Как найти правые тройки векторов

Тройка
векторов
,иназывается правой, еслинаправлен так, что из его конца кратчайший
поворот откпроисходит против часовой стрелки.

Векторным
произведением вектора
на векторназывается третий векторкоторый обладает следующими свойствами:

1. Его
   длина равна

1. Вектор
   перпендикулярен к плоскости, в которой
   лежат вектораи

2. Вектор
   направлен так, что поворот от векторак векторуосуществляется против часовой стрелки,
   если смотреть из конца вектора(тройка векторов,и– правая).

Основные
свойства векторного произведения:

1)
Векторное произведение
равно
нулю, если векторыиколлинеарны
или какой-либо из перемножаемых векторов
является нулевым.

2)
При перестановке местами векторов
сомножителей векторное произведение
меняет знак на противоположный

Геометрический
смысл векторного произведения: модуль
векторного произведения векторов
численно равен площади параллелограмма,
построенного на этих векторах как на
сторонах.

11. Смешанное произведение 3-х векторов, его свойства. Геометрический смысл. Вычисление в координатах. Необходимое и достаточное условие компланарности 3-х векторов.

Смешанным произведением векторов
,,называется число, равное (*)*= (,,)

Модуль смешанного произведения векторов

,,равен объёму параллелепипеда, построенного
на векторах,,.

Свойства:

1)
(*)*=*(*)

2)
(,,)
= (,,)
= (,)
= — (,,)
= … циклически меняем

3)
,,– компланарны (,,)
= 0

4)
,,– правая (,,)
> 0

,
,– левая (,,)
< 0

5)
(₁+₂,,)
= (₁,,)
+ (₂,,) (α*,,)
= α(,,)

Вычисление
в координатах:

Необходимое
и достаточное условие компланарности
3-х векторов :

Аналитическая
геометрия

12.
Виды уравнений прямой на плоскости.
Расстояние от точки до прямой.

Виды:

1)
Общее
уравнение прямой: Ax
+ By
+ C
= 0

2)
Уравнение прямой в отрезках:

3)
Уравнение прямой с угловым коэффициентом:
y
= kx
+ b

4)
Каноническое уравнение прямой на
плоскости:

5)
Параметрические уравнения прямой на
плоскости:

6)
Нормальное уравнение прямой:

p— длина перпендикуляра,
опущенного из начала координат на
прямую, β- угол наклона этого перпендикуляра к
осиO.

Расстояние
точки A(x₁,
y₁)
до прямой Ax
+ By
+ C
= 0 есть длина перпендикуляра, опущенного
из этой точки на прямую. Она определяется
по формуле:

13.
Взаимное расположение двух прямых на
плоскости, угол между прямыми.

Если
прямые
изаданы
общими уравнениямии,

тогда
угол между ними находится по формуле:

–условие параллельности
прямых
и;

–условие перпендикулярности
прямых
и.

— прямые совпадают.

14.
Виды уравнений плоскости. Расстояние
от точки до плоскости.

Виды
уравнений плоскости:

1)
Общее:
Ax + By + Cz + D = 0

2)
В отрезках:

3)
Нормальное:

Пусть плоскость
задана
уравнениемAx
+ By
+ Cz
+ D
= 0 и дана
точка
.
Тогда расстояниеp
от точки _Mo
до плоскости
определяется
по формуле

15.
Взаимное расположение двух плоскостей,
угол между плоскостями.

Взаимное расположение двух плоскостей
характеризуется двумя возможностями^

1) Две плоскости не имеют общих точек, и
, в таком случае, они называются
параллельными

2) Две плоскости имеют хотя бы одну общую
точку, и в таком случае они называются
пересекающимися.

Пусть
наши плоскости  изаданы
уравнениями:

:
 :

Косинус
угла между плоскостями находится по такой
формуле:

1)
Плоскости параллельны:

2)
Плоскости совпадают, если выполняются
следующие условия:

a₂*x₀
+ b₂*y₀
+ c₂*z₀
+ d₂
= 0

существует
точка M₀(x₀,y₀,z₀),
принадлежащая плоскости П₁

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Три некомпланарных вектора $overline{a}$,
$overline{b}$ и $overline{c}$, приведенных к общему началу, образуют так
называемую связку трех векторов (или тройку векторов).

Тройка векторов называется упорядоченной, если четко сказано, какой вектор в ней идет первым, и так далее.

Тройка векторов $overline{a}$, $overline{b}$ и $overline{c}$ называется левой, если
поворот от вектора $overline{a}$ к вектору $overline{b}$, видимый с конца третьего вектора $overline{c}$,
осуществляется по ходу часовой стрелки (рис. 1).

Тройка векторов $overline{a}$, $overline{b}$ и $overline{c}$ называется правой, если
поворот от вектора $overline{a}$ к вектору $overline{b}$, видимый с конца третьего вектора $overline{c}$,
осуществляется против хода часовой стрелки (рис. 2).

Понятие тройки векторов

Из курса физики известно, что скалярные величины или скаляры — это величины, вполне определяемые одним численным значением (например, масса, температура, объём, расстояние и пр.). То есть любое вещественное число является скаляром.

Векторные величины или векторы — это величины, которые определяют и численным значением, и направлением. Например, скорость.

Линейно зависимыми называются такие векторы $a,b,c,…$, что если подобрать такие числа $x,y,z,…$, из которых по крайней мере одно не равно $0$, то будет иметь место тождество $xa+yb+zc+…=0$. Если три вектора $a,b,c$ не равны $0$ и линейно зависимы, то они компланарны.

Определение правой и левой тройки векторов

Приведём чертёж правой связки.

Рассмотрим кратчайшее вращение $vec{OA}=a$ к $vec{OB}=b$ на плоскости $OAB$ со стороны направления $vec{OC}=c$. Мы увидим, что вращение идёт против часовой стрелки.

Если большой палец и указательный пальцы левой руки вытянуть, а средний согнуть под углом ладони, то три пальца в порядке большой-указательный-средний составят правую связку. Те же пальцы на левой руке составят левую связку.

На чертеже левой связки то же вращение идёт по часовой стрелке.

Способы преобразования правой связки в левую и обратно:

1. перестановка местами двух любых векторов;
2. изменение знака при одном из векторов;
3. замена какого-нибудь вектора его зеркальным отображением относительно плоскости двух других векторов.

Правая и левая системы координат

Напомним, что координатная ось — это ось, на которой выбрано начало и единица масштаба.

Ортогональная или прямоугольная система координат в пространстве — это система из трёх взаимно перпендикулярных координатных осей $Ox, Oy$ и $Oz$ с общим началом $O$. Ортами в ортогональной системе координат называют единичные векторы (то есть векторы равные $1$).

Рассмотрим чертёж ортогональной системы координат в пространстве. Отметим на ней орты $i, j, k$.

$i, j, k$ образуют правую связку. Система координат в данном случае называется правой.

Система координат называется левой, когда орты образуют левую связку. То есть:

Подведём итог. В статье мы дали определение связки тройки векторов, описали правую и левую тройку векторов, а также правую и левую систему координат, как вытекающую тему из определения правой и левой тройки векторов. Стоит сказать, что на практике определение правой и левой тройки векторов со временем происходит интуитивно или «на автомате». Самое важное, это один раз понять, как это делается. Также стоит заметить, что чаще в задачах используется всё-таки правая тройка векторов и соответственно правая система координат.