Как найти пределы с логарифмами

Пределы с логарифмами: примеры решений

Часто в контрольных работах нужно вычислить пределы с логарифмами. Такие задачи можно решить двумя способами:

1. С помощью следствия второго замечательного предела: $$ lim limits_{x to 0} frac{ln(1+f(x))}{f(x)} = 1 text{, если } f(x) to 0 $$
2. С помощью свойства бесконечно малой эквивалентной функции: $$ ln(1+f(x)) sim f(x) text{, если } f(x) to 0 $$

Оба метода решения допустимы к сдаче преподавателю на проверку. Выберите для себя самый удобный, который будете легко понимать

Рассмотрим пределы логарифмов, которые можно найти с помощью следствия из 2-го замечательного предела.

Следствие 2-го замечательного предела:

Это следствие распространяется и на пределы логарифмов, в которых на месте x стоит некоторая функция f(x), если f(x)→0 при x→0, то есть

Рассмотрим, как находят пределы на логарифмы на примерах.

Найти предел функции:

Приводим выражени под знаком предела к такому виду, чтобы можно было применить нашу формулу (*):

так как по следствию из 2-го замечательного предела

Преобразуем выражение -1+cos x:

Продолжим

Теперь приведем предел с логарифмом к виду (*)

С пределом логарифма разобрались:

осталось убрать неопределенность 0 на 0, возникшую с появлением синуса. По 1-му замечательному пределу

Преобразовываем выражение так, чтобы применить этот замечательный предел:

Сокращаем дробь на x², имеем:

По теореме о разложении квадратного трехчлена на множители: x²-7x+10=(x-2)(x-5).

Сокращаем дробь на (x-2):

Так как при x→2  x²-7x+10→0, то

Значит, окончательный ответ

Дальше мы увидим, что пределы на логарифмы удобно находить, используя эквивалентность бесконечно малых величин.

Содержание:

1. Предел показательно-степенной функции
2. Примеры с решением

Предел показательно-степенной функции

Показательно-степе иным и называют функции вида . Примерами таких функций могут служить и т. д.

Функция определена в области, где или где Если , то

Отсюда ясно, что показательно-степенная функция непрерывна при тех значениях х, при которых функции непрерывны, причем

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Если существуют пределы причем , то

В этом равенстве а либо число, либо , либо , либо . Остановимся теперь на особых случаях.

a) . В этом случае

Точно так же доказывается, что если то

б) Здесь

и потому Точно так же доказывается, что если

Мы опускаем разбор остальных случаев и приводим следующую таблицу значений предела

Возможно вам будут полезны данные страницы:

В случаях, соответствующих зачерненным клеткам, ответ неоднозначен и зависит от того, как именно стремятся к своим пределам. Эти случаи будут рассмотрены ниже.

Примеры с решением

Пример 1.

Вычислим предел

Решение:

Так как (см. п. 35)

то искомый предел равен

Пример 2.

Вычислим предел:

Решение:

а) Так как

то искомый предел равен 0.

б) Здесь и потому

Пример 3.

Вычислим предел:

Решение:

а) Так как

то искомый предел равен нулю. б) Здесь и потому

66. Предел п. 40 было доказано существование предела Этот предел мы обозначили буквой

Последовательность с общим членом получается, если придавать аргументу функции лишь натуральные значения. Мы покажем сейчас, что, если х стремится к бесконечности произвольным образом, предел этой функции также равен е. Иными словами, докажем, что

Для этого достаточно показать, что

Начнем с первого случая. Пусть Возьмем произвольное и обозначим целую часть через . Тогда и, следовательно, , а потому

Из неравенств следует, что

а из неравенств следует, что

Итак, мы доказали, что

где, напомним, Но

и Когда (пишут обычно ), а потому левая и правая части в (2) стремятся к е. Поэтому по теореме о пределе промежуточной функции (см. с. 80) имеем:

Рассмотрим предел . Положим

Когда и

Итак, и Значит, мы доказали равенство (1).

Если в этом равенстве положить , то получаем:

Пример 4.

Вычислим

Решение:

Имеем:

Пример 5.

Вычислим

Решение:

Имеем:

Преобразуем выражение функции, содержащейся под знаком предела, следующим образом:

и положим Вычислим

и Для вычисления первого предела введем новую переменную

Если , и мы получаем:

Вычислим второй предел:

(см. п. 35). В п. 65 мы отметили, что

Значит,

• Вычисление пределов, связанных с показательной и логарифмической функциями. Формулы (1) и (3) лежат в основе вычисления большинства пределов, связанных с показательной и логарифмической функциями.

Прологарифмировав обе части равенства (3) по основанию е, получаем

Заметим теперь, что в силу непрерывности логарифмической функции для любого а > 0 имеем: Поэтому если , то

В частности,

Итак, мы доказали, что

Это равенство означает, что при функции являются эквивалентными бесконечно малыми (см. п. 53): если

Введем новую переменную z, положив Тогда Поэтому и из формулы (4) следует, что

Мы доказали, что при функции — эквивалентные бесконечно малые: Так как, в частности, Иными словами, получаем, что

Наконец докажем, что

Для этого заметим, что , и потому Значит,

Равенство (6) означает, что

Мы доказали в этом пункте следующие соотношения эквивалентности бесконечно малых (в дополнение к тем, что были получены выше в п. 53 и 58): если , то

Пример 6.

Вычислим предел

Решение:

Так как — бесконечно малая Точно так же из . Поэтому, заменяя числитель и знаменатель дроби эквивалентными бесконечно малыми, получаем:

Итак, искомый предел равен .

Пример 7.

Вычислим предел

Решение:

Снова заменяем числитель и знаменатель эквива-лентными бесконечно малыми. Числитель запишем в виде а знаменатель — в виде . Применяя соотношение получаем:

Значит,

В п. 65 были вычислены пределы показательно-степенных функций Там остались неразобранными следующие случаи: х-»о

а) (неопределенность вида );

б) (неопределенность вида );

в) (неопределенность вида ).

Для вычисления таких пределов заменяют , т. е. на e и вычисляют предел

Тогда искомый предел равен :

Содержание:

Замечательные пределы

Сравнение бесконечно малых функций

Признак существования предела (теорема о 2-х милиционерах)

Теорема: Если значения функции

значениями функций

Рассмотрим геометрический смысл данной теоремы (Рис. 62). Из рисунка видно, что в случае, когда функции стягиваются к прямой у=А, то они “вынуждают” функцию также приближаться к той же самой прямой (“куда идут два милиционера, ведущие арестованного, туда идет и сам арестованный”).

Рис. 62. Иллюстрация теоремы о “2-х милиционерах”.

Доказательство: Пусть — точка сгущения для функций в общей области определения. Это означает, что в некоторой -окрестности точки выполняется неравенство В -окрестности точки выполняется неравенство Так как значения функции заключены между значениями функций то в некоторой -окрестности точки меньшей из -окрестностей будет выполняться неравенство Отсюда следует, что выполняется неравенство или

Первый замечательный предел

Определение: Предел отношения синуса какого-либо аргумента к этому аргументу при стремлении аргумента к нулю равен единице, т.е. и называется первым замечательным пределом.

Пример:

Пределы являются первыми замечательными пределами

Доказательство: Для вывода этой формулы построим окружность с центром в точке О(0; 0) и радиусом R = 1. Выберем угол в первой координатной четверти и сравним площади трех фигур: треугольник АОВ, сектор АОВ и треугольник AOD (Рис. 63):

Рис. 63. Иллюстрация вывода формулы первого замечательного предела.

Из рисунка видно, что площади указанных фигу р связаны соотношением:

Вычислим эти площади

Следовательно, вышеприведенное неравенство приводится к виду В силу того, что получаем Разделим полученное неравенство на знак всех неравенств не изменится: Переходя к обратным неравенствам, или в силу того, что то по теореме о 2-х милиционерах

Аналогично проводится доказательство для любого значения угла

Таким образом, наличие в пределе, сводящемся к неопределенности тригонометрических функции может указывать на первый замечательный предел.

При вычислении первого замечательного предела используют следующие формулы:

а также следующие таблицы:

Табл. 1. Значения синуса и косинуса на интервале

Табл. 2. Формулы приведения.

Пример:

Найти

Решение:

При подстановке предельной величины переменной х имеем неопределенность Воспользуемся формулой и преобразуем данный предел следующим образом:

Пример:

Найти

Решение:

При подстановке предельного значения переменной х имеем неопределённость Воспользуемся формулой тогда данный предел равен:

Пример:

Найти

Решение:

При подстановке предельного значения переменной х имеем неопределённость Введём замену (при ) и воспользуемся следующей формулой Предел преобразуется к виду:

Пример:

Найти

Решение:

При подстановке предельного значения переменной х имеем неопределённость Воспользуемся формулами получим:

Число e и натуральные логарифмы. Второй замечательный предел

Рассмотрим логарифмическую функцию Выбирая различные значения основания, будем вычислять тангенсы угла наклона касательной к графику этой функции в точке (см. график логарифмической функции в Лекции № 22).

Определение: Натуральным логарифмом называется логарифм, для которого основание выбрано так, чтобы тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс (Ох) был равен 1.

Основанием натурального логарифма является число Это число трансцедентное, т.е. не является решением ни одного алгебраического уравнения. Установим связь между натуральными и десятичными логарифмами:

Определение: Вторым замечательным пределом называется предельное равенство (первая форма)

или

(вторая форма).

Замечание: Первая форма второго замечательного предела переходит во вторую с помощью замены с учетом теоремы о связи бесконечно большой функции с бесконечно малой функцией.

Замечание: Наличие неопределенности указывает на второй замечательный предел, т.е. если пределы функций что указывает на второй замечательный предел.

Пример:

Найти

Решение:

При подстановке предельного значения переменной х не имеем неопределенности

— не второй замечательный предел.

Пример:

Найти lim

Решение:

При подстановке предельного значения переменной х имеем неопределенность Проведём преобразование подлимитной функции: ( — первая форма второго замечательного предела, преобразуем данное выражение под вид второго замечательного предела)

(роль функции играет выражение возведем круглую скобку в эту степень, а за квадратной скобкой возведем в обратную степень для тождественности проводимых преобразований, получим) =

= (выражение в квадратных скобках стремится к числу е, а показатель степени — к числу -4/5 (см. раскрытие неопределённости для полиномов примере из пункта Вычисление пределов и раскрытие неопределенностей поэтому окончательный ответ имеет вид)=

Пример:

Найти

Решение:

При подстановке предельного значения переменной х имеем неопределенность Проведём преобразование подлимитной функции:

(вторая форма второго замечательного предела, преобразуем данное выражение под вид второго замечательного предела)= = (роль функции играет выражение (2-2х))=

=(выражение в квадратных скобках стремится к числу е, а показатель степени — к числу -2 (подставить в показатель степени вместо переменной х ее предельное значение 1), поэтому окончательный ответ имеет вид)

• Заказать решение задач по высшей математике

Сравнение бесконечно малых функций

Сравнить две бесконечно малые функции и означает вычислить предел

Определение: Если предел К не существует, то бесконечно малые функции и называются несравнимыми.

Пример:

Пусть — две бесконечно малые функции при Доказать, что эти бесконечно малые функции несравнимые.

Решение:

Для доказательства вычислим предел -данный предел не существует, так как нельзя указать предельное значение для подлимитной функции cosx на бесконечности.

Определение: Если предел К равен нулю, то бесконечно малая функция называется бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем бесконечно малая функция

Пример:

Пусть — две бесконечно малые функции при Доказать, что бесконечно малая функция является бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем бесконечно малая функция

Решение:

Для доказательства вычислим предел Следовательно, бесконечно малая функция является бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем бесконечно малая функция при

Определение: Если предел К равен то бесконечно малая функция называется бесконечно малой функцией более низкого порядка малости, чем бесконечно малая функция

Пример:

Пусть — две бесконечно малые функции при Доказать, что бесконечно малая функция является бесконечно малой функцией более низкого порядка малости, чем бесконечно малая функция

Решение:

Для доказательства вычислим предел

Следовательно, бесконечно малая функция является бесконечно малой функцией более низкого порядка малости, чем бесконечно малая функция

Определение: Если предел К равен конечному числу то бесконечно малые функции называются бесконечно малыми функциями одного порядка малости.

Пример:

Пусть — две бесконечно малые функции при Доказать, что бесконечно малые функции являются бесконечно малыми функциями одного порядка малости.

Решение:

Для доказательства вычислим предел

Следовательно, бесконечно малые функции являются бесконечно малыми функциями одного порядка малости при

Определение: Если предел К равен 1, то бесконечно малые функции а(х) и Д(х) называются эквивалентными.

Пример:

Пусть — две бесконечно малые функции при Доказать, что бесконечно малые функции являются эквивалентными.

Решение:

Вычислим предел Следовательно, бесконечно малые функции являются эквивалентными при Рассмотрим признак эквивалентности бесконечно малых функций.

Теорема: Для того чтобы бесконечно малые функции были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы разность бесконечно малых функций была бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем бесконечно малые функции .

Доказательство:

1. Необходимость. Пусть бесконечно малая функция является бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем бесконечно малые функции т.е. пределы Докажем, что бесконечно малые функции эквивалентны. Преобразуем первый из этих пределов:

Отсюда следует, что т.е. бесконечно малые функции эквивалентны. Аналогично преобразуется второй пре- дел.

2. Достаточность. Пусть бесконечно малые функции являются эквивалентными, т.е. Докажем, что разность двух бесконечно малых функций является бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем бесконечно малые функции Преобразуем данный предел следующим образом: Отсюда следует, что функция является бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем бесконечно малые функции Аналогично доказывается, что функция является бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем бесконечно малые функции

Замечание: При вычислениях одна бесконечно малая функция может быть заменена на эквивалентную бесконечно малую функцию. Например, функции эквивалентны функции х при

—вышмат

Замечательные пределы

Первый замечательный предел

Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, равен единице:

Следовательно,

Пример №25

Найти

Решение:

Применим первый замечательный предел:

Второй замечательный предел

Числом е называется предел функции

(Для запоминания: 2<е<3; 1828 — год рождения Л.Н. Толстого) Следовательно,

Задача о непрерывном начислении процентов

Первоначальный вклад в банк составил денежных единиц. Банк выплачивает ежегодно годовых. Необходимо найти размер вклада через t лет.

Решение:

Размер вклада будет увеличиваться ежегодно в раз и

через t лет составит Если же начислять проценты n раз в году,

то будущая сумма составит Предположим, что проценты по вкладу начисляются каждое полугодие (n=2), ежеквартально (n=4), ежемесячно (n=12), каждый день (n=365), каждый час (n=8760) и, наконец, непрерывно (n). Тогда за год размер вклада составит:

а за t лет:

Пример №26

Найти

Решение:

Т.к. имеем неопределенность вида Для ее раскрытия воспользуемся вторым замечательным пределом, выделив предварительно у дроби целую часть:

Пример №27

Найти

Решение:

Преобразуя выражение и используя непрерывность показательно-степенной функции, получим: