Как найти предел экспоненты

Вычисление пределов степенно-показательных функций

Пусть функции

и

заданы на множестве

и функция

на нем положительна. Функция

называется степенно
— показательной.

Предположим, что

– точка сгущения множества

и существуют конечные пределы

,
,

где
.
Нужно найти

.

Воспользовавшись
тождествами
,
запишем исходное выражение в виде

.

В силу теоремы 6.1
получим

.

При заданных
значениях пределов будем иметь

.

Из проведенного
рассуждения видно, что предположение
о существовании конечных пределов

и

можно отбросить. Действительно, для
нахождения предела выражения

достаточно знать предел произведения

(конечный или бесконечный).

1) Пусть
.
Тогда
.

2) Если
,
то
.

3) Если
,
то
.

Заметим, что
произведение

может оказаться неопределенностью типа
.
Тогда и исходное выражение

представляет собой неопределенность.
Перечислим возникающие здесь
неопределенности.

1) Если
,
то вычисление предела

приводит к неопределенности типа
.

2) Если
,
то вычисление предела

приводит к неопределенности типа
.

3) Если
,
то вычисление предела

приводит к неопределенности типа
.

Во всех указанных
случаях (,

,

)
можно раскрыть неопределенность

в показателе степени, преобразуя ее к
типу

и используя соответствующие эквивалентные
бесконечно малые.

Замечание 8.3.
Приведенные выше рассуждения справедливы
и для вычисления предела степенно-показательной
функции в бесконечно удаленной точке:
.

Пример 8.2.
Вычислить
.

Решение.
Здесь
,
,
поэтому имеем неопределенность типа
.
Преобразуем выражение под знаком
предела:

.

В показателе
степени имеем неопределенность типа
.
Заменой

при

на эквивалентную бесконечно малую

раскрываем ее:

.

Таким образом,

.

Замечание 8.4.
Аналогично доказывается равенство
.

Пределы

,

образуют две формы
одного и того же равенства, которое
также является замечательным
пределом
и часто служат определением числа
.

Задачи к §8

Задача
1. Вычислить
.

Решение.
Здесь имеем
неопределенность типа
.
Преобразуем числитель дроби к форме
произведения:

.

Затем
заменим бесконечно малую в точке

функцию

эквивалентной бесконечно малой
.

Тогда
получим

.

Ответ:
.

Задача
2. Вычислить
.

Решение.
Здесь возникает неопределенность типа
.
Преобразуем знаменатель, воспользовавшись
свойствами логарифмической функции, и
выделим в аргументе логарифма слагаемое,
равное 1:

.

Заменим
бесконечно малую в точке

функцию

эквивалентной бесконечно малой
.
Числитель разложим на множители:

.

Тогда
получим:

.

Ответ:
.

Задача
3. Вычислить
.

Решение.
Здесь возникает неопределенность типа
.
Представим числитель в виде:

.

Затем
заменим его эквивалентной бесконечно
малой в точке

функцией
.

Функцию

в точке

тоже заменим на эквивалентную бесконечно
малую
.

Тогда

.

Ответ:
.

Задача
4. Вычислить

.

Решение.
Здесь возникает неопределенность типа
.
Представим числитель в виде:

.

Затем
заменим его эквивалентной бесконечно
малой в точке

функцией
.

Преобразуем
знаменатель:

и
заменим его на эквивалентную бесконечно
малую
.
Тогда получим

.

Ответ:
.

Задача
5. Вычислить
.

Решение.
Здесь возникает неопределенность типа
.
Числитель

можно заменить эквивалентной бесконечно
малой
.

Чтобы
воспользоваться соотношением (8.4),
преобразуем знаменатель:

и
заменим его эквивалентной бесконечно
малой
.

Тогда

.

Ответ:

.

Задача
6. Вычислить
.

Решение.
Здесь имеем неопределенность типа
.
Чтобы применить к выражению

соотношение (8.3), представим его в виде:

,

и
заменим бесконечно малую функцию

эквивалентной бесконечно малой
.
Знаменатель же представим в виде:

и,
используя соотношения (8.2) и (8.8), заменим
его эквивалентной бесконечно малой
.
Учитывая проведенные выкладки и
соотношение (8.4), получим:

.

Ответ:

.

Задача
7. Вычислить
.

Решение.
Здесь имеем неопределенность типа
.
Используя ряд приемов, примененных в
задачах 1–7, получим

.

Ответ:

.

Задача
8. Вычислить
.

Решение.
Здесь имеем неопределенность типа
.
Используя ряд приемов, примененных в
задачах 1–7 и формулы приведения для
тригонометрических функций, получим

.

Ответ:

.

Задача
9. Вычислить
.

Решение.
Здесь имеем неопределенность типа
.
Чтобы применить к числителю соотношение
(8.2), преобразуем его следующим образом:

.

Теперь
числитель согласно соотношению (8.2)
можно заменить эквивалентной бесконечно
малой
.

Преобразуем
знаменатель

.

Заменяем,
используя соотношение (8.1),

эквивалентной бесконечно малой
.

Тогда

.

Ответ:

.

Задача
10. Вычислить
.

Решение.
Здесь имеем неопределенность типа
.
Используя приемы, описанные выше, получим

.

.

Ответ:
.

Задача
11. Вычислить
.

Решение.
Здесь имеем неопределенность типа
.
Используя теоремы 6.2 и 6.1, получим

.

Получили
неопределенность типа
.
Преобразуем выражение с помощью формул
приведения, затем переходим к эквивалентным
бесконечно малым. В итоге получим

.

Ответ:
.

Задача
12. Вычислить
.

Решение.
Здесь имеем неопределенность типа
.
Выделим

в основании степени:

.

Заметим,
что

при
.

Справедлива
цепочка равенств

.

Заменяя
логарифм эквивалентной бесконечно
малой согласно соотношению (8.2) и используя
замечание 6.4 для раскрытия неопределенности,
получим

.

Ответ:
.

Задача
13⁴.
Вычислить
.

Решение.
Здесь имеем неопределенность типа
.
Введем переменную
.
Если
,
то
.

.

Выделим

в основании степени:

,

тогда

.

Заметим,
что

при
.
Заменим функцию

эквивалентной бесконечно малой
,
будем иметь

.

Используя
теорему 7.3, окончательно получим

.

Ответ:
.

Задача
14. Вычислить
.

Решение.
Здесь возникает неопределенность типа
.
Поскольку

,

вычислим
сначала
.
Мы имеем дело с неопределенностью типа
.

Воспользовавшись
последовательно соотношениями (8.2) и
(8.1), будем иметь

.

Ответ:
.

Задача
15. Вычислить
.

Решение.
Здесь возникает неопределенность типа
.
Воспользуемся формулой

.

Вычислим
предел, стоящий в показателе степени.
Для этого требуется раскрыть
неопределенность типа
.
Преобразуем ее в неопределенность типа

и воспользуемся эквивалентностью
бесконечно малых:

.

Ответ:
.

Задача
16. Вычислить
.

Решение.
Здесь возникает неопределенность типа

.
Преобразуем исходное предельное
выражение

.

Вычислим
предел, стоящий в показателе степени.

.

Ответ:
.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Продолжаем разбирать ответы к пределам функций и последовательностей. Примеров накопилось настолько много, что можно написать отдельную книгу — методичку по их вычислению.
В каждой публикации разжевываем методику вычислений до элементарных мелочей, при таких объяснениях каждый студент может без проблем решить подобные примеры.
Однако дальше от студентов поступают новые заказы с просьбой найти предел.
Порой нужно помочь с простыми функциями, что составляет впечатление что студенты имеют худшую подготовку, чем ученики в 11 классе, которые изучают эту тему.

Пример 11. Вычислить предел последовательности:

Решение: Подстановка большого номера в последовательность дает особенность вида бесконечность разделить на бесконечность. Для ее раскрытия в числителе и знаменателе дроби выделяем слагаемое, что вносит наибольший вклад. В скобках останутся константы + слагаемые, которые стремятся к нулю.

На общий множитель упрощаем, а константы дают значение предела последовательности.

Пример 12. Найти предел последовательности:

Решение: В предельном переходе имеем неопределенность вида бесконечность минус бесконечность. Функция представлена разницей корней. Чтобы избавиться от неопределенности, умножим и поделим разницу на сумму корней (сопряженное выражение). В результате придем к неопределенности бесконечность разделить на бесконечность. Чтобы ее раскрыть выносим множитель, что вносит наибольший вклад из числителя и знаменателя и сокращаем на него. Все что останется и будет пределом последовательности

Пример 13. Найти предел функции

Решение: При переменной стремящейся к нулю имеем неопределенность {0/0}. Для ее раскрытия разницу корней умножим и разделим на сопряженное выражение, чтобы в числителе образовать разность квадратов. В знаменателе имеем полином, который содержит особенность, поэтому разложим его на простые множители. После упрощений получим зависимость, предел которой легко находим методом подстановки

Пример 14. Вычислить предел

Решение: Переменная стремится к нулю, а функция задана долей синуса и тангенса в квадрате. В таких случаях нужно преобразовать выражение, чтобы в нем можно было легко выделить первый замечательный предел и его следствие. Для компенсации изменений в числитель и знаменатель записываем соответствующие константы. Далее переходим к произведению известных границ, вклад от каждой из которых равен единице.

Пример 15. Определить предел функции

Решение: При переменной стремящейся к нулю получим неопределенность вида единица в степени бесконечность. Для ее раскрытия выразим в степени множитель, который обратно пропорционален sin(4x).
Таким образом получим второй замечательный предел – экспоненту, а все что останется в показателе, даст степень экспоненты. Но здесь имеем долю sin(4x)/tan(3x), поэтому переходим к лимиту в показателе, а сам показатель сводим к первому замечательному пределу его следствии.

Из последнего «лимита» можно вывести простую формулу, которая может быть рассмотрена как следствие первого замечательного предела. Лимит доли тангенса к синусу (или наоборот) ровен доле их аргументов.

Пример 16. Найти предел последовательности:

Решение: Для раскрытия особенности вида бесконечность разделить на бесконечность необходимо три раза применить правило Лопиталя. Другая схема заключается в вынесении из числителя и знаменателя наибольшего множителя, и сокращении на него. В результате останутся константы и бесконечно малые функции. Последние стремятся к нулю, поэтому лимит последовательности равен

Пример 17. Вычислить предел последовательности:

Решение: Таких лимитов в предыдущих публикациях вычислено немало и суть раскрытия подобных неопределенностей заключается в умножении на сопряженное выражение – сумму корней. На это же выражение следует разделить функцию, чтобы не изменить значение лимита. В результате в числителе дроби получим разность квадратов и таким образом избавляемся от иррациональности, а предел выражения получим через оценку максимальных множителей.

Пример 18. Определить лимит функции

Решение: Когда переменная стремится к 3 имеем неопределенность вида {0/0}. Для раскрытия неопределенности в знаменателе дроби избавляемся от иррациональности умножением на сопряженное выражение, а в числителе полином раскладываем на простые множители. В результате и тат и там получаем выражение (х-3), на которое упрощаем.

Лимит функции, что осталась, вычисляем методом подстановки.

Пример 19. Найти предел функции

Решение: Предел функции в нуле дает особенность {0/0}. Ее не так просто раскрывать, как предыдущие.
Здесь следует свести выражение к первому и второму замечательному пределу и их следствиям.
Ln(1+x)/x в предельном переходе даст единицу, так же как и tan(x)/x и sin(x)/x.
Число 4/25 и будет лимитом функции.

Пример 20. Найти лимит

Решение: Предел функции в точке имеет неопределенность вида единица в степени бесконечность. Для ее раскрытия нужно преобразовать функцию под второй замечательный предел. Для этого и в скобках, и в показателе выделяем множитель, что вносит особенность (x-3) и делаем замену переменных t=x-3.
Далее переходим к экспоненте, и определяем лимит показательной функции.

Как Вы могли убедиться, задания на пределы не самые сложные в высшей математике.
Нужно знать не так много правил, чтобы без труда находить правильный ответ.

Пределы со степенями: показательная, степенная и показательно-степенная функции

Пределы со степенями бывают различных видов в зависимости от положения неизвестной $x$ в пределе. Рассмотрим примеры решений для следующих ситуаций:

1. Показательная функция
   $$limlimits_{xto a} a^{f(x)} = a^{limlimits_{xto a} f(x)} $$
2. Степенная функция
   $$ limlimits_{xto a} (f(x))^a = bigg(limlimits_{xto a} f(x) bigg)^a $$
3. Показательно-степенная функция
   $$limlimits_{xto a} bigg(f(x)bigg)^{g(x)} = limlimits_{xto a} frac{ln(f(x))}{frac{1}{g(x)}} $$

  Рассмотрим два следствия из 2-го замечательного предела, с помощью которых можно найти предел показательной функции, в том числе, предел экспоненты.

Эти формулы можно применять и для случаев, когда на месте x стоит f(x), при условии, что при x→0, f(x)→0:

Проиллюстрируем, как найти предел показательной функции, в частности, предел экспоненты, на примерах.

Найти предел функции:

 Сокращаем дробь на x. Получаем в числителе выражение вида (Ia), а значит, можем применить это следствие из 2-го замечательного предела:

Здесь мы вычли и прибавили единицу, поэтому в итоге значение выражения, стоящего в числителе, не изменилось.

Выносим общий множитель x за скобки и сокращаем на него: 

В числителе получили выражения вида (Ia) и (IIа)

В числителе — выражение вида (Ia), в знаменателе — 1й замечательный предел:

Содержание:

Замечательные пределы

Сравнение бесконечно малых функций

Признак существования предела (теорема о 2-х милиционерах)

Теорема: Если значения функции

значениями функций

Рассмотрим геометрический смысл данной теоремы (Рис. 62). Из рисунка видно, что в случае, когда функции стягиваются к прямой у=А, то они “вынуждают” функцию также приближаться к той же самой прямой (“куда идут два милиционера, ведущие арестованного, туда идет и сам арестованный”).

Рис. 62. Иллюстрация теоремы о “2-х милиционерах”.

Доказательство: Пусть — точка сгущения для функций в общей области определения. Это означает, что в некоторой -окрестности точки выполняется неравенство В -окрестности точки выполняется неравенство Так как значения функции заключены между значениями функций то в некоторой -окрестности точки меньшей из -окрестностей будет выполняться неравенство Отсюда следует, что выполняется неравенство или

Первый замечательный предел

Определение: Предел отношения синуса какого-либо аргумента к этому аргументу при стремлении аргумента к нулю равен единице, т.е. и называется первым замечательным пределом.

Пример:

Пределы являются первыми замечательными пределами

Доказательство: Для вывода этой формулы построим окружность с центром в точке О(0; 0) и радиусом R = 1. Выберем угол в первой координатной четверти и сравним площади трех фигур: треугольник АОВ, сектор АОВ и треугольник AOD (Рис. 63):

Рис. 63. Иллюстрация вывода формулы первого замечательного предела.

Из рисунка видно, что площади указанных фигу р связаны соотношением:

Вычислим эти площади

Следовательно, вышеприведенное неравенство приводится к виду В силу того, что получаем Разделим полученное неравенство на знак всех неравенств не изменится: Переходя к обратным неравенствам, или в силу того, что то по теореме о 2-х милиционерах

Аналогично проводится доказательство для любого значения угла

Таким образом, наличие в пределе, сводящемся к неопределенности тригонометрических функции может указывать на первый замечательный предел.

При вычислении первого замечательного предела используют следующие формулы:

а также следующие таблицы:

Табл. 1. Значения синуса и косинуса на интервале

Табл. 2. Формулы приведения.

Пример:

Найти

Решение:

При подстановке предельной величины переменной х имеем неопределенность Воспользуемся формулой и преобразуем данный предел следующим образом:

Пример:

Найти

Решение:

При подстановке предельного значения переменной х имеем неопределённость Воспользуемся формулой тогда данный предел равен:

Пример:

Найти

Решение:

При подстановке предельного значения переменной х имеем неопределённость Введём замену (при ) и воспользуемся следующей формулой Предел преобразуется к виду:

Пример:

Найти

Решение:

При подстановке предельного значения переменной х имеем неопределённость Воспользуемся формулами получим:

Число e и натуральные логарифмы. Второй замечательный предел

Рассмотрим логарифмическую функцию Выбирая различные значения основания, будем вычислять тангенсы угла наклона касательной к графику этой функции в точке (см. график логарифмической функции в Лекции № 22).

Определение: Натуральным логарифмом называется логарифм, для которого основание выбрано так, чтобы тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс (Ох) был равен 1.

Основанием натурального логарифма является число Это число трансцедентное, т.е. не является решением ни одного алгебраического уравнения. Установим связь между натуральными и десятичными логарифмами:

Определение: Вторым замечательным пределом называется предельное равенство (первая форма)

или

(вторая форма).

Замечание: Первая форма второго замечательного предела переходит во вторую с помощью замены с учетом теоремы о связи бесконечно большой функции с бесконечно малой функцией.

Замечание: Наличие неопределенности указывает на второй замечательный предел, т.е. если пределы функций что указывает на второй замечательный предел.

Пример:

Найти

Решение:

При подстановке предельного значения переменной х не имеем неопределенности

— не второй замечательный предел.

Пример:

Найти lim

Решение:

При подстановке предельного значения переменной х имеем неопределенность Проведём преобразование подлимитной функции: ( — первая форма второго замечательного предела, преобразуем данное выражение под вид второго замечательного предела)

(роль функции играет выражение возведем круглую скобку в эту степень, а за квадратной скобкой возведем в обратную степень для тождественности проводимых преобразований, получим) =

= (выражение в квадратных скобках стремится к числу е, а показатель степени — к числу -4/5 (см. раскрытие неопределённости для полиномов примере из пункта Вычисление пределов и раскрытие неопределенностей поэтому окончательный ответ имеет вид)=

Пример:

Найти

Решение:

При подстановке предельного значения переменной х имеем неопределенность Проведём преобразование подлимитной функции:

(вторая форма второго замечательного предела, преобразуем данное выражение под вид второго замечательного предела)= = (роль функции играет выражение (2-2х))=

=(выражение в квадратных скобках стремится к числу е, а показатель степени — к числу -2 (подставить в показатель степени вместо переменной х ее предельное значение 1), поэтому окончательный ответ имеет вид)

• Заказать решение задач по высшей математике

Сравнение бесконечно малых функций

Сравнить две бесконечно малые функции и означает вычислить предел

Определение: Если предел К не существует, то бесконечно малые функции и называются несравнимыми.

Пример:

Пусть — две бесконечно малые функции при Доказать, что эти бесконечно малые функции несравнимые.

Решение:

Для доказательства вычислим предел -данный предел не существует, так как нельзя указать предельное значение для подлимитной функции cosx на бесконечности.

Определение: Если предел К равен нулю, то бесконечно малая функция называется бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем бесконечно малая функция

Пример:

Пусть — две бесконечно малые функции при Доказать, что бесконечно малая функция является бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем бесконечно малая функция

Решение:

Для доказательства вычислим предел Следовательно, бесконечно малая функция является бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем бесконечно малая функция при

Определение: Если предел К равен то бесконечно малая функция называется бесконечно малой функцией более низкого порядка малости, чем бесконечно малая функция

Пример:

Пусть — две бесконечно малые функции при Доказать, что бесконечно малая функция является бесконечно малой функцией более низкого порядка малости, чем бесконечно малая функция

Решение:

Для доказательства вычислим предел

Следовательно, бесконечно малая функция является бесконечно малой функцией более низкого порядка малости, чем бесконечно малая функция

Определение: Если предел К равен конечному числу то бесконечно малые функции называются бесконечно малыми функциями одного порядка малости.

Пример:

Пусть — две бесконечно малые функции при Доказать, что бесконечно малые функции являются бесконечно малыми функциями одного порядка малости.

Решение:

Для доказательства вычислим предел

Следовательно, бесконечно малые функции являются бесконечно малыми функциями одного порядка малости при

Определение: Если предел К равен 1, то бесконечно малые функции а(х) и Д(х) называются эквивалентными.

Пример:

Пусть — две бесконечно малые функции при Доказать, что бесконечно малые функции являются эквивалентными.

Решение:

Вычислим предел Следовательно, бесконечно малые функции являются эквивалентными при Рассмотрим признак эквивалентности бесконечно малых функций.

Теорема: Для того чтобы бесконечно малые функции были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы разность бесконечно малых функций была бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем бесконечно малые функции .

Доказательство:

1. Необходимость. Пусть бесконечно малая функция является бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем бесконечно малые функции т.е. пределы Докажем, что бесконечно малые функции эквивалентны. Преобразуем первый из этих пределов:

Отсюда следует, что т.е. бесконечно малые функции эквивалентны. Аналогично преобразуется второй пре- дел.

2. Достаточность. Пусть бесконечно малые функции являются эквивалентными, т.е. Докажем, что разность двух бесконечно малых функций является бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем бесконечно малые функции Преобразуем данный предел следующим образом: Отсюда следует, что функция является бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем бесконечно малые функции Аналогично доказывается, что функция является бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем бесконечно малые функции

Замечание: При вычислениях одна бесконечно малая функция может быть заменена на эквивалентную бесконечно малую функцию. Например, функции эквивалентны функции х при

—вышмат

Замечательные пределы

Первый замечательный предел

Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, равен единице:

Следовательно,

Пример №25

Найти

Решение:

Применим первый замечательный предел:

Второй замечательный предел

Числом е называется предел функции

(Для запоминания: 2<е<3; 1828 — год рождения Л.Н. Толстого) Следовательно,

Задача о непрерывном начислении процентов

Первоначальный вклад в банк составил денежных единиц. Банк выплачивает ежегодно годовых. Необходимо найти размер вклада через t лет.

Решение:

Размер вклада будет увеличиваться ежегодно в раз и

через t лет составит Если же начислять проценты n раз в году,

то будущая сумма составит Предположим, что проценты по вкладу начисляются каждое полугодие (n=2), ежеквартально (n=4), ежемесячно (n=12), каждый день (n=365), каждый час (n=8760) и, наконец, непрерывно (n). Тогда за год размер вклада составит:

а за t лет:

Пример №26

Найти

Решение:

Т.к. имеем неопределенность вида Для ее раскрытия воспользуемся вторым замечательным пределом, выделив предварительно у дроби целую часть:

Пример №27

Найти

Решение:

Преобразуя выражение и используя непрерывность показательно-степенной функции, получим: