Как найти порядок элементов матрицы

Before we learn about the Order of a Matrix let us know What is a Matrix. Matrices are defined as a rectangular array of numbers or functions. It is a rectangular array and two- dimensional. A Matrix is a rectangular array of numbers or symbols which are generally arranged in rows and columns. The plural of matrix is matrices. The entries are the numbers in the matrix and each number is known as an element.

Order a Matrix – Definition

Basically, a two-dimensional matrix consists of the number of rows and the number of columns. The order of the matrix is defined as the number of rows and columns. The number of rows is represented by ‘m’ and the number of columns is represented by ‘n’. Therefore the order of the matrix is equal to m x n, and it is also called as ‘m by n’.

The size of the matrix is written as m x n, where m is the number of rows and n is the number of columns. For example, we have a 3 x 2 matrix, the number of rows is equal to 3, and the number of columns is equal to 2.

Different Types of Matrices

There are different types of matrices, basically categorized on the basis of the value of their elements, their order,  number of rows and number of columns, etc. Now, using different conditions, the various matrix types are categorized along with their definition.

1. Row Matrix
2. Column Matrix
3. Null Matrix
4.  Square Matrix
5. Diagonal Matrix
6. Upper Triangular Matrix
7. Lower Triangular Matrix
8. Symmetric Matrix
9. Anti- Symmetric Matrix
10. Equal Matrix
11. Singular Matrix
12. Non Singular Matrix
13. Horizontal Matrix
14. Vertical Matrix
15. Unity or identity Matrix.

Row Matrix: A Matrix having only one row is called a Row Matrix. A= [a_ij]_mxn  is a row matrix , if m=1 then row matrix is represented as A= [a_ij]_1xn . It has only one row and the order of a matrix will be 1 x n. For example, A= [1 2 4 5] is row matrix of order 1 x 4.

Column Matrix: A Matrix having only one column is called a Column Matrix. A= [a_ij]_mxn  is a column matrix, if n=1 then column matrix is represented as A= [a_ij]_mx1 . It has only one column and the order of a matrix will be m x 1. Just like row matrices had only one row, column matrices have only one column. Thus the value of the column matrix will be 1.

Null Matrix: Null Matrix is also called Zero Matrix. In a matrix all the elements are zero then it is called a Zero Matrix or Null Matrix and it is generally denoted by 0. Thus, A = [a_ij]_mxn is a Zero or Null Matrix.

Unity or Identity Matrix: If a square matrix has all elements 0 and each diagonal element is non-zero, it is called an identity matrix. It is denoted by I.

Equal Matrix: If two matrices are said to be equal if they are same order if their corresponding elements are equal to the square matrix.

Square Matrix: If the number of rows and the number of columns in a matrix are equal, then it is called Square Matrix.

How to find Order of a Matrix?

A Two- Dimensional matrix consists of the number of rows (m) and a number of columns (n). The order of the matrix is equal to m x n (also pronounced as ‘m by n’).

Order of Matrix = Number of Rows x Number of Columns.

In the above, you can see, the matrix has 2 rows and 4 columns. Therefore, the order of the matrix is 2 x 4.

How will you Determine the Order of Matrix?

If a matrix has m number of rows and n number of columns, now let’s know how to find the order of the matrix.

Here few examples, how to find the order of a matrix,

[1  2  3] is an example, in this, the order of the matrix is (1 x 3), which means the number of rows (m) is 1 and the number of columns (n) is 3.

[7  5] is an example of (1 x 2) matrix, in this number of rows are (m) is 1 and number of columns (n) is 2.
( A =left[
begin{matrix}
6 & 2 & 3cr
12 & 15 & 35 cr
end{matrix}
right]
)

The order of the above matrix is (2 x 3), in this number of rows is (m) is 2, and the number of columns (n) is 3.

A matrix of the order m x n has mn elements. Hence we say that if the number of elements in a matrix is prime, then it must have one row or one column. Usually, we denote a matrix by using capital letters such as A, B, C, D, M, N, X, Y, Z, etc.

The product of m and n can be obtained in more than one ways, some of the ways are,

1. mn x 1
2. 1 x mn
3. m x n
4. n x m

Number of Elements in Matrix

Suppose, A is the order of 2 x 3. Therefore, the number of elements present in a matrix will also be 2 times 3, i.e 6.

Similarly, the other matrix order is 4 x 3, thus the number of elements will be 12 i.e. 4 times 3. If we know the order of a matrix, we can easily determine the total number of elements that the matrix has,

If a matrix is of m x n order, it will have mn element.

Order of a Matrix Examples

Example 1.

If matrix A has an 8 number of elements, then determine the order of the matrix.

Solution:

We know that number of elements is 8

Let’s write all the possible factors of the number 8

8 = 1 x 8

8 = 4 x 2

8 = 2 x 4

8 = 8 x 1

we can get the number 8 is four ways.

Therefore, there are four possible ways or orders of the matrix with 8 number of elements are 1 x 8, 2 x 4, 4 x 2, and 8 x 1.

Example 2.

If a matrix X has 7 number of elements, find the order of the matrix.

Solution:

We know that number of elements is 7

Let’s write all the possible factors of the number 7

7 = 1 x 7

7= 7 x 1

we can get the number 7 in two ways.

Therefore, there are two possible ways or orders of the matrix with 7 number of elements are 1 x 7, 7 x 1.

Example 3.

What is the order of a matrix given below?

( A =left[
begin{matrix}
1 & 2 & 9cr
18 & 12 & 15 cr
end{matrix}
right]
)

Solution:

The number of rows in a given matrix is A = 2

The number of columns in a given matrix is A = 3

Therefore, the order of matrix is  2 x 3.

Example 4.

What is the order of a matrix given below?

( A =left[
begin{matrix}
4 & 5 & 7cr
11 & 14 & 18 cr
21 & 24 & 8 cr
end{matrix}
right]
)

Solution:

The number of rows in a given matrix is A = 3

The number of columns in a given matrix is A = 3

Therefore, the order of the matrix is 3 x 3.

FAQ’s on Order of Matrix

1. What is Matrix and Types?

A Matrix can be defined as a rectangular array of numbers or functions. A matrix consists of rows (m) and columns (n) that is m x n. Types of Matrices are :

1. Row Matrix
2. Column Matrix
3. Null Matrix
4. Equal Matrix
5. Unity or Identity Matrix
6. Square Matrix
7. Rectangular Matrix
8. Horizontal Matrix
9. Vertical Matrix
10. Scalar Matrix

2. What is the Null Matrix?

Null Matrix is also called Zero Matrix. In a matrix all the elements are zero then it is called a Zero Matrix or Null Matrix and it is generally denoted by 0. Thus, A = [a_ij]_mxn is a Zero or Null Matrix.

3. What is another name of Unity Matrix?

Another name of the unity matrix is Identity Matrix. If a square matrix has all elements 0 and each diagonal element is non-zero, it is called an Identity Matrix. It is denoted by I.

4. What is the order of Square Matrix?

A Matrix that has a number of rows is equal to a number of columns is called Square Matrix. In this matrix, all the elements are arranged in m number of rows and n number of columns . So the order of the matrix is denoted by mxn.

5. Explain a Scalar Matrix?

Scalar Matrix is similar to a square matrix. In the scalar matrix, all off-diagonal elements are equal to zero and all on diagonal elements happen to be equal. In other words, the Scalar Matrix is an identity matrices multiple.

Содержание:

Определение: Матрицей называется таблица чисел (выражений), имеющая m строк и n столбцов:

В дальнейшем будем писать матрицу в сокращенном виде

Определение: Если матрица содержит 1 строку и n столбцов, то она называется матрицей-строкой

Определение: Если матрица содержит m строк и 1 столбец, то она называется матрицей-столбцом

Пример:

Следующие таблицы являются матрицами

Определение: Матрица, у которой совпадает количество столбцов с количеством строк, называется квадратной.

Всякой квадратной матрице соответствует определитель, составленный из тех же матричных элементов, который в теории матриц называется детерминантом матрицы

Определение: Транспонированной к исходной квадратной матрице называется такая матрица, строки которой заменены на соответствующие столбцы, а столбцы — на соответствующие строки.

Замечание: Согласно свойству 1. для определителей (см. Лекцию № 1) для квадратных матриц детерминант исходной матрицы равен детерминанту транспонированной матрицы.

Определение: Матрицу, у которой все элементы, стоящие под главной диагональю равны нулю, будем называть треугольной

Определение: Матрица, все элементы которой равны нулю, за исключением элементов, стоящих на главной диагонали, называется диагональной

Определение: Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой на главной диагонали все элементы равны единице, а остальные элементы равны нулю:

Действия над матрицами

1. Суммой (разностью) двух матриц и одинаковой структуры называется матрица той же размерности элементы которой вычисляются по формуле:

Пример:

Найти сумму (разность) матриц

Решение:

Из приведенных матриц складывать (вычитать) можно только матрицы А и С, которые имеют одинаковую структуру. Найдем сумму:

и разность этих матриц:

2. При умножении вещественного числа k на матрицу все элементы матрицы умножаются на это число.

Пример:

Умножить (-2) на матрицу

Решение:

Результат умножения имеет вид

3. Произведением матриц и называется матрица элементы которой вычисляются по формуле:

Замечание: Перемножать можно лишь те матрицы, для которых количество столбцов первой перемножаемой матрицы совпадает с количеством строк второй перемножаемой матрицы. Матрица, получаемая в результате перемножения, имеет количество строк равное количеству строк первой матрицы и количество столбцов равное количеству столбцов второй матрицы.

Пример:

Найти (возможные) произведения матриц

Решение:

Матрица А имеет структуру 2×3, матрица В — 2×2, матрица С — 3×2. Согласно определению можно найти произведения Не существуют произведения Вычислим произведение Прежде всего, определим структуру результирующей матрицы: имеем размерности и убирая подчеркнутые цифры, получим структуру результирующей матрицы 2×3. Вычислим ее элементы. Для того чтобы найти элементы возможных произведений, надо просуммировать произведения элементов строки первой матрицы на соответствующие элементы столбца второй матрицы:

Остальные возможные произведения найти самостоятельно.

Замечание: Из приведенного примера видно, что в общем случае произведение матриц некоммутативно (неперестановочно), т. е.

Определение: Обратной матрицей к исходной квадратной матрице называется матрица той же структуры, произведение которой с матрицей А коммутативно и равно единичной матрице, то есть

Рассмотрим схему построения обратной матрицы

Замечание: Обращаем внимание на то, что матрица алгебраических дополнений записана в транспонированном виде.

Пример:

Найти обратную матрицу к матрице

Решение:

Вычислим детерминант данной матрицы раскроем этот определитель по элементам первой строки:

Вычислим алгебраические дополнения всех элементов определителя: Запишем обратную матрицу

Проверим правильность нахождения обратной матрицы, для чего воспользуемся ее определением. Умножим найденную матрицу на исходную матрицу, вычислим элементы результирующей матрицы

Таким образом, т.е. найдена верно.

Основные сведения о матрицах

Понятие матрицы и основанный на нем раздел математики — матричная алгебра — имеют чрезвычайно важное значение для экономистов. Объясняется это тем, что значительная часть математических моделей экономических объектов и процессов записывается в достаточно простой, а главное — компактной матричной форме.

Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Матрицы обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита, например, А, В, С, …, а для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с двойной индексацией: , где — номер строки, — номер столбца.

Например, матрица

или, в сокращенной записи,

Например, Наряду с круглыми скобками используются и другие обозначения матрицы:

Две матрицы А и В одного размера называются равными, если они совпадают поэлементно, т.е. для любых

С помощью матриц удобно записывать некоторые экономические зависимости. Например, таблица распределения ресурсов по отдельным отраслям экономики (усл. ед.)

может быть записана в компактной форме в виде матрицы распределения ресурсов по отраслям:

В этой записи, например, матричный элемент показывает, сколько электроэнергии потребляет промышленность, а элемент — сколько трудовых ресурсов потребляет сельское хозяйство.

Виды матриц

Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором)-строкой, а из одного столбца — матрицей (вектором)-столбцом: — матрица-строка;

— матрица-столбец.

Матрица называется квадратной -го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно .

Например, — квадратная матрица третьего порядка.

Элементы матрицы , у которых номер столбца равен номеру строки , называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы. Для квадратной матрицы главную диагональ образуют элементы

Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной. Например,

—диагональная матрица третьего порядка.

Если у диагональной матрицы -го порядка все диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной матрицей -го порядка, она обозначается буквой Е.

Например,— единичная матрица третьего порядка.

Матрица любого размера называется нулевой, или нуль-матрицей, если все ее элементы равны нулю:

Операции над матрицами

Над матрицами, как и над числами, можно производить ряд операций, причем некоторые из них аналогичны операциям над числами, а некоторые — специфические.

Умножение матрицы на число

Произведением матрицы А на число называется матрица элементы которой для

Например, если , то

Следствие. Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

Например,

В частности, произведение матрицы А на число 0 есть нулевая матрица, т.е.

Сложение матриц

Суммой двух матриц А и В одинакового размера называется матрица , элементы которой для (т.е. матрицы складываются поэлементно).

Например,

В частном случае A + 0 = A.

Вычитание матриц

Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие операции:

Умножение матриц

Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда произведением матриц называется такая матрица, каждый элемент которой равен сумме произведений элементов -й строки матрицы А на соответствующие элементы -го столбца матрицы В:

Пример №1

Вычислить произведение матриц , где

Решение:

1. Найдем размер матрицы-произведения (если умножение матриц возможно):

2. Вычислим элементы матрицы-произведения С, умножая элементы каждой строки матрицы А на соответствующие элементы столбцов матрицы В следующим образом:

Получаем ►

Многие свойства, присущие операциям над числами, справедливы и для операций над матрицами (что следует из определений этих операций):

этом случае матрица А называется согласованной с матрицей В.

Однако имеются и специфические свойства матриц. Так, операция умножения матриц имеет некоторые отличия от умножения чисел:

а)Если произведение матриц существует, то после перестановки сомножителей местами произведения матриц может и не существовать. Действительно, в примере 1.1 получили произведение матриц , а произведения не существует, так как число столбцов первой матрицы не совпадает с числом строк второй матрицы.

б)Если даже произведения и существуют, то они могут быть матрицами разных размеров.

Пример №2

Найти произведения матриц и :

Решение:

► в) В случае, когда оба произведения и существуют и оба — матрицы одинакового размера (это возможно только при умножении квадратных матриц А и В одного порядка), коммутативный (переместительный) закон умножения, вообще говоря, не выполняется, т.е.

Пример №3

Найти произведения матриц и , где

Решение:

В частном случае коммутативным законом обладает произведение любой квадратной матрицы А -гo порядка на единичную матрицу Е того же порядка, причем это произведение равно А:

Таким образом, единичная матрица играет при умножении матриц ту же роль, что и число 1 при умножении чисел.

г) Произведение двух ненулевых матриц может равняться нулевой матрице, т.е. из того, что , не следует, что или,. Например,

Возведение в степень

Целой положительной степенью квадратной матрицы называется произведение матриц, равных , т.е.

Заметим, что операция возведения в степень определяется только для квадратных матриц.

По определению полагают Нетрудно показать, что

Пример №4

Найти , где

Решение:

Обращаем внимание на то, что из равенства еще не следует, что матрица ►

Транспонирование матрицы

Транспонирование матрицы — переход от матрицы к матрице , в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Матрица называется транспонированной относительно матрицы : Из определения следует, что если матрица имеет размер , то транспонированная матрица имеет размер .

Например,

В литературе встречаются и другие обозначения транспонированной матрицы, например, .

Свойства операции транспонирования:

Рекомендуем читателю доказать их самостоятельно. Рассмотренные выше операции над матрицами позволяют упростить решения некоторых экономических задач.

Пример №5

Предприятие выпускает продукцию трех видов: и использует сырье двух типов: . Нормы расхода сырья характеризуются матрицей

где каждый элемент показывает, сколько единиц сырья

-го типа расходуется на производство единицы продукции -го вида. План выпуска продукции задан матрицей-строкой , стоимость единицы каждого типа сырья (ден. ед.) — матрицей-столбцом

Определить затраты сырья, необходимые для планового выпуска продукции, и общую стоимость сырья.

Решение:

Затраты 1-го сырья составляют ед. и 2-го — ед., поэтому матрица-строка затрат сырья может быть записана как произведение

Тогда общая стоимость сырья ден. ед. может быть записана в матричном виде Общую стоимость сырья можно вычислить и в другом порядке: вначале вычислим матрицу стоимостей затрат сырья на единицу продукции, т.е. матрицу

а затем общую стоимость сырья

На данном примере мы убедились в выполнении свойства 7 (см. с. 13) — ассоциативного закона произведения матриц:

Определители квадратных матриц

Необходимость введения определителя — числа, характеризующего квадратную матрицу , — тесно связана с решением систем линейных уравнений (см. гл. 2). Определитель матрицы обозначается или

Определителем матрицы первого порядка , или определителем первого порядка, называется элемент :

Например, пусть тогда

Определителем матрицы второго порядка , или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

Произведения а и называются членами определителя второго порядка. Например, пусть тогда

Пусть дана квадратная матрица третьего порядка: Определителем матрицы третьего порядка , или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

Это число представляет алгебраическую сумму, состоящую из 6 слагаемых, или 6 членов определителя. В каждое слагаемое входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы. Знаки, с которыми члены определителя входят в формулу (1.4), легко запомнить, пользуясь схемой (рис. 1.1), которая называется правилом треугольников или правилом Сарруса.

Пример №6

Вычислить определитель третьего порядка

Решение:

►

Для того чтобы ввести понятие определителя более высокого порядка, потребуются некоторые дополнительные понятия. Рассмотрим квадратную матрицу -гo порядка:

Из общего числа элементов этой матрицы выберем набор, содержащий элементов, таким образом, чтобы в него входило по одному элементу из каждой строки и каждого столбца. Например, набор элементов или соответственно главной и побочной диагоналей матрицы.

Любой такой набор можно упорядочить, записав сначала элемент из 1-й строки, затем из 2-й и т.д., т.е.

Номера столбцов образуют при этом перестановку из чисел: Всего существует различных перестановок из натуральных чисел.

Введем понятие беспорядка, или инверсии, в перестановке Это наличие пары чисел, в которой большее число предшествует меньшему. Например, в перестановке из трех чисел имеется одна инверсия (2; 1), а в перестановке — три: (3; 2), (3; 1), (2; 1). Обозначим через количество инверсий в перестановке

Возвращаясь к наборам (1.5) из элементов матрицы мы можем каждому такому набору поставить в соответствие произведение его элементов:

и число , равное количеству инверсий в перестановке из номеров соответствующих столбцов.

Определение. Определителем квадратной матрицы -го порядка, или определителем -го порядка, называется число, равное алгебраической сумме членов, каждый из которых является произведением элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем знак каждого члена определяется как , где — число инверсий в перестановке из номеров столбцов элементов матрицы, ест при этом номера строк записаны в порядке возрастания:

где сумма берется по всем перестановкам Проверим, например, что при мы получаем введенный ранее определитель третьего порядка (1.4):

то же число, что и по формуле (1.4).

Заметим, что с ростом резко увеличивается число членов определителя поэтому даже для использование формулы (1.7) весьма трудоемко (получим 24 слагаемых!).

На практике при вычислении определителей высоких порядков используют другие формулы. Для их рассмотрения необходимо ввести новые понятия.

Пусть дана квадратная матрица -го порядка.

Минором элемента матрицы -го порядка называется

определитель матрицы -го порядка, полученной из матрицы вычеркиванием -й строки и го столбца.

Например, минором элемента матрицы третьего порядка будет: Каждая матрица -го порядка имеет миноров -го порядка.

Алгебраическим дополнением элемента матрицы -го порядка называется его минор, взятый со знаком

т.е. алгебраическое дополнение совпадает с минором, когда сумма номеров строки и столбца — четное число, и отличается от минора знаком, когда — нечетное число.

Например,

Пример №7

Найти алгебраические дополнения всех элементов матрицы (из примера 1.6):

Решение:

Важное значение для вычисления определителей имеет следующая теорема.

Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

(разложение по элементам -й строки; );

(разложение по элементам -го столбца; ).

Убедимся в справедливости теоремы Лапласа на примере определителя матрицы третьего порядка. Разложим его вначале по элементам первой строки:

Точнее данная теорема является частным случаем теоремы Лапласа.

После преобразований (представляем их сделать читателю) нетрудно убедиться в том, что полученное выражение совпадает с определением (1.4). Аналогичный результат получаем разложением определителя матрицы по любой строке или столбцу.

Пример №8

Вычислить определитель треугольной матрицы:

Решение:

Раскладывая по первому столбцу, получаем:

На частном примере мы убедились в том, что определитель треугольной (и, очевидно, диагональной) матрицы равен произведению элементов главной диагонали.

Значение теоремы Лапласа состоит в том, что позволяет свести вычисление определителей -го порядка к вычислению более простых определителей -го порядка.

Свойства определителей

1. Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей, то ее определитель равен 0.

2. Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число , то ее определитель умножится на это число .

Пусть определитель исходной матрицы равен . Для определенности первую строку матрицы умножим на , получим новый определитель , который разложим по элементам первой строки:

Замечание. За знак определителя можно выносить общий множитель элементов любой строки или столбца в отличие от матрицы, за знак которой можно выносить общий множитель лишь всех ее элементов. Например, , но

3. При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется:

4. При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.

□ Предположим вначале, что переставлены две соседние строки матрицы: Разложим определитель исходной матрицы по элементам -й строки, а определитель новой матрицы (с переставленными строками) — по элементам -й строки. Разложения будут отличаться только знаком, так как в формуле (1.9) для каждое алгебраическое дополнение будет иметь противоположный знак (множители сменятся на множители , поэтому

Если переставить не соседние строки, а, скажем, -ю и -ю, то такую перестановку можно представить как последовательное смещение -й строки на строк вниз (при этом каждый раз знак определителя меняется), -й строки на вверх, что тоже сопровождается изменением знака, т.е. знак поменяется нечетное число раз: .

Доказательство для столбцов аналогично.

Квадратная матрица называется треугольной, если все ее элементы, расположенные ниже (или выше) главной диагонали, равны нулю.

5. Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки {столбца), то ее определитель равен 0.

□Действительно, переставим эти строки (столбцы). С одной стороны, определитель не изменится, но, с другой стороны, по свойству 4 поменяет знак, т.е. , откуда

6. Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен 0.

□ Пусть для определенности пропорциональны первая и вторая строки. Тогда, вынося коэффициент пропорциональности , получаем по свойству , где имеет две одинаковые строки и по свойству 5 равен 0.

7. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна 0, т.е.

Рассмотрим квадратную матрицу и вспомогательную матрицу , полученную из матрицы заменой -й строки на -ю:

т.е. матрица имеет две одинаковые строки, поэтому согласно свойству 5 ее определитель равен 0. Вычисляя его разложением по элементам -й строки, получаем:

Замечание. Объединяя результат теоремы Лапласа и свойство 7, получаем:

8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число.

Пусть для определенности к элементам -Й строки матрицы прибавим элементы -й строки, умноженные на Тогда первая строка матрицы имеет вид: Определитель полученной матрицы вычислим разложением по элементам -й строки:

где — алгебраические дополнения элементов -й строки исходной матрицы Раскроем скобки и получим после преобразования:

Используя формулу (1.12), получаем, что первая сумма равна определителю исходной матрицы, а вторая — 0, т.е.

9. Сумма произведений произвольных чисел на алгебраические дополнения элементов любой строки (столбца) равна определителю матрицы, полученной из данной заменой элементов этой строки (столбца) на числа .

Свойство вытекает непосредственно из теоремы Лапласа.

10. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей: где —матрицы -го порядка.

Замечание. Из свойства 10 следует, что даже если то

Перечисленные свойства определителей позволяют существенно упростить их вычисление, особенно для определителей высоких порядков. При вычислении определителей целесообразно так преобразовать исходную матрицу с помощью свойств 1—9, чтобы преобразованная матрица имела строку (или столбец), содержащую как можно больше нулей, а потом найти определитель разложением по этой строке (столбцу).

Пример №9

Вычислить определитель четвертого порядка:

Решение:

Преобразуем матрицу так, чтобы в 3-й строке все элементы, кроме одного, обращались в 0. Для этого умножим, например, элементы 3-го столбца на (-4) и на 2 и прибавим их соответственно к элементам 1-го и 2-го столбцов. Раскладывая полученный определитель по элементам третьей строки, найдем Полученный определитель третьего порядка можно вычислить по правилу треугольников или с помощью теоремы Лапласа, однако можно продолжить упрощение матрицы. «Обнулим» в матрице третьего порядка элементы 2-й строки (кроме одного). Для этого элементы 3-го столбца матрицы, предварительно умножив на (—13) и на 4, сложим с элементами 1-го и 2-го столбцов соответственно:

Раскладывая по элементам множители, получаем:

Обратная матрица

Для каждого числа существует обратное число такое, что произведение Для квадратных матриц тоже вводится аналогичное понятие.

Определение. Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице , если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица:

Из определения следует, что только квадратная матрица имеет обратную; в этом случае и обратная матрица является квадратной того же порядка.

Однако не каждая квадратная матрица имеет обратную. Если является необходимым и достаточным условием существования числа то для существования матрицы таким условием является требование

Если определитель матрицы отличен от нуля то такая квадратная матрица называется невырожденной, или неособенной; в противном случае (при )— вырожденной, или особенной.

Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Обратная матрица существует (и единственна) тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная.

Необходимость. Пусть матрица имеет обратную , т.е . По свойству 10 определителей имеем

Достаточность. Пусть Рассмотрим квадратную матрицу -го порядка, называемую присоединенной*, элементы которой являются алгебраическими дополнениями элементов матрицы , транспонированной к Тогда элементы произведения матриц определяются по правилу умножения матриц: Поэтому матрица является диагональной, элементы ее главной диагонали равны определителю исходной матрицы:

Аналогично доказывается, что произведение на равно той же матрице Отсюда следует, что если в качестве обратной матрицы взять матрицу.

то произведения и равны единичной матрице -го порядка:

Докажем единственность обратной матрицы. Предположим, что существуют еще матрицы такие, что и , где матрица получена по формуле (1.14), и выполняются равенства: и . Тогда, умножая наслева первое из них, получаем: , откуда , т.е. . Аналогично, умножая второе равенство на справа, получаем . Единственность доказана.

Алгоритм вычисления обратной матрицы:

Пример №10

Найти матрицу, обратную к данной:

Решение:

1°. Определитель матрицы (см. пример 1.6), т.е. матрица — невырожденная и обратная матрица существует.

2°. Находим матрицу , транспонированную к :

3°. Находим алгебраические дополнения элементов матрицы и составляем из них присоединенную матрицу , учитывая, что

4° . Вычисляем обратную матрицу

5°. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы по формулам:

(рекомендуем в этом убедиться самому читателю). ►

Для невырожденных матриц выполняются следующие свойства:

Ранг матрицы

Для решения и исследования ряда математических и прикладных задач важное значение имеет понятие ранга матрицы.

В матрице размера вычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно вычленить квадратные подматрицы -то порядка, где . Определители таких подматриц называются минорами -го порядка матрицы .

Например, из матрицы можно получить подматрицы первого, второго и третьего порядков.

Определение. Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Ранг матрицы обозначается или

Из определения следует: а) ранг матрицы не превосходит меньшего из ее размеров, т.е. ;

б) тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т.е. ;

в) для квадратной матрицы -го порядка тогда и только тогда, когда матрица — невырожденная.

Пример №11

Вычислить ранг матрицы

Решение:

Матрица имеет четвертый порядок, поэтому Однако так как матрица содержит нулевой столбец, поэтому Все подматрицы третьего порядка тоже содержат нулевой столбец и поэтому имеют нулевые определители, значит Все подматрицы второго порядка либо имеют нулевой столбец (второй или четвертый), либо имеют пропорциональные столбцы (первый и третий), поэтому тоже имеют нулевые определители; таким образом Поскольку матрица содержит ненулевые элементы, т.е. невырожденные подматрицы первого порядка, то . ►

Пример №12

Вычислить ранг матрицы

Решение:

Для матрицы .

Проверим, равен ли ранг 3-м, для этого вычислим все миноры третьего порядка, т.е. определители всех подматриц третьего порядка (их всего 4, они получаются при вычеркивании одного из столбцов матрицы):

Поскольку все миноры третьего порядка нулевые, Так как существует ненулевой минор второго порядка, например,

►

В общем случае определение ранга матрицы перебором всех миноров достаточно трудоемко. Для облегчения этой задачи используются преобразования, сохраняющие ранг матрицы.

Назовем элементарными преобразованиями матрицы следующие:

1. Отбрасывание нулевой строки (столбца).
2. Умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное нулю.
3. Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.
4. Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.
5. Транспонирование матрицы.

Теорема. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

При изучении свойств определителей было показано, что при преобразованиях квадратных матриц их определители либо сохраняются, либо умножаются на число, не равное нулю. В результате сохраняется наивысший порядок отличных от нуля миноров исходной матрицы, т.е. ее ранг не изменяется.

С помощью элементарных преобразований можно привести матрицу к так называемому ступенчатому виду, когда вычисление ее ранга не представляет труда.

Матрица называется ступенчатой, если она имеет вид: где .

Замечание. Условие всегда может быть достигнуто транспонированием матрицы.

Очевидно, что ранг ступенчатой матрицы равен , так как имеется минор -го порядка, не равный нулю:

Покажем на примере алгоритм вычисления ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.

Пример №13

Найти ранг матрицы

Решение:

1°. Если , то при перестановке строк или столбцов добиваемся того, что . В данном примере поменяем местами, например, 1-ю и 2-ю строки матрицы (см. ниже).

2°. Если , то умножая элементы 2-й, 3-й и 4-й строк на подходящие числа (именно на ) и прибавляя полученные числа соответственно к элементам 2-й1, 3-й и 4-й строк, добьемся того, чтобы все элементы 1-го столбца (кроме ) равнялись нулю:

3°. Если в полученной матрице (у нас ), то умножая элементы 3-й и 4-й строк на подходящие числа (а именно, на ), добьемся того, чтобы все элементы 2-го столбца (кроме ) равнялись нулю. Если в процессе преобразований получаются строки (или столбцы), целиком состоящие из нулей (как в данном примере), то отбрасываем эти строки (или столбцы):

Последняя матрица имеет ступенчатый вид и содержит миноры второго порядка, не равные нулю, например,

Поэтому ранг полученной ступенчатой, а следовательно, и данной матрицы равен 2. ►

Для рангов матриц справедливы следующие соотношения:

5) если — квадратная матрица и

6) где — число столбцов матрицы или строк матрицы .

Понятие ранга матрицы тесно связано с понятием линейной зависимости (независимости) ее строк или столбцов.

матрице обозначим ее строки следующим образом:

Две строки матрицы называются равными, если равны их соответствующие элементы: , если

Арифметические операции над строками матрицы (умножение строки на число, сложение строк) вводятся как операции, проводимые поэлементно:

Строка е называется линейной комбинацией строк матрицы, если она равна сумме произведений этих строк на произвольные действительные числа:

где — любые числа.

Строки матрицы называются линейно зависимыми, если существуют такие числа .т, не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке:

где 0 = (0 0…0).

Линейная зависимость строк матрицы означает, что хотя бы одна строка матрицы является линейной комбинацией остальных.

Действительно, пусть для определенности в формуле (1.17) , тогда

где

Таким образом, строкаявляется линейной комбинацией остальных строк.

Если линейная комбинация строк (1.17) равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты равны нулю, т.е. , то строки называются линейно независимыми.

Теорема о ранге матрицы. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные ее строки {столбцы).

Пусть матрица размера имеет

Это означает, что существует отличный от нуля минор -го порядка. Всякий ненулевой минор -го порядка будем называть базисным минором. Пусть для определенности это минор

Тогда строки матрицы линейно независимы. Действительно, предположим противное, т.е. одна из этих строк, например , является линейной комбинацией остальных:

Вычтем из элементов -й строки элементы 1-й строки, умноженные на , элементы 2-й строки, умноженные на , и т.д., наконец, элементы -й строки, умноженные на . На основании свойства 8 (см. § 1.4) при таких преобразованиях матрицы ее определитель не изменится, но так как теперь г-я строка будет состоять из одних нулей, то — противоречие, и наше предположение о том, что строки матрицы линейно зависимы, неверно.

Строки назовем базисными.

Покажем, что любые строк матрицы линейно зависимы, т.е. любая строка выражается через базисные.

Рассмотрим минор -го порядка, который получается

при дополнении рассматриваемого минора элементами еще одной строки и столбца

Этот минор равен нулю, так как ранг матрицы равен , поэтому любой минор более высокого порядка равен нулю.

Раскладывая его по элементам последнего (добавленного) столбца, получаем , где последнее алгебраическое дополнение совпадает с базисным минором и поэтому отлично от нуля, т.е. .

Разделив последнее равенство на , можем выразить элемент как линейную комбинацию:

где

Фиксируем значение и получаем, что для любого элементы -й строки линейно выражаются через элементы строк т.е. -я строка есть линейная комбинация базисных:

Теорема о ранге матрицы играет принципиальную роль в матричном анализе, в частности при исследовании систем линейных уравнений.

Матрицы в линейной алгебре

Прямоугольная таблица:

(9.1)

состоящая из m строк и n столбцов, называется матрицей размера m х n или (n,m)-матрицей.

Матрицу (9.1) будем обозначать А или . Числа называются элементами матрицы, индекс i обозначает номер строки, а индекс j — номер столбца, на пересечении которых расположен элемент.

Если m = n, то матрица (9.1) называется квадратной матрицей порядка n.

В квадратной матрице n-го порядка диагональ, состоящая из элементов называется главной диагональю, состоящая из элементов а,п, — побочной диагональю.

Квадратная матрица:

называется диагональной. Если в диагональной матрице все диагональные элементы равны, т.е. , то такая матрица называется скалярной. Скалярная матрица, у которой называется единичной и обозначается буквой Е. Например, единичная матрица третьего порядка:

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается через 0.

Матрицы А и В называются равными, если их размеры одинаковы и элементы этих матриц, стоящие на одинаковых местах, равны.

Операции над матрицами

Суммой двух матриц одинакового размера называется матрица того же размера с элементами, равными суммам соответствующих элементов слагаемых матриц, т.е.

Сложение матриц обладает следующими свойствами:

1. Коммутативность, т.е. А + В = В + А.
2. Ассоциативность, т.е. (А + B)+ С = А + (В + С).
3. Для любых двух матриц А и В одинакового размера существует единственная матрица X такая, что А + X = В. Матрица X обозначается X = В-А и называется разностью матриц В и А. Урав-=нение А + Х = 0 имеет решение Х = 0-А, получающаяся при этом матрица называется противоположной А и обозначается — А.

Произведением матрицы на число называется матрица, все элементы которой равны соответствующим элементам матрицы А, умноженным на число .

Умножение матрицы на действительное число обладает следующими свойствами:

Матрица А называется согласованной с матрицей В, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. В этом случае произведением матрицы на матрицу называется матрица

т.е. элемент, стоящий в n -той строке и j-том столбце матрицы произведения равен сумме произведений элементов n’-той строки матрицы А на соответствующие элементы j -го столбца матрицы В.

Свойства умножения:

1. Если матрица А согласована с матрицей В, а матрица В согласована с матрицей С, то А • В• С = (А В)- С = А (В С) — ассоциативность умножения;
2. (А + ВС = АС + ВС, А-(В + С)= АВ + АС — свойство дистрибутивности;
3. Умножение матриц не коммутативно, т.е., как правило,

Транспонированием матрицы А называется операция замены местами строк и столбцов с сохранением порядка их следования, т.е. i-я строка матрицы А становится i -тым столбцом транспонированной матрицы. Матрица, транспонированная к матрице А обозначается .

Свойства транспонирования:

Определитель матрицы

Далее будем рассматривать только квадратные матрицы. Каждой квадратной матрице ставится в соответствие действительное число, называемое определителем матрицы и вычисляемое по определенному правилу.

Определитель матрицы естественно возникает при решении систем линейных уравнений, или в свернутой форме , или в свернутой форме

Предыдущая формула получается разложением определителя по первой строке.

Возьмем теперь квадратную матрицу n -го порядка

Для записи определителя n-го порядка матрицы А будем применять обозначения . При n = 1 матрица A состоит из одного элемента и ее определитель равен этому элементу. При n = 2 получаем определитель

Минором элемента матрицы A называют определитель матрицы (n-1)-го порядка, получаемого из матрицы Л вычеркиванием i-той строки и j-го столбца.

Пример №14

Найти минор матрицы:

По определению, минор элемента есть определитель матрицы, получаемой из матрицы А вычеркиванием первой строки и второго столбца. Следовательно,

Алгебраическим дополнением элемента матрицы А называется минор взятый со знаком Алгебраическое дополнение элемента обозначается следовательно,

Пример №15

Найти алгебраическое дополнение элемента , матрицы А из примера 7.

Определителем квадратной матрицы А n-го порядка называется число:

где аи — элементы первой строки матрицы (9.2), а их алгебраические дополнения .

Запись по формуле (9.3) называется разложением определителя но первой строке.

Рассмотрим свойства определителей.

Свойство 1. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется.

Это свойство устанавливает равноправность строк и столбцов определителя, поэтому определение определителя можно сформулировать так:

Определителем квадратной матрицы А n-го порядка называется число:

(9.4)

где — элементы первого столбца матрицы (9.2), а их алгебраические дополнения.

Свойство 2. Если поменять местами две строки или два столбца матрицы А, то ее определитель изменит знак на противоположный.

Свойства 1 и 2 позволяют обобщить формулы (9.3) и (9.4) следующим образом:

Определитель квадратной матрицы n-го порядка (будем в дальнейшем говорить определитель n-го порядка) равен сумме попарных произведений любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Свойство 3. Определитель, y которого две строки или два столбца одинаковы, равен нулю.

Действительно, поменяем в определителе две одинаковые сроки местами. Тогда, по свойству 2 получим определитель , но с другой стороны, определитель не изменится, т.е.. Отсюда.

Свойство 4. Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) определителя умножить на число , то определитель умножится на .

Умножим элементы i-той строки на . Тогда получим определитель:

Следствие 1. Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

Следствие 2. Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.

Свойство 5. Определитель, у которого две строки (два столбца) пронорциональныу равен нулю.

Пусть i-я строка пропорциональна j-ой строке. Вынося коэффициент пропорциональности за знак определителя, получим определитель с двумя одинаковыми строками, который по свойству 3 равен нулю.

Свойство 6. Если каждый элемент строки (столбца) определителя есть сумма двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей: у одного из них i-той строкой (столбцом) служат первые слагаемые, а у другого — вторые.

Разложив определитель по i -той строке получим:

Свойство 7. Определитель не изменится, если к элементам какой-нибудь строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

Прибавив к элементам i-той строки определителя соответствующие элементы j-ой строки, умноженные на число , получим определитель Определитель равен сумме двух определителей: первый есть, а второй равен нулю, так как у него i-тая и j-тая строки пропорциональны.

Свойство 8. Определитель диагональной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали, т.е.:

Свойство 9. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю.

Рассмотрим вспомогательный определитель , который получается из данного определителя заменой j-той строки i-той строкой. Определитель равен нулю, так как у него две одинаковые строки. Разложив его по j-той строке получим:

Большое значение имеет следующий критерий равенства определителя нулю. Определитель квадратной матрицы равен нулю тогда и только тогда когда его строки (столбцы) линейно зависимы.

Строки (столбцы) матрицы называются линейно зависимыми, если одна (один) из них является линейной комбинацией с действительными коэффициентами остальных.

Теорема об определителе произведения двух квадратных матриц. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей этих квадратных матриц, т.е. .

Ранг матрицы

Рангом матрицы называется наибольший порядок ее миноров, отличных от нуля. Ранг матрицы А обозначают rankA или rА.

Если все миноры порядка к данной матрицы равны нулю, то все миноры более высокого порядка данной матрицы также равны нулю. Это следует из определения определителя. Отсюда вытекает алгоритм нахождения ранга матрицы.

Если все миноры первого порядка (элементы матрицы А) равны нулю, то rankA = 0. Если хотя бы один из миноров первого порядка отличен от нуля, а все миноры второго порядка равны нулю, то rankA = 1. Причем, достаточно просмотреть только те миноры второго порядка, которые окаймляют ненулевой минор первого порядка. Если найдется минор второго порядка отличный от нуля, исследуют миноры третьего порядка, окаймляющие ненулевой минор второго порядка. Так продолжают до тех пор, пока не придут к одному из двух случаев: либо все миноры порядка к, окаймляющие ненулевой минор (A-l)-ro порядка равны нулю, либо таких миноров нет. Тогда rankA = к -1.

Пример №16

Вычислить ранг матрицы

Минор первого порядка (элемент ) отличен от нуля. Окаймляющий его минор тоже не равен нулю.

Далее рассмотрим миноры, окаймляющие минор М :

Все эти миноры равны нулю, значит rankA = 2. Приведенный алгоритм нахождения ранга матрицы не всегда удобен, поскольку связан с вычислением большого числа определителей. Наиболее удобно пользоваться при вычислении ранга матрицы элементарными преобразованиями, при помощи которых матрица приводится к столь простому виду, что очевидно, чему равен ее ранг.

Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие преобразования:

• > умножение какой-нибудь строки (столбца) матрица на число, отличное от нуля;
• > прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на произвольное число.

Полужордановым преобразованием строк матрицы:

с разрешающим элементом называется следующая совокупность преобразований со строками матрицы:

• > k первой строке прибавить k-ю, умноженную на число и т.д.;

> k последней строке прибавить k — го, умноженную на число После выполнения этих преобразований получается матрица:

Полужордановым преобразованием столбцов матрицы с разрешающим элементом называется следующая совокупность преобразований со столбцами матрицы:

После выполнения этих преобразований получается матрица:

Полужорданово преобразование строк или столбцов квадратной матрицы не изменяет ее определителя. Элементарные преобразования матрицы не изменяют ее ранга. Покажем на пример, как вычислить ранг матрицы, пользуясь элементарными преобразованиями.

Пример №17

Вычислить ранг матрицы

Применим к матрице А элементарные преобразования: первую строку матрицы, умноженную на (-3) прибавим ко второй и третьей и ее же вычтем из последней.

Вычитая далее вторую строку из третьей и последней, имеем:

Последняя матрица содержит отличный от нуля минор третьего порядка, определитель же самой матрицы А равен нулю. Следовательно,

Отметим два важных свойства ранга матрицы:

• Ранг матрицы не меняется при ее транспонировании;
• Если ранг матрицы равен г, то любые ее г + 1 строк (столбцов) линейно зависимы.

Обратная матрица

Пусть А — квадратная матрица порядка n. Матрица В называется обратной матрицей к матрице А, если выполняются равенства А-В = В■ А = Е, где Е — единичная матрица порядка n.

Теорема 1. Если для данной матрицы существует обратная матрица, то она единственная.

Пусть — матрицы, обратные к матрице А. Тогда с другой стороны,

Откуда . Обратную матрицу к матрице А обозначают .

Теорема 2. Матрица А имеет обратную матрицу тогда и только тогда, когда .

Пусть А имеет обратную матрицу. Тогда и, применяя теорему об умножении определителей, получаем или

Следовательно, .

Пусть . Укажем явное выражение матрицы через элементы матрицы А, а именно: если , то:

здесь — алгебраическое дополнение к элементу . Матрица (9.5) получается из матрицы А следующим образом. Сначала вместо каждого элемента пишется его алгебраическое дополнение, затем полученная матрица транспонируется и получается т.н. присоединенная матрица. Для получения обратной матрицы присоединенная матрица умножается на величину, обратную

Непосредственное умножение А на матрицу (9.5) слева и справа дает единичную матрицу, что подтверждает, что (9.5) — матрица, обратная к А.

Пример №18

Найти обратную матрицу к матрице

Так как , то существует. Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы А:

Матрицу находим в два приема, согласно формуле (9.5). Сначала запишем матрицу В, состоящую из алгебраических дополнений элементов Затем матрица В транспонируется и умножается на число обратное , в данном случае — на (-1). Окончательно получаем:

Матрица называется неособенной или невырожденной, если ее определитель не равен нулю. Отметим свойства обратных матриц. Если А и В — невырожденные матрицы одинакового порядка, то:

Матрицы и определители

Определение и типы матриц

Определение 3.1.1. Прямоугольная таблица (3.1.1) состоящая из m строк и n столбцов, называется матрицей размером .

Числа называются элементами матрицы. Каждый элемент матрицы имеет два индекса, первый индекс i обозначает номер строки, второй индекс j — номер столбца.

Матрицы удобно обозначать в виде , при . Фигурные (круглые) скобки, двойные прямые вертикальные линии показывают, что — типовой элемент матрицы А, в котором индексы i и j последовательно принимают все значения от 1 до указанных конечных величин.

Превратим в матрице (3.1.1) строки в столбцы, а столбцы в строки, получим матрицу которая называется транспонированной по отношению к А. Если размер А , то размерности . Повторное транспонирование приводит к исходной матрице: .

Пример №19

Рассмотрим матрицу

элементы которой характеризуют зависимость средних розничных цен на автомобили от срока их службы в 1998, 1999 и 2000 гг. Строки матрицы соответствуют продолжительности эксплуатации автомобиля, а столбцы — годам. Содержательное значение каждого элемента матрицы определяется его местом в данном массиве чисел. Например, число 3100 во второй строке и втором столбце, элемент с/22> представляет среднюю розничную цену автомобиля прослужившего два года в 1999 г. Следовательно, числа, записанные в строку, характеризуют цены автомобилей, прослуживших один и гот же срок службы в разные годы 1998-2000 гг., а числа в столбце — цены автомобилей различного срока службы в данном году.

В той мере, в какой это связано с характеристикой цен па автомобили, такой выбор строк матрицы полностью произволен, и мы могли бы сразу же поменять местами строки и столбцы без какой-либо потери информации, получив строки для отдельных лет и столбцы для сроков службы, т.е. получили бы транспонированную матрицу по отношению к матрице Р:

Хотя элементы матрицы те же, что и матрицы Р, обе матрицы не одинаковые. Взаимосвязь этих матриц проявляется в том, что строки матрицы Р являются столбцами матрицы .

Если, элементы матрицы А неотрицательные (положительные) действительные числа , то матрица А называется неотрицательной (положительной) и записывается .

Матрица Р в примере 3.1.1 является положительной матрицей, так как её элементы положительные действительные числа.

Матрица, состоящая из одной строки , называется матрицей-строкой. Матрица, состоящая из одного столбца

называется матрицей-столбцом. Транспонированием переводят матрицу-строку в матрицу-столбец, и наоборот.

Если m=n, то матрица называется квадратной, при этом число строк (столбцов) называется порядком квадратной матрицы.

Рассмотрим некоторые виды квадратных матриц.

Квадратная матрица, у которой все элементы, не стоящие на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной. Она обозначается символом:

Если в диагональной матрице то она называется скалярной. Скалярная матрица, у которой диагональные элементы равны 1, называется единичной:

Квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие ниже главной диагонали, равны нулю, называется верхнетреугольной («матрица А). Аналогично, если в квадратной матрице нулю равны все элементы, стоящие выше главной диагонали, то она называется нижнетреугольной (матрица В).

Например,

Матрица A — верхнеугольная, а В — нижнетреугольная. Квадратная матрица называется ленточной, если все её элементы, не стоящие на главной диагонали и в соседних с ней косых строках, равны нулю. Например,

В ленточной матрице не равные нулю элементы заполняют «ленту», осью которой служит главная диагональ. Ленточная матрица называется модулированной, если в каждой косой строке стоят одинаковые элементы:

Квадратная матрица называется симметрической, если её элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, одинаковы: ; если же, то матрица А называется кососимметрической. Симметрическая матрица совпадает с транспонированной матрицей, т.е. .

Например, матрица, характеризующая влияние факторов на инвестиции и запасы, является симметрической матрицей вида:

Элемент =0,29, характеризующий зависимость использования мощностей и изменения объёмов запасов, совпадает с элементом =0,29, характеризующим зависимость между изменением объёмов запасов и использованием мощностей; элемент =0,15, характеризующий зависимость между изменением общей величины хозяйственных запасов и суммой совокупного оборота с поправкой на сезонность, совпадает с элементом =0,15, характеризующим зависимость между суммой совокупного оборота с поправкой на сезонность и изменением общей величины хозяйственных запасов; элемент =0,71, характеризующий зависимость между степенью использования производственных мощностей и суммой совокупного оборота с поправкой на сезонность, совпадает с элементом =0,71, характеризующим зависимость между суммой совокупного оборота с поправкой на сезонность и степенью использования производственных мощностей.

Очевидно, что транспонированная симметричная матрица равна самой матрице.

Квадратная матрица, у которой на главной диагонали стоит одно и го же число и все элементы одного ряда выше диагонали равны единице, а все другие элементы равны нулю, называется клеткой Жордана:

Матрица, у которой на главной диагонали стоят любые клетки Жордана, а все элементы вне этих клеток равны нулю, называется Жордаповой матрицей. Например, матрица является Жордановой.

Она содержит четыре клетки Жордана: две клетки второго порядка с числом 3 на диагонали, одну клетку третьего порядка с числом нуль на диагонали и одну клетку первого порядка с числом нуль на диагонали.

Из приведенных примеров следует, что понятие матрицы широко используется в экономике. Кроме того, можно подчеркнуть, что планирование производства должно основываться на надлежащим образом упорядоченной системе информации, записанной в виде матрицы, с помощью которой просто и сжато описываются зависимости, имеющие место в материальном производстве. Так, например, планирование на предприятии основывают, пользуясь нормами как системой информации. Если на предприятии производится четыре продукта и для их производства используются материалы , то система норм материальных затрат, которая представляет собой основу плана снабжения, может быть представлена в виде таблицы (матрицы):

где есть норма расхода i-го материала на производство единицы j-го продукта. Так норма расхода материала на производство единицы продукта соответственно равна и т.д.

Можно привести следующий пример использования матриц: два предприятия передают свою продукцию на три оптовых склада, причём расходы на перевозку единицы продукции с предприятия 1 на отдельные склады соответственно равняются 2,3,4; а с предприятия 2 они составляют 1,5,2. Тогда матрица

есть матрица удельных транспортных расходов.

Следует отметить использование матриц в межотраслевом балансе производства (матрица технологических коэффициентов производства), в определении совокупных затрат труда (матрица коэффициентов материальных затрат) и т.д.

Пример №20

Продавец мороженого решает вопрос о том, сколько пакетов мороженого ему следует закупить. К покупке пакетов мороженого он может прибегнуть один раз. Каждый пакет стоит 10 ден.ед. и может быть продан за 12 ден.ед. Пакеты мороженого, оставшиеся не распроданными, никакой стоимости не представляют. Известно, что количество пакетов мороженого, которое он сможет продать, колеблется от 1 до 5. Составим матрицу денежных сумм, выручаемых в зависимости от его решения и от результатов продажи. По строкам расположим результаты того или иного решения продавца мороженого, а по столбцам — возможный исход продаж.

Решение:

Предположим, что продавец мороженого закупает один пакет. Тогда он его продаст и получает прибыль в 2 ден.ед.

Следовательно, первая строка матрицы будет иметь вид: 2 2 2 2 2. Сели он закупит 2 пакета, то продав один, он потеряет 8 ден.ед.; продав 2 пакета, он получит прибыль 4 ден.ед. Следовательно, вторая строка примет вид: -8 4 4 4 4. Рассуждая аналогичным образом, получаем матрицу:

Арифметические операции над матрицами

Матрицы А и В считаются равными, если они одинаковой размерности и всс элементы матрицы А совпадают с соответствующими элементами матрицы В, т.е. выполняются скалярные равенства , которые равносильны равенству А=В.

Определение 3.2.1. Суммой матриц А а В размерности называется матрица S=A+B той же размерности, элементы которой Sik равны суммам соответствующих элементов матриц А и В:

Из определения следует, что складывают матрицы с одинаковыми размерами, при этом сумма будет матрицей с теми же размерами.

Например,

Определение 3.2.2. Произведением матрицы А на скаляр называется матрица той же размерности, что и А, элементы которой получены из элементов матрицы А умножением на . Например,

Матрица (-1)A записывается -А и называется матрицей, противоположной матрице А. Если все элементы матрицы равны нулю, го она называется нуль-матрицей и обозначается 0.

Введенные операции сложения матриц и умножения матрицы на скаляр обладают свойствами:

1. А + В = В + А — (перемсстительный) коммутативный закон.
2. (А + В) + С = А + (B + C);
3. .
4. .
5. .
6. .

Определение 3.2.3. Разностью матриц одинаковой размерности называется матрица той же размерности: , её элементы равны разностям соответствующих элементов матриц А и В: .

Например,

Как и при операции сложения, можно вычитать друг из друга только те матрицы, которые имеют одинаковую размерность.

Прежде чем вводить произведение матриц, рассмотрим произведение векторов. И для пояснения общего метода воспользуемся числовыми примерами.

Предположим, что объем различных продаж за месяц некоторого товара некоторой компании «а» составил 58, 26, 12, 25 единиц за первую, вторую, третью и четвертую недели соответственно, и что цена этого товара по неделям соответственно равна 3, 5, 10, 4 ден.ед. Следовательно, общий доход за месяц от продажи товара равен 58-3 + 26-5+ 12-10 + 25-4 = 524ден.ед. Представим данные

о продажах при помощи матрицы-строки:

а соответствующие цены с помощью матрицы-столбца:

Тогда общий доход от продажи товара, равный 524 ден.ед., представляет собой сумму произведений элементов матрицы-строки A (количество проданного товара по неделям) на соответствующие элементы матрицы-столбца В (цены по неделям на товар):

Приведенный пример помогает уяснить общую методику вычисления произведения матрицы-строки на матрицу-столбец: для этого каждый элемент матрицы-строки А нужно умножить на соответствующий элемент матрицы-столбца В и сложить полученные произведения.

Предположим теперь, что компания «а» имеет отделения в трёх различных регионах. Данные о количестве проданного товара по регионам запишем в виде матрицы С:

Цена по неделям за месяц была такой же. Доход от розничной продажи в первом регионе был вычислен; аналогичные расчёты могут быть произведены и по двум другим регионам:

Представим итоговые данные по выручке в виде матрицы-столбца:

Взглянув на вычисления, можно убедиться в том, что элементы этой матрицы-столбца получаются так же, как и описанное ранее произведение матрицы-строки А на матрицу-столбец В, причем в качестве матрицы-строки А в каждом случае взята последующая строка матрицы С. Полученный результат представляет произведение СВ:

В общем случае произведение матрицы С на матрицу-столбец В, это вектор-столбец,i-Й элемент которого представляет сумму произведений каждого из элементов i-й строки матрицы С на соответствующие элементы вектора-столбца В.

Из этого примера следует, что произведение существует только в том случае, когда число элементов в строках матрицы С (т.е. число столбцов) равно числу элементов, составляющих вектор-столбец В (т.е. числу строк). При соблюдении этого равенства, произведение образует вектор-столбец, содержащий столько элементов, сколько строк насчитывается в матрице С. Следовательно, если в матрице С содержится т строк и q столбцов и порядок матрицы-столбца В равен q, тогда произведение представляет собой матрицу-столбец порядка т, причем i-й элемент этого вектора равен

Аналогичным образом определяется произведение матрицы-строки на матрицу Р. Оно существует в том случае,

если число элементов матрицы-строки D равно числу элементов в столбцах матрицы Р (т.е. равно числу строк этой матрицы). В этом случае произведении образует матрицу-строку, содержащую столько же элементов, сколько столбцов насчитывается в матрице Р. При этом произведение равно , произведение может к не существовать, несмотря на то что, существует произведение , и наоборот.

Пример №21

Пусть матрица

характеризует переход подписчика от одной газеты к другой в зависимости от продолжительности подписки. В этой матрице перехода данные сгруппированы по строкам и столбцам в соответствии с продолжительностью подписки: до одного года, от одного года до двух лет, более двух лет и, наконец, аннулирование подписки. Элементы первой строки характеризуют состояние подписчиков газет с продолжительностью подписки до одного года; второй строки — с продолжительностью подписки от одного года до двух лет; третья строка — с продолжительностью подписки более двух лет; элементы четвертой строки характеризуют аннулирование подписки. Элементы первого столбца характеризуют возможность остаться в категории подписчиков до одного года; элементы второго столбца — возможность продолжить подписку от одного до двух лет, если подписчик имеет продолжительность подписки до одного года; элементы третьего столбца- возможность продолжить подписку более двух лет: элементы четвертого столбца — возможность аннулировать подписку.

Предположим, что известно распределение 5000 подписчиков по продолжительности подписки на газеты: 3000 имеют продолжительность подписки до одного года (категория 1), 800 — имеют продолжительность подписки от одного до двух лет (категория 2), 1200 подписчиков имеют, продолжительность подписки более двух лет (категория 3). Представим эти данные в виде матрицы-строки Q =.

Для того чтобы определить возможное количество подписчиков в каждой из этих категорий через год, умножим матрицу-строку Q на матрицу Р:

Матрица-строка, полученная в результате умножения, показывает, что из I категории через год возможно 2100 подписчиков будут принадлежать к категории II, 1720- к категории III, и 1180 возможно аннулируют подписку.

Учитывая введенные операции, умножение двух матриц А и В можно представить как многократное умножение матрицы А на матрицы-столбцы, рассматривая вторую матрицу В как набор мат-риц-столбцов. При этом произведение матриц А и В может иметь смысл только в том случае, когда j-й столбец матрицы В (а, следовательно, и все ее столбцы) насчитывают тоже число элементов, что и i-я строка матрицы А (а, следовательно, и все ее строки). Поскольку количество элементов в столбце матрицы равно числу строк в ней (а количество элементов в строке равно количеству столбцов) это означает, что в матрице В должно быть столько же строк, сколько столбцов содержит матрица А.

Таким образом, произведение матрицы определено, когда число столбцов в А равно числу строк в В. Тогда произведение содержит то же количество строк, что и матрица А, и то же количество столбцов, что и матрица В.

Если число столбцов в А равно числу строк в В, то матрицы называются согласованными для умножения А на В. При этом если А размерности т * п, а В размерность , то произведение является матрицей размерности , т. е.:

Определение 3.2.4. Произведением матрицы А размерности на матрицу В размерности называется матрица Р размерности , элементы которой определяется формулами:

, при , т.е. элемент равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-ого столбца матрицы В.

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример №22

Пусть Матрица А содержит три столбца, а В содержит три строки. Следовательно, матрицы А и В согласованные для умножения. Тогда

Произведение матриц, вообще говоря, не коммутативно, т.е. А В не всегда равно . Например,

Из приведенного примера следует, что, перемножая матрицы А и В, можно получить два произведения к . Если размеры матрицы A равны , то оба произведения существуют только в том случае, когда размеры матрицы В равны . Тогда произведение образует квадратную матрицу порядка m, а произведение — квадратную матрицу n. Поэтому размеры АВ могут быть равны ВА в том случае, когда m = n, т.е. когда обе матрицы квадратные и имеют один и тот же порядок равный m. При этом указанные произведения матриц могут не иметь ни одного одинакового элемента, полученного в результате суммирования произведений соотвстствующих элементов исходных матриц. Поэтому, если даже существуют оба произведения АВ и ВА и оба они имеют одинаковый порядок, вообще говоря, они не обязательно должны быть равны между собой, что и показывает приведенный выше пример.

Из сказанного не следует, что АВ и ВА всегда должны различаться между собой, в отдельных случаях они могут быть равны. Например,

В двух случаях, имеющих особо важное значение, произведение матриц обладает свойством коммутативности:

1) в случае умножения на нулевую матрицу: если представляет собой квадратную матрицу п-ого порядка, а — аналогичную матрицу, все элементы которой составляют нули, тогда

Нулевая матрица выполняет роль нуля в матричной алгебре;

2) в случае умножения на единичную матрицу: если представляет собой квадратную матрицу n-ого порядка, а — аналогичную единичную матрицу, то

Единичная матрица того же порядка служит единицей в матричной алгебре. Например,

Отметим, что произведение матрицы на скалярную величину так же коммутативно:

Матрицу А можно умножить саму на себя тогда и только тогда, когда она квадратная. Если n — натуральное число, больше единицы, то есть произведение n матриц равных А. Для действий со степенями матриц справедливы следующие правила: ,если АВ = ВА.

Значением многочлена

с числовыми коэффициентами от матрицы А или значением многочлена при х = А называется матрица

где Е- единичная матрица.

Многочленной матрицей называется прямоугольная (в частности квадратная) матрица А, элементы которой являются многочленами от одной переменной х с числовыми коэффициентами. Матричным многочленом называется выражение вида

где х- переменное и — квадратные матрицы с числовыми элементами одного и того же порядка n. Число n называется порядком многочлена F(x). Если , то число m называется степенью матричного многочлена F{x). Если матрица не вырождена, т.е. , то матричный многочлен F(x) называется регулярным.

Два матричных многочлена одинакового порядка можно складывать, вычитать и умножать аналогично обычным многочленам с числовыми коэффициентами, с той разницей, что умножение числовых матриц, а потому и матричных многочленов не обязательно коммутативно.

Операцию умножения для матриц можно ввести иначе. Пусть задана матрица размерности :

Обозначим столбцы матрицы А следующим образом:

их называют векторами-столбцами; а строки:

которые называют векторами-строками.

Пример №23

Пусть число трёх типов игрушек, которые нужно изготовить, равно соответственно 20, 30, 40. Определим число деталей каждого вида, необходимых для сборки игрушек при полном удовлетворении заказа на них.

Решение:

Составим матрицу А, в которой по строкам укажем число деталей одного вида, необходимых для производства трёх типов игрушек, а по столбцам — число деталей трех видов, необходимых для производства одной игрушки трёх типов:

Число деталей каждого вида, необходимых для сборки игрушек при полном удовлетворении заказа определим умножением матрицы А на матрицу-столбец, характеризующую число игрушек:

Зная количество деталей, необходимых для производства одной игрушки, можно определить потребность в сырье для производства одной игрушки, если известны нормы расхода сырья для производства одной детали, которые приведены в таблице 3.2.2.

Эти потребности в сырье определяются умножением матриц

Умножив результат произведения матриц на количество игрушек, определим потребности в сырье для выполнения заказа

Приведенный пример иллюстрирует простоту решения задачи при помощи умножения матриц.

Пример №24

Предположим, что затраты рабочего времени в часах на каждом рабочем месте и на каждое изделие заданы в таблице 3.2.3. Количество изделий (в штуках) в каждом заказе задано в таблице 3.2.4. Часовая заработная плата (в рублях) на каждом рабочем месте задана в таблице 3.2.5

Решение:

Рассчитаем заработную плату, приходящуюся при производстве различных изделий на каждый заказ.

Решение. Введем в рассмотрение следующие матрицы:

где А — матрица затрат, В — матрица спроса, С — матрица почасовой зарплаты.

Так как матрица С задает зависимость между величиной заработной платы и затратами рабочего времени на каждом рабочем месте, а матрица А — между затратами времени на каждом рабочем месте и выпуском изделий, то произведение АС задает линейную зависимость между выпуском одного изделия и величиной заработной платы. Поскольку матрица В определяет количество изделий в каждом заказе, то произведение В(АС) определяет выполнение каждого заказа. Поэтому, вычислив произведение В (АС):

находим заработную плату, приходящуюся на заказ равную 23920 руб., на заказ — 23640 руб. и на заказ — 24850 руб.

Блочные матрицы и действия над ними

Для упрощения действий над матрицами больших размеров выполняют переход к матрицам меньших размеров путём разбиения их на клетки горизонтальными и вертикальными прямыми, пересекающими всю матрицу.

Например, проведём в матрице А две горизонтальные и две вертикальные прямые:

Получим 9 клеток, каждая из которых будет некоторой матрицей. Введём для них обозначения:

Тогда матрицу А можно записать в виде:

Полученную матрицу называют блочной, или клеточной. Любую матрицу множеством способов можно представить в блочной форме. Особый интерес представляют блочные матрицы, имеющие квадратные диагональные клетки. Например,

В матрице В клетки — квадратные матрицы третьего, второго и первого порядка соответственно.

Если у блочных матриц число диагональных клеток одинаково, причём соответственные диагональные клетки имеют один и тот же порядок, то такие матрицы называются конформными.

Блочная матрица, у которой все клетки, кроме стоящих на главной диагонали, являются нуль-матрицами, называется квазидиагональной. Примером квазидиагональной матрицы является матрица

вида: Квазидиагональная матрица обозначается , где

— её диагональные квадратные клетки.

Если к квадратной матрице а добавить снизу матрицу-строку, справа — матрицу-столбец и в правом нижнем углу добавить элемент, то полученная блочная матрица называется окаймлённой.

Арифметические операции над блочными матрицами выражаются через операции над клетками матриц. Такое выражение возможно для конформных матриц.

1) Сложение блочных матриц производится аналогично правилу сложения обычных матриц: Подчеркнем, что можно складывать только конформные матрицы. В противном случае равенство не имеет смысла.

2) При умножении блочной матрицы на скаляр все клетки блочной матрицы умножаются на этот скаляр:

3) Произведение конформных блочных матриц формально совпадает с правилом умножения обычных матриц:

При умножении матриц соответственные диагональные клетки умножаемых матриц должны иметь одинаковый порядок. В противном случае блочные матрицы не будут конформными и их умножать нельзя.

Произведением конформных квазидиагональных матриц является квазидиагональная матрица с той же структурой, причём каждая диагональная клетка произведения является произведением соответствующих диагональных клеток сомножителей:

При транспонировании квазидиагональной матрицы получаем квазидиагональную матрицу, диагональные клетки которой являются транспонированными матрицами:

Матрица А, которую одновременной перестановкой строк и столбцов можно привести к блочному виду

где — квадратные блоки, включающие ненулевые элементы; О — блок, состоящий только из нулей; В — блок, элементы которого могут принимать любые значения, называется разложимой матрицей.

Матрица неразложима если для неё не существует таких одновременных перестановок строк и столбцов, которые приводили бы сё к разложимой форме.

Оператор суммирования и его свойства

В экономических исследованиях часто употребляются переменные, определенные на дискретных множествах

или и рассматриваются их суммы. Символом операции

суммирования служит заглавная греческая буква (сигма). Тогда,

например, сумму можно записать в видех . Числа сточщие под знаком и над ним, называются пределами суммирования и указывают наибольшие и наименьшие значения индекса суммирования, между которыми расположены его промежуточные значения.

Для оператора суммирования справедливы следующие тождества:

Существует также способ записи операции умножения с помощью прописной греческой буквы «пи» — П : Так, например, произ-ведение пяти множителей можно сокращенно записать:

Перестановки

Рассмотрим n целых чисел (элементов) . Их можно располагать в различном порядке. Всевозможные расположения этих чисел называются перестановками. Перестановка , в которой числа идут в порядке возрастания, называется натуральной. Например, из трех чисел можно составить 6 перестановок: (123), (132), (213), (231), (312), (321). Справедливо следующее утверждение: «Из n чисел можно составить n! перестановок». Символ n! читается юн факториал» и обозначает произведение последовательных натуральных чисел: 0!=1; 1!=1; ; ; … .

Назовем беспорядком (или инверсией) в перестановке тот факт, что большее число стоит перед меньшим. Если перестановка имеет четное число инверсий, то она называется четной, в противном случае — нечетной. Обмен местами двух элементов в перестановке называется транспозицией. Например:

Транспозиция переводит одну перестановку в другую и меняет четность перестановки.

Определение определителя

Рассмотрим квадратную матрицу размерности п и составим из ее элементов таблицу вида

или более компактно: . Каждый элемент имеет два индекса, первый из которых указывает, какой строке принадлежит элемент, а второй — какому столбцу.

Этой таблице соотнесем число, называемое определителем, вычисляемое по правилу, сформулированному в следующем определении.

Определение 3.6.1. Определителем n-го порядка называется алгебраическая сумма n! членов, каждый из которых представляет собой произведение n элементов , взятых по одному из каждой

строки и каждого столбца; при этом член определителя берется со знаком «+», если вторые индексы его элементов образуют чётную перестановку, и со знаком «—», если эта перестановка нечетная, а первые индексы образуют натуральную перестановку.

Определитель n-то порядка обозначается в виде таблицы (3.6.1), где горизонтали — строки, а вертикали — столбцы.

Введем величину:

Тогда в силу определения 3.6.1 определитель n-то порядка запишется в виде:

Суммирование распространяется на все перестановки из n чисел 1,2,…,n, что условно обозначили символом n!

В частности, определителем второго порядканазывается алгебраическая сумма двух слагаемых , каждое из которых равно произведению двух элементов. Согласно определению 3.6.1, первое слагаемое имеет знак «+», а второе — знак «-». Следовательно, для нахождения определителя второго порядка, нужно из произведения элементов, стоящих на главной диагонали вычесть произведение элементов стоящих на побочной диагонали:

Таким образом, каждой квадратной матрице А можно поставить в соответствие некоторое число, называемое определителем матрицы и обозначаемое .

Свойства определителя n-го порядка

Свойствами, сформулированными ниже, обладают определители любого порядка, в частности второго и третьего порядков.

. Величина определителя при его транспонировании (т. е. при замене его строк соответствующими столбцами) не меняется.

Доказательство. Рассмотрим определитель . Протранспонируем его; получим определитель , т. е. элементы строки и i-го столбца определителя совпадают с элементами из i-й строки и k-го столбца определителя D. Тогда по определению

В каждом слагаемом формулы (4.1) переставим сомножители таким образом, чтобы их первые индексы составили натуральную перестановку; вторые индексы образуют произвольную перестановку:

Перестановки и разные, но обладают одинаковой четностью, так как одним и тем же числом транспозиций перестановка переводится в натуральную, а перестановку получаем из натуральной. Поэтому , и равенство (3.7.1) принимает вид:

Так как то чтo и требовалось доказать.

Из свойства вытекает, что строки и столбцы определителя равноправны. Поэтому любое свойство доказанное для строк, справедливо и для столбцов.

. Если в определителе поменять местами две строки (столбца), то у него изменится только знак, а абсолютная величина останется прежней.

Доказательство. Рассмотрим определитель , в котором переставим l-ую и m-ую строки. При этом считаем, что . Получим определитель , элементы которого связаны с элементами определителя соотношениями

В силу равенств (3.7.2) преобразуем определитель

к виду

Выполним в перестановке одну транспозицию , в результате четность перестановки изменится на противоположную:

Затем поменяем местами сомножители и в произведении . Произведение при этом не изменится, а равенство (3.7.3) примет вид

В равенстве (3.7.4) первые индексы элементов образуют натуральную перестановку , т. к. , а перестановка из

вторых индексов такая же, как и в выражении . Поэтому сумма правой части формулы (3.7.4) равна определителю , т. е. . что и требовалось доказать.

. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.

Доказательство. Так как по условию две строки одинаковы, то их перестановка не меняет величины определителя. С другой стороны, по свойству в результате перестановки знак определителя изменится, т. с. . Следовательно, .

. Если все элементы строки (столбца) содержат общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

Доказательство. Пусть в определителе l-тая строка содержит общий множитель, тогда по определению его можно записать в виде:

Из (3.7.5) следует, что каждое слагаемое содержит множителем число , его можно вынести за знак суммы, т. с. преобразовать

Из свойства вытекает:

Следствие 3.7.1. Определитель с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю.

Действительно, по свойству общий множитель у одной из строк, пропорциональной другой, можно вынести за знак определителя. Получим определитель с двумя одинаковыми строками, а в силу свойства он равен нулю.

. Если все элементы строки (столбца) являются суммами из одинакового числа слагаемых, то определитель равен сумме определителей, у которых элементами этой строки (столбца) служат отдельные слагаемые.

Доказательство. Пусть все элементы i-той строки определителя являются суммами из одинакового числа слагаемых: . Тогда определитель имеет вид:

В силу определения его можно записать:

но так как

то

что и требовалось доказать.

Следствие 3.7.2. Величина определителя не изменится, если /с элементам любой его строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умножив их предварительно на один и тот же множитель.

Действительно, если мы рассмотрим определитель

полученный из прибавляем к элементам l строки соответствующие элементы m строки, то в силу свойства его можно представить в виде суммы двух определителей, т. е.

так как второе слагаемое равно 0 как определитель с двумя пропорциональными строками.

Миноры и алгебраические дополнения

Определение 3.8.1. Если в определителе n-го порядка вычеркнем i-ую строку и k-ый столбец, на пересечении которых находится элемент , то полученный определитель (n-1)-го порядка называется минором исходного определителя , соответствующего элементу , и обозначается . Например, если

Определение 3.8.1. Минор с определенным знаком, зависящим от четности суммы i+k номеров строки и столбца, на пересечении которых находится элемент называется алгебраическим дополнением элемента в определителе и обозначается

.

С помощью алгебраических дополнений определитель порядка п может быть выражен через определители порядка n-1. Этот факт справедлив для определителей имеющих специальную структуру, т. е. имеют место

Лемма 3.8.1. Если в определителе порядка n все элементы последней строки (столбца), кроме элемента, стоящего в правом нижнем углу, равны нулю, то определитель равен произведению этого элемента на соответствующий ему минор.

Лемма 3.8.2. Если в определителе порядка n все элементы какой-либо строки (столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен произведению этого элемента на его алгебраическое дополнение.

Из сформулированных лемм вытекают следующие теоремы:

Теорема 3.8.1. (теорема разложения). Определитель порядка п равен сумме парных произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения: .

Доказательство. Так как строки и столбцы равносильны, то достаточно проверить справедливость равенства:

Представим каждый элемент i-й строки определителя в виде суммы n слагаемых, из которых n-1 слагаемое равно нулю

тогда его можно представить в виде суммы определителей (по свойству ):

Определитель по лемме 2 равен произведению элемента на его алгебраическое дополнение в этом определителе. Но так как определитель отличается от лишь элементами i-й строки, го это алгебраическое дополнение совпадает с алгебраическим дополнением элемента , определителя , так как эта строка и столбец будут вычеркнуты, а все остальные элементы определителя , и совпадают.

Следовательно,.

Аналогично и поэтому (т. к.

Теорема 3.8.2. (теорема аннулирования). Сумма парных произведений элементов любой строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения параллельной строки (столбца) равна нулю:

, где i, j — строки определителя .

Вычисление определителей

Укажем некоторые способы вычисления определителей.

1) По теореме 3.8.1 определитель любого порядка п выражается через n определителей (n-1)-го порядка. Применяя эту теорему несколько раз, можно преобразовать исходный определитель к некоторому числу определителей третьего порядка, вычисление которых не представляет труда. Однако для упрощения вычислений целесообразно предварительно преобразовать определитель так, чтобы в одном из его рядов все элементы, кроме одного, обратились в нуль. Тогда данный определитель сведется к определителю более низкого порядка, и т. д.

2) Пользуясь свойствами определителя, приводят его к треугольному виду, когда все элементы, стоящие по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. Полученный определитель треугольного вида равен произведению элементов главной диагонали, т. е.

Если удобнее получить нули по одну сторону от побочной диагонали, то где приведен уже к треугольному виду.

3) Если определитель порядка n после разложения по строке или столбцу и после преобразования, выражается через определители того же вида, но более низких порядков, то полученное равенство называется рекуррентным. Вычисляют столько определителей данного вида начальных порядков, сколько их входит в правую часть рекуррентного соотношения. Далее вычисляют определители высших порядков, используя рекуррентные соотношения, до тех пор, пока не удастся заметить общую закономерность для получаемых выражений. Для общего случая доказывают индукцией по п эту закономерность.

Определитель квазидиагональной матрицы равен произведению определителей её диагональных клеток:

.

Определитель второго порядка, согласно определению 3.6.1 равен произведению диагональных элементов минус произведение элементов побочной диагонали. Например,

.

Определитель третьего порядка по определению 3.6.1. равен алгебраической сумме шести слагаемых. Построение этой суммы можно выполнить по правилу Саррюса. Со знаком «+» и рассматривая произведение элементов определителя, обозначенных на схеме точками

Hстример,

Определители выше третьего порядков вычисляются либо сведением к треугольному виду, либо используя теорему разложения или используя рекуррентную формулу. Например,

(последовательно умножим первую строку на 2; 4; 3 и вычтем получающиеся при этом строки из второй, третьей и четвертой строк)

(умножим третью строку на 20/34 и вычтем из четвертой строки; сомножитель четвертой строки 1/34 вынесем за знак определителя; в результате получим определитель верхнетреуголыюго вида, который равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали) .

Матрицы и операции над матрицами

Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел вида состоящая из m строк и n столбцов. Числа называются элементами матрицы, где i — индекс строки, j — индекс столбца. Обозначение:

Например, элемент (читается «а три пять») в таблице будет расположен в третьей строке и пятом столбце.

Суммой двух матриц одинакового размера называется матрица того же порядка, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц и

Например,

Произведением матрицы на действительное число . называется такая матрица что

Например,

Если количество столбцов первой матрицы (множимой) равно количеству строк второй матрица (множителя), то матрицы называются согласованными.

Внимание! Умножаются только согласованные матрицы.

Произведением матрицы А размера (n столбцов) на матрицу В размера (n строк) называется матрица С размера каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-ro столбца матрицы В, т.е. («i-ю строку первой матрицы умножаем на j-й столбец второй матрицы»). Число строк матрицы произведения С равно числу строк матрицы А, а число столбцов матрицы С равно числу столбцов матрицы В.

Пример:

Даны матрицы

Найти то из произведений АВ, В А, которое существует.

Решение:

Найдем произведение матриц АВ. Оно существует, т.к. количество столбцов матрицы А равно количеству строк матрицы В и равно двум.

Например, элемент произведения матриц с индексом 12 равен по определению сумме произведений элементов 1-й строки матрицы А на соответствующие элементы 2-го столбца матрицы В:

Тогда

Рассмотрим произведение матриц ВА. Число столбцов матрицы В (n=3) не совпадает с числом строк матрицы А (m=2). Произведение матриц ВА не существует.

Вывод. В общем случае произведение матриц не коммутативно, т.е. не всегда АВ=ВА.

Если АВ=ВА, то матрицы А и В называются перестановочными.

Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей, транспонированной к данной. Обозначение: или

Например,

Матрица

Определение, обозначения

Элементарные операции

умножение на число

сложение

транспонирование

конкатенация

векторизация

матрицы⁵⁾ произвольного порядка образно означает «вытягивание» ее в вектор-столбец. Если
представить матрицу как результат конкатенации ее столбцов:
$$ A=left[A_{[1]} mid A_{[2]} mid dots mid A_{[n]}right] , $$
то
$$ operatorname{Vec}(A)=left(begin{array}{c}
A_{[1]} \ A_{[2]}\ vdots \ A_{[n]}
end{array}
right) , .
$$
Так, например
$$
operatorname{Vec}left(begin{array}{ccc}
a_1 & b_1 & c_1 \
a_2 & b_2 & c_2
end{array}
right)=
left(begin{array}{c}
a_1 \
a_2 \
b_1 \
b_2 \
c_1 \
c_2
end{array}
right), .
$$

перезагрузка

Умножение матриц

Квадратные матрицы

симметричная

единичная

Матрица $$
E_n =
left(
begin{array}{cccc}
1 & & & \
& 1 & & {mathbb O} \
{mathbb O} & & ddots & \
& & & 1
end{array}
right)_{n}=
left[delta_{jk} right]_{j,k=1}^n
$$ называется единичной матрицей порядка $ n_{} $.

кососимметричная

обратно симметричная матрица

треугольная

Так называется квадратная матрица, у которой все элементы выше главной диагонали или ниже ее равны нулю.

Различают верхнетреугольную⁹⁾
$$
U=left(begin{array}{ccccc}
a_{11} & a_{12} &a_{13} & dots & a_{1n} \
& a_{22} & a_{23} & dots & a_{2n} \
& & ddots & & \
& mathbb O & & ddots & vdots \
& & & & a_{nn}
end{array}
right)
$$
и нижнетреугольную

$$
L=left(begin{array}{ccccc}
a_{11} & & & & \
a_{21} & a_{22} & & & \
& & ddots & mathbb O & \
vdots & & & ddots & \
a_{n1} & a_{n2} & dots & & a_{nn}
end{array}
right)
$$
матрицы. Часто эти матрицы называют право— и левотреугольными соответственно и обозначают тогда $ R_{} $ и $ L_{} $. В одной и той же книге можно встретить одновременно
LU-разложение матрицы и QR-разложение матрицы; при этом вторые буквы означают именно верхнетреугольные матрицы. Так исторически сложилось: неудобно, но привычно!

Хессенберга

Матрица вида
$$
left(begin{array}{llllll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & dots & a_{1,n-1} & a_{1n} \
a_{21} & a_{22} & a_{23} & dots & a_{2,n-1} & a_{2n} \
0 & a_{32} & a_{33} & dots & a_{3,n-1} & a_{3n} \
vdots & & ddots & & & \
0 & 0 & 0 & dots & a_{n,n-1} & a_{nn}
end{array}
right) ,
$$
т.е. с элементами $ a_{ij}=0 $ при $ i<j+1 $ называется верхней матрицей Хессенберга.

ортогональная

ганкелева

тёплицева

положительная

Так называется матрица $ A_{} $ все элементы которой положительны (определяется для матриц произвольного порядка — не обязательно квадратных). Обозначается $ A > 0 $ или $ A > mathbb O $. По аналогии определяются неотрицательная ( $ A ge 0 $), отрицательная и неположительная матрицы.

стохастическая

элементарных преобразований

ленточная

Часто встречающиеся («именные») матрицы

Вандермонда

Гессе

Грама

Фробениуса

Якоби

Функции от матрицы

определитель

след

характеристический полином

ранг

норма

Обращение матрицы

Полином от матрицы и матричный полином

Матричные уравнения

Матрица может быть определена не только явным образом, но и заданием соотношения, которому она должна удовлетворять. Так, к примеру обратная матрица для квадратной матрицы $ A $ фактически определялась как решение матричного уравнения $ AX= E $. Отсутствие свойства коммутативности умножения порождает причудливые комбинации, не имеющие аналогов в скалярном случае.

Уравнение Ляпунова

Квадратные уравнения

Матрица квадратичной формы

рассматривается

☞

ЗДЕСЬ

Матрица преобразования координат

— это матрица, связывающая координаты произвольного
вектора $ X_{} $ из $ n_{} $—мерного линейного пространства в двух различных базисах $ {X_1,dots,X_n} $ и $ {{mathfrak X}_1,dots,{mathfrak X}_n} $ этого пространства:
$$X=x_1X_1+dots+x_nX_n={mathfrak x}_1{mathfrak X}_1+dots+{mathfrak x}_n{mathfrak X}_n
.$$
Называется также матрицей перехода от базиса к базису. Подробнее

☞

ЗДЕСЬ.

Матрица линейного отображения

— это матрица, связывающая координаты произвольного вектора $ X_{} $ из линейного пространства $ mathbb V_{} $ с координатами его образа $ Y_{} $ в линейном пространстве $ mathbb W_{} $ при выборе некоторых фиксированных базисов этих пространств.
Подробнее

☞

ЗДЕСЬ.

Задачи

Источники

Вопрос 1. Основные сведения о матрицах.

Матрицей
размерности m×n
называется прямоугольная
таблица чисел,
состоящая из m–
строк
и n–
столбцов.

Числа,
составляющие матрицу, называются ее
элементами.

Элемент,
стоящий на пересечении строки с номером
i(i‒
той строки),

i
=
1, 2…m
и столбца с номером j(j‒
того столбца),

j
=
1, 2…n
– обозначается a_ij.

Матрица
обозначается заглавными буквами A,B,C…,
а их элементы ‒ соответствующими
прописными буквами.

A_m×
n=

Пример:

A_3×2
=

А₁₁
=
3

А₂₁
=
–
2

А₂₂
=
5

А₃₂
=
–1

Виды матриц

1.
Матрица, состоящая из одной строки,
называется матрицей ‒ строкой или
вектором – строкой. В_1×n=
(b₁₁
b₁₂…b_1n)

2.
Матрица, состоящая из одного столбца,
называется матрицей ‒ столбцом или
вектором – столбцом. С_m×1
=

3.
Матрица называется квадратной n‒
го порядка, если у нее число строк равно
числу столбцов и равноn.

A
=–
квадратная матрица третьего порядка

Главная
диагональ

Элементы
квадратной матрицы, у которых совпадает
номер строки и столбца, образуют главную
диагональ.

Квадратная
матрица, все элементы главной диагонали
которой равны 1, а остальные элементы
равны 0, называется единичной
матрицей.

E=

–
единичная матрица второго порядка.

E=

–
единичная матрица третьего порядка.

Вопрос 2. Операции над матрицами и их свойства.

1.Произведение
матрицы на число.

Произведением
матрицы A
на число λназывается
такая матрица B,
каждый элемент которой находится по
формуле:

b_ij=λ
×
a_ij

Пример:

A=

‒
3A=

=

2.
Сумма
матриц.

Суммой
матриц A
и B
одинаковой размерности называется
матрица C,
каждый элемент которой находится по
формуле: (C_ij=
A_ij
+B_ij),
т.е. матрицы складываются поэлементно.

Пример:
+
==

3.
Разность
матриц.

А
‒ В = А + (‒1)
×
В

Пример:
‒
==

4.
Произведение
матриц.

Произведением
матрицы А_m×lна
матрицу В_l×nназывается
матрица С_m×n,
каждый
элемент которой c_ijравен
сумме произведений всех элементов i
– ой строки матрицы A
на соответствующие элементыj
‒ того столбца матрицы B.

Пример:

A_2×3=

,А_3×3
=

=

=

5.
Возведение в степень с натуральным
показателем квадратных матриц.

=
A×A….A

n
‒ раз.

Пример:

A=

=
==

=

6.
Транспонирование матриц.

Матрица
А^Т
(или
А^I)
называется транспонированной к матрице
A,
если строки матрицы A
заменены соответствующими столбцами
матрицы B,
т.е. при транспонировании строки и
столбцы меняются местами.

А_3×2
=

=

7.
Свойства операций.

1.
Коммутативность (переместительный
закон)

A
+ B
= B
+ A;
т. е. сумма матриц коммутативна.

A
× BB
× A;
т. е. произведение не коммутативно.

2.
Ассоциативность (сочетательный закон)

A
+ (B
+ С) = (A
+ B)
+ С;

A
× (B
× С) = (A
× B)
× С;

3.
Дистрибутивность (распределительный
закон)

(A
+ B) × С
= A×C + B×C;

4.
A × E = A.

ЛЕКЦИЯ
№ 2.

Вопрос
1. Определители квадратных матриц и
способы их вычисления.

Определителем
квадратной матрицы называется число,
характеризующее эту матрицу.

Определители
обозначаются двумя вертикальными
чертами:

│A│
или ∆ (дельта).

Определителем
первого порядка квадратной матрицы
первого порядка A
= (а₁₁)
называется число,
равное элементу этой матрицы.

│а₁₁│=
а_11.

Определителем
второго порядка квадратной матрицы A
=
называетсячисло,
вычисляемое по формуле:

Пример:

=
– 3 × 7 – 6 × (– 5) = – 21+30 = 9.

Определителем
третьего порядка квадратной матрицы
третьего порядка называется число,
вычисляемое по формуле:

Правило
Сарруса (правило треугольника).

Пример
1:

=
–
2×1×
(–5)
+ 5×4×(–
4)
+ 3×2×(–
3)
–
(–
3)
×1× (–
4)
–
4×2×

(–
2)
–
5×3 × (–
5)
= 10 –
80
–18
–12
+16 +75 = –
9.

Пример
2:

=
45 + 8 ‒ 24 ‒ 60 + 6 ‒ 24 = ‒ 49.

Минором
M_ij
элемента a_ijквадратной
матрицы n
‒ го порядка называется определитель
(n
‒ 1) ‒ го порядка, полу­ченный из данной
матрицы вычеркиванием i
‒ й
строки и j
‒ го
стол­бца, на пересечении которых стоит
данный элемент.

Пример:

;

M₁₁
=

= 15 + 2 = 17;

M₁₂
=

= –
6
–
6
= –12;
и т. д. всего 9 миноров.

Алгебраическим
дополнением A_ijэлемента
a_ij
квадратной матрицы называется его
минор,
взятый со знаком (‒1)^i+j.

Пример:

А
₁₁ =
(–1)¹⁺¹
×
M₁₁
=
17.

А
₁₂ =
(–1)¹⁺²
×
M₁₂
=
‒ 1×M₁₂
= 12.

А
₁₃ =
(–1)¹⁺³
×
=
4 ‒ 30= – 26; и т.д.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #