Как найти проекцию точки в пространстве

При решении геометрических задач в пространстве часто возникает проблема определения расстояния между плоскостью и точкой. В некоторых случаях это необходимо для комплексного решения. Эту величину можно вычислить, если найти проекцию на плоскость точки. Рассмотрим этот вопрос подробнее в статье.

Уравнение для описания плоскости

Перед тем как перейти к рассмотрению вопроса касательно того, как найти проекцию точки на плоскость, следует познакомиться с видами уравнений, которые задают последнюю в трехмерном пространстве. Подробнее — ниже.

Уравнением общего вида, определяющим все точки, которые принадлежат данной плоскости, является следующее:

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Первые три коэффициента — это координаты вектора, который называется направляющим для плоскости. Он совпадает с нормалью для нее, то есть является перпендикулярным. Этот вектор обозначают n¯(A; B; C). Свободный коэффициент D однозначно определяется из знания координат любой точки, принадлежащей плоскости.

Далее в статье будем использовать записанное уравнение. Оно требуется, чтобы найти проекцию точки на плоскость.

Понятие о проекции точки и ее вычисление

Предположим, что задана некоторая точка P(x₁; y₁; z₁) и плоскость. Она определена уравнением в общем виде. Если провести перпендикулярную прямую из P к заданной плоскости, то очевидно, что она пересечет последнюю в одной определенной точке Q (x₂; y₂; z₂). Q называется проекцией P на рассматриваемую плоскость. Длина отрезка PQ называется расстоянием от точки P до плоскости. Таким образом, сам PQ является перпендикулярным плоскости.

Как можно найти координаты проекции точки на плоскость? Сделать это не сложно. Для начала следует составить уравнение прямой, которая будет перпендикулярна плоскости. Ей будет принадлежать точка P. Поскольку вектор нормали n¯(A; B; C) этой прямой должен быть параллелен, то уравнение для нее в соответствующей форме запишется так:

(x; y; z) = (x₁; y₁; z₁) + λ*(A; B; C).

Где λ — действительное число, которое принято называть параметром уравнения. Изменяя его, можно получить любую точку прямой.

После того как записано векторное уравнение для перпендикулярной плоскости линии, необходимо найти общую точку пересечения для рассматриваемых геометрических объектов. Ее координаты и будут проекцией P. Поскольку они должны удовлетворять обоим равенствам (для прямой и для плоскости), то задача сводится к решению соответствующей системы линейных уравнений.

Понятие проекции часто используется при изучении чертежей. На них изображаются боковые и горизонтальные проекции детали на плоскости zy, zx, и xy.

Вычисление расстояния от плоскости до точки

Как выше было отмечено, знание координат проекции на плоскость точки позволяет определить дистанцию между ними. Используя обозначения, введенные в предыдущем пункте, получаем, что искомое расстояние равно длине отрезка PQ. Для его вычисления достаточно найти координаты вектора PQ¯, а затем рассчитать его модуль по известной формуле. Конечное выражение для d расстояния между P точкой и плоскостью принимает вид:

d = |PQ¯| = √((x₂ — x₁)² + (y₂ — y₁)² + (z₂ — z₁)²).

Полученное значение d представлено в единицах, в которых задается текущая декартова координатная система xyz.

Пример задачи

Допустим, имеется точка N(0; -2; 3) и плоскость, которая описывается следующим уравнением:

2*x — y + z + 4 = 0.

Следует найти точки проекцию на плоскость и вычислить между ними расстояние.

В первую очередь составим уравнение прямой, которая пересекает плоскость под углом 90^o. Имеем:

(x; y; z) = (0; -2; 3) + λ*(2; -1; 1).

Записывая это равенство в явном виде, приходим к следующей системе уравнений:

x = 2*λ;

y = -2 — λ;

z = λ + 3;

2*x — y + z + 4 = 0.

Подставляя значения координат из первых трех равенств в четвертое, получим значение λ, определяющее координаты общей точки прямой и плоскости:

2*(2*λ) — (-2 — λ) + λ + 3 + 4 = 0 =>

6*λ + 9 = 0 =>

λ = 9/6 = 3/2 = 1,5.

Подставим найденный параметр в уравнение прямой и найдем координаты проекции исходной точки на плоскость:

(x; y; z) = (0; -2; 3) + 1,5*(2; -1; 1) = (3; -3,5; 4,5).

Для вычисления дистанции между заданными в условии задачи геометрическими объектами применим формулу для d:

d = √((3 — 0 )² + (-3,5 + 2 )² + (4,5 — 3 )²) = 3,674.

В данной задаче мы показали, как находить проекцию точки на произвольную плоскость и как вычислять между ними расстояние.

1. Проекции точки

Проецирование
точки на три плоскости проекций
координатного угла начинают с получения
ее изображения на плоскости H
— горизонтальной плоскости проекций.
Для этого через точку А (рис. 4.12, а)
проводят проецирующий луч перпендикулярно
плоскости H.

На
рисунке перпендикуляр к плоскости Н
параллелен оси Oz. Точку пересечения
луча с плоскостью Н (точку а) выбирают
произ­вольно. Отрезок Аа определяет,
на каком расстоянии находится точка А
от плоскости Н, указывая тем самым
однозначно положение точки А на рисунке
по отношению к плоскостям проекций.
Точка а является прямоугольной проекцией
точки А на плоскость Н и называется
горизонтальной проекцией точки А (рис.
4.12, а).

в)

Рис.
4.12.

Для
получения изображения точки А на
плоскости V (рис. 4.12,б) через точку А
проводят проецирующий луч перпендикулярно
фронтальной плоскости проекций V. На
рисунке перпендикуляр к плоскости V
параллелен оси Оу. На плоскости Н
расстояние от точки А до плоскости V
изобразится отрезком аа_х,
параллельным оси Оу и перпендикулярным
оси Ох. Если представить себе, что
проецирующий луч и его изображение
проводят одновременно в направлении
плоскости V, то когда изображение луча
пересечет ось Ох в точке а_х,
луч пересечет плоскость V в точке а’.
Проведя из точки а_х
в плоскости V перпендикуляр к оси Ох,
который является изображением
проецирующего луча Аа на плоскости V, в
пересечении с проецирующим лучом
получают точку а’. Точка а’ является
фронтальной проекцией точки А, т. е. ее
изображением на плоскости V.

Изображение
точки А на профильной плоскости проекций
(рис. 4.12, в) строят с помощью проецирующего
луча, перпендикулярного плоскости W. На
рисунке перпендикуляр к плоскости W
параллелен оси Ох. Проецирующий луч от
точки А до плоскости W на плоскости Н
изобразится отрезком аа_у,
параллельным оси Ох и перпендикулярным
оси Оу. Из точки Оу параллельно оси Oz и
перпендикулярно оси Оу строят изображение
проецирующего луча аА и в пересечении
с проецирующим лучом получают точку
а». Точка а» является профильной
проекцией точки А, т. е. изображением
точки А на плоскости W.

Точку
а» можно построить, проведя от точки
а’ отрезок а’а_z
(изображение проецирующего луча Аа»
на плоскости V) параллельно оси Ох, а от
точки а_z
— отрезок а»а_z
параллельно оси Оу до пересечения с
проецирующим лучом.

Получив
три проекции точки А на плоскостях
проекций, координатный угол развертывают
в одну плоскость, как показано на рис.
4.11,б, вместе с проекциями точки А и
проецирующих лучей, а точку А и проецирующие
лучи Аа, Аа’ и Аа» убирают. Края
совмещенных плоскостей проекций не
проводят, а проводят только оси проекций
Oz, Оу и Ох, Оу₁
(рис. 4.13).

Анализ
ортогонального чертежа точки показывает,
что три расстояния — Аа’, Аа и Аа»
(рис. 4.12, в), характеризующие положение
точки А в пространстве, можно определить,
отбросив сам объект проецирования —
точку А, на развернутом в одну плоскость
координатном угле (рис. 4.13). Отрезки
а’а_z,
аа_y
и Оа_х
равны Аа» как противоположные стороны
соответствующих прямоугольников (рис.
4.12,в и 4.13). Они определяют расстояние,
на котором находится точка А от профильной
плоскости проекций. Отрезки а’а_х,
а»а_у1
и Оа_у
равны отрезку Аа, определяют расстояние
от точки А до горизонтальной плоскости
проекций, отрезки аа_х,
а»а_z
и Оа_y1
равны отрезку Аа’, определяющему
расстояние от точки А до фронтальной
плоскости проекций.

Рис.
4.13.

Отрезки
Оа_х,
Оа_у
и Оа_z,
расположенные на осях проекций, являются
графическим выражением размеров
координат X, Y и Z точки А. Координаты
точки обозначают с индексом соответствующей
буквы. Измерив величину этих отрезков,
можно определить положение точки в
пространстве, т. е. задать координаты
точки.

На
эпюре отрезки а’а_х
и аа_х
располагаются как одна линия,
перпендикулярная к оси Ох а отрезки
а’а_z
и a»a_z
— к оси Оz.
Эти лини называются линиями проекционной
связи. Они пересекают оси проекций в
точках а_х
и а_z
соответственно. Линия проекционной
связи, соединяющая горизонтальную
проекцию точки А с профильной, оказалась
«разрезанной» в точке а_у.

Две
проекции одной и той же точки всегда
располагаются на одной линии проекционной
связи, перпендикулярной к оси проекций.

Для
представления положения точки в
пространстве достаточно двух ее проекций
и заданного начала координат (точка О)
На рис. 4.14, б две проекции точки полностью
определяют ее положение в пространстве
По этим двум проекциям можно построит
профильную проекцию точки А. Поэтому в
дальнейшем, если не будет необходимости
в профильной проекции, эпюры будут
построены на двух плоскостях проекций:
V и Н.

Рис.
4.14. Рис. 4.15.

Рассмотрим
несколько примеров построения и чтения
чертежа точки.

Пример
1.
Определение координат точки J заданной
на эпюре двумя проекциях (рис. 4.14).
Измеряются три отрезка: отрезок Ов_Х
(координата X), отрезок b_Хb
(координата Y) и отрезок b_Хb’
(координата Z). Координаты записывают в
следующем п рядке: X, Y и Z, после буквенного
обозначения точки, например, В20; 30; 15.

Пример
2.
Построение точки по заданным координатам.
Точка С задана координатами С30; 10; 40. На
оси Ох (рис. 4.15) находят точку с_х,
в которой линия проекционной связи
пересекает ось проекций. Для этого по
оси Ох от начала координат (точка О)
откладывают координату X (размер 30) и
получают точку с_х.
Через эту точку перпендикулярно оси Ох
проводят линию проекционной связи и от
точки вниз откладывают координату У
(размер 10), получают точку с — горизонтальную
проекцию точки С. Вверх от точки с_х
по линии проекционной связи откладывают
координату Z (размер 40), получают точку
с’ — фронтальную проекцию точки С.

Рис.
4.16.

Пример
3.
Построение профильной проекции точки
по заданным проекциям. Заданы проекции
точки D — d и d’. Через точку О проводят
оси проекций Oz, Oy и Оу₁
(рис. 4.16, а). Для построения профильной
проекции точки D отточки d’ проводят
линию проекционной связи, перпендикулярную
оси Oz, и продолжают ее вправо за ось Oz.
На этой линии будет располагаться
профильная проекция точки D. Она будет
находиться на таком расстоянии от оси
Oz, на каком горизонтальная проекция
точки d располагается: от оси Ох, т. е. на
расстоянии dd_x.
Отрезки d_zd»
и dd_x
одинаковы, так как определяют одно и то
же расстояние — расстояние от точки D
до фронтальной плоскости проекций. Это
расстояние является координатой У точки
D.

Графически
отрезок d_zd»
строят перенесением отрезка dd_x
с горизонтальной плоскости проекций
на профильную. Для этого проводят линию
проекционной связи параллельно оси Ох,
получают на оси Оу точку d_y
(рис. 4.16,б). Затем переносят размер отрезка
Od_y
на ось Оу₁,
проведя из точки О дугу радиусом, равным
отрезку Od_y,
до пересечения с осью Оу₁
(рис. 4.16,б), получают точку dy₁.
Эту точку можно построить и как показано
на рис. 4.16, в, проведя прямую под углом
45° к оси Оу из точки d_y.
Из точки d_y1
проводят линию проекционной связи
параллельно оси Oz и на ней откладывают
отрезок, равный отрезку d’d_x,
получают точку d».

Перенос
величины отрезка d_xd
на профильную плоскость проекций можно
осуществить с помощью постоянной прямой
чертежа (рис. 4.16, г). В этом случае линию
проекционной связи dd_y
проводят через горизонтальную проекцию
точки параллельно оси Оу₁
до пересечения с постоянной прямой, а
затем параллельно оси Оу до пересечения
с продолжением линии проекционной связи
d’d_z.

Частные
случаи расположения точек относительно
плоскостей проекций

Положение
точки относительно плоскости проекций
определяется соответствующей координатой,
т. е. величиной отрезка линии проекционной
связи от оси Ох до соответствующей
проекции. На рис. 4.17 координата У точки
А определяется отрезком аа_х
— расстояние от точки А до плоскости
V. Координата Z точки А определяется
отрезком а’а_х
— расстояние от точки А до плоскости
Н. Если одна из координат равна нулю, то
точка расположена на плоскости проекций.
На рис. 4.17 приведены примеры различного
расположения точек относительно
плоскостей проекций. Координата Z точки
В равна нулю, точка находится в плоскости
Н. Ее фронтальная проекция находится
на оси Ох и совпадает с точкой b_х.
Координата У точки С равна нулю, точка
располагается на плоскости V, ее
горизонтальная проекция с находится
на оси Ох и совпадает с точкой с_х.

Следовательно,
если точка находится на плоскости
проекций, то одна из проекций этой точки
лежит на оси проекций.

Рис.
4.17.

На
рис. 4.17 координаты Z и Y точки D равны
нулю, следовательно, точка D находится
на оси проекций Ох и две ее проекции
совпадают.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Проекция точки на плоскость онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти проекцию точки на заданную плоскость. Дается подробное решение с пояснениями. Для построения проекции точки на данную плоскость введите координаты точки и коэффициенты уравнения плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Проекция точки на плоскость − теория, примеры и решения

Для нахождения проекции точки M₀ на плоскость α, необходимо:

• построить прямую L, проходящую через точку M₀ и ортогональной плоскости α.
• найти пересечение данной плоскости α с прямой L(Рис.1).

Общее уравнение плоскости имеет вид:

где n(A,B,C)− называется нормальным вектором плоскости.

Уравнение прямой, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и имеющий направляющий вектор q(l, m, n) имеет следующий вид:

Для того, чтобы прямая (2) была ортогональна плоскости (1), направляющий вектор q(l, m, n) прямой (2) должен быть коллинеарным нормальному вектору n(A,B,C) плоскости (1)(Рис. 1). Следовательно, в качестве направляющего вектора прямой (2) можно взять нормальный вектор плоскости (1) .

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и ортогональной плоскости (1) имеет следующий вид:

Для нахождения точку пересечения прямой L с плоскостью α, проще всего рассматривать параметрическое уравнение прямой. Составим ее

Выразим переменные x, y, z через рараметр t.

Подставим значения x,y,z из выражения (4) в (1) и решим относительно t.

Подставляя значение параметра t в выражения (4), находим проекцию M₁ точки M₀ на плоскость (1).

Пример 1.Найти проекцию M₁ точки M₀(4, -3, 2) на плоскость

Решение.

Нормальный вектор плоскости имеет вид:

т.е. A=5, B=1, C=−8.

Координаты точки M₀: x₀=4, y₀=−3, z₀=2.

Подставляя координаты точки M₀ и нормального вектора плоскости в (5), получим:

Из выражений (7) находим:

Ответ:

Проекцией точки M₀(4, -3, 2) на плоскость (6) является точка:

Построение ортогональных проекций точек

Положение точки в пространстве может быть задано двумя её ортогональными проекциями, например, горизонтальной и фронтальной, фронтальной и профильной. Сочетание любых двух ортогональных проекций позволяет узнать значение всех координат точки, построить третью проекцию, определить октант, в котором она находится. Рассмотрим несколько типичных задач из курса начертательной геометрии.

По заданному комплексному чертежу точек A и B необходимо:

1. Записать их координаты.
2. Достроить проекции т. A и B на плоскость П₃.
3. Определить положение точек в пространстве (октант или плоскость проекций).
4. Построить наглядное изображение точек в системе плоскостей П₁, П₂, П₃.

Определение координат точек по их проекциям

Определим сначала координаты т. A, которые можно записать в виде A (x, y, z). Горизонтальная проекция т. A – точка A’, имеющая координаты x, y. Проведем из т. A’ перпендикуляры к осям x, y и найдем соответственно A_х, A_у. Координата х для т. A равна длине отрезка A_хO со знаком плюс, так как A_х лежит в области положительных значений оси х. С учетом масштаба чертежа находим х = 10. Координата у равна длине отрезка A_уO со знаком минус, так как т. A_у лежит в области отрицательных значений оси у. С учетом масштаба чертежа у = –30. Фронтальная проекция т. A – т. A» имеет координаты х и z. Опустим перпендикуляр из A» на ось z и найдем A_z. Координата z точки A равна длине отрезка A_zO со знаком минус, так как A_z лежит в области отрицательных значений оси z. С учетом масштаба чертежа z = –10. Таким образом, координаты т. A (10, –30, –10).

Координаты т. B можно записать в виде B (x, y, z). Рассмотрим горизонтальную проекцию точки B –  т. В’. Так как она лежит на оси х, то B_x = B’ и координата B_у = 0. Абсцисса x точки B равна длине отрезка B_хO со знаком плюс. С учетом масштаба чертежа x = 30. Фронтальная проекция точки B – т. B˝ имеет координаты х, z. Проведем перпендикуляр из B» к оси z, таким образом найдем B_z. Аппликата z точки B равна длине отрезка B_zO со знаком минус, так как B_z лежит в области отрицательных значений оси z. С учетом масштаба чертежа определим значение z = –20. Таким образом, координаты B (30, 0, -20). Все необходимые построения представлены на рисунке ниже.

Построение проекций точек

Точки A и B в плоскости П₃ имеют следующие координаты: A»’ (y, z); B»’ (y, z). При этом A» и A»’ лежат одном перпендикуляре к оси z, так как координата z у них общая. Точно также на общем перпендикуляре к оси z лежат B» и B»’. Чтобы найти профильную проекцию т. A, отложим по оси у значение соответствующей координаты, найденное ранее. На рисунке это сделано с помощью дуги окружности радиуса A_уO. После этого проведем перпендикуляр из A_у до пересечения с перпендикуляром, восстановленным из точки A» к оси z. Точка пересечения этих двух перпендикуляров определяет положение A»’.

Точка B»’ лежит на оси z, так как ордината y этой точки равна нулю. Для нахождения профильной проекции т. B в данной задаче необходимо лишь провести перпендикуляр из B» к оси z. Точка пересечении этого перпендикуляра с осью z есть B»’.

Определение положения точек в пространстве

Наглядно представляя себе пространственный макет, составленный из плоскостей проекций П₁, П₂ и П₃, расположение октантов, а также порядок трансформации макета в эпюр, можно непосредственно определить, что т. A расположена в III октанте, а т. B лежит в плоскости П₂.

Другим вариантом решения данной задачи является метод исключений. Например, координаты точки A (10, -30, -10). Положительная абсцисса x позволяет судить о том, что точка расположена в первых четырех октантах. Отрицательная ордината y говорит о том, что точка находится во втором или третьем октантах. Наконец, отрицательная аппликата z указывает на то, что т. A расположена в третьем октанте. Приведенные рассуждения наглядно иллюстрирует следующая таблица.

Координаты точки B (30, 0, -20). Поскольку ордината т. B равна нулю, эта точка расположена в плоскости проекций П₂. Положительная абсцисса и отрицательная аппликата т. B указывают на то, что она расположена на границе третьего и четвертого октантов.

Построение наглядного изображения точек в системе плоскостей П₁, П₂, П₃

Используя фронтальную изометрическую проекцию, мы построили пространственный макет III октанта. Он представляет собой прямоугольный трехгранник, у которого гранями являются плоскости П₁, П₂, П₃, а угол (-y0x) равен 45 º. В этой системе отрезки по осям x, y, z будут откладываться в натуральную величину без искажений.

Построение наглядного изображения т. A (10, -30, -10) начнем с её горизонтальной проекции A’. Отложив по оси абсцисс и ординат соответствующие координаты, найдем точки A_х и A_у. Пересечение перпендикуляров, восстановленных из A_х и A_у  соответственно к осям x и y определяет положение т. A’. Отложив от A’ параллельно оси z в сторону её отрицательных значений отрезок AA’, длина которого равна 10, находим положение точки A.

Наглядное изображение т. B (30, 0, -20) строится аналогично – в плоскости П₂ по осям x и z нужно отложить соответствующие координаты. Пересечение перпендикуляров, восстановленных из B_х и B_z, определит положение точки B.

1. Проекции точки на две плоскости проекций

Рассмотрим проекции точек на две плоскости, для чего возьмем две перпендикулярные плоскости (рис. 4), которые будем называть горизонтальной фронтальной и плоскостями. Линию пересечения данных плоскостей называют осью проекций. На рассмотренные плоскости спроецируем одну точку А с помощью плоской проекции. Для этого необходимо опустить из данной точки перпендикуляры Аа и A на рассмотренные плоскости.

Проекцию на горизонтальную плоскость называют горизонтальной проекцией точки А, а проекцию а́ на фронтальную плоскость называют фронтальной проекцией.

Точки, которые подлежат проецированию, в начертательной геометрии принято обозначать с помощью больших латинских букв А, В, С. Для обозначения горизонтальных проекций точек применяют малые буквы а, b, с… Фронтальные проекции обозначают малыми буквами со штрихом вверху а́, b́, с́…

Применяется также и обозначение точек римскими цифрами I, II,… а для их проекций — арабскими цифрами 1, 2… и 1́, 2́…

При повороте горизонтальной плоскости на 90° можно получить чертеж, в котором обе плоскости находятся в одной плоскости (рис. 5). Данная картина называется эпюром точки.

Через перпендикулярные прямые Аа и Аа́ проведем плоскость (рис. 4). Полученная плоскость является перпендикулярной фронтальной и горизонтальной плоскостям, потому что содержит перпендикуляры к этим плоскостям. Следовательно, данная плоскость перпендикулярна линии пересечения плоскостей. Полученная прямая пересекает горизонтальную плоскость по прямой аа_х, а фронтальную плоскость — по прямой а́а_х. Прямые аах и а́а_х являются перпендикулярными оси пересечения плоскостей. То есть Аааха́ является прямоугольником.

При совмещении горизонтальной и фронтальной плоскостей проекции а и а́ будут лежать на одном перпендикуляре к оси пересечения плоскостей, так как при вращении горизонтальной плоскости перпендикулярность отрезков аа_х и а́а_х не нарушится.

Получаем, что на эпюре проекции а и а́ некоторой точки А всегда лежат на одном перпендикуляре к оси пересечения плоскостей.

Две проекции а и а́ некоторой точки А могут однозначно определить ее положение в пространстве (рис. 4). Это подтверждается тем, что при построении перпендикуляра из проекции а к горизонтальной плоскости он пройдет через точку А. Точно так же перпендикуляр из проекции а́ к фронтальной плоскости пройдет через точку А, т. е. точка А находится одновременно на двух определенных прямых. Точка А является их точкой пересечения, т. е. является определенной.

Рассмотрим прямоугольник Aaa_ха́ (рис. 5), для которого справедливы следующие утверждения:

1) Расстояние точки А от фронтальной плоскости равно расстоянию ее горизонтальной проекции а от оси пересечения плоскостей, т. е.

Аа́ = аа_х;

2) расстояние точки А от горизонтальной плоскости проекций равно расстоянию ее фронтальной проекции а́ от оси пересечения плоскостей, т. е.

Аа = а́а_х.

Иначе говоря, даже без самой точки на эпюре, используя только две ее проекции, можно узнать, на каком расстоянии от каждой из плоскостей проекций находится данная точка.

Пересечение двух плоскостей проекций разделяет пространство на четыре части, которые называют четвертями (рис. 6).

Ось пересечения плоскостей делит горизонтальную плоскость на две четверти — переднюю и заднюю, а фронтальную плоскость — на верхнюю и нижнюю четверти. Верхнюю часть фронтальной плоскости и переднюю часть горизонтальной плоскости рассматривают как границы первой четверти.

При получении эпюра вращается горизонтальная плоскость и совмещается с фронтальной плоскостью (рис. 7). В этом случае передняя часть горизонтальной плоскости совпадет с нижней частью фронтальной плоскости, а задняя часть горизонтальной плоскости — с верхней частью фронтальной плоскости.

На рисунках 8-11 показаны точки А, В, С, D, располагающиеся в различных четвертях пространства. Точка А расположена в первой четверти, точка В — во второй, точка С — в третьей и точка D — в четвертой.

При расположении точек в первой или четвертой четвертях их горизонтальные проекции находятся на передней части горизонтальной плоскости, а на эпюре они лягут ниже оси пересечения плоскостей. Когда точка расположена во второй или третьей четверти, ее горизонтальная проекция будет лежать на задней части горизонтальной плоскости, а на эпюре будет находиться выше оси пересечения плоскостей.

Фронтальные проекции точек, которые расположены в первой или второй четвертях, будут лежать на верхней части фронтальной плоскости, а на эпюре будут находиться выше оси пересечения плоскостей. Когда точка расположена в третьей или четвертой четверти, ее фронтальная проекция — ниже оси пересечения плоскостей.

Чаще всего при реальных построениях фигуру располагают в первой четверти пространства.

В некоторых частных случаях точка (Е) может лежать на горизонтальной плоскости (рис. 12). В этом случае ее горизонтальная проекция е и сама точка будут совпадать. Фронтальная проекция такой точки будет находиться на оси пересечения плоскостей.

В случае, когда точка К лежит на фронтальной плоскости (рис. 13), ее горизонтальная проекция k лежит на оси пересечения плоскостей, а фронтальная ḱ показывает фактическое местонахождение этой точки.

Для подобных точек признаком того, что она лежит на одной из плоскостей проекций, служит то, что одна ее проекция находится на оси пересечения плоскостей.

Если точка лежит на оси пересечения плоскостей проекций, она и обе ее проекции совпадают.

Когда точка не лежит на плоскостях проекций, она называется точкой общего положения. В дальнейшем, если нет особых отметок, рассматриваемая точка является точкой общего положения.

2. Отсутствие оси проекций

Для пояснения получения на модели проекций точки на перпендикулярные плоскости проекций (рис. 4) необходимо взять кусок плотной бумаги в форме удлиненного прямоугольника. Его нужно согнуть между проекциями. Линия сгиба будет изображать ось пересечения плоскостей. Если после этого согнутый кусок бумаги вновь расправить, получим эпюр, похожий на тот, что изображен на рисунке.

Совмещая две плоскости проекций с плоскостью чертежа, можно не показывать линию сгиба, т. е. не проводить на эпюре ось пересечения плоскостей.

При построениях на эпюре всегда следует располагать проекции а и а́ точки А на одной вертикальной прямой (рис. 14), которая перпендикулярна оси пересечения плоскостей. Поэтому, даже если положение оси пересечения плоскостей остается неопределенным, но ее направление определено, ось пересечения плоскостей может находиться на эпюре только перпендикулярно прямой аа́.

Если на эпюре точки нет оси проекций, как на первом рисунке 14 а, можно представить положение этой точки в пространстве. Для этого проведем в любом месте перпендикулярно прямой аа́ ось проекции, как на втором рисунке (рис. 14) и согнем чертеж по этой оси. Если восстановить перпендикуляры в точках а и а́ до их пересечения, можно получить точку А. При изменении положения оси проекций получаются различные положения точки относительно плоскостей проекций, но неопределенность положения оси проекций не влияет на взаимное расположение нескольких точек или фигур в пространстве.

3. Проекции точки на три плоскости проекций

Рассмотрим профильную плоскость проекций. Проекции на две перпендикулярные плоскости обычно определяют положение фигуры и дают возможность узнать ее настоящие размеры и форму. Но бывают случаи, когда двух проекций оказывается недостаточно. Тогда применяют построение третьей проекции.

Третью плоскость проекции проводят так, чтобы она была перпендикулярна одновременно обеим плоскостям проекций (рис. 15). Третью плоскость принято называть профильной.

В таких построениях общую прямую горизонтальной и фронтальной плоскостей называют осью х, общую прямую горизонтальной и профильной плоскостей — осью у, а общую прямую фронтальной и профильной плоскостей — осью z. Точка О, которая принадлежит всем трем плоскостям, называется точкой начала координат.

На рисунке 15а показана точка А