5.

Ответ: 1,5.

Задача 5. На рисунке изображен график — производной функции В какой точке отрезка функция принимает наименьшее значение?

Решение:

На рисунке изображен график производной. Если функция возрастает — ее производная положительна. Если функция убывает — ее производная отрицательна. В точке минимума производная равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

На рисунке есть такая точка, и это x = 3.

Слева от этой точки производная отрицательна, и функция убывает. Справа от точки x = 3 производная положительна, и функция возрастает.

Значит, — точка минимума функции

Кстати, вид графика функции определить нетрудно. Это квадратичная парабола с ветвями вверх.

Ответ: 3.

Задача 6. На рисунке изображен график производной непрерывной функции В какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение?

Решение:

На отрезке расположена точка в которой производная равна нулю и меняет знак с «+» на «-».

Это значит, что — точка максимума функции на отрезке и наибольшее значение функция принимает именно в этой точке.

Ответ: — 2,5.

Задача 7. На рисунке изображен график производной функции определенной на интервале (-3;7). В какой точке отрезка [-2; 4] функция принимает наименьшее значение?

Решение:

Точка минимума функции f(x) — это x = 0. В этой точке производная равна 0 и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Слева от точки 0 производная отрицательна, функция убывает. Справа от этой точки производная положительна, функция возрастает.

Наименьшее значение на отрезке достигается при x = 0.

Ответ: 0.

Задача 8. На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой Найдите значение производной функции в точке

Решение:

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

— касательная к

В точке производная отрицательная, т.к. функция — убывает в этой точке.

— угол, который образует касательная с положительным направлением оси Х.

Угол — тупой, а смежный с ним угол — острый.

Ответ: -0,375.

Задача 9. На рисунке изображен график непрерывной функции f(x) и касательные CD и MN, проведенные к ее графику в точках А и В. Найдите отношение значений производной функции f(x) в точках А и В.

Решение:

Найдём значения производных в точках А и В с помощью графика.

где — угол наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой

Для точки А:

Для точки В:

Отношение производных:

Ответ: 0,15.

Условия касания

Пусть прямая касается графика функции в точке Тогда для точки выполняются условия касания:

Первое уравнение показывает, что значения функций и в точке равны друг другу. Это верно, поскольку эта точка лежит и на одном, и на другом графике.

Второе условие показывает, что производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, то есть k.

Задача 10. Прямая касается графика функции причем абсцисса точки касания положительна. Найдите b.

Решение:

Запишем условие касания:

Начнем со второго уравнения:

Т.к. то

Найдем подставив в первое уравнение:

отсюда

Ответ: -7.

Условия касания встречаются нам не только в заданиях 1 части ЕГЭ по математике, но и в задачах с параметрами. Более того, это один из приемов решения уравнений и неравенств с параметрами.

Физический смысл производной

Мы узнали, что такое геометрический смысл производной. Научились находить производную с помощью графика функции и решать задачи ЕГЭ. Производная помогает нам исследовать функции, находить их точки максимума и минимума, строить графики функций.

И оказывается, что с производной вы познакомились намного раньше — в школьном курсе физики. Вы уже пользовались этим математическим понятием, но не называли его словом «производная».

Вспомним тему «Кинематика» в физике. Это раздел физики, описывающий механическое движение. Величины, которыми описывается движение какого-либо тела, — это скорость v, время t, координата х, если тело движется вдоль прямой. Или координаты x и y, если оно движется по плоскости.

Вспомним формулу для равномерного прямолинейного движения: где x — координата.

Пусть 3 материальных точки — например, три автомобиля — одновременно выезжают с постоянными скоростями из точки А и едут по прямолинейному шоссе. На графике показано, как меняется их координата x с течением времени. У какого из автомобилей скорость больше?

Очевидно, у третьего. Считая, что x = vt, для первого автомобиля найдем = 20 км/ч. Возможно, это машина, которая поливает или чистит дорогу, и поэтому так медленно едет. Для второго автомобиля = 40 км/ч, для третьего = 75 км/ч.

Но если пройденный путь, то есть изменение координаты тела, мы разделим на время, то найдем тангенс угла наклона для каждой из этих прямых. Так и есть.

Скорость тела — это производная от его координаты по времени.

А теперь пусть тело, например, автомобиль, движется вдоль оси x, причем его скорость не является постоянной. Зависимость его координаты от времени x(t) показана на графике.

Возьмем на графике точку, соответствующую моменту времени и проведем в этой точке касательную к графику функции.

Тангенс угла наклона этой касательной численно равен мгновенной скорости тела в момент

Мы получили, что мгновенная скорость — это производная от координаты по времени.

Это физический смысл производной.

Но не только скорость в физике является производной от другой физической величины, координаты.

Ускорение — это производная от скорости по времени. Сила тока — производная от заряда по времени.

Изучая курс физики в школе и в вузе, вы увидите множество уравнений, связывающих одни физические величины с производными других физических величин. Такие уравнения называются дифференциальными. А само действие взятия производной называется дифференцированием.

Вот задача из вариантов ЕГЭ по математике, где используется физический смысл производной.

Задача 11. Материальная точка M начинает движение из точки A и движется по прямой на протяжении 12 секунд. График показывает, как менялось расстояние от точки A до точки M со временем. На оси абсцисс откладывается время t в секундах, на оси ординат — расстояние s.

Определите, сколько раз за время движения скорость точки M обращалась в ноль (начало и конец движения не учитывайте).

Решение:

Производная — это скорость изменения функции. Мгновенная скорость движущегося тела (материальной точки) является производной от его координаты по времени. Это физический смысл производной.

Найдем на графике s(t) точки, в которых производная функции s(t) равна нулю. Таких точек 6. Это точки максимума и минимума функции s(t).

Ответ: 6.

Изучая высшую математику в вузе, вы узнаете еще одно определение производной.

Производной функции f(x) в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при приращении аргумента, стремящемся к нулю.

Это определение есть в вашем школьном учебнике алгебры. Но намного важнее не механически его запомнить, а понять его смысл. Первые шаги к этому мы сделали, определив производную как скорость изменения функции. Мы также узнали, что такое геометрический смысл производной и физический смысл производной.

Производная положительна только тогда, когда функция возрастает. То есть, нам необходимо найти точки, в которых функция растет. Смотрим на график нашей функции: функция растет на промежутках: от (x=-7) до (x=0) и от (x = 6) до (x=12).

Так как по условию нам нужны только ЦЕЛЫЕ точки, в которых производная положительна, то это будут: (x=—6); (x=-5), (x=-4), (x=-3), (x=-2), (x=-1), (x=7), (x=8), (x=9), (x=10), (x=11). Всего точек получилось (11). Я отметил их зеленым цветом.

Обратите внимание, что точки (x=-7), (x=0), (x=6), (x=12) мы не считаем, так как в этих точках у нас будут минимумы и максимумы функции, а в них производная равна нулю, то есть не положительна.

Ответ: (11.)

Пример 2
На рисунке 6 изображен график функции, определенной на промежутке ((-10;12)). Найдите количество точек, в которых производная функции равна нулю.

На этой странице вы узнаете

• Где проходит граница между теплом и холодом? 
• Почему успех фильма не всегда зависит от наличия экшн-сцен?
• Чем кофе похож на функцию, ее первообразную и производную?  

Многие из нас чем-то похожи на родителей. Не являясь их точной копией, мы перенимаем определенные черты. То же самое происходит и с графиками. О том, какие особенности “наследуют” друг у друга графики функции, производной и первообразной, поговорим в статье. 

Связь графика функции и производной

Подготовим карандаши и линейки, мы начинаем погружение в мир графиков. Почему графики — это круто? Они дают нам наглядное представление о функции. Мы можем проанализировать ее, не прибегая к сложным формулам и трудоемким вычислениям. 

Воспринимать визуальную информацию всегда легче. А графики — это как раз визуальное описание функции. 

Возьмем график произвольной функции. 

Прежде чем приступать к дальнейшему изучению материала, рекомендуем ознакомиться с «Определением и графиком функции», а также «Производной».

Мы точно видим, на каких промежутках график будет возрастать, а на каких убывать. Если представить, что мы пойдем по направлению оси х, то график будет возрастать на подъемах в горку и убывать на спусках с нее. Отметим промежутки возрастания зеленым фоном, а промежутки убывания красным. 

В зеленых промежутках производная будет положительна, а в красных отрицательна. Пока что просто запомним этот факт. 

Обратим внимание на границы между зелеными и красными зонами. В этих точках функция будет менять свой знак с положительного на отрицательный или обратно. Такие точки называются точками экстремума. 

Экстремум — это точка, в которой достигается максимальное или минимальное значение функции на заданном отрезке. 

Точки экстремума — точки, в которых достигается экстремум. 

В точках экстремума производная равна 0.

Теперь попробуем построить примерный график производной. Для начала опустим точки экстремума. Где они будут лежать на графике производной? На оси х. 

Вспомним, что в точках экстремума производная функции будет равна 0. Пусть график будет задан 

y = f'(x), тогда в точках экстремума получаем y = 0. Это и есть ось х. 

Так мы получили целых 9 точек, через которые пройдет производная. Осталось провести через них примерный график. 

Вспомним, что:

• производная положительна на промежутках возрастания функции;
• производная отрицательна на промежутках убывания функции. 

Как понять, что все точки на графике производной будут положительны или отрицательны? Достаточно посмотреть на то, с какой стороны от оси х они располагаются. 

Положительные значения всегда будут лежать выше оси х. Это связано со значением y: значения функции будут положительны при положительных значениях у, и отрицательны при отрицательных значениях у. 

Итак, как нам нарисовать график производной? На зеленых участках ее график будет лежать над осью х, а на красных участках — под ней. 

Подведем итоги:

• В точках экстремума функции график производной будет проходить через ось х.
• На промежутках возрастания функции график производной будет лежать выше оси х.
• На промежутках убывания функции график производной будет лежать ниже оси х. 

Эти зависимости можно отследить на любых графиках функции и ее производной. 

Если провести обратные рассуждения, то по графику производной можно восстановить примерный график функции. В этом случае:

• В точках, где график производной пересекает ось х, будут лежать точки экстремума. При этом если в точке производная меняет значение с положительного на отрицательное, то это точка максимума, а если с отрицательного на положительное, то это точка минимума. 
• На промежутках, где график производной будет лежать выше оси х, функция будет возрастать. 
• На промежутках, где график производной будет лежать ниже оси х, функция будет убывать. 

Разберем несколько примеров, где можно применить эти знания. 

Пример 1. На рисунке изображен график функции f(x) и отмечены пять точек на оси абсцисс: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅. В скольких из этих точек производная функции отрицательна?

Решение. Производная отрицательна на промежутках убывания функции. Отметим такие промежутки. 

В точках, которые попали в эти промежутки, производная отрицательная. Всего таких точек 2.

Ответ: 2

Пример 2. На рисунке изображен график функции y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-5; 3). Найдите точку максимума функции f(x).

Решение. Точки экстремума на графике производной лежат на оси х. На данном графике таких точки две: x = -2, x = 2. 

Точка максимума — это точка, в которой производная меняет знак с положительного на отрицательный. По графику определяем, что это точка x = -2.

Ответ: -2

Связь графика функции и первообразной

Мы разобрались, как связаны графики функции и ее производной. Есть ли связь между графиком функции и «Первообразной»?

Вспомним один важный факт: если взять производную от первообразной, то получим функцию. 

F'(x) = f(x)

Похоже на функцию и ее производную, верно? На самом деле, ситуации ничем не отличаются. 

В этом случае изначальной функцией будет первообразная, а ее производной — функция. Для наглядности составим таблицу. 

	Было	Взяли производную	Стало
Функция и производная	f(x)	f'(x)	f'(x)
Функция и первообразная	F(x)	F'(x)	f(x)

Получается, для функции и первообразной будут действовать почти те же правила, что и для функции и ее производной. 

При решении заданий с графиками первообразной достаточно проанализировать уравнение F'(x) = f(x). Рассмотрим несколько примеров. 

Пример 3. На рисунке изображен график функции y = F(x) — одной из первообразных функции f(x) и отмечены шесть точек на оси абсцисс x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆. В скольких из этих точек функция f(x) отрицательна? 

Решение. Поскольку F'(x) = f(x), то функция f(x) будет отрицательна в тех же точках, в которых будет отрицательна F'(x). 

Поскольку на графике изображена функция y = F(x), то ее производная будет отрицательна на промежутках убывания функции. Отметим их красным. 

В эти промежутки попадают 3 из 6 точек.  

Ответ: 3. 

Пример 4. На рисунке изображен график функции y = F(x) — одной из первообразных функции f(x), определенной на интервале (-6; 7). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x) = 0 на отрезке [-5; 4]. 

Решение. Вспомним, что F'(x) = f(x). Тогда если f(x) = 0, то и F'(x) = 0. Следовательно, на заданном промежутке нужно найти точки экстремума. 

Отметим заданный промежуток красными линиями. На промежутке всего 9 точек экстремума, значит, в 9 точках f(x) будет равна 0. 

Ответ: 9

Фактчек

• Графики функции, производной и первообразной связаны между собой. 
• В точках экстремума функции график производной будет проходить через ось х.
• На промежутках возрастания функции график производной будет лежать выше оси х.
• На промежутках убывания функции график производной будет лежать ниже оси х. 
• Для решения задач с первообразной необходимо вспомнить, что F'(x) = f(x). Любой график можно проанализировать с помощью этого уравнения также, как анализируются графики функции и ее производной. 

Проверь себя

Задание 1. 
На каких промежутках будет производная функции будет положительна?

1. На промежутках убывания функции.
2. На промежутках возрастания функции.
3. В точках экстремума.
4. Невозможно определить по графику. 

Задание 2. 
На каких промежутках производная функции будет отрицательна?

1. На промежутках возрастания функции.
2. На промежутках убывания функции.
3. В точках экстремума.
4. Невозможно определить по графику. 

Задание 3. 
На рисунке изображен график производной функции f(x), на котором отмечена точка. Чем будет являться эта точка для функции f(x)? 

1. Точка максимума функции.
2. Точка минимума функции.
3. Любая произвольная точка на функции.
4. Невозможно определить по графику. 

Задание 4. 
Выберите верный вариант:

1. F(x) = f'(x)
2. F(x) = f(x)
3. F'(x) = f'(x)
4. F'(x) = f(x)

Ответы: 1. — 2 2. — 2 3. — 1 4. — 4

Чтобы найти производную, надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного — в правилах дифференцирования. 

Содержание:

Производная функции — это скорость изменения функции в данной точке, производная определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если этот предел существует, производную функцию, имеющую конечную производную {в некоторой точке}, называют дифференцируемой {в данной точке}.

Начнём с изучения основ происхождения производной.

До настоящего времени, используя алгебраические правила, изученные нами, мы могли получать статистические данные, соответствующие реальной жизненной ситуации. Однако, во многих случаях, в производстве, медицине, а также в различных областях науки, возникает необходимость получить более динамическую информацию, другими словами, возникает надобность проследить как изменения одной переменной влияет на скорость изменения другой переменной. Например, рекламный менеджер хочет знать, как изменяется прибыль при изменении затрат, врач — динамику изменения структуры печени при увеличении дозы лекарственного препарата и т. д. Рассмотрим следующий пример определения скорости изменения.

Средняя скорость:

На рисунке показаны графики зависимости расстояния от времен при равномерном движении автомобиля по магистральной дороге и неравномерном движении по городу. При равномерном движении, за равные промежутки времени, длина пройденного пути одинакова и на графике движения угловой коэффициент прямой выражает скорость. При неравномерном движении длина пути на одинаковых временных участках может и не быть одинаковой. В этом случае используется значение средней скорости.

Отношение пройденного телом пути к промежутку времени, за которое

этот путь пройден, называется средней скоростью.

Пример 1.

Частица движется прямолинейно но закону Найдите среднюю скорость на промежутке времени: а) [1; 3] , b) [1; 2] ( здесь в метрах, — в секундах).

Решение: а) Средняя скорость на промежутке времени

b) Средняя скорость на промежутке времени

Средняя скорость изменения:

Для произвольной функции на промежутке средняя скорость равна

Это отношение равно углу наклона секущей графика функции, проходящей через точки

Мгновенная скорость:

Исследуем понятие мгновенной скорости на следующем примере.

Пример 2.

В таблице представлены результаты вычислений средней скорости частицы, движущейся прямолинейно по закону для некоторых малых значений за промежуток времени

По таблице можно установить, что при мгновенная скорость приблизительно равна 2 м/сек. Вообще, средняя скорость на интервале времени будет:

Устремляя At к нулю путем сокращения временного интервала найдем мгновенную скорость в предельном состоянии в момент

Таким образом, при прямолинейном движении по закону мгновенная скорость в любой момент времени будет:

По аналогичному правилу, для любой функции мгновенную скорость изменения при находят по формуле:

или

Мгновенная скорость изменения:

Предел выражает мгновенное изменение скорости функции в точке

Теперь пронаблюдаем, как при изменении положения секущей на кривой, средняя скорость превращается в мгновенную скорость. На графике точки показывают изменение положения точки в направлении точки Здесь, уменьшая значения путем приближения к 0, точка меняя положение вдоль кривой, приближается к точке и, наконец, совпадает с ней.

При приближении точки остающейся на кривой, к точке предельное положение секущей (если оно существует), называется касательной к кривой в точке При предел углового коэффициента секущей, т. е. мгновенное изменение скорости функции в точке равен угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке

Пример 3.

Найдем скорость свободного падения в момент сек.

Решение: Зависимость между пройденным путем и временем при свободном падении имеет вид: . Здесь ускорение свободного падения и Тогда можно написать Через 2 секунды после начала движения в интервале средняя скорость будет

В момент скорость равна значению предела

Пример 4.

Дана функция Найдите: а) среднюю скорость изменения при b) мгновенную скорость при

Решение: а) При средняя скорость будет:

b) Найдем мгновенную скорость при

Что такое производная функции

Необходимость вычисления мгновенной скорости изменения в расчетах Исаака Ньютона( 1642-1727) и Готфрида Лейбница (1646-1716), привело к формированию основного и мощного правила — дифференциального исчисления. Как результат, появилось понятие «производная».

Задачи на нахождение мгновенной скорости и углового коэффициента касательной имеют одинаковую суть и приводят к нахождению мгновенного изменения определенной функции. Теперь обобщим эти понятия.

Производная функции подробно с объяснением:

Пусть функция определена на интервале Отметим произвольную точку и дадим аргументу такое приращение что

Тогда функция, соответственно, получит приращение

Определение. Если существует конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, то этот предел называется производной функции в точке

Производную функции также можно записать в виде (запись по Лейбницу).

Если функция имеет производную в точке то в этом случае говорят, что функция дифференцируема в данной точке. Если функция дифференцируема в каждой точке интервала то говорят, что она дифференцируема на этом интервале.

Нахождение производной функции называется дифференцированием. Для нахождения производной, согласно определению, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Находят
2. Упрощается разность
3. Записывается и упрощается выражение
4. Находится предел отношения при

Пример 1.

Найдите производную функции

Решение:

В общем случае Здесь при имеем:

Геометрический смысл производной. Уравнение касательной

Если функция дифференцируема в точке то в точке к графику функции можно провести касательную.

Значение производной функции в точке с абсциссой равно угловому коэффициенту касательной к графику в точке с абциссой

Уравнение прямой, проходящей через точку угловой коэффициент которой равен имеет вид Учитывая, что абсцисса равна ордината равна угловой коэффициент равен уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой имеет вид:

Пример 2.

Для функции найдите:

a) производную;

b) значения и

c) уравнение касательной в точке с абсциссой

Решение: а) По определению производная в точке находится так:

Для функции производной является Как видно, производной квадратичной функции является линейная функция:

b) Так как то

с) Уравнение касательной запишем при помощи формулы уравнения прямой Так как то угловой коэффициент касательной с в точке абсциссой равен Ордината точки на графике с абсциссой равна Запишем данные значения в формулу. Получим уравнение касательной в точке с абсциссой

Согласно выполненным вычислениям можно сказать, что:

Пример 3.

Для функции найдите:

a) производную;

b) и

Решение:

Значит, производная функции является квадратичной функцией:

b) Так как то

Выражение называется дифференциалом функции и обозначается Как видно, дифференциал функции зависит от Так как го для функции получаем, что

Поэтому дифференциал функции обозначается как Дифференциал является главной (основной) частью приращения функции

Точки, в которых функция не имеет производной

Если функция дифференцируема в точке то при имеем т. е в этой точке функция непрерывна. Однако, обратное утверждение, вообще, не верно. Непрерывная функция в некоторых точках может не иметь производную.

Графически производная определяется как угловой коэффициент касательной. Кривая, которая имеет касательные в каждой точке, называется гладкой кривой. На графике могут быть точки, в которых, или невозможно провести касательную, или касательная вертикальна. В таких точках производная не существует. Ниже представлены примеры точек, не имеющих производных.

1) Для функций, график которых имеет вид «V» (функция некоторые кусочно — заданные функции и т. д. ), в точках «преломления» является касательной, но не имеет производной при соответствующих значениях аргумента.

2) Если касательная вертикальна (совпадает или параллельна с осью в точке пересечения касательной с осью абсцисс производная не существует.

Например, касательная к графику функции с абсциссой в точке является вертикальной прямой, и в этой точке функция не имеет производной.

3) В точках разрыва функция не имеет производную.

Пример №1

На рисунке дан график функции При каких значениях аргумента, отмеченных на оси абсцисс, функция не имеет производной?

Решение: функция не имеет производную в точках:

* — точки разрыва функции;

* и — «точки преломления ;

* — касательная вертикальная прямая.

Правила дифференцирования

Используя определение производной, мы нашли производные некоторых степенных функций, например, и

Для нахождения производных используют следующие правила.

Докажем эти правила, используя определение производной.

1. Если то т. е. производная постоянной равна нулю.

Доказательство:

Это видно и но графику постоянной функции. В каждой точке графика угловой коэффициент равен нулю.

2. Если и то Для функции для значений запишем соответствующие биномиальные разложения.

Как видно, в каждом разложении первый член а второй член У каждого члена из желтого треугольника присутствует множитель В упрощенной форме разложение бинома перепишем в виде:

Запишем и упростим отношение, которое показывает изменение мгновенной скорости функции.

Предел данного выражения при условии является производной функции

Значит, для любого натурального числа

В частном случае, при получаем

В общем случае, для функции с любой действительной степенью верно равенство для всех для которых правая часть имеет смысл.

В частном случае:

Пример №2

Найдите производную функций:

Решение:

3. Если дифференцируема, то функция где постоянная,тоже дифференцируема и

т. е. постоянную можно вынести за знак производной.

4. Если функции и дифференцируемы, то их сумма (разность) также дифференцируема и

Доказательство: докажем, что формула верна для

Пример №3

Найдите производную функции

Решение:

Пример №4

Найдите производную

Решение:

Пример №5

а) В каких точках касательные к графику функции параллельны оси абсцисс?

b) Определите координаты точки, в которой угловой коэффициент касательной к графику равен 9.

Решение: а) Если касательная параллельна оси абсцисс, то угловой коэффициент равен нулю.

Точки, в которых угловой коэффициент равен нулю, являются точками, в которых производная равна 0, т. е. Найдем производную функции

Определим точки, в которых производная равна нулю.

Находим значения функции в этих точках:

На графике функции, построенном при помощи графкалькулягора, видно, что в точках (0;0) и (4;32) касательная к графику параллельна оси абсцисс.

b) Найдем точки, в которых угловой коэффициент равен 9:

По графику также видно, что им соответствуют точки (1; 5) и (3; 27).

Более подробное объяснение правил дифференцирования производных:

Пусть f(х) и — функции, имеющие производные. Тогда справедливы следующие правила дифференцирования:

1. Производная суммы равна сумме производных:

(1)

2. Производная разности равна разности производных:

Пример №6

Найдите производную функции:

Решение:

Воспользуемся правилами 1, 2 и 1,3 — пунктами таблицы производных

(см. стр. 27):

Ответ:

3. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: , c-постоянная (3)

Пример №7

Найдите производную функции:

Решение:

Воспользуемся правилами 1, 2, 3 и 1, 3 — пунктами таблицы производных:

Ответ:

4. Производная произведения:

(4)

Пример №8

Найдите производную функции:

Решение:

Воспользуемся правилами 1, 3, 4 и 1,3- пунктами таблицы производных:

Ответ:

5. Производная отношения:

здесь (5)

Пример №9

Найдите производную функции:

Решение:

Воспользуемся правилами 1, 3, 5 и 1,3- пунктами таблицы производных:

0твет:

Пример №10

Найдите:

Решение:

1) Для нахождения разностного отношения воспользуемся формулой разности синусов:

Можно показать, что при

Значит,

2)Для нахождения разностного отношения воспользуемся формулой разности косинусов:

Можно доказать, что при

Значит,

3)Воспользовавшись правилом 5 дифференцирования, а также результатами, полученными выше, найдём производную:

Ответ:

Производная произведения

Для нахождения производной функции в виде можно записать функцию в виде многочлена и применить известные нам правила дифференцирования. Однако для функций, заданных в виде произведения, существует более эффективное правило нахождения производной.

Если функции и дифференцируемы, то их произведение также дифференцируемо и

Доказательство: Пусть

Прибавив и отняв в числителе дроби член для членов и дробь можно записать в виде суммы двух дробей.

Пример №11

Найдите производную функции

Решение:

каждый множитель записывается как одна функция

для каждой функции находится производная

применяется правило дифференцирования произведения

принимаются во внимание соответствующие выражения

упрощается

Решение можно проверить, предварительно упростив выражение функции:

Производная частного

Если функции и дифференцируемы и то функция дифференцируема и имеет место равенство:

Доказательство:

В частном случае,

Пример №12

Найдите производную функции

Решение: числитель и знаменатель записываются как отдельные функции

находится производная каждой функции

применяется правило дифференцирования частного

учитываются соответствующие выражения упрощается

Производная сложной функции

Во многих случаях аргумент заданной функции зависит от другой переменной.

Исследование

1) Для функции при задайте сложную функцию и представьте ее в виде многочлена.

2) Найдите производную этой функции и запишите ее в виде

3) Зная, что проверьте справедливость равенства

Цепное правило нахождения производной сложной функции:

Пусть, на определенном интервале задана сложная функция и функция дифференцируема в точке а функция дифференцируема в точке Тогда сложная функция также дифференцируема в точке и для ее производной справедлива формула

На самом деле, так как функция дифференцируема в точке то при получим, что

учитывается, что

Таким образом

Учитывая, что последнее равенство можно записать при помощи записи Лейбница в виде

В частном случае, если то

При получим:

Пример №13

Найдите производную функции

Решение: обозначим и Тогда заданная функция является композицией этих функций, т. е. сложной функцией и

Пример №14

Найдите производную функции

Решение: обозначим тогда и

Так как то получим

Пример №15

Найдите производную функции

Решение: как видно, здесь надо применить как правило дифференцирования сложной функции, так и правило дифференцирования произведения

Пример №16

Прибыль от вклада, вложенного в банк под сложный процент на 10 лет с процентной ставкой вычисляется ежемесячно. Сумму вклада через 10 лет можно рассчитать по формуле:

a) Запишите функцию которая поможет определить увеличении суммы вклада в зависимости от процента.

b) Найдите прибыль при или

Решение:

a)

правило дифференцирования сложной функции

упрощаем

b) прибыль (ежемесячная) через 10 лег при

манат прибыль (ежемесячная ) через 10 лет при

манат

Решение задач при помощи производной

При решении ряда экономических задач используют термин «маржинал», который отражает скорость изменения экономических показателей. При этом приняты следующие обозначения:

Маржинальные затраты на производство — изменение затрат на производство продукции в заданный момент. Другими словами, это дополнительные затраты на производство (выпуск) каждой дополнительной единицы продукции. Обозначим через затраты на производство товара в количестве единиц, тогда для единицы затраты будут Разность показывает себестоимость го товара. Эта разность показывает прирост затрат и называется маржинальными затратами на производство.

Объем маржинальных затрат равен угловому коэффициенту касательной к графику в точке другими словами, производной функции в точке Т .е. значение производной функции выражает изменение себестоимости го товара. Маржинальные затраты используется для приблизительного определения себестоимости.

Маржинальная выручка. изменение выручки в заданный момент в зависимости от количества проданного товара. Другими словами, показывает выручку от продажи каждой дополнительно произведенной (выпущенной) единицы продукции.

Маржинальная прибыль. изменение (скорость) полученной прибыли в заданный момент в зависимости от количества проданного товара. Другими словами, прибыль полученную от каждой дополнительно произведенной (выпущенной) единицы продукции.

Пример №17

Фирма по производству радиаторов может смоделировать затраты на производство радиаторов функцией а выручку, полученную при продаже радиаторов в количестве штук функцией

а) Чему равна себестоимость каждого следующего радиатора, произведенного после 10? b) Найдите прибыль, полученную от продажи каждого следующего радиатора после 10 штук проданных.

Решение:

— функция, моделирующая затраты. Производная функции дает возможность найти, приблизительно, в любой момент времени (в зависимости от количества произведенной продукции), затраты на производство радиаторов.

a)

Т. е. после производства 10 радиаторов, себестоимость каждого следующего радиатора равна 195 ман.

b) Производная функции позволяет в любой момент (в зависимости от количества) найти выручку от продажи.

Производная второго порядка

Пусть для функции на заданном промежутке существует производная Если функция является дифференцируемой функцией, то ее производная для функции называется производной второго порядка и обозначается как

Известно, что производная показывает мгновенное изменение. Мгновенное изменение пройденного пути в зависимости от времени является скоростью. Отсюда становится ясным физический смысл производной. При прямолинейном движении по закону мгновенная скорость равна производной функции

Скорость также изменяется в зависимости от времени. Изменение скорости выражается новой величиной, называемой ускорением. Вообще, находя производную функции зависимости пройденного пути от времени, находят функцию скорости. Находя производную от функции скорости получаем ускорение. Т. е. получая два раза подряд производную от функции пройденного пути можно найти ускорение:

Из физики известно, что и скорость, и ускорение являются векторными величинами. Если скорость и ускорение имеют одинаковые знаки, то движение ускоренное, если знаки разные, то движение замедленное. Производная второго порядка используется для решения ряда экономических задач, в том числе задач, моделирующих реальные жизненные ситуации. Умение приблизительно определить является ли скорость изменения положительной или отрицательной имеет важное практическое значение.

Пример №18

Найдите производную второго порядка

а) b)

Решение:

a) находим производную первого порядка

находим производную второго порядка

b)

находим производную первого порядка, используя правило дифференцирования сложной функции

находим производную второго порядка

Пример №19

Для функции пройденного пути зависящей от времени время в сек., расстояние в м, исследуйте связь между функциями расстояния, скорости и ускорения.

Решение:

Из графика видно, что угловой коэффициент касательной функции в точках и равен нулю. Т. е. функция производной в соответствующих точках обнуляется.

В интервалах (0; 2) и (6; угловой коэффициент касательной к графику функции положителен и функция также положительна (расположена выше оси ). В интервале (2;6) угловой коэффициент касательной отрицателен и функция также отрицательна (расположена ниже оси

Из графика функции видно, что в угловой коэффициент касательной равен нулю. Эта точка является точкой пересечения графика функции с осью абсцисс.

На интервале [0; 4) угловой коэффициент касательной к графику функции отрицателен, а на интервале (4; угловой коэффициент положителен и функция на интервале [0; 4) принимает отрицательные значения; а на интервале (4; — положительные значения.

Производная показательной функции

Мы уже знакомы со многими задачами реальных жизненных ситуаций, которые можно смоделировать экспоненциальным возрастанием или убыванием. Например, рост населения, увеличение денежного вклада на счету, радиоактивный распад, рост числа бактерий и т. д. В этих ситуациях важно уметь определять скорость прироста в любой момент. Эту скорость можно найти при помощи производной.

Показательная функция дифференцируема в каждой точке числовой оси

1. Производная функции

по определению производной множитель выносим за скобку

множитель не зависит от значит его можно вынести за знак предела.

учитывая, что

2. Производная сложной функции

Если функция дифференцируема, то

В частном случае,

3. Производная функции

по основному свойству логарифма

производная сложной функции

по основному свойству логарифма

4. Производная сложной функции

Если функция дифференцируема, то

Пример №20

Найдите производную функции

Решение:

Пример №21

Найдите производную функции

Решение:

Для функции производная имеет вид Из этого следует, что угловой коэффициент касательной к графику функции в 3 раза больше значения функции в точке с абсциссой

Это показывает, что при экспоненциальном изменении скорость изменения роста пропорциональна величине изменения.

Пример №22

Увеличение денежной суммы при помощи сложного процента.

Пусть в банк вложена сумма в размере под сложный процент при процентной ставке 9% в год.

Количество денег в год можно найти по формуле

a) Какова сумма вклада в конце 3-го года, если первоначально вложили 1000 манат?

b) Какова сумма прироста за 4-ый год, если первоначально вложили 1000 манат?

Решение:

a) При найдем значение

b) При значение производной функции соответствует приросту за 4-ый год. Этот прирост равен При найдем

Производная логарифмической функции

Функция дифференцируема на интервале и

выполним эквивалентную замену

получим производную

производная сложной функции

выполним замену

то есть

Производную функции можно представить геометрически. Проведите касательную в какой-либо точке, начиная слева. На эту касательную поместите линейку и смоделируйте следующие касательные, двигаясь вправо. Каждая следующая касательная изменяется в горизонтальном направлении и угловой коэффициент стремится к нулю.

Если и дифференцируема, то:

В частном случае,

Пример №23

Найдите производную функции: а) b)

Решение:

а)

b)

Производная функции перейдем к основанию получим производную

применим правила дифференцирования

Если и дифференцируема, то:

Пример №24

Найдите производную функции: а) b)

Решение: а)

b)

Исследование. Производная функции

1. В тетради изобразите график функции Отметьте угловой коэффициент касательной к графику в указанных точках.

2. Изобразите новую систему координат и отметьте точки, соответствующие указанным угловым коэффициентам.

3. Соедините полученные точки. Учитывая, что угловой коэффициент равен производной функции в данных точках, сделайте соответствующие выводы по поводу производной данной функции.

4. Такие же действия выполните для функции и сделайте соответствующие выводы.

Производные тригонометрических функций

Тригонометрические функции дифференцируемы в любой точке области определении.

Производная функции

по определению производной

тригонометрические тождества

вынесение общего множителя за скобку

свойство дроби

так как и не зависят от

учитывая

Производная сложной функции

если дифференцируемая функция, то

В частном случае,

Пример №25

Найдите производную функции

Решение: здесь

Производная функции

Найдем производную функции используя тождество

Производная сложной функции

если дифференцируемая функция, то

В частном случае:

Пример №26

Найдите производную функции

Решение: здесь

Производная функции

Найдем производную функции используя тождество

Производная сложной функции

если дифференцируемая функция, то

В частном случае:

Аналогично можно показать, что

В частном случае:

Пример №27

Найдите производную функции

Решение:

= 3cos2x(2x)’+ 4sin3x(3x)’ = 6cos2x + 12sin3x

Пример №28

Найдите производную функции

Решение:

Подробно о производной функции в высшей математике

Пример №29

 

Р е ш е н и е

По формуле (6.2)

Таким образом,  Аналогично

Пример №30

Р е ш е н и е

Таким образом,  Аналогично 
 

Определение 6.2. Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке , если ее приращение представляется в виде  (6.3)
где А – постоянное число, не зависящее от ∆x; o (∆x) – бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем ∆x, при ∆x→o.
 

Определение 6.3. Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке .
Дифференциалом функции y=f(x) в точке будем называть линейную относительно ∆x функцию вида

Для функции  Поэтому формулу (6.6) можно переписать в виде

 

Теорема 6.2. Если функция y=f(x) была дифференцируема в точке ,то она непрерывна в этой точке.
Доказательство

Рассмотрим цепочку эквивалентных утверждений:

что и требовалось доказать.
 

Теорема 6.3. Пусть функции– дифференцируемы, 

Тогда:

Доказательство

Докажем, например, формулу (6.9).

что и требовалось доказать.

Из формул (6.8)–(6.10), с учетом (6.7), получим

 

Пример №31

 

Р е ш е н и е

Аналогично 

Теорема 6.4. Пусть функции дифференцируемы. Тогда и сложная функция дифференцируема и (6.11)
 

Доказательство

что и требовалось доказать.

П р и м е р 6.4

Найти производную 
 

Р е ш е н и е

Данная функция представляется как композиция функций

Тогда по формуле (6.11)

Найдем дифференциал функции  По формуле (6.7)
(6.12)
С другой стороны, с учетом формулы (6.11)

Формулы (6.12) и (6.13) показывают инвариантность (неизменяемость)
формы дифференциала. В формуле (6.12) , в формуле (6.13) d u –
дифференциал функции . Например, для функции

Пример №32

Найти производную функции ,
 

Р е ш е н и е

Таким образом (6.14)

Пример №33

 

Р е ш е н и е

По формуле (6.14)

Пример №34

Найти производную функции 
 

Пример №35

 

Р е ш е н и е

По формуле (6.9) 
 

Определение 6.4. Пусть функция y=f(x) определена на множестве Х со значениями во множестве Y и такова, что если  рис. 6.1. Пусть – множество значений функции f . Для такой функции можно определить обратную функцию , определенную на множестве f(X) со значениями во множестве Х по правилу 

Если y=f(x) строго монотонна на интервале (a, b), тo f(x) удовлетворяет условиям определения 6.4 и для нее существует обратная , причем если f(x) непрерывна, то  также непрерывна; если f(x) дифференцируема и 
то  также дифференцируема в точке 

Пример №36

Для функции , обратная, и тогда по формуле (6.16)

 

Пример №37

Для функции функция  обратная, и тогда по формуле (6.16)

Таким образом, Аналогично 

Сводка формул

 

Таблица производных

Более подробная таблица производных:

Определение 6.5. Пусть функция y=f(x) непрерывна в точке итогда f(x ) имеет в точке бесконечную производную.

Производная функции, заданной параметрически

Рассмотрим плоскость с фиксированной системой координат (O, x, y).

Пусть точка M (x, y) движется по плоскости, и траектория ее движения
(7.1)
где t – время, или  где r(t) – радиус-вектор точки М.

Предположим, что для функции x= (x)t существует обратная функция
 (например, когда x= (x)t строго монотонна). Тогда (7.1) задается также в виде 

Пусть – точка на кривой (7.1), где 
Предположим, что x( t) и y(t ) дифференцируемы и 
Тогда по формулам (6.11), (6.15)

Таким образом для функции, заданной в виде (7.1), производная
                    (7.2)
 

Пример №38

Пример №39

Функция монотонно убывает на промежутке . Для нее обратная:  По формуле (7.2)
(7.3)

Кривая в примере – параметрическое задание эллипса (верхней части), заданного уравнением  Если из формулы (7.3) исключить t, то получим

 что совпадает с производной 

Производная функции, заданной неявно

Пусть функция y=f(x) задана неявно в виде  (8.1) то есть

Дифференцируем уравнение (8.1) по x, при этом считаем, что y – функция от x, получим уравнение, содержащее . Из полученного уравнения выражаем

Пример №40

 

Р е ш е н и е

Рассмотренное в примере 8.1 уравнение эллипса определяет в неявном виде две функции:

Если рассмотреть параметрическое уравнение эллипса 

то после подстановки x и y в формулу (8.2), получим формулу (7.3)
(см. пример п. 7.1),
 

Пример №41

Найдем производную степенно-показательной функции  где 
дифференцируемы и
 

Р е ш е н и е

Производная, её геометрический и физический смысл

На рисунке 12 изображены кривая, касательная и секущая.

Пусть точка В последовательно принимает положения В₁, В₂, …., стремясь к точке А по кривой (рисунок 13). Тогда интуитивно ясно, что соответствующие секущие стремятся принять положение касательной к кривой в точке А.

В этом случае очевидно, что угловой коэффициент прямой АВ стремится к угловому коэффициенту касательной.

Пример №42

Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции f(х)=x² в точке А(1; 1) (рисунок 14).

Решение:

Рассмотрим произвольную точку В(х, х²), принадлежащую графику функи f(х)=х² (рисунок 15).

Угловой коэффициент прямой АВ равен

.

Когда точка В стремится к А по кривой, значение х стремится к 1 при этом .

Значит, угловой коэффициент прямой АВ стремится к угловому коэффициенту касательной:

.

Поэтому, .

Пусть задана функция . Рассмотрим точки А(х, f(х)) ва — принадлежащие графику функции (рисунок 16).

Угловой коэффициент прямой А В равен разностному отношению

.

Когда точка В стремится к А по кривой, значение приращения к стремится к 0. При этом секущая АВ стремится к касательной к графику функции , проведённой в точке А.

Вместе с этим, угловой коэффициент секущей АВ стремится к угловому коэффициенту касательной.

Иначе говоря, при стремлении h к 0, угловой коэффициент касательной к графику функции, проведённой к произвольной точке равен предельному значению .

Отметим, что для каждого х такого, что вышеуказанный предел существует, можно поставить в соответствие единственное значение углового коэффициента касательной, проведённой к графику функции в точке (х, f(х)) (рисунок 17).

Значит, формулаопределяет новую функцию.

Эта функция называется производной функцией (кратко производной) функции .

Определение: Производной функции y=f(x) называется предел: (1) в случае, когда он существует.

Обычно производную функции y=f(x) обозначают через f ^‘(x). Операцию нахождения производной называют дифференцированием.

Иногда вместо обозначения используется обозначение .

«Дробный» вид этого обозначения можно объяснить следующим образом.

Если мы введём новые обозначения для приращений, тогда выражение

можно написать в виде (рисунок 18).

Исходя из вышесказанного, можно прийти к следующему выводу: Значение производной функции y=f(x) в точке х₀ равно угловому коэффициенту касательной к графику функции, проведённой в точке с абсциссой в этой точке.

В этом и заключается геометрический смысл производной.

Пример №43

Материальная точка движется по прямой в соответствии с законом s=s(t) (здесь s измеряется в метрах, а t в секундах). Найдём скорость v(t) материальной точки в момент времени t.

Решение:

Интуитивно ясно, что искомая мгновенная скорость точки на

малом интервале времени приблизительно равна средней скорости

Когда стремится к нулю, разность между средней

скоростью и мгновенной скоростью тоже стремится к нулю. Значит, мгновенная скорость материальной точки в момент времени t равна

Таким образом, мгновенная скорость материальной точки в момент времени t равна производной функции s(t).

В этом и заключается физический смысл производной. Вообще говоря, производная определяет скорость изменения функции.

Пример №44

Исходя из определения, найдите производные функции.

Решение:

1.Так как , то

2.Так как , то

, значит

3.Так как , то

Ясно, что при , тогда

Согласно формулам сокращённого умножения

Значит,

то,

Отсюда

Значит

5.

Из-за того, что следует Значит

6.

Упростим:

При имеем Отсюда получим

7. Составим разностное отношение:

При имеем Отсюда получим

Ответ:

Напомним, что когда величина х меняет свои значения в пределах от х до х+h, то средняя скорость изменения величины у=f (х) равна разностному отношению

При этом выражение

означает мгновенную скорость изменения величины у=f(х).

Геометрический и физический смысл производной более подробно:

Пусть ( O, x, y) – прямоугольная система координат на плоскости. Рассмотрим график функции y=f(x) (множество точек с координатами  Пусть
– точки на графике (рис. 9.1).

Рассмотрим секущую на графике, проходящую через точки , тогда
– угловой коэффициент секущей, и
 

Определение 9.1. Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке  и – ее производная. Касательной к графику функции в точке  будем называть прямую, заданную уравнением (9.2)

Из формулы (9.1) видно, что касательная – предельное положение
секущей при

Действительно, секущая задается уравнением (уравнение прямой, проходящей через точку c угловым коэффициентом ). Так как выполняется (9.1), то уравнение  в пределе при примет вид (9.2).

Таким образом,  – угловой коэффициент касательной к кривой

Определение 9.2. Пусть функция y=f(x) имеет в точке бесконечную
производную (см. определение 6.5). Тогда касательная к графику функции
в точке– вертикальная прямая х=
 

Определение 9.3. Нормалью к графику функции y=f(x) в точке  называется прямая, проходящая через точку  и перпендикулярная касательной к графику в этой точке.
Если, то из (9.2) следует, что уравнение нормали имеет вид
. (9.3) (так как угловые коэффициенты перпендикулярных прямых связаны соотношением ).

Пример №45

Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке
.
 

Решение:

, поэтому точка  лежит на кривой;
Тогда по формуле (9.2) – уравнение касательной.

Далее по формуле (9.3)
– уравнение нормали.
 

Пример №46

Написать уравнения касательных к кривой,
проходящих через точку М.

Решение:

, поэтому точка М не лежит на кривой. По формуле (9.2)
(9.4)
Так как точка М лежит на касательной, то
поэтому касательные к кривой в точках проходят через точку М.
Тогда из (9.4) – уравнения касательных.
 

Рассмотрим точкина графике функции y=f(x ). Тогда по формуле (6.6) а по формуле (9.2) приращение касательной, когда приращение независимой переменной х равно, поэтому значение равно приращению касательной, рис. 9.3.

Приращение функции y=f(x) отличается от

(см. формулу 6.4), то есть

 

Пример №47

. Рассмотрим точки 
Найти при переходе от 
 

Решение:

Пример №48

Вычислить приближенно
 

Решение:

Пусть

Тогда

По формуле (9.6)

Поэтому

Пусть y=f(x) дифференцируема в точке  и – ее производная. (9.7)
Числитель дроби – приращение функции f(x). Сама дробь задает приращение функции на единицу приращения независимой переменной х (скорость приращения функции). Поэтому, согласно (9.7),  – мгновенная скорость приращения функции. Если тело движется
прямолинейно и х задает время, а f(x) – путь, пройденный телом за время t , то  – мгновенная скорость в момент времени .

Пример №49

– путь, пройденный телом на промежутке времени (1;1,1); – средняя скорость движения на этом промежутке;  – мгновенная скорость в момент времени =1.

Пусть точка M(x ,y , z) движется в пространстве, и траектория ее движения
(9.8)
где t – время,

или  (9.9) где – радиус-вектор точки М.

Концы вектора (9.9) задают траекторию движения (9.8) – годограф
вектор-функции .
 

Определение 9.4. Производной векторной функции   в точкеназывается вектор
Вектор задает мгновенную скорость движения точки при  

 направлен по касательной к кривой (9.8) в точке

Пример №50

 – траектория движения точки,
Найдем

Решение:

Дополнительный справочный материал о производной функции

Понятия приращения аргумента и приращения функции в точке :

Пусть — произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки из области определения функции

Приращение аргумента:

Приращение функции:

Запись непрерывности функции через приращения аргумента и функции:

Функция будет непрерывной в точке тогда и только тогда, когда малому изменению аргумента в точке отвечают малые изменения значении функции, то есть функция непрерывна в точке при

Задачи, приводящие к понятию производной:

I. Мгновенная скорость движения точки по прямой

— координата точки в момент времени

II. Касательная к графику функции

Касательной к графику функции в данной точке называется предельное положение секущей

Когда точка приближается к точке (перемещаясь по графику функции ), то величина угла приближается к величине угла наклона касательной к оси Поскольку

Определение производной:

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в точке к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Производные некоторых элементарных функций:

(с — постоянная);

;

;

;

.

Геометрический смысл производной и уравнение касательной к графику функции :

— угловой коэффициент касательной, — уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой

Значение производной в точке равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой и угловому коэффициенту этой касательной.

(Угол отсчитывается от положи тельного направления оси против часовой стрелки.)

Механический смысл производной:

Производная характеризует скорость изменения функции при изменении аргумента

В частности, производная по времени является мерой скорости изменения соответствующей функции.

Производную по времени используют для описания различных физических величин.

Например, мгновенная скорость неравномерного прямолинейного движения — это производная функции, выражающей зависимость пройденного пути от времени

Зависимость между дифференцируемостью и непрерывностью функции:

Если функция дифференцируема в точке то она непрерывна в этой точке.

Если функция дифференцируема на промежутке (то есть в каждой его точке), то она непрерывна на этом промежутке.

Понятия приращения аргумента и приращения функции

Часто пас интересует не значение какой-то величины, а ее приращение. Например, сила упругости пружины пропорциональна удлинению пружины, работа — это изменение энергии и т. д.

Приращение аргумента или функции традиционно обозначают большой буквой греческого алфавита (дельта). Дадим определение приращения аргумента и приращения функции.

Пусть — произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки из области определения функции

Разность называют приращением независимой переменной (или приращением аргумента) в точке и обозначают (читают: «дельта икс»):

Из этого равенства имеем (1) то есть первоначальное значение аргумента получило приращение При значение больше, чем, а при значение меньше, чем (рис. 2.1).

Тогда при переходе аргумента от точки к точке значение функции изменилось на величину Учитывая равенство (1), получаем, что функция изменилась на величину (2) (рис. 2.2), которую называют приращением функции в точке соответствующим приращению аргумента (символ читают: «дельта эф»).

Из равенства (2) получаем

При фиксированном приращение является функцией от приращения

Если функция задается формулой то называют также приращением зависимой переменной у и обозначают через

Например, если то приращение соответствующее приращениюравно

Запись непрерывности функции через приращения аргумента и функции

Напомним, что функцияявляется непрерывной в точке если при то есть Но если то то есть (и наоборот, если , то то есть ). Следовательно, условие эквивалентно условию Аналогично утверждение эквивалентно условию то есть Таким образом, функция будет непрерывной в точке тогда и только тогда, когда при то есть если малым изменениям аргумента в точке соответствуют малые изменения значений функции. Именно вследствие этого свойства графики непрерывных функций изображаются непрерывными (неразрывными) кривыми на каждом из промежутков, которые полностью входят в область определения функции.

Задачи, приводящие к понятию производной

I. Мгновенная скорость движения точки по прямой

Рассмотрим задачу, известную из курса фиизики,— движение материальной точки по прямой. Пусть координата точки в момент времени равна Будем считать, что движение происходит непрерывно (как это мы наблюдаем в реальной жизни). Попробуем по известной зависимости определить скорость, с которой точка движется в момент времени (так называемую мгновенную скорость). Рассмотрим промежуток времени от до (рис. 2.3). Определим среднюю скорость на промежутке как отношение пройденного пути ко времени движения: Для определения мгновенной скорости точки в момент времени сделаем так, как вы делали па уроках физики: возьмем промежуток времени продолжительностью вычислим среднюю скорость на этом промежутке и начнем уменьшать промежуток до нуля (то есть уменьшать отрезок и приближатьк ). Мы заметим, что значение средней скорости при стремлении к нулю будет стремиться к некоторому числу, которое и считается значением скорости в момент времени Иными словами, мгновенной скоростью в момент времени называется предел отношения

Например, рассмотрим свободное падение тела. Из курса физики известно, что в этом случае зависимость пути от времени задается формулой

1) Найдем сначала

2) Найдем среднюю скорость:

3) Выясним, к какому числу стремится отношение при это и будет мгновенная скорость в момент времени

Если а поскольку — величина постоянная, то Последнее число и есть значением мгновенной скорости точки в момент времени Мы получили известную из физики формулу (тогда ). Используя понятие предела, это можно записать так:

II. Касательная к графику функции

Наглядное представление о касательной к кривой можно получить, изготовив кривую из плотного материала (например, из проволоки) и прикладывая к кривой линейку в выбранной точке (рис. 2.4). Если мы изобразим кривую на бумаге, а затем будем вырезать фигуру, ограниченную этой кривой, то ножницы также будут направлены по касательной к кривой.

Попробуем перевести наглядное представление о касательной на более точный язык.

Пусть задана некоторая кривая и точка на ней (рис. 2.5). Возьмем на этой кривой другую точку и проведем прямую через точки и . Эту прямую обычно называют секущей. Начнем приближать точку к точке .

Положение секущей будет изменяться, но при приближении точки к точке оно начнет стабилизироваться.

Касательной к кривой в данной точке называется предельное положение секущей

Чтобы записать это определение с помощью формул, будем считать, что кривая — это график функции а точка , находящаяся на графике, задана координатами ( ). Касательной является некоторая прямая, проходящая через точку (рис. 2.6). Чтобы построить эту прямую, достаточно знать угол наклона касательной* к оси

Пусть точка (через которую проходит секущая ) имеет абсциссу Когда точка перемещаясь по графику функции приближается к точке (это будет при ), величина угла приближается к величине угла наклона касательной к оси

Поскольку то при значение приближается к то есть

Фактически мы пришли к той же задаче, что и при нахождении мгно венной скорости: найти предел отношения выражения вида (где — заданная функция) при Найденное таким образом число называют производной функции в точке

Определение производной в высшей математике

Производной функции в т очке называется предел отношения приращения функции в точке к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Производную функции в точке обозначают (или ) и читают: «эф штрих в точке ». Коротко определение производной функции можно записать так:

Учитывая определение приращения функции в точке, соответствующего приращению определение производной можно записать также следующим образом:

*Будем рассматривать невертикальную касательную (то есть ).

Функцию, имеющую производную в точке , называют дифференцируемой в этой точке. Если функция имеет производную в каждой точке некоторого промежутка, то говорят, что функция дифференцируема на этом промежутке. Операцию нахождения производной называют дифференцированием.

Для нахождения производной функции согласно определению можно пользоваться такой схемой:

1. Найти приращение функции соответствующее приращению аргумента
2. Найти отношение
3. Выяснить, к какому пределу стремится отношение —

Это и будет производной данной функции.

Производные некоторых элементарных функций

Обоснуем, пользуясь предложенной схемой, формулы:

1. Вычислим производную функции то есть где — постоянная.

2. Вычислим производную функции то есть

3. Вычислим производную функции то есть

Тогда производная функции в произвольной точке равна Таким образом,

4. Вычислим производную функции то есть

5. Вычислим производную функции то есть

Это означает, что (при ). Тогда производная функции в произвольной точке из области определения функции, кроме то есть при ), равна: Следовательно,

Геометрический смысл производной и уравнение касательной к графику функции y=f(x)

Учитывая определение производной функции запишем результаты, полученные при рассмотрении касательной к графику функции (с. 24). Как было обосновано выше, тангенс угла наклона касательной в точке с абсциссой (рис. 2.7) вычисляется по формуле

В то же время тогда

Напомним, что в уравнении прямой угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона прямой к оси (угол отсчитывается от положительного направления оси против часовой стрелки). Значит, если — угловой коэффициент касательной, то то есть значение производной в точке равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой и равно угловому коэффициенту этой касательной (угол отсчитывается от положительного направления оси против часовой стрелки).

Таким образом, если — уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой (и ординатой ), то . Тогда уравнение касательной можно записать так: Чтобы найти значение учтем, что эта касательная проходит через точку ).

Следовательно, координаты точки удовлетворяют последнему уравнению, то есть Отсюда и уравнение касательной имеет вид Его удобно записать так:

Это уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой

Замечание. Угол который образует невертикальная касательная к графику функции в точке с абсциссой с положительным направлением оси , может быть нулевым, острым или тупым.

Учитывая геометрический смысл производной, получаем, что в случае, когда (то есть ), угол будет острым, а в случае, когда (), угол будет тупым. Если (), то (то есть касательная параллельна оси или совпадает с ней). И наоборот, если касательная к графику функции в точке с абсциссой образует с положительным направлением оси острый угол то если тупой угол, тоа если касательная параллельна оси или совпадает с ней то

Если же касательная образует с осью прямой угол ( = 90°), то функция производной в точке не имеет ( не существует).

Механический смысл производной

Записывая определение производной в точке для функции и сопоставляя полученный результат с понятием мгновенной скорости прямолинейного движения: можно сделать вывод, что производная характеризует скорость изменения функции при изменении аргумента.

В частности, производная по времени является мерой скорости изменения соответствующей функции, что может применяться к разнообразнейшим физическим величинам. Например, мгновенная скорость неравномерного прямолинейного движения является производной функции, выражающей зависимость пройденного пути от времени ускорение неравномерного прямолинейного движения является производной функции, выражающей зависимость скорости о от времени

Если

Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции

Если функция дифференцируема в точке то в этой точке существует ее производная / то есть при значение Для обоснования непрерывности функции достаточно обосновать, что при значение

Действительно, при получаем Из этого следует, что функция непрерывна в точке Таким образом, если функция дифференцируема в точке то она непрерывна в этой точке.

Из этого утверждения можно заключить:

• если функция дифференцируема па промежутке (то есть в каждой его точке), то она непрерывна на этом промежутке.

Отметим, что обратное утверждение неверно. Функция, непрерывная на промежутке, может не иметь производной в некоторых точках этого промежутка.

Например, функция (рис. 2.8) непрерывна при всех значениях но не имеет производной в точке Действительно, если и то Поэтому при отношение — не имеет предела, а значит, и функцияне имеет производной в точке 0.

Замечание. Тот факт, что непрерывная функция не имеет производной в точке , означает, что к графику этой функции в точке с абсциссой нельзя провести касательную (или соответствующая касательная перпендикулярна к оси ). График в этой точке может иметь излом (рис. 2.8), а может иметь значительно более сложный вид*.

Например, к графику непрерывной функции (рис. 2.9) в точке с абсциссой нельзя провести касательную (а значит, эта функция не имеет производной в точке 2). Действительно, по определению касательная — это предельное положение секущей. Если точка будет приближаться к точке по левой части графика, то секущая займет предельное положение Если же точка будет приближаться к точке по правой части графика, то секущая займет предельное положение Но это две разные прямые, следовательно, в точкекасательной к графику данной функции не существует.

Примеры решения задач:

Пример №51

Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой к оси если:

*В курсе математического анализа построены примеры функций, которые являются непрерывными, но ни в одной точке не имеют производной.

Решение:

1) По геометрическому смыслу производной Учитывая, что получаем: Следовательно, 2) Поскольку то По геометрическому смыслу производной Следовательно,

Комментарий:

По геометрическому смыслу производной где— угол наклона касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой к оси Для нахождения достаточно найти производную функции а затем найти значение производной в точке Формулы производных для нахождения производных заданных функций приведены в п. 5 (и обоснованы на с. 22, 23). Далее при решении задач мы будем использовать их как табличные значения.

Пример №52

Используя формулу запишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой

Решение:

Если то Тогда Подставляя эти значения в уравнение касательной получаем: То есть — искомое уравнение касательной.

Комментарий:

Уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой в общем виде таково: Чтобы записать это уравнение для заданной функции, необходимо найти значение производную и значение Для выполнения соответствующих вычислений удобно обозначить заданную функцию черези использовать табличное значение производной

Правила вычисления производных

Производные некоторых элементарных функций:

(с — постоянная)

Правила дифференцирования:

Правило: Постоянный множитель можно выносить за знак производной

Пример:

Правило: Производная суммы дифференцируемых функций равна сумме их производных

Пример:

Правило:

Пример:

Правило:

Пример:

Производная сложной функции (функции от функции):

Правило:

Если то есть то

Коротко это можно записать так*:

Пример:

Правила дифференцирования

С учетом определения производной были найдены производные некоторых элементарных функций: (с — постоянная),

Для нахождения производных в более сложных случаях целесообразно помнить правила дифференцирования — специальные правила нахождения производной от суммы, произведения и частного тех функций, для которых мы уже знаем значения производных, и правило нахождения производной сложной функции (функции от функции).

Обоснуем эти правила. Для сокращения записей будем использовать такие обозначения функций и их производных в точке

Правило 1.

Если функции и и и дифференцируемы в точке то их сумма дифференцируема в этой точке, и

Коротко говорят:

• производная суммы равна сумме производных.

Для доказательства обозначим и используем план нахождения по определению производной в точке (с. 22).

1) Приращение функции в точке

2)

*В обозначениях нижний индекс указывает, по какому аргументу берется производная.

3) Выясним, к какому пределу стремится отношение при Поскольку функции и и и дифференцируемы в точке то при Так как предел суммы равен сумме пределов слагаемых, получаем, что при Из этого следует, что то есть Таким образом,

Правило 1 можно расширить на любое конечное количество слагаемых*

Правило 2.

Если функции и дифференцируемы в точке то их произведение дифференцируемо в этой точке

1) Обозначим Сначала запишем приращения функций и в точке Из этих равенств получаем: Учитывая равенства (1), (2), имеем

2)

3) Поскольку функции и дифференцируемы в точке то при а то есть — Так как функция дифференцируема в точке а значит, и непрерывна в этой точке, то при значение

Учитывая, что предел суммы равен сумме пределов слагаемых (и постоянные множители и и и можно выносить за знак предела), получаем, что при

*Для обоснования того, что эта формула верна для любого натурального необходимо применить метод математической индукции.

Это означает, что то есть Таким образом,

Следствие (Правило 3).

Если функция и дифференцируема в точке а — постоянная, то функция си дифференцируема в этой точке

Коротко говорят:

• постоянный множитель можно выносить за знак производной.

Для доказательства используем правило 2 и известный из факт, что

Правило 4.

Если функции и дифференцируемы в точке и функция не равна, нулю в этой точке, то их частное также дифференцируемо в точке и

Эту формулу можно получить аналогично производной произведения. Но можно использовать более простые рассуждения, если принять без доказательства, что производная данного частного существует. Обозначим функцию через Тогда Найдем производную функции и по правилу дифференцирования произведения: Выразим из этого равенства а вместо подставим его значение Получим:Следовательно,

Используя правило нахождения производной произведения и формулу обоснуем, что производную функции при натуральном вычисляют по формуле

При получаем: Тот же результат дает и применение формулы (3):

При получаем: Тот же результат дает и применение формулы (3):

Приведенные соображения позволяют, опираясь на предыдущий результат, обосновать формулу для следующего значения Допустим, что формула (3) выполняется для то есть

Покажем, что тогда формула (3) верна и для следующего значенияДействительно,

Итак, если формула (3) выполняется при то она выполняется и для следующего значения Но тогда формула (3) выполняется и для следующего значения а значит, и для и т. д. для любого* натурального

Можно обосновать, что формула ( верна для любого действительного показателя степени (но только при тех значениях при которых определена ее правая часть).

Например, если или то при эта формула также верна. Действительно, если , то по формуле (3): что совпадает со значениями производных функций и 1.

Если — целое отрицательное число, то где — натуральное число. Тогда при

Следовательно, формула (3) выполняется и для любого целого показателя степени.

Если то при имеем Как известно (при ) Но по формуле (3)то есть формула (3) верна и при

*В приведенном обосновании фактически неявно использован метод математической индукции, который позволяет аргументированно сделать вывод, что рассмотренное утверждение выполняется для любого натурального (в данном случае ).

Производная сложной функции

Сложной функцией обычно называют функцию от функции. Если переменная является функцией от а в свою очередь, функцией от то является сложной функцией от то есть В таком случае говорят, что у является сложной функцией независимого аргумента а называют промежуточным аргументом.

Например, если — сложная функция, определенная только при тех значениях для которых то есть при (промежуточный аргумент ).

Правило 5 (производная сложной функции).

Если функция имеет производную в точке а функция — производную в точкето сложная функция также имеет производную в точке причем

Поскольку по условию функция имеет производную в точке то она является непрерывной в этой точке (с. 17), и тогда малому изменению аргумента в точке соответствуют малые изменения значений функции, то есть при (с. 15).

Из равенства имеем Тогда

Дальнейшее доказательство проведем только для функций , в которых в некоторой окрестности точки При представим следующим образом: Учитывая, что при а при получаем, что при (и соответственно ) Это означает, что то есть

Следовательно, производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу (обозначается) на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу (обозначается ).

Примеры решения задач:

Пример №53

Найдите производную функции:

Решение:

1) 2) Учитывая, что имеем 3) Учитывая, что имеем

Комментарий:

Напомним, что алгебраическое выражение (формулу, задающую функцию) называют по результату последнего действия, которое необходимо выполнить при нахождении значения заданного выражения. Следовательно, в задании 1 сначала необходимо найти производную суммы:

в задании 2 — производную произведения:

в задании 3 — производную частного:

Также в заданиях 1 и 2 нужно использовать формулу а в задании 2 учесть, что при вычислении производной постоянный множитель 2 можно вынести за знак производной. Можно заметно упростить решение задания 2, если сначала раскрыть скобки, а затем взять производную суммы.

Пример №54

Вычислите значение производной функциив точках:

Решение:

Ответ:

Комментарий:

Для нахождения значения производной в указанных точках достаточно найти производную данной функции и в полученное выражение подставить заданные значения аргумента. При вычислении производной необходимо учесть, что заданную разность можно рассматривать как алгебраическую сумму выражений и а при нахождении производной за знак производной вынести постоянный множитель В результате мы получаем разность производных функций и

Пример №55

Найдите значения при которых производная функции равна нулю.

Решение:

Ответ: 2.

Комментарий:

Чтобы найти соответствующие значения достаточно найти производную данной функции, приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение.

Пример №56

Найдите производную функции

Решение:

1) Учитывая, что получаем

2) Учитывая, что Получаем

Комментарий:

В заданиях 1 и 2 необходимо найти соответственно степени и корня, но степени и под знаком не аргумент , а выражения с этим аргументом (тоже функции от ). Следовательно, необходимо найти производные сложных функций. Обозначая (в черновике или мысленно) промежуточный аргумент через (для задания 1: для задания 2: ), по формуле записываем производные заданных функций с учетом формул и

Производные элементарных функций

1. (с — постоянная)
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 

Объяснение и обоснование:

Формулы (с — постоянная),  .

Для обоснования формулы используем то, что при малых значениях значения (например, ). Тогда при отношение то есть

Если то, применяя формулу преобразования разности синусов в произведение и схему нахождения производной по определению (с. 22), имеем:

1. 
2. 
3. При тогда а учитывая (1)

Следовательно, при то есть

Тогда производная функции в произвольной точке равна Таким образом,

*Справедливость этой формулы обоснована на с. 109.

Учитывая, что по формулам приведения и используя правило нахождения производной сложной функции, получаем:

Следовательно,

Для нахождения производных используем формулы и правило нахождения производной частного:

Следовательно,

Формулу докажите самостоятельно.

Примеры решения задач:

Пример №57

Найдите производную функции:

Решение:

1)

2)

Комментарий:

Последовательно определим, от какого выражения надо взять производную (ориентируясь на результат последнего действия).

В задании 1 сначала берут производную суммы: Затем для каждого из слагаемых используют правило вычисления производной сложной функции: берут производную от и и умножают на Полученный результат желательно упростить по формуле

В задании 2 сначала берут производную частного: а для производной знаменателя используют правило вычисления производной сложной функции (производная умножается на ).

Пример №58

Найдите значения при которых значение производной функции

1) равно нулю; 2) положительно; 3) отрицательно.

Решение:

Область определения данной функции: то есть

Область определения функции то есть производная существует на всей области определения данной функции кроме точки

(не входит в область определения). На области определения решим неравенства и методом интервалов (рис. 4.1):

Ответ: 1) значений при которых нет; 2) при 3) при

Комментарий:

Поскольку производная данной функции может существовать только в точках, входящих в область определения функции, то сначала целесообразно найти область определения данной функции.

Производная функции сама является функцией от поэтому для решения неравенств можно использовать метод интервалов. После нахождения ОДЗ соответствующего неравенства необходимо сопоставить ее с областью определения функции и продолжать решение неравенства на их общей части.

Следовательно, неравенства всегда решаются на общей части областей определения функций и Для решения соответствующих неравенств достаточно на общей области определения функций и отметить нули и найти знак в каждом из промежутков, на которые разбивается общая область определения.

Пример №59

Найдите уравнение касательной к графику функции в точке

Решение:

Если то Тогда Подставляя эти значения в уравнение касательной получаем то есть— искомое уравнение касательной.

Комментарий:

Уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой в общем виде записывается так:

Чтобы записать это уравнение для данной функции, необходимо найти производную и значение Для выполнения соответствующих вычислений удобно обозначить заданную функцию через а для нахождения ее производной использовать формулу производной произведения

Применение производной к исследованию функций

Применение производной к нахождению промежутков возрастания и убывания функции и экстремумов функции

Монотонность и постоянство функции:

Достаточное условие возрастания:

Если в каждой точке интервала () то функция возрастает на этом интервале.

Достаточное условие убывания:

Если в каждой точке интервала () то функция убывает на этом интервале.

Необходимое и достаточное условие постоянства функции:

Функция постоянна на интервале тогда и только тогда, когда во всех точках этого интервала.

Экстремумы (максимумы и минимумы) функции:

Точки максимума:

Точка из области определения функции называется точкой максимума той функции, если найдется такая ( ) точки что для всех из этой окрестности выполняется неравенство

Точки минимума:

Точка из области определения функции называется точкой минимума той функции, если найдется такая ( ) точки что для всех из этой окрестности выполняется неравенство

Точки максимума и минимума называю точками экстремума. Значения функции в точках максимума и минимума называют экстремумами (максимумом и минимумом) функции.

Критические точки:

Определение:

Критическими точками функции называют внутренние точки ее области определения, в которых производная равна нулю* или не существует.

Пример:

— существует на всей области определения. при — критические точки.

*Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю, называют еще стационарными точками.

Необходимое и достаточное условия экстремума:

Необходимое условие экстремума:

В точках экстремума производная функции равна нулю или не существует.

(но не в каждой точке где или не существует, будет экстремум)

Достаточное условие экстремума:

Если функция непрерывна в точке и производная меняет знак при переходе* через точку то — точка экстремума функции

Пример графика функции имеющей экстремумы ( — критические точки):

*Имеется в виду переход через точку х0 при движении слева направо. **Знакомобозначено возрастание функции, а знаком — ее убывание на соответствующем промежутке.

Исследование функции на монотонность и экстремумы:

Схема:

1. Найти область определения функции.

Пример:

Область определения:

Схема:

2. Найти производную

Пример:

Схема:

3. Найти критические точки, то есть внутренние точки области определения, в которых равна нулю или не существует.

Пример:

существует на всей области определения. при

Схема:

4. Отметить критические точки на области определения, найти знак производной и характер поведения функции на каждом из интервалов, на которые разбивается область определения.

5. Определить относительно каждой критической точки, является ли она точкой максимума либо минимума или не является точкой экстремума.

Пример:

Схема:

6. Записать результат исследования (промежутки монотонности и экстремумы).

Пример:

возрастает на промежутках убывает на Точки экстремума: Экстремумы:

Монотонность и постоянство функции

Производная является важным инструментом исследования функции. В частности, с помощью производной удобно исследовать функцию на монотонность, то есть па возрастание и убывание.

*Как отмечается на с. 54, поскольку функция непрерывна (например, вследствие того что она дифференцируема на всей области определения), то точки -1 и 1 можно включить в промежутки возрастания и убывания функции.

Напомним, что функция называется возрастающей на множестве если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее значение функции, то есть для любых и из этого множества из условия следует, что

Функция называется убывающей на множестве если большему значению аргумента из этого множества, соответствует меньшее значение функции, то есть для любых и из этого множества из условия вытекает, что

Как видно из рис. 5.1, а, в каждой точке графика возрастающей функции касательная образует с положительным направлением оси или острый угол (тогда ), или угол, равный нулю (тогда ). А в каждой точке графика убывающей функции (рис. 5.1, б) касательная образует с положительным направлением оси или тупой угол (тогда ), или угол, равный нулю (тогда ).

Следовательно, если на каком-нибудь интервале функция дифференцируема и возрастает, то на этом интервале; если на каком-нибудь интервале функция дифференцируема и убывает, то на этом интервале.

Но для решения задач на исследование свойств функций важными являются обратные утверждения, которые позволяют по знаку производной выяснить характер монотонности функции.

Для обоснования соответствующих утверждений воспользуемся так называемой формулой Лагранжа, строгое доказательство которой приводится в курсе математического анализа. Здесь мы ограничимся только ее геометрической иллюстрацией и формулировкой.

Пусть функция непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех точках интервала Тогда на этом интервале найдется такая точка в которой касательная к графику функции в точке с абсциссой с будет параллельна секущей проходящей через точки и (рис. 5.2).

Действительно, рассмотрим все возможные прямые, параллельные секущей и имеющие с графиком функции на интервале хотя бы одну общую точку. Прямая, которая находится на наибольшем расстоянии от секущей и будет касательной к графику функции (это предельное положение секущей, параллельной ).

Если обозначить абсциссу точки касания через то, учитывая геометрический смысл производной, получаем где — угол между прямой и положительным направлением оси . Но поэтому угол равен углу наклона секущей к оси , который, в свою очередь, равен углу прямоугольного треугольника с катетами A Тогда

Таким образом, можно сделать вывод: если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех точках интервала, то на интервале найдется такая точка в которой

Эта формула называется формулой Лагранжа.

Применим ее для обоснования достаточных условий возрастания и убывания функции.

1. Если в каждой т очке интервала то функция возрастает на этом интервале.
2. Если в каждой т очке интервала то функция убывает на этом интервале.

Возьмем две произвольные точки и из заданного интервала. По формуле Лагранжа существует число такое, что

Число с принадлежит заданному интервалу, поскольку ему принадлежат числа и. Пусть и тогда

Если в каждой точке заданного интервала, то и из равенства (1) получаем, что то есть Из этого следует, что функция возрастает на заданном интервале.

Если в каждой точке заданного интервала, то и из равенства (1) получаем, что то есть Это означает, что функция убывает на заданном интервале.

Пример:

Функция определена на всем множестве действительных чисел () и имеет производную при всех значениях Следовательно, эта функция возрастает на всей области определения.

Пример:

Функция определена на всем множестве действительных чисел () и имеет производную Поскольку то при всех значениях Следовательно, эта функция убывает на всей области определения.

Рассматривая степенную функцию в курсе 10 класса, мы без доказательства приняли, что при функция где — дробное число, возрастает при и убывает при Обоснуем это. Действительно, Тогда при и значение следовательно, функция возрастает, а при и значение следовательно, функция убывает.

Достаточные условия возрастания и убывания функции имеют наглядную физическую иллюстрацию. Пусть по оси ординат движется точка, которая в момент времени имеет ординату Учитывая физический смысл производной, получаем, что скорость этой точки в момент времени равна Если то точка движется в положительном направлении оси ординат и с увеличением времени ордината точки увеличивается, то есть функция возрастает. Если же то точка движется в отрицательном направлении оси ординат и с увеличением времени ее ордината уменьшается, то есть функция убывает.

Отметим, что в случае, когда скорость точки равна нулю, то есть точка не движется, поэтому ее ордината остается постоянной. Получаем условие постоянства функции.

Функция является постоянной на интервале тогда и только тогда, когда во всех точках этого интервала.

Действительно, если (где — постоянная), то Наоборот, если во всех точках интервала то зафиксируем некоторое число из этого интервала и найдем значение функции в точке (пусть ). Для любого числа из заданного интервала по формуле Лагранж а можно найти такое число которое содержится между и что

Тогда

Поскольку то по условию Следовательно, Таким образом, для всех из заданного интервала то есть функция является постоянной.

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции необходимо решить неравенства на области определения функции Поскольку является функцией переменной то для решения этих неравенств можно использовать метод интервалов, точнее, его обобщение, которое основывается на утверждении, называемом в курсе математического анализа теоремой Дарбу*: точки, в которых производная равна нулю или не существует, разбивают область определения функции на промежутки, в каждом из которых сохраняет постоянный знак.

Внутренние** точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называют критическими точками этой функции.

Согласно плану решения неравенств методом интервалов (с. 7), промежутки возрастания и убывания функции можно находить по схеме:

1. Найти область определения функции .
2. Найти производную
3. Выяснить, в каких внутренних точках области определения функции производная равна нулю или не существует (то есть найти критические точки этой функции).
4. Отметить найденные точки на области определения функции и найти знак в каждом из промежутков, на которые разбивается область определения функции (знак можно определить, вычислив значение в любой точке промежутка).

Пример №60

Исследуем функцию на возрастание и убывание.

Решение:

1. Область определения данной функции — все действительные числа: 2. Производная 3. Производная существует па всей области определения функции; если Рис. 5.3 то есть при или . 4. Решаем неравенства и на области определения функции методом интервалов. Для этого отмечаем точки 1 и (-1) па области определения функции и находим знак в каждом из полученных промежутков (рис. 5.3).

Учитывая достаточные условия возрастания и убывания функции, получаем, что на тех интервалах, где производная положительна, функция возрастает, а па тех интервалах, где производная отрицательна, — убывает.

*Жан Гастон Дарбу (1842-1917) — французский математик, внесший значительный вклад в развитие дифференциальной геометрии, интегрального исчисления и механики.

**Внутренней точкой множества называется точка, которая принадлежит этому множеству вместе с некоторой своей окрестностью.

Следовательно, функция возрастает на интервалах и и убывает на интервале

График функции изображен на рис. 5.4. При построении графика учтено, что Из графика видно, что функция возрастает не только на интервалах и , но и на промежутках и убывает не только на интервале но и на отрезке

Всегда, когда функция непрерывна в любом из концов промежутка возрастания (убывания), его можно присоединить к этому промежутку (как точки -1 и 1 в предыдущей задаче). Примем это утверждение без доказательства.

Экстремумы (максимумы и минимумы) функции

Рассмотрим окрестность точки на графике функции то есть произвольный интервал, содержащий точку -1 (например, этой точки). Как видно из рис. 5.4, существует такая окрестность точки что наибольшее значение для точек из этой окрестности функция принимает в точке Например, на интервале (-2; 0) наибольшее значение, равное 2, функция принимает в точке Точку называют точкой максимума этой функции и обозначают а значение функции в этой точке называют максимумом функции (от латинского слова maximum — максимум, что означает «наибольшее»).

Аналогично точку называют точкой минимума функции поскольку значение функции в этой точке меньше, чем ее значение в любой точке некоторой окрестности точки 1, например окрестности Обозначают точку минимума а значение функции в этой точке называют минимумом функции (minimum — минимум, в переводе с латинского «наименьшее»).

Точки максимума и минимума функции еще называют точками экстремума, а значения функции в этих точках — экстремумами функции (от латинского слова extremum — экстремум, что означает «крайний»).

Точку из области определения функции называют точкой максимума этой функции, если найдется точки такая, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство

Точку из области определения функции f (х) называют точкой минимума этой функции, если найдется точки такая, что для всех из этой окрестности вы полняется неравенство

По определению значение функции в точке максимума является наибольшим среди значений функции из некоторой окрестности этой точки, поэтому график функции в окрестности точки чаще всего имеет вид гладкого «холма» (рис. 5.5, а), но может иметь и вид заостренного «пика» (рис. 5.5, б). В точке максимума также может быть изолированная точка графика (понятно, что в этом случае функция не будет непрерывной в точке ), в которой достигается наибольшее значение функции для некоторой окрестности точки (рис. 5.5, в).

Аналогично значение функции в точке минимума является наименьшим среди значений функции из некоторой окрестности этой точки, поэтому график функции в окрестности точки обычно имеет вид «впадины» — гладкой (рис. 5.6, а) или заостренной (рис. 5.6, б). В точке минимума также может быть изолированная точка графика, в которой достигается наименьшее значение функции для некоторой окрестности точки (рис. 5.6, в).

Замечание. По определению точки экстремума — это такие точки, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значение по сравнению со значениями этой функции в точках некоторой окрестности экстремальной точки. Такой экстремум обычно называют локальным (от латинского lokalis — «местный»). Например, на рис. 5.4 изображен график функции которая имеет локальный максимум в точке и локальный минимум в точке но, как видно из графика, на всей области определения эта функция не имеет пи наибольшего, ни наименьшего значения.

Необходимое и достаточное условия экстремума

При исследовании функции и построении ее графика важное значение имеет нахождение точек экстремумов функции. Покажем, что точками экстремума могут быть только критические точки функции, то есть внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует.

Теорема Ферма (необходимое условие экстремума).

Если является точкой экстремума функции и в этой точке существует производная то она равна нулю:

Докажем это утверждение методом от противного. Пусть является точкой экстремума функции и в этой точке существует производная

Допустим, что

Рассмотрим случай, когда По определению производной при (то есть при ) отношение стремится к положительному числу следовательно, и само будет положительным при всех , достаточно близких к Для таких

Тогда при получаем, что и, значит, точка не может быть точкой максимума.

При получаем, что следовательно, точка не может быть точкой минимума, то есть не может быть точкой экстремума, что противоречит условию.

Аналогично рассматривается и случай, когда

Отметим, что теорема Ферма дает только необходимое условие экстремума: из того, что не обязательно следует, что в точке функция имеет экстремум. Например, если то и Но точка не является точкой экстремума, поскольку функция возрастает на всей числовой прямой (рис. 5.7).

Теорема Ферма имеет наглядный геометрический смысл: касательная к графику функции в точке с абсциссой (где — точка экстремума функции) параллельна оси абсцисс (или совпадает с ней), поэтому ее угловой коэффициент равен нулю (рис. 5.8).

В точке с абсциссой к графику функции также можно провести касательную: поскольку то этой касательной является ось Но графики функций (рис. 5.7, 5.8) по-разному расположены относительно касательных. На рис. 5.8, где и — точки экстремума, можно указать окрестности этих точек, для которых соответствующие точки графика располагаются по одну сторону от касательной, а на рис. 5.7 график функции при переходе аргумента через точку (в которой производная равна нулю, но которая не является точкой экстремума) переходит с одной стороны касательной на другую. В этом случае точку называют точкой перегиба* функции.

Функция может иметь экстремум и в той критической точке, в которой не существует производная данной функции. Например, как было показано на с. 26, функция не имеет производной в точке но, как следует из ее определения и как видно из графика (рис. 5.9), именно в этой точке функция имеет минимум.

Отметим, что не каждая критическая точка, в которой не существует производная данной функции, будет точкой экстремума этой функции. Например, функция не имеет производной в точке : график имеет излом при (рис. 5.10). Действительно, если допустить, что функция имеет производную в точке 0, то функция f (х) — Зх также должна иметь производную в точке 0. Так как а функцияне имеет производной в точке 0, значит, функция не имеет производной в точке 0, то есть мы пришли к противоречию.

*Более детально о точках перегиба см. на с. 133. Отметим, что в точке перегиба производная не обязательно должна быть равна нулю.

Следовательно, функция в точке 0 производной не имеет. Но, как видно из рис. 5.10, функция возрастает на всей числовой прямой и экстремума не имеет.

Приведенные соображения и примеры показывают, что для нахождения точек экстремума функции необходимо прежде всего найти ее критические точки. Для выяснения того, является ли соответствующая критическая точка точкой экстремума, необходимо провести дополнительное исследование. Этому часто помогают достаточные условия существования экстремума в точке.

Теорема 1 (признак максимума функции):

Если функция непрерывна в точке и при переходе через точку ее производная меняет знак с плюса на минус (то есть в некоторой точки при значение а при значение то точка является точкой максим ум а функции .

Рассмотрим заданную точки то есть интервал ( ). По условию производная на интервале () (при). Таким образом, функция возрастает на этом интервале, а учитывая непрерывность в точке функция возрастает и на промежутке Тогда для всех из интервала имеем следовательно,

Аналогично по условию производная на интервале (при ). Таким образом, функция убывает на этом интервале, а с учетом непрерывности в точке функция убывает и на промежутке Тогда для всех из интервала имеем следовательно,

И так, для всех из некоторой точки , а значит, точка является точкой максимума функции .

Теорема 2 (признак минимума функции):

Если функция непрерывна в точке и при переходе через точку ее производная меняет знак с минуса на плюс (то есть в некоторой точки при значение а при значение то точка является точкой минимума функции .

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1 (предлагаем провести его самостоятельно).

Теоремы 1 и 2 дают возможность сделать такой вывод: если функция непрерывна в точке и производная меняет знак при переходе через точку , то — точка экстремума функции /* (х).

Если же функция непрерывна в точке и ее производная не меняет знак при переходе через точку , то точка не может быть точкой экстремума функции.

Действительно, если, например, на интервалах и то функция возрастает на каждом из этих интервалов. Учитывая ее непрерывность в точке (см. доказательство теоремы 1), получаем, что для всех выполняется неравенство и для всех выполняется неравенство Это означает, что на всем промежутке функция возрастает и точка не является точкой экстремума.

Аналогично рассматривается случай, когда на этих же интервалах

Замечание. Приведенное обоснование позволяет уточнить условия возрастания и убывания функции.

Если в каждой точке интервала причем уравнение имеет только конечное (или счетное*) множество корней, то функция f (х) возрастает на этом интервале.

Если в каждой точке интервала причем уравнение имеет только конечное (или счетное) множество корней, то функция убывает на этом интервале.

Для практического исследования функции на экстремумы можно использовать уточненный вариант схемы:

1. Найти область определения функции.
2. Найти производную
3. Найти критические точки (то есть внутренние точки области определения, в которых равна нулю или не существует).
4. Отметить критические точки на области определения, найти знак производной и характер поведения функции на каждом из интервалов, на которые разбивается область определения.
5. Относительно каждой критической точки определить, является ли она точкой максимума или минимума или не является точкой экстремума .

*Счётность множества означает, что мы можем установить взаимно однозначное соответствие между элементами этого множества и натуральными числами, то есть можем указать, как занумеровать все элементы множества.

Примеры решения задач:

Пример №61

Функция определена на промежутке (-7; 8). На рис. 5.11 изображен график ее производной.

1. Укажите промежутки возрастания и убывания функции
2. Найдите критические точки функции. Определите, какие из них являются точками максимума, какие — точками минимума, а какие не являются точками экстремума.

Решение:

1) Из графика имеем, что на промежутках (-4; 2) и (6; 8), следовательно, возрастает на этих промежутках. Аналогично на промежутках (-7 ; -4 ) и (2; 6), а значит, убывает на этих промежутках.

Поскольку в точках -4 , 2 и 6 существует производная то функция непрерывна в этих точках и их можно включить в промежутки возрастания и убывания.

Ответ: возрастает на промежутках [-4 ; 2] и [6; и убывает на промеж утках (-7 ; -4] и [2; 6].

2) Производная существует на всей области определения функции и равна нулю в точках -4 , 2 и 6. Это внутренние точки области определения, следовательно, критическими точками будут только точки -4 , 2 и 6.

Поскольку производная существует па всей области определения, то функция непрерывна в каждой точке области определения.

В точках -4 и 6 производная меняет знак с «-» на « + », следовательно, это точки минимума.

В точке 2 производная меняет знак с « + » на «-», следовательно, это точка максимума. Ответ:

Комментарий:

1) Как известно, на тех промежутках, где производная функции положительная, функция возрастает, а на тех промеж утках, где производная отрицательная, — убывает, Поэтому по графику выясняем промежутки, в которых производная положительна и в которых — отрицательна. Это и будут промежутки возрастания и убывания функции.

2) Критические точки — это внутренние точки области определения, в которых производная равна нулю или не существует. Из графика видно, что производная существует на всей заданной области определения.

Следовательно, критическими точками будут только те значения при которых производная равна нулю.

Для определения того, является ли критическая точка точкой экстремума, используем достаточные условия экстремума: если в критической точке функция непрерывна и ее производная меняет знак с «+» на «-», то это точка максимума, а если с «-» на « + » — точка минимума.

Пример №62

Для функции найдите промежутки монотонности, точки экстремума и значения функции в точках экстремума.

Решение:

1. Область определения, то есть 2. 3. Производная существует на всей области определения функции Тогда следовательно, то есть и — критические точки. 4. Отмечаем критические точки па области определения функции и находим знак в каждом из полученных промежутков (рис. 5.12).

Получаем, что функция возрастает на промежутках (-оо; -5 ] и [5; +оо) и убывает на промежутках [-5 ; 0) и (0; 5]. В точке -5 производная меняет знак с « + » на «-», следовательно, это точка максимума; в точке 5 производная меняет знак с «-» на « + », то есть это точка минимума, а значит,

Комментарий

Исследовать функцию на монотонность и экстремум можно по схеме:

1. Найти область определения функции.
2. Найти производную
3. Найти критические точки (то есть внутренние точки области определения, в которых равна нулю или не существует).
4. Отметить критические точки на области определения, найти знак производной и характер поведения функции на каждом из интервалов, на которые разбивается область определения.
5. Относительно каждой критической точки определить, является ли она точкой максимума или минимума или не является точкой экстремума.

Функция непрерывна (и дифференцируема) в каждой точке области определения, поэтому, записывая промежутки возрастания и убывания функции, критические точки можно включить в эти промежутки. Для выяснения того, является ли критическая точка точкой экстремума, используем достаточные условия экстремума.

Замечание. Результаты исследования функции на монотонность и экстремумы удобно фиксировать не только в виде схемы, изображенной на рис. 5.12, но и в виде специальной таблицы:

Пример №63

Найдите промежутки монотонности, точки экстремума и экстремумы функции:

Комментарий:

Для исследования заданных функций используем схему, приведенную на с. 59. В задании 1, используя определение модуля, отдельно найдем производную при Чтобы выяснить, существует ли производная попытаемся найти значения по формулам (1) и (2), приведенным далее в решении, и сравнить их . Чтобы найти точки, в которых приравняем к нулю значения производной и учтем соответствующие ограничения для В задании 2 учтем, что — это тригонометрическое уравнение, имеющее бесконечное множество корней, то есть функция имеет бесконечное количество критических точек, поэтому отметить их все на области определения функции (как это предлагается в схеме исследования функции) мы не в состоянии. В таком случае можно попытаться непосредственно использовать достаточные признаки возрастания и убывания функции (то есть решить неравенства и или в случае, когда функция является периодической, провести исследование поведения на одном периоде, а затем результат повторить через период. вторить через период. В случае, когда определена на всем периоде и мы знаем промежутки, где выполняется неравенство и точки, где выполняется равенство для всех остальных точек периода обязательно будет выполняться неравенство

*Фактически мы будем сравнивать значения так называемых односторонних производных функции f (х) в точке (-1). Эти производные определяются аналогично односторонним пределам функции (см. с. 102).

Решение:

1) Область определения: Запишем заданную функцию так:

Тогда

Производная не существует в точке поскольку значения вычисленные по формулам (1) и (2), разные следовательно, — критическая точка функции . Значение , вычисленное по формуле (2), не может равняться нулю Для формулы (1) имеем то есть но, учитывая условие получаем, что только является критической точкой. Это означает, что функция имеет две критические точки: 2 и (-1).

Отмечаем критические точки на области определения функции и находим знак на каждом из промежутков (рис. 5.13). Получаем, что функция возрастает на промежутках и и убывает на промежутке

В точке (-1 ) производная меняет знак с « + » на « -» , следовательно, это точка максимума. В точке 2 производная меняет знак с «-» на « + », а значит, это точка минимума. Тогда

2) Область определения: Производная Критические точки: поскольку производная существует на всей области определения функции критическими точками будут все значения для которых Тогда или Следовательно, (Значение дает и формула при поэтому все критические точки можно задать формулой Функция возрастает в тех точках ее области определения, где

Имеем:

Первая система не имеет решений ( не может быть больше 1), а вторая система имеет решение (рис. 5.14):

Производная является периодической функцией (относительно переменной ) с периодом (это общий период для функций и ). На периоде неравенство выполняется на промежутке а равенство в точках то есть в точках 0, Тогда неравенство выполняется на промежутке а учитывая период, и на всех промежутках Принимая во внимание условия возрастания и убывания функции и то, что функция непрерывна на всей числовой прямой (она дифференцируема во всех точках), получаем, что функция возрастает на каждом из промежутков и убывает на каждом из промежутков

Поскольку производная является периодической функцией с периодом то через промежуток длиной знаки производной повторяются (рис. 5.15). В точке 0 производная меняет знак с «4-» на « -» , следовательно, — точка максимума, а учитывая, что поведение повторяется через , имеем Тогда В точке производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, — точка минимума, а учитывая, что поведение повторяется через , имеем Тогда

Схема исследования функции для построения ее графика

Схема исследования функции

1. Найти область определения функции.

Пример:

Постройте график функции 1. Область определения:

Схема исследования функции

2. Выяснить, является ли функция четной или нечетной (или периодической*).

Пример:

2. Функция ни четная, ни нечетная, поскольку и

Схема исследования функции

3. Найти точки пересечения графика с осями координат (если это возможно).

Пример:

3. График не пересекает ось На оси — абсцисса точки пересечения графика с осью

Схема исследования функции:

4. Найти производную и критические точки функции.

Пример:

Производная существует па всей области определения функции (значит, функция непрерывна в каждой точке своей области определения).

При имеем:

— критическая точка.

*Периодичность чаще всего устанавливают для тригонометрических функций.

Схема исследования функции:

5. Найти промежутки возрастания и убывания функции и точки экстремума (и значение функции в этих точках).

Пример:

5. Отметим критические точки на области определения, определим знак производной и характер поведения функции на каждом из промежутков, на которые разбивается область определения.

Итак, функция возрастает на промежутках и убывает на промежутке Поскольку в критической точке 2 производная меняет знак с «-» на « + », то — точка минимума: Тогда

Схема исследования функции:

6. Исследовать поведение функции на концах промежутков области определения (этот этап не входит в минимальную схему исследования функции).

Пример:

6.

При справа (и при слева) При (и при ) значение тогда** (то есть при и при

Схема исследования функции:

7. Если необходимо, найти координаты дополнительных точек, чтобы уточнить поведение графика функции.

Пример:

*В этом случае говорят, что прямая — вертикальная асимптота графика функции (см. с. 117).

**В этом случае говорят, что прямая — наклонная асимптота графика функции .

Схема исследования функции:

8. На основании проведенного исследования построить гарфик функции.

Пример:

Объяснение и обоснование:

Для построения графика функции (особенно в тех случаях, когда речь идет о незнакомой функции) целесообразно исследовать ее свойства, которые помогают составить определенное представление о виде ее графика. Когда такое представление составлено, можно построить график функции по найденным характерным точкам. Фактически при исследовании функции мы будем придерживаться схемы, только для исследования функции на возрастание, убывание и экстремумы используем производную.

Таким образом, для построения графика функции ее можно исследовать по схеме:

1. найти область определения функции;
2. исследовать функцию на четность/нечетность и периодичность;
3. найти точки пересечения графика с осями координат;
4. найти производную и критические точки функции;
5. найти промежутки возрастания, убывания и точки экстремума (и значения функции в этих точках);
6. исследовать поведение функции на концах промежутков области определения;
7. если необходимо, найти координаты дополнительных точек;
8. на основании проведенного исследования построить график функции.

Эта схема — ориентировочная, и не всегда нужно выполнять все этапы исследования. Например, иногда нельзя точно найти точки пересечения графика с осью даже если мы знаем, что такие точки существуют. Также бывает сложно исследовать поведение функции на концах промежутков области определения. В таком случае уточнить ее поведение можно за счет нахождения координат точек графика функции, абсциссы которых приближаются к концам промежутков области определения.

Охарактеризуем особенности выполнения каждого из указанных этапов исследования функции и особенности учета полученных результатов при построении графика функции.

1. В первую очередь, необходимо выяснить и записать область определения. Если нет специальных ограничений, то функцию считают заданной при всех значениях аргумента, при которых существуют все выражения, входящие в запись функции. Ограничения, которые следует учесть при нахождении области определения функции, приведены ниже:

Вид функции:

1.

Ограничения , которые учитываются при нахождении области определения функции*

1 . Знаменатель дроби не равен нулю

Вид функции:

2.

Ограничения , которые учитываются при нахождении области определения функции:

2. Под знаком корня четной степени может стоять только неотрицательное выражение

Вид функции:

3.

Ограничения , которые учитываются при нахождении области определения функции:

3. Под знаком тангенса может стоять только выражение, не равное ( — любое целое число)

Вид функции:

4.

Ограничения , которые учитываются при нахождении области определения функции:

4. Под знаком котангенса может стоять только выражение, не равное ( — любое целое число)

Вид функции:

5 .

6.

Ограничения , которые учитываются при нахождении области определения функции:

5,6.

Под знаками арксинуса и арккосинуса может стоять только выражение, модуль которого меньше или равен единице

Вид функции:

7.

Ограничения , которые учитываются при нахождении области определения функции

7.

*При записи этих ограничений предполагаем, что функции и определены на рассматриваемом множестве.

После нахождения области определения функции полезно отметить ее на оси абсцисс. Если область определения — вся числовая прямая, то никаких отметок можно не выполнять. Если эта область — промежуток числовой прямой, то через его концы полезно провести вертикальные прямые, между которыми будет находиться график функции. Если отдельные точки числовой прямой не входят в область определения функции, то целесообразно отметить их на оси абсцисс и провести через них вертикальные прямые, не пересекающие график функции.

2. Если выяснится, что заданная функция четная (или нечетная), то можно исследовать свойства и построить ее график только при а затем отобразить его симметрично относительно оси (для четной) или относительно начала координат (для нечетной). Если же функция периодическая, то достаточно построить ее график на отрезке длиной , а затем повторить его на каждом из промежутков длиной (то есть перенести график параллельно вдоль оси на где — целое число).

Для обоснования четности функции достаточно проверить, что для всех из ее области определения для нечетности — выполнение равенства а для периодичности — равенства при условии, что если входит в область определения функции (где ) также входят в нее.

3. Чтобы найти точки пересечения графика с осями координат, учитываем, что на оси значение Тогда (если это значение существует). На оси значение поэтому для нахождения соответствующих значений приравниваем заданную функцию к нулю и находим корни полученного уравнения (если его удается решить).

4. Далее полезно найти производную и критические точки функции — внутренние точки ее области определения, в которых производная равна нулю или не существует. На всех промежутках, где существует производная данной функции, эта функция непрерывна и ее график на каждом из промежутков — неразрывная линия.

5. Используя производную и критические точки функции, находим промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции (и значения функции в этих точках). Целесообразно отметить критические точки функции на ее области определения и найти знаки производной в каждом из промежутков, на которые разбивается область определения. Вывод о возрастании или убывании функции на промежутке между критическими точками часто можно сделать, сравнив значения функции на концах этого промежутка (вместо определения знака производной).

Результаты этого этапа исследования можно оформить в виде специальной таблицы:

После нахождения значения функции в каждой критической точке строим соответствующие точки на координатной плоскости, учитывая поведение графика функции в окрестности точки

Критическая точка

— точка максимума

Поведение

а) меняет знак в точке с « + » на «-»

б) меняет знак в точке с « + » на «-»

Ориентировочный вид графика функции в окрестности точки

а) б)

Критическая точка

— точка минимума

Поведение

а) меняет знак в точке с « — » на «+»

б) меняет знак в точке с « — » на «+»

Ориентировочный вид графика функции в окрестности точки

а)б)

Критическая точка

— критическая точка, в которой производная рана нулю, но которая не является точкой экстремума

Поведение

а) слева и справа от точки положительная

б) слева и справа от точки отрицательная

Ориентировочный вид графика функции в окрестности точки

а)б)

При изображении графика функции в окрестности точки учитывают геометрический смысл производной: если то в точке с абсциссой к графику функции можно провести касательную, параллельную оси Если же значение не существует, то в точке с абсциссой график будет иметь излом (или касательную к графику функции в этой точке провести нельзя, или касательная перпендикуляр на к оси ).

6. Для более полного представления о виде графика функции, целесообразно исследовать поведение, функции на концах области определения. При этом возможны несколько случаев.

а) Около точки ограничивающей промежуток области определения, значение функции стремится к бесконечности. Например, у функции область определения — то есть и если значение стремится к пулю, то значение — к бесконечности (рис. 5.19).

Как отмечалось на этапе 1, через точку уже проведена вертикальная прямая. Около точки график функции будет стремиться вверх или вниз, приближаясь к этой прямой. Ее называют вертикальной асимптотой* графика функции. Чтобы выяснить, вверх или вниз стремится график функции, достаточно определить знаки функции слева и справа от точки Характерные случаи изображены на рис. 5.20, 5.21.

б) Если предельная точка входит в область определения функции, то надо определить значение функции в точке а и построить полученную точку. Типичный пример — точка для функции рис (5.22).

в) В область определения функции входит бесконечный промежуток (либо вся числовая прямая, либо промежутки или ). В этом случае полезно представить себе поведение графика функции при или при . Например, для функции имеем: при значение оставаясь положительным (записываем: ). А при значение оставаясь отрицательным (записываем: ). В этом случае говорят, что прямая — горизонтальная асимптота графика функции (см. рис. 5.19).

Иногда при или при можно выделить наклонную прямую, к которой неограниченно приближается график функции, — так называемую наклонную асимптоту, позволяющую лучше представить поведение графика функции.

7. Если нужно уточнить поведение графика функции (например, когда на каком-нибудь бесконечном промежутке области определения функция возрастает ), следует найти координаты дополнительных точек графика, взяв произвольные значения аргумента из необходимого промежутка.

*Прямую, к которой неограниченно приближается кривая при удалении ее в бесконечность, называют асимптотой этой кривой (подробнее см. на с. 115).

• Заказать решение задач по высшей математике

Примеры решения задач

Пример №64

Постройте график функции

Решение:

1. Область определения:

2. Функция не является ни четной, ни нечетной, поскольку

3. Точка пересечения графика с осью

4. Производная и критические точки. Производная существует на всей области определения функции Тогда следовательно, то есть и — критические точки.

5. Отмечаем критические точки на области определения функции и находим знак на каждом из полученных промежутков (рис. 5.23).

Составляем таблицу, в которой отмечаем промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции:

6. Найдем значения функции в нескольких точках:

7. Используя результаты исследования, строим график функции (рис. 5.24).

Комментарий

Используем общую схему исследования функции (с. 69). При нахождении области определения учитываем, что никаких ограничений, зафиксированных в табл. 8, функция не имеет, значит, областью определения является множество всех действительных чисел (можно использовать известное утверждение, что областью определения многочлена являются все деиствительные числа). Чтобы найти точку пересечения графика с осью нужно приравнять функцию к нулю и решить уравнение

Но мы не можем найти корни этого уравнения, поэтому в решение включено лишь нахождение точки пересечения графика с осью

Когда уже известны производная данной функции, ее критические точки и знаки производной в каждом из промежутков, на которые критические точки разбивают область определения функции, удобно находить промежутки возрастания и убывания и экстремумы функции, заполняя специальную таблицу.

Обратим внимание: функция непрерывна на всей числовой прямой, поскольку дифференцируема в каждой точке области определения, а значит, ее график — неразрывная линия.

Для уточнения вида графика целесообразно найти координаты нескольких дополнительных точек.

После построения графика функции можно сделать вывод, что он имеет единственную точку пересечения с осью Она находится между точками поскольку функция непрерывна, на промежутке возрастает, в точке принимает отрицательное значение, а в точке — положительное. Других точек пересечения с осью быть не может, потому что на промежутке функция возрастает а на промежутке — убывает то есть значения функции на этих промежутках отрицательны.

Замечание:

При построении графика функции мы не исследовали поведение функции на концах промежутков ее области определения. Покажем, как это можно сделать. Область определения данной функции — промежуток Чтобы исследовать поведение функции на концах промежутков области определения, необходимо выяснить, к какому значению будет стремиться функция при Для этого в многочлене достаточно вынести за скобки наивысшую степень переменной (это всегда можно сделать, так как когда значение велико по модулю).

Тогда при имеем Поскольку при значения и то Следовательно, будет стремиться к тому же значению, что и Но при значение тогда и а при значение тогда и Учитывая непрерывность функции получаем, что она принимает все значения из промежутка Приведенные соображения можно повторить для любой функции — многочлена нечетной степени. Тогда, строя графики таких функций, полезно помнить, что многочлен нечетной степени принимает все значения из промежутка и при больших по модулю значениях аргумента поведение многочлена будет аналогично поведению степенной функцией — его старшего члена.

Пример №65

1) Постройте график функции 2*) Сколько корней имеет уравнение в зависимости от значения параметра

Комментарий:

Для выполнения задания 1 исследуем функцию по общей схеме и по результатам исследования построим ее график. Для нахождения точки пересечения графика с осью приравниваем функцию к нулю и решаем полученное биквадратное уравнение. При построении графика также учитываем, что при значение

Как видим, и для многочлена четной степени при больших по модулю значениях аргумента поведение многочлена будет аналогично поведению степенной функции — его старшего члена.

При выполнении задания 2 можно пользоваться таким ориентиром: если в задании с параметром идет речь о количестве решений уравнения (неравенства или системы), то для анализа данной ситуации часто удобно использовать графическую иллюстрацию решения.

Особенно простым является исследование в том случае, когда заданное уравнение можно представить в виде поскольку график функции — это прямая, параллельная оси (которая пересекает ось в точке ), а график функции легко построить, исследовав функцию с помощью производной. (Заменяя заданное уравнение па уравнение необходимо следить за равносильностью выполненных преобразований, чтобы полученное уравнение имело те же корни, что и заданное. Следовательно, и количество корней у них будет одинаковым.) Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение достаточно узнать, сколько точек пересечения имеет график функции с прямой при разных значениях параметра (Для этого на рисунке целесообразно изобразить все характерные положения прямой.)

Решение:

1) Исследуем функцию 1. Область определения :

2. Функция четная, поскольку для всех значений из ее области определения

Следовательно, график функции симметричен относительно оси

3. Точка пересечения графика с осью Точки пересечения графика с осью Замена дает: Тогда (корней нет) или Отсюда — абсциссы точек пересечения графика с осью

4. Производная и критические точки, Производная существует на всей области определения функции (следовательно, функция непрерывна на всей числовой прямой). Тогда значит, — критические точки.

5. Отмечаем критические точки на области определения функции и находим знак на каждом из полученных промежутков (рис. 5.25). Составляем таблицу, в которой отмечаем промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции:

6. Используя результаты исследования, строим график* функции (рис. 5.26).

2) Заданное уравнение равносильно уравнению Решим последнее уравнение графически: построим графики функций (см. задание 1) и (рис. 5.27). Как видим, при уравнение не имеет корней (нет точек пересечения графиков); при уравнение имеет два корня (графики имеют только две общие точки); при уравнение имеет три корня (графики имеют три общие точки) и при уравнение имеет четыре корня (графики имеют четыре общие точки).

*Масштаб по осям и разный.

Наибольшее и наименьшее значения функции

1. Наибольшее и наименьшее значения функции, непрерывной на отрезке

Свойство:

Если функция непрерывна на отрезке и имеет на нем конечное число критических точек, то она принимает наибольшее и наименьшее значения на этом отрезке, или в критических точках, принадлежащих этому отрезку, или на концах отрезка.

Примеры:

2. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на отрезке

Схема:

1. Убедиться, что заданный отрезок входит в область определения функции

Пример:

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

Область определения заданной функции — все действительные числа Следовательно, заданный отрезок входит в область определения функции

Схема:

2. Найти производную

Пример:

Схема:

3. Найти критические точки: или не существует.

Пример:

существует на всей области определения функции (значит, функция непрерывна на заданном отрезке).

Схема:

4. Выбрать критические точки, принадлежащие заданному отрезку.

Пример:

Заданному отрезку принадлежит только критическая точка

Схема:

5. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка.

Пример:

Схема:

6. Сравнить полученные значения функции и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

Пример:

3. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на интервале

Свойство:

Если непрерывная функция имеет на заданном интервале только одну точку экстремума и это точка минимума, то на заданном интервале функция принимает свое наименьшее значение в точке .

Иллюстрация:

Свойство:

Если непрерывная функция имеет на заданном интервале только одну точку экстремума и это точка максимума, то на заданном интервале, функция принимает свое наибольшее значение в точке .

Иллюстрация:

4. Задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции

Схема:

1. Одну из искомых величин (или величину, с помощью которой можно дать ответ на вопрос задачи), обозначить через (и по смыслу задачи наложить ограничения на ).

Пример:

Имеется кусок проволоки длиной 100 м. Необходимо огородить им прямоугольный участок наибольшей площади. Найдите размеры участка.

Пусть участок имеет форму прямоугольника (см. рисунок) со стороной

Так как проволока будет натянута по периметру прямоугольника, получаем: т. е. Отсюда Поскольку длина каждой стороны прямоугольника — положительное число, то

Схема:

2. Величину, о которой говорится, что она наибольшая или наименьшая, выразить как функцию от

Пример:

Площадь прямоугольника:

Схема:

3. Исследовать полученную функцию на наибольшее или наименьшее значение (чаще всего с помощью производной).

Пример:

Исследуем функцию с помощью производной. Производная существует при всех действительных значениях (значит, — непрерывная функция на заданном промежутке). — критическая точка.

В точке производная меняет знак с «+» на «-» (см. рисунок), следовательно, — точка максимума. Поскольку непрерывная функция имеет на заданном интервале (0; 50) только одну точку экстремума и это точка максимума, делаем вы вод: на заданном интервале функция принимает свое наибольшее значение в точке *.

Схема:

4. Убедиться, что полученный результат имеет смысл для исходной задачи.

Пример:

Итак, площадь огороженного участка будет наибольшей, если стороны прямоугольника равны: то есть если участок будет иметь форму квадрата со стороной 25 м.

Наибольшее и наименьшее значения функции, непрерывной на отрезке

Человеку в жизни часто приходится искать лучшее, или, как говорят, оптимальное решение поставленной задачи. Часть таких задач удается решить с помощью методов математического анализа — это задачи, которые можно свести к нахождению наибольшего или наименьшего значения функции. В курсах математического анализа доказывается теорема Вейер-штрасса: непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения, то есть существуют точки отрезка в которых принимает наибольшее и наименьшее на значения.

*В этой задаче можно было исследовать функцию и без применения производной. — квадратичная функция, ее график — парабола с ветвями, направленными вниз. Тогда наибольшее значение эта функция принимает в вершине параболы, то есть при Это значение находится в заданном интервале (0; 50), следовательно, на этом интервале функция принимает наибольшее значение при

Рассмотрим случай, когда непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке только конечное число критических точек. Тогда имеет место свойство:

• если функция непрерывна на отрезке и имеет на нем конечное число критических точек, то она принимает наибольшее и наименьшее значения на этом отрезке, или в критических точках, принадлежащих этому отрезку, или на концах отрезка.

Геометрическая иллюстрация этого свойства приведена в п. 1

1) Сначала рассмотрим случай, когда непрерывная на отрезке функция не имеет на нем критических точек. Тогда на отрезке производная сохраняет постоянный знак (см. с. 53), следовательно, функция на отрезке возрастает (рис. 5.28, а) или убывает (рис. 5.28, б). Поэтому наибольшее и наименьшее значения функции па отрезке — это значения па концах отрезка в точках

2) Пусть теперь функция имеет на отрезке конечное число критических точек. Они разбивают отрезок на конечное число отрезков, внутри которых критических точек нет. Тогда согласно п. 1 наибольшее и наименьшее значения функция принимает на концах таких отрезков, то есть в критических точках функции, или в точках

Таким образом, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной на отрезке функции, имеющей на этом отрезке конечное число критических точек, достаточно вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка и из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее. Для использования этого ориентира нужно убедиться, что заданный отрезок входит в область определения данной функции и что функция непрерывна на этом отрезке (последнее следует, например, из того, что функция дифференцируема на заданном отрезке).

Для нахождения критических точек функции необходимо найти ее производную и выяснить, где она равна нулю или не существует. Уточненная схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на отрезке, приведена в табл. 9 (п. 2, с. 80). Там же дан пример использования этой схемы. Другие примеры нахождения наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на отрезке, приведены будут ниже.

Утверждение, что наибольшее значение функции на отрезке достигается в точке можно обозначать так: а утверждение, что наименьшее значение функции на отрезке достигается в точке можно обозначать так:

При решении некоторых задач приходится находить наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции не на отрезке, а на интервале. Чаще всего в таких задачах функция имеет на заданном интервале только одну критическую точку: или точку максимума, или точку минимума. В этих случаях в точке максимума функция принимает наибольшее значение на данном интервале (рис. 5.29), а в точке минимума — наименьшее значение на данном интервале (рис. 5.30).

Действительно, если, например, непрерывная функция имеет на заданном интервале только одну точку экстремума и это точка минимума, то в этой точке производная меняет знак с «-» на « + ». Таким образом, если то Поскольку функция непрерывна в точке , то она убывает при и тогда при имеем Если же тоПоскольку функция непрерывна в точке , то она возрастает при и тогда при имеем Это и означает, что значение — наименьшее значение функции на интервале

Аналогично обосновывается и случай, когда — точка максимума (проведите обоснование самостоятельно).

Рассмотренные способы нахождения наибольших и наименьших значений функции используются для решения разнообразных прикладных задач.

Решение практических задач математическими методами, как правило, содержит три основных этапа:

1. формализацию, то есть создание математической модели задачи (перевод условия задачи на язык математики);
2. решение составленной математической задачи;
3. интерпретацию найденного решения (анализ полученного результата, то есть перевод его с языка математики в термины исходной задачи)*.

*С общим методом решения практических задач методами математики (его называют методом математического моделирования) вы уже фактически ознакомились: по описанной схеме решали текстовые задачи в курсе алгебры.

Эти этапы для задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений можно реализовать по схеме:

1. одну из величин, которую необходимо найти (или величину, с помощью которой можно дать ответ на вопрос задачи), обозначить через х (и по смыслу задачи наложить ограничения на );
2. величину, о которой говорится, что она наибольшая или наименьшая, выразить как функцию от ;
3. исследовать полученную функцию ни наибольшее или наименьшее значения;
4. убедиться, что результат имеет смысл для исходной задачи.

При решении некоторых задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции целесообразно использовать следующее утверждение: если значения функции неотрицательны на некотором промежутке, то эта функция и функция где — натуральное число, принимают наибольшее (наименьшее) значение в одной и той же точке.

Действительно, при функция, где — натуральное число, является возрастающей только при Тогда сложная функция (то есть функция где будет возрастать там, где возрастает функция , и убывать там, где убывает функция , а значит, принимать наибольшее (или наименьшее) значение в той же точке, что и функция .

Примеры решения задач:

Пример №66

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Решение:

1 ) следовательно, отрезок входит в область определения функции 2) 3) существует на всей области определения функции (следовательно, функция является непрерывной на заданном отрезке);

или — критические точки. 4) В заданный отрезок попадают только критические точки: 5) 6)

Комментарий:

Используем схему нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции

• 1) убедиться, что заданный отрезок входит в область определения функции;
• 2) найти производную;
• 3) найти критические точки или не
• существует);
• 4) выбрать критическиеточки, принадлежащие заданному отрезку;
• 5) вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка;
• 6) сравнить полученные значения и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

Чтобы убедиться в непрерывности данной функции, достаточно после нахождения ее производной показать, что производная существует в каждой точке области определения функции, или отметить, что заданная функция непрерывна как сумма двух непрерывных функций и Выяснить, какие критические точки принадлежат заданному отрезку, можно на соответствующем рисунке, отмечая критические точки на числовой прямой (рис. 5.31):

*Конечно, при а при значение

Пример №67

Из круглого бревна вырезают брус прямоугольного сечения наибольшей площади. Найдите размеры сечения бруса, если радиус сечения бревна равен 25 см.

Решение

1) Пусть из круга вырезают прямоугольник (рис. 5.32) со стороной (см). Учитывая, что — диаметр круга, имеем = 50 (см). Поскольку — длина отрезка, то Кроме того, (катет прямоугольного треугольника меньше его гипотенузы), следовательно,

2) Из прямоугольного Тогда площадь сечения прямоугольника равна: Поскольку при значение то рассмотрим функцию принимающую наибольшее значение на промежутке в той же точке, что и 3) Производная существует во всех точках заданного промежутка (следовательно, функция непрерывна на заданном промежутке). В промежуток попадает только критическая точка которая является точкой максимума: в этой точке производная меняет знак с « + » на «-» (рис. 5.33).

Поскольку функция непрерывна на заданном интервале и имеет там только одну точку экстремума и это точка максимума, то на этом интервале функция принимает наибольшее значение в точке 4) Тогда Следовательно, наибольшая площадь сечения бруса будет в том случае, когда искомый прямоугольник будет квадратом со стороной (~ 35 см).

Комментарий:

Используем общую схему решения задач на наибольшее и наименьшее значения:

Полученную функцию на промежутке можно ис следовать непосредственно. Но лучше учесть, что на этом промежутке и исследовать функцию в записи которой не содержится знака корня и которая принимает наибольшее значение в той же точке, что и

Вывод о том, что в найденной точке функция принимает наибольшее значение, можно обосновать одним из трех способов:

Следовательно, наибольшее значение на отрезке функция принимает в точке (которая лежит внутри этого отрезка). Тогда и на интервале (0; 50) эта функция принимает наибольшее значение в точке .

Пример №68

Найдите наибольшее значение площади треугольника если точка — начало координат, точка лежит на графике функции точка — на оси и ее абсцисса в четыре раза больше ординаты точки (где

Комментарий:

Для функции непросто найти область определения, но можно убедиться, что заданный промежуток полностью входит в область определения этой функции, оценив значения подкоренного выражения на заданном промежутке. Для этого учитываем, что на единичной окружности заданный промежуток находится во второй и третьей четвертях (рис. 5.34), где при всех значениях

Также следует учесть, что согласно определению графика функции точка имеет координаты Чтобы утверждать, что высота треугольника равна ординате точки (рис. 5.35), необходимо обосновать, что на заданном промежутке график функции лежит в первой четверти.

После записи площади треугольника как функции для нахождения ее наибольшего значения обращаем внимание на то, что достаточно сложно найти Поэтому удобно выполнить исследование этой функции с помощью производной и обосновать, что в точке экстремума из заданного промежутка функция принимает наибольшее значение на заданном промежутке (а не пользоваться схемой нахождения наибольшего значения непрерывной функции на отрезке).

Решение:

При Тогда на заданном промежутке. При всех значениях имеем Тогда значит, Таким образом, на заданном промежутке следовательно, заданный промежуток полностью входит в область определения функции . Отметим также, что в этом случае значения функции будут положительными, то есть на заданном промежутке график функции лежит в первой четверти.

Поскольку заданная точка лежит на графике функции то в случае, когда абсцисса точки равна ордината равна (рис. 5.35). По условию Точка лежит в первой четверти, следовательно, а значит, и Тогда а высота треугольника равна ординате точки Поэтому площадь треугольника равна:

Следовательно, необходимо найти наибольшее значение функции Тогда Производная существует во всех точках заданного отрезка, а значит, функция непрерывна на этом отрезке. Найдем, где

Из найденных точек в заданный отрезок входит только критическая точка

Обозначим критические точки на области определения и найдем знак производной и характер поведения функции на каждом из интервалов, на которые разбивается область определения (рис. 5.36). Учитывая непрерывность функции на заданном промежутке, получаем, что функция возрастает на промежутке (тогда при значение ) и убывает на промежутке (при значение ). Следовательно, на отрезке функция принимает наибольшее значение при Тогда (квадратных единиц).

Ответ: наибольшее значение искомой площади треугольника равно кв. ед.

Производные обратных тригонометрических функций

1. Формулы производных обратных тригонометрических функций

2. Доказательство тождеств с помощью производной

Условие постоянства функции

Функция является постоянной на интервале тогда и только тогда, когда во всех точках этого интервала (а если функция непрерывна на отрезке , то па ).

Схема доказательства тождеств вида с помощью производной:

1. Рассмотреть вспомогательную функцию (на ее области определения или заданном интервале).
2. Проверить, что на этом интервале.
3. Исходя из условия постоянства функции, сделать вы вод, что функция на рассматриваемом интервале.
4. Чтобы найти постоянную нужно подставить вместо любое значение из рассматриваемого интервала и доказать, что
5. Сделать следующий вывод: поскольку то

Пример:

Доказать, что arccos при

Рассмотрим функцию

Ее область определения На интервале

Тогда по условию постоянства функции получаем, что при всех значениях из интервала , а с учетом того, что функция непрерывна на своей области определения, и при всех значениях из отрезка

Чтобы найти значение подставим в равенство вместо например, значение Получаем: Значит, при всех значениях из отрезка Отсюда arccos при

Формулы производных обратных тригонометрических функций

Формулы производных обратных тригонометрических функций докажем, используя определение этих функций (существование их производных примем без доказательства).

Например, если то согласно определению арксинуса и Продифференцируем обе части этого равенства, рассматривая производную как производную сложной функции. Получаем то есть Отсюда Но Учитывая, что получаем Тогда при (в этом случае и ) имеем Поэтому при

Аналогично, если то согласно определению арккосинуса и Продифференцируем обе части этого равенства, рассматривая производную как производную сложной функции. Получаем то есть Отсюда Но Учитывая, что получаем Тогда при (в этом случае и ) имеем Поэтому при

Найдем производную функции По определению арктангенса и После дифференцирования последнего равенства получаем то есть Отсюда cos у Но Тогда Следовательно, при любых значениях

Аналогично, если то согласно определению арккотангенса и После дифференцирования последнего равенства получаем то есть Отсюда Но Тогда Следовательно, при любых значениях

Доказательства тождеств с помощью производной

Рассмотрим условие постоянства функции: если на некотором интервале во всех точках этого интервала, то функция постоянна на этом интервале. Если функция также непрерывна на отрезке , то она постоянна и на отрезке . Это условие можно использовать для доказательства некоторых тождеств.

Пример №69

Докажите тождество

Решение:

Рассмотрим вспомогательную функцию и найдем ее производную при

По условию постоянства функции получаем, что при всех значениях из интервала а учитывая, что функция непрерывна на своей области определения, — и при всех из отрезка Чтобы найти отметим, что равенство выполняется тождественно, то есть при любом значении . Подставляя в это равенство получаем:

Поэтому и, значит, то есть или

Приведенное решение позволяет предложить следующую схему доказательства тождеств вида с помощью производной.

1. Рассмотреть вспомогательную функцию ( на ее области определения или на заданном интервале).
2. Проверить, что на этом интервале.
3. Пользуясь признаком постоянства функции, сделать вывод, что на рассмотренном интервале (если функция также непрерывна на отрезке, содержащем концы рассмотренного интервала, то на этом от резке).
4. Чтобы найти подставить вместо любое значение из рассмотренного промежутка и доказать, что
5. Сделать вывод: поскольку то

Всё о второй и высших производных. Понятие выпуклости функции

1. Понятие второй производной

Понятие:

Пусть функция имеет производную во всех точках некоторого промежутка. Эта производная, в свою очередь, является функцией аргумента Если функция дифференцируема, то ее производную называют второй производной функции и обозначают

Запись:

Пример:

2. Понятие выпуклости и точек перегиба дифференцируемой на интервале функции

Функцию называют выпуклой вниз на интервале , если для любой точки из этого интервала при всех и график функции лежит выше касательной к этому графику в точке

Функцию называют выпуклой вверх на интервале если для любой точки из этого интервала при всех и график функции лежит ниже касательной к этому графику в точке

Точку графика непрерывной функции в которой существует касательная и при переходе через которую кривая меняет направление выпуклости, называют точкой перегиба графика функции. В точке перегиба график функции переходит с одной стороны касательной на другую. Абсциссу точки перегиба графика функции называют точкой перегиба функции . Точка разделяет интервалы выпуклости функции.

3. Свойство графиков выпуклых функций

Если функция выпуклая вниз на интервале и точки и являются точками ее графика еа этом интервале, то на интервале график функции лежит ниже отрезка то есть график лежит ниже хорды.

Если функция выпуклая вверх на интервале , а точки и — точки ее графика на этом интервале, то на интервале график функции ) лежит выше отрезка то есть график лежит выше хорды.

4. Достаточные условия выпуклости функции, имеющей вторую производную на заданном интервале

Условие выпуклости вниз:

Если на интервале дважды дифференцируемая функция имеет положительную вторую производную (то есть при всех то ее график на интервале направлен выпуклостью вниз.

Условие выпуклости вверх:

Если на интервале дважды дифференцируемая функция имеет отрицательную вторую производную (то есть при всех то ее график на интервале направлен выпуклостью вверх.

5. Нахождение точек перегиба функции, имеющей вторую производную на заданном интервале

Необходимое условие:

В точках перегиба функции ее вторая производная равна нулю или не существует.

Достаточное условие:

Пусть функция имеет на интервале вторую производную. Тогда, если меняет знак при переходе через , где то — точка перегиба функции

Схема исследования функции y=f(x) на выпуклость и точки перегиба

Схема исследования функции на выпуклость и точки перегиба:

1. Найти область определения функции.
2. Найти вторую производную.
3. Найти внутренние точки области определения, в которых вторая производная равна нулю или не существует.
4. Отметить полученные точки на области определения функции, найти знак второй производной и характер поведения функции на каждом из интервалов, на которые разбивается область определения.
5. Записать нужный результат исследования (интервалы и характер выпуклости и точки перегиба).

Пример №70

Исследовать функцию на выпуклость и точки перегиба.

1. Область определения: Функция непрерывна в каждой точке своей области определения (как многочлен).
2. 
3. существует и непрерывна на всей области определения функции
4. 
5. На интервалах график функции направлен выпуклостью вниз а на интервале — выпуклостью вверх Точки перегиба: (в этих точках меняет знак).

Расширенная схема исследования функции для построения ее графика

Схема:

1. Найти область определения функции.
2. Выяснить, является ли функция четной или нечетной (или периодической).
3. Точки пересечения графика с осями координат (если их можно найти).
4. Производная и критические точки функции.
5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума (и значения функции в этих точках).
6. Поведение функции на концах промежутков области определения и асимптоты графика функции (вертикальные, горизонтальные и наклонные).
7. Вторая производная и исследование функции на выпуклость и точки перегиба (и значения функции в этих точках).
8. Найти координаты дополнительных точек графика функции (если нужно уточнить его поведение).
9. На основании проведенного исследования построить график функции.

Пример №71

Постройте график функции

1. Область определения:

2. Функция ни четная, ни нечетная, поскольку и не периодическая.

3. На оси значение тогда На оси значение Тогда — абсциссы точек пересечения графика с осью

4. Производная существует на всей области определения функции Поэтому функция непрерывна в каждой точке своей области определения. При имеем — критические точки.

5. Отмстим критические точки на области определения и найдем знак производной и характер поведения функции на каждом из интервалов, па которые разбивается область определения (см. рисунок).

Следовательно, функция возрастает на каждом из промежутков и убывает на промежутках Так как в критической точке производная меняет знак с «+» на «-», то — точка максимума. В критической точке 2 производная меняет знак с «-» на « + », по этому — точка минимума. Итак,

6.

Следовательно, прямая — вертикальная асимптота.

При тогда то есть прямая — наклонная асимптота.

7.

Поскольку то знак второй производной может меняться только в точке Получаем такие знаки второй производной и соответствующий характер выпуклости (см. рисунок).

8.

9.

Объяснение и обоснование:

Вторая производная и производные высших порядков

Если функция имеет производную во всех точках некоторого промежутка, то эту производную можно рассматривать как функцию от аргумента .

Если функция является дифференцируемой, то ее производную называют второй производной от и обозначают (или ). Например, если то тогда

По аналогии со второй производной определяют и производные высших порядков. Производную от второй производной функции называют третьей производной, или производной третьего порядка этой функции, и т. д. Таким образом, производной порядка функции называют производную от производной порядка этой функции. Производную порядка функции обозначают Например, если

Выпуклость функции

Пусть функция определена на интервале а в точке имеет конечную производную. Тогда к графику этой функции в точке можно провести касательную. В зависимости от расположения графика функции относительно касательной функцию называют выпуклой вниз, если график расположен выше касательной (рис. 9.1), или выпуклой вверх, если график расположен ниже касательной (рис. 9.2). Со ответственно и сам график в первом случае называют выпуклым вниз, а во втором — выпуклым вверх. Приведем соответствующие определения и свойства для функции , определенной и дифференцируемой дважды на интервале

Функция называется выпуклой вниз на интервале если для любой точки из этого интервала при всех и график функции лежит выше касательной к этому графику в точке

Функция называется выпуклой вверх на интервале если для любой точки из этого интервала при всех и график функции лежит ниже касательной к этому графику в точке

*Четвертую, пятую и шестую производные функции часто обозначают соответственно

Отметим, что на интервале, где функция является выпуклой вниз, ее производная возрастает. Действительно, как видно из рис. 9.1, при возрастании аргумента величина угла который касательная к графику функции образует с положительным направлением оси возрастает, принимая значения между Тогда также возрастает. На интервале, где функция является выпуклой вверх, ее производная убывает. Действительно, как видно из рис. 9.2, при возрастании аргумента величина угла который касательная к графику функции образует с положительным направлением оси убывает, принимая значения между . Тогда также убывает.

Можно доказать, что имеют место и обратные утверждения.

1. Если производная функции возрастает на интервале то функция является выпуклой вниз на этом интервале.
2. Если производная функции убывает на интервале то функция является выпуклой вверх на этом интервале.

Эти свойства позволяют сформулировать достаточные условия выпуклости функции (и графика функции ).

1. Если на интервале дважды дифференцируемая функция имеет положительную вторую производную (то есть при всех то ее график на интервале направлен выпуклостью вниз.
2. Если па интервале дважды дифференцируемая функция имеет отрицательную вторую производную (т. е. при всех то ее график на интервале направлен выпуклостью вверх.

Действительно, пусть, например, при всех Если рассматривать как функцию от то является производной этой функции Тогда, имея положительную производную, функция возрастает на интервале Следовательно, по свойству 1 функция является выпуклой вниз на этом интервале, а значит, и ее график будет выпуклым вниз на интервале Аналогично обосновывается и второе достаточное условие.

Отметим, что эти условия являются только достаточными, но не являются необходимыми. Напри мер, функция выпуклая вниз на всей числовой прямой (рис. 9.3), хотя в точке ее вторая производная равна нулю.

Обратим внимание, что в случае, когда функция выпуклая вниз на интервале и точки являются точками ее графика на этом интервале (рис. 9.4), то на интервале где график функции лежит ниже отрезка . Этот отрезок по аналогии с отрезком, соединяющим две точки дуги окружности, часто называют хордой кривой. Следовательно, в этом случае на интервале график лежит ниже хорды.

Если функция выпуклая вверх на интервале и точки являются точками ее графика на этом интервале (рис. 9.5), то на интервале где график функции лежит выше отрезка , то есть график лежит выше хорды.

Точки перегиба

Точку графика непрерывной функции в которой существует касательная и при переходе через которую кривая изменяет направление выпуклости, называют точкой перегиба графика функции.

Учитывая определения выпуклости функции вверх и выпуклости функции вниз, получаем, что касательная к графику функции по одну сторону от точки касания расположена выше графика, а по другую сторону — ниже графика, то есть в точке перегиба касательная пересекает кривую (рис. 9.6), а сам график функции переходит с одной стороны касательной на другую.

Отметим, что абсциссу точки перегиба графика функции называют точкой перегиба функции. Тогда является одновременно концом интервала выпуклости вверх и концом интервала выпуклости вниз функции . Точки перегиба дважды дифференцируемой функции можно находить с помощью ее второй производной. Приведем достаточное условие существования точки перегиба.

Пусть функция имеет на интервале вторую производную. Тогда, если меняет знак при переходе через , где то — точка перегиба функции .

Действительно, если функция имеет на интервале вторую производную, то она имеет на этом интервале и первую производную. Следовательно, функция непрерывна на заданном интервале и существует касательная к графику функции в точке с абсциссой .

Пусть при и при (на заданном интервале). Тогда, используя достаточные условия выпуклости функции,

получаем, что при график функции направлен выпуклостью вверх, а при — выпуклостью вниз. Таким образом, точка является точкой перегиба функции Аналогично рассматривается и случай, когдапри и при И в этом случае является точкой перегиба функции

Для нахождения промежутков выпуклости функции и точек ее перегиба следует учесть следующее.

Пусть функция задана на интервале и в каждой точке этого интервала имеет вторую производную которая является непрерывной функцией на заданном интервале. Если для точки из этого интервала то, учитывая непрерывность функции получаем, что в некоторой этой точки вторая производная также будет положительной, то есть для всех значения Но тогда в интервале функция направлена выпуклостью вниз и точка хо не может быть точкой перегиба функции . Аналогично, если то в некоторой окрестности точки функция направлена выпуклостью вверх и точка не может быть точкой перегиба функции . Следовательно, в рассмотренном случае точкой перегиба может быть только такая точка , в которой вторая производная равна нулю. Получаем необходимое условие существования точек перегиба (для дважды дифференцируемой функции):

Например, функция (рис. 9.7) имеет точку перегиба в которой ее вторая производная равна нулю. Действительно, При значение график направлен выпуклостью вниз; при значение график направлен выпуклостью вверх.

Следовательно, 0 — точка перегиба функции.

Отметим, что точка перегиба функции может быть и в той точке в которой не существует (но существует).

Например, функция (рис. 9.8) определена на всей числовой прямой, имеет перегиб в точке 0, в которой существует ее первая производная но не существует вторая производная

При значения и график направлен выпуклостью вниз, а при значения и график направлен выпуклостью вверх. Следовательно, 0 — точка перегиба функции.

Для нахождения промежутков выпуклости функции необходимо решить неравенства на области определения функции . Поскольку также можно рассматривать как функцию переменной то в случае, когда функция является непрерывной в каждой точке своей области определения, для решения этих неравенств можно использовать метод интервалов, точнее, его обобщение, основанное на следующем свойстве: точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует, разбивают область определения функции на промежутки, в каждом из которых сохраняет постоянный, знак.

Учитывая это свойство и рассмотренные условия выпуклости функции и существования ее точек перегиба, можно выделить такую схему исследования функции на выпуклость и точки перегиба:

1. Найти область определения функции.
2. Найти вторую производную.
3. Найти внутренние точки области определения, в которых вторая производная равна нулю или не существует*.
4. Отметить полученные точки на области определения функции, найти знак второй производной и характер поведения функции на каждом из интервалов, на. которые разбивается область определения.
5. Записать необходимый результат исследования (интервалы и характер выпуклости, точки перегиба).

Применение этой схемы показано в табл. 15. Использование второй производной позволяет более детально исследовать свойства функции для построения ее графика. В табл. 15 приведена расширенная схема исследования функции для построения ее графика и пример ее использования. В эту схему дополнительно включено нахождение интервалов выпуклости функции, точек перегиба и асимптот графика функции.

*По аналогии с критическими точками те внутренние точки области определения, в которых вторая производная равна нулю или не существует, часто называют критическими точками второго рода, или критическими точками по второй производной.

Применение производной к решению уравнений и неравенств и доказательству неравенств

Применение производной:

Иногда для выяснения необходимых свойств функций целесообразно использовать производную. Это прежде всего нахождение промежутков возрастания и убывания функции и оценка области значений функции (приемы такого исследования приведены ниже).

1. Оценка значений левой и правой частей уравнения

Ориентир:

Если нужно решить уравнение вида и выяснилось, что то равенство между левой и правой частями возможно только в случае, если одновременно равны

Пример №72

Решите уравнение Оценим значения левой и правой частей уравнения: Исследуем функцию на наибольшее и наименьшее значения с помощью производной. то есть Производная не существует в точках 1 и 3 из области определения функции , но эти точки не являются внутренними для а следовательно, и критическими.

— критическая точка

Непрерывная функция* задана на отрезке поэтому она принимает наибольшее и наименьшее значения или на концах этого отрезка, или в его критической точке.

*В точке функция непрерывна справа, а в точке — слева.

Поскольку то то есть Кроме того, Следовательно, заданное уравнение равносильно системе

Ответ: 2.

2. Использование возрастания и убывания функций

Схема решения уравнения:

1. Подобрать один или несколько корней уравнения.
2. Доказать, что других корней это уравнение не имеет (используя теоремы о корнях уравнения, или оценку значений левой и правой частей уравнения, или следующее свойство функций: возрастающая или убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения).

Теоремы о корнях уравнения:

1. Если в уравнении функция возрастает (убывает) на некотором промежутке, то это уравнение может иметь не больше чем один корень на этом промежутке

2. Если в уравнении функция возрастает на некотором промежутке, а функция убывает на этом промежутке (или наоборот), то это уравнение может иметь не больше одного корня на этом промежутке.

Пример №73

Уравнение имеет корень**,

Других корней это уравнение не имеет, поскольку функция возрастающая (ее производная при всех значениях из области определения: Ответ:

Пример №74

Уравнение имеет корень Других корней это уравнение не имеет, поскольку его ОДЗ: и на этой ОДЗ функциявозрастающая при ), а функция убывающая при

Ответ: 1.

*Мы могли бы точнее оценить область значений непрерывной функции поскольку но для приведенного решения достаточно оценки **Корни в примерах 1 и 2 получены подбором. Как правило, подбор начинают с целых значений: которые подставляют в заданное уравнение, а для тригонометрических уравнений проверяют также «табличные» значения:

Объяснение и обоснование:

Выше показано применение производной для реализации способов решения уравнений, которые связаны с использованием свойств функций и были рассмотрены и обоснованы раннее.

Напомним, что эти способы чаще используются в тех случаях, когда мы не можем решить заданное уравнение с помощью равносильных пре образований или уравнений-следствий (или если такое решение очень громоздкое). Отметим, что использование производной также позволяет при решении некоторых уравнений реализовать следующую схему рассуждений.

Допустим, мы смогли подобрать два корня заданного уравнения вида Чтобы доказать, что уравнение не имеет других корней, достаточно убедиться, что функция имеет только два промежутка возрастания или убывания (на каждом из которых уравнение может иметь только один корень). Если функция дифференцируема на каком-либо промежутке, то характер возрастания или убывания функции на этом промежутке может измениться только в ее критических точках.

Например, если в точке возрастание дифференцируемой (а следовательно, и непрерывной) функции изменилось на убывание, то это означает, что в точке функция имеет максимум, но тогда — критическая точка. Таким образом, для того чтобы дифференцируемая на интервале функция, имела на этом, интервале не. больше двух промежутков возрастания или убывания, достаточно, чтобы на этом интервале она имела только одну критическую точку.

Пример №75

Решим с помощью указанной выше схемы уравнение

Решение

Данное уравнение имеет корни и Докажем, что других корней это уравнение не имеет. Для этого достаточно доказать, что функция имеет не больше двух промежутков возрастания или убывания. Действительно, существует на всей области определения функции . Если то — единственная критическая точка функции . Если отметить эту критическую точку па области определения функции (на множестве ), то область определения разобьется па два промежутка, в каждом из которых функция будет или возрастать, или убывать (на промежутке функция убывает, а на промежутке — возрастает).

Тогда в каждом из этих промежутков уравнение может иметь не больше одного корня, то есть всего заданное уравнение может иметь не больше двух корней. Два корня этого уравнения мы уже подобрали. Следовательно, данное уравнение имеет только эти два корня:

Ответ: 1, 2.

Аналогичные рассуждения для случая, когда для уравнения вида удается подобрать три корня, приведены в задаче 2 на с. 142, 143. При решении неравенств вида методом интервалов описанные выше приемы решения уравнений с использованием производной часто приходится применять для нахождения нулей функции (см. задачу 5, с. 144).

Примеры решения задач:

Пример №76

Решите уравнение (1)

Комментарий:

Поскольку у нас нет формул, которые позволяли бы преобразовывать одновременно и иррациональные, и тригонометрические выражения, то попробуем решить заданное уравнение, используя свойства соответствующих функций. В частности, оценим область значений функций, стоящих в левой и правой частях уравнения. Для функции, стоящей в правой части уравнения, это легко сделать и без производной, а для исследования функции, стоящей в левой части уравнения, можно использовать производную (см. решение).

Решение:

ОДЗ заданного уравнения: Оценим значения левой и правой частей уравнения. Поскольку принимает все значения от (-1) до 1, то выражение принимает все значения от 0 до 2, а функция все значения от 0 до 4. Значит, Функцию исследуем с помощью производной.

— существует на всей области определения функции

— критическая точка. Отмечаем ее на области определения функции и находим знаки производной в каждом из полученных промежутков (рис. 10.1).

Непрерывная функция имеет на интервале только одну критическую точку, и это точка минимума (в ней производная меняет знак с «-» па «+»). Следовательно, в этой точке функция принимает свое наименьшее значение: Таким образом,

Учитывая, что заданное уравнение равносильно системе Но значение 4 функция принимает только при что удовлетворяет и второму уравнению системы И так, полученная система (а значит, и заданное уравнение) имеет единственный корень:

Ответ: 4.

Отметим, что уравнение (1) можно решить еще одним способом,  предлагается попробовать рассмотреть заданное уравнение как квадратное относительно какой-либо переменной (или относительно какой-либо функции ).

Заданное уравнение можно записать так: Замена дает уравнение которое при равносильно уравнению

(2)

Если уравнение (2) рассмотреть как квадратное относительно переменной , то для существования корней его дискриминант должен быть неотрицательным. Следовательно, Тогда а учитывая, что всегда, получаем то есть Но в последнем неравенстве знак «больше» не может выполняться (значения косинуса не бывают больше 1), следовательно,

(3)

Тогда уравнение (2) преобразуется в уравнение откуда Обратная замена дает: следовательно, что удовлетворяет уравнению (3). Ответ: 4.

Пример №77

Решите уравнение (1)

Комментарий:

Данное уравнение можно решить, используя методы приближенного вычисления корней, но сначала попробуем решить его, используя свойства соответствующих функций. В частности, попробуем подобрать корни заданного уравнения и доказать, что других корней оно не имеет. Последовательно подставляя выясняем, что то есть уравнение имеет три корня. Чтобы доказать, что других корней нет, достаточно доказать, что у функции не больше трех промежутков возрастания или убывания; если же учитывать непрерывность на всей числовой прямой, то достаточно доказать, что у нее не больше двух критических точек, то есть уравнение имеет не больше двух корней. Рассматривая теперь уравнение , мы после его преобразования можем провести аналогичные рассуждения для двух корней (как это было сделано в примере на с. 139).

Решение:

Обозначим Поскольку f то уравнение имеет три корня: 0, 1, 2. Докажем, что других корней уравнение (1) не имеет. Для этого достаточно доказать, что у функции есть не больше трех промежутков возрастания или убывания, если же учитывать непрерывность функции на всей числовой прямой, достаточно доказать, что функция имеет не больше двух критических точек. Область определения: Производная существует при всех значениях . Следовательно, критическими точками могут быть только те значения , при которых Получаем уравнение

(2)

Чтобы доказать, что уравнение (2) имеет не больше двух корней, достаточно доказать, что функция стоящая в левой части уравнения, имеет не больше двух промежутков возрастания или убывания. Учитывая непрерывность этой функции на всей числовой прямой, достаточно доказать, что она имеет только одну критическую точку.

Действительно, существует при всех значениях . Следовательно, критическими точками могут быть только те значения , при которых Получаем уравнение Откуда Значит, последнее уравнение имеет единственный корень. Тогда функция имеет единственную критическую точку, и поэтому уравнение (2) имеет не больше двух корней. Это означает, что функция имеет не больше двух критических точек. Тогда уравнение (1) имеет не больше трех корней. Но три корня заданного уравнения мы уже знаем: -1 , 1, 2. Следовательно, других корней заданное уравнение не имеет.

Ответ: -1 , 1, 2.

Пример №78

Решите систему уравнений

Решение:

Заданная система равносильна системе (1) Рассмотрим функцию Поскольку всегда, то на своей области определения функция является возрастающей. Тогда первое уравнение системы (1), которое имеет вид равносильно уравнению Следовательно, система (1) равносильна системе Подставляя во второе уравнение системы, имеем Тогда

Ответ: (1; 1).

Комментарий:

Решить заданную систему с помощью равносильных преобразований не удается. Поэтому попробуем использовать свойства функций. Если в первом уравнении системы члены с переменной перенести в одну сторону, а с — в другую, то получим в левой и правой частях уравнения значения одной и той же функции. С помощью производной легко проверить, что эта функция является возрастающей. Но равенство для возрастающей функции возможно тогда и только тогда, когда поскольку каждое свое значение возрастающая (или убывающая) функция может принимать только при одном значении аргумента. Коротко этот результат можно сформулировать так: если функция является возрастающей (или убывающей) на определенном множестве, то на этом множестве

Пример №79

Решите неравенство

Решение:

Заданное неравенство равносильно неравенству Функция непрерывна в каждой точке своей области определения, поэтому для решения неравенства можно использовать метод интервалов. 1. ОДЗ: 2. Нули функции: Найдем производную функции Если обозначить то Но квадратный трехчлен имеет отрицательный дискриминант, тогда для всех Следовательно, для всех значение Тогда функция возрастает на всей числовой прямой и уравнение может иметь только один корень. Поскольку то — единственный нуль функции 3. Отмечаем нули на ОДЗ и находим знак в каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ (рис. 10.2).

Ответ: (-оо; -1 ).

Комментарий:

Заданное неравенство не удается решить с помощью равносильных преобразований, поэтому используем метод интервалов. Для этого неравенство необходимо привести к виду где — непрерывная в каждой точке своей области определения функция, поскольку она является многочленом.

Напомним схему решения неравенств методом интервалов.

1. Найти ОДЗ неравенства.
2. Найти нули функции:
3. Отметить нули на ОДЗ и найти знак функции в каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ.
4. Записать ответ, учитывая знак данного неравенства.

Для нахождения нулей функции надо решить уравнение которое не удается решить с помощью равносильных преобразований. Поэтому для его решения целесообразно использовать свойства функции в частности ее монотонность, которую можно обосновать с помощью производной.

Пример №80

Решите неравенство

Комментарий:

Попробуем решить заданное неравенство методом интервалов (см. схему решения в задаче 4). Для этого его необходимо привести к виду (где функция непрерывна в каждой точке своей области определения). При нахождении нулей функции для решения уравнения целесообразно использовать свойства соответствующих функций, в частности оценку значений левой и правой частей уравнения вида Значение функции легко оценить и без применения производной, а для исследования функции используем производную. Отметим, что в данном случае внутри ОДЗ мы не найдем ни одного нуля функции (см. решение: нулем является только крайняя точка ОДЗ). Но метод интервалов применим и в этом случае — мы получаем единственный интервал, в котором функция сохраняет свой знак.

Решение:

Заданное неравенство равносильно неравенству

(1)

Функция непрерывна в каждой точке* своей области определения, поэтому для решения неравенства (1) можно использовать метод интервалов.

2. Нули: Это уравнение равносильно уравнению

(2)

Оценим значения функций стоящих соответственно в левой и правой частях уравнения (2).

Поскольку

Тогда

*Конечно, если учесть, что в точке 3 функция непрерывна справа, а в точке 4 — слева (см. ее ОДЗ).

Исследуем функцию на ОДЗ неравенства (1), то есть при Функция непрерывна на отрезке поэтому она принимает наибольшее и наименьшее значения или на концах, или в критических точках этого отрезка. не существует в точке 3 отрезка но эта точка не является внутренней точкой этого отрезка, следовательно, она не является критической. Выясним, когда Сравнивая значения получаем: Следовательно, Тогда уравнение (2) равносильно системе Поскольку 2 — наибольшее значение функции которое достигается только при то уравнение имеет единственный корень удовлетворяющий и уравнению действительно, Таким образом, функция имеет только один нуль: Отмечаем нуль на ОДЗ и находим знак функции в полученном промежутке (рис. 10.3). Как видим, функция не принимает положительных значений и в неравенстве (1) знак «больше» не может выполняться. Следовательно, может выполняться только знак «равно», но только при

Ответ: 4.

Замечание:

Используя введенные обозначения, заданное неравенство можно записать так: После выполнения оценки значений функций имеем: и без метода интервалов можно сделать вывод, что неравенство не может выполняться. Следовательно, заданное неравенство равносильно уравнению которое равносильно системе имеющей единственное решение Но такие рассуждения можно провести только для этого неравенства, в то время как метод интервалов можно использовать для решения любого неравенства вида (где функция непрерывна в каждой точке своей области определения). Поэтому основным способом решения таких неравенств мы выбрали метод интервалов.

Применение производной к доказательству неравенств

Производную иногда удается использовать при доказательстве неравенств с одной переменной. Приведем ориентировочную схему доказательства неравенств вида с помощью производной.

1. Рассмотреть вспомогательную функцию (на ее области определения или на заданном промежутке).
2. Исследовать с помощью производной поведение функции (возрастание или убывание, ее наибольшее или наименьшее значение) на рассматриваемом промежутке.
3. Обосновать (опираясь на поведение функции ), что (или ) на рассматриваемом промежутке, и сделать вывод, что (или ) на этом промежутке.

Обратим внимание, что при доказательстве некоторых неравенств эту схему приходится использовать несколько раз (см. решение задачи 2).

Примеры решения задач:

Пример №81

Докажите неравенство

Решение:

Для доказательства данного неравенства достаточно доказать неравенство при Рассмотрим функцию при (ее область определения содержит заданный промежуток). Производная при Следовательно, функция возрастает на интервале а учитывая непрерывность функции в точке 1 (она непрерывна и на всей области определения), получаем, что функция возрастает и на промежутке Но Тогда при значения Таким образом, то есть при что и требовалось доказать. (Отметим, что при значения а при заданное неравенство превращается в равенство.)

Пример №82

Докажите неравенство

Решение:

Данное неравенство равносильно неравенству Рассмотрим функцию Эта функция непрерывна на всей числовой прямой и имеет производную Теперь рассмотрим функцию и докажем, что на промежутке Функция непрерывна на всей числовой прямой и имеет производную Учитывая, что получаем Следовательно, функция возрастает на всей числовой прямой, и в частности на промежутке Тогда согласно определению возрастающей функции при получаем, что то есть при Это означает, что функция возрастает на интервале , а так как она непрерывна, то и на промежутке Тогда из неравенства вытекает неравенство следовательно, при всех Таким образом, на этом интервале выполняется неравенство а значит, и неравенство

Пример №83

Докажите, что при всех выполняется неравенство

Решение:

Если следовательно, на интервале функция выпукла вверх.

Тогда на этом интервале ее график лежит выше хорды (рис. 10.4).

Прямая имеет уравнение и проходит через точку Следовательно, то есть Отсюда уравнение прямой Таким образом, при всех выполняется неравенство

Комментарий:

На тех интервалах, где функция выпукла вверх, график функции лежит выше соответствующей хорды (рис. 10.5, а), а на тех интервалах, где эта функция выпукла вниз, график лежит ниже хорды (рис. 10.5, б).

Используем это при доказательстве данного неравенства: с помощью второй производной исследуем функцию на выпуклость, рассмотрим уравнение соответствующей хорды и сравним уравнение хорды с уравнением прямой (где — функция, стоящая в правой части неравенства).

Применение производной к решению задач с параметрами

При решении задач с параметрами производная может использоваться для исследования функции на монотонность и экстремумы, для исследования функции и построения ее графика, для записи уравнений касательных к графикам функций, для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции.

Следует также помнить те ориентиры, которые использовались при решении заданий с параметрами в 10 классе. В частности, если в задании с параметрами говорится о количестве решений уравнения ( неравенства или системы), то для анализа заданной ситуации удобно использовать графическую иллюстрацию решения.

Пример №84

Найдите все значения параметра при которых функция

Решение:

Область определения функции: Функция дифференцируем а на всей числовой прямой: Заданная функция будет убывать при всех если на всей числовой прямой, при чем уравнение имеет только конечное (или счетное) множество корней. Если то и неравенство не выполняется на всей числовой прямой ( только при). Если то производная является квадратичной функцией относительно переменной она принимает значения на всей числовой прямой тогда и только тогда, когда выполняются условия

(при этом уравнение может иметь не более одного корня). Из неравенства получаем Из неравенства имеем:

Учитывая полученное условие получаем , что тогда из неравенства (2) имеем то есть Следовательно, систем а (1) равносильна системе Отсюда получаем Ответ:

Комментарий:

Используем уточненный вариант условия убывания функции (с. 59). Если в каждой точке интервала причем уравнение имеет только конечное (или счетное) множество корней, то функция убывает на этом интервале.

Отметим , что это условие является не только достаточным , но и необходимым для дифференцируемой на интервале функции (если на каком-либо интервале функция дифференцируем а и убывает , то на этом интервале ).

Следовательно, условию задачи могут удовлетворять те и только те значения параметра, которые мы найдем по этому условию .

Анализируя производную данной функции, учитывая, что она является квадратичной функцией только в случае, когда (то есть ) . Поэтому случай (то есть ) следует рассмотреть отдельно.

Для квадратичной функции вспоминаем все возможные варианты расположения параболы относительно оси абсцисс и выясняем , когда неравенство выполняется для всех

Обратим внимание, что неравенство (при ), которое свелось к неравенству (2), можно было решать отдельно или методом интервалов, или с помощью графика квадратичной функции (исключая точку с абсциссой), а уже затем находить общее решение системы (1).

Пример №85

Найдите наименьшее значение при котором график функции касается оси абсцисс.

Решение:

По условию ось абсцисс (имеющая уравнение и угловой коэффициент 0) должна быть касательной к графику функции

Если — абсцисса точки касания, то, учитывая геометрический смысл производной, получаем

Чтобы касательной была именно ось абсцисс (а не параллельная ей прямая, имеющая такой же угловой коэффициент), достаточно проверить, что

Поскольку то если (1) При уравнение (1) не имеет решения (получаем уравнение ). При получаем Тогда

Выясним, при каких значениях Учитывая, что получаем

Следовательно, при этих значениях график функции касается оси абсцисс. Наименьшее из значений

Ответ: 0,5.

Комментарий:

Для того чтобы график функции касался оси абсцисс, необходимо, чтобы ось абсцисс была касательной к этому графику. Зная уравнение оси абсцисс: (то есть ), заданную ситуацию можно исследовать двумя способами.

1. Если касательная к графику функции в точке с абсциссой имеет уравнение то угловой коэффициент касательной равен 0. Тогда по геометрическому смыслу производной Но угловой коэффициент 0 имеет не только ось абсцисс, но и все прямые, параллельные оси (рис. 11.1, а, б).

Чтобы касательной была именно ось абсцисс, необходимо, чтобы точка касания находилась на оси (рис. 11.1, а), то есть чтобы ордината этой точки равнялась 0, следовательно,

2. Можно записать также уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой и сравнить полученное уравнение с уравнением оси абсцисс: (снова получим те же условия При исследовании уравнения случай необходимо рассмотреть отдельно.

Пример №86

Найдите все значения при которых уравнение имеет хотя бы один корень

Решение:

ОДЗ: На этой ОДЗ заданное уравнение равносильно уравнениям Замена на ОДЗ) дает равносильное уравнение

Для заданного уравнения требование задачи будет выполняться тогда и только тогда, когда уравнение (1) будет иметь хотя бы один ненулевой корень в промежутке

Для этого достаточно обеспечить, чтобы число а входило в область значений функциипри Найдем эту область значений. Производная существует на всей числовой прямой, и при (то есть критические точки не входят в отрезок 2 поскольку

Следовательно, на всем заданном отрезке сохраняет свой знак. Поскольку то при то есть функция убывает на отрезке

Тогда ее наибольшее значение на этом отрезке равно а наименьшее —

Учитывая, что получаем, что при непрерывная функция принимает все значения из промежутков Именно при этих значениях и будет выполняться требование задачи. Ответ:

Комментарий:

Сначала начнем решать заданное уравнение по схеме решения тригонометрических уравнений: попробуем привести все тригонометрические функции к одному аргументу; если это удалось, попробуем привести все тригонометрические выражения к одной функции. Указанные два этапа можно выполнить одновременно, используя формулу

После замены для исследования существования корней у полученного кубического уравнения удобно использовать графическую иллюстрацию решений (приведя уравнение к виду ). Также можно найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции заданной на отрезке, или воспользоваться свойствами функции на отрезке исследованными с помощью производной (см. решение). Напомним, что после замены переменной требование задачи в за дачах с параметрами чаще всего изменяется, поэтому необходимо выяснить новое требование для уравнения (1).

Отметим, что достаточно наглядной является графическая иллюстрация решения (рис. 11.2), но исследование функции для по строения графика более громоздко, чем в приведенном решении.

Отношение приращений переменных

В человеческой жизнедеятельности часто приходится встречаться с отношением двух переменных величин, измеряемых в различных единицах измерения.

Например, скорость автомобиля, как отношение пройденного пути к затраченному времени измеряется в км/ч или в м/с, а расход топлива в литрах/км.

Далее, результативность бросков баскетболиста определяется количеством набранных очков за одну игру.

Пример:

В учебно-производственном комплексе ученикам 11 -класса было дано задание, оценивающее качество и скорость компьютерного набора текста.

Карим за 3 минуты набрал 213 слов, и при этом допустил 6 орфографических ошибок, а Наргиза за 4 минуты набрала 260 слов, допустив при этом 7 орфографических ошибок. Сравните их результаты.

Составим соответствующие отношения для каждого учащегося:

Карим:

скорость набора текста:

качество набора текста:

Наргиза:

скорость набора текста:

качество набора текста:

Значит, Карим набирал текст быстрее Наргизы. В то же время отметим, что Наргиза справилась с заданием качественнее Карима.

Пример:

Ёмкость цилиндрической формы с одинаковой скоростью заполняется водой. При этом в силу того, что вода заполняет ёмкость пропорционально времени, её уровень (высота над дном ёмкости) изменяется с течением времени как линейная функция времени (см. рис.1).

Отметим, что в этом случае отношение уровня воды ко времени (то есть скорость изменения высоты) остаётся постоянной. Теперь рассмотрим ёмкости другой формы (рисунок 2):

Справа на рисунке показано, как изменяется уровень воды по отношению ко времени.

Средняя скорость изменения

Если зависимость двух переменных величин описывается линейной функцией, то отношения изменений этих величин есть величина постоянная.

В случае, когда зависимость двух переменных величин не описывается линейной функцией, то мы можем рассматривать отношение изменений этих величин на заданном интервале. Ясно, что если мы будем выбирать эти интервалы различными, то соответствующие отношения будут тоже различными.

Пример:

На рисунке 7 изображен график зависимости положения материальной точки от времени :

Рассмотрим точку F на графике, соответствующую моменту временисекунды, а также отличную от точки С точку М (например точку, соответствующую моменту времени =4). Найдем среднюю скорость на интервале времени.

Видно, что угловой коэффициент секущей FМ равен 30.

Пример:

Число особей в популяции мышей меняется с течением времени (измеряемого в неделях) в соответствии с графиком (рис.8):

Как меняется количество особей в промежутке между 3 и 6 -неделями? А в течении 7 недель?

Найдем скорость изменения популяции мышей в промежутке между 3 и 6 — неделями

, значит, количество особей в в течении

(6 — 3) недели недели в промежутке между 3 и 6 — неделями росло со средней скоростью 43 особи в неделю.

Точно также в течении 7 недель

Значит, количество особей в течении 7 недель росло со средней скоростью 38 особей в неделю.

В общем случае, когда величина x меняется в промежутке между a и b, средняя скорость изменения величины у =f(х) определяется как отношение приращений

где f (b) —f (а) — приращение функции, а b-а — приращение аргумента. Обозначив , получим, что средняя скорость равна Общепринято называть числитель дроби приращением функции у =f(х), соответствующим приращению h аргумента х . Сама дробь называется разностным отношением.

Понятие предела

Рассмотрим функцию . Предположим, что значения х приближаются к числу 2, всё время оставаясь меньше его, и составим таблицу значений:

Из этой таблицы видно, что при неограниченном приближении (стремлении) значения х к 2, значения функции f(х) неограниченно стремятся к числу 4.

В таких случаях говорят, что функция f(х) стремится к 4 при стремлении аргумента (переменной) х к 2 слева.

Теперь предположим, что значения х приближаются к числу 2, оставаясь больше его, и составим таблицу значений:

В таких случаях говорят, что функция f(х) стремится к 4 при стремлении аргумента (переменной) х к 2 справа.

Объединяя вышеуказанные два случая, будем говорить, что функция f(х) стремится к 4 при стремлении аргумента (переменной) х к 2 и записывать так: .

Данная запись читается так:

Предел функции f(х) при стремлении аргумента (переменной) х к 2 равен 4.

В общем случае понятие предела функции определяется следующим образом:

Пусть значения x ≠ a стремятся к а, а значения f(х) стремятся к числу А. Тогда число А называется пределом функции f(х) при стремлении аргумента (переменной) х к а и обозначается так: .

В таких случаях также говорят, что функция f(х) стремится к А при стремлении х к а .

Вместо записи также применяют записьпри

Напоминание.

Отметим важность условия x ≠ a при стремлении х к а.

Пример:

Найдём предел функции при .

Решение:

Представим себе, что условие x ≠ 0 не выполнено, т.е. х=0 если мы непосредственно попытаемся подставить значение в f(х), то получим неопределённость вида .

С другой стороны, так как ,то эта функция имеет вид

График функции представляет собой прямую вида с «выколотой» точкой (0; 5) (рисунок 11):

Точка с координатами (0; 5) называется точкой разрыва функции

Видно, что для всех точек, отличных от точки (0; 5), при стремлении х к 0 соответствующие значения функции f(x) стремятся к 5, то есть существует предел .

На практике для нахождения предела функции, полезно произвести соответствующие алгебраические преобразования.

Пример №87

Найдите пределы:

Решение:

а) Когда значения х стремятся к 2, значения стремятся к 4, то есть .

б) Так как x ≠ 0, то

.

в) Так как x ≠ 3, то

.

Производная сложной функции

Сложная функция. Рассмотрим функцию у = (х² + Зх)⁴ Если ввести обозначения то функция у = (х² + Зх)⁴ примет вид В дальнейшем мы будем называть функцию вида сложной функцией.

Пример №88

Пусть Найдите:

Решение:

Воспользовавшись заданными функциями, выполним преобразования:

Ответ: Для производной сложной функции справедлива формула: (1)

Пример №89

Найдите производную (здесь — постоянные):

Решение:

1) Применим формулу (1) для функций f(t) = tⁿ и

2) Применим формулу (1) для функций f(t) =sint и

3) Применим формулу (1) для функций f(t) =cost и

4) Применим формулу (1) для функций f(t) =tgt и

Ответ:

Пример №90

Найдите производную функции

Решение:

Воспользуемся правилом 4 дифференцирования и формулой (1):

Ответ:

Пример №91

Найдите значение функции в точке х₀= 1.

Решение:

Применим формулу (1):

Пример №92

Найдите производную функции

Решение:

Применим формулу (1):

Пример №93

Найдите производную функции

Решение:

Введём обозначения и применим формулу (1):

Функцию h(х) представим как произведение двух функций:

Ответ:

Уравнения касательной и нормали к графику функции

Уравнение касательной

Найдём уравнение касательной к графику функции у — f(x) в точке (х₀; f (х₀)) (рисунок 19). Так как касательная является прямой, то её уравнение имеет вид . Исходя из геометрического смысла производной. Отсюда следует, что уравнение касательной имеет вид . Так как эта касательная проходит через точку (х₀; f(x₀)), то . Отсюда . Подставив найденное значение b в уравнение касательной, окончательно получим уравнение:

или

(1)

Таким образом, уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид

Пример №94

Выпишите уравнение касательной к графику функции

в точке с абсциссой х₀=2 .

Решение:

Сначала найдём значение функции и её производной в точке х₀=2:

Подставим найденное в уравнение (1), получим уравнение искомой касательной:

Пример №95

Выпишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой х₀=1.

Решение:

Сначала найдём значение функции и её производной в точке х₀= 1:

Подставив найденное в уравнение (1), получим уравнение искомой касательной:

Ясно, что если касательная к графику функции в точке с абсциссой х₀ параллельна прямой. Это условие позволяет найти уравнение касательной, параллельной заданной прямой.

Пример №96

Выпишите уравнение касательной к графику функции , параллельной прямой у = 2х — 1.

Решение:

Из условия параллельности касательной заданной прямой получим уравнение . Из этого уравнения х₀=2,5. Значит, искомая касательная проходит через точку с абсциссой х₀=2,5. Отсюда:

Теперь можно найти уравнение касательной:

Ответ:

Пример №97

Выпишите уравнение касательной к графику функции , проходящей через точку с абсциссой х₀= 4. Найдите синус угла, образованного этой касательной с положительным направлением оси Ох.

Решение:

Сначала найдём значение функции и её производной в точке х₀=4:

Подставив найденное в уравнение (1), получим уравнение искомой касательной:

Согласно геометрическому смыслу производной . Отсюда

Ответ:

Пример №98

Докажите, что касательная к параболе проведенная в точке А с абсциссой х₀, пересекает ось Ох в точке .

Решение:

Имеем

Воспользуемся (1): Ясно, что данная прямая пересекает ось Ох в точке

Отсюда следует правило построения касательной к параболе . Именно, эта касательная проходит через точку А с абсциссой пересекает ось Ох в точке

х₀ и точку .

Уравнение нормали

Пусть задана касательная к графику функции , проведённая к точке с абсциссой х = х₀.

Прямая (2)

проходящая через точку с абсциссой х = х₀ перпендикулярно этой касательной, называется нормалью к графику функции в точке с абсциссой х₀ (рисунок 19).

Пример №99

Составить уравнение нормали к графику функции в точке с абсциссой х₀ =1.

Решение:

Найдём производную:. Вычислим значение функции и её производной в точке х₀=1:

. Подставив эти значения в уравнение

нормали, получим или.

Ответ:

Примечание: Касательная к графику функции , в точке с абсциссой х₀=1 имеет уравнение (докажите!). Обратите внимание, что для произведения угловых коэффициентов касательной и нормали справедливо равенство .

Исследование функции с помощью производной и построение её графика

Возрастание и убывание функции

Мы знакомы с возрастающими и убывающими функциями. Далее мы будем использовать производную для нахождения промежутков возрастания и убывания функции.

Теорема 1. Пусть функция определена и имеет производную на интервале . Если для всех выполнено неравенство , то функция возрастает на промежутке (рисунок 20).

Теорема 2. Пусть функция определена и имеет производную на интервале. Если для всех выполнено неравенство, то функция убывает на промежутке (рисунок 21).

Теоремы 1, 2 примем без доказательства.

Пример №100

Найдите промежутки убывания и возрастания функции:

Решение:

Эта функция определена на интервале Найдём производную. Решая неравенства

методом интервалов найдём, что функция возрастает на интервалах, а на интервале (—1; 2) — убывает.

Ответ: На интервалах и функция возрастает, а на интервале (-1; 2) функция убывает.

Пример №101

Найдите промежутки убывания и возрастания функции:

Решение:

Эта функция определена на интервале .

Найдём производную: . Решая неравенство , то

есть неравенство методом интервалов, получим, что на промежутках функция возрастает. Точно также, решая неравенство , то есть неравенство, получим, что функция убывает на промежутках (-1; 0) и (0; 1).

Ответ: Функция возрастает на промежутках ; функция убывает на промежутках (-1; 0) и (0; 1).

Стационарные (критические) точки функции

Пусть функция определена на интервале (a; b).

Определение: Точки, в которой производная функции обращается в 0, называются стационарными или критическими.

Пример №102

Найдите стационарные точки функции:

Решение:

Найдём производную функции и приравняем её к нулю: Решая полученное уравнение, заключаем, что точки х₁= —1, х₂= 2 — стационарные.

Ответ:

Локальные максимумы и минимумы функции

Для нахождения локальных максимумов и минимумов можно воспользоваться понятием производной.

Теорема 3. Пусть функция определена и имеет производную

на интервале . Пусть для некоторой точки на интервале

(а;х₀) выполнено неравенство , а на интервале . Тогда точка х₀ является точкой локального максимума функции f(х).

Теорема 4. Пусть функция определена и имеет производную на интервале . Пусть для некоторой точки на интервале , а на интервале ( здесь ). Тогда х₀ является точкой локального минимума функции f(х).

Теоремы 3, 4 примем без доказательства.

Определение: Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума.

Пример №103

Найдите точки локального экстремума функции

Решение:

Найдём производную функции: . Производная определена всюду и обращается в нуль в точках х = ±1. Поэтому точки х = ± 1 являются стационарными (критическими). Воспользовавшись методом интервалов, определим, что на промежутках , а на промежутке . Значит х = -1 — точка локального максимума, а точка х = 1 — точка локального минимума (рисунок 23).

Ответ: х = — 1 — точка локального максимума, а точка х = 1 — точка локального минимума.

Наибольшее и наименьшее значения функции. С этими понятиями мы познакомились в 10 классе.

Пусть функция f(х) определена на отрезке [а; b] и имеет производную на интервале (a; b). Сформулируем алгоритм нахождения его наибольшего и наименьшего значений:

1. Находим все стационарные точки;
2. Вычисляются значения функции в найденных стационарных точках и на на граничных точках а и b;
3. Наибольшее среди найденных в предыдущем пункте значений и будет наибольшим значением функции на отрезке [а; b].

Наименьшее значение функции на отрезке [а; b] находится аналогично.

Пример №104

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-4; 2] .

Решение:

Найдём производную функции:.

Приравняв производную к нулю, найдём стационарные точки: .

Вычислим значения функции в найденных стационарных точках x₁=0, х₂=-3 и на граничных точках а = -4, b=2:

Значит, наибольшее значение функции равно 17, а наименьшее значение равно

— 9.

Ответ: наибольшее значение функции равно 17, а наименьшее значение равно

— 9.

Исследование и построение графика функции с помощью производной

Для этого будем придерживаться следующей последовательности действий:

1. находится область определения;
2. находятся стационарные точки;
3. определяются промежутки убывания и возрастания;
4. находятся точки локального максимума и локального минимума, а также значения функции в этих точках;
5. на основании полученной информации строится эскиз графика.

При построении графика полезно находить точки пересечения графика функции с осями координат, а также некоторые другие точки.

Пример №105

Исследуйте функцию с помощью производной и постройте график.

Решение:

1.Функция определена на.

2.Найдём стационарные точки:

x₁=1 и точки х₂= -1 стационарные.

3.Найдём промежутки убывания и возрастания.

Так как на интервалах , то функция

возрастает на этих интервалах. Далее, так как на интервале (- 1; 1), то функция убывает на этом интервале.

4.Точка х=- — точка локального максимума. Вычислим значение функции в этой точке: . Аналогично, точка x=1 — точка локального минимума. Найдём значение функции в этой точке .

5.Найдём точки пересечения графика функции с осью Ох: . Отсюда получим х=0 или х₂ — 3=0.

Решая последнее уравнение, заключаем, что точкиявляются абсциссами точек пересечения графика функции с осью Ох. В результате получим схематический вид графика (рисунок 24).

Применение методов дифференциального исчисления к решению экстремальных задач с геометрическим, физическим и экономическим содержанием

Задачи с геометрическим содержанием

Пример №106

Найдите наибольшую площадь земельного участка прямоугольной формы, который можно огородить забором длиной 100 метров.

Решение:

Пусть длина и высота прямоугольника равны х м и у м соответственно (рисунок 27).

Периметр прямоугольника равен . Отсюда у = 50-х. Найдём площадь этого прямоугольника

Требуется найти х такое, что функция достигает своего максимума.

Найдём стационарные точки функцииS(x)

, отсюда х = 25. Так как на промежутке , а на промежутке , то функция S(x) достигает своего максимума в точке х=25, причем S(25 ) =625. Значит, наибольшая площадь земельного участка прямоугольной формы, который можно огородить забором длиной 100 метров, равна 625 м².

Ответ: 625 м².

Вообще говоря, среди прямоугольников с заданным периметром, наибольшую площадь имеет квадрат.

Пример №107

Из картона формы квадрата со стороной а см необходимо изготовить коробку без верха. Для этого отрезают одинаковые меньшие квадратные уголки. В каком случае мы можем получить коробку наибольшей вместимости?

Решение:

Пусть х см — сторона основания получившейся коробки (рисунок 28).

Сторона отрезанного квадратного уголка равна .

Объём получившейся коробки равен см³. Значит, задача свелась к нахождению наибольшего значения функции на отрезке [0; а]. Найдём стационарные точки функции

.

В итоге получим, что стационарные точки. Ясно,

что .

Таким образом, наибольшее значение V(х) на [0;а] равно .

Ответ: коробка с длиной стороны основания

Задачи с физическим содержанием

Пример №108

Материальная точка движется по прямой согласно закону движенияПусть t — измеряется в секундах, s — в метрах.

Найдите:

1)Момент времени (0, при котором ускорение максимально;

2)Мгновенную скорость в момент времени /0;

3)Путь, пройденный за время t{).

Решение:

Найдём скорость материальной точки: Из курса физики известно, что производная скорости равна ускорению, т.е:

1) Найдём момент времени t₀, при котором ускорение максимально. Решим уравнение . Так как на интервале (0; 3) , а на интервале , то заключаем, что в момент времени t₀= 3 функция a(t) достигает своего максимума.

2) Вычислим мгновенную скорость в момент времени t₀:

3) Для нахождения пути, пройденного за время подставим

выражение

Ответ:

Пример №109

Материальная точка движется по прямой согласно закону движения Пусть t — измеряется в секундах, а s — в метрах. Найдите:

1)Момент времени t₀ при котором скорость минимальна;

2)Ускорение в момент времени t₀;

3)Путь, пройденный за время t₀.

Решение:

Найдём скорость и ускорение материальной точки:

1)Найдём момент времени t₀ при котором скорость минимальна:

, отсюда t₀=1. Так как на интервале , а на интервале , то в момент времени достигает своего минимума.

2)Вычислим ускорение при

3)Для нахождения пути, пройденного за время t_0, подставим в выражение значение t₀=1:

Ответ:

Пример №110

В течение времени минут в воздушный шар подаётся воздух объёма . Найдите:

1)Объём воздуха, подаваемый в начале;

2)Объём воздуха, подаваемый в момент времени t = 8 мин;

3)Скорость подачи воздуха в момент времени t = 4 мин.

Решение:

1)Для того, чтобы найти объём воздуха, подаваемый в начале,

подставим в формулу значение t =0, то есть V( 0)=2 м³.

2)Объём воздуха, подаваемый в момент времени t = 8 мин подставим в формулу значение t =8, то есть:

3)Найдём скорость подачи воздуха:

Значит, Значит,

Ответ:

Задача экономического содержания

Пример №111

Карима получила заказ на пошив платьев. Пусть она шьёт в течение месяца х платьев, получая при этом доход тыс. сум. Найдите:

1)Сколько платьев должно быть сшито, чтобы получить наибольший ДОХОД?

2)Чему равен этот наибольший доход?

Решение:

1) Найдём максимум функции

, отсюда х₀=50. Так как на интервале , а на интервале , то функция достигает своего максимума при х₀=50. Значит, для получения наибольшего дохода необходимо сшить 50 платьев.

3) Для нахождения наибольшего дохода подставим значение х₀=50 в выражение

Ответ: 1) 50 платьев; 2) 2 500 000 сум.

Приближенные вычисления

Пусть функция имеет в точке х₀ ограниченную производную .

Мы знаем, что уравнение касательной в точке с абсциссой х₀ имеет видy

Заметим, что график функции вблизи х₀ можно приближенно заменить соответствующим отрезком касательной (рисунок 29):

Обозначив приращение х—х₀ через получим следующее приближенное равенство: или Приближенную формулу (1) будем называть формулой малых приращений.

Замечание. Рекомендуем выбирать х₀ так, чтобы значения

вычислялись непосредственно. Отметим также, что при лучшем приближении точки х к точке х₀, формула (1) даёт более точный результат.

Далее мы будем применять формулу малых приращений к приближенным вычислениям.

Пример №112

Найдите приближенное значение функции в точке х = 2,02.

Решение:

Выберем близкую к точке х=2,02 точку х₀=2. Значение функции

в этой точке вычисляется без затруднений: .

Найдём производную функции:

Имеем

Значит, по формуле

С помощью калькулятора или иного вычислительного устройства можно получить значение

Пример №113

Найдите приближенное значение корня . Найдём ее производную.

Решение:

Рассмотрим функцию

Найдите производную. Положим х₀ = 1. Тогда получим ,

Из формулы (1):

С помощью калькулятора или иного вычислительного устройства

можно получить значение

Пример №114

Найдите приближенное значение

Решение:

Рассмотрим функцию

Найдём её производную:

Положим х₀ = 8 . Тогда получим

Тогда из формулы (1) получим

С помощью калькулятора или иного вычислительного устройства можно получить значение

Пример №115

Найдите приближенное значение sin 29°.

Решение:

Рассмотрим функцию . Найдём её производную:

положим ,

Тогда из формулы (1) получим

С помощью калькулятора или иного вычислительного устройства

можно получить значение

Пример №116

Привести формулу малых приращений для логарифма.

Решение:

. Отсюда получим приближенную формулу

Если, то справедлива формула, . Используя её, можно получить, например, значение

В общем случае, если .

Тогда формула малых приращений (1) примет вид

(2)

Используя формулу (2), выведите приближенные формулы, справедливые для малых х

Пример №117

Найдите приближенное значение выражения

Решение:

Воспользуемся формулой:

С помощью калькулятора или иного вычислительного устройства

можно получить значение

Отметим, что используя приближенную формулу , можно вычислять и значения корней.

Действительно, пусть n — натуральное число, а число |B | достаточно мало по сравнению с . Тогда или Например,

С помощью калькулятора или иного вычислительного устройства можно получить значение

Опираясь на формулу (2), вычислим при достаточно малых х приближенные значения cosx.

Так как , то формула

примет вид , то есть .

Очевидно, что такая «приближенная» формула не годится для приближений.

Поэтому пойдём другим путём. Из основного тригонометрического тождества имеем .

Очевидно, что когда х достаточно мало, х2 тоже будет достаточно малым, .

Выше было сказано, что при достаточно малых .

Поэтому из формулы непосредственно получим формулу , т.е. справедлива формула .

Пример №118

Найдите приближенное значение cos 44°.

Решение:

Так как , то

С помощью калькулятора или иного вычислительного устройства можно получить значение

Дифференциальные модели

В 10 классе мы изучали процессы изменения популяции бактерий (темы 79-81). Далее мы продолжим это изучение с других позиций.

Пример:

Пусть бактерия в конце определенного промежутка времени (несколько часов или минут) делится на две бактерии. В итоге популяция (т.е. количество бактерий в ней) увеличивается вдвое. В свою очередь, через определённое время две вышеуказанные бактерии опять делятся на две бактерии каждая и популяция увеличивается вдвое. Предположим, что при благоприятных условиях (достаточные ресурсы, пространство, питательные вещества, вода, энергия и т.д.) этот процесс увеличения популяции продолжается.

Также предположим, что скорость увеличения количества бактерий в популяции пропорционально этому количеству.

Как изменяется количество бактерий в популяции в зависимости от времени t ?

Решение:

Обозначим через количество бактерий в популяции в момент времени t .

Согласно смыслу производной, скорость изменения количества бактерий в популяции в момент времени t равна .

Согласно нашим предположениям, в каждый момент времени t величина пропорциональна величине , то есть

. (1)

Здесь — коэффициент пропорциональности.

Пусть — количество бактерий в начальный момент времени t =0.

Очевидно, что функция вида удовлетворяет соотношению (1).

Действительно, .

Допустим, что в начале популяция состояла из 10 миллионов бактерий и в конце первого часа их стало (млн). Отсюда получим . Значит, .

Найдём количество бактерий в популяции в момент времени t.

(млн).

Этот результат совпадает с аналогичным результом, полученным в 10 классе. 

Исторические сведения:

Проводя аналогичные рассуждения в 18 веке английский учёный Томас Мальтус получил соотношение (2)

для роста численности населения Земли, здесь N(t) — численность населения Земли в момент времени N₀=N(t₀) — численность населения в начальный момент времени t_{0 .}

Действительно, . Исследуя закономерность описывающую экспоненциальный, то есть неконтролируемый рост населения, Томас Мальтус пришёл к прогнозу, что когда-то на Земле будет ощущаться нехватка ресурсов и пищи (см. рисунок 30).

Пример №119

Экология изучает взаимоотношение человека и вообще живых организмов с окружающей средой. Основным объектом экологии является эволюция популяций. Изучим вопрос о скорости изменения популяции организмов с учётом размножения и вымирания в силу определённых причин.

Решение:

Пусть N(t) — число особей в популяции в момент времени t. Тогда если А — число особей в популяции, рождающихся в единицу времени, а В — число особей, умирающих в единицу времени, то с достаточным основанием можно утверждать, что скорость изменения N(t) со временем задаётся формулой

(3)

Исследователи рассматривают следующие случаи зависимости А и В от N.

а)Простейший случай: . Здесь а и b коэффициенты рождения и смерти особей в единицу времени соответственно. Тогда соотношение (3) можно записать в виде . (4)

Полагая, что в момент времени t₀ число особей в популяции равно , заметим, что функция удовлетворяет (4) (проверьте).

в)Часто встречается случай . Тогда получим соотношение

(5)

Можно проверить, что функция удовлетворяет этому соотношению. 

Соотношение (4) получил в 1845 году бельгийский ученый-демограф Ферхюльст. Для получения этого соотношения он использовал фактор борьбы между особями внутри популяции. Этот результат более точно описывает процесс изменения популяции, чем аналогичный результат (2), полученный Мальтусом.

Возникает естественный вопрос о том, как зависит рост популяции от чисел а и b.

На следующем рисунке изображены графики функций

Видно, что при возрастании времени число особей в популяции достаточно быстро стремится к числу . Данный факт характеризует так называемое явление насыщения в популяции. Именно, начиная с определённого времени, изменение популяции становится незначительным.

Соотношения вида связывающие аргумент, функцию и её производную, называются дифференциальными уравнениями.

Вышеприведённые соотношения (1) — (5) служат примерами дифференциальных уравнений.

В курсе высшей математики при определённых условиях на уравнение доказывается, что существует единственное решение у(х), удовлетворяющее начальному условию .

Пример №120

Предположим, что торговыми учреждениями реализуется продукция, для ускорения сбыта которой были даны рекламные объявления по радио и телевидению. Последующая информация о продукции распространяется среди покупателей посредством общения друг с другом.

Решение:

Изучим, как изменяется величина х(t), характеризующая число знающих о продукции в момент времени t.

Тогда число не знающих о продукции потенциальных покупателей равно .

Согласно нашему предположению, приходим к дифференциальному уравнению:

, здесь — коэффициент пропорциональности.

Решение данного уравнения имеет вид

С — постоянная величина.

Очевидно, что при возрастании t величина уменьшается и, поэтому выражение неограниченно стремится к N (рисунок 32).

Пример №121

Пусть тело массой m, постоянной теплоёмкости с имеет в начальный момент времени температуру Т₀. Температура окружающего воздуха постоянна и равна . Считая, что теплоотдача тела в течение малого времени пропорциональна разности температур тела и окружающего воздуха, найдите закон, по которому остывает данное тело.

Решение:

Во время остывания температура тела падает . Пусть в момент времени t (температура тела равна Т(t). Так как количество геила, отдаваемого в течение малого времени, пропорционально разности температур тела и окружающего воздуха, то

здесь — коэффициент пропорциональности.

С другой стороны, из курса физики известно, что количество тепла, отдаваемого в течение малого времени, равно . Вычислим производную:

(6)

Сравнивая оба полученных выражения для , получим дифференциальное уравнение .

Функция

удовлетворяет дифференциальному уравнению (6) (проверьте!), здесь С — произвольная постоянная.

Начальное условие С позволяет найти С:

Поэтому закон, по которому остывает данное тело, можно записать так:

Ответ:

Пример №122

Лепешка, вынутая из печи, за 20 минут остывает от 100° до 60°. Температура окружающего воздуха равна 25°. За какое время лепешка остынет до 30° ?

Решение:

Используя решение предыдущей задачи, мы запишем закон, по которому остывает лепёшка:

,

Здесь а — неизвестный коэффициент.

Найдём а, используя условие T(20)=60 при t=20: ,

Значит, остывание лепёшки проходит по закону

Найдём время, за которое лепёшка остынет до 30°:

Так как

найдем

Лепешка остынет до 30° за 1 час 11 минут.

Пример №123

Моторная лодка движется в стоячей воде со скоростью 20 км/час. Через некоторое время двигатель вышел из строя. В результате через 40 секунд скорость лодки оказалась равной 8 км/час. Считая, что сопротивление воды пропорционально скорости лодки, найдите скорость лодки через 2 минуты после остановки двигателя.

Решение:

На лодку действует сила сопротивления воды . Согласно закону Ньютона . Отсюда Данному уравнению удовлетворяет функция . Учитывая что , при t= 0 = 20, найдём С = 20. Отсюда

t = 40, . Учитывая то , что через 40 секунд скорость лодки оказалась равной 8 км/час, получим

или .

Тогда через 2 минуты скорость лодки окажется равной

Ответ: скорость лодки через 2 минуты после остановки двигателя будет приблизительно равной 1,28 км/час.

Пример №124

Найдите закон, по которому изменяется масса m(t ) радиактивного вещества в результате процесса радиактивного распада. Здесь m(t ) измеряется в граммах, a t — в годах.

Решение:

Предположим, что скорость радиактивного распада пропорциональна массе. Тогда получим дифференциальное уравнение

(7)

Можно проверить, что функция является решением данного уравнения.

Из начального условия получим закономерность . Ответ: