Как найти приращение функции двух переменных

Системы координат в пространстве: Как отмечалось в
лекции 2, положение точки в пространстве можно определить в
декартовой системе координат тремя числами — ее координатами по трем взаимно перпендикулярным осям (ось абсцисс), (ось ординат), (ось аппликат) т.е. проекциями точки на соответствующие оси (рис. 29).

Определение:

Поверхность, для которой одна из координат
является постоянной, называется координатной поверхностью.

Определение:

Линия, для которой все координаты, кроме
одной, являются постоянными, называется координатной линией.

Для декартовой системы координат координатными поверхностями
являются плоскости, параллельные координатным плоскостям.
Действительно, в соответствии с определением (48.1) их уравнения имеют вид: или а в соответствии с изложенным в лекции 33 это есть уравнения плоскостей, параллельных плоскостям соответственно.

Координатными линиями для декартовой системы координат
являются прямые, параллельные координатным осям, получающиеся как пересечение координатных плоскостей.

Вообще можно заметить, что координатные линии являются
пересечением координатных поверхностей.

Наряду с декартовыми координатами часто применяются
цилиндрические координаты. В этих координатах положение точки в пространстве определяется заданием полярных координат и ее проекции на плоскость и аппликаты точки (рис. 30). Эти три числа , и называются цилиндрическими координатами точки . Они связаны с ее декартовыми координатами , , следующими соотношениями:

Для цилиндрических координат координатными поверхностями
являются плоскости, перпендикулярные координатной оси полуплоскости, ограниченные осью и цилиндрические поверхности Последний факт объясняет название системы координат. Координатными линиями будут линии пересечения этих поверхностей.

Кроме декартовых и цилиндрических координат в пространстве
также применяются сферические координаты. В этих координатах
положение точки в пространстве определяется длиной радиуса-вектора этой точки (полярный радиус), ее долготой и широтой (рис. 31).

Долготой точки называется полярный угол ее проекции на плоскость широтой называется угол радиуса-вектора точки с положительным направлением оси

Сферические координаты связаны с декартовыми следующими
соотношениями:

Для сферических координат координатными поверхностями являются сферы с центром в начале координат полуплоскости, ограниченные осью и конусы с вершиной в начале координат и осью в качестве оси симметрии Координатными линиями
будут линии пересечения этих поверхностей. Название системы координат объясняется наличием сфер среди координатных поверхностей.

Основные понятия функций двух переменных

Определение функции одной переменной было дано в лекции 3 части 1 Курса. По аналогии с этим определением введем понятие функции двух переменных.

Определение:

Функцией двух переменных называется правило,
которое каждой паре действительных чисел ставит в соответствие единственное число

Переменные и — называются независимыми переменными или
аргументами, переменная — зависимой переменной или функцией, множество называется областью определения множество называется областью изменения или множеством значений функции

Обозначать функцию двух переменных будем аналогично тому, как
это делали для функции одной переменной: Значение функции для фиксированного значения аргументов будем обозначать или: Так как каждой паре чисел соответствует единственная точка плоскости в декартовых координатах и наоборот, то функцию двух переменных можно рассматривать как функцию точки и писать: или Областью определения функции в этом случае будет некоторое множество точек плоскости

Пример:

Периметр параллелограмма со сторонами и определяется по формуле и является функцией двух переменных. Областью определения этой функции является множество всех пар неотрицательных чисел т.е. первый квадрант плоскости Множеством значений функции является множество всех неотрицательных чисел.

Основными способами задания функции двух переменных являются
аналитический и табличный.
При аналитическом способе функция задается посредством формул.
При этом она может быть задана в декартовой, цилиндрической или
сферической системе координат в явном и неявном виде.

Если в уравнении, определяющем функцию, значение функции выражено в явном виде (изолировано в левой части уравнения), то говорят, что функция задана в явном виде:

Пример:

Функция задана в явном виде.

Область определения данной функции есть множество точек плоскости для которых область изменения есть

Если в уравнении, определяющем функцию, значение функции не изолированно, то говорят, что функция задана в неявном виде уравнением вида:

При этом остается требование, чтобы каждой паре чисел из области определения соответствовало единственное значение .

Пример:

Функция задана в неявном виде. Это уравнение определяет две функции и Как известно из курса средней школы, это есть уравнение сферы радиуса с центром в начале координат. Первая функция определяет верхнюю полусферу, вторая — нижнюю.

Область определения каждой из этих функций:

т.е. круг на плоскости радиуса с центром в начале координат.

Для табличного задания функции двух переменных составляется таблица «с двойным входом» вида:

Табличное задание функции

В первой строке таблицы перечисляются значения аргумента в
левом столбце — значения аргумента , в остальных клетках — соответствующие значению аргумента . Значение функции соответствующее данному значению аргумента (например ) и (например ) расположено на пересечении соответствующего столбца и строки:

Графиком функции двух переменных является множество точек
пространства, удовлетворяющих уравнению функции. Для функции двух переменных это будет в общем случае некоторая поверхность (см. пример 48.3).
Следует отметить, что поскольку эта поверхность изображается в
проекции на плоскость (лист бумаги), изображение графиков функции двух переменных вызывает определенные трудности. Однако в настоящее время в связи с широким распространением персональных компьютеров с большим набором графических пакетов прикладных программ эти трудности отступают на второй план по сравнению с наглядностью графического метода представления функции.

Функции более двух независимых переменных

На
практике встречаются функции трех и более независимых переменных. Так, например, объем прямоугольного параллелепипеда зависит от трех аргументов — длины ширины и высоты

Определение:

Функцией трех переменных называется
правило, которое каждой тройке действительных чисел ставит в соответствие единственное число

Переменные называют независимыми переменными или аргументами, переменную — зависимой переменной или функцией, множество называют областью определения функции множество — областью изменения или множеством значений функции

Обозначаются функции трех переменных так же, как и функции двух переменных: Функцию трех переменных можно рассматривать как функцию точки в пространстве.

Определение:

Если каждой точке некоторого множества трехмерного пространства соответствует число и, определяемое функцией то говорят, что на множестве задано трехмерное скалярное поле.

Способами задания функции трех переменных являются также
аналитический и табличный. Следует, однако отметить, что пользоваться таблицей с тремя входами менее удобно.

Аналогично можно ввести понятие функции четырех переменных,
пяти, вообще — переменных. Область определения функции переменных является множество системы действительных чисел Функцию переменных также часто рассматривают как функцию точки -мерного пространства и пишут:

Заметим, что функцию трех или более переменных изобразить с
помощью графика в пространстве невозможно. Способы графического представления такой функции будут рассмотрены в следующей лекции.

По аналогии с определением 48.5 говорят, что если каждой точке некоторого множества -мерного пространства с помощью функции соответствует число то на множестве задано -мерное скалярное поле.

Поверхности и линии в пространстве

Как отмечалось в
начале лекции, поверхность в 3-х мерном пространстве описывается уравнением вида или

Пересечение двух поверхностей задает линию в пространстве; таким
образом, линия в пространстве определяется системой двух уравнений вида

или

Изучать характер изменения поверхности можно методом
параллельных сечений, который заключается в следующем. Рассматривают линии получающиеся в сечении поверхности семейством параллельных плоскостей и на основании изменения этих сечений судят о характере изменения (рельефе) поверхности. Чаще всего это будут плоскости параллельные координатным плоскостям. Например для представления о рельефе
земной поверхности на географических картах изображают линии
одинаковой высоты (изогипсы или горизонтали), получающиеся в сечении земной поверхности семейством параллельных плоскостей.

Определение:

Линиями уровня функции называются линии, образующиеся в пересечении графика этой функции (поверхности) с плоскостями, параллельными координатной плоскости , т. е. линии вида: где — произвольная константна. Другими словами, линии уровня задаются уравнениями вида

Если функция задана в неявном виде то уравнения линий уровня будут иметь вид:

Пример:

Уравнение поверхности, разобранной в примере (48.8) (сферы радиуса с центром в точке ) имеет вид

Линии уровня будут иметь уравнения где — произвольная константа. Преобразовывая это уравнение получим: Если это уравнение задает окружности на плоскости с центром в точке радиуса тем большего, чем меньше при радиус равен При линией уровня этой поверхности будет точка , при уровня нет. Поверхность и ее линии уровня изображены на рис. (32) для .

Для функции трех переменных аналогичным понятием будут
поверхности уровня.

Определение:

Поверхностями уровня функции называются поверхности вида

где — произвольная константа

Это будет однопараметрическое семейство поверхностей в 3-х мерном пространстве

Цилиндрические поверхности

Определение:

Поверхность составленная из всех прямых,
пересекающих данную линию и параллельных данной прямой называется цилиндрической поверхностью. Линия называется направляющей, а каждая из прямых, параллельных образующей цилиндрической поверхности.

В дальнейшем мы будем рассматривать только цилиндрические
поверхности с плоскими направляющими, лежгицими в одной из
координатных плоскостей и образующими, перпендикулярными этой плоскости (см. рис. 33).

Можно показать, что не содержащее переменной уравнение в пространстве является уравнением цилиндрической поверхности с образующими параллельным осям и направляющей которая в плоскости задается тем же уравнением

Замечание:

В пространстве направляющая определяется системой уравнений:

Аналогично можно показать, что уравнение не содержащее , и уравнение не содержащее определяют в пространстве цилиндрические поверхности с образующими, параллельными соответственно осям и

Рассмотрим примеры цилиндрических поверхностей.

Определение:
Поверхность определяемая уравнением

является цилиндрической и называется эллиптическим цилиндром (рис. 34).

Ее образующие параллельны оси а направляющей является эллипс с полуосями и лежащий в плоскости В частности, если то направляющей является окружность, а поверхность является прямым круговым цилиндром. Его уравнение

Определение:

Цилиндрическая поверхность, определяемая уравнением

называется гиперболическим цилиндром (рис. 35).

Образующие этой поверхности параллельны оси а направляющей служит расположенная в плоскости гипербола с действительной полуосью и мнимой полуосью

Определение:

Цилиндрическая поверхность, определяемая уравнением

называется параболическим цилиндром (рис. 36).

Ее направляющей является парабола, лежащая в плоскости образующие параллельны оси

Замечание:

Как известно, прямая в пространстве может
быть задана уравнениями различных пар плоскостей, пересекающихся по этой прямой. Подобно этому кривая в пространстве может быть задана с помощью уравнений различных поверхностей, пересекающихся по этой кривой. Например, окружность получающаяся в сечении плоскости сферы может быть задана системой уравнений.

С другой стороны эта окружность может быть получена как линия
пересечения плоскости и прямого кругового цилиндра

т.е. может быть задана системой уравнений

равносильной системе (48.9)

В дальнейшем, исследуя форму той или иной поверхности с помощью сечений, параллельных координатным плоскостям, мы не раз будем пользоваться цилиндрическими поверхностями, проектирующими эти сечения на координатные плоскости. Это позволит так же, как в рассмотренном примере, судить о размерах и форме указанных сечений, а тем самым и
о форме исследуемых поверхностей.

Конические поверхности

Поверхность, составленная из всех
прямых, пересекающих линию и проходящих через данную точку называется конической поверхностью. При этом линия называется направляющей конической поверхности, точка — ее вершиной, а каждая из прямых, составляющих коническую поверхность — образующей.

В качестве примера рассмотрим коническую поверхность с вершиной в начале координат, для которой направляющей является эллипс

с полуосями и лежащей в плоскости Эта поверхность
называется конусом второго порядка (рис. 37). Выведем ее уравнение.

Рассмотрим произвольно выбранную точку конической
поверхности и проведем через нее образующую пересекающуюся с направляющей в точке Составим уравнение прямой проходящей через точки и

Отсюда Подставив эти выражения во второе из уравнений эллипса (48.11), получим или, после преобразований

Мы получили каноническое уравнение конуса второго порядка. В частности, если то направляющей является окружность а поверхность является прямым круговым конусом. Его уравнение

48.4.3. Поверхность вращения. Пусть линия лежащая в плоскости задана уравнениями

Рассмотрим поверхность образованную вращением этой линии
относительно оси (рис. 38).

Эта поверхность называется поверхностью вращения. Найдем ее уравнение. Пусть произвольно выбранная точка поверхности вращения. Проведем через точку плоскость, перпендикулярную оси и обозначим точки пересечения этой плоскости с осью и кривой соответственно через и (рис. 38). Отрезки и являются радиусами одной и той же окружности. Потому Но длина отрезка равна абсолютной величине ординаты точки т.е. а Следовательно, или Кроме того, аппликата точки очевидно, равна аппликате точки

Так как точка лежит на линии заданной уравнениями (48.13), то координаты и точки удовлетворяют второму из этих уравнений. Подставляя в него вместо и соответственно равные им величины и , получим уравнение

которому удовлетворяют координаты любой точки поверхности вращения. Можно показать, что координаты точек, не лежащих на этой поверхности, уравнению (48.14) не удовлетворяют. Таким образом, уравнение (48.14) является уравнением поверхности вращения относительно оси линии определяемой уравнениями (48.13). Уравнение (48.14) получается из второго уравнения системы (48.13) заменой в нем и координатами по формулам

Замечание:

Мы считали, что кривая задана в плоскости и вращается относительно Однако кривая может быть
задана и в другой координатной плоскости и может вращаться относительно другой координатной оси. Формулы, подобные формулам (48.13), (48.14) и (48.15), читатель легко составит сам.

Решение заданий на тему: Основные понятия функции нескольких переменных

Пример:

Найти и изобразить на плоскости область
определения функции двух переменных

Решение:

Поскольку знаменатель не должен обращаться в нуль,
область определения данной функции будет:

Это будет множество всех точек плоскости за исключением точек, лежащих на прямой (см. рис. 39)

Ответ:

Пример:

Найдите область определения функции трех переменных

Решение:

Поскольку выражение под корнем квадратным
должно быть неотрицательным, область определения данной функции будет:

Это будет множество всех точек полупространства, отделенного
плоскостью включая саму плоскость.

Ответ:

Пример:

Найдите и изобразите на плоскости линии уровня
функции двух переменных

Решение:

Уравнение линий уровня имеет вид где — произвольная константа. Очевидно, что данному уравнению будет
соответствовать линия только при При это будет начало координат — точка . При — эллипс с полуосями

Пример:

Определите вид поверхности, задаваемой уравнением

Решение:

Выделив полный квадрат по и по получим уравнение поверхности в виде:

Это круговой цилиндр с осью параллельной оси проходящей через точку радиусом 1.

Поверхности второго порядка

В части 1 данного Курса мы
изучили кривые второго порядка. Аналогично этому, общее уравнение поверхности второго порядка имеет вид:

Рассмотренные в 47.4 лекции уравнения поверхности являются
частным случаем общего уравнения (49.1).
Форму поверхностей рассматриваемых в этой лекции, будем изучать
методом параллельных сечений. Суть этого метода состоит в том, что на координатную плоскость проектируются сечения поверхности
плоскостями, параллельными этой координатной плоскости так, как это делается на графических картах.

49.1.1. Эллипсоид.

Определение:

Поверхность определяемая уравнением

называется эллипсоидом. Числа называются полуосями
эллипсоида, а уравнение (49.2) каноническим уравнением эллипсоида.

Так как в уравнении (49.2) текущие координаты входят в четных
степенях, то эллипсоид симметричен относительно координатных
плоскостей. Чтобы установить форму эллипсоида, будем пересекать его плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Покажем, что если пересечь эллипсоид плоскостью то в сечении получится эллипс В самом деле, исключая из уравнений

аппликату получим уравнение цилиндрической поверхности,
проектирующее сечение на плоскость или

Из этого уравнения видно, что кривая есть эллипс с полуосями

Из формулы (49.3) видно, что с возрастанием полуоси эллипса и уменьшаются. При имеем и сечение вырождается в точку. Аналогично можно показать, что при пересечении эллипсоида плоскостями

также получаются эллипсы. Эллипсоид имеет вид, изображенный на рис. (42). В частном случае при получаем эллипсоид вращения.

Определение:

Если все три полуоси эллипсоида равны между
собой: то получившаяся поверхность называется сферой:

Пример:

Какую поверхность задает уравнение

Решение:

Поделив обе части уравнения на 12 и переписав его в
виде:

заключаем, что это есть уравнение эллипсоида с полуосями

49.1.2. Гиперболоиды.

Определение:

Поверхность определяемая уравнением

называется однополостным гиперболоидом} а уравнение (49.5) — его
каноническим уравнением.

Эта поверхность имеет три плоскости симметрии — координатные
плоскости, так как текущие координаты входят в уравнение (49.5) в четных степенях. Пересекая однополостный гиперболоид плоскостью получим в плоскости гиперболу (рис. 43)

Аналогично, в сечении однополостного гиперболоида плоскостью получится гипербола

лежащая в плоскости

При пересечении однополостного гиперболоида плоскостью получится эллипс уравнения которого имеют вид:

или

Полуоси этого эллипса и возрастают с возрастанием абсолютной величины . При получится эллипс, лежащий в плоскости и имеющий наименьшие полуоси

При получим однополостный гиперболоид вращения

При пересечении его плоскостями получаются окружности

В п. (48.4.2) и (48.4.3) рассматривались цилиндрические и конические
поверхности, каждая из которых составлена из прямых. Оказывается, однополостный гиперболоид можно также рассматривать как поверхность, составленную из прямых линий. Рассмотрим прямую, определяемую уравнениями.

в которых — полуоси однополостного гиперболоида, а произвольно выбранное число

Перемножая почленно эти уравнения, получим

т.е. уравнение однополостного гиперболоида.
Таким образом, уравнение однополостного гиперболоида является
следствием системы уравнений (49.7). Поэтому координаты любой точки удовлетворяющие системе (49.7), удовлетворяют также и уравнению (49.5) однополостного гиперболоида. Иными словами, все точки прямой (49.7) принадлежат гиперболоиду (49.5). Меняя значения мы получим целое семейство прямых, лежащих на поверхности (49.5). Аналогично можно показать, что однополостному гиперболоиду принадлежат все прямые семейства

где — произвольный параметр.

Можно также показать, что через каждую точку однополостного
гиперболоида проходит по одной прямой каждого из указанных семейств.
Таким образом, однополостный гиперболоид можно рассматривать как поверхность, составленную из прямых линий (рис. 44).

Возможность составления поверхности однополостного гиперболоида
из прямых линий используется в строительной технике. Так, например, по конструкции, предложенной инженером Шуховым, в Москве была сооружена радиомачта с помощью балок, расположенных по прямолинейным образующим однополостного гиперболоида.

Определение:

Поверхность, определяемая уравнением

называется двуполостным гиперболоидом, а (49.9) его каноническим уравнением.

Координатные плоскости являются плоскостями симметрии для
двуполостного гиперболоида. Пересекая эту поверхность координатными плоскостями и получим соответственно гиперболы (рис. 45).

Если двуполостной гиперболоид (49.9) пересечь плоскостью то в сечении получится эллипс

с полуосями возрастающими возрастанием При с поверхность (49.9) с плоскостью очевидно, на пересекается. Двуполостный гиперболоид состоит из двух отдельных частей (полостей), чем и объясняется его название. При уравнение (49.9) имеет вид

и является уравнением двуполостного гиперболоида вращения. В сечении последнего плоскостью получится окружность

радиуса

Пример:

Какую поверхность задает уравнение

Решение:

Поделив обе части уравнения на 5 и переписав его в
виде

заключаем, что это уравнение однополостного гиперболоида,
расположенного «вдоль» оси

Пример:

Какую поверхность задает уравнение

Решение:

Поделив обе части уравнения на -5 и переписав его в
виде

заключаем, что это уравнение двуполостного гиперболоида вращения, расположенного «вдоль» оси

49.1.3. Параболоиды.

Определение:

Эллиптическим параболоидом называется поверхностъ, определяемая уравнением

а (49.10) — его каноническим уравнением.

При пересечении эллиптического параболоида координатными
плоскостями и получатся соответственно параболы

а при пересечении плоскостью — эллипс

с полуосями (рис. 46). В случае получим параболоид

Поскольку входят в уравнение (49.10) в четных степенях, эллиптический параболоид имеет две плоскости симметрии: и

Определение:

Гиперболическим параболоидом называется
поверхность, определяемая уравнением

а (49.11) его каноническим уравнением.

Пересекая эту поверхность плоскостью получим параболу

При пересечении гиперболического параболоида плоскостью получится парабола

При различных значениях получится целое семейство парабол, лежащих в плоскостях, параллельных плоскости и имеющих одинаковый параметр .

Гиперболический параболоид можно рассматривать как поверхность, описываемую движением любой из этих парабол при условии, что плоскость движущейся параболы остается параллельной плоскости ось симметрии параболы остается в плоскости а вершина движется по параболе (49.12). Пересекая гиперболический параболоид плоскостью получим гиперболу

На рис. (47) показано расположение этой гиперболы для двух случаев: (верхний край) и (нижний край). При т.е. при пересечении гиперболического параболоида координатной плоскостью получится линия, уравнение которой в плоскости имеет вид

Последнее уравнение равносильно системе двух уравнений

Это означает, что гиперболический параболоид пересекается плоскостью по двум прямым

лежащим в плоскости проходящим через начало координат. Кроме этих двух прямых, существуют и другие прямые, полностью лежащие на гиперболическом параболоиде. Более того, как и в случае однополостного гиперболоида, можно показать, что через каждую точку гиперболического параболоида проходит по одной прямой каждого из двух семейств прямых

где и — произвольные параметры.

Таким образом, гиперболический параболоид можно рассматривать
как поверхность составленную из прямых линий (рис. 48).

Замечание:

Поверхности, составленные из прямых линий, называются линейчатыми. Таким образом, цилиндрические и конические поверхности, а также одпополостный гиперболоид и гиперболический параболоид являются линейчатыми поверхностями.

Пример:

Какую поверхность задает уравнение ?

Решение:

Записав уравнение в виде:

заключаем, что это уравнение эллиптического параболоида,
расположенного «вдоль» оси в отрицательную сторону. В сечении плоскостями, при отрицательных значениях получаются эллипсы с полуосями и

Пример:

Какую поверхность задает уравнение ?

Решение:

Записав уравнение в виде:

заключаем, что это уравнение гиперболического параболоида («седла») с осью в качестве «всадника» и осью в качестве «лошади».

Решение заданий на тему: Поверхности второго порядка

Пример:

Определите вид поверхности, задаваемой уравнением

Решение:

Перенеся свободный член в правую часть уравнения и
поделив обе его части на 5, получим:

Это каноническое уравнение эллипсоида с полуосями

Ответ: эллипсоид.

Пример:

Определите вид поверхности, задаваемой уравнением

Решение:

Перенеся свободный член в правую часть уравнения и
поделив обе его части на 6, получим:

Это каноническое уравнение однополостного гиперболоида, расположенного вдоль оси , с полуосями и эллипса в плоскости

Ответ: Однополостный гиперболоид вдоль

Пример:

Определите вид поверхности, задаваемой уравнением

Решение:

Перенеся свободный член в правую часть уравнения и
поделив обе его части на 7, получим:

Это каноническое уравнение однополостного гиперболоида вращения, расположенного вдоль оси , с радиусом окружности в плоскости . Ответ: Однополостный гиперболоид вращения вдоль

Пример:

Определите вид поверхности, задаваемой уравнением

Решение:

Перенеся в левую часть уравнения и деля обе его части на 2, получаем:

Это уравнение двуполостного гиперболоида, расположенного вдоль оси

Ответ: Двуполостный гиперболоид вдоль оси

Пример:

Определите вид поверхности, задаваемой уравнением

Решение:

Перенеся в левую часть уравнения и деля обе его части на 4, получаем:

Это уравнение двуполостного гиперболоида вращения, расположенного вдоль оси

Ответ: Двуполостный гиперболоид вдоль оси

Пример:

Определите вид поверхности, задаваемой уравнением

Решение:

Перенеся другую часть уравнения и поделив обе его части на 5, получим:

Это уравнение эллиптического параболоида, расположенного вдоль оси

Ответ: Эллиптический параболоид вдоль оси

Пример:

Определите вид поверхности, задаваемой уравнением

Решение:

Перенеся в другую часть уравнения и поделив обе его части на 3, получим:

Это каноническое уравнение гиперболического параболоида,
расположенного вдоль оси

Ответ: Гиперболический параболоид вдоль оси

Преобразование декартовых координат в пространстве

Параллельный перенос осей. Поворот осей. Приведение поверхности
2-го порядка к каноническому виду.

Аналогично тому, как это было сделано в лекции 2 части 1
настоящего курса, выведем формулы связывающие координаты точки в данной декартовой (прямоугольной) системе координат с ее координатами в другой такой же, отличающейся расположением начала и направлением осей. Сначала рассмотрим более простой случай, когда оси координат сонаправленны.

Параллельный перенос осей декартовой системы координат

Будем предполагать, что обе системы прямоугольные, причем одноименные оси этих систем параллельны, одинаково направлены и на каждой из них выбрана одна и та же масштабная единица (см. рис. 49). Условимся называть координаты точки в системе старыми, а в системе полученной параллельным переносом осей старой системы — новыми.

Пусть начало новой системы координат имеет в старой системе координаты

Также как для декартовой системы двух координат (см. лекцию 2
части 1 Курса), можно показать, что при параллельном переносе осей в пространстве получаются следующие формулы преобразования координат:

или, что тоже самое

50.2. Поворот осей декартовой системы координат. Пусть в
пространстве заданы две прямоугольные системы координат, имеющие общее начало система (старая) и система (новая), которая получена поворотом старой системы. Найдем формулы, выражающие старые координаты произвольной точки пространства через ее новые координаты

Задавать положение новых осей относительно старых будем с помощью направляющих косинусов. Так, например, положение оси зададим тремя направляющими косинусами, обозначив их следующим образом:

Заметим, что так же как для направляющих косинусов вектора,
справедливо соотношение:

Обозначив аналогичным образом направляющие косинусы всех осей, сведем результаты в таблицу:

Направляющие косинусы новых осей по отношению к старым
Можно доказать (сделайте это самостоятельно), что старые
координаты выражаются через новые по формулам:

Если обозначить матрицу направляющих косинусов вектор-столбец старых координат а новых

то формулы (50.4) в матричной форме запишутся в виде:

Матрица обладает свойствами:

• сумма квадратов элементов строки или столбца равна 1;

• сумма произведений соответственных элементов двух строк или столбцов равна нулю;

Такая матрица, как отмечалось в лекции 36 части 1 Курса, называется ортогональной. Формулы (50.4) соответствуют формулам (36.2) лекции 36, а преобразование координат в матричной форме (50.6) такое же как для случая двух координат.

Поскольку обратная матрица совпадает с транспонированной: обратное к (50.6) преобразование в матричной форме имеет вид:

а в координатах:

Определение:

Декартова (прямоугольная) система координат в пространстве называется правой, если смешанное произведение единичных векторов по осям координат равно +1:

Если , система координат называется левой.

На практике, если направление оси совпадает с движением правого буравчика, у которого ручка вращается по кратчайшему пути от оси к оси , то система правая. Если же направление оси противоположно, система левая (рис. 51).

Замечание:

Если считать оси системы координат в
пространстве «жестко соединенными», то вращением невозможно
совместить правую и левую системы координат с общим началом.

Замечание:

Определитель матрицы преобразования
координат равен + 1, если при преобразовании ориентация системы не меняется (правая переходит в правую или левая в левую). В противном случае (правая переходит в левую или левая в правую) определитель равен -1.

Замечание:

На плоскости также различают правую и левую
системы координат (см. рис. 52). Система является правой, если ось совмещается с осью кратчайшим путем вращением против часовой стрелки.

Если считать оси системы координат на плоскости «жестко
соединенными», то вращением без вывода из плоскости невозможно совместить правую и левую системы координат с общим началом.

Приведение уравнения поверхности 2-го порядка к каноническому виду

Если в общем уравнении (49.1) поверхности 2-го порядка отсутствуют члены то
привести уравнение к каноническому виду можно выделив полный квадрат. Покажем это на примерах. .

Пример:

Какую поверхность задает уравнение:

Решение:

Сгруппировав члены с одинаковыми переменными и
выделив полный квадрат, получаем:

Сделаем замену переменных:

В новых координатах уравнение примет вид:

Это каноническое уравнение эллипса с полуосями

Поскольку новые координаты выражаются через старые координаты по формулам:

основании изложенного в п. (50.1), заключаем, что новая система
координат получается из старой параллельным переносом начала координат в точку Поскольку в новых координатах поверхность является эллипсоидом с центром в начале координат и осями координат в качестве осей симметрии, то в старых координатах поверхность является эллипсоидом с центром в точке и осями симметрии параллельными осям координат.

Пример:

Какую поверхность задает уравнение

Решение:
Сгруппировав члены с одинаковыми переменными и выделив полный квадрат, получаем:

Сделаем замену переменных:

В новых координатах уравнение имеет вид:

Это каноническое уравнение однополостного гиперболоида,
расположенного «вдоль» оси . В сечениях перпендикулярных оси получаются эллипсы. Поскольку новая система координат получается из старой параллельным переносом начала в точку осью гиперболоида является прямая, параллельная оси и проходящая через эту точку.

Если в общем уравнении (49.1) поверхности 2-го порядка не все коэффициенты равны нулю, то для приведения уравнения поверхности к каноническому виду необходимо найти собственные числа и собственные векторы матрицы квадратичной формы (49.1) как это изложено в лекции 36 т.1 данного Курса.

Направляющие косинусы осей новой системы координат, в которой
уравнение поверхности станет каноническим, находятся из трех систем уравнений:

дополненных условием нормировки (50.3):

где три действительные собственные значения находятся из характеристического уравнения (50.9):

Замечание:

Направляющие косинусы каждой из трех новых
осей образуют собственный вектор матрицы квадратичной формы

соответствующий собственному значению Если все
корни уравнения (50.9) отличны от нуля, системы (50.8) определяют направляющие косинусы осей новой системы координат в которой уравнение поверхности будет каноническим. Если два корня уравнения (50.9) равны нулю, поверхность является параболическим
цилиндром или парой параллельных плоскостей. В этом случае систему (50.8) следует дополнить уравнением и полученная система определит направляющие косинусы образующих цилиндра

Замечание:

Можно показать, что если матрица квадратичной формы не вырождена то каноническое уравнение поверхности второго порядка после приведения к каноническому виду имеет вид:

где: — собственные значения матрицы квадратичной формы.

— ее определитель.

матрица уравнения поверхности, — ее определитель, называемый дискриминантом уравнения поверхности.

Пример:

Определить, какую поверхность задает уравнение

и найти направляющие косинусы осей новой системы координат, в
которой уравнение поверхности станет каноническим.

Решение:

Составим матрицу (50.10) квадратичной формы:

и характеристическое уравнение (50.9):

Найдем направляющие косинусы из систем (50.8), дополненных условием нормировки (50.3).

Получим матрицу линейного преобразования координат (поворот осей):

Делая это преобразование т.е

получаем уравнение:

Делая еще одно преобразование (параллельный перенос)

получаем каноническое уравнение однополостного гиперболоида

Решение заданий на тему: Преобразование декартовых координат в пространстве

Пример:

Определите вид поверхности задаваемой уравнением

Решение:

Сгруппировав члены с одинаковыми переменными и
выделив полный квадрат, получаем:

Сделаем замену переменных:

В новых координатах уравнение имеет вид:

Это каноническое уравнение эллиптического параболоида.

Пример:

Определить вид поверхности задаваемой уравнением

найти направляющие косинусы осей новой системы координат и
каноническое уравнение поверхности.

Решение:

Составим матрицу (50.10) квадратичной формы:

и характеристическое уравнение (50.9):

выполним элементарные преобразования для упрощения определителя: прибавим к первому столбцу последний и к первой строк последнюю:

Составим системы (50.8)

Решая эти системы, с учетом нормирующего условия (50.3) находим
направляющие косинусы и матрицу линейного преобразования

Делая преобразование координат (поворот осей) т.е.

и затем — параллельный перенос, получаем каноническое уравнение
эллиптического цилиндра:

Пример:

Определить вид поверхности, задаваемой уравнением

Решение:

Матрица (50.10) квадратичной формы имеет следующий
вид:

Решая характеристическое уравнение

находим собственные значения:

Решая системы (50.8) с учетом нормирующего условия (50.3) находим
направляющие косинусы и матрицу линейного преобразования :

Делая преобразование :

получаем в координатах уравнение поверхности, не содержащее, членов со смешанным произведением Выделяя дальше
полный квадрат, получаем каноническое уравнение конуса:

Заметим, что здесь

Предел, непрерывность и частные производные функции двух переменных

Предел функции двух переменных: При рассмотрении
предела функции одной переменной (часть 1 Курса) было введено понятие — окрестности точки — интервал с центром в точке вида Введем аналогичное понятие для функции двух переменных.

Определение:

-окрестностью точки называется внутренняя часть круга с центром в этой точке радиуса

Любая точка этой — окрестности находится от точки на расстоянии меньшем

Определение:

Число называется пределом функции двух переменных или двойным пределом функции при если для любого числа найдется такая -окрестность точки что для любой точки этой окрестности, за исключением, быть может точки будет выполнено неравенство:

При этом записывают:

Для двойного предела справедливы все свойства предела,
перечисленные в части 1 Курса для функции одного переменного: предел суммы, разности, произведения равен соответственно сумме, разности, произведению пределов, если каждый из них существует; предел частного равен частному пределов, если каждый из них существует и предел знаменателя не равен нулю; постоянный множитель можно выносить за знак предела
и т.д.

Из определений (51.1) и (51.2) следует, что

где — расстояние между точками и .

Поэтому для вычисления пределов функции двух переменных мы будем пользоваться равносильным определением (51.3)

Определение:

Число называется пределом функции двух
переменных или двойным пределом функции при если функция определена в некоторой окрестности точки за исключением, быть может, точки и где

Пример:

Найти

Решение:

В данном примере . Таким образом:

В данном примере функция не существует в точке но имеет предел при

Заметим, что двойной предел при одновременном нии обоих аргументов не обязательно совпадает с повторными пределами

которые не являются новыми понятиями, а вычисляются последовательно как обычные пределы функции одной переменной.

Однако существует теорема, которая позволяет заменять двойной
предел функции двух переменных повторным пределом при достаточно широких предположениях.

Теорема:

Если существует и при окрестности а при окрестности

Пример:

В условиях примера (51.1) вычислить повторные пределы.

Решение:

Проверьте самостоятельно, что

Установите справедливость выполнения условий теоремы 51.1.

Определение:

Функция называется бесконечно малой при если ее двойной предел равен нулю.

Можно доказать равносильность следующих трех утверждений:

является бесконечно малой при

Определение предела естественным образом распространяется на
случай функции 3-х и более переменных.

Определение:

Областью (открытой областью) называется
множество точек плоскости, обладающее следующими двумя свойствами:

1. каждая точка области принадлежит ей вместе с некоторой
   окрестностью этой точки (свойство открытости);
2. всякие две точки области можно соединить непрерывной линией, целиком лежащей в этой области (свойство связности).

Часть плоскости, лежащей внутри замкнутого контура (см. рис. 53), является областью, так как: 1) для любой точки лежащей внутри существует окрестность, также лежащая внутри , 2) две любые точки и , лежащие внутри можно соединить непрерывной линией, лежащей внутри

Точка называется граничной точкой области если любая окрестность этой точки содержит как точки области так и точки, ей не принадлежащие.

Множество всех граничных точек области называется ее границей.

На рис. (53) любая точка контура очевидно, является граничной.

Определение:

Если к открытой области присоединить ее
границу, то полученное множество точек называется замкнутой областью.

Определение:

Если для данной области можно подобрать круг,
полностью ее покрывающий, т.е. такой, внутри которого лежат все точки области, то такая область называется ограниченной.

Если же круга, полностью покрывающего область, подобрать нельзя,
то область называется неограниченной.

Определение:

Область (открытая или замкнутая)
называется односвязной, если для любого замкнутого контура, лежащего в этой области, ограниченная им часть плоскости целиком принадлежит области .

Например, область, заключенная между окружностями и не является односвязной, так как, например, окружность лежащая в этой области, содержит внутри себя точки, не принадлежащие области (скажем, начало координат).

Замечание:

Все введенные в этом пункте понятия
переносятся на пространство трех и большего числа измерений.

Непрерывность функции нескольких переменных

Определение:

Функция переменных называется непрерывной в точке если функция определена в этой точке и в некоторой ее окрестности и

Определение:

Точка в которой функция непрерывна, называется точкой непрерывности этой функции.

Заметим, что определение точки разрыва более сложное, чем просто
противоположное к данному утверждение и будет сформулировано позже.
Свойства непрерывных функций сформулируем в виде теоремы,
которую примем без доказательства, т.к. оно аналогично доказательству соответствующей теоремы о непрерывных функциях одной переменной из тома 1 Курса.

Теорема:

Если функция переменных и непрерывны в точке , то в этой же точке непрерывны и их сумма разность и частное если .

На основании этой теоремы легко устанавливается непрерывность
многочлена от двух переменных при любом их значении и непрерывность рациональной функции во всех точках плоскости, в которых знаменатель не равен нулю.

Определение:

Точка называется точкой разрыва функции если она принадлежит области определения этой функции или ее границе и не является точкой непрерывности.

Пример:

Найти точки разрыва функции

Решение:

Функция определена и непрерывна всюду, кроме
точек с координатами, удовлетворяющими уравнению: Это уравнение прямой являющейся границей области определения функции. Каждая точка этой прямой есть точка разрыва.

Ответ: точки разрыва образуют прямую

Функции непрерывные в ограниченной замкнутой области

Были рассмотрены свойства функции одной
переменной, непрерывной на отрезке. Аналогичными свойствами обладают функции нескольких переменных, непрерывные в ограниченной замкнутой области.

Определение:

Функция называется непрерывной в , если она непрерывна в каждой точке этой области. При
этом для непрерывности в граничной точке траекторию траекторию при стремлении выбираем внутри

Теорема:

Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области , то она в этой области:

1. ограничена:

2. достигает своего наименьшего т и наибольшего значений:

3.любое значение между и принимает хотя бы в одной точке области:

Пример:

Функция определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области — круге с центром в точке и радиуса 1.

Она ограничена: при

Наименьшее значение достигается в точках окружности — на границе области, наибольшее значение достигается в начале координат — внутренней точке области.

Функция принимает любое значение в точках окружности Графиком функции является верхняя полусфера, изображенная на рис.

Частные производные 1-го порядка

Рассмотрим функцию двух переменных Зафиксируем значение одного из аргументов, например положив Тогда функция есть функция одной переменной . Пусть она имеет производную в точке

Эта производная называется частной производной (или частной производной первого порядка) функции по в точке и обозначается символом

Разность

называется частным приращением по функциив точке и обозначается символом

Учитывая эти обозначения, можно записать

Аналогично определяются и обозначаются частное приращение функции по и частная производная по у в точке

Таким образом, частная производная функции двух переменных по
одному из ее аргументов равна пределу отношения частного приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Значение частной производной зависит от точки в которой она вычисляется. Поэтому частная производная функции двух переменных вообще говоря, есть функция точки т.е. также является функцией двух переменных и

Частные производные, рассматриваемые как функции двух
переменных, обозначаются следующим образом:

Частные приращения и частные производные функции переменных при определяются и обозначаются аналогично. Например, для функции трех переменных частное приращение по в точке получится, если получит приращение а остальные аргументы останутся неизменными:

Частная производная функции по аргументу в точке равна

Таким образом, частная производная функции нескольких
переменных определяется как производная функции одной из этих переменных. Вследствие этого все правила и формулы дифференцирования, выведенные для производных функции одной переменной, сохраняются для частных производных функции нескольких переменных. Следует лишь помнить, что во всех этих правилах и формулах при нахождении частной производной по какому-либо аргументу все остальные аргументы считаются постоянными.

Пример:

Найти частные производные первого порядка функции в точке

Решение:

Ответ:

Выясним геометрический смысл частной производной функции двух переменных Как известно, графиком этой функции является некоторая поверхность. Рассмотрим точку в плоскости и соответствующую точку на поверхности (рис. 55).

Рассмотрим плоскую кривую которая получится при сечении поверхности плоскостью Эту кривую можно рассматривать как график функции одной переменной в плоскости

Отсюда следует, что итак, значение частной производной в точке равно тангенсу угла, составленного с осью Ох касательной, проведенной в точке к линии пересечения поверхности и плоскости

Частные производные высших порядков

Частные
производные функции нескольких переменных являются функциями тех же переменных. Эти функции, в свою очередь, могут иметь частные производные, которые называются вторыми частными производными (или частными производными второго порядка) исходной функции.

Так, например, функция двух переменных имеет четыре
частные производные второго порядка, которые определяются и обозначаются следующим образом:

Функция трех переменных имеет девять частных производных второго порядка:

Аналогично определяются и обозначаются частные производные
третьего и более высокого порядка функции нескольких переменных: частной производной порядка функции нескольких переменных называется частная производная первого порядка от частной производной порядка той же функции.

Например, частная производная третьего порядка функции есть частная производная первого порядка по у от частной производной второго порядка

Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по
нескольким различным переменным, называется смешанной частной производной.

Например, частные производные

являются смешанными частными производными функции двух
переменных

Пример:

Найти смешанные частные производные второго
порядка функции

Решение:

Находим частные производные первого порядка

Затем находим смешанные частные производные второго порядка

Мы видим, что смешанные частные производные данной функции и отличающиеся между собой лишь порядком дифференцирования, т.е. последовательностью, в которой производится дифференцирование по различным переменным, оказались тождественно равными. Этот результат не случаен. Относительно смешанных частных производных имеет место следующая теорема, которую мы принимаем без доказательства.

Теорема:

Две смешанные частные производные одного порядка
одной и той же функции, отличающиеся лишь порядком
дифференцирования, равны между собой при условии их непрерывности.

В частности, для функции двух переменных имеем:

Решение заданий на тему: Частные производные

Поскольку основная задача данного практического занятия —
приобретение навыков нахождения частных производных функции нескольких переменных, мы не всегда будем упрощать полученный результат.

Пример:

Найдите все частные производные первого порядка функции

Решение:

При нахождении будем считать постоянным. Пользуясь обычными правилами нахождения производных получаем:

Пример:

Найдите частные производные первого порядка функции

Решение:

При нахождении считаем постоянным

Аналогично находим , считая постоянным.

Пример:

Найдите частные производные первого порядка функции

Решение:

При нахождении считаем постоянным и находим производную показательной функции:

При нахождении считаем постоянным и находим производную показательной функции:

Пример:

Найдите частные производные первого порядка функции

Решение:

При фиксированном находим

Аналогично находим при фиксированном

Пример:

Найдите частные производные первого порядка функции

Решение:

При фиксированном находим

Аналогично, при фиксированном находим

Полный дифференциал функции нескольких переменных

Полное приращение функции: При нахождении частных производных рассматривались частные приращения функции нескольких переменных, когда лишь один из аргументов изменялся, остальные же оставались фиксированными (постоянными). Теперь мы рассмотрим полное приращение, которое получает функция при изменении всех ее аргументов.

Пусть дана функция двух переменных Предположим, что и получают соответственно приращения и . Тогда функция получает полное приращение , которое определяется следующей формулой:

Геометрически полное приращение функции равно приращению аппликаты графика функции при переходе из точки в точку (см. рис. 56).

Найдем, например, полное приращение функции при условии, что имеет приращение , а — приращение .

Используя формулу (52.1), получим

Мы видим, что полное приращение данной функции можно
представить в виде суммы двух слагаемых: первого слагаемого линейного относительно приращений аргументов и и второго слагаемого нелинейного относительно и . Оба этих слагаемых, очевидно, стремятся к нулю при однако второе слагаемое при этом стремится к нулю быстрее, чем первое.

Полный дифференциал функции

В предыдущем пункте
мы рассмотрели пример, в котором приращение функции двух переменных было предоставлено в виде суммы двух слагаемых линейно относительно и и нелинейного, причем при нелинейная часть приращения стремится к нулю быстрее, чем линейная. Подобным свойством обладают многие функции. Эти функции называются дифференцируемым.

Напомним, что в томе 1 для функции одной переменной было введено понятие дифференциала как главной части приращения функции линейной относительно приращения аргумента. Дифференциал независимой переменной равнялся ее приращению: дифференциал функции связан с производной формулой: . Аналогичным образом можно ввести понятие частного дифференциала по функции двух переменных Если считать значение фиксированным: и частного дифференциала по :

Определение:

Полным дифференциалом функции двух переменных называется сумма ее частных дифференциалов по и по

Полный дифференциал является главной частью приращения функции аргументов и. Другими словами, приращение функций представляется в виде суммы дифференциала и бесконечно малой более высокого порядка, чем расстояние между точками и

Определение:

Если функции в точке существует
дифференциал, то она называется дифференцируемой в этой точке.

Как следует из определения (52.1), если функция в точке дифференцируема, то она имеет в этой точке частные производные и

Можно показать, что обратное утверждение, вообще говоря, неверно,
т.е. из существования частных производных не следует существование полного дифференциала. Однако, если предположить, что частные производные не только существуют, но и непрерывны, то функция будет дифференцируемой. Иными словами, имеет место следующая теорема, доказательства которой мы не приводим.

Теорема:

Если частные производные и функции непрерывны в некоторой окрестности точки то эта функция в точке дифференцируема и справедлива формула (52.2)

Все сказанное легко распространяется на функции трех и большего
числа переменных. Так, например, для дифференцируемой функции трех переменных полное приращение выражается формулой

при условии а ее полный дифференциал имеет вид

Пример:

Найти полный дифференциал функции в произвольной точке.

Решение:

Полный дифференциал существует при условии непрерывности частных производных и . Находим

Мы видим, что найденные частные производные являются непрерывными функциями во всей плоскости . Поэтому дифференциал этой функции всюду существует, причем Сравните это выражение
с линейной частью приращения функции в п. (52.1)

Геометрический смысл полного дифференциала

Пусть функция имеет в точке дифференциал

или

В лекции 50 было показано, что уравнение касательной плоскости имеет вид:

где — аппликата точки касательной плоскости. Поскольку
правые части этих уравнений совпадают, будут совпадать и их левые части.
Таким образом, дифференциал функции двух переменных равен
приращению аппликаты касательной плоскости

В этом заключается геометрический смысл дифференциала.
Заметим, что в соответствии с определением дифференциала приращение аппликаты касательной плоскости есть главная часть приращения функции (см. рис. 57).

Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала

Полным дифференциалом функции нескольких переменных можно пользоваться для приближенных вычислений.Пусть дана дифференцируемая функция Ее полное приращение выражается формулой.

Здесь стремится к нулю быстрее, чем Поэтому при малых т.е. при малых и слагаемым можно пренебречь и написать:

т.е. приращение функции можно приближенно заменить ее полным
дифференциалом.

Так как

Подставляя это выражение для в формулу (52.6), получим

откуда

Формулой (52.7) можно пользоваться при приближенных вычислениях значений функции двух переменных в точке , близкой к точке если известны значения функции и ее частных производных в самой точке .

Аналогичные формулы можно вывести для функции переменных при . Например, получим

Пример:

Вычислить приближенно с помощью полного дифференциала

Решение:

Рассмотрим функцию Применяя формулу (52.7) к этой функции получим:

Найдем частные производные:

Положим теперь Получим:

Заметим, что если вычислить это значение с большей точностью с
помощью калькулятора, получится Этот пример
иллюстрирует определение дифференциала как главной части приращения функции.

Дифференциалы более высоких порядков

Если — функция независимых переменных и , имеет непрерывные
частные производные второго порядка, то можно найти дифференциал от полного дифференциала, называемый дифференциалом второго порядка:

Поскольку и не зависят от переменных и , в соответствии с формулой (52.2), находим:

Пользуясь теоремой (51.4) и приводя подобные члены, получаем:

Аналогично можно найти дифференциал третьего порядка функции
двух независимых переменных (сделайте это самостоятельно):

Легко догадаться, что общая формула для дифференциала -го порядка функции двух независимых переменных имеет вид, похожий на бином Ньютона:

Дифференцирование сложных функций

Пусть дана
функция двух переменных причем аргументы этой функции являются функциями одной независимой переменной

Тогда есть сложная функция одной независимой переменной . Поставим задачу найти производную этой сложной функции зная частные производные и . При решении этой задачи будем предполагать, что функции и имеют производные в точке а функция двух переменных в соответствующей точке дифференцируема.

Пусть независимая переменная получает приращение тогда переменные и получают соответственно приращения и а функция приращение . Так как функция по предположению дифференцируема, то ее полное приращение может быть представлено в следующем виде:

причем где Разделив обе части равенства (52.11) на и переходя к пределу при получим

Если каждый из пределов, стоящих в правой части этого равенства,
существует, то существует и предел, стоящий в левой части этого
равенства, т.е. производная Но и существуют по предположению.

Найдем

Рассмотрим сначала

Этот предел существует, так как существуют производные и Прежде чем находить отметим, что при также и Но тогда и, следовательно,

Учитывая это, формулу (52.12) можно записать в следующем виде:

Пример:

Найти производную если

Решение:

Используя формулу (52.13), получим

Рассмотрим теперь функцию при условии, что Здесь переменная есть функция одной переменной

Этот случай сводится к предыдущему, причем роль переменной играет . По формуле (52.13) имеем

Но и поэтому

В правой и левой частях этой формулы имеются производные по . Одна из них — частная производная функции двух переменных которая находится так, как если бы не зависел от . В отличие от нее производная стоящая в левой части формулы (52.14), есть производная сложной функции одной переменной . Эту производную мы будем называть полной производной.

Предположим теперь, что причем и Тогда есть сложная функция двух независимых переменных и . Найдем частные производные и этой сложной функции.

Частные производные находится так, как если бы были функциями одной переменной . Но тогда можно воспользоваться формулой (52.13), заменив в ней соответствующими частными производными

Аналогично можно получить выражение для

Полученные результаты легко обобщаются на случай сложной
функции любого конечного числа аргументов.

В частности, для функции трех переменных имеем

Дифференцирование неявных функций

Пусть дано уравнение

В нем каждому действительному значению соответствует такое единственное значение , что если эти значения и подставить в уравнение (52.18), то оно превратится в тождество. Например, значению соответствует значение так как при подстановке этих значений и в уравнение (52.18) мы получим тождество Аналогично, значению соответствует значение и т.д. Иными словами,с помощью уравнения (52.18) задана функция, областью определения
которой является вся числовая ось, а множество значений -множество всех неотрицательных чисел. Эта функция называется неявной.

Пусть в общем случае дано уравнение

где — функция двух переменных.

Определение:

Если каждому значению принадлежащему некоторому множеству соответствует единственное значение которое совместно с удовлетворяет уравнению (52.19), то говорят, что уравнение определяет на множестве неявную функцию

Таким образом, для неявной функции определенной уравнением (52.19), имеет место тождество

справедливое для всех х из области определения М этой неявной функции.

В отличие от неявной функции функция заданная уравнением, разрешенным относительно , называется явной.

Вернемся к рассмотренному примеру. Уравнение (52.18) можно
разрешить относительно

Эта функция — явная. Разумеется, это та же самая функция, которая
ранее была задана неявно уравнением (52.18). Она тождественно
удовлетворяет уравнению (52.18). В самом деле, подставив в соотношение (52.18) вместо его выражение из формулы (52.20), получим

В некоторых случаях каждому значению соответствует несколько значений , удовлетворяющих совместно с данным уравнению (52.19). Тогда это уравнение определяет не одну, а несколько неявных функций. Так, например, уравнение определяет две
неявные функции, которые можно записать в явном виде, разрешив уравнение относительно

Не следует, однако, думать, что всякую неявную функцию можно
представить в виде явной элементарной функции. Например, уравнение

задает неявную функцию так как существуют пары значений и удовлетворяющие данному уравнению (например, и т.д.). Но это уравнение нельзя разрешить так, чтобы выражался через элементарные функции аргумента

Не всякое уравнение вида задает неявную функцию. Например, уравнению не удовлетворяют никакие
действительные значения х и у, и, следовательно, оно не определяет никакой неявной функции.

Каким же условиям должна удовлетворять функция , чтобы уравнение определяло единственную неявную функцию ? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема существования неявной функции.

Теорема:

Если функция и ее частные производные определены и непрерывны в некоторой окрестности точки и при этом то уравнение определяет в некоторой окрестности точки единственную неявную функцию непрерывную и дифференцируемую в некотором интервале, содержащем точку причем .

Эту теорему мы оставляем без доказательства.

Перейдем теперь к вопросу о дифференцировании неявной функции.
Пусть левая часть уравнения (52.19) удовлетворяет указанным в
теореме условиям. Тогда это уравнение определяет неявную функцию для которой в окрестности точки имеет место тождество относительно .

Так как производная функции, тождественно равной нулю, также
равна нулю, то полная производная но в силу соотношения (52.14) имеем

и поэтому , откуда

По этой формуле находится производная неявной функции одной
переменной.

Пример:

Найти производную неявной функции заданной уравнением Следовательно по формуле (52.21)

В частности, в точке

Не выражая у в явном виде через мы установили, что в данной точке касательная к графику образует с осью угол 45°

Инвариантность формы полного дифференциала

Как
известно, для дифференциала функции одной переменной имеет место инвариантность его формы. Это значит, что выражение для дифференциала остается верным независимо от того, является ли независимой переменной или функцией некоторой переменной:

Для функции нескольких переменных справедливо аналогичное утверждение: полный дифференциал функции сохраняет свою форму

независимо от того, являются ли независимыми переменными или функциями других переменных.

Мы ограничимся доказательством этого утверждения только для
случая функции двух переменных Как известно, если и являются независимыми переменными, полный дифференциал имеет следующий вид:

Покажем, что эта форма дифференциала сохраняется, когда и становятся функциями новых переменных: Тогда является сложной функцией и . Дифференциал этой сложной функции выражается формулой

Но по формулам (52.16) и (52.17)

так как

Следовательно, полный дифференциал не изменяет своей формы, т.е. и тогда, когда и являются функциями новых переменных.

Заметим, что дифференциалы более высоких порядков такими
свойствами не обладают.

Решение заданий на тему: Полный дифференциал

Пример:

Найдите полные дифференциалы 1-го и 2-го порядка
функции

Решение:

Дифференциал 1-го порядка находим как в примере
(52.2).

Находя дифференциал от и помня, что и не зависят от и , получаем:

Для нахождения можно также воспользоваться формулой (52.11):

Пример:

Найдите , если

Решение:

В соответствии с формулой производной сложной
функции имеем:

После подстановки выражений для вынесения общего множителя за скобки, получаем:

Пример:

Найдите если

Решение:

находим как в предыдущем практическом занятии, находим по формуле производной сложной функции

Пример:

Найдите производную функции заданной неявно уравнением:

Решение:

Для получения требуемой производной
продифференцируем обе части данного уравнения, имея в виду, что это функция от

Отсюда находим

Продифференцировав это выражение еще раз, имея в виду, что есть функция от можем найти

Производная по направлению и градиент

Производная по направлению: Пусть задана
дифференцируемая функция Рассмотрим точку этого скалярного поля (см. определение 46.5) и луч выходящий из точки в направлении единичного вектора где — углы вектора с осями координат.

Пусть — какая нибудь другая точка этого луча. Разность значений функции и скалярного поля в точках и назовем приращением этой функции в направлении обозначим через Тогда

Обозначим через расстояние между точками и :

Определение:

Производной функции в точке по направлению называется предел

Производная функции по направлению обозначается символом Таким образом,

Заметим, что если производная функции в точке по данному направлению положительна, то функция в этом направлении возрастает; если же то функция в этом направлении убывает.
Можно сказать, что производная по направлению дает скорость изменения функции в этом направлении.

Выведем формулу для вычисления производной по направлению.
Прежде всего заметим, что приращения координат точки связаны с длиной отрезка и направляющими косинусами вектора следующими соотношениями (см. рис. 58):

Так как функция по условию дифференцируема, то, как было показано в лекции 51.6 (см. п. 52.2), ее приращение в точке можно представить в виде

причем стремится к нулю быстрее, чем

т.е.

Если рассматривать приращение функции вдоль луча в направлении вектора ,то выражаются по формулам (53.2). Тогда равенство (53.3) примет следующий вид:

Разделив обе части этого равенства на и переходя к пределу при , получим

Но и направляющие косинусы не зависят от и так как , то

Из формулы (53.4) следует, что если вектор совпадает с одним из ортов то производная по направлению совпадает с соответствующей частной производной этой функции. Так, например, если то и, следовательно,

Замечание:

Все сказанное в этом разделе остается
справедливым для функции двух переменных В этом случае производная по направлению задается формулой (53.5) и равна скорости в направлении вектора

Пример:

Найти производную функции в точке в направлении вектора

Решение:

частные производные в точке были найдены в примере (51.5). В
соответствии с формулой (53.5) получаем:

Полученный результат свидетельствует о том, что в точке функция возрастает в данном направлении

Ответ:

Градиент

Напомним, что в лекции 46 было дано определение
скалярного поля.

Определение:

Градиентом в точке скалярного поля, заданного дифференцируемой функцией или просто градиентом функции называется вектор, равный

Градиент функции мы будем обозначать одним из символов Следовательно, по определению

Таким образом, каждой точке скалярного поля, заданного дифференцируемой функцией соответствует не только значение этой функции, но и вполне определенный вектор

Пример:

Найти градиент функции в точке

Решение:

Найдем значение частных производных в точке

В соответствии с формулой (53.7) получаем:

Ответ:

Теорема:

Проекция вектора на единичный вектор

равна производной функции по направлению

Доказательство:

Пусть Из векторной алгебры известно, что проекция какого-либо вектора на единичный вектор равна скалярному произведению этих векторов. Но

Поэтому

что и требовалось доказать.

Учитывая, что производная по направлению выражает скорость изменения скалярного поля в этом направлении, можно сказать, что проекция на вектор равна скорости изменения поля в направлении вектора

Обозначим через угол угол между единичным вектором и . Тогда . Поэтому, на основанием формулы (53.8),

Если направление векторов и совпадают то производная по направлению имеет, очевидно, наибольшее значение, равное .

Таким образом, мы приходим к следующему выводу: есть вектор, указывающий направление наибольшего возрастания поля в данной точке и имеющий модуль, равный скорости этого возрастания.

Отсюда следует, что функции скалярного поля определяется самим полем и: не зависит от системы координат, в которой рассматривается функция поля.

Выясним взаимное расположение данной точке и поверхности уровня, проходящей через эту точку. Пусть уравнение этой поверхности имеет вид

Рассмотрим кривую лежащую на поверхности (53.10) и проходящую через точку (рис. 59). Предположим, что эта кривая задана уравнениями

где — дифференцируемые функции причем Если обозначить то уравнения кривой можно записать в векторной форме: Можно доказать, что вектор составленный из производных

направлен по касательной к кривой в точке

Каждая точка кривой имеет координаты которые должны удовлетворять уравнению (53.10) поверхности уровня, поскольку кривая полностью лежит на этой поверхности. Таким образом, должно выполняться тождество

Продифференцируем обе части этого тождества по : учитывая, что получим

В частности, при имеем

Левая часть этого равенства является скалярным произведением

и вектора

направленного по касательной к кривой . Таким образом,

Предположим, что Тогда из равенства (53.11) вытекает, что перпендикулярен к вектору направленному по касательной к кривой в точке

Так как эта кривая была выбрана произвольно, то мы приходим к
следующему выводу. Если скалярное поле задано дифференцируемой функцией то все касательные, проведенные в точке к линиям, лежащим на поверхности уроня и проходящим через точку расположены в одной плоскости, перпендикулярной вектору при условии, что этот вектор не равен нулю.

В случае плоского скалярного поля, заданного дифференцируемой
функцией двух переменных , градиент определяется формулой

Его связь с производной по направлению выражается равенством

где — угол между единичным вектором направления и Можно показать, что если поле задано дифференцируемой функцией то вектор перпендикулярен к касательной, проведенной к линии уровня в точке .

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Пусть
поверхность задана уравнением

где — дифференцируемая функция. Если в точке градиент отличен от нуля, то в соответствии с изложенным выше все касательные, проведенные в точке к линиям, лежащим на поверхности и проходящим через точку , расположены в одной плоскости, перпендикулярной

Эта плоскость называется касательной к поверхности и в точке (см. рис. 60).

Для нахождения уравнения этой плоскости, используем уравнение
плоскости, проходящей через данную точку

В качестве нормального вектора возьмем вектор градиента, перпендикулярный касательной плоскости. Уравнение касательной плоскости примет вид:

Определение:

Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной плоскости называется нормалью к поверхности.

Для нахождения ее уравнения, воспользуемся уравнением прямой в
пространстве, проходящей через заданную точку

В качестве направляющего вектора возьмем вектор градиента, параллельный нормали:

Пример:

Найти уравнение касательной плоскости и нормали к
однополостному параболоиду в точке

Решение:

Запишем уравнение поверхности в виде (53.13): Здесь

Найдем

В соответствии с (53.14) уравнение касательной плоскости имеет вид:

В соответствии с (53.15) уравнение нормали имеет вид:

Ответ:

Рассмотрим теперь часто встречающийся на практике случай, когда
поверхность задана уравнением как в примере (53.3). Этот случай сводится к предыдущему, как это сделано в предыдущем примере.

Запишем уравнение поверхности в виде

Здесь Найдем

В соответствии с (53.14) уравнение касательной плоскости имеет вид:

В соответствии с (53.15) уравнение нормали имеет вид:

Направляющие косинусы нормали в точке находятся как было
изложено в т. 1 Курса. Формулы для направляющих косинусов нормали при задании поверхности уравнением получаются следующие:

где

Если поверхность задала уравнением формулы, очевидно будут следующими:

Решение заданий на тему: Производная по направлению и градиент

Пример:

Найдите производную функции в точке в направлении, составляющем с осью угол 60°.

Решение:

Найдем направляющие косинусы:

Заметим, что можно также найти из условия

Найдем значения частных производных в точке :

Найдем производную по направлению:

Поскольку производная по направлению равна тангенсу угла наклона касательной в данной точке в данном направлении с плоскостью , заключаем, что в точке в заданном направлении функция возрастает и довольно «круто» угол касательной с плоскостью составляет около 77°.

Пример:

Найдите производную функции в точке в направлении, идущем от этой точки к началу координат .

Решение:

Найдем направляющие косинусы, для чего
предварительно найдем координаты вектора задающего направление. В соответствии с изложенным в Части 1 Курса, координаты вектора получаются вычитанием координат начала вектора из координат его конца:

Направляющие косинусы вектора равны координатам единичного
вектора, сонаправленого с данным:

Найдем

Аналогично тому, как это делалось в предыдущем примере, найдем
производную по направлению:

Заметим, что функция в данном направлении в точке убывает (производная отрицательная). Самостоятельно с помощью калькулятора найдите угол касательной с плоскостью

Пример:

Найдите градиент функции в точке и производную этой функции в данной точке в направлении градиента.

Решение:

Используя найденные в примере (53.1) значения частных
производных, найдем

В соответствии с изложенным в лекции 46 производная функции в
данной точке принимает наибольшее значение в направлении градиента и равна его модулю; т.е. Таким образом, в данном мере производная функции в точке в направлении градиента равна что немного больше результата примера (53.1).

Пример:

Найдите уравнение касательной плоскости и нормали
к конусу

в точке

Решение:

Здесь поверхность задана уравнением вида где:

Найдем

В соответствии с (52.16) уравнение касательной плоскости имеет вид:

В соответствии с (52.17) уравнение нормали имеет вид:

Ответ:

Экстремум функции нескольких переменных

Формула Тейлора функции 2-х переменных:

Пусть
функция двух переменных непрерывна вместе со всеми своими частными производными до -го порядка в некоторой окрестности точки . Тогда, аналогично тому как было в случае функции одного переменного, представим функцию двух переменных в виде многочлена — го порядка по степеням

Можно показать, что для случая эта формула будет иметь вид:

где коэффициенты при на зависят от и и

— называется остаточным членом и имеет следующий вид:

В этих обозначениях формула Тейлора (54.1) принимает вид:

Замечание:

Для функции переменных формула Тейлора, аналогичная (54.1), выписанная до членов первого порядка, в окрестности точки будет иметь вид:

где

Решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона

Пусть дана система нелинейных уравнений с неизвестными, где

— некоторые функции:

Определение:

Решением системы (54. 3) называется точка — мерного пространства координаты которой удовлетворяют этой системе.

Введем матрицы-столбцы неизвестных (координаты точки — мерного пространства) функций и нулевой столбец.

Тогда система (54.3) может быть записана в матричном виде:

Для приближенного решения системы (54.3) в методе Ньютона
предлагается процедура последовательного уточнения значений решения системы.

Пусть известно приближенное решение системы (54.5) и его отличие от истинного решения:

где:

В матричных обозначениях (54.6) записывается следующим образом:

Подставляя (54.6) в (54.3), получаем систему:

Заменим каждую из функций в левых частях этих уравнений по
формуле Тейлора (54.2) с точностью до линейных членов:

Пренебрегая остаточным членом, получим систему (54.7) линейных
уравнений для определения неизвестных «поправок» к

Находя из этой системы значения поправок находим по формулам (54.8)

Конечно, подставляя найденные значения в систему (54.3), мы не получим (в общем случае) тождество, т.к. при вычислении поправок мы пренебрегаем остаточным членом в формуле Тейлора. Вычисляя, на основании значений новые поправки из системы (54.7), найдем следующее, приближение. Процесс обычно продолжается до тех пор, пока поправки к решению не оказываются по абсолютной величине меньше наперед заданной точности вычислений , которую обычно берут одинаковой для всех неизвестных: для всех

Метод Ньютона, как правило, сходится если начальное приближение
достаточно близко к истинному решению. На практике начальное
приближение для системы двух и трех уравнений выбирают из геометрических соображений. Решение системы (54.7) и реализация метода Ньютона в настоящее время осуществляется с помощью ЭВМ.

В матричном виде, с использованием обозначений (54.4), система (54.7) и ее решение записывается более удобно:

где — так называемая матрица Якоби, или якобиан, составлена из производных функций в точке

Решая матричное уравнение (54.9), получаем матрицу-столбец
поправок:

где — матрица, обратная к матрице Якоби, вычисленной для Очередное приближение вычисляется по формуле:

Замечание:

Для системы двух и трех уравнений аргументы обозначают, как правило, традиционным способом:

Пример:

Решить систему уравнений

Решение:

В данном случае система двух уравнений с двумя неизвестными:

Таким образом, матрица Якоби получилась равной:

На практике далее вычисления производятся с помощью программы на ЭВМ, исходными данными для работы которой являются правые части уравнений матрица Якоби начальное приближение и точность вычислений .

Для нахождения начального приближения воспользуемся
геометрической интерпретацией уравнений системы примера 54.1. Уравнение определяет эллипс с полуосями Уравнение определяет кубическую параболу Нарисовав обе кривые в одних осях найдем нулевое приближение из графика (см. рис. 61)

Ограничимся нахождением решения системы с положительными
координатами, выбрав в качестве начального приближения

Для начальной иллюстрации метода Ньютона покажем процесс
численного решения примера 54.1. В вычислениях будем брать на один знак больше требуемой точности, т.е. 2 знака после запятой.
Найдем матрицу обратную к матрице Якоби как было изложено в
части 1 настоящего Курса:

Система (54.11) для определения поправок приобретает вид:

Подставляя сюда начальное приближение получаем значения поправок

Вычисляя далее очередное приближение получаем

Поскольку условие окончания процесса

Подставляя в систему (54.13) значения получаем

Поскольку условие окончания процесса выполнено:

Окончательное приближение получается равным

Локальный экстремум функции нескольких переменных

Определение:

Мы говорим, что функция имеет локальный максимум в точке если

для всех точек достаточно близких к точке и отличных от нее.

Определение:

Совершенно аналогично говорят, что функция имеет локальный минимум в точке если

для всех точек достаточно близких к точке и отличных от нее.

Локальный максимум и минимум функции называют локальными
экстремумами функции, т.е. говорят, что функция имеет локальный
экстремум в данной точке, если эта функция имеет локальный максимум или минимум в данной точке.
Как и для функции одной переменной локальные максимумы и
минимумы будем называть просто максимумами и минимумами или экстремумами.
Данное выше определение максимума и минимума функции можно
перефразировать следующим образом.

Положим тогда

1) Если при всех достаточно малых приращениях независимых переменных, то функция достигает максимума в точке

2) Если при всех достаточно малых приращениях независимых переменных, то функция достигает минимума в точке

Эти формулировки переносятся без изменения на функцию любого
числа переменных.

Теорема:

Необходимые условия экстремума. Если функция достигает экстремума при то каждая частная производная первого порядка от или обращается в нуль при этих значениях аргументов, или не существует.

Действительно, дадим переменному определенное значение, именно Тогда функция будет функцией одного переменного . Так как при она имеет экстремум (максимум или минимум), то, следовательно, или равна нулю, или не существует. Совершенно аналогично можно доказать, что или равна нулю (см. рис. 62), или не существует (см. рис. 63).

Эта теорема не является достаточной для исследования вопроса об
экстремальных значениях функции, но позволяет находить эти значения в тех случаях, в которых мы заранее уверены в существовании максимума или минимума. В противном случае требуется дополнительное исследование.

Так например функция имеет производные которые обращаются в нуль при Но эта функция при указанных значениях не имеет ни максимума, ни минимума. Действительно, эта функция равна нулю в начале координат и принимает в как угодно близких от начала координат точках как положительные, так и отрицательные значения. Следовательно, значение нуль не является ни максимумом, ни минимумом (см. рис. 64).

Определение:

Точки области определения в которых и не существует и или не существует, называются критическими точками функции

Если функция достигает экстремума в какой либо точке, то в силу
теоремы (54.1) это может случиться только в критической точке.
Для исследования функции в критических точках установим
достаточные условия экстремума функции двух переменных.

Теорема:

Пусть в некоторой области, содержащей точку функция имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно; пусть, кроме того, точка является критической точкой функции т.е.

Тогда при

1. имеет максимум, если

2. имеет минимум, если

3. не имеет ни максимум, ни минимума, если

4. то экстремум может
быть и может не быть (в этом случае требуется дальнейшее исследование).

Замечание:

В случае, когда функция имеет локальный экстремум в точке знаки совпадают.

Действительно, если

и например,

Доказательство теоремы 54.2: Напишем формулу Тейлора второго
порядка для функции Полагая

будем иметь:

где , а стремится к нулю при

По условию

Следовательно,

Обозначим теперь значения вторых частных производных в точке через

Обозначим через угол между направлением отрезка где есть точка и осью тогда

Подставляя эти выражения в формулу для , найдем:

Предположим, что

Разделив и умножив на выражение, стоящее в квадратных скобках, получим:

Рассмотрим теперь четыре возможных случая.

1. Пусть Тогда в числителе дроби стоит сумма двух неотрицательных величин. Они одновременно в нуль не обращаются, так как первый член обращается в нуль при второй при

Если то дробь есть отрицательная величина, не обращающаяся в нуль. Обозначим ее через тогда

где не зависит от Следовательно, при достаточно малых будет:

или

Но тогда для всех точек , достаточно близких к точке , имеет место неравенство

а это означает, что в точке функция достигает максимума.

2) Пусть Тогда, аналогично рассуждая, получим:

или

т.е. имеет минимум в точке

3) Пусть В этом случае функция не имеет
ни максимума, ни минимума. Функция возрастает, когда мы движемся из точки по одним направлениям, и убывает, когда мы движемся по другим направлениям. Действительно, при перемещении вдоль луча имеем:

при движении вдоль этого луча функция возрастает. Если же перемещаться вдоль луча такого, что то при будет:

при движении вдоль этого луча функция убывает.

4) Пусть В этом случае функция тоже не имеет
ни максимума, ни минимума. Исследование проводится так же, как и в случае .

5) Пусть Тогда и равенство (54.15) можно переписать в виде

При достаточно малых значениях выражение, стоящее в круглых скобках, сохраняет знак, так как оно близко к , а множитель меняет знак в зависимости от того, будет ли больше нуля или меньше нуля. Следовательно, и в этом случае меняет знак при различных т.е. при различных и , следовательно, и в этом случае нет ни максимума, ни минимума.

Таким образом, каков бы ни был знак имеем всегда следующее положение:

Если в точке , то функция не имеет в этой точке максимума, ни минимума. В этом случае поверхность, служащая графиком функции, может вблизи этой точки иметь, например форму седла (см. рис. 64).

6) Пусть В этом случае на основании формулы (54.15) и (54.16) сделать заключение о знаке нельзя. Так, например, при будем иметь:

при знак определяется знаком здесь требуется специальное дальнейшее исследование (например, с помощью формулы Тейлора более высокого порядка или каким либо иным способом). Таким образом, теорема (54.2) полностью доказана.

Пример:

Исследовать на максимум и минимум функцию

Решение:
1) Найдем критические точки пользуясь необходимыми условиями
экстремума:

Отсюда получаем две критические точки:

2) Найдем производные второго порядка:

3) Исследуем характер первой критической точки

Следовательно, в точке (1; 1) данная функция имеет минимум, именно:

4) Исследуем характер второй критической точки

Следовательно, во второй критической точке функция не имеет ни
максимума, ни минимума (минимакс).

Решение заданий на тему: Экстремум функции нескольких переменных

Пример:

Найдите экстремумы функции

Решение:

Найдем частные производные первого порядка и найдем
стационарные точки из необходимого условия экстремума, решив систему уравнений:

Найдем далее частные производные второго порядка и вычислим значение дискриминанта в стационарных точках.

В соответствии с достаточным условием экстремума найденная
стационарная точка является точкой экстремума. Поскольку это минимум.

Ответ: Точка является точкой минимума.

Пример:

Исследуйте на экстремум функцию

Решение:

Найдем стационарные точки:

Решая 4 системы, получаем 4 стационарные точки:

Определим знак дискриминанта в каждой из этих точек

Следовательно в точках и есть экстремум, а в точках и его нет.

Определите знак частной производной в точках и

Следовательно в точке функция имеет минимум, а в точке — функция имеет минимум, а в точке

Пример:

Исследуйте на экстремум функцию

Решение:

Найдем частные производные первого порядка и
определим стационарные точки из необходимого условия экстремума, решив систему уравнений:

Найдем частные производные второго порядка и вычислим значение дискриминанта в стационарных точках:

На основании достаточного условия экстремума заключаем, что
найденная стационарная точка является точкой экстремума. Поскольку это точка минимума.

Ответ: Точка — точка минимума.

Условный экстремум

Глобальный экстремум. Условный экстремум. Метод множителей
Лагранжа. Понятие о численных методах поиска экстремума.
Криволинейный интеграл в скалярном поле.

В некоторых задачах необходимо найти максимум или минимум
функции от нескольких переменных, не являющихся независимыми, но связанными друг с другом некоторыми дополнительными условиями: уравнениями или неравенствами.

Определения:

Наибольшее значение функции на множестве называется глобальным максимумом этой функции на множестве

Аналогично вводится понятие глобального минимума на множестве как наименьшего значения. Наибольшее и наименьшее значения называются глобальными экстремумами.

Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области

Пусть функция непрерывна в ограниченной замкнутой области и дифференцируема внутри этой области.

Тогда она имеет в этой области наибольшее и наименьшее значение,
которые достигаются либо внутри области, либо на ее границе. Если
наибольшее или наименьшее значение функция принимает во внутренних точках области то эти точки, очевидно, являются точками экстремума функции . Таким образом, точки, в которых функция имеет наибольшее или наименьшее значения, являются либо точками экстремума функции, либо граничными точками области

Мы приходим к следующему правилу нахождения наибольшего и
наименьшего значения функции двух переменных.

Для того, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в ограниченной области следует найти значение функции в критических точках этой области, а также ее наибольшее и наименьшее значения на границе области . Наибольшее и наименьшее из всех этих значений являются соответственно наибольшим и наименьшим значением функции в заданной области .

В некоторых случаях при нахождении наибольших и наименьших
значений функции двух переменных в ограниченной замкнутой области границу этой области удобно разбить на части, каждая из которых задается своими уравнениями.

Пример:

Haumu наибольшее и наименьшее значение функции в круге

Решение:

Находим первые частные производные и Решая систему уравнений

получим одну критическую точку в которой значение функции равно нулю.

Найдем теперь наибольшее и наименьшее значение функции на
границе, т.е. на окружности Для точек этой окружности функцию можно представить как функцию одной переменной причем Итак, нахождение наибольшего и наименьшего значений функций двух переменных на окружности мы свели к нахождению наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной на сегменте . Найдем критические точки функции в интервале и вычислим значение функции в этих точках и на концах интервала. Имеем откуда получаем критическую точку

Далее находим

Таким образом, функция имеет наибольшее значение, равное 4, и наименьшее значение, равное -4.

Итак, наибольшее значение функции в круге принимает в точках окружности наименьшее — в точках той же окружности.

Заметим, что наибольшее и наименьшее значение функции на окружности нужно найти иначе.

Условный экстремум:

Пример:

Из куска -жести площадью 2а требуется сделать
закрытую коробку в виде прямоугольного параллелепипеда, имеющего наибольший объем.

Решение:

Обозначив длину ребер параллелепипеда сведем задачу к нахождению максимума функции при условии:

Решение этой задачи приводится ниже.

Такие задачи называются задачами на условный экстремум.
Сначала рассмотрим задачу нахождения условного экстремума
функции двух переменных, связанных одним условием.
Требуется найти максимумы и минимумы функции

при условии, что связаны уравнением

Геометрически задача сводится к нахождению такой точки на линии плоскости задаваемой уравнением (55.2), в которой значение функции является наибольшим или наименьшим по сравнению с другими значениями этой функции на этой линии (см. рис. 65)

В принципе можно из уравнения (55.2) выразить одну из переменных, например через другую и, подставив в функцию (55.1) это выражение вместо свести задачу к задаче нахождения максимума и минимума функции одного независимого переменного .

Этот путь, однако, может оказаться сложным, если выражение (55.2) достаточно громоздкое.
Иногда такие задачи решают методом неопределенных множителей Лагранжа.

Метод множителей Лагранжа

Считая функцией от задаваемой неявно уравнением (55.2), а — сложной функцией одной переменной заметим, что в точках экстремума производная функции по найденная как производная сложной функции, должна обращаться в нуль.

Дифференцируя обе части равенства (55.2) по , находим:

Это равенство выполняется для всех и удовлетворяющих уравнению (55.2).

Умножив обе части равенства (55.4) на неопределенный пока
коэффициент и сложив их с соответствующими частями равенства (55.3), получаем равенство:

выполняющееся в точках экстремума.

Подберем так, чтобы в этих точках вторая скобка в (55.5) обратилась в нуль:

Тогда при этих значениях и следует равенство нулю первой скобки в (55.5):

Таким образом, в точках экстремума выполняются три условия:

Т.е. система (55.6) является необходимым условием условного
экстремума. Заметим, что левые части уравнений (55.5) являются частными производными функции Лагранжа

трех переменных

Таким образом, для нахождения условного экстремума функции (55.1) при условии (55.2) методом множителей Лагранжа, нужно составить дополнительную функцию (55.7), приравняв нулю ее частные производные Заметим, что поскольку уравнения
(55.6) являются необходимым условием, требуется дополнительное
исследование характера критической точки. Иногда при решении конкретных задач удается установить характер критической точки из физического смысла задачи.

Рассмотренный метод распространяется на случай любого числа
переменных.

Если требуется найти экстремумы функции переменных при условии:

нужно составить функцию Лагранжа:

Приравняв нулю ее частные производные по всем переменным, получим систему:

Определив из системы (55.9) значения выделим экстремумы из найденных критических точек (с помощью вспомогательных соображений).

Пример:

Решим пример (55.1) методом множителей
Лагранжа.

Решение:

Составим вспомогательную функцию

Найдем ее частные производные и приравняем их нулю:

Для решения этой системы умножим первое уравнение на второе на третье на и сложим их; с учетом последнего уравнения, получаем: Подставив это выражение в первые три уравнения, получаем:

Т. к. по смыслу задачи отличны от нуля, из первых трех уравнений имеем:

Из первых двух уравнений находим из второго и третьего из последнего:

Из геометрических соображений следует, что полученная критическая точка дает максимум, т.к. минимум объема будет при или или

Ответ: Объем коробки наибольший, когда коробка имеет форму куба
с ребром равным

Понятие о численных методах поиска экстремума

В связи с тем, что аналитические методы зачастую приводят к громоздким вычислениям, в связи с развитием вычислительной техники большое распространение получили численные методы поиска экстремума.

Ряд таких методов, получивших название градиентных, основаны на
свойстве градиента указывать направление наибольшего возрастания функции в данной точке.

Иногда градиентные методы называют «методами наискорейшего
спуска» — применяя их для нахождения точки минимума.
Кроме градиентных методов широкое распространение получили
также численные методы поиска экстремума, основанные на приближении (линейном или более высокого порядка) значения функции в данной точке.

В заключение лекций посвященных функциям нескольких переменных кратко остановимся на понятии интеграла по длине дуги, находящейся в плоском скалярном поле.

Криволинейный интеграл по длине дуги

Понятие длины
дуги плоской кривой было введено нами в лекции 45. Пусть кривая (рис 19) находится в скалярном поле, определяемом функцией По аналогии с пунктом 45.4 для кривой определяемом уравнением введем интегральную сумму

Определение:

Предел интегральной суммы 55.10 при условии,
что все и, следовательно, называется криволинейным интегралом по длине дуги в скалярном поле или криволинейным интегралом 1-го рода, и обозначается

где дифференциал дуги

Если кривая задана в параметрическом виде или в полярных координатах

то криволинейный интеграл по длине дуги будет вычисляться в соответствие с выражением дифференциала дуги (см. п. 45.4) по формулам:

где — значение параметра t или полярного угла в точках

Пример:

Вычислить криволинейный интеграл по дуге окружности

от точки до точки от функции

Решение:

По формуле 55.12

Из условия определяем из условия находим Получаем:

Следует обратить внимание на то. что точки

Установим физический смысл криволинейного интеграла по длине
дуги. Пусть вдоль кривой распределена масса с линейной плотностью Напомним, что линейной плотностью массы в точке называется предел отношения массы участка содержащего точку к его длине, когда длина стремится к нулю

Точное значение массы получится предельным переходом и, в соответствии с определением 55.2, будет равно криволинейному интегралу:

Если формула 55.14 переходит в формулу 45.9 для вычисления дуги

Пример:

Найти массу проволоки, имеющей форму параболы на участке если плотность определяется формулой

Решение:

По формуле 55.14, учитывая, что получаем:

Позже мы рассмотрим криволинейные интегралы 2°
ют более широкие приложения рода, которые имеют более широкие приложения.

Решение заданий на тему: условный экстремум

Пример:

Найдите условные экстремумы функции при условии

Решение:

Графиком функции является верхняя полусфера (см. рис. 66), линия есть прямая на плоскости

Из геометрических соображений ясно, что для точек этой линии
наибольшее значение функции достигается в точке лежащей посередине между точками а наименьшее значение — в точках

Заметим, что условный максимум — точка не совпадает с глобальным максимумом — точкой

Находя производную определяем критическую точку принадлежащую отрезку, вычисляем значение функции в
этой критической точке и на концах отрезка:

и находим как раз те локальные экстремумы, которые были определены из геометрических соображений:

Пример:

Найдите экстремумы функций при условии, что

Решение:

Составим функцию Лагранжа:

Необходимые условия экстремума дают систему:

Для определения наличия экстремума и его характера, определим знак

при данных зналениях переменных.

Если

и следовательно, в этой точке минимум.

Если

и следовательно, в этой точке максимум.

Заметим, что геометрически данная задача сводится к нахождению самой «высокой» и самой «низкой» точек пересечения плоскости с цилиндром

Ответ: точка максимума

Пример:

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции в области

Решение:

Найдем стационарные точки данной функции

Проверим принадлежность этой точки данной области:

Найдем критические точки, принадлежащие отрезку

Найдем значение функции в этой точке

Найдем значение функции на концах отрезка:

Заключаем, что наибольшее значение при функция достигает при наименьшее — при

Аналогично найдем наименьшее и наибольшее значения функции при Самостоятельно убедитесь, что наибольшее значение при функция достигает при

наименьшее — при

Для исследования функции на третьей границе: выразим из этого уравнения и подставим в правую часть уравнения функции. Получим

Из условия

заключаем, что на третьей границе меняется в пределах от 0 до 4. Самостоятельно найдите наименьшее и наибольшее значения функции Убедитесь, что наименьшее значение функция достигает при наибольшее — при

(Впрочем, эти значения уже были). Выбирая из всех найденных значений функции самое большое и самое маленькое, окончательно заключаем, что наибольшее значение в данной области функция принимает в точках а наименьшее

Ответ:

Решение заданий и задач по предметам:

• Математика
• Высшая математика
• Математический анализ
• Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
2. Функции и графики
3. Преобразования графиков функций
4. Квадратная функция и её графики
5. Алгебраические неравенства
6. Неравенства
7. Неравенства с переменными
8. Прогрессии в математике
9. Арифметическая прогрессия
10. Геометрическая прогрессия
11. Показатели в математике
12. Логарифмы в математике
13. Исследование уравнений
14. Уравнения высших степеней
15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
16. Комплексные числа
17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
18. Алгебраические уравнения
19. Неопределенные уравнения
20. Соединения
21. Бином Ньютона
22. Число е
23. Непрерывные дроби
24. Функция
25. Исследование функций
26. Предел
27. Интеграл
28. Двойной интеграл
29. Тройной интеграл
30. Интегрирование
31. Неопределённый интеграл
32. Определенный интеграл
33. Криволинейные интегралы
34. Поверхностные интегралы
35. Несобственные интегралы
36. Кратные интегралы
37. Интегралы, зависящие от параметра
38. Квадратный трехчлен
39. Производная
40. Применение производной к исследованию функций
41. Приложения производной
42. Дифференциал функции
43. Дифференцирование в математике
44. Формулы и правила дифференцирования
45. Дифференциальное исчисление
46. Дифференциальные уравнения
47. Дифференциальные уравнения первого порядка
48. Дифференциальные уравнения высших порядков
49. Дифференциальные уравнения в частных производных
50. Тригонометрические функции
51. Тригонометрические уравнения и неравенства
52. Показательная функция
53. Показательные уравнения
54. Обобщенная степень
55. Взаимно обратные функции
56. Логарифмическая функция
57. Уравнения и неравенства
58. Положительные и отрицательные числа
59. Алгебраические выражения
60. Иррациональные алгебраические выражения
61. Преобразование алгебраических выражений
62. Преобразование дробных алгебраических выражений
63. Разложение многочленов на множители
64. Многочлены от одного переменного
65. Алгебраические дроби
66. Пропорции
67. Уравнения
68. Системы уравнений
69. Системы уравнений высших степеней
70. Системы алгебраических уравнений
71. Системы линейных уравнений
72. Системы дифференциальных уравнений
73. Арифметический квадратный корень
74. Квадратные и кубические корни
75. Извлечение квадратного корня
76. Рациональные числа
77. Иррациональные числа
78. Арифметический корень
79. Квадратные уравнения
80. Иррациональные уравнения
81. Последовательность
82. Ряды сходящиеся и расходящиеся
83. Тригонометрические функции произвольного угла
84. Тригонометрические формулы
85. Обратные тригонометрические функции
86. Теорема Безу
87. Математическая индукция
88. Показатель степени
89. Показательные функции и логарифмы
90. Множество
91. Множество действительных чисел
92. Числовые множества
93. Преобразование рациональных выражений
94. Преобразование иррациональных выражений
95. Геометрия
96. Действительные числа
97. Степени и корни
98. Степень с рациональным показателем
99. Тригонометрические функции угла
100. Тригонометрические функции числового аргумента
101. Тригонометрические выражения и их преобразования
102. Преобразование тригонометрических выражений
103. Комбинаторика
104. Вычислительная математика
105. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
106. Прямая и плоскость
107. Линии и уравнения
108. Прямая линия
109. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
110. Кривые второго порядка
111. Кривые и поверхности второго порядка
112. Числовые ряды
113. Степенные ряды
114. Ряды Фурье
115. Преобразование Фурье
116. Функциональные ряды
117. Функции многих переменных
118. Метод координат
119. Гармонический анализ
120. Вещественные числа
121. Предел последовательности
122. Аналитическая геометрия
123. Аналитическая геометрия на плоскости
124. Аналитическая геометрия в пространстве
125. Функции одной переменной
126. Высшая алгебра
127. Векторная алгебра
128. Векторный анализ
129. Векторы
130. Скалярное произведение векторов
131. Векторное произведение векторов
132. Смешанное произведение векторов
133. Операции над векторами
134. Непрерывность функций
135. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
136. Предел и непрерывность функции одной переменной
137. Производные и дифференциалы функции одной переменной
138. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
139. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
140. Матрицы
141. Линейные и евклидовы пространства
142. Линейные отображения
143. Дифференциальные теоремы о среднем
144. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
145. Функции комплексного переменного
146. Преобразование Лапласа
147. Теории поля
148. Операционное исчисление
149. Системы координат
150. Рациональная функция
151. Интегральное исчисление
152. Интегральное исчисление функций одной переменной
153. Отношение в математике
154. Математическая логика
155. Графы в математике
156. Линейные пространства
157. Первообразная и неопределенный интеграл
158. Линейная функция
159. Выпуклые множества точек
160. Система координат