Как найти потенциал поля вектора

Векторное
поле

называется потенциальным, если работа
в этом поле не зависит от пути
интегрирования:

,

что
является условием потенциальности
поля. Из равенства нулю циркуляции
вектора

вдоль каждого замкнутого контура следует
по формуле Стокса, что

=0.

Существует
некоторая функция U(x,y,z),
для которой выражение Pdx
+ Qdy + Rdz
является полным дифференциалом:

dU
= Pdx + Qdy + Rdz.
Функция
U(М)
называется потенциалом векторного
поля:

.

Для
нахождения потенциала поля по этой
формуле лучше всего интегрировать по
ломаной линии, соединяющей точки

и

,
звенья которой параллельны осям
координат.

Работа
потенциального векторного поля вдоль
любого пути равна разности значений
потенциала этого поля в конце

и начале

пути:
.

Пример
35.
Показать, что поле

является потенциальным и найти его
потенциал.

Решение:

=
=

=

.
Ротор равен нулю, следовательно, поле
потенциально. Возьмём

:

+

+
=

5.7. Оператор Гамильтона. Векторные операции второго порядка

Пусть
даны два поля: скалярное поле

и векторное поле

.

Для
скалярного поля можно построить векторное
– поле градиента:

,

а
по векторному полю можно построить
скалярное поле– поле дивергенции:

=
,

а
так же векторное поле – поле ротора:

.

Операции
нахождения градиента, дивергенции и
ротора называется дифференциальными
операциями первого порядка.

Для
того чтобы сделать запись менее
громоздкой, используют символический
вектор набла

,
оператор Гамильтона. При этом полагают,
что действия оператора набла подчиняются
правилам действиями с обычными векторами
при условии сохранения порядка
сомножителей. Градиент скалярной функции
получается как результат действия
оператора Гамильтона на скалярную
функцию

:

.

Дивергенция
векторного поля получается в результате
скалярного произведения векторов

и

:

.

Ротор
векторного поля получается в результате
векторного произведения векторов

и

:

.

Действие
оператора

на

,

,

даст дифференциальные операции второго
порядка над функциями

,

.
Всего таких операций пять. Рассмотрим
некоторые из них.

Операция

дает оператор
Лапласа:

=

.
Таким образом, оператор Лапласа равен


.

Операция

дает
тождественный ноль, т.к. операция
представляется как векторно-скалярное
произведение:

=
,

а
векторы

и

коллинеарные. Векторное поле называется
соленоидальным,
если дивергенция его равна нулю. Можно
сказать, что поле ротора соленоидально.

Операция

тоже дает тождественный ноль:

=


,

так
как две строки определителя пропорциональны.
Поле называется потенциальным
или безвихревым,
если ротор поля равен нулю. Следовательно,
поле градиента – безвихревое, т.е.
потенциальное.

Операция

может быть представлена следующим
образом:

.

Операция

может представляться следующим
образом:
=
.

Вопросы для самопроверки

1.
Как определяются двухсторонние
поверхности?

2.
Как определяются односторонние
поверхности?

3.
Приведите пример односторонней
поверхности.

4.
Перечислите свойства поверхностного
интеграла второго рода.

5.
Каким образом поверхностный интеграл
второго рода выражается через двойные
интегралы?

6.
Как находится знак перед двойным
интегралом при

расписывании
поверхностного интеграла второго рода
в виде суммы двойных интегралов?

7.
Сформулируйте теорему Остроградского.

8.
Что такое дивергенция векторного поля?

9.
Дайте определение поля.

10.
Перечислите свойства дивергенции.

11.
Выведите формулу Стокса.

12.
Что такое ротор векторного поля?

13.
Перечислите свойства ротора векторного
поля.

14.
Когда векторное поле имеет потенциал?

15.
Каким образом дивергенция, ротор, и
градиент представляются с помощью
оператора Гамильтона?

16.
Что такое векторные операции второго
порядка?

17.
Почему

и

тожественно равны нулю?

18.
Какое векторное поле называется
соленоидальным?

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

  30.04.2022657.41 Кб345.doc

• #
• #
• #
• #

Пример.

1) Показать, что поле
вектора  потенциально и найти его потенциал.

Решение.

Поле вектора  будет потенциальным, если =0.

Найдем .

Так как =0, то поле вектора  потенциально. Найдем потенциал. В
качестве точки  возьмем (0;0;0).

.

Можно проверить, что
функция U действительно является потенциалом
векторного поля вектора . Если U потенциал, то .

Найдем .

Ответ: .

2) Проверить, будет ли
поле вектора

 потенциальным
и найти его потенциал.

Решение.

Если плоское поле вектора
 потенциально, то .

,

.

Так как , то поле потенциально. Найдем
потенциал.

.

В качестве точки  возьмем точку (1;1). Точку (0;0)
брать нельзя, так как в этой точке поле вектора  не
задано, функции Р и Q не существуют в
(0;0).

Проверка: , .

,

.

Ответ: .

13 Циркуляция
векторного поля

Определение:Циркуляцией вектора  вдоль
замкнутого контура L называется
криволинейный интеграл по этому контуру от скалярного произведения вектора  на вектор  касательной
к контуру:

,

если  и ,
то

                                           (6)

Положительным
направлением обхода замкнутой кривой L считают направление, при котором область, ограниченная этой кривой,
будет оставаться слева.

В силовом поле формула
(6) выражает работу при перемещении материальной точки вдоль линии L.

Пример.

1) Найти циркуляцию
векторного поля  вдоль линии эллипса

Решение.

По определению циркуляции
имеем:

.

Так как  — параметрическое уравнение эллипса,
то

, при этом .

2) Найти циркуляцию
векторного поля

 вдоль
линии пересечения плоскости  с координатными
плоскостями.

Линиями пересечения плоскости
 с координатными плоскостями будут
стороны треугольника АВС, т.е.

; ;
.

14 Формула Стокса

Пусть координаты вектора  непрерывны и имеют непрерывные
частные производные, тогда циркуляцию вектора  по
замкнутому контуру L удобно вычислить
по формуле Стокса.

Теорема:Циркуляция вектора  по
замкнутому контуру L равна потоку
ротора этого вектора через любую поверхность S, натянутую на контур L.

.

Предполагается, что
ориентация нормали  к поверхности S согласована с ориентацией контура L так, чтобы из конца нормали обход
контура в выбранном направлении был виден совершающимся против часовой стрелки.

Так как

, а ,
то

Так как

.

Из теоремы следует
формула Стокса:

,

где  — проекции поверхности S на плоскости YOZ, XOZ, XOY.

Из формулы Стокса
следует, что если поле вектора  потенциально, то
тогда =0 и циркуляция вектора  потенциального поля равна нулю

Частным случаем формулы
Стокса, когда поле вектора  плоское, будет
формула Грина.

Если поле вектора  плоское, то

,

,

так как =0 и =0.

Тогда в формуле Стокса =0 и =0
и

.

Примеры.

1) Решим второй пример из
рассмотренных ранее вторым способом по формуле Стокса.

Найти циркуляцию
векторного поля

 вдоль
линии пересечения плоскости  с координатными
плоскостями.

Решение.

Найдем :

Тогда =2, =-3,
=-1.

Найдем циркуляцию по
формуле Стокса:

2) Вычислить циркуляцию
вектора  по контуру L, образованному линиями y=x, .

Решение.

Так как поле вектора  плоское, то найдем циркуляцию по
формуле Грина:

.

Рисунок 17

15 Оператор
Гамильтона. Векторные дифференциальные операции второго порядка

Многие операции
векторного анализа могут быть записаны в сокращенной и удобной для расчетов
форме с помощью символического оператора Гамильтона «набла».

.

В этом операторе
соединены дифференциальные и векторные свойства. Формальное умножение  на функцию U(x;y;z) понимают как частное дифференцирование .

Правила действия с
оператором «набла» таковы:

1) Произведение набла –
вектора  на скалярную функцию U(x;y;z) дает градиент этой функции:

.

2) Скалярное произведение
набла — вектора  на векторную функцию  дает дивергенцию этой функции:

3) Векторное произведение
набла – вектора  на векторную функцию  дает ротор этой функции:

Рассмотрим теперь
векторные дифференциальные операции второго порядка.

Пусть задано скалярное
поле U(x;y;z) и нашли градиент этого поля . Поле градиента является векторным
полем и можно найти его дивергенцию и ротор, т.е.  и
.

                            
а) .                         (*)

Действительно, , образуя дивергенцию этого вектора,
мы и получим данную формулу (*). Правая часть формулы (*) называется оператором
Лапласа от функции и обозначается :

.

Выражение  можно с помощью набла – вектора
записать так:

.

б) Пусть функция U(x;y;z) имеет непрерывные частные
производные до второго порядка включительно, тогда =0.

Это равенство проверяется
просто, так как все координаты  представляют
собой разность вторых смешанных производных функции U, отличающихся лишь порядком дифференцирования, которые
равны, например:

.

Это соотношение легко
запоминается, если записать его с помощью набла – вектора:

,

так как векторное
произведение одинаковых «векторов» равно нулю.

в) .

Образуя дивергенцию от , получим:

Так как вторые смешанные
производные равны, если функции P, Q, R имеют непрерывные частные производные до второго порядка
включительно.

С помощью набла – вектора
это запишется так:

.

То есть мы имеем
смешанное произведение трех «векторов», из которых два вектора одинаковы. Такое
произведение равно нулю.

16 Семестровое задание
по теме «Теория поля»

Решение задач.

Задача 1.

а) Найти угол между
градиентами функции  в точках (1;-1;0) и
(2;1;1).

Решение.

.

Найдем градиент функции U в точках (1;-1;0) и (2;1;1):

,

.

Тогда косинус угла  между градиентами, т.е. между
векторами  и  найдем
по формуле:

,

Задачи по исследованию векторного поля, что включают нахождение циркуляции, потока рассмотрены на предыдущих уроках. Здесь мы покажем, как быстро проверить, а если и нужно то и доказать, что поле является потенциальным и соленоидальным. Условия за которых это выполняется детально расписанны в объяснениях к вычислениям.
Детальный анализ каждого из примеров позволяет самостоятельно освоить данную тему каждому студенту.

ЗАДАНИЕ 10.4 Проверить, является ли векторное поле F=(5x+4yz) *i+(5y+4xz)*j+(5z+4xy)*k
потенциальным и соленоидным.
Если поле потенциальное, то найти его потенциал.
Решение: Для того, чтобы заданое поле было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы ротор векторного поля был равен нулю rot(F)=0.
За условием выписываем функции, которые необходимы для дальнейших расчетов
P=P(x;y;z)=5x+4yz, Q=Q(x;y;z)=5y+4zx, R=R(x;y;z)=5z+4xy.
Отсюда ротор векторного поля через частичные производные находим по формуле
Из вычислений видим что векторное поле является потенциальным.
Найдем потенциал u=u(x;y;z) заданного векторного поля .
Согласно теории, векторное поле равно градиенту потенциала:
Выпишем компоненты градиента из начального условия F= (5x+4yz) *i+ (5y+4xz) *j+ (5z+4xy) *k
 потенциальным и соленоидным. Если полетпотенциальное, то найти его потенциал.
Решение: Для того, чтобы задано поле было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы ротор векторного поля был равен нулю rot (F) =0.
За условием выписываем функции, которые необходимы для дальнейших расчетов
P=P (x;y;z) =5x+4yz, Q=Q (x;y;z) =5y+4zx, R=R (x;y;z) =5z+4xy.
Отсюда ротор векторного поля через частичные производные находим за формулой
Из вычислений видим, что векторное поле является потенциальным.
Найдем потенциал u=u (x;y;z) заданного векторного поля .
Согласно теории векторное поле равно градиенту потенциала :
Выпишем компоненты градиенту из начального условия F=(5x+4yz)*i+(5y+4xz)*j+(5z+4xy)*k

Дальше интегрированием возобновляем потенциал, сначала интегрируем производную по x, потом найденный потенциал дифференцируем по y и приравниваем ко 2 частичной производной, и так далее
Здесь не ставили знак интегрирования, поскольку имеем дело с простыми табличными интегралами, а такая запись экономит время, храня при этом суть операций.
Окончательно записываем потенциал u векторного поля :
u(x;y;z)=2,5(x²+y²+z²)+4xyz+C, где C — произвольная константа.
Чтобы векторное поле было соленоидным, необходимо и достаточно, чтобы его дивергенция была равна нулю
Проверяем это условие:
Она не выполняется, следовательно рассмотреное векторное поле не является соленоидным.

ЗАДАНИЕ 10.5 Проверить будет ли векторное поле F=(x+2yz) *i+(y+2xz)*j+(z+2xy)*k
потенциальным и соленоидным.
Если поле потенциальное, то найти его потенциал.
Решение: Необходимым и достаточным условием, что векторное поле — потенциальное является равенство нулю ротора
Из начального условия записываем P=P(x;y;z)=x+2yz, Q=Q(x;y;z)=y+2xz, R=R(x;y;z)=z+2xy.
По формуле находим ротор векторного поля
Делаем вывод о том, что полет является потенциальным.
Найдем потенциал u(x, y, z).
Градиент равен:
Выписываем частичные производные

а дальше интегрированием возобновляем функцию

Потенциал векторного поля принимает значение
u (x;y;z)=0,5(x²+y²+z²) +2xyz+C,
где C — произвольная константа.
Условие что векторное поле соленоидальное равносильная равенству нулю его дивергенции

Выполняем необходимые расчеты

Из записи видим, что условие не выполняется, следовательно  векторное поле не является соленоидным.

ЗАДАНИЕ 10.6 Проверить, является ли векторное поле F=(4x-7yz)*i+(4y-7xz)*j+(4z-7xy)*k
потенциальным и соленоидным.
Если полет потенциальное, то найти его потенциал.
Решение: Полет F является потенциальным, если его ротор равен нулю
За условием выписываем составляющие P=P(x;y;z)=4x-7yz, Q=Q(x;y;z)=4y+7xz, R=R(x;y;z)=4z-7xy
и подставляем в формулу ротора
Получили в результате нуль, можем сделать вывод, что векторное поле является потенциальным.
Потенциал u=u(x;y;z) векторного поля находим через формулу градиента :
Частичные производные, согласно начальному условию, имеют следующие значение

Повторно интегрируя их определяем функцию u(x;y;z)
Внимательно пересмотрите и разберите, в чем суть вышеприведенных формул.
Интегрированием за переменной ‘х’ мы получаем потенциал + функцию от двух других координат phi(y,z).
Найдя частичную производную потенциала за переменной ‘y’ и, приравняв к частичной производной из векторного поля, доопределяем функцию phi(y,z), остается одна неизвестная psi(z).
Для ее определения находим частичную производную потенциала по ‘z’ приравниванием к третьей компоненте векторного поля, получаем ее частичную производную.
Далее через интеграл ее доопределяем. Напоследок остается подставить все найденные функции в начальную запись.
Таким образом, потенциал поля равен 
u(x;y;z)=2(x²+y²+z²)-7xyz+C, где C — произвольная константа.
Проверка  поля F на соленоидальность равносильня нахождению дивергенции и проверке  равна ли она нулю.
Сами вычисления не сложны, стоит лишь знать или иметь под рукой формулу дивергенции

Видим, что поле не является соленоидным.

ЗАДАНИЕ 10.7 Проверить, или будет векторное поле F=(12x+yz)*i+(12y+xz)*j+(12z+xy)*k
потенциальным и соленоидным.
Если поле  потенциальное, то найти его потенциал.
Решение: Проверяем равен ли ротор векторного поля  нулю
Имеем функции P=P(x;y;z)=12x+yz, Q=Q(x;y;z)=12y+xz, R=R(x;y;z)=12z+xy
которые подставляем в формулу
Условие равенства нулю ротора выполняется, следовательно векторное поле является потенциальным.
Отыщем потенциал u(x;y;z).
Для этого применяем форму записи векторного поля через градиент потенциала:
Таким образом получим частичные производные

Методика нахождения потенциала векторного поля детально расписана в предыдущих задачах.
Следует отметить, что за первое приближение можно брать любую из трех частичных производных.
Выбирать порядок Вам, конечный интеграл от этого не изменится.
Формула потенциала векторного поля примет вид:
u(x;y;z)=6(x²+y²+z²)+xyz+C, где C — произвольная сталая.
Проверим, является ли векторное поле   соленоидным.
Для этого должно выполняться условие div(F)=0:
Из расчетов видим, что дивергенция не равна нуля, следовательно делаем вывод что поле не является соленоидным.

ЗАДАНИЕ 10.10 Проверить, является ли векторное поле F=(6x+7yz)*i+(6y+7xz)*j+(6z+7xy)*k
потенциальным и соленоидным.
Если поле  потенциальное, то найти его потенциал.
Решение: Из предыдущих примеров Вы уже возможно запомнили что сначала нужно найти ротор векторного поля.
Выписываем функции
P=P(x;y;z)=6x+7yz, Q=Q(x;y;z)=6y+7xz, R=R(x;y;z)=6z+7xy
и по формуле находим ротор
Он равен нулю, а это значит, что исследуемое векторное поле является потенциальным.

Для возобновления потенциала u(x;y;z) воспользуемся схемой, которая детально повторяется из примера в пример.
Выписываем уравнение градиента потенциала:
из него имеем частичные производные

какие используем при интегрировании и доопределении u(x;y;z)
После всех расчетов потенциал векторного поля будет равен:
u(x;y;z)=3(x²+y²+z²)+7xyz+C, где C — произвольная константа.
Осталось проверить, является ли поле F соленоидным.
Для этого имеем условие :

Вычисления показали, что условие равенства нулю дивергенции не выполняется.
Следовательно, векторное поле не является соленоидным.

ЗАДАНИЕ 10.12 Проверить, будет ли векторное поле F=(3x+yz)*i+(3y+xz)*j+(3z+xy)*k
потенциальным и соленоидным.
Если поле  потенциальное, то найти его потенциал.
Решение: Вы уже должны были бы знать, чтобы  векторное поле было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы ротор rot(F) был равен нулю.
Выписываем функции P=P(x;y;z)=3x+yz, Q=Q(x;y;z)=3y+xz, R=R(x;y;z)=3z+xy.
и за нижеприведенной формулой находим ротор
Он равен нулю, поєтому  векторное поле F является потенциальным.
Найдем потенциал u(x;y;z).
Формула градиента потенциала имеет вид:
Из нее выписываем частные производные

а дальше через неопределенные интегралы находим потенциал
Как уже отмечалось выше, в приведенных формулах для уменьшения громоздкости опущены знаки интегрирования.
В вычислениях это допустимо, однако, если преподаватели от Вас требуют детального расписания всех промежуточных объяснений, не забывайте, что здесь мы имеем в виду неопределенные интегралы.
Окончательно записываем явный вид потенциала поля
u (x;y;z)=1,5(x²+y²+z²)+xyz+C, здесь C — любая константа.
И последняя проверка на условия, что векторное поле  является соленоидным (div (F) =0)
Видим что поле F не является соленоидным (дивергенция отличается от нуля).

ЗАДАНИЕ 10.21 Доказать, что векторное поле F=yz*i+xz*j+xy*k
является потенциальным и соленоидным.
Решение: Условие соответствия векторного поля F потенциальному имеет вид

Выписываем функции P=P(x;y;z)=yz, Q=Q(x;y;z)=xz, R=R(x;y;z)=xy
и ичитываем в уравнении ротора

Имеем равенство нулю ротора, таким образом проверили и доказали, что векторное поле F является потенциальным.
Чтобы найти потенциал u(x;y;z) векторного поля используем градиент:
Из входных данных задания выписываем частичные производные u(x;y;z)

Дальше интегрированиям постепенно возобновляем u(x;y;z)

Формула потенциала векторного поля приобретет вид:
u (x;y;z)=xyz+C, где C — любая сталая.
Осталось доказать, что векторное поле является соленоидным.
Для этого находим дивергенцию
и убеждаемся, что она равна нулю.
Это значит, что векторное поле является соленоидным, что и следовало досказать.

ЗАДАНИЕ 10.23 Проверить, является ли векторное поле F=(x²+yz)*i+(y²+xz)*j+(z²+4xy)*k
потенциальным и соленоидным.
Если поле  потенциальное, то найти его потенциал.
Решение: Проверка условия равенства нулю ротора векторного поля однозначно позволяет выяснить, является ли векторное поле потенциальным, или нет.
Из начального условия выписываем
P=P(x;y;z)=x²+yz, Q=Q(x;y;z)=y²+xz, R=R(x;y;z)=z²+xy
и применяем формулу ротора

Условие выполняется, поэтому делаем вывод что векторное поле является потенциальным.
Как найти потенциал  (x;y;z) детально описано в методике и объяснениях к расчетам.
Но снова и снова проходимся по пунктам, поскольку, как показывает практика студенты живут по правилу «выучил — сдал — забыл».