Для исследования функции важно уметь определять угловой коэффициент касательной к ее графику.
Этот угловой коэффициент касательной называют производной.
Понятие производной часто используют и при решении многих других задач. Поэтому рассмотрим его подробнее.
Графический смысл производной
Пусть дан график функции y=f(x)y = f(x) и на нем точка АА, в которой существует касательная к графику:
Если абсцисса точки АА равна x0x_0, то ее ордината f(x0)f(x_0). Предоставим значению аргумента x0x_0 прирост ΔxΔx. Увеличенное значение аргумента х0+Δxх_0 + Δx на графике функции соответствует точка ТТ с абсциссой x0+Δxx_0 + Δx и ординатой f(x0+Δx)f(x_0 + Δx).
Через точки АА и ТТ проведем прямые АКАК и ТКТК, параллельные осям абсцисс и ординат; они пересекутся в некоторой точке КК. Тогда АК−ΔхАК — Δх – приращение аргумента, а ТК=ΔуТК = Δу – прирост функции на [x0;x0+Δx][x_0; x_0 + Δx].
Угловой коэффициент секущей ATAT равен тангенсу угла ββ, то есть отношению ΔуΔу к ΔxΔx:
tgβ=ΔyΔx=f(x0+Δx)−f(x0)Δxtgbeta =frac{Delta y}{Delta x}=frac{f({{x}_{0}}+Delta x)-f({{x}_{0}})}{Delta x}
Если ΔxΔx бесконечно мало и стремится к нулю, то секущая АТАТ, поворачиваясь вокруг точки АА, приближается к касательной, проведенной в точке АА с графиком данной функции. То есть если kk – угловой коэффициент этой касательной и ΔxΔx стремится к нулю, то
f(x0+Δx)−f(x0)Δx→kfrac{f({{x}_{0}}+Delta x)-f({{x}_{0}})}{Delta x}to k
Это число kk – производная функции f(x)f(x) в точке x0x_0.
Производной функции f(x)f(x) в точке x0x_0 называется число kk, которому соответствует дробь f(x0+Δx)−f(x0)Δxfrac{f({{x}_{0}}+Delta x)-f({{x}_{0}})}{Delta x} при Δх→0.
Производную функции f(x)f(x) в точке x0x_0 обозначают f′(x0)f'(x_0). Ее определение записывают также в виде равенства:
f′(x0)=limΔx→0 f(x0+Δx)−f(x0)Δx{f}'({{x}_{0}})=underset{Delta xto 0}{mathop{lim }},frac{f({{x}_{0}}+Delta x)-f({{x}_{0}})}{Delta x}
или
f′(x0)=limΔx→0 ΔyΔx{f}'({{x}_{0}})=underset{Delta xto 0}{mathop{lim }},frac{Delta y}{Delta x}
Задача 1
Найдите производную функции f(x)=x2f(x) = x^2 в точке x=3x = 3.
Решение
Предоставим аргументу x=3x = 3 прирост ΔxΔx. Соответствующий прирост функции Δу=(3+Δx)2−33=6Δx+Δx2Δу = (3 + Δx)^2 — 33 = 6Δx+Δx^2.
Поэтому
ΔyΔx=6Δ+Δ2Δfrac{Delta y}{Delta x}=frac{6Delta +Delta {{}^{2}}}{Delta }
Если Δx→0Δx→0, то Δy/Δx→6Δy/Δx → 6.
Ответ: f′(3)=6f ‘(3) = 6.
Так решают задачу, пользуясь определением производной функции в точке.
Задача 2
Используя формулу (1/x)′=−1/x2(1/x)’ = — 1/x^2, запишите уравнение к графику функции у=1/xу = 1/x в точке с абсциссой x0=1/2x_0 = 1/2.
Уравнение касательной к графику функции у=f(x)у = f (x) в точке с абсциссой x0x^0 в общем виде записывается так:
y=f(x0)+f′(x0)(x−x0)y=f({{x}_{0}})+{f}'({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})
Чтобы записать это уравнение для заданной функции, нужно найти значение f(x0)f(x_0), производную f′(x)f'(x) и значение f′(x0)f'(x_0). Для выполнения соответствующих вычислений удобно обозначить заданную функцию через f(x)f(x) и использовать табличное значение производной: (1/x)′=−1/x2.(1/x)’ = — 1/x^2.
Таким образом, если f(x)=1/xf(x) = 1/x, то f(x0)=f(1/2)=2f(x_0) = f(1/2) = 2.
Тогда f′(x0)=f′(1/2)=−4.f'(x_0) = f'(1/2) = -4.
Подставляя эти значения в уравнение касательной y=f(x0)+f′(x0)(x−x0)y=f({{x}_{0}})+{f}'({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}}) получаем
y=2−4(x−12).y=2-4left( x-frac{1}{2} right).
То есть у=−4x+4у = -4x + 4 – искомое уравнение касательной.
Тест на тему “Производная функции в точке”
Производная функции по направлению
Как найти?
Постановка задачи
Найти производную функции $ u(x,y,z) $ в точке $ M (x_1,y_1,z_1) $ по направлению вектора $ overline{l} = (l_x,l_y,l_z) $
План решения
Если для функции $ u(x,y,z) $ существует производная в точке $ M(x_1,y_1,z_1) $, то значит в этой точке существует производная по любому направлению $ overline{l} $ и находится по формуле:
$$ frac{partial u}{partial l} = frac{partial u}{partial x} bigg |_M cdot cos alpha + frac{partial u}{partial y} bigg |_M cdot cos beta + frac{partial u}{partial z} bigg |_M cdot cos gamma $$
- Находим частные производные первого порядка:
$$ frac{partial u}{partial x}; frac{partial u}{partial y}; frac{partial u}{partial z} $$ - Вычисляем полученные производные в точке $ M(x_1,y_1,z_1) $:
$$ frac{partial u}{partial x} bigg |_{M(x_1,y_1,z_1)}; frac{partial u}{partial y} bigg |_{M(x_1,y_1,z_1)}; frac{partial u}{partial z} bigg |_{M(x_1,y_1,z_1)} $$ - Получаем направляющие косинусы по формулам:
$$ cos alpha = frac{l_x}{|overline{l}|}; cos beta = frac{l_y}{|overline{l}|}; cos gamma = frac{l_z}{|overline{l}|} $$ - Подставляем все полученные данные в формулу и записываем ответ
Примеры решений
| Пример 1 |
| Найти производную функции $ u = x+ln(z^2+y^2) $ в точке $ M (2,1,1) $ по направлению вектора $ overline{l} = (-2,1,-1) $ |
| Решение |
|
Находим частные производные первого порядка и вычисляем их начение в точке $ M $: $$ frac{partial u}{partial x} = 1; frac{partial u}{partial x} bigg |_{M(2,1,1)} = 1 $$ $$ frac{partial u}{partial y} = frac{2y}{z^2+y^2}; frac{partial u}{partial y} bigg |_{M(2,1,1)}=1 $$ $$ frac{partial u}{partial z} = frac{2z}{z^2+y^2}; frac{partial u}{partial z} bigg |_{M(2,1,1)} = 1 $$ Вычисляем направляющие косинусы: $$ cos alpha = frac{-2}{sqrt{(-2)^2+1^2+(-1)^2}} = frac{-2}{sqrt{6}} $$ $$ cos beta = frac{1}{sqrt{(-2)^2+1^2+(-1)^2}} = frac{1}{sqrt{6}} $$ $$ cos gamma = frac{-1}{sqrt{(-2)^2+1^2+(-1)^2}} = — frac{1}{sqrt{6}} $$ Подставляем полученные частные производные в точке $ M $ и направляющие косинусы в формулу: $$ frac{partial u}{partial l} = 1 cdot (-frac{2}{sqrt{6}}) + 1 cdot frac{1}{sqrt{6}} + 1 cdot (-frac{1}{sqrt{6}}) = -frac{2}{sqrt{6}} $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ frac{partial u}{partial l} = -frac{2}{sqrt{6}} $$ |
| Пример 2 |
| Найти производную $ u = xy — frac{x}{z} $ в точке $ M(-4,3,-1) $ по направлению вектора $ overline{l} = (5,1,-1) $ |
| Решение |
|
Берем частные производные первого порядка от функции в точке $ M(-4,3,-1) $: $$ frac{partial u}{partial x} = y — frac{1}{z}; frac{partial u}{partial x} bigg |_{M(-4,3,-1)} = 4 $$ $$ frac{partial u}{partial y} = x; frac{partial u}{partial y} bigg |_{M(-4,3,-1)} = -4 $$ $$ frac{partial u}{partial z} = frac{x}{z^2}; frac{partial u}{partial z} bigg |_{M(-4,3,-1)} = -4 $$ Вычисляем направляющие косинусы: $$ cos alpha = frac{5}{sqrt{5^2+1^2+(-1)^2}} = frac{5}{sqrt{27}} $$ $$ cos beta = frac{1}{sqrt{5^2+1^2+(-1)^2}} = frac{1}{sqrt{27}} $$ $$ cos gamma = frac{-1}{sqrt{5^2+1^2+(-1)^2}} = frac{-1}{sqrt{27}} $$ По формуле производной по направлению получаем ответ: $$ frac{partial u}{partial l} = 4 cdot frac{5}{sqrt{27}} + (-4) cdot frac{1}{sqrt{27}} + (-4) cdot frac{-1}{sqrt{27}} = frac{20}{sqrt{27}} $$ |
| Ответ |
| $$ frac{partial u}{partial l} = frac{20}{sqrt{27}} $$ |
1. Вычисление производной функции
Правила дифференцирования
Дифференцирование сложной функции
Таблица производных
2. Приложение производной
Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке (x0;f(x0)):
y=f(x0)+f ‘(x0)(x-x0); f ‘(x0) – угловой коэффициент касательной (тангенс угла наклона касательной).
Достаточные признаки монотонности функции:
- если
f ‘(x)>0 в каждой точке интервала (a, b), то функция f(x) возрастает на этом интервале. - если
f ‘(x)<0 в каждой точке интервала (a, b), то функция f(x) убывает на этом интервале.
Необходимое условие экстремума: если x0 – точка экстремума функции f(x) и производная f ’ существует в этой точке, то f ‘(x0)=0.
Критические точки функции – внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует.
Достаточные условия экстремума:
- если производная при переходе через точку
x0 меняет свой знак с плюса на минус, то
x0 – точка максимума. - если производная при переходе через точку x0 меняет свой знак с минуса на плюс, то
x0 – точка минимума.
3. Первообразная функции
Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на интервале (a, b), если для любого 
выполняется равенство F ‘(x)=f(x).
Если F(x) – первообразная для f(x) на промежутке (a, b), то любая первообразная может быть записана в виде F(x)+C, где C – некоторое действительное число.
Для вычисления первообразной рекомендуем пользоваться приведенной выше таблицей производных и приведенными ниже правилами.
Правила нахождения первообразных
Пример 1. Найти производную функции 
.
Решение:
.
Ответ: 
.
Пример 2. Найти 
, если 
.
Решение:
По правилу дифференцирования дроби имеем: .
.
Ответ: 
Пример 3. Чему равен тангенс угла наклона касательной к графику функции у = х2 + 2, в точке хо = – 1.
Решение:
Тангенс угла наклона касательной к графику функции есть значение производной данной функции в точке хо.
.
Ответ: – 2.
Пример 4. Найдите значение 3tg2t , если t – наименьший положительный корень уравнения 
.
Решение:
.
Очевидно, что наименьшее положительное решение полученного уравнения 
. Тогда 
.
Ответ: 1.
Пример 5. Укажите промежутки возрастания и убывания функции 
.
Решение:
Область определения функции: x>0.
На области определения найдём критические точки функции :
Критические точки: 0; 1.
На основании достаточного признака возрастания (убывания) функции имеем:
Ответ: на интервале (0; 1) функция убывает; на интервале 
возрастает.
Пример 6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y=ex+2-ex на промежутке [-2; 0].
Решение:
Функция y=ex+2-ex на отрезке [-2; 0] непрерывна.
1) найдём критические точки, принадлежащие отрезку [-2; 0]:
2) найдём значения функции в критической точке и на концах данного отрезка:
3) выберем наибольшее и наименьшее из полученных значений:
наименьшее y|x=-1=2e наибольшее y|x=0=e2.
Ответ:
наименьшее y|x=-1=2e наибольшее y|x=0=e2.
Пример 7. Записать уравнение касательной к графику функции f(x)=x3, параллельной прямой y=3x+1,5.
Решение:
Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке х0 имеет вид:
.
Так как касательная параллельна прямой y=3x+1,5, то f ‘(x0)=3 .
f ‘(x)=3x2, следовательно, 
.
Ответ: 
.
Пример 8. Найдите какую-либо первообразную функции 
.
Решение:
Представим функцию в виде 
. Первообразная данной функции будет 
. Т.к. нужно найти какую-либо первообразную, то пусть это будет 
. Чтобы проверить правильность найденной первообразной, нужно от взять производную: 
.
Ответ: .
Пример 9. Для функции 
найдите первообразную, график которой проходит через точку 
.
Решение:
Первообразная данной функции будет F(x)=-3ctgx-7cox-2sinx+C.
Так как график первообразной проходит через точку , то координаты этой точки являются корнями уравнения. Получаем: 
.
Ответ: F(x)=-3ctgx-7cox-2sinx+11.
Задания для самостоятельного решения
Базовый уровень
Производная функции
1) Найти производную функции f(x)=2ex+3x2 .
2) Вычислите производную функции f(x)x•sinx.
3) Найти производную функции у = (3х – 1)(2 – х).
4) Вычислите производную функции y=9x2-cosx.
5) Найдите производную функции y=ex-x7 .
6) Вычислить производную функции 
.
7) Найти f ‘(1), если f(x)=3x2-2x+1.
Найдите производную функции у = х2(3х5 – 2) в точке х0 = – 1.
9) Вычислите 
, если f(x)=(2x-1)cosx.
10) Найдите f ‘(1), если f(x)=(3-x2)(x2+6).
11) Вычислите f ‘(1), если f(x)=(x4-3)(x2+2).
12) Найдите значение производной функции 
в точке х0 = 0,5.
13) Найдите f ‘(4), если 
.
14) Найдите значение производной функции f(x)=3tgx+2ctgx при 
.
15) Найдите значение производной функции f(x)=2sinx при 
.
16) Найдите значение производной функции f(x)=1-3cosx при .
17) Определите промежутки возрастания и убывания функции 
.
18) Найдите максимум и минимум функции y=5x4-10x2+9.
19) Найти экстремумы функции у = – х3 + 6х2 + 15х + 1.
20) Найдите точки экстремума функции у = – х3 – 3х2 + 24х – 4 на промежутке 
.
21) Найдите наибольшее значение выражения 3х5 – 5х3 + 6 на отрезке [–2;2].
22) Написать уравнение касательной к параболе у = х2 – 6х + 5 в точке пересечения её с осью ординат.
23) Найдите максимум функции 
.
24) Найдите экстремальные значения функции 
.
25) Исследуйте на максимум и минимум функцию у = 3х4 – 3х2 + 2.
26) Найдите тангенс угла наклона касательной, проведённой к графику функции 
в его точке с абсциссой х0 = – 2.
27) Составьте уравнение касательной к графику функции у = х – 3х2 в точке с абсциссой х0 = 2.
28) Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции y=7x-5sinx в точке с абсциссой 
.
Найдите первообразные функций:
29) 
.
30) f(x)=-7sinx.
31) 
.
32) f(x)=1,2cosx.
33) f(x)=-7cosx.
34) f(x)=sinx-cosx.
35) 
.
36) 
.
37) 
.
Вычислите площадь фигур, ограниченных линиями:
38) 
.
39) 
.
40) 
.
41) 
.
Повышенный уровень
Производная функции
42) Найдите значение 
, если 
.
43) Найдите значение 
, если f(x)=sin4x-cos4x.
44) Найдите значение 
, если f(x)=cos23x .
45) Найдите значение , если f(x)=sin4xcos4x.
46) Найдите значение 
, если 
.
47) Найдите значение , если 
.
48) Найдите значение , если f(x)=(1+sinx)2.
49) При каком значении параметра а функция 
имеет минимум в точке x0=1?
50) Решите уравнение f ‘(x)=0, если 
.
51) Найдите наименьшее целое значение функции у = 4х – 5∙2х + 3,25.
52) При каких значениях а функция 
убывает на всей числовой прямой?
53) На кривой у = 4х2 – 6х + 3 найдите точку, в которой касательная параллельна прямой у = 2х + 3.
54) Найти значение выражения tg2t, где t – наибольший отрицательный корень уравнения f ‘(x)=0, 
.
Первообразная
55) Найдите значение первообразной функции 
, график которой проходит через данную точку 
.
56) Найдите значение первообразной функции 
, график которой проходит через данную точку 
.
57) Найдите значение первообразной функции 
при 
, график которой проходит через данную точку 
.
Задача о площади криволинейной трапеции
58) Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями 
.
59) Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями 
.
60) Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями 
.