Как найти предел последовательности с бесконечностью

Как решать пределы с бесконечностью

Рассмотрим основные типы неопределенностей пределов на бесконечности с примерами решений:

1. $ [frac{0}{0}] $
2. $ [infty — infty] $
3. $[frac{infty}{infty}]^{[infty]}$ и $[1 ^ infty] $

Пример 1

Вычислить предел функции, стремящейся к бесконечности $ lim limits_{x to infty} frac{x^3-4x+1}{x^3+x^2-2} $

Решение

Первым делом подставляем $ xto infty $ в предел, чтобы попытаться его вычислить. $$ limlimits_{x to infty} frac{x^3-4x+1}{x^3+x^2-2} = frac{infty}{infty} = $$ Вычисление не дало результата, так как появилась неопределенность. Чтобы устранить её, вынесем за скобки в числителе и знаменателе $x$ с наибольшей степенью. $$limlimits_{x to infty} frac{x^3(1 — frac{4}{x^2} + frac{1}{x^3})}{x^3(1+frac{1}{x}-frac{2}{x^3})} = limlimits_{x to infty} frac{1 — frac{4}{x^2} + frac{1}{x^3}}{1+frac{1}{x}-frac{2}{x^3}} = $$ Максимальная степень у $x^3$, поэтому вынесли именно её, а затем выполнили сокращение. Пользуясь тем, что $limlimits_{xto infty} frac{1}{x} = 0$ получаем ответ. $$ = frac{1-0+0}{1+0-0} = frac{1}{1} = 1 $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ limlimits_{x to infty} frac{x^3-4x+1}{x^3+x^2-2} = 1 $$

Пример 2

Решить предел с бесконечностью $limlimits_{xto infty} sqrt{x^2+1}-x$

Решение

Так как предел стремится к бесконечности, то подставляем её в функцию под знаком предела. $$limlimits_{xto infty} sqrt{x^2+1}-x = [infty — infty] $$ Получили неопределенность. Для избавления от неё умножим и разделим функцию под знаком предела на сопряженную к ней. Она будет отличаться только одним знаком. $$limlimits_{xto infty} sqrt{x^2+1}-x = limlimits_{xto infty} frac{(sqrt{x^2+1}-x)(sqrt{x^2+1}+x)}{sqrt{x^2+1}+x} = $$ По формуле разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2-b^2 $ сворачиваем числитель. А знаменатель пока не трогаем. $$ = limlimits_{xto infty} frac{x^2+1 — x^2}{sqrt{x^2+1}+x} = limlimits_{xto infty} frac{1}{sqrt{x^2+1}+x} = $$ Снова подставляем бесконечность в предел и получаем $frac{1}{infty}$, что равняется нулю. Поэтому записываем сразу ответ. $$ = limlimits_{xto infty} frac{1}{sqrt{x^2+1}+x} = frac{1}{infty} = 0 $$

Ответ

$$limlimits_{xto infty} sqrt{x^2+1}-x = 0 $$

Пример 3

Решить предел на бесконечности $limlimits_{x to infty} bigg (frac{3x-4}{3x+2} bigg)^frac{x+1}{2} $

Решение

При подстановке $x to infty $ в предел получаем неопределенность. $$ limlimits_{x to infty} bigg (frac{3x-4}{3x+2} bigg)^frac{x+1}{2} = bigg[frac{infty}{infty}bigg]^{[infty]} $$ Для решения примера понадобится формула второго замечательного предела. $$limlimits_{xto infty} bigg(1+frac{1}{x} bigg)^x = e qquad (1) $$ Из выражения, стоящего под знаком предела вычитаем единицу, чтобы его подстроить под формулу (1). $$frac{3x-4}{3x+2} — 1 = frac{3x-4 — 3x — 2}{3x+2} = frac{-6}{3x+2} $$ Перепишем предел из условия задачи в новом виде и подставим в него $xto infty$. $$ limlimits_{xto infty} bigg (1 + frac{-6}{3x+2} bigg )^frac{x+1}{2} = [1]^infty $$ Пользуясь формулой (1) проведем вычисление лимита. В скобках перевернем дробь. $$limlimits_{xto infty} bigg (1 + frac{-6}{3x+2} bigg )^frac{x+1}{2} = limlimits_{xto infty} bigg (1 + frac{1}{frac{3x+2}{-6}} bigg )^frac{x+1}{2} = $$ По условиями формулы второго замечательного предела (1) в скобках знаменатель дроби должен быть равен степени за скобкой. Выполним преобразование степени. Для этого умножим и разделим на $frac{3x+2}{-6}$. $$ = limlimits_{xto infty} bigg (1 + frac{1}{frac{3x+2}{-6}} bigg )^{frac{3x+2}{-6} cdot frac{-6}{3x+2} cdot frac{x+1}{2}} = limlimits_{x to infty} e^{frac{-6}{3x+2} cdot frac{x+1}{2}} = $$ Остаётся сократить степень экспоненты и найти её предел. $$ = limlimits_{x to infty} e^frac{-3x-3}{3x+2} = e^{limlimits_{xto infty} frac{-3x-3}{3x+2}} = $$ Предел дроби равен отношению коэффициентов при старшей степени $x$. $$ = e^frac{-3}{3} = e^{-1} = frac{1}{e} $$

Ответ

$$ limlimits_{x to infty} bigg (frac{3x-4}{3x+2} bigg)^frac{x+1}{2} = frac{1}{e} $$

Пределы числовых последовательностей

Содержание

Предел числовой последовательности

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Число   a   называют пределом числовой последовательности

a₁ ,  a₂ , … a_n , …

если для любого положительного числа   ε   найдется такое натуральное число   N ,   что при всех   n > N   выполняется неравенство

| a_n – a | < ε .

Условие того, что число   a   является пределом числовой последовательности

a₁ ,  a₂ , … a_n , … ,

записывают с помощью обозначения

и произносят так: «Предел   a_n   при   n ,   стремящемся к бесконечности, равен   a ».

      То же самое соотношение можно записать следующим образом:

a_n → a   при .

Словами это произносится так: «a_n   стремится к   a   при   n ,   стремящемся к бесконечности».

ЗАМЕЧАНИЕ. Если для последовательности

a₁ ,  a₂ , … a_n , …

найдется такое число   a ,   что   a_n → a   при , то эта последовательность ограничена.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Говорят, что последовательность

a₁ ,  a₂ , … a_n , …

стремится к бесконечности, если для любого положительного числа   C   найдется такое натуральное число   N ,   что при всех   n > N   выполняется неравенство

| a_n| > C .

Условие того, что числовая последовательность

a₁ ,  a₂ , … a_n , … ,

стремится к бесконечности, записывают с помощью обозначения

или с помощью обозначения

 при .

ПРИМЕР 1. Для любого числа   k > 0   справедливо равенство

ПРИМЕР 2 . Для любого числа   k > 0   справедливо равенство

ПРИМЕР 3. Для любого числа   a   такого, что   | a | < 1,   справедливо равенство

ПРИМЕР 4. Для любого числа   a   такого, что   | a | > 1,   справедливо равенство

ПРИМЕР 5 . Последовательность

– 1 , 1 , – 1 , 1 , … ,

заданная с помощью формулы общего члена

a_n = (– 1)ⁿ ,

предела не имеет.

Свойства пределов числовых последовательностей

Рассмотрим две последовательности

a₁ ,  a₂ , … a_n , … ,   и   b₁ ,  b₂ , … b_n , … .

Если при существуют такие числа   a   и   b ,  что

  и   ,

то при существуют также и пределы суммы, разности и произведения этих последовательностей, причем

Если, кроме того, выполнено условие

то при существует предел дроби

причем

Для любой непрерывной функции   f (x)   справедливо равенство

Вывод формулы для суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Рассмотрим геометрическую прогрессию

b₁ ,  b₂ , … b_n , … ,

знаменатель которой равен   q .

Для суммы первых   n   членов геометрической прогрессии

S_n = b₁ + b₂ + … + b_n  ,       n = 1, 2, 3, …

справедлива формула

Если для суммы всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ввести обозначение

S = b₁ + b₂ + … + b_n + … ,

то будет справедлива формула

В случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменатель   q   удовлетворяет неравенству

| q | < 1 ,

поэтому, воспользовавшись cвойствами пределов числовых последовательностей и результатом примера 3, получаем

Итак,

Примеры вычисления пределов последовательностей. Раскрытие неопределенностей

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Если при нахождении предела дроби выясняется, что и числитель дроби, и знаменатель дроби стремятся к , то вычисление такого предела называют раскрытием неопределенности типа .

Часто неопределенность типа удается раскрыть, если и в числителе дроби, и в знаменателе дроби вынести за скобки «самое большое» слагаемое. Например, в случае, когда в числителе и в знаменателе дроби стоят многочлены, «самым большим» слагаемым будет член с наивысшей степенью.

ПРИМЕР 6. Найти предел последовательности

РЕШЕНИЕ. Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, воспользовавшись свойствами степеней:

ОТВЕТ.

ПРИМЕР 7 . Найти предел последовательности

ОТВЕТ.

В следующих двух примерах показано, как можно раскрыть неопределенности типа.

ПРИМЕР 8 . Найти предел последовательности

РЕШЕНИЕ. Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, приводя дроби к общему знаменателю:

ОТВЕТ.

ПРИМЕР 9. Найти предел последовательности

РЕШЕНИЕ. В рассматриваемом примере неопределенность типа возникает за счет разности двух корней, каждый из которых стремится к . Для того, чтобы раскрыть неопределенность, умножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела, на сумму этих корней и воспользуемся формулой сокращенного умножения «разность квадратов».

ОТВЕТ.

ПРИМЕР 10. Найти предел последовательности

РЕШЕНИЕ. Замечая, что для всех   k = 2, 3, 4, …   выполнено равенство

,

получаем

ОТВЕТ.   1 .

Число e. Второй замечательный предел

Рассмотрим последовательность

(1)

В дисциплине «Математический анализ», которую студенты естественнонаучных и технических направлений высших учебных заведений изучают на 1 курсе, доказывают, что последовательность (1) монотонно возрастает и ограничена сверху. Из теоремы Вейерштрасса о монотонных и ограниченных последовательностях, доказательство которой выходит за рамки школьного курса математики, вытекает, что последовательность (1) имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой   e.

Таким образом, справедливо равенство

(2)

причем расчеты показывают, что число

e = 2,718281828459045…

и является иррациональным и трансцендентным числом.

Число   e   играет исключительно важную роль в естествознании и, в частности, служит основанием натуральных логарифмов и основанием показательной функции

y = e ^x,

которую называют «экспонента».

Число   e   также является пределом последовательности

(3)

что позволяет вычислять число   e   с любой точностью. Конечно же, доказательство формулы (3) выходит за рамки школьного курса математики.

ЗАМЕЧАНИЕ. Предел (2), в котором для последовательностей раскрывается неопределенность типа , называют вторым замечательным пределом. В разделе нашего справочника «Пределы функций» можно ознакомиться со вторым замечательным пределом для функций.

Содержание:

Предел последовательности

С понятием последовательности вы ознакомились ещё в основной школе, когда изучали арифметическую и геометрическую прогрессии. Несколько последовательностей рассматривались. А именно:

1)    бесконечная последовательность рациональных приближений числа 

2)    последовательность степеней с основанием 3, показателями которых являются рациональные приближения числа  с точностью до десятых, сотых, тысячных и т. д.:

Числовой последовательностью называется функция   которая задана на множестве натуральных чисел. При таком задании  — соответственно первый, второй,…, … члены числовой последовательности.

Обозначают числовые последовательности 

Числовые последовательности задают описательно, перечнем членов, либо с помощью формулы  члена или рекуррентной).

Например:

В курсе геометрии, чтобы вывести формулы длины окружности и площади круга, рассматривают последовательности вписанных в круг и описанных вокруг круга многоугольников. При этом отмечают, что при неограниченном увеличении числа сторон многоугольника его периметр всё ближе и ближе приближается к длине окружности (рис. 41).

Так получают первое интуитивное понятие предела числовой последовательности. В курсе математического анализа — это одно из важнейших понятий. Рассмотрим его подробнее.

Пусть задано числовую последовательность  Вычислим её первые пять членов и изобразим их на координатной прямой (рис. 42). Имеем:

Как видим, с увеличением номера члена последовательности сами члены последовательности всё ближе и ближе приближаются к числу 1. Поскольку расстоянием между точками, которые соответствуют числам на координатной прямой, есть модуль разности этих чисел, то можно утверждать, что для данной последовательности 

Очевидно, что при росте числа  члены заданной последовательности всё меньше и меньше будут отличаться от числа 1. Например: 

В данном случае для любого достаточно малого числа  (эпсилон) можно найти такое число  (номер члена последовательности), что для всех последующих членов этой последовательности будет выполняться неравенство 

Например, в рассмотренной выше последовательности для  таким членом будет  поскольку  а для  таким членом  ( проверьте).

В этом случае говорят, что число 1 является пределом заданной числовой последовательности.

Число  называют пределом числовой последовательности  если для любого  существует номер члена последовательности  такой, что для всех  выполняется неравенство 

Обозначают:  Читают: предел числовой последовательности  при  стремящемся к бесконечности, равен 

Пример №503

Вычислите предел последовательности 

Решение:

Запишем несколько членов заданной последовательности:  Как видим, ее члены стремятся к числу 1. Проверим наше предположение. По определению предела надо найти такое число  что для всех  будет выполняться неравенство:  Имеем: Следовательно, такое число существует. Например, при  последнее неравенство будет иметь вид  То есть, начиная с 100-го члена последовательности расстояние между любым членом последовательности и числом 1 будет меньше 0,01.

Следовательно, 

Докажите самостоятельно и запомните, что 

Если числовая последовательность  имеет предел, то она называется сходящейся. Если числовая последовательность предела не имеет, то она называется расходящейся.

Рассмотрим свойства сходящихся последовательностей:

1. Если последовательность имеет предел, то этот предел единственный.
2. Предел постоянной последовательности равен значению любого члена этой последовательности, то есть
3. Предел суммы (разности) двух сходящихся последовательностей равен сумме (разности) пределов этих последовательностей, то есть:
4. Предел произведения двух сходящихся последовательностей равен произведению пределов этих последовательностей, т.е.
5. Если последовательности  — сходящиеся,  то числовая последовательность выполняется равенство  тоже сходящаяся и выполняется равенство  

Пример №504

Найдите предел последовательности 

Решение:

Эту последовательность можно представить в виде суммы двух сходящихся последовательностей  (проверьте). На основании свойств 2 и 3 имеем:

Для вычисления предела последовательности, которая задается как отношение двух многочленов  используют следующее правило.

Для того чтобы вычислить предел числовой последовательности, которая задаётся как отношение двух многочленов  (одной переменной степеней  соответственно), каждый из которых имеет предел, равный бесконечности, необходимо каждый член заданных многочленов разделить на наивысшую степень п и выяснить, к чему стремится каждый из полученных членов заданного отношения.

Пример №505

Вычислите 

Решение:

Здесь  Предел каждого многочлена равен бесконечности. Поскольку  то делим каждый член многочленов на  и выясняем, к чему стремится каждый из полученных членов.

Пример №506

Вычислите:

Решение:

Заметим, что здесь не происходит деление на ноль, поскольку знаменатель лишь стремится к нулю, но ему не равен.

Проанализируем полученные ответы. В примере 3 степень числителя меньше степени знаменателя. Это означает, что знаменатель стремится к бесконечности быстрее, чем числитель, а следовательно, предел их отношения будет равняться нулю. В примере 4, в задании а) степени числителя и знаменателя одинаковы и в результате получили отношение коэффициентов при старших степенях. В задании б) степень числителя больше степени знаменателя. Это означает, что числитель стремится к бесконечности быстрее, чем знаменатель, а потому предел их отношения равен бесконечности. Итак, имеем еще такое правило.

Для того чтобы вычислить предел числовой последовательности при которая задаётся как отношение двух многочленов  (одной переменной  степеней  соответственно), каждый из которых имеет предел, равный бесконечности, необходимо сравнить эти степени. Если:

Пример №507

Пользуясь определением предела числовой последовательности, докажите, что 

Решение:

Нужно доказать, что существует такое  что для всех  выполняется неравенство   Преобразуем выражение, стоящее в левой части:

Пусть  тогда Для любого  можем найти соответствующее  например 

Итак, пределом заданной последовательности является число 2.

Пример №508

Вычислите: 

Решение:

а) Умножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела, на сопряжённое.

б) Разделим числитель и знаменатель дроби на  Имеем:

Предел числовой последовательности

Общее понятие функции. Числовые последовательности

Определение 2.1. Пусть X, Y —два произвольных множества. Функцией f с областью определения X и множеством значений из Y называется такое соответствие между X и Y, при котором любому соответствует ровно один . Множество X называется областью определения функции (обозначается ); множество элементов , которые соответствуют некоторым , называется множеством значений функции (обозначается ). Величина называется аргументом функции f.

Отмстим, что , но не обязано совпадать с Y. Возможно, различным х соответствует один и тот же у, но каждому х — ровно один у (см. рис. 2.1).

Пример 2.1. X — множество человек, присутствующих на лекции; Y = N. Функция у = f(x) определяется как год рождения х. Ясно, что , но не совпадает с Y. Многим х может соответствовать один и тот же у, но каждому х — ровно один у.

Определение 2.2. Числовой последовательностью называется функция с областью определения N и множеством значений, принадлежащим . Обычно аргумент записывается в виде индекса: и т.д.

Определение 2.3. Пусть . Функция f называется ограниченной (ограниченной сверху, ограниченной снизу) на множестве X, если её множество значений ограничено (ограничено сверху, ограничено снизу). Точная верхняя и нижняя грани называются точной верхней и нижней гранями f на X (обозначаются ). Числовая последовательность называется ограниченной (ограниченной сверху, ограниченной снизу), если множество её значений ограничено (ограничено сверху, ограничено снизу). Точная верхняя и нижняя грани этого множества называются точной верхней и нижней гранями (обозначаются ).

Пример 2.2. Последовательность ограничена, так как для всех n выполняется неравенство . Отмстим, что : поэтому  (в дальнейшем такие последовательности мы будем называть строго возрастающими). Отсюда следует, что последовательность имеет наименьший член по лемме  (достигается). Докажем, что (не достигается). В самом деле, для всех п выполняется неравенство . Докажем, что для каждого числа найдётся номер п такой, что . Неравенство перепишем в виде  (здесь использовано то, что ). Такой номер п найдётся по принципу Архимеда. Доказано, что

Лемма 2.1. Функция f ограничена на множество найдётся такое положительное число С, что для всех выполняется неравенство

□ Неравенство равносильно Так как это двойное неравенство выполняется для всех , то это и означает, что множество значений f ограничено.

Так как для любого выполняется неравенство , то отсюда следует, что , где С — наибольшее из чисел .    

Следствие. Последовательность ограничена  найдётся такое положительное число С, что для всех п выполняется неравенство

Подобные утверждения, формулировка которых содержит логический знак («тогда и только тогда», «необходимо и достаточно»), часто будут встречаться в нашем курсе. Доказательство их, как правило, будет состоять из двух частей: — достаточность, — необходимость. Лемма 2.1, например, может быть сформулирована так: для того чтобы функция f была ограничена на множестве X, необходимо и достаточно, чтобы нашлось положительное число С такое, что для всех выполняется неравенство .

Определение и простейшие свойства предела последовательности

Определение 2.4. -окрестностью точки а называется интервал

Обозначение: ; это множество точек, удаленных от точки а на числовой прямой на расстояние, меньшее, чем

Определение 2.5 (геометрическое определение предела). Число а называется пределом последовательности , если вне любой окрестности точки а содержится не более конечного числа членов (обозначение:).

Ясно, что вне содержится не более конечного числа —это всё равно, что в содержатся все члены, начиная с некоторого номера. Определение предела можно сформулировать так.

Определение 2.5′. Число а называется пределом последовательности , если для любого положительного числа найдётся номер такой, что при всех выполняется неравенство

На языке кванторов это можно записать так:

Любая подобная запись, где квантор существования стоит после квантора общности , означает функциональную зависимость: здесь , следовательно,

Напишем на языке кванторов отрицание последнего определения (число а не является пределом последовательности ):

Здесь уже нельзя считать, что ; здесь

Пример 2.3. 

□ Докажем требуемое равенство по определению предела. Нужно, чтобы  Последнее неравенство имеет вид и выполняется при .

По принципу Архимеда найдётся натуральное число , а при всех по нужное неравенство и подавно выполняется. ■

Попробуем явно записать функциональную зависимость . Для этого применим функцию («целая часть х»). Она определяется как наибольшее целое число, не превосходящее х. График этой функции изображён на рис. 2.2. Для всех «ступенек» крайняя левая точка принадлежит графику, крайняя правая — нет.

Ясно, что в качестве натурального числа можно взять ; для всех  нужное неравенство выполняется.

Определение 2.6. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.

Лемма 2.2. Сходящаяся последовательность имеет ровно один предел.

□ Пусть : для определённости, a < b.

Зафиксируем  такое, что

               

По определению предела:

Тогда если — наибольший из номеров и , то при имеем включение — противоречие.    ■

Для доказательства большинства утверждений в теории пределов последовательностей достаточно представить себе геометрическую картинку (в данном случае рис. 2.3). После этого, как правило, уже несложно привести аккуратное доказательство.

Часто бывает удобно в качестве области определения последовательности рассматривать не всё множество N, а множество целых чисел, не меньших некоторого фиксированного целого числа . Например, последовательность  определена (как последовательность) при можно определить при

В силу геометрического определения предела, сходимость последовательности и величина предела не зависят от конечного числа членов (конечное число членов можно выбросить, добавить, заменить — сходимость и величина предела не изменятся). При исследовании сходимости можно считать, что хп определена при , где — фиксированное целое число.

Лемма 2.3. Если последовательность ограничена при (т.е. ), и определена при всех , то она ограничена.

□    Вне отрезка [m, М] имеется не более конечного числа членов (разве что ). Рассмотрим ; . Тогда для всех натуральных п выполняются неравенства , т.е. ограничена.    ■

Лемма 2.4. Сходящаяся последовательность ограничена.

□    Пусть . По определению предела (е = 1):  По лемме 2.3 ограничена.    ■

Обратное неверно. Ограниченная последовательность не обязана сходиться.

Пример 2.4. Рассмотрим последовательность при чётном при нечетном n). Так как при всех выполняются неравенства , то ограничена. Докажем, что расходится.

□    Пусть сходится и . Тогда по определению предела :

Рассмотрим

Но одно из чисел равно 1, другое равно — 1. Поэтому , т.е. одновременно 0 < а < 2 и —2 < а < 0. Противоречие.    ■

Мы будем часто использовать обозначение sign [ (читается «сигнум», что по латыни означает «знак»). По определению  

График функции у = sign ж изображён на рис. 2.4.

Лемма 2.5. Если , то найдётся номер  такой, что при всех выполняется неравенство причем sign x_n = sign а. Иными словами:

если a > 0, то найдётся номер такой, что при всех выполняется неравенство

если a < 0, то найдётся номер такой, что при всех выполняется неравенство

□ Пусть a > 0. Рассмотрим в определении предела  Тогда  откуда следует, что (см. рис. 2.5). Случай a < 0 рассматривается аналогично (в определении предела берётся см. рис. 2.6).    ■

Отсюда моментально следует

Лемма 2.6 (о сохранении знака). Если , то найдётся номер такой, что при всех знаки и a совпадают. Иными словами, если a > 0, то найдётся номер такой, что при всех выполняется неравенство ; если a < 0, то найдётся номер такой, что при всех выполняется неравенство 

Определение 2.7. Последовательность an называется бесконечно малой, если

Лемма 2.7. где — бесконечно малая последовательность.

□    Пусть Тогда

■

Отметим, что если при (постоянная последовательность), то ; это следует из того, что — очевидно, бесконечно малая последовательность.

Лемма 2.8. Сумма двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой.

□    Пусть — бесконечно малые. Поэтому

Тогда при , где , выполняется неравенство

т.е. — бесконечно малая.    ■

Лемма 2.9. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную является бесконечно малой.

□    Если последовательность ограничена, то

Если — бесконечно малая, то

Тогда при выполняется неравенство т.е. — бесконечно малая.    ■

Следствие 1. Если — бесконечно малая последовательность,  то — бесконечно малая.

□    Следует из того, что постоянная последовательность ограничена.    ■

Следствие 2. Произведение двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой.

□    Следует из того, что одну из этих последовательностей можно рассматривать просто как имеющую предел, следовательно, ограниченную.    ■

Пример 2.5. , так как —произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую

Теорема 2.1 (об арифметических операциях с пределами). Пусть Тогда

□ — бесконечно малые последовательности.

1) где — бесконечно малая, поэтому

2) где — бесконечно малая, так как все три слагаемые являются бесконечно малыми по следствиям из леммы 2.9, поэтому Отметим, что лемма 2.8 по индукции распространяется на случай суммы любого конечного фиксированного числа бесконечно малых последовательностей.

3)Так как , то по лемме 2.6 найдётся номер такой, что при всех выполняется неравенство , и последовательность  определена при всех . Она может быть не определена при некоторых значениях , но, как мы уже отмечали, при исследовании сходимости последовательность может быть определена лишь при , где  — фиксированное целое число. В условии теоремы нет необходимости требовать, чтобы ; достаточно потребовать . Имеем

Последовательность — бесконечно малая по лемме 2.8 и следствию 1 из леммы 2.9. Так как  то по лемме 2.5 откуда следует, что  Последовательность  ограничена при . По лемме 2.3 эта последовательность ограничена (она может быть не определенной при конечном числе номеров тех, где =0, но на наличие предела это не влияет). Тогда по лемме 2.9 последовательность — бесконечно малая, и

Следствия. В условиях теоремы 2.1

Теорема 2.2 (предельный переход в неравенстве).

Если , причем найдётся номер такой, что при всех выполнено неравенство , то

□ Пусть a > b. Рассмотрим такое, что (например, ) Тогда:

При выполняется неравенство , что противоречит условию (см. рис. 2.7).    ■

Следствие. Если найдётся номер такой, что при всех члены и , то

Замечание. Если  и при всех выполнено неравенство  то (возможно, ). Например:  

Теорема 2.3. Если . и найдется номер такой, что при всех выполнено неравенство , то 

Тогда при всех выполняются неравенства   т.е  Значит

В официальной литературе теорема 2.3 называется теоремой о трёх последовательностях или теоремой о зажатой переменной. Тем не менее на студенческом жаргоне и в различных внутривузовских изданиях она обычно называется «теоремой о двух милиционерах». В самом деле, если два представителя силовых структур ведут задержанного в отделение внутренних дел так, что всё время находится между , то придёт туда же. Аналогичные названия этого утверждения имеются и в других языках («теорема о двух карабинерах» и т.д.), так что переименование милиции в полицию вряд ли что-нибудь здесь изменит.

Лемма 2.10. Если , то 

1) При = 0 утверждение очевидно.

2) Пусть 0 < q < 1. Тогда . В элементарной алгебре хорошо известно неравенство Бернулли , справедливое при ; его несложно доказать, например, по индукции. Тогда (учитывая, что у нас а > 0)

Так как , то , и, по теореме 2.3,  0

3) Пусть -1 < q < 0. Тогда рассмотрим 1. Так как по только что доказанному, — также бесконечно малая последовательность, как произведение ограниченной на бесконечно малую  ■

Доказанные утверждения позволяют вычислять некоторые простые пределы.

Пример 2.6

(и вообще, предел последовательности отношения двух многочленов от одинаковой степени равен отношению их старших коэффициентов).

Пример 2.7

(здесь использована лемма 2.10).

Пример 2.8

Последовательность представляет собой сумму п слагаемых, предел каждого из которых равен 0. Но было бы ошибкой на основании леммы о сумме бесконечно малых заявить, что . Лемма 2.8 была доказана для двух слагаемых и, как было отмечено, справедлива для конечного фиксированного числа слагаемых. В нашем же случае число слагаемых равно (неограниченно растёт). Оценим последовательность сверху и снизу; воспользуемся тем, что самое большое слагаемое в сумме — первое, самое маленькое — последнее. Поэтому

Аналогично примеру 2.6, . Поэтому по теореме 2.3 (не равен нулю!).

Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса

Определение 2.8. Последовательность называется строго возрастающей, если для всех номеров n выполняется неравенство строго убывающей, если для всех n выполняется неравенство нестрого возрастающей, если для всех п выполняется неравенство ; нестрого убывающей, если для всех п выполняется неравенство . Все такие последовательности называются монотонными.

Применяем обозначения: для возрастаютцих последовательностей (строго или нестрого), для убывающих последовательностей (строго или нестрого). Последовательность может быть монотонной, начиная с некоторого номера. Например, последовательность является строго убывающей, начиная с номера , если  и т.д.

Теорема 2.4 (Вейерштрасса). Если последовательность возрастает (вообще говоря, нестрого) и ограничена сверху, то существует предел последовательности , равный её точной верхней грани. Если последовательность убывает (вообще говоря, нестрого) и ограничена снизу, то существует предел последовательности , равный ее точной нижней грани. 

Докажем первую часть теоремы; вторая доказывается аналогично. По теореме 1.5 последовательность имеет точную верхнюю грань sup = а. Тогда

Удобно обозначить

В силу возрастания последовательности, для всех выполняется неравенство , но при этом

Итак:

а отсюда следует, что (см. рис. 2.8). Значит,

Теорема Вейерштрасса — чистая теорема существования. Она не даст непосредственной возможности вычислять значение предела.

Пример 2.9. Рассмотрим последовательность

(символ означает ). Ясно, что эта последовательность строго возрастает, так как  Далее, при выполняется оценка

поэтому

Последовательность возрастает и ограничена сверху, поэтому она сходится. Значение совпадает с , но мы не можем найти ни то, ни другое. Можно показать, что но это доказательство нам пока недоступно.

Пример 2.10. Рассмотрим последовательность Докажем, что последовательность строго возрастает и для всех n выполняется неравенство . Отсюда будет следовать, что существует . Этот предел обозначается буквой е. Число е иррациональное, е = 2,718281828459045… Это число играет исключительную роль в математическом анализе.

□ Напомним формулу бинома Ньютона:

—так называемые биномиальные коэффициенты. Напомним также, что n! (n факториал) — это произведение всех натуральных чисел от ; по дополнительному определению, 0! = 1. Легко видеть, что при ;  и т.д.

Имеем

Нетрудно заметить, что при

Поэтому так как при последнее слагаемое положительно, то . Значит, последовательность строго возрастает. Далее,

поэтому и при всех n

Иногда теорема Вейерштрасса позволяет установить сходимость последовательности, после чего, переходя к пределу в рекуррентном соотношении, можно вычислить значение предела.

Пример 2.11. Докажем, что если , то

□ Если , то и по теореме 2.3

Пусть теперь а > 1. Тогда . Напишем определение предела при  в силу положительности последнее неравенство даст . Значит, последовательность убывает при ; при этом . Так как конечное число членов последовательности не влияет на сходимость, то по теореме Вейерштрасса последовательность сходится; обозначим

Мы уже видели, что последовательность удовлетворяет рекуррентному соотношению

Последовательность — та же последовательность, что и (если выбросить ): поэтому . Переходя к пределу в (2.1), получим

   ■

Теорема Кантора о вложенных отрезках

Если проанализировать изложенный выше материал, то можно заметить, что только три утверждения: теорема 1.4 Дедекинда, теорема 1.5 о точных верхней и нижней гранях и теорема 2.4 Вейерштрасса о пределе монотонной ограниченной последовательности — характерны именно для действительных чисел и выражают свойство их полноты (непрерывности). Все остальные утверждения имели бы место и во множестве рациональных чисел. Например, если  то существует  А вот если последовательность рациональных чисел возрастает и ограничена сверху, то она может не иметь рационального предела (и соответственно рациональной точной верхней грани). В качестве примера можно рассмотреть последовательность десятичных приближений снизу какого-нибудь иррационального числа а. Эта последовательность имеет предел а (мы сейчас докажем это полезное утверждение), но не имеет рационального предела; если бы она имела рациональный предел  то у неё было бы два разных действительных предела а и  что противоречит лемме 2.2.

Лемма 2.11. Пусть — последовательности десятичных приближений снизу и сверху действительного числа а. Тогда

□Как известно, для любого п выполняется неравенство

Тогда

Значит, , по теореме 2.3 Аналогично доказывается вторая часть утверждения.    ■

Приведём ещё одну очень важную теорему, выражающую свойство полноты действительных чисел.

Теорема 2.5 (Кантора о вложенных отрезках). Если (бесконечная последовательность вложенных отрезков), то существует точка  общая для всех отрезков (т.е. для всех п выполняется неравенство )- Если при этом последовательность длин отрезков стремится к нулю , то такая точка  единственна, при этом

□Так как для всех n

то для любых натуральных n и m выполняется неравенство . Рассмотрим множества и . При любом фиксированном m = множество А ограничено сверху числом  значит, существует ; при этом по лемме 1.3 для любого m выполняется неравенство . Аналогично множество В ограничено снизу и существует и для любого n выполняется неравенство Из последнего неравенства и леммы 1.3 следует, что . Итак, для любого n выполняются неравенства  Ясно, что точки (и весь отрезок , если ) принадлежат всем отрезкам . Первая часть теоремы доказана. Отметим, что здесь нигде не использовалось понятие предела.

Пусть теперь . Тогда

(мы учли, что). Так как , то из леммы 1.5 следует, что . Обозначим их общее значение . Тогда . В силу монотонного возрастания и ограниченности сверху последовательности по теореме Вейерштрасса . Аналогично .

Если существует ещё одна точка такая, что для всех n выполняется неравенство , то по лемме 1.5  Единственность общей точки доказана.    ■

Пример 2.12. ; это — последовательность вложенных отрезков, для которой  Существует единственная общая точка 0.

Пример 2.13. : это — последовательность вложенных отрезков, для которой и . Общие точки заполняют целый отрезок .

Пример 2.14. Для последовательности вложенных интервалов теорема теряет силу. Пусть . Эта последовательность вложенных интервалов не имеет общих точек, при этом

Бесконечно большие последовательности

Наряду с окрестностями конечных чисел рассмотрим окрестности символов

Определение 2.9. При

Определение 2.10. Говорят, что , если

Говорят, что , если

В последнем случае последовательность называется бесконечно большой.

В определении конечного предела по существу малые (если для малых е, то и подавно для больших). В определениях бесконечных пределов по существу большие е; из эстетических соображений лучше вместо е писать большую букву Е.

Очевидно, что если или то  — бесконечно большая. Обратное неверно; для бесконечно большой последовательности не обязательно  или

Пример 2.15.

□. Неравенство n > Е выполняется для всех , где ; напомним, что там, где квантор существования стоит после квантора общности, имеет место функциональная зависимость .

Пример 2.16. (аналогично).

Пример 2.17. . Так как , то , но знаки чередуются: поэтому неверно ни то, что , ни то, что

Очевидно, что тогда и только тогда, когда бесконечно большая и   тогда и только тогда, когда бесконечно большая и

Лемма 2.12. Бесконечно большая последовательность является неограниченной.

□ неограничена:

бесконечно большая:

Ясно, что бесконечно большая последовательность неограничена.  

Обратное неверно. Неограниченная последовательность не обязана быть бесконечно большой.

Пример 2.18. Рассмотрим последовательность

Она неограничена, но не является бесконечно большой.

□Последовательность неограничена за счёт четных номеров. — четное: . Это верно, так как чётное (например, ).

За счёт нечётных номеров последовательность не является бесконечно большой:

Это верно. Возьмём, например, Е = 1. Для любого номера найдётся нечётное натуральное число , например,  при этом    

Схема, изображённая на рис. 2.9, должна помочь разобраться в понятиях, связанных со сходимостью, ограниченностью и т.д., а также усвоить связь между этими понятиями.

Лемма 2.13. 1) Если последовательность является бесконечно большой, то последовательность — бесконечно малая.

2) Если последовательность бесконечно малая и найдётся номер такой, что для всех выполняется неравенство , то последовательность  бесконечно большая.

□1). Тогда при выполнено неравенство ; последовательность  определена, и не нужно делать дополнительную оговорку, как во второй части леммы. Для любого числа рассмотрим . Тогда , значит, , т.е. — бесконечно малая.

2) Доказательство аналогично.

Лемму 2.13 символически можно записать так: . Но отсюда вовсе не следует, что . Бесконечные символы — это не числа, с ними нельзя «вольно» обращаться, т.е. автоматически переносить на них формальные правила операций с действительными числами. Выражение называется «неопределённостью», так как в зависимости от конкретных бесконечно малой и бесконечно большой предельное поведение последовательности может быть самым разнообразным. Произведение может быть: а) бесконечно малым; б) бесконечно большим; в) иметь конечный ненулевой предел; г) не иметь предела — ни конечного ни бесконечного.

Пример 2.19. Во всех случаях :

 ограничена, но расходится.

Традиционно принято рассматривать 7 типов неопределённостей: , для каждого из которых можно построить примеры типа а-г. Классическим типом неопределенности является предел

Теоремы об арифметических действиях с пределами нельзя автоматически переносить на бесконечные символы. Если в каком-то случае такой перенос имеет место, то нужно доказать соответствующее утверждение.

Лемма 2.14. Если , то (символическая запись: .

□Достаточно провести доказательство для случая, когда ограничена снизу  Так как то (строго говоря, это верно при  но если , неравенство и подавно верно). Итак,

значит

Можно привести ещё немало символических записей с участием бесконечных символов, которые фактически применяются в различных рассуждениях. При этом нужно уметь аккуратно формулировать и доказывать возникающие утверждения (аналогично лемме 2.14). Например:

Лемма 2.15. 1) Если

2) если то

□1) Так как то  Пусть . Тогда а это значит, что

2)Доказательство аналогично.    

Эта лемма является аналогом теоремы 2.3 для случая бесконечно больших последовательностей.

Пример 2.20.

□Так как , то по лемме 2.13, (с учётом того, что ). Остаётся заметить, что  и применить лемму 2.15.    

Теорема 2.6 (аналог теоремы Вейерштрасса для неограниченных последовательностей). Если последовательность возрастает (вообще говоря, нестрого) и неограничена сверху, то . Если последовательность убывает (вообще говоря, нестрого) и неограничена снизу, то

□Докажем первую часть теоремы, вторая доказывается аналогично. Так как неограничена сверху, то

(естественно, можно считать, что Е > 0, при Е 0 неравенство и подавно верно). В силу возрастания последовательности при всех выполняется неравенство , поэтому

Значит,

В отличие от теоремы Вейерштрасса 2.4 эта теорема имеет место и во множестве рациональных чисел, она не является характерной именно для действительных чисел.

Для неограниченной сверху последовательности мы считаем по определению, что , а для неограниченной снизу . Поэтому для любой нестрого возрастающей последовательности , а для любой нестрого убывающей

Односторонние пределы

Введём символы а + 0 и а — 0 («а справа» и «а слева»), , и определим -окрестности этих символов.

Определение 2.11. При

Определение 2.12. Говорят, что , если

(т.е. ).

Говорят, что , если

(т.е. ).

Ясно, что в обоих этих случаях . А вот если предел последовательности равен а, то не обязательно он равен а + 0 или а — 0.

Пример 2.21. = +0 (вместо 0 + 0 обычно пишут +0);  = -0 (вместо 0 — 0 обычно пишут —0). А вот  но этот предел не равен ни +0, ни -0, так как последовательность всё время меняет знак.

Очевидно, что тогда и только тогда, когда   тогда и только тогда, когда

В дальнейшем под словами «6 стандартных предельных символов (СПС)» будем понимать

Частичные пределы. Теорема Больцано-Вейерштрасса

Определение 2.13. Пусть — числовая последовательность, a — строго возрастающая последовательность натуральных чисел. Тогда последовательность (с индексом к) называется подпоследовательностью последовательности .

Определение 2.14. Число называется частичным пределом (предельной точкой) последовательности , если существует такая строго возрастающая последовательность индексов , что

Пример 2.22. Рассмотрим последовательность . Она расходится, но имеет сходящиеся подпоследовательности . Таким образом, она имеет частичные пределы 1 и —1.

Условие строгого возрастания последовательности в определении 2.13 является достаточным (но не необходимым) условием для того, чтобы В самом деле,   и т.д. По индукции нетрудно доказать, что при Но (пример 2.20); по лемме 2.15, При отказе от этого условия может оказаться так, что последовательность ограничена, и ни о каком поведении при не может быть речи (например, при последовательность не имеет никакого отношения к предельному поведению последовательности ).

Лемма 2.16. Если , где а — один из 6 СПС, то для любой последовательности также

□По геометрическому определению предела, сохраняющемуся для любого СПС а, вне любой , имеется не более конечного числа членов Так как все пд. различны, то вне любой и подавно имеется не более конечного числа значит,

Следствие. Если , то а — единственный частичный предел

Под частичными пределами можно понимать также символы . Таким образом, частичными пределами могут быть не все 6 СПС, а только три:

Если , то по лемме 2.16 единственным частичным пределом последовательности является . Если , то единственным частичным пределом последовательности является

Теорема 2.7 (критерий частичного предела). Пусть a — один из символов Тогда а является частичным пределом  в любой -окрестности а содержится бесконечно много членов .

Если а — частичный предел , то существует подпоследовательность такая, что  Тогда для любого вне содержится не более конечного числа членов , а внутри — все , начиная с некоторого номера , а значит, бесконечно много членов .

Сначала рассмотрим случай  Возьмём — некоторый член . Возьмём теперь Так как в содержится бесконечно много членов , то выберем так что и т.д. Пусть построены где . Так как в бесконечно много , то выберем так, что . Таким образом, построена бесконечная последовательность , причём  т.е. По теореме 2.3 , т.е. а — частичный предел .

Для или доказательство аналогично. Например, для нужно брать выбирать таким, что т.е.  Тогда по лемме 2.15

Заметим, что если в любой содержится бесконечно много , то отсюда ещё не следует, что вне не более конечного числа (вне тоже может быть бесконечно много ). Этим и отличается частичный предел от предела последовательности. В популярных изданиях для школьников раньше предел последовательности иногда назывался «ловушкой», а частичный предел — «кормушкой». Кормушек может быть много, а ловушка — только одна.

В примере 2.22 других частичных пределов, кроме 1 и — 1, последовательность  не имеет. В самом деле, если , или , то существует окрестность а, в которой вообще нет членов .

Пример 2.23. (см. пример 2.18). Так как , то частичными пределами последовательности являются 0 и . Других частичных пределов последовательность не имеет (для других а существует окрестность, в которой вообще нет членов ).

Пример 2.24. , т.е. Так как  то частичными пределами последовательности являются и ; других частичных пределов последовательность не имеет.

Пример 2.25. Пусть — последовательность, в которую каким-то образом занумерованы все рациональные числа (это можно сделать в силу счетности множества Q). Так как в любой окрестности любого действительного числа а содержится бесконечно много рациональных чисел (если , то возьмём если , то ; в любом случае и в любой содержатся все при , т.е. бесконечно много членов ), то а — частичный предел . Аналогично, для возьмём , для возьмём . Итак, частичными пределами являются все действительные числа, а также символы .

Как мы знаем, ограниченная последовательность может расходиться, но при этом иметь частичные пределы (пример 2.22). Это не случайно, имеет место 

Теорема 2.8 (Больцано-Вейерштрасса). Любая ограниченная последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность (т.е. имеет конечный частичный предел).

□Пусть для всех выполняется неравенство . Разобьём отрезок  на 2 равных отрезка : выберем ту половину , где содержится бесконечно много членов (и там, и там конечного числа быть не может, так как тогда их всего было бы конечное число). Если и там, и там бесконечно много , то —любая из половинок. В отрезке выберем половину , где бесконечно много (аналогично), в — половину , где бесконечно много и т.д. На к-м шагу в выберем половину , где бесконечно много . Имеем последовательность вложенных отрезков , причём длина n-го отрезка равна — стремится к нулю по лемме 2.10.

По теореме Кантора о вложенных отрезках существует единственная точка с, принадлежащая всем отрезкам . Пусть . Так как длина , то при отрезок целиком принадлежит (см. рис. 2.10), значит, в бесконечно много членов . По теореме 2.7 с — частичный предел .    

Теорема 2.9 (аналог теоремы Больцано-Вейерштрасса для неограниченных последовательностей).

Если последовательность неограничена сверху, то она имеет частичный предел . Если последовательность неограничена снизу, то она имеет частичный предел .

□Докажем первую часть теоремы: вторая доказывается аналогично. Зафиксируем Е > 0. Так как неограничена сверху, то В качестве нового Е в определении неограниченности сверху рассмотрим . Тогда Аналогично, и т.д. Мы выбрали бесконечно много различных членов последовательности таких, что . По теореме 2.7 — частичный предел .  

Итак, любая последовательность имеет частичный предел: ограниченная — конечный, неограниченная — равный или .

Отмстим, что теорема Больцано-Вейерштрасса характерна именно для действительных чисел и выражает свойство их полноты (непрерывности). Её аналог — теорема 2.9 — выполняется и во множестве рациональных чисел.

Теорема 2.10 (о единственном частичном пределе). Пусть последовательность ограничена и имеет единственный частичный предел а. Тогда последовательность сходится к числу а.

□Пусть для любого номера n выполняется неравенство . Так как для некоторой последовательности предел , и для всех к, то по теореме 2.2 . Докажем, что существует

Если это не так, то найдётся , вне которой имеется бесконечно много членов . Пусть для определённости бесконечно много членов имеется правее , т.е. на (см. рис. 2.11).

На тоже может быть бесконечно много . а может быть и нет. Не исключено даже, что . По теореме Больцано-Вейерштрасса, на существует частичный предел , отличный от а, что противоречит единственности частичного предела. Полученное противоречие показывает, что

Определение 2.15. Предельным множеством последовательности называется множество всех сё частичных пределов (включая символы , если они являются частичными пределами).

Определение 2.16. Верхним пределом последовательности (обозначается ) называется точная верхняя грань её предельного множества, нижним пределом — точная нижняя грань её предельного множества. Если предельное множество содержит символ   (соответственно ). Если предельное множество состоит из единственного символа , то (соответственно ).

Пример 2.26. Если (или , или ), то (соответственно , или ). Если Если , то  Если  то

Лемма 2.17. Для любой последовательности выполняются неравенства  При этом формально считается, что , и для любого действительного числа а выполняются неравенства .

□Неравенство следует из определения 2.16. Если последовательность неограничена сверху, то , и неравенство очевидно. Если  ограничена сверху и , то для любой подпоследовательности при выполняется неравенство . По теореме 2.2 для любого частичного предела a выполняется неравенство , и по лемме 1.3

Неравенство доказывается аналогично. ■

Лемма 2.18. 1) Последовательность ограничена сверху (т.е. конечен или равен );

2) последовательность ограничена снизу (т.е. конечен или равен ).

□Докажем первую часть леммы, вторая доказывается аналогично. Если ограничена сверху, то , и утверждение леммы следует из леммы 2.17. Если неограничена сверху, то по теореме 2.9 она имеет частичный предел ; значит,

Теорема 2.11. Пусть конечны и совпадают. Тогда последовательность сходится к их общему значению.

□Из леммы 2.18 следует, что последовательность ограничена сверху и снизу. Так как предельное множество состоит из единственного числа (по теореме Больцано-Вейерштрасса предельное множество непусто и никакого другого частичного предела, кроме а, быть не может), то ограничена и имеет единственный частичный предел а. По теореме 2.10 существует

Пример 2.27. Рассмотрим последовательность . Так как , то , последовательность имеет частичные пределы 1 и —1. Легко видеть, что при всех п выполняется неравенство . С другой стороны, для любого числа найдётся нечетное число такое, что (последнее неравенство имеет вид

можно взять  Значит  (не достигается). Так как , то 

Далее при всех выполняется неравенство При нечётных n значения , поэтому наибольший член последовательности равен . Значит,  Никакое число, большее 1, не может быть частичным пределом , так как в достаточно малой окрестности этого числа либо совсем нет членов последовательности, либо содержится единственный член (само это число). Поэтому

В нашем случае

Теорема 2.12. Верхний и нижний пределы числовой последовательности являются частичными пределами (таким образом, конечный верхний (нижний) предел является наибольшим (соответственно наименьшим) частичным пределом).

□ Пусть сначала где X — предельное множество последовательности. Тогда

Рассмотрим произвольное 0 и выберем Возьмем соответствующее  такое, что Если р = а, то а — частичный предел, и всё доказано. Если же , то выберем такое, что (см. рис. 2.12). В содержится бесконечно много членов , так как р — частичный предел. Поэтому на интервале бесконечно много , значит, в — бесконечно много . Так как 0 — произвольно, то по критерию частичного предела а — частичный предел. Если , то по лемме 2.18 последовательность неограничена сверху. По теореме 2.9 последовательность имеет частичный предел .

Наконец, если , то из определения 2.16 видно, что предельное множество содержит единственный символ , т.е. является частичным пределом (и просто пределом)

Случай нижнего предела рассматривается аналогично. ■

Критерий Коши сходимости последовательности

Определение 2.17. Последовательность называется фундаментальной, если (для любого положительного числа найдётся номер по такой, что для любых двух номеров и выполняется неравенство .

Теорема 2.13 (критерий Коши). Последовательность сходится  фундаментальна.

Пусть Тогда

Тогда для любых выполняется неравенство

значит, последовательность фундаментальна.

 Пусть — фундаментальная последовательность. Докажем сначала, что она ограничена. При = 1 имеем

Зафиксируем . Тогда при выполнено неравенство

Таким образом, последовательность ограничена при . По лемме 2.3 последовательность ограничена.

По теореме Больцано-Вейерштрасса последовательность имеет конечный частичный предел. В силу теоремы 2.10 о единственном частичном пределе достаточно доказать, что других частичных пределов последовательность не имеет. Пусть это не так, и последовательность имеет два различных частичных предела а и b (для определённости, а < b). Возьмём в определении фундаментальности  (так, чтобы  не только не пересекались, но ещё имели между собой зазор ширины ):

Но в содержится бесконечно много членов (по теореме 2.7). Значит, Аналогично

Тогда (см. рис. 2.13) .

Полученное противоречие показывает единственность частичного предела. ■

На практике критерий Коши удобно использовать для доказательства расходимости последовательности.

Пример 2.28. Докажем, что последовательность  расходится.

□Отрицание определения фундаментальности звучит так:

В самом деле, рассмотрим = 2. Для любого номера возьмём Тогда одно из чисел и равно 1, другое равно — 1, поэтому Последовательность не является фундаментальной, значит, расходится.    ■

Рассмотрим другую форму записи определения фундаментальности. Ясно, что можно считать входят в определение симметрично, а при имеем для любого > 0). Тогда

Последовательность сходится 

Последовательность расходится 

Пример 2.29. (сходимость этой последовательности была установлена в примере 2.9 при помощи теоремы Вейерштрасса; теперь применим критерий Коши).

□Имеем

Это выражение меньше при , т.е. при  1.

Итак,  Последовательность сходится.   

Отмстим, что номер должен зависеть только от и ни в косм случае не должен зависеть от р.

Пример 2.30. Хотя внешне эта последовательность мало отличается от предыдущей, но она расходится.

□Имеем

(в сумме р слагаемых, самое маленькое равно Возьмём Тогда

Итак, Последовательность расходится.  

В качестве предостережения приведём неверное «доказательство» того, что эта последовательность сходится.

Имеем при всех

Отсюда нельзя сделать вывод о фундаментальности последовательности , так как номер такой, что при выполняется неравенство , зависит не только от , но и от р.

Пример 2.31. Если р — фиксированное натуральное число,  В частности, Верно ли, что из выполнения для любого равенства следует  сходимость ?

Ответ: нет (рассмотреть последовательность из примера 2.30).

Доказательство критерия Коши (необходимость) сохраняется во множестве рациональных чисел, доказательство (достаточность) характерно именно для действительных чисел. Сходимость фундаментальной последовательности выражает полноту (непрерывность) множества действительных чисел. Любая фундаментальная последовательность рациональных чисел сходится к действительному числу, но не обязана сходиться к рациональному числу. Таким образом, фундаментальные последовательности рациональных чисел в теории действительных чисел играют ту же роль, что и сечения. Если фундаментальная последовательность рациональных чисел не имеет рационального предела, то она является такой же «дыркой» во множестве рациональных чисел, как и сечение III типа. Наличие таких дырок говорит о неполноте множества рациональных чисел. А вот во множестве действительных чисел таких «дырок» уже нет — любая фундаментальная последовательность сходится.

• Заказать решение задач по высшей математике

Пределы числовых последовательностей

Определение 2.1. Пусть Х и Y – множества произвольной природы
и каждому элементу x X поставлен в соответствие некоторый элемент
y Y. Такое соответствие называется функцией. Обозначим его f,
или f:X →Y , или . При этом множество Х называется
областью определения (f )D функции f , D(f )=X, а множество называется областью значений
рис. 2.1.

П р и м е р 2.1
– множество всех неотрицательных чисел из R.

Определение 2.2. Числовой последовательностью называется произвольная функция f : N →R. При этом числа из области значений E(f) обозначаются:   Число  называется n-м членом последовательности. Для задания последовательности достаточно задать .
П р и м е р 2.2
Подставив n=1, 2, 3, … получим 

Определение 2.3. Число a называется пределом числовой последовательности
существует число , такое что выполняется неравенство  Более коротко будем записывать это определение в видеПоследовательности, имеющие предел, называются сходящимися, а не имеющие предела – расходящимися.
П р и м е р 2.3
Доказать, что 
Доказательство
Пусть  Рассмотрим цепочку эквивалентных неравенств

Пусть N – натуральное число, большее , например  тогда N удовлетворяет соотношению (2.1), что и требовалось доказать.
У п р а ж н е н и е 2.1.

Доказать, что
Геометрически равенство  означает, что все члены последовательности , начиная с номера, попадают в –
окрестность точки а (рис. 2.2).

Например, для последовательности из примера 2.3, если

Определение 2.4. Последовательность  называется ограниченной,
если , такое что 
Теорема 2.1. (необходимый признак сходимости последовательности).
Если последовательность сходится, то она ограничена.
Доказательство
Из соотношений (2.1) следует, что все члены сходящейся последова-
тельности после номера N лежат в интервале, далее доказательство очевидно.
Определение 2.5. Последовательность  называется бесконечно большой, если
Говорят, что бесконечно большая последовательность имеет предел , и пишут 
Если все члены бесконечно большой последовательности, начиная с некоторого номера, становятся положительными, то есть то пишут 
Если все члены бесконечно большой последовательности, начиная с некоторого номера, становятся отрицательными, то есть 

Возрастающие (убывающие) последовательности называются строго монотонными.
Числовая последовательность называется неубывающей (невозрастающей), если

Неубывающие (невозрастающие) последовательности называются
монотонными.

Теорема 2.3. Пусть последовательности сходятся и  – постоянное число. Тогда
Доказательство
Докажем, например, формулу  Так как последовательность 
сходится, то она ограничена, то есть число , такое что . Пусть

Так как последовательность сходится, то , такой что при 
Так как последовательность сходится, то  такой что при 
(считаем, что 0≠ b; если 0= b, то второго слагаемого в формуле (2.3) нет).
Пусть . Тогда из (2.3) при n >N следует  что и требовалось доказать.
Определение 2.8. Пусть тогда последовательность называется бесконечно малой. Пусть  – бесконечно малые последовательности. Тогда называется неопределенностью вида. Вычисление таких пределов называется раскрытием неопределенности. Аналогично определяются неопределенности вида

П р и м е р 2.7

П р и м е р 2.8

П р и м е р 2.9

П р и м е р 2.10

Теорема 2.4. а. Пусть последовательность – бесконечно малая Тогда последовательность – бесконечно большая

б. Пусть последовательность – бесконечно большая тогда последовательность – бесконечно малая.
П р и м е р 2.11

Определение 2.9. Последовательность имеет предел при , если

Легко видеть, что число а в определении 2.9 единственно, поэтому
определения 2.3 и 2.9 эквивалентны.
Из определения 2.9 следует, что последовательность  – расходящаяся
(не имеет предела), если (2.4)

——

Числовая последовательность и ее предел

Понятие числовой последовательности

Определение 2.1. Если каждому натуральному числу поставлено в соответствие число то говорят, что задана числовая последовательность или просто последовательность

Числа — элементы или члены последовательности, — общий или й член последовательности. Последовательность обозначают как или или задают с помощью го члена.

Частным случаем последовательности являются арифметическая и геометрическая прогрессии.

Пример 2.1.  

Определение 2.2. Последовательность называется ограниченной, если существуют такие числа  и что при всех выполняются неравенства

При этом говорят, что число ограничивает последовательность снизу, a — сверху.

Определение 2.2′.  Последовательность  называется ограниченной, если такое, что для

Заметим, что не всякая последовательность ограничена.

Пример 2.2. Последовательность ограничена снизу 0, сверху последовательность ограничена снизу 1.

Определение 2.3. Последовательность называется неограниченной, если для

Пример 2.3. Последовательность не ограничена.

Если изображать члены последовательности точками координатной прямой, то все члены ограниченной последовательности лежат на некотором отрезке. Для неограниченной последовательности вне любого отрезка найдутся члены этой последовательности.

Определение 2.4. Если из некоторого бесконечного подмножества членов последовательности образована новая последовательность, порядок следования членов в которой такой же, как и в то она называется подпоследовательностью и обозначается причем

Определение 2.5. Суммой, разностью, произведением, отношением последовательностей и называют последовательности члены которых образованы по следующим правилам:

Произведением последовательности на число называется последовательность

Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

Определение 2.6. Последовательность называется бесконечно большой последовательностью (ББП), если для (сколь бы большим его ни взяли)  такой номер, что для

Заметим, что если последовательность бесконечно большая, то она является неограниченной, но не наоборот, т. е. неограниченная последовательность не обязательно будет ББП.

Определение 2.7. Последовательность называется бесконечно малой последовательностью (БМП), если для такой номер, что для

Пример 2.4. — ББП, — БМП.

Теорема 2.1. Если последовательность — ББП, и все ее члены отличны от нуля  то последовательность  будет БМП; и обратно, если — БМП,  то последовательность  — ББП.

Доказательство.

Пусть — ББП. Рассмотрим  и положим Согласно определению ББП, для этого  будет такой номер, что для Тогда

 — БМП.

Аналогично доказывается вторая часть теоремы.

Свойства БМП

1. Алгебраическая сумма любого конечного числа БМП есть БМП.

2. Произведение любого конечного числа БМП есть БМП.

3. Произведение ограниченной последовательности на БМП есть БМП.

Следствие 2.1*. Произведение БМП иа число есть БМП.

Сходящиеся последовательности

Определение 2.8. Число называется пределом числовой последовательности если для такой, что

(2.1)

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае — расходящейся.

Из (2.1) рассмотрим условие 

Последние неравенства означают, что при элемент последовательности должен находиться в интервале Напомним, что данный интервал называется окрестностыо точки

Определение 2.8′. Число называется пределом числовой последовательности если для начиная с которого все члены последовательности принадлежат окрестности точки  Геометрический смысл предела последовательности:  если вне любой окрестности точки а имеется лишь конечное число членов этой последовательности.

Пример 2.5. Доказать, что 

Решение. Согласно условию, требуется доказать, что число «1» является пределом последовательности для нужно указать номер начиная с которого для всех членов последовательности будет выполнено  т. е. 

Из неравенства получаем Таким образом, для полагая  получаем, что для  будет выполнено  Заметим, что величина  представляет собой целую часть выражения  тогда 

Поэтому для выполнения условия  при полагаем 

Теорема 2.2. Числовая последовательность имеет своим пределом число «а» тогда только тогда, когда

где — члены БМП

Доказательство.

Необходимость. Пусть  Обозначим Получим  т. е. — БМП.

Достаточность. Пусть где — БМП. Тогда  т. e.

Свойства сходящихся последовательностей

1. Сходящаяся последовательность имеет единственный предел.

2. Всякая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу.

3. Сходящаяся последовательность ограничена.

4. Если последовательность  имеет предел то, начиная с некоторого номера  выполняется неравенство т. е. члены последовательности сохраняют знак числа 

5. Пусть и, начиная с некоторого номера

выполняется неравенство тогда

6. Пусть для последовательностей и  выполнены неравенства  Тогда  

7. Если последовательности и сходятся и  

7.1.

7.2.

7.3. 

7.4.

Таким образом, согласно свойству 7, арифметические операции над сходящимися последовательностями приводят к таким же арифметическим операциям над их пределами.

На основании свойства 2 можно получить условие расходимости последовательности.

Следствие 2.2*. Если из последовательности можно выделить две подпоследовательности и сходящиеся к  и  то не имеет предела.

Пример 2.6. Доказать, что последовательность не имеет предела.

Решение. Выделим из исходной последовательности две подпоследовательности :

Так как то исходная последовательность не имеет предела.

Замечание 2.1. Обратное к свойству 3, вообще говоря, не верно, т. е. ограниченная последовательность может не быть сходящейся.

Определение 2.9. Последовательность называется:

— возрастающей, если

— неубывающей, если

— убывающей, если

— невозрастающей, если

Все указанные последовательности называются также монотонными, а возрастающая и убывающая последовательности — строго монотонными.

Теорема 2.3. Для того чтобы монотонная последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной.

Доказательство.

Необходимость. Согласно свойству 3, всякая сходящаяся последовательность ограничена.

Достаточность. Пусть монотонно неубывающая ограниченная сверху последовательность, т. е.  и такое, что

Рассмотрим числовое множество состоящее из элементов данной последовательности. Это множество ограничено сверху и непусто. Поэтому имеет точную верхнюю грань Тогда, по определению Так как  — точная верхняя грань множества элементов последовательности то для такой, что и так как последовательность неубывающая, то при

Таким образом,  т. е.  А это и означает, что число  — предел последовательности

Аналогично доказывается случай монотонно невозрастающей последовательности. 

Замечание 2.2. На основании данной теоремы можно доказать существование предела последовательности а именно 

где  (число Эйлера) — иррациональное число,

Теорема 2.4* (Больцапо-Вейерштрасса). Из всякой ограниченной последовательности чисел можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Определение 2.10. Совокупность отрезков образует систему вложенных отрезков, если выполнены следующие условия:

 (2.2)

Система вложенных отрезков будет системой стягивающихся отрезков, если

   (2.3)

Теорема 2.5 (Кантора). Всякая последовательность вложенных стягивающихся отрезков имеет единственную общую точку, принадлежащую всем отрезкам.

Доказательство.

Из (2.2) следует, что монотонные последовательности концов отрезков и сходятся, причем из равенства (2.3):

Тогда

Из теоремы 2.3 следует, что общей точкой, принадлежащей отрезкам является

Пример 2.7. Найти предел
Решение.

Ответ. 

Пример 2.8. Найти предел 

Решение.

Ответ. 0. 

Пример 2.9. Найти предел

Решение.

Ответ: 4

Пример 2.10. Найти предел

Решение.

Ответ: 

—-

Предел последовательности и функция

Число  называют пределом числовой последовательности  если для любого  существует номер члена последовательности  такой, что для всех  выполняется неравенство 

Если числовая последовательность  имеет предел, то она называется сходящейся. Если числовая последовательность предела не имеет, то она называется расходящейся.

Число  называется пределом функции  в точке  если для любого положительного числа  можно указать такое положительное число  что для всех значений  из промежутка  кроме, возможно, самой точки   выполняется неравенство 

Если каждая из функций  имеет предел в точке  то в этой точке существуют пределы функций 

 и имеют место равенства:

Сформулированные свойства правильны также для пределов последовательностей и для предела на бесконечности.

— первый замечательный предел.

Функция  называется непрерывной в точке  если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в точке 

Функция  называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой его точке.

Точка, в которой функция не является непрерывной, называется точкой разрыва функции, а сама функция в этой точке называется разрывной.

Теорема (Больцано—Коши). Если функция  непрерывна на  и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, то на интервале  обязательно существует точка  такая что 

Производной функции f(x) в точке  называют предел отношения приращения функции в точке  к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю, а предел существует,

Теория пределов – раздел математического анализа. Наряду с системами линейных уравнений и диффурами пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.

В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Понятие предела в математике

Первый вопрос: что это вообще за предел и предел чего? Можно говорить о пределах числовых последовательностей и функций. Нас интересует понятие предела функции , так как именно с ними чаще всего сталкиваются студенты. Но сначала — самое общее определение предела:

Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a, то a – предел этой величины.

Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A, к которому стремится функция при х, стремящемся к определенной точке а. Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.

Звучит громоздко, но записывается очень просто:

Lim — от английского limit — предел.

Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.

Приведем конкретный пример. Задача — найти предел.

Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:

Кстати, если Вас интересуют базовые операции над матрицами, читайте отдельную статью на эту тему.

В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:

Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.

Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х. Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность. Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!

Неопределенности в пределах

Неопределенность вида бесконечность/бесконечность

Пусть есть предел:

Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?

Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:

Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Еще один вид неопределенностей: 0/0

В таких случаях рекомендуется раскладывать числитель и знаменатель на множители. Но давайте посмотрим на конкретный пример. Нужно вычислить предел:

Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:

Сократим и получим:

Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.

Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:

Правило Лопиталя в пределах

Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?

Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.

Наглядно правило Лопиталя выглядит так:

Важный момент: предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.

А теперь – реальный пример:

Налицо типичная неопределенность 0/0. Возьмем производные от числителя и знаменателя:

Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.

Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос «как решать пределы в высшей математике». Если нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь в профессиональный студенческий сервис за быстрым и подробным решением.

Предел последовательности