Как найти приближенное значение времени

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах. 

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте. 

Как быстро и эффективно исправить почерк?  Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью. 

Содержание:

1. Приближённые вычисления
2. Абсолютная и относительная погрешности
3. Выполнение действий над приближёнными числами
4. Выполнение действий без точного учёта погрешности

Приближённые вычисления

Приближённые вычисления — вычисления, в которых данные и результат (или только результат) являются числами, приближенно представляющими истинные значения соответствующих величин. Числовые данные, полученные измерением реальных объектов, редко бывают точными значениями соответствующей величины, а обычно имеют некоторую погрешность

Абсолютная и относительная погрешности

При решении практических задач часто приходится иметь дело с приближёнными значениями разных числовых величин. К ним относятся: результаты измерения разных величин с помощью приборов; значения полученные при считывании на графиках, диаграммах, номограммах; проектные данные; результаты округления чисел; результаты действий над приближёнными числами; табличные значения некоторых величин; результаты вычислений значений функции. Приближённые значения (приближение, приближённые числа) могут значительно отличаться от точных, либо быть близкими к ним.

Для оценки отклонения приближённых чисел от точных используют такие понятия как абсолютная и относительная погрешности.

Абсолютной погрешностью  приближённой называется модуль разности между точным значением величины  и её приближённым значением х, то есть

Пример.

Абсолютная погрешность приближённого числа  числом 0,44 составляет

Если точное число неизвестно, то найти абсолютную погрешность  невозможно. На практике вводят оценку допустимой при данных измерениях или вычислениях абсолютной погрешности, которую называют пределом абсолютной погрешности и обозначают буквой h. Считают, что h. Как правило, предел абсолютной погрешности устанавливают из практических соображений, например, при измерениях  пределом абсолютной погрешности считают наименьшее деление прибора.

При записи приближённых чисел часто используют понятия верной и сомнительной цифры.

Цифра  называется верной, если предел абсолютной погрешности данного приближения не превышает единицы того разряда, в котором записана эта цифра. В другом случае цифра называется  сомнительной.

Например: в числе две цифры верны, поскольку погрешность 0,04 не превышает единицу разряда десятых. Цифры 9 и 7 верны, поскольку  а цифры 4 и 6 являются сомнительными, поскольку 

В конечной записи приближённого числа сохраняют только верные цифры. Так число  можно записать в виде  , число  в виде  Если в десятичной дроби последние верные цифры — нули, то их оставляют в записи числа.

Например: если , то правильной записью числа будет 0,260.

Если в целом числе последние нули являются сомнительными, их исключают из записи числа.

Именно поэтому при работе с приближёнными числами широко используют стандартную форму записи числа.

Например: в числе  верными являются три первые цифры, а два последних нуля — сомнительные цифры. Запись числа возможна только в виде: 

Следовательно, в десятичной записи приближённого числа последняя цифра указывает на точность приближённости, то есть предел абсолютной погрешности не превышает единицу последнего разряда.

Например:

1. Запись  означает, что , то есть предел абсолютной погрешности h=0,01.

2. Запись 

3. Если 

В десятичной записи числа значимыми цифрами называются все его верные цифры начиная с первой слева, отличной от нуля.

Например: в числе 1,13 — три значимых цифры, в числе 0,017 — две, в числе 0,303 — три, в числе 5,200 — четыре, в числе 25_*10³ — две значимых цифры.

При таком подходе к записи приближенного числа необходимо уметь округлять числа.

Правила округления чисел:

— Если первая цифра, которую отбрасываем является меньше пяти, то в основном разряде, который сохраняется цифра не меняется. Например: 879,673≈879,67.

— Если первая цифра, которую отбрасываем больше пяти, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 456,87≈456,9.

— Если первая цифра, которая отбрасывается пять и за ней есть ещё отличны от нуля, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 1246,5002≈1247.

— Если первая цифра, которая отбрасывается — пять и за ней нет больше никаких цифра, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 0,275≈0,28; 1,865≈1,86.

Абсолютная погрешность не полностью характеризует точность приближения. Например,  будет грубой ошибкой при измерении жука, и незначительной при измерении кита. Тоже самое можно сказать и про предел абсолютной погрешности. Качество (точность) приближённости лучше характеризуется относительной погрешностью.

Относительной погрешностью  (омега) приближённости х величины  называется отношением абсолютной погрешности  этого приближения к модулю приближённого значения х, то есть 

Поскольку абсолютная погрешность  обычно бывает неизвестна, то на практике оценивают модуль относительной погрешности некоторым числом, которое не меньше чем этот модуль: 

Число  называется пределом относительной погрешности.

Предел относительной погрешности можно вычислить по формуле: 

Конечно относительная погрешность выражается в процентах.

С помощью относительной погрешности легко установить точность приближённости.

Пример 1. Найти относительную погрешность числа 

Решение: Имеем 

Следовательно 

Пример 2. Сравнить точность измерения толщины книги d (см) и высоты стола H (см), если известно, что  .

Решение: 

Как видим, точность измерения высоты стола значительно выше.

Выполнение действий над приближёнными числами

Результат арифметических действий над приближёнными числами является также приближённым числом.

Необходимо уметь устанавливать погрешности результатов вычислений. Их находят с точным и без точного учёта погрешностей исходных данных. Правила нахождения погрешностей результатов действий с точным учётом погрешности приведены в таблице (обозначения —  исходные данные;  пределы абсолютных погрешностей относительно чисел; пределы относительных погрешностей).

Пример 3. Вычислить приближение значения выражения  и найти предел погрешностей результата.

Решение: находим значение квадрата числа 5,62 и квадратного корня из числа 18,50.

Найдём границу относительной погрешности результата:

Граница абсолютной погрешности результата:

Ответ: 

Пример 4. Вычислить приближение значения выражения   и найти предел погрешностей результата.

Решение: находим значение квадратного корня из числа 6,24 и , имеем:

Граница относительной погрешности результата:

Граница абсолютной погрешности результата: 

Ответ: 

Выполнение действий без точного учёта погрешности

Точный учёт погрешности усложняет вычисление. Поэтому, если не надо учитывать погрешность промежуточных результатов, можно использовать более простые правила. 

Сложение и вычитание приближённых вычислений рекомендуется выполнять так:

а) выделить слагаемое с наименьшим числом верных десятичных знаков;

б) округлить другие слагаемые так, чтобы каждое из них содержало на один десятичный знак больше чем выделенное;

в) выполнить действия, учитывая все сохранённые десятичные знаки;

г) результаты округлить и сохранить столько десятичных знаков, сколько их есть в приближённом числе с наименьшим числом десятичных знаков.

Умножение и деление приближённых вычислений рекомендуется выполнять так:

а) выделить среди данных чисел, число с наименьшим количеством верных значимых цифр;

б) округлить оставшиеся данные так, чтобы каждое из них содержало на одну значащую цифру больше, чем в выделенном;

в) выполнить действия — сохранить все значимые цифры;

г) сохранять в результате столько значащих цифр, сколько их имеет выделенное число с наименьшим количеством верных значимых цифр.

При возведении в степень приближённого числа в результате сохраняют столько значимых цифр, сколько верных значимых цифр имеет основа степени.

При извлечении корня из приближённого числа в результате сохраняют столько верных цифр, сколько имеет подкоренное число.

Приближенным
числом или приближением называется
число,
незначительно отличающееся от точного
значения величины и заменяющее его в
вычислениях. Под погрешностью же принято
понимать разность между абсолютным
значением и его приближением.

Наличие
погрешности обусловлено рядом весьма
глубоких причин.

• Математическая
  модель является лишь приближенным
  описанием реального процесса.
  Характеристики процесса, вычисленные
  в рамках принятой модели, заведомо
  отличаются от истинных характеристик,
  причем их погрешность зависит от степени
  адекватности модели реальному процессу.

• Исходные
  данные, как правило, содержат погрешности,
  поскольку они либо получаются в
  результате экспериментов (измерений),
  либо являются результатом решения
  некоторых вспомогательных задач.

• Применяемые
  для решения задачи методы в большинстве
  случаев являются приближенными. Найти
  решение возникающей на практике задачи
  в виде конечной формулы возможно только
  в отдельных, очень упрощенных ситуациях.

• При
  вводе исходных данных в ЭВМ, выполнении
  арифметических операций и выводе
  результатов производятся округления.

Классификация
погрешностей измерений

По
форме представления погрешности
разделяются на: абсолютные, относительные
и приведённые

По
причине возникновения: инструментальные,
методические погрешности, субъективные

По
характеру проявления: случайная,
систематическая, прогрессирующая
(дрейфовая),

грубая
погрешность (промах)

По
способу измерения: погрешность прямых
измерений, погрешность косвенных
воспроизводимых измерений

Абсолютная
погрешность
— разность между приближенным значением
некоторой величины и ее точным значением

Относительная
погрешность
— отношение абсолютной погрешности к
тому значению, которое принимается за
истинное.

Значащими
цифрами называются все цифры, кроме
нуля, а также и нуль в двух случаях:

• когда
  нуль стоит между значащими цифрами;

• когда
  нуль стоит в конце числа, если известно,
  что единиц соответствующего разряда
  в данном числе не имеется.

а)
1 кг = 1000 г;

б)
население США по одной из переписей
составляло 195530000

человек

В
первом случае имеем точное соотношение,
поэтому все нули здесь – значащие цифры.
Во втором случае нули стоят вместо
неизвестных цифр, и число имеет только
5 значащих цифр. Для того чтобы избежать
недоразумения, никогда не следует писать
нули вместо неизвестных цифр, а лучше
применять такую форму записи:

19553
⋅104
или
1,9553
⋅108

Связь
относительной погрешности с количеством
верных знаков числа

Если
положительное приближенное число имеет
относительную погрешность , то количество
верных знаков n данного числа можно
определить по формуле

и
в качестве n взять ближайшее целое к
число.

Пр.
округления Если абсолютная погрешность
начинается с 1 или 2,

например,
(136; 2489; 0,01567; 0,00202; 0,1450),

то
оставляем две значащие цифры (140; 2500;
0,016; 0,0020; 0,15).

Если
абсолютная погрешность начинается с 3
и более,

например,
(32; 456; 99; 0,98; 0,0791),

то
оставляем одну значащую цифру (30; 500;
100; 1; 0,08).

Основная
задача теории погрешностей состоит в
оценке погрешности результата вычислений
при известных погрешностях исходных
данных.

15.
Применение дифференциального исчисления
при оценке погрешности. Обратная задача
теории погрешностей.

Обратная
задача теории погрешностей

состоит
в том, чтобы определить с какой точностью
необходимо задавать значения аргументов
функции , чтобы ее погрешность не
превосходила заданной величины ? Эта
задача математически неопределена, так
как заданную погрешность можно обеспечить
при любом наборе предельных абсолютных
погрешностей аргументов удовлетворяющих
условию:

Простейшее
решение обратной задачи дает принцип
равных влияний, согласно кото- рому
вклады всех аргументов в формирование
абсолютной погрешности функции равны:

Отсюда

,
где

Иногда
при решении обратной задачи по принципу
равных влияний абсолютные погрешности
отдельных аргументов оказываются
настолько малыми, что вычислить или
измерить эти величины с соответствующей
точностью невозможно. В таком случае
отступают от принципа равных влияний,
чтобы увеличение погрешности одних
переменных компенсировать уменьшением
погрешности других.

16
Алгоритмизация
и программирование. Алгоритм и его
свойства.

Алгоритм
— это определённая последовательность
действий, которые необходимо выполнить,
чтобы получить результат. Алгоритм
может представлять собой некоторую
последовательность вычислений, а может
— последовательность действий
нематематического характера. Для любого
алгоритма справедливы общие закономерности
— свойства алгоритма.

Дискретность
— это свойство алгоритма, когда алгоритм
разбивается на конечное число элементарных
действий (шагов).

Понятность
— свойство алгоритма, при котором каждое
из этих элементарных действий (шагов)
являются законченными и понятными.

Детерминированность
— свойство, когда каждое действие
(операция.указание.шаг.требование)
должно пониматься в строго определённом
смысле, чтобы не оставалась места
произвольному толкованию. чтобы каждый,
прочитавший указание, понимал его
однозначно.

Массовость
— свойство, когда по данному алгоритму
должна решаться не одна, а целый класс
подобных задач.

Результативность
– свойство, при котором любой алгоритм
в процессе выполнения должен приводить
к определённому результату. Отрицательный
результат также является результатом.

Изобразительные
средства для описания (представление)
алгоритма

Для
записи алгоритма решения задачи
применяются следующие изобразительные
способы их представления:

• Словесно-
  формульное описание

• Блок-схема
  (схема графических символов)

• Алгоритмические
  языки

• Операторные
  схемы

• Псевдокод

Для
записи алгоритма существует общая
методика:

Каждый
алгоритм должен иметь имя, которое
раскрывает его смысл.

Необходимо
обозначить начало и конец алгоритма.

Описать
входные и выходные данные.

Указать
команды, которые позволяют выполнять
определенные действия над выделенными
данными

Человеку
в жизни и практической деятельности
приходится решать множество различных
задач. Решение каждой из них описывается
своим алгоритмом, и разнообразие этих
алгоритмов очень велико. Тем не менее
можно выделить лишь три основных вида
алгоритмов (для краткости далее будем
называть их просто: линейные, разветвляющиеся
и циклические алгоритмы):

линейной
структуры,

разветвляющейся
структуры,

циклической
структуры.

Линейный
алгоритм
— алгоритм, в котором порядок действий
фиксирован и каждое действие выполняется
только один раз. Разветвляющийся алгоритм
— алгоритм, порядок действий в котором
зависит от некоторых условий. Разнообразие
же алгоритмов определяется тем, что
любой алгоритм распадается на части,
фрагменты и каждый фрагмент представляет
собой алгоритм одного из трех указанных
видов. Поэтому важно знать структуру
каждого из алгоритмов и принципы их
составления.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

МИНИСТЕРСТВО
ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОСТОВСКОЙ
ОБЛАСТИ

СОВЕТ
ДИРЕКТОРОВ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫХ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ УЧРЕЖДЕНИЙ

РОСТОВСКОЙ
ОБЛАСТИ

МЕТОДИЧЕСКОЕ
ОБЪЕДИНЕНИЕ ПРЕПОДАВАТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ

ПРОФЕССИОНАЛЬНЫХ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ УЧРЕЖДЕНИЙ

 РОСТОВСКОЙ
ОБЛАСТИ

МЕТОДИЧЕСКАЯ
РАЗРАБОТКА

УЧЕБНОГО
ЗАНЯТИЯ

по
теме «Приближённые значения величины и погрешности приближения. Решение задач с приближёнными величинами»

по учебной
дисциплине ОДП.01 «Математика:
алгебра и начала математического анализа; геометрия»

Профессия
190631.01 (23.01.03) Автомеханик

(в
рамках областного заочного конкурса методических разработок учебных занятий
преподавателей математики профессиональных образовательных учреждений

 Ростовской
области  «Современный урок математики»)

2020 год

Пояснительная
записка

Профессия
190631.01 (23.01.03) Автомеханик

ОДП.01 «Математика:
алгебра и начала математического анализа; геометрия»

Тема занятия «Приближённые значения величины и
погрешности приближения.

Решение задач с
приближёнными величинами»

Объем времени — 90 мин.

В последние годы качественно улучшился набор наших студентов.
 К нам идут не только троечники, но и выпускники основной школы со средним
баллом аттестата 4-5. Эти знают, «зачем нам математика». А немотивированным я рассказываю,
что математика это не только умение считать деньги (по их мнению этого
достаточно!).  Математика вошла в нашу жизнь во всех ее аспектах.  Наука и
техника.  Медицина и сельское хозяйство. Математика — это не только пафос
высоких технологий. Математика- это расчеты в профессиональной деятельности.
Любой.

В
данной работе предложена возможность показать применение одного из разделов математики
в профессиональной деятельности рабочего-автомеханика. Математика является
важной основой для получения профессиональных знаний. На занятиях по
профессиональным дисциплинам студенты сталкиваются с большим количеством
расчетов, соотношений, пропорций, таблиц, что требует необходимых
математических знаний и умений. Урок по теме «Приближённые значения величины и
погрешности приближения. Решение
задач с приближёнными величинами» проводится в группах профессии
190631.01 (23.01.03) Автомеханик, 1 курс, (уроки 7-8). Основная идея этого
занятия — творческий подход в изучении математики, применение знаний и умений
при решении профессиональных задач с целью проявления интереса к будущей
профессии. Методическая разработка составлена с учетом программных требований.

Работа состоит из Плана-конспекта и Презентации.

Урок по теме: «Приближённые
значения величины и погрешности приближения. Решение задач с приближёнными величинами»

Тип
урока:        комбинированный

Цель
урока:      познакомить студентов с основными приемами и методами
нахождения приближенных значений величины. Научить студентов применять знания и
умения в будущей профессиональной деятельности.

Задачи
урока:

Образовательные:
систематизировать, расширить и углубить знания, умения в приближенных расчетах; изучить
новые понятия, ввести новые термины и условные обозначения, связать вновь
изученный материал с ранее пройденным;

Развивающие: способствовать
развитию умения обобщать факты и делать
выводы, формулировать суждения;

Воспитательные:
        побуждать студентов к самоконтролю, взаимоконтролю, вызывать у них потребность в обосновании своих высказываний, ответственность за выполняемое задание, взаимопомощь, воспитывать
аккуратность.

Универсальные учебные действия:

Познавательные: определяют
умения, которые будут сформированы на основе изучаемого раздела, определяют
круг своего незнания; строят логическую цепочку рассуждений, критически оценивают
полученный ответ;

Регулятивные: планируют
алгоритм выполнения задания, корректируют работу по ходу выполнения с помощью
учителя и ИКТ средств; формулируют учебную задачу на основе соотнесения того,
что уже известно и усвоено, и того, что еще не известно;

Коммуникативные: отстаивают свою
точку зрения, подтверждают фактами; оказывают в сотрудничестве необходимую
взаимопомощь;

Личностные: понимают ответственность за
качество приобретенных знаний.

Оборудование: компьютер,
мультимедийный проектор, презентация для сопровождения урока, индивидуальные оценочные листы.

Работа учащихся состоит из восьми этапов:

1.        
Повторение
ранее изученного материала

2.        
Тестовое
задание 1

3.        
Изучение
нового материала 

4.        
Тестовое
задание 2

5.        
Изучение
нового материала

6.        
Тестовое
задание 3

7.        
Тестовое
задание 4

8.        
Рефлексия:
тестовое задание 5

Результаты каждого этапа урока ученики заносят в
индивидуальные оценочные листы:

Оценка за урок зависит от суммы n набранных
баллов по всем заданиям.

Если n равно 19-21, то ученик
получает «5»;

 при  16 < n < 18  оценка «4»;

 при  13 < n < 15  оценка «3»;

 при  n < 13 ученик получает «2».

 Организационный момент.

Приветствие студентов, проверка их готовности к уроку.

Актуализация знаний. Сообщение темы урока

1.            
Повторение
ранее изученного материала (Max 1)

На практике мы почти никогда не знаем точных значений
величин. Никакие весы, как бы точны они ни были, не показывают вес абсолютно
точно; любой термометр показывает температуру с той или иной ошибкой; никакой спидометр
не может дать точных показаний скорости и т. д. К тому же наш глаз не в
состоянии абсолютно правильно прочитать показания измерительных приборов.
Поэтому, вместо того, чтобы иметь дело с истинными значениями величин, мы
вынуждены оперировать  их приближенными  значениями.

Задача. Относительная
погрешность спидометра по ГОСТ равна 2,2%   при скорости более 20 км/ч.
Определите, в каком интервале может находиться значение скорости автомобиля,
если спидометр показывает 80 км/ч?

Чтобы решить эту житейскую задачу, которую решают все
водители, нам нужно разобраться  в теме этого урока: «Приближённые значения
величины и погрешности приближения. Решение задач с приближёнными величинами»
(Презентация).

      1. Что такое модуль числа?

Определение:

Модулем
неотрицательного действительного числа x
называют само число :  | x |
= x;

Модулем
отрицательного действительного числа x называют противоположное число:  |
x | = — x.

                         
|
x | =

      2. Определите, чему равен модуль
разности: 5 и 3 (2); 7 и 9 (2); 5 и -9 (14);

      3. Вспомните правила округления чисел.

Правило: При
округлении десятичной дроби до какого-нибудь разряда все следующие за этим
разрядом цифры заменяют нулями, а если они стоят после запятой, то их
отбрасывают. Если первая следующая за этим разрядом цифра больше или равна 5,
то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на 1. Если же первая оставшаяся за
этим разрядом цифра меньше 5, то последнюю оставшуюся цифру не изменяют.

Задание:   Округлите 2,635; 10,781 – до десятых,
сотых.

2. Тестовое задание1 (Max 1):
Округлите число до подчеркнутого разряда и установите соответствие
с номером результата:

Правильное решение:

3.  Изучение нового материала (Max 1)

На сколько отличается приближенное значение от точного?

Вывод: Чтобы узнать, на сколько приближенное значение отличается
от точного, надо из большего числа вычесть  меньшее.

Определение:  
Абсолютной погрешностью приближенного значения называется модуль разности
точного и приближенного значений.

   Если х
≈ α, где х – точное значение,

   а α – приближенное, то

Абсолютная
погрешность :     D = │х – α │

Пример:

Пусть x
= 80,5 км/ч

         
α »
80  км/ч

                     Абсолютная погрешность:

   D
= │х – α │= │80,5 – 80 │= 0,5 км/ч

Отчего
зависит точность приближенного значения?

Она зависит от многих причин. Если
приближенное значение получено при измерении, то его точность зависит от
прибора, с помощью которого выполнялось измерение. Никакое измерение не может
быть выполнено совершенно точно. Даже сами меры заключают в себе погрешность.
Изготовить совершенно точную метровую линейку, килограммовую гирю, литровую
кружку чрезвычайно трудно и закон допускает некоторую погрешность при
изготовлении. Весь вопрос в качестве приближения. Мерой качества измерения
является относительная погрешность измерения.

Определение: 
Относительная погрешность измерения — отношение абсолютной погрешности
измерения к опорному значению измеряемой величины, в качестве которого может
выступать, в частности, ее истинное или действительное значение 

Относительная
погрешность :         d =  × 100%

Или  d =  × 100%

Пример:   Пусть x
= 80,5 км/ч

                             α
»
80  км/ч

Абсолютная
погрешность:

   D = │х
– α │= │80,5 – 80 │= 0,5 км/ч

Относительная погрешность:

d =  × 100%
=   × 100%
=0,62%

Вывод:

Относительная
погрешность приближения показывает, какую часть или сколько процентов
составляет абсолютная погрешность от приближенного значения числа.

Чем
меньше абсолютная погрешность по отношению к приближенному значению, тем лучше
качество приближения, то есть относительная погрешность характеризует качество
приближения.

На
производстве при изготовлении деталей пользуются штангенциркулем (для измерения
глубины; диаметра: наружного и внутреннего).

    
Пример: Абсолютная погрешность при измерении штангенциркулем составляет 0,1 мм.
Диаметр поршня цилиндра двигателя d = 9,86см = 98,6мм.
Найдем оценку относительной погрешности при измерении штангенциркулем:

δ
= × 100%= 0,001 ×100%= 0,1%

4. Тестовое задание 2(Max 3).
Определите среднее арифметическое d_ср, найдите абсолютную погрешность. Используя
значение абсолютной погрешности, найдите относительную погрешность

Используя значение абсолютной
погрешности, найдите относительную погрешность

Проверьте полученные значения

5.  Изучение нового материала (Max 1)

Определение: Границей относительной погрешности
приближения называется положительное число Е которое больше или равно самой
относительной погрешности.

d=

Относительная погрешность, граница относительной
погрешности являются безразмерными величинами

Пример:

1.
Сравнить качество двух измерений:

а)
ширина заднего сиденья автомобиля а₁= 1,2 м , D х₁= 0,005 м;

б)
расстояние от гаража до АЗС а₂ =
6,76 км , D х₂ =
10 м .

Решение: При первом измерении
допущена погрешность

Dх1
= 0,005 м = 5 мм   на 1,2 м = = 1200 мм.

Определим относительную погрешность первого измерения, то есть
какую часть (сколько %) составляет абсолютная погрешность D х1 от
приближенного значения а1 ;

   Е1 =  =0,42 £ 0,5 %
.

Определим относительную
погрешность второго измерения, то есть какую часть (сколько %) составляет
абсолютная погрешность Dх2 = 10 м от приближенного значения а2 =
6,76 км = 6760 м;

Е2 =  =0,15% £ 0,2 %
.

Е2
< Е1 , следовательно, качество второго измерения лучше.

Ответ:
Качество второго измерения лучше.

2. Термометр
дает отклонение не более 0,5° С. Им измерили температуру воздуха и получили 17°
С. С какой относительной точностью выполнено измерение?

Решение: а = 17° С, h=
0,5° С. 

         
Под относительной точностью понимается граница

                 
E =  =  = 2,9 % £ 3 %

Ответ: Е = 3 %.

6. Тестовое задание 3(Max 7):

1.
Сравнить качество двух измерений:

а)
масса    автомобиля КАМАЗ т₁ =
16 ± 0,5(т);

б)
масса канистры с тосолом (нетто) т₂ = 5 ± 0,005(кг).

2.
Определить границу относительной погрешности следующих чисел:

а)
а = 142,5; D х = 0,05;                      в) а = 2,372; D
х = 0,004;

б)
а = 6,93; D х = 0,02;                        г) а = 12,79; D
х = 2.

3.
Найти границу абсолютной погрешности массы легкового автомобиля а = 1348, если
Е =0,04 %.

1.  Решение:
а) Е1= =3,125%

Б)
Е2= =0,1%

Е2
< Е1, следовательно, качество первого измерения выше.

Ответ:
масса канистры с тосолом измерена точнее

2. Решение:

а) Е= ×100%= 0,035% £
  0,05%

б)
Е=  =0,29%£  0,3%

в)
Е=  =0,17%£  0,2%

г)
Е=  ×100%=15,64%£ 
20%

3.
Решение: Выразим   из формулы    Е= :

7. Тестовое задание 4 (Max 4):

1. Известно,
что диаметр d поршня цилиндра двигателя d = а   с
точностью до Е %.

Найти
границу абсолютной погрешности приближения, если:

а)
а = 2,75;    Е = 20 %;               в) а = 237;       Е = 1 %;

б)
а = 1,3;      Е = 10 %;               г) а = 1,49;      Е = 0,1 %.

Решение:

а)  ;   

б)  ;   

в)  ;   

г)  ;   

Вернемся к задаче, с которой начался наш урок:

Задача.
Относительная погрешность спидометра по ГОСТ равна 2,2%   при скорости более 20
км/ч. Определите, в каком интервале может находиться значение скорости
автомобиля, если спидометр показывает 80 км/ч?

Решение: 
2,2 % от  80: D=  = 1,76 км/ч  

Из
формулы    D = │х – α │Þ  80-1,76 £
80 £
80+1,76

     
Значение скорости автомобиля находится в интервале        

     Ответ:  V Î [78,24
; 81,76]  

8. Рефлексия: Тестовое
задание 5 (Max 3):

1.    Определить
безопасную дистанцию при V= 90 км/ч

Безопасной считается дистанция, которую автомобиль
проходит за 2 с.

L= — точное значение

Для быстрого счета на дороге: (90:10  – приближенное значение

Определите абсолютную и относительную погрешности
вычислений.

абсолютная погрешность вычислений:  Δ =,

относительная погрешность вычислений:  d  =  ;   d=   или 8% .

 Ответ: 8%

2.            
Реакция
водителя не должна превышать 1 с. Какое расстояние пройдет автомобиль за 1 с
при V=км/ч?

Решение: L=

Для быстрого счета на дороге: отбросить «0» и умножить
на 3 (80:103=24 м)

Определите абсолютную и относительную погрешности
вычислений.

абсолютная погрешность вычислений:  Δ =,

относительная погрешность вычислений:  d  = ;     

d=    или 9% .      

Ответ: 9%

3.            
Определить
тормозной путь легкового автомобиля при скорости V=80 км/ч на сухом
асфальто-бетонном дорожном  покрытии, если при V=40 км/ч он
составляет 14,5 м? (для справки: увеличение скорости в n раз
влечет увеличение тормозного пути в Найдите, в каком интервале
может находиться значение тормозного пути автомобиля, если относительная
погрешность составляет 5%?

Решение:   80:40 = 2 раза;    Тормозной путь L=14,5×

D = │х – α │Þ 
58-2,9 £ 58 £ 58+2,9

Ответ:  S_тор
Î [
55,1 ;  60,9]  

Подведение итогов урока (достижение целей
урока)

Выставление
оценок.

Информация
о домашнем задании.

Информационное
обеспечение урока:

Основные
источники:

1. Башмаков М. И. Математика: учебник для профессионального
   образования /М.И.Башмаков  — М.: Академия, 2018. – 252 с.

Дополнительные
источники:

1. Башмаков М. И. Математика 10 класс: сборник
   задач для
   общ. учреждений/  /М.И.Башмаков 
   — М.: Академия, 2008. – 272 с.

Интернет-ресурсы:

1.                     
Единая коллекции Цифровых образовательных ресурсов; — Режим доступа: www.school—collection.edu.ru