Как найти приближенное значение синуса угла

Содержание:

При изучении геометрии вы рассматривали отношения сторон в прямоугольном треугольнике и познакомились с понятиями синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла (рис. 28).

Построение синуса и косинуса произвольного угла

Построим точку Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

Рассмотрим прямоугольный треугольник Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения в котором гипотенуза Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения равна 1 (радиусу единичной окружности). По определению синуса и косинуса острого угла получим: Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

Таким образом, синус угла Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения равен ординате точки Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения а косинус угла Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения равен абсциссе точки Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

Поскольку в тригонометрии рассматриваются углы Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения то определим синус и косинус для любого угла Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

Определение синуса произвольного угла

Определение:

Синусом угла Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения называется ордината точки Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения полученной поворотом точки Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения единичной окружности вокруг начала координат на угол Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

Определение косинуса произвольного угла

Определение:

Косинусом угла Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения называется абсцисса точки Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения полученной поворотом точки Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения единичной окружности вокруг начала координат на угол Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

Для того чтобы найти синус и косинус произвольного угла Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения нужно:

  1. Построить точку Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения единичной окружности.
  2. Найти ординату точки Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения
  3. Найти абсциссу точки Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

Найдите синус и косинус угла Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

Значения синуса и косинуса произвольного угла с помощью единичной окружности в основном можно указать только приближенно.

Однако для некоторых углов значения синуса и косинуса можно указать точно. Определим значения синуса и косинуса для углов, которые соответствуют точкам пересечения окружности с осями координат Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решенияОпределение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения Найдем Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения Углу Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения соответствует точка Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения имеющая координаты Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения По определению синус угла Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения равен ординате точки Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения значит, Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения Косинус угла Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения равен абсциссе точки Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения т.е. Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения (рис. 31).

Пользуясь определением синуса и косинуса угла Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения получим, что: Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

Так как ординаты и абсциссы точек единичной окружности изменяются от -1 до 1, то значения синуса и косинуса произвольного угла принадлежат промежутку Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

Например, выясним, может ли Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения принимать значения, равные:

Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

Значения синуса произвольного угла принадлежат отрезку Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения значит, Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения может принимать значения, равные Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения и Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения так как Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решенияи Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения Поскольку Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения то Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения не может принимать значения, равные Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

По определению синуса и косинуса угла Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения синус угла Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения равен ординате точки Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения а косинус угла Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения равен абсциссе этой точки. Значит, знаки Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения и Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения совпадают со знаками ординаты и абсциссы точки Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения соответственно.

Пример №1

Определите знак выражения:

Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

Решение:

а) Так как Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения — угол второй четверти (рис. 32), а ординаты точек единичной окружности, находящихся во второй четверти, положительны, то Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

б) Так как Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения — угол третьей четверти (см. рис. 32), а абсциссы точек единичной окружности, находящихся в третьей четверти, отрицательны, то Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

в) Так как Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения — угол третьей четверти (см. рис. 32), а ординаты точек единичной окружности, находящихся в третьей четверти, отрицательны, то Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

г) Так как Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения — угол первой четверти (см. рис. 32), а абсциссы точек единичной окружности, находящихся в первой четверти, положительны, то Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

Из геометрии нам известны значения синусов и косинусов острых углов (см. табл.).

Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

С помощью этих значений можно находить значения синусов и косинусов некоторых других углов Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

Пример №2

Вычислите:

Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

Решение:

а) Отметим на единичной окружности точку Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения Поскольку известно, что Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения а Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения то ордината точки Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решенияравна Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения а абсцисса этой точки равна Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

Точки Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения единичной окружности симметричны относительно оси абсцисс (рис. 33), значит, их ординаты (синусы углов Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решенияпротивоположны, а абсциссы (косинусы углов Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения и Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения равны. Таким образом, Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения а Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

б) Так как Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения то точки Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения единичной окружности симметричны относительно оси ординат (рис. 34). Тогда их ординаты (синусы углов Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения равны, а абсциссы (косинусы углов Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения и Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решенияпротивоположны. Значит, Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

в) Точки Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения единичной окружности симметричны относительно начала координат (рис. 35), поскольку Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения Тогда и их ординаты противоположны, и их абсциссы противоположны, т. е.Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

г) Поскольку Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения то точки Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения и Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения единичной окружности совпадают (рис. 36), а значит, их координаты равны. Тогда Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

Пример №3

Вычислите:

Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

Решение:

а) Так как Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения то точка Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения единичной окружности совпадает с точкой Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения (рис. 37).

Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

Поскольку Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

б) Точки Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения единичной окружности симметричны относительно начала координат (см. рис. 37), а значит, их абсциссы (косинусы углов Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения и Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решенияотличаются только знаком. Так как Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

Пример №4

Постройте один из углов, если:

Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

Решение:

а) Так как Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения то на оси ординат отметим Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения Проведем прямую, параллельную оси абсцисс, и найдем на единичной окружности точки Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения ордината каждой из которых равна Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения Отметим один из углов, соответствующих точкам Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения или Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения (рис. 38, а).

б) Так как Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения то на оси абсцисс отметим 0,8. Проведем прямую, параллельную оси ординат, и найдем на единичной окружности точки Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решенияи Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения абсцисса каждой из которых равна 0,8. Отметим один из углов,соответствующих точкам Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения или Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения (рис. 38, б).

Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

  • Заказать решение задач по высшей математике

Примеры заданий и их решения:

Пример №5

Точка Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения единичной окружности имеет координаты Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения Используя определение синуса и косинуса произвольного угла, найдите Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

Решение:

Синусом угла Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения называется ордината точки Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения полученной поворотом точки Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения единичной окружности вокруг начала координат на угол Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения По условию ордината точки Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения равна Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения значит, Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

Косинусом угла Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения называется абсцисса точки Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения полученной поворотом точки Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения единичной окружности вокруг начала координат на угол Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения По условию абсцисса точки Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения равна Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения значит, Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

Пример №6

Если Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения то угол Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения может быть равен:

Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

Выберите правильный ответ.

Решение:

Так как синусом угла Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения называется ордината точки Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения полученной поворотом точки Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения единичной окружности вокруг начала координат на угол Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения то нужно найти точку единичной окружности, ордината которой равна -1. Эта точка лежит на оси ординат, и из данных углов ей соответствует угол Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения (рис. 39). Правильный ответ в).

Пример №7

Если Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения то угол Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения может быть равен:

Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

Выберите правильный ответ.

Решение:

Так как косинусом угла Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения называется абсцисса точки Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения полученной поворотом точки Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения единичной окружности вокруг начала координат на угол Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения то нужно найти точку единичной окружности, абсцисса которой равна 0. Эта точка лежит на оси ординат, и из данных углов ей соответствует угол Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения (рис. 40). Правильный ответ в).

Пример №8

Найдите значение выражения:

Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

Решение:

а) Абсцисса точки Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения соответствующей углу Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения равна -1 (рис. 41), значит, Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения Ордината точки Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения соответствующей углу Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения равна 1 (см. рис. 41), т. е. Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения Значит, Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

б) Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения( рис. 42) тогда Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решенияОпределение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

Может ли Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения быть равным:

Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

Решение:

Поскольку Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

а) не может быть равным 1,2, так как Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

б) может быть равным 0,89, так как Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

в) не может быть равным Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решениятак как Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

г) может быть равным Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения так как Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

Пример №9

Определите знак выражения:

Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

Решение:

а) Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения так как Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения — угол четвертой четверти, а косинус в четвертой четверти положителен;

б) Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения так как Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения — угол первой четверти, а косинус в первой четверти положителен;

в) Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения так как Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решенияугол второй четверти, а синус во второй четверти положителен;

г) Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения так как 6 радиан — угол четвертой четверти, а синус в четвертой четверти отрицателен.

Пример №10

Сравните: Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

Решение:

а) Отметим на единичной окружности точки, соответствующие углам Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения и сравним ординаты этих точек. Ордината точки Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения больше ординаты точки Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения (рис. 43), значит, Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

б) Сравним абсциссы точек единичной окружности Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения Так как абсцисса точки Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения больше абсциссы точки Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения (рис. 44), то Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

Пример №11

С помощью единичной окружности найдите значение:

Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

Решение:

а) Ордината точки Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения равна ординате точки Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения (рис. 45), поэтому Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

б) Абсцисса точки Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения противоположна абсциссе точки Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения (см. рис. 45), поэтому

Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

Определение синуса и косинуса произвольного угла с примерами решения

  • Определение тангенса и котангенса произвольного угла
  • Соотношения между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного и того же угла (тригонометрические тождества)
  • Функция y=sin x и её свойства и график
  • Функция y=cos x и её свойства и график
  • Дробно-рациональные уравнения
  • Дробно-рациональные неравенства
  • Прогрессии в математике — арифметическая, геометрическая
  • Единичная окружность — в тригонометрии
Источник

Как найти синус, зная угол

Одной из фундаментальных основ точных наук является понятие о тригонометрических функциях. Они определяют простые отношения между сторонами прямоугольного треугольника. К семейству данных функций относится синус. Найти его, зная угол, можно большим количеством способов, включающих экспериментальные, вычислительные методы, а также использование справочной информации.

Как найти синус, зная угол

Вам понадобится

  • — калькулятор;
  • — компьютер;
  • — электронные таблицы;
  • — таблицы брадиса;
  • — бумага;
  • — карандаш.

Инструкция

Используйте калькулятор с функцией вычисления синуса для получения нужных значений на основании знания угла. Подобный функционал сегодня имеют даже самые простые устройства. При этом вычисления производятся с очень высокой степенью точности (как правило, до восьми и более знаков после запятой).

Примените программное обеспечение, представляющее собой среду для работы с электронными таблицами, запущенное на персональном компьютере. Примерами подобных приложений являются Microsoft Office Excel и OpenOffice.org Calc. Введите в любую ячейку формулу, состоящую из вызова функции вычисления синуса с нужным аргументом. Нажмите Enter. В ячейке отобразится искомая величина. Преимуществом электронных таблиц является возможность быстрого расчета значений функций для большого набора аргументов.

Узнайте приближенное значение синуса угла из таблиц Брадиса, если они имеются в наличии. Их недостатком является точность значений, ограниченная четырьмя знаками после запятой.

Найдите приближенное значение синуса угла, совершив геометрические построения. На листе бумаги вычертите отрезок. При помощи транспортира отложите от него угол, синус которого необходимо найти. Начертите еще один отрезок, пересекающий первый в некоторой точке. Перпендикулярно первому же отрезку проведите прямую линию, пересекающую два уже существующих отрезка. Получится прямоугольный треугольник. Измерьте длину его гипотенузы и катета, противолежащего углу, построенному при помощи транспортира. Разделите второе значение на первое. Это и будет искомая величина.

Рассчитайте синус угла, используя разложение в ряд Тейлора. Если значение угла представлено в градусах, переведите его в радианы. Используйте формулу вида: sin(х) = х — (х^3)/3! + (х^5)/5! — (х^7)/7! + (х^9)/9! — … Для повышения скорости расчетов записывайте текущее значение числителя и знаменателя последнего члена ряда, производя вычисление следующего значения на основе предыдущего. Увеличивайте длину ряда для получения более точной величины.

Видео по теме

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

В статье мы расскажем, как находить значения:

(cos300^°),       (sin⁡(-540^°)),     (cos 510^°),     (sin⁡(-135^°))

и других тригонометрических выражений без тригонометрической таблицы.

Как вычисляются синусы и косинусы углов?

Чтобы вычислить косинус и синус некоторого угла нужно:
1. Отложить этот угол на тригонометрическом круге и определить какая точка соответствует этому углу;
2. Найти абсциссу и ординату этой точки. Косинус угла равен — абсциссе, а синус угла — ординате.

Предположим, стоит задача найти косинус и синус угла (30^°). Отложим на круге угол в (30^°) и найдем какая точка соответствует этому углу.

Если построить все точно, то видно, что абсцисса точки равна (0,866)… , что равно числу (frac{sqrt{3}}{2}) , а ордината равна (0,5), то есть (frac{1}{2}).

как найти синус и косинус 30 градусов

Получается, (cos 30^° = frac{sqrt{3}}{2}), а (sin⁡30^° =frac{1}{2}).

Аналогично и для любой другой точки на круге: значение абсциссы равно косинусу угла, а ординаты – синусу угла. Поэтому:

В тригонометрии ось абсцисс (ось x) часто называют «ось косинусов», а ординат (ось y) – «ось синусов».

Обычно на осях не отмечают (0,1); (0,2); (0,3) и т.д., а сразу наносят стандартные значения для синуса и косинуса: (±frac{1}{2}=±0,5);    (±frac{sqrt{2}}{2} ≈±0,707);     (±frac{sqrt{3}}{2} ≈±0,866).

Первый шаг к тому, чтобы находить синусы и косинусы стандартных углов – научится отмечать эти углы на тригонометрическом круге.

Как отметить любой угол на тригонометрическом круге?

Для этого нужно знать несколько фактов:

  • Начало отсчета находится в крайней правой точке окружности;

  • Чтоб отложить положительный угол нужно двигаться против часовой стрелки от начала отсчета, чтобы отметить отрицательный – по часовой стрелке;

  • Градусная мера окружности равна (360^°), полуокружности (180^°),  а четверти (90^°);

  • Углы в (0^°), (30^°), (45^°) и (60^°) выглядят так:

стандартные углы на тригонометрическом круге    угол в 45 градусов на тригонометрическом круге

  • Одна точка может соответствовать разным углам;

  • Угол может быть больше (360^°). В этом случае он просто сделает полный оборот и пойдет дальше. Фактически, можно (360^°) просто отбросить и откладывать тот угол, который останется – в итоге вы всё равно окажетесь в той же точке.

Пример. Отметьте угол в (90^° ) и (-90^°).
Решение:

углы в 90 и -90 градусов

Пример. Отметьте угол в (225^° ) и (-135^°).
Решение:   (225^°=180^°+45^°)
(-135^°=-90^°-45^°)

углы в 225 и -135 градусов

Пример. Отметьте угол в (420^° ) и (-390^°).
Решение:    (420^°=360^°+60^°)
(-390^°=-360^°-30^°)

угол в 420 градусов на тригонометрическом круге    угол в -390 градусов на тригонометрическом круге

Задание 1. Отметьте на окружности точки соответствующие углам: (720^°), (225^°), (300^°), (870^°), (900^°), (-330^°), (-630^°), (-210^°).

Как находить синус и косинус любого угла?

Простой алгоритм:

  1. Начертите тригонометрический круг и оси косинусов и синусов (не обязательно рисовать прям аккуратно, как на картинке ниже, можно и некрасиво – главное не запутаться какая точка к какому значению относится).
  2. Отложите на круге угол, синус и косинус которого надо найти, и определите точку на круге, соответствующую этому углу.
  3. Найдите координаты точки, используя картинку ниже.

стандартные значение на оси косинусов и синусов

Пример.  Вычислите (sin⁡300^°) и (cos⁡300^°) .
Решение:   (⁡300^°=360^°-60^°)

как найти синус и косинус 300 градусов

(cos⁡ 300^°=frac{1}{2}),     (sin⁡{300^°}=-frac{sqrt{3}}{2}).

Пример . Вычислите (sin⁡(-540^°)) и (cos(-540^°)) .
Решение.    (-540^°=-360^°-180^°).

синус и косинус -540 градусов

(-540^°) на тригонометрическом круге совпадает с (-1) на оси косинусов. То есть, координаты этой точки: ((-1;0)). Значит, (cos⁡(-540^°)=-1), а (sin⁡(-540^° )=0).

Да, имея перед глазами тригонометрический круг, вычислять синусы и косинусы любых углов легко. Возможно, у вас возник вопрос: «а что делать, если круга нет? Как делать такие вычисления на ЕГЭ?». Ответ очевиден – нарисовать круг самому! Для этого надо понять, как располагаются значения на нем. Подробную методику того, как это делается я рассказывала в этой статье.

Есть и другой способ запомнить тригонометрический круг – внимательно посмотреть на картинку ниже и запомнить максимальное количество элементов. После прикройте страницу и по памяти нарисуйте круг и отметьте всё, что смогли запомнить. Сверьте, что у вас получилось с тем, что было на картинке. Повторяйте эту последовательность действий пока по памяти не получится нарисовать тригонометрический круг со всеми значениями. Это займет 15 минут вашего времени, но сильно поможет в 13 задаче ЕГЭ (и не только в ней).

стандартные значение на оси косинусов и синусов

Примеры вычисления синуса и косинуса из ЕГЭ

В двух следующих примерах я специально рисовала круг от руки, чтобы вы увидели, как выглядят реальные решения.

Пример . Найдите значение выражения (-18sqrt{2}sin⁡(-135^°)).
Решение. (-135^°=-90^°-45^°)

пример нахождение синуса и косинуса -135 прям на экзамене

Получается (-18sqrt{2} sin⁡(-135^° )=-18sqrt{2}cdot-frac{sqrt{2}}{2}=frac{18cdotsqrt{2}cdotsqrt{2}}{2}=9cdot 2=18.)
Ответ: (18).

Пример . Найдите значение выражения (54sqrt{3}cos⁡(510^°)).
Решение. (510^°=360^°+150^°=360^°+180^°-30^°.)

пример нахождение синуса и косинуса 510 градусов на егэ

(54sqrt{3}cos⁡(510^°)=54sqrt{3}cdot(-frac{sqrt{3}}{2})=-frac{54cdot sqrt{3}cdot sqrt{3}}{2}=-27cdot 3=-81.)
Ответ: (-81).

Смотрите также:
Как найти тангенс и котангенс без тригонометрической таблицы? Из градусов в радианы и наборот
Тригонометрическая таблица с кругом
Почему в тригонометрической таблице такие числа?

Для тех кто хочет закрепить знания:
Задание на вычисление синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов

Источник

Синус угла. Таблица синусов.

Синус угла через градусы, минуты и секунды

Синус угла через десятичную запись угла

Как найти угол зная синус этого угла

У синуса есть обратная тригонометрическая функция — arcsin(y)=x

sin(arcsin(y))=y

Пример sin(30°) = 1/2; arcsin(1/2) = 30°

Рассчитать арксинус

Определение синуса

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Синусом угла α называется ордината точки B единичной окружности, полученной при повороте точки P(1;0) на угол α.

Синус острого угла

sin(α) = BC/AB

sin(-α) = -sin(α)

Периодичность синуса

Функция y = sin(x) периодична, с периодом 2π

sin(α ± 2π) = sin(α)

Пример sin(5π) = sin(4π + π) = sin(π)

Таблица синусов в радианах

sin(0°) = 0sin(π/12) = sin(15°) = 0.2588190451sin(π/6) = sin(30°) = 0.5sin(π/4) = sin(45°) = 0.7071067812sin(π/3) = sin(60°) = 0.8660254038sin(5π/12) = sin(75°) = 0.9659258263sin(π/2) = sin(90°) = 1sin(7π/12) = sin(105°) = 0.9659258263sin(2π/3) = sin(120°) = 0.8660254038sin(3π/4) = sin(135°) = 0.7071067812sin(5π/6) = sin(150°) = 0.5sin(11π/12) = sin(165°) = 0.2588190451sin(π) = sin(180°) = 0sin(13π/12) = sin(195°) = -0.2588190451sin(7π/6) = sin(210°) = -0.5sin(5π/4) = sin(225°) = -0.7071067812sin(4π/3) = sin(240°) = -0.8660254038sin(17π/12) = sin(255°) = -0.9659258263sin(3π/2) = sin(270°) = -1sin(19π/12) = sin(285°) = -0.9659258263sin(5π/3) = sin(300°) = -0.8660254038sin(7π/4) = sin(315°) = -0.7071067812sin(11π/6) = sin(330°) = -0.5sin(23π/12) = sin(345°) = -0.2588190451

Таблица Брадиса синусы

sin(0) = 0 sin(120) = 0.8660254038 sin(240) = -0.8660254038
sin(1) = 0.01745240644 sin(121) = 0.8571673007 sin(241) = -0.8746197071
sin(2) = 0.0348994967 sin(122) = 0.8480480962 sin(242) = -0.8829475929
sin(3) = 0.05233595624 sin(123) = 0.8386705679 sin(243) = -0.8910065242
sin(4) = 0.06975647374 sin(124) = 0.8290375726 sin(244) = -0.8987940463
sin(5) = 0.08715574275 sin(125) = 0.8191520443 sin(245) = -0.906307787
sin(6) = 0.1045284633 sin(126) = 0.8090169944 sin(246) = -0.9135454576
sin(7) = 0.1218693434 sin(127) = 0.79863551 sin(247) = -0.9205048535
sin(8) = 0.139173101 sin(128) = 0.7880107536 sin(248) = -0.9271838546
sin(9) = 0.156434465 sin(129) = 0.7771459615 sin(249) = -0.9335804265
sin(10) = 0.1736481777 sin(130) = 0.7660444431 sin(250) = -0.9396926208
sin(11) = 0.1908089954 sin(131) = 0.7547095802 sin(251) = -0.9455185756
sin(12) = 0.2079116908 sin(132) = 0.7431448255 sin(252) = -0.9510565163
sin(13) = 0.2249510543 sin(133) = 0.7313537016 sin(253) = -0.956304756
sin(14) = 0.2419218956 sin(134) = 0.7193398003 sin(254) = -0.9612616959
sin(15) = 0.2588190451 sin(135) = 0.7071067812 sin(255) = -0.9659258263
sin(16) = 0.2756373558 sin(136) = 0.6946583705 sin(256) = -0.9702957263
sin(17) = 0.2923717047 sin(137) = 0.6819983601 sin(257) = -0.9743700648
sin(18) = 0.3090169944 sin(138) = 0.6691306064 sin(258) = -0.9781476007
sin(19) = 0.3255681545 sin(139) = 0.656059029 sin(259) = -0.9816271834
sin(20) = 0.3420201433 sin(140) = 0.6427876097 sin(260) = -0.984807753
sin(21) = 0.3583679495 sin(141) = 0.629320391 sin(261) = -0.9876883406
sin(22) = 0.3746065934 sin(142) = 0.6156614753 sin(262) = -0.9902680687
sin(23) = 0.3907311285 sin(143) = 0.6018150232 sin(263) = -0.9925461516
sin(24) = 0.4067366431 sin(144) = 0.5877852523 sin(264) = -0.9945218954
sin(25) = 0.4226182617 sin(145) = 0.5735764364 sin(265) = -0.9961946981
sin(26) = 0.4383711468 sin(146) = 0.5591929035 sin(266) = -0.9975640503
sin(27) = 0.4539904997 sin(147) = 0.544639035 sin(267) = -0.9986295348
sin(28) = 0.4694715628 sin(148) = 0.5299192642 sin(268) = -0.999390827
sin(29) = 0.4848096202 sin(149) = 0.5150380749 sin(269) = -0.9998476952
sin(30) = 0.5 sin(150) = 0.5 sin(270) = -1
sin(31) = 0.5150380749 sin(151) = 0.4848096202 sin(271) = -0.9998476952
sin(32) = 0.5299192642 sin(152) = 0.4694715628 sin(272) = -0.999390827
sin(33) = 0.544639035 sin(153) = 0.4539904997 sin(273) = -0.9986295348
sin(34) = 0.5591929035 sin(154) = 0.4383711468 sin(274) = -0.9975640503
sin(35) = 0.5735764364 sin(155) = 0.4226182617 sin(275) = -0.9961946981
sin(36) = 0.5877852523 sin(156) = 0.4067366431 sin(276) = -0.9945218954
sin(37) = 0.6018150232 sin(157) = 0.3907311285 sin(277) = -0.9925461516
sin(38) = 0.6156614753 sin(158) = 0.3746065934 sin(278) = -0.9902680687
sin(39) = 0.629320391 sin(159) = 0.3583679495 sin(279) = -0.9876883406
sin(40) = 0.6427876097 sin(160) = 0.3420201433 sin(280) = -0.984807753
sin(41) = 0.656059029 sin(161) = 0.3255681545 sin(281) = -0.9816271834
sin(42) = 0.6691306064 sin(162) = 0.3090169944 sin(282) = -0.9781476007
sin(43) = 0.6819983601 sin(163) = 0.2923717047 sin(283) = -0.9743700648
sin(44) = 0.6946583705 sin(164) = 0.2756373558 sin(284) = -0.9702957263
sin(45) = 0.7071067812 sin(165) = 0.2588190451 sin(285) = -0.9659258263
sin(46) = 0.7193398003 sin(166) = 0.2419218956 sin(286) = -0.9612616959
sin(47) = 0.7313537016 sin(167) = 0.2249510543 sin(287) = -0.956304756
sin(48) = 0.7431448255 sin(168) = 0.2079116908 sin(288) = -0.9510565163
sin(49) = 0.7547095802 sin(169) = 0.1908089954 sin(289) = -0.9455185756
sin(50) = 0.7660444431 sin(170) = 0.1736481777 sin(290) = -0.9396926208
sin(51) = 0.7771459615 sin(171) = 0.156434465 sin(291) = -0.9335804265
sin(52) = 0.7880107536 sin(172) = 0.139173101 sin(292) = -0.9271838546
sin(53) = 0.79863551 sin(173) = 0.1218693434 sin(293) = -0.9205048535
sin(54) = 0.8090169944 sin(174) = 0.1045284633 sin(294) = -0.9135454576
sin(55) = 0.8191520443 sin(175) = 0.08715574275 sin(295) = -0.906307787
sin(56) = 0.8290375726 sin(176) = 0.06975647374 sin(296) = -0.8987940463
sin(57) = 0.8386705679 sin(177) = 0.05233595624 sin(297) = -0.8910065242
sin(58) = 0.8480480962 sin(178) = 0.0348994967 sin(298) = -0.8829475929
sin(59) = 0.8571673007 sin(179) = 0.01745240644 sin(299) = -0.8746197071
sin(60) = 0.8660254038 sin(180) = 0 sin(300) = -0.8660254038
sin(61) = 0.8746197071 sin(181) = -0.01745240644 sin(301) = -0.8571673007
sin(62) = 0.8829475929 sin(182) = -0.0348994967 sin(302) = -0.8480480962
sin(63) = 0.8910065242 sin(183) = -0.05233595624 sin(303) = -0.8386705679
sin(64) = 0.8987940463 sin(184) = -0.06975647374 sin(304) = -0.8290375726
sin(65) = 0.906307787 sin(185) = -0.08715574275 sin(305) = -0.8191520443
sin(66) = 0.9135454576 sin(186) = -0.1045284633 sin(306) = -0.8090169944
sin(67) = 0.9205048535 sin(187) = -0.1218693434 sin(307) = -0.79863551
sin(68) = 0.9271838546 sin(188) = -0.139173101 sin(308) = -0.7880107536
sin(69) = 0.9335804265 sin(189) = -0.156434465 sin(309) = -0.7771459615
sin(70) = 0.9396926208 sin(190) = -0.1736481777 sin(310) = -0.7660444431
sin(71) = 0.9455185756 sin(191) = -0.1908089954 sin(311) = -0.7547095802
sin(72) = 0.9510565163 sin(192) = -0.2079116908 sin(312) = -0.7431448255
sin(73) = 0.956304756 sin(193) = -0.2249510543 sin(313) = -0.7313537016
sin(74) = 0.9612616959 sin(194) = -0.2419218956 sin(314) = -0.7193398003
sin(75) = 0.9659258263 sin(195) = -0.2588190451 sin(315) = -0.7071067812
sin(76) = 0.9702957263 sin(196) = -0.2756373558 sin(316) = -0.6946583705
sin(77) = 0.9743700648 sin(197) = -0.2923717047 sin(317) = -0.6819983601
sin(78) = 0.9781476007 sin(198) = -0.3090169944 sin(318) = -0.6691306064
sin(79) = 0.9816271834 sin(199) = -0.3255681545 sin(319) = -0.656059029
sin(80) = 0.984807753 sin(200) = -0.3420201433 sin(320) = -0.6427876097
sin(81) = 0.9876883406 sin(201) = -0.3583679495 sin(321) = -0.629320391
sin(82) = 0.9902680687 sin(202) = -0.3746065934 sin(322) = -0.6156614753
sin(83) = 0.9925461516 sin(203) = -0.3907311285 sin(323) = -0.6018150232
sin(84) = 0.9945218954 sin(204) = -0.4067366431 sin(324) = -0.5877852523
sin(85) = 0.9961946981 sin(205) = -0.4226182617 sin(325) = -0.5735764364
sin(86) = 0.9975640503 sin(206) = -0.4383711468 sin(326) = -0.5591929035
sin(87) = 0.9986295348 sin(207) = -0.4539904997 sin(327) = -0.544639035
sin(88) = 0.999390827 sin(208) = -0.4694715628 sin(328) = -0.5299192642
sin(89) = 0.9998476952 sin(209) = -0.4848096202 sin(329) = -0.5150380749
sin(90) = 1 sin(210) = -0.5 sin(330) = -0.5
sin(91) = 0.9998476952 sin(211) = -0.5150380749 sin(331) = -0.4848096202
sin(92) = 0.999390827 sin(212) = -0.5299192642 sin(332) = -0.4694715628
sin(93) = 0.9986295348 sin(213) = -0.544639035 sin(333) = -0.4539904997
sin(94) = 0.9975640503 sin(214) = -0.5591929035 sin(334) = -0.4383711468
sin(95) = 0.9961946981 sin(215) = -0.5735764364 sin(335) = -0.4226182617
sin(96) = 0.9945218954 sin(216) = -0.5877852523 sin(336) = -0.4067366431
sin(97) = 0.9925461516 sin(217) = -0.6018150232 sin(337) = -0.3907311285
sin(98) = 0.9902680687 sin(218) = -0.6156614753 sin(338) = -0.3746065934
sin(99) = 0.9876883406 sin(219) = -0.629320391 sin(339) = -0.3583679495
sin(100) = 0.984807753 sin(220) = -0.6427876097 sin(340) = -0.3420201433
sin(101) = 0.9816271834 sin(221) = -0.656059029 sin(341) = -0.3255681545
sin(102) = 0.9781476007 sin(222) = -0.6691306064 sin(342) = -0.3090169944
sin(103) = 0.9743700648 sin(223) = -0.6819983601 sin(343) = -0.2923717047
sin(104) = 0.9702957263 sin(224) = -0.6946583705 sin(344) = -0.2756373558
sin(105) = 0.9659258263 sin(225) = -0.7071067812 sin(345) = -0.2588190451
sin(106) = 0.9612616959 sin(226) = -0.7193398003 sin(346) = -0.2419218956
sin(107) = 0.956304756 sin(227) = -0.7313537016 sin(347) = -0.2249510543
sin(108) = 0.9510565163 sin(228) = -0.7431448255 sin(348) = -0.2079116908
sin(109) = 0.9455185756 sin(229) = -0.7547095802 sin(349) = -0.1908089954
sin(110) = 0.9396926208 sin(230) = -0.7660444431 sin(350) = -0.1736481777
sin(111) = 0.9335804265 sin(231) = -0.7771459615 sin(351) = -0.156434465
sin(112) = 0.9271838546 sin(232) = -0.7880107536 sin(352) = -0.139173101
sin(113) = 0.9205048535 sin(233) = -0.79863551 sin(353) = -0.1218693434
sin(114) = 0.9135454576 sin(234) = -0.8090169944 sin(354) = -0.1045284633
sin(115) = 0.906307787 sin(235) = -0.8191520443 sin(355) = -0.08715574275
sin(116) = 0.8987940463 sin(236) = -0.8290375726 sin(356) = -0.06975647374
sin(117) = 0.8910065242 sin(237) = -0.8386705679 sin(357) = -0.05233595624
sin(118) = 0.8829475929 sin(238) = -0.8480480962 sin(358) = -0.0348994967
sin(119) = 0.8746197071 sin(239) = -0.8571673007 sin(359) = -0.01745240644

Похожие калькуляторы

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:

Не пропустите также:

  • Как найти моль вещества вступившего в реакцию
  • Потерял айфон как найти по айди
  • Как найти значение функции по графику первообразной
  • Как найти данные аккаунта стим
  • Как найти непьющую девушку

    • 0 0 голоса
    Рейтинг статьи
    Подписаться
    Уведомить о
    guest

    0 комментариев
    Старые
    Новые Популярные
    Межтекстовые Отзывы
    Посмотреть все комментарии