Как найти предел последовательности дроби

Пределы числовых последовательностей

Содержание

Предел числовой последовательности

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Число   a   называют пределом числовой последовательности

a₁ ,  a₂ , … a_n , …

если для любого положительного числа   ε   найдется такое натуральное число   N ,   что при всех   n > N   выполняется неравенство

| a_n – a | < ε .

Условие того, что число   a   является пределом числовой последовательности

a₁ ,  a₂ , … a_n , … ,

записывают с помощью обозначения

и произносят так: «Предел   a_n   при   n ,   стремящемся к бесконечности, равен   a ».

      То же самое соотношение можно записать следующим образом:

a_n → a   при .

Словами это произносится так: «a_n   стремится к   a   при   n ,   стремящемся к бесконечности».

ЗАМЕЧАНИЕ. Если для последовательности

a₁ ,  a₂ , … a_n , …

найдется такое число   a ,   что   a_n → a   при , то эта последовательность ограничена.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Говорят, что последовательность

a₁ ,  a₂ , … a_n , …

стремится к бесконечности, если для любого положительного числа   C   найдется такое натуральное число   N ,   что при всех   n > N   выполняется неравенство

| a_n| > C .

Условие того, что числовая последовательность

a₁ ,  a₂ , … a_n , … ,

стремится к бесконечности, записывают с помощью обозначения

или с помощью обозначения

 при .

ПРИМЕР 1. Для любого числа   k > 0   справедливо равенство

ПРИМЕР 2 . Для любого числа   k > 0   справедливо равенство

ПРИМЕР 3. Для любого числа   a   такого, что   | a | < 1,   справедливо равенство

ПРИМЕР 4. Для любого числа   a   такого, что   | a | > 1,   справедливо равенство

ПРИМЕР 5 . Последовательность

– 1 , 1 , – 1 , 1 , … ,

заданная с помощью формулы общего члена

a_n = (– 1)ⁿ ,

предела не имеет.

Свойства пределов числовых последовательностей

Рассмотрим две последовательности

a₁ ,  a₂ , … a_n , … ,   и   b₁ ,  b₂ , … b_n , … .

Если при существуют такие числа   a   и   b ,  что

  и   ,

то при существуют также и пределы суммы, разности и произведения этих последовательностей, причем

Если, кроме того, выполнено условие

то при существует предел дроби

причем

Для любой непрерывной функции   f (x)   справедливо равенство

Вывод формулы для суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Рассмотрим геометрическую прогрессию

b₁ ,  b₂ , … b_n , … ,

знаменатель которой равен   q .

Для суммы первых   n   членов геометрической прогрессии

S_n = b₁ + b₂ + … + b_n  ,       n = 1, 2, 3, …

справедлива формула

Если для суммы всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ввести обозначение

S = b₁ + b₂ + … + b_n + … ,

то будет справедлива формула

В случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменатель   q   удовлетворяет неравенству

| q | < 1 ,

поэтому, воспользовавшись cвойствами пределов числовых последовательностей и результатом примера 3, получаем

Итак,

Примеры вычисления пределов последовательностей. Раскрытие неопределенностей

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Если при нахождении предела дроби выясняется, что и числитель дроби, и знаменатель дроби стремятся к , то вычисление такого предела называют раскрытием неопределенности типа .

Часто неопределенность типа удается раскрыть, если и в числителе дроби, и в знаменателе дроби вынести за скобки «самое большое» слагаемое. Например, в случае, когда в числителе и в знаменателе дроби стоят многочлены, «самым большим» слагаемым будет член с наивысшей степенью.

ПРИМЕР 6. Найти предел последовательности

РЕШЕНИЕ. Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, воспользовавшись свойствами степеней:

ОТВЕТ.

ПРИМЕР 7 . Найти предел последовательности

ОТВЕТ.

В следующих двух примерах показано, как можно раскрыть неопределенности типа.

ПРИМЕР 8 . Найти предел последовательности

РЕШЕНИЕ. Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, приводя дроби к общему знаменателю:

ОТВЕТ.

ПРИМЕР 9. Найти предел последовательности

РЕШЕНИЕ. В рассматриваемом примере неопределенность типа возникает за счет разности двух корней, каждый из которых стремится к . Для того, чтобы раскрыть неопределенность, умножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела, на сумму этих корней и воспользуемся формулой сокращенного умножения «разность квадратов».

ОТВЕТ.

ПРИМЕР 10. Найти предел последовательности

РЕШЕНИЕ. Замечая, что для всех   k = 2, 3, 4, …   выполнено равенство

,

получаем

ОТВЕТ.   1 .

Число e. Второй замечательный предел

Рассмотрим последовательность

(1)

В дисциплине «Математический анализ», которую студенты естественнонаучных и технических направлений высших учебных заведений изучают на 1 курсе, доказывают, что последовательность (1) монотонно возрастает и ограничена сверху. Из теоремы Вейерштрасса о монотонных и ограниченных последовательностях, доказательство которой выходит за рамки школьного курса математики, вытекает, что последовательность (1) имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой   e.

Таким образом, справедливо равенство

(2)

причем расчеты показывают, что число

e = 2,718281828459045…

и является иррациональным и трансцендентным числом.

Число   e   играет исключительно важную роль в естествознании и, в частности, служит основанием натуральных логарифмов и основанием показательной функции

y = e ^x,

которую называют «экспонента».

Число   e   также является пределом последовательности

что позволяет вычислять число   e   с любой точностью. Конечно же, доказательство формулы (3) выходит за рамки школьного курса математики.

ЗАМЕЧАНИЕ. Предел (2), в котором для последовательностей раскрывается неопределенность типа , называют вторым замечательным пределом. В разделе нашего справочника «Пределы функций» можно ознакомиться со вторым замечательным пределом для функций.

Пусть аргумент
принимает все значения изнатурального
ряда

(1)

члены которого мы представляем себе
упорядоченными по возрастанию (т.е.
большее число
следует за меньшим).
Если каждомупо некоторому правилу или закону
поставлено в соответствие,
то говорят, что задана последовательность.

(2)

Например:

(3)

Определение 1.Числоназывается пределом последовательности,
если для любого сколь угодно малого
положительногонайдется такой номер,
что для всехвыполняется неравенство:

.
(4)

Тот факт, что число
является пределом последовательности,
записывается так:

.
(5)

Неравенство (4) эквивалентно неравенствам
или.
Последние неравенства означают, что
элементнаходится в—окрестности числа.—окрестностьючисланазывается интервал.
Поэтому определение предела
последовательности можно сформулировать
также и следующим образом:

Определение 2. Последовательностьимеет предел, если существует числотакое, что в любой—окрестности числанаходятся все элементы последовательности,
начиная с некоторого номера.

Теоремы о пределах последовательности.

Теорема 1.Если последовательность
имеет предел, то он единственный.

Теорема 2.Если последовательность
имеет предел, то она ограничена.

Теорема 3.Предел суммы (разности)
двух последовательностей равен

сумме (разности) пределов этих
последовательностей.

.

Теорема 4.Предел произведения двух
последовательностей равен произведению
пределов этих последовательностей.

.

Теорема 5. Предел частного двух
последовательностей равен частному
пределов этих последовательностей (при
условии, что знаменатель не обращается
в нуль).

.

Теорема 6.Если для двух последовательностейии,
члены последовательностиудовлетворяют неравенству,
тогда.

Бесконечно малые и бесконечно большие
величины.

Определение 3.Последовательностьназывается бесконечно малой, если.
Последовательностьназывается бесконечно большой, если.

• Сумма конечного числа бесконечно малых
  величин есть величина бесконечно малая.

• Произведение конечного числа бесконечно
  малых величин есть величина бесконечно
  малая.

• Произведение конечной величины на
  бесконечно малую величину есть величина
  бесконечно малая.

• Сумма конечного числа бесконечно
  больших величин есть величина бесконечно
  большая.

• Произведение конечного числа бесконечно
  больших величин есть величина бесконечно
  большая.

• Произведение конечной величины на
  бесконечно большую величину есть
  величина бесконечно большая.

• Если
  является бесконечно большой величиной,
  то ее обратная величинабудет бесконечно малой.

Предел последовательности
Число.

Предел данной последовательности равен

где число
-основание
натурального логарифма.

При вычислении пределов типа (6) следует
использовать следующие свойства:

1.(7)

2.(8)

3.(9)

4.(10)

Приведем несколько примеров вычисления
пределов последовательности.

Пример 1

Вычислить предел последовательности.

Решение:

В данном примере последовательность
представляет собой рациональную дробь,
для вычисления пределов такого вида
необходимо знаменатель и числитель
дроби разделить на
в наивысшей степени. В нашем примере
это.

Так как
,
если,
а—
ограниченная величина.

Ответ:

Пример 2

Вычислить предел последовательности

Решение:

Аналогичный прием во многих случаях
можно применять и для дробей, содержащих
иррациональности.

Ответ:

Пример 3

Вычислить предел последовательности
.

Решение:

Для вычисления подобных пределов с
неопределенностью
,
необходимо умножить и разделитьна его сопряженное. Это необходимо для
того, чтобы воспользоваться формулой
«разность квадратов»и, избавившись от квадратного корня,
получить дробь.

Ответ:

Пример
4

Вычислить
предел последовательности
.

Решение:

Для
вычисления подобных пределов необходимо
умножить и разделить
на неполный квадрат суммы. Это необходимо
для того, чтобы воспользоваться формулой
«разность кубов»и, избавившись от кубических корней,
получить дробь. Неполным квадратом
суммы в нашем примере является:

Ответ:

Пример
5

Вычислить
предел последовательности

Решение:

Последовательность
—
является арифметической прогрессией
с разностью.
Суммапервых членов арифметической прогрессии
находится по формуле:

(11)

Т.е.
тогда

Ответ:

Пример
6

Вычислить
предел последовательности

Решение:

Напомним,
что

(12)

(13)

Ответ:

Пример
7

Вычислить
предел последовательности

Решение:

Для вычисления предела преобразуем
к виду (6). С этой целью выделим в числителе
выражение, стоящее в знаменателе и
почленно разделим, а затем воспользуемся
свойствами (7)-(10):

Ответ:

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Математика — наука, строящая мир. Как учёный, так и простой человек — никто не сможет обойтись без неё. Сначала маленьких детей учат считать, потом складывать, вычитать, умножать и делить, к средней школе в ход вступают буквенные обозначения, а в старшей без них уже не обойтись.

Но сегодня речь пойдёт о том, на чём строится вся известная математика. О сообществе чисел под названием «пределы последовательностей».

Что такое последовательности и где их предел?

Значение слова «последовательность» трактовать нетрудно. Это такое построение вещей, где кто-то или что-то расположены в определённом порядке или очереди. Например, очередь за билетами в зоопарк — это последовательность. Причём она может быть только одна! Если, к примеру, посмотреть на очередь в магазин — это одна последовательность. А если один человек из этой очереди вдруг уйдёт, то это уже другая очередь, другой порядок.

Слово «предел» также легко трактуется — это конец чего-либо. Однако в математике пределы последовательностей — это такие значения на числовой прямой, к которым стремится последовательность чисел. Почему стремится, а не заканчивается? Всё просто, у числовой прямой нет конца, а большинство последовательностей, как лучи, имеют только начало и выглядят следующим образом:

х₁, х₂, х₃, …х_n…

Отсюда определение последовательности — функция натурального аргумента. Более простыми словами — это ряд членов некоторого множества.

Как строится числовая последовательность?

Простейший пример числовой последовательности может выглядеть так: 1, 2, 3, 4, …n…

В большинстве случаев для практических целей последовательности строятся из цифр, причём каждый следующий член ряда, обозначим его Х, имеет своё имя. Например:

х₁ — первый член последовательности;

х₂ — второй член последовательности;

х₃ — третий член;

…

х_n — энный член.

В практических методах последовательность задаётся общей формулой, в которой есть некоторая переменная. Например:

Х_n=3n, тогда сам ряд чисел будет выглядеть так:

х₁ = 3;

х₂ = 6;

х₃ = 9;

и т. д.

Стоит не забывать, что при общей записи последовательностей можно использовать любые латинские буквы, а не только Х. Например: y, z, k и т. д.

Арифметическая прогрессия как часть последовательностей

Прежде чем искать пределы последовательностей, целесообразно поглубже окунуться в само понятие подобного числового ряда, с которым все сталкивались, будучи в средних классах. Арифметическая прогрессия — это ряд чисел, в котором разница между соседними членами постоянна.

Задача: «Пусть а₁=15, а шаг прогрессии числового ряда d=4. Постройте первые 4 члена этого ряда»

Решение: а₁= 15 (по условию) — первый член прогрессии (числового ряда).

а₂= 15+4=19 — второй член прогрессии.

а₃=19+4=23 — третий член.

а₄=23+4=27 — четвёртый член.

Однако подобным методом трудно добраться до крупных значений, например до а_125.. Специально для таких случаев была выведена удобная для практики формула: а_n=a₁+d(n–1). В данном случае а₁₂₅=15+4(125-1)=511.

Виды последовательностей

Большинство последовательностей бесконечны, это стоит запомнить на всю жизнь. Существует два интересных вида числового ряда. Первый задаётся формулой а_n=(-1)ⁿ . Математики часто называют эту последовательностей мигалкой. Почему? Проверим её числовой ряд.

-1, 1, -1 , 1, -1, 1 и т. д. На подобном примере становится ясно, что числа в последовательностях могут легко повторяться.

Факториальная последовательность. Легко догадаться — в формуле, задающей последовательность, присутствует факториал. Например: а_n = (n+1)!

Тогда последовательность будет выглядеть следующим образом:

а₁ = 1х2=2;

а₂ = 1х2х3 = 6;

а₃ = 1х2х3х4 =24 и т. д.

Последовательность, заданная арифметической прогрессией, называется бесконечно убывающей, если для всех её членов соблюдается неравенство -1<k<1. Например: а_n= (–1/2)ⁿ.

а₁ = – ½;

а₂ = ¼;

а₃ = – 1/8 и т. д.

Существует даже последовательность, состоящая из одного и того же числа. Так, а_n=6 состоит из бесконечного множества шестёрок.

Определение предела последовательности

Пределы последовательностей давно существуют в математике. Конечно, они заслужили свое собственное грамотное оформление. Итак, время узнать определение пределов последовательностей. Для начала рассмотрим подробно предел для линейной функции:

1. Все пределы обозначаются сокращённо lim.
2. Запись предела состоит из сокращения lim, какой-либо переменной, стремящейся к определённому числу, нулю или бесконечности, а также из самой функции.

Легко понять, что определение предела последовательности может быть сформулировано следующим образом: это некоторое число, к которому бесконечно приближаются все члены последовательности. Простой пример: а_x = 4x+1. Тогда сама последовательность будет выглядеть следующим образом.

5, 9, 13, 17, 21…x …

Таким образом, данная последовательность будет бесконечно увеличиваться, а, значит, её предел равен бесконечности при x→∞, и записывать это следует так:

Если же взять похожую последовательность, но х будет стремиться к 1, то получим:

a_x = 4x + 1.

А ряд чисел будет таким: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944 и т. д. Каждый раз нужно подставлять число всё больше приближеннее к единице (0.1, 0.2, 0.9, 0.986). Из этого ряда видно, что предел функции — это пять.

Из этой части стоит запомнить, что такое предел числовой последовательности, определение и метод решения простых заданий.

Общее обозначение предела последовательностей

Разобрав предел числовой последовательности, определение его и примеры, можно приступить к более сложной теме. Абсолютно все пределы последовательностей можно сформулировать одной формулой, которую обычно разбирают в первом семестре.

Итак, что же обозначает этот набор букв, модулей и знаков неравенств?

∀ — квантор всеобщности, заменяющий фразы «для всех», «для всего» и т. п.

∃ — квантор существования, в данном случае обозначает, что существует некоторое значение N, принадлежащее множеству натуральных чисел.

Длинная вертикальная палочка, следующая за N, значит, что данное множество N «такое, что». На практике она может означать «такая, что», «такие, что» и т. п.

Далее идёт модуль. Очевидно, модуль — это расстояние, которое по определению не может быть отрицательным. Значит модуль разности строго меньше «эпсилона».

Для закрепления материала прочитайте формулу вслух.

Неопределённость и определённость предела

Метод нахождения предела последовательностей, который рассматривался выше, пусть и прост в применении, но не так рационален на практике. Попробуйте найти предел для вот такой функции:

Если подставлять различные значения «икс» (с каждым разом увеличивающиеся: 10, 100, 1000 и т. д.), то в числителе получим ∞, но в знаменателе тоже ∞. Получается довольно странная дробь:

Но так ли это на самом деле? Вычислить предел числовой последовательности в данном случае кажется достаточно легко. Можно было бы оставить всё, как есть, ведь ответ готов, и получен он на разумных условиях, однако есть ещё один способ специально для таких случаев.

Для начала найдём старшую степень в числителе дроби — это 1, т. к. х можно представить как х¹ .

Теперь найдём старшую степень в знаменателе. Тоже 1.

Разделим и числитель, и знаменатель на переменную в высшей степени. В данном случае дробь делим на х¹.

Далее найдём, к какому значению стремится каждое слагаемое, содержащее переменную. В данном случае рассматриваются дроби. При х→∞ значение каждой из дробей стремится к нулю. При оформлении работы в писменном виде стоит сделать такие сноски:

Получается следующее выражение:

Конечно же, дроби, содержащие х, не стали нулями! Но их значение настолько мало, что вполне разрешено не учитывать его при расчётах. На самом же деле х никогда не будет равен 0 в данном случае, ведь на ноль делить нельзя.

Что такое окрестность?

Предположим, в распоряжении профессора сложная последовательность, заданная, очевидно, не менее сложной формулой. Профессор нашёл ответ, но подходит ли он? Ведь все люди ошибаются.

Огюст Коши в своё время придумал отличный способ для доказательства пределов последовательностей. Его способ назвали оперированием окрестностями.

Предположим, что существует некоторая точка а, её окрестность в обе стороны на числовой прямой равна ε («эпсилон»). Поскольку последняя переменная — расстояние, то её значение всегда положительно.

Теперь зададим некоторую последовательность х_n и положим, что десятый член последовательности (x₁₀) входит в окрестность а. Как записать этот факт на математическом языке?

Допустим, х₁₀ находится правее от точки а, тогда расстояние х₁₀–а<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х₁₀–а|<ε.

Теперь пора разъяснить на практике ту формулу, о которой говорилось выше. Некоторое число а справедливо называть конечной точкой последовательности, если для любого её предела выполняется неравенство ε>0, причём вся окрестность имеет свой натуральный номер N, такой, что всё члены последовательности с более значительными номерами окажутся внутри последовательности |x_n – a|< ε.

С такими знаниями легко осуществить решение пределов последовательности, доказать или опровергнуть готовый ответ.

Теоремы

Теоремы о пределах последовательностей — важная составляющая теории, без которой невозможна практика. Есть всего лишь четыре главных теоремы, запомнив которые, можно в разы облегчить ход решения или доказательства:

1. Единственность предела последовательности. Предел у любой последовательности может быть только один или не быть вовсе. Тот же пример с очередью, у которой может быть только один конец.
2. Если ряд чисел имеет предел, то последовательность этих чисел ограничена.
3. Предел суммы (разности, произведения) последовательностей равен сумме (разности, произведению) их пределов.
4. Предел частного от деления двух последовательностей равен частному пределов тогда и только тогда, когда знаменатель не обращается в ноль.

Доказательство последовательностей

Иногда требуется решить обратную задачу, доказать заданный предел числовой последовательности. Рассмотрим на примере.

Доказать, что предел последовательности, заданной формулой, равен нолю.

По рассмотренному выше правилу, для любой последовательности должно выполняться неравенство |x_n – a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

Выразим n через «эпсилон», чтобы показать существование некоего номера и доказать наличие предела последовательности.

На этом этапе важно напомнить, что «эпсилон» и «эн» — числа положительные и не равны нулю. Теперь можно продолжать дальнейшие преобразования, используя знания о неравенствах, полученные в средней школе.

Откуда получается, что n > –3 + 1/ε. Поскольку стоит помнить, что речь идёт о натуральных числах, то результат можно округлить, занеся его в квадратные скобки. Таким образом, было доказано, что для любого значения окрестности «эпсилон» точки а=0 нашлось значение такое, что выполняется начальное неравенство. Отсюда можно смело утверждать, что число а есть предел заданной последовательности. Что и требовалось доказать.

Вот таким удобным методом можно доказать предел числовой последовательности, какой бы сложной она на первый взгляд ни была. Главное — не впадать в панику при виде задания.

А может, его нет?

Существование предела последовательности необязательно на практике. Легко можно встретить такие ряды чисел, которые действительно не имеют конца. К примеру, та же «мигалка» x_n= (–1)ⁿ . очевидно, что последовательность, состоящая всего лишь из двух цифр, циклически повторяющихся, не может иметь предела.

Та же история повторяется с последовательностями, состоящими из одного числа, дробными, имеющими в ходе вычислений неопределённость любого порядка ( 0/0, ∞/∞, ∞/0 и т. д.). Однако следует помнить, что неверное вычисление тоже имеет место быть. Иногда предел последоватей найти поможет перепроверка собственного решения.

Монотонная последовательность

Выше рассматривались несколько примеров последовательностей, методы их решения, а теперь попробуем взять более определённый случай и назовём его «монотонной последовательностью».

Определение: любую последовательность справедливо называть монотонно возрастающей, если для нее выполняется строгое неравенство x_n < x_n+1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x_n > x_n+1.

Наряду с этими двумя условиями существуют также подобные нестрогие неравенства. Соответственно, x_n ≤ x_n+1 (неубывающая последовательность) и x_n ≥ x_n+1 (невозрастающая последовательность).

Но легче понимать подобное на примерах.

Последовательность, заданная формулой х_n= 2+n, образует следующий ряд чисел: 4, 5, 6 и т. д. Это монотонно возрастающая последовательность.

А если взять x_n=1/n, то получим ряд: 1/3, ¼, 1/5 и т. д. Это монотонно убывающая последовательность.

Предел сходящейся и ограниченной последовательности

Ограниченная последовательность — последовательность, имеющая предел. Сходящаяся последовательность — ряд чисел, имеющий бесконечно малый предел.

Таким образом, предел ограниченной последовательности — это любое действительное или комплексное число. Помните, что предел может быть только один.

Предел сходящейся последовательности — это величина бесконечно малая (действительная или комплексная). Если начертить диаграмму последовательности, то в определённой точке она будет как бы сходиться, стремиться обратиться в определённую величину. Отсюда и название — сходящаяся последовательность.

Предел монотонной последовательности

Предел у такой последовательности может быть, а может и не быть. Сначала полезно понять, когда он есть, отсюда можно оттолкнуться при доказательстве отсутствия предела.

Среди монотонных последовательностей выделяют сходящуюся и расходящуюся. Сходящаяся — это такая последовательность, которая образована множеством х и имеет в данном множестве действительный или комплексный предел. Расходящаяся — последовательность, не имеющая предела в своём множестве (ни действительного, ни комплексного).

Причём последовательность сходится, если при геометрическом изображении её верхний и нижний пределы сходятся.

Предел сходящейся последовательности во многих случаях может быть равен нулю, так как любая бесконечно малая последовательность имеет известный предел (ноль).

Какую сходящуюся последовательность ни возьми, они все ограничены, однако далеко не все ограниченные последовательности сходятся.

Сумма, разность, произведение двух сходящихся последовательностей — также сходящаяся последовательность. Однако частное может быть также сходящейся, если оно определено!

Различные действия с пределами

Пределы последовательностей — это такая же существенная (в большинстве случаев) величина, как и цифры и числа: 1, 2, 15, 24, 362 и т. д. Получается, что с пределами можно проводить некоторые операции.

Во-первых, как и цифры и числа, пределы любых последовательностей можно складывать и вычитать. Исходя из третьей теоремы о пределах последовательностей, справедливо следующее равенство: предел суммы последовательностей равен сумме их пределов.

Во-вторых, исходя из четвёртой теоремы о пределах последовательностей, справедливо следующее равенство: предел произведения n-ого количества последовательностей равен произведению их пределов. То же справедливо и для деления: предел частного двух последовательностей равен частному их пределов, при условии что предел не равен нулю. Ведь если предел последовательностей будет равен нулю, то получится деление на ноль, что невозможно.

Свойства величин последовательностей

Казалось бы, предел числовой последовательности уже разобран довольно подробно, однако не раз упоминаются такие фразы, как «бесконечно маленькие» и «бесконечно большие» числа. Очевидно, если есть последовательность 1/х, где x→∞, то такая дробь бесконечно малая, а если та же последовательность, но предел стремится к нулю (х→0), то дробь становится бесконечно большой величиной. А у таких величин есть свои особенности. Свойства предела последовательности, имеющей какие угодно малые или большие величины, состоят в следующем:

1. Сумма любого количества сколько угодно малых величин будет также малой величиной.
2. Сумма любого количества больших величин будет бесконечно большой величиной.
3. Произведение сколь угодно малых величин бесконечно мало.
4. Произведение сколько угодно больших чисел — величина бесконечно большая.
5. Если исходная последовательность стремится к бесконечно большому числу, то величина, ей обратная, будет бесконечно малой и стремиться к нулю.

На самом деле вычислить предел последовательности — не такая сложная задача, если знать простой алгоритм. Но пределы последовательностей — тема, требующая максимума внимания и усидчивости. Конечно, достаточно просто уловить суть решения подобных выражений. Начиная с малого, со временем можно достигнуть больших вершин.

Число a называется пределом числовой последовательности {x_n}, если для любого как угодно малого положительного числа ε>0 найдется натуральное число N=N(ε), такое что при всех n>N выполняется неравенство |x_n-a|<ε.

Если a является пределом последовательности то этому соответствует запись

Вычисление предела числовой последовательности

Пример 1 Легкое задание, которое учит выносить доминантные множители в дробях, которые дают наибольший вклад при номере, стремлящемся к бесконечности, и упрощать на них

В этом вся сложность алгоритма вычисления предела последовательности при переменной стремящейся к бесконечности, но бывают исключения, о которых поговорим делее.
Если последовательность сходится, то она имеет конечный лимит. Если предел равен бесконечности, то говорят, что такая последовательность расходится.
Для установления сходимости последовательностей нужно хорошо уметь находить пределі, что мы с Вами постоянно совершенствуем.

Пример 2 Имеем неопределенность вида бесконечность минус бесконечность (∞-∞), поэтому теорему о разнице пределов здесь применять нельзя. Преобразуем выражение, умножением и делением на сопряженное выражение. Для вычисления значения предела упрощаем дробь на выражение, что вносит наибольший вклад при аргументе стемящемся к бесконечности. Как выносить множители из под корня Вы должны научиться самостоятельно, без этого трудно будет раскрывать пределы с корнями.

Пример 3 Разницу корней в знаменателе дроби не уножаєм на сопряженное выражение, а просто номер n выносим из под корня (внимательно посмотрите как это делать), а дальше упрощаем с n выделенным в числителе

Пример 4 Последовательность из частки иррациональных выражений имеет конечную границу, если степень номера n в знаменателе равен степени в числителе (или больше). Его выделяем по указанной в методике формуле, и упрощаем

Пример 5 Найти предел последовательности
Вычисления: Проанализировав, как меняются слагаемые для всех номеров k=2,3,4 можем записать формулу

Таким образом исходную сумму сводим к виду

Единого устоявшегося алгоритма, как раскрывать такие суммы нет. Порой можно увидеть простые схемы чередования слагаемых, в других заданиях бывает нужно вычислить суммы арифметических или геометрических прогрессий. Лишь бы оценить сверху, что последовательность ограничена, и к какому значению стремится.

Пример 6 Лимит последовательности из частки показательных выражений вычисляют путем выделения и упрощения доминантных множителей в числителе и знаменателе дроби. В заданном лимите основания равны 2 и 4, их можно свести к общему 4 в (высшем) степени ровному n. Все остальное и даст значение к которому стремится дробь.

Пример 7 Предел последовательности из разности бесконечно больших дробей раскрываем методом сведения их к общему знаменателю и упрощения в числителе и знаменателе множителя, что вносит главный вклад

Пример 8 Найти лимит последовательности

Вычисления: Представим общий член последовательности {x_n} в виде

По теореме о границе показательной функции, она равна показателю от границы основы, если степень конечна. Отсюда lim{x_n}=(3/4)^5.

Пример 9 В такого сорта заданиях вынесения n в главной степени за скобки в числителе и знаменателе дроби к упрощению не приведет. Попробуйте проверить самостоятельно, остается взглянуть в формулы сокращенного умножения и расписать разницы и суммы в кубе и в четвертой степени по следующим формулам

Таким образом, получим слагаемые с противоположными знаками, которые в сумме дадут 0, остальные слагаемые в предельном переходе упростятся по приведенной выше методике.
И напоследок, еще несколько решений на предел последовательности, которые предлагаем разобрать самостоятельно.

10

11

12

13